八年级上数学实数平方根与立方根
平方根与立方根
平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。
它们分别表示一个数的平方和立方的根。
平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。
平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。
一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。
对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。
平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。
（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。
首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。
（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。
首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。
例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。
2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。
例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。
例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。
二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。
对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。
立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。
（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。
（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。
2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。
例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。
例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。
总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。
八年级上册数学《实数》平方根和立方根_知识点整理
平方根和立方根一、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
八年级数学 实数
一、基础测试1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
7.______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．_______(0,_______(0,0).a b a b =≥≥=≥>二、专题讲解：专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念若a ≥0，则a的平方根是a；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a【例1______【例2】327 的平方根是_________【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020=（Ｂ）331-=- （Ｃ） （Ｄ）【例5】（2010A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 专题2 实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含π的数，如：12,2ππ等，开方开不尽010 001…等；某些三角函数，如sin60o ，cos45 o等。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
平方根和立方根
平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。
在代数学中，平方根表示一个数的二次方根，即一个数的平方根记作√x，其中x是被开方的数。
同样地，在代数学中，立方根表示一个数的三次方根，即一个数的立方根记作∛x，其中x是被求立方根的数。
平方根平方根是数学中常见的运算，用于求一个数的二次方根。
对于正实数x，其平方根可以通过不断逼近得到。
实际上，平方根也可以是复数。
数学上有多种方法来求得一个数的平方根。
其中，常见的方法有牛顿迭代法、试位法和二分法等。
例如，我们可以使用牛顿迭代法来求平方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。
2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。
3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。
对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求平方根。
例如，对于完全平方数，其平方根是一个整数。
而对于非完全平方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。
立方根立方根是数学中常见的运算，用于求一个数的三次方根。
对于正实数x，其立方根可以通过不断逼近得到。
求一个数的立方根可以使用牛顿迭代法、二分法等数值计算方法。
与求平方根类似，我们可以使用牛顿迭代法来求立方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。
2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。
3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。
与求平方根类似，对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求立方根。
例如，对于完全立方数，其立方根是一个整数。
而对于非完全立方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。
总结平方根和立方根是常见的数学运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。
在实际应用中，我们可以利用数值计算方法来求解，如牛顿迭代法、二分法等。
同时，我们也可以使用手算的方法来逼近求解，特别是对于一些特殊的数。
平方根与立方根的性质及运算
平方根与立方根的性质及运算平方根与立方根是数学中常见的运算，它们具有一些独特的性质。
在本文中，我们将探讨平方根和立方根的性质以及它们的运算规则。
一、平方根的性质与运算平方根是指某个数的平方等于给定的数的运算。
设a为一个正实数，那么b是a的平方根的充分必要条件为b^2=a，记作b=√a。
平方根有以下性质和运算规则：1. 平方根的非负性：对于任意实数a，如果a为非负数，那么√a也为非负数。
这意味着平方根不可能为负数。
2. 平方根的不唯一性：对于一个正实数a，如果b是a的平方根，那么-b也是a的平方根。
因此，一个正实数可以有两个平方根，分别是正数和负数。
3. 平方根的运算规则：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √(a*b) = √a * √b(b) √(a/b) = √a / √b(c) √(a^2) = |a|二、立方根的性质与运算立方根是指某个数的立方等于给定的数的运算。
设a为一个实数，那么b是a的立方根的充分必要条件为b^3 = a，记作b=∛a。
立方根具有以下性质和运算规则：1. 立方根的非负性：与平方根类似，对于任意实数a，如果a为非负数，那么∛a也为非负数。
2. 立方根的不唯一性：与平方根不同的是，立方根只有一个实数解。
因此，一个实数只有一个立方根。
3. 立方根的运算规则：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛(a*b) = ∛a * ∛b(b) ∛(a^2) = |a|(c) ∛(a^3) = a三、平方根与立方根的运算在实际运算中，我们常常需要计算不同根之间的运算，包括加法、减法和乘法。
下面是一些常见的运算规则：1. 平方根的加法和减法：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √a ± √b = √(a ± b)2. 立方根的加法和减法：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛a ±∛b ≠ ∛(a ± b)3. 平方根和立方根的乘法：设a为一个非负实数，则有以下运算规则：(a) √a * ∛a = √(a^2) = |a|综上所述，平方根与立方根具有一些独特的性质和运算规则。
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算平方根和立方根都是数学中常见的概念，它们在数学运算中起着重要的作用。
本文将对初中数学中关于平方根和立方根的知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。
一、平方根的运算平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。
平方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些平方根的性质和运算规则：1. 平方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^2 = b，则称a为b的平方根，记作√b，其中√b≥0。
2. 平方根的运算法则：a) 非负数的平方根都是非负数，即√a ≥ 0。
b) 平方根和平方的运算互为逆运算，即(√a)^2 = a。
c) 平方根符号√可以消去平方符号^2，即√(a^2) = a（其中a≥0）。
d) 平方根的运算满足乘法法则，即√(ab) = √a * √b。
e) 平方根的运算满足除法法则，即√(a/b) = √a / √b（其中b≠0）。
二、立方根的运算立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根。
立方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些立方根的性质和运算规则：1. 立方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^3 = b，则称a为b的立方根，记作³√b，其中³√b≥0。
2. 立方根的运算法则：a) 实数的立方根是实数，即³√a是一个实数。
b) 立方根和立方的运算互为逆运算，即(³√a)^3 = a。
c) 立方根符号³√可以消去立方符号^3，即³√(a^3) = a。
d) 立方根的运算满足乘法法则，即³√(ab) = ³√a *³√b。
e) 立方根的运算满足除法法则，即³√(a/b) = ³√a / ³√b（其中b≠0）。
三、平方根和立方根的综合运用平方根和立方根在实际生活和数学问题中经常被使用，下面举几个例子说明它们的综合运用：1. 体积问题：当我们计算一个立方体的边长时，可以通过求边长的立方根来获取。
八上数学第二章实数
八上数学第二章实数八年级数学上册第二章“实数”主要涉及实数的概念、性质及其运算。
以下是该章节的主要内容：1.平方根和算术平方根：非负实数a的算术平方根是满足x^2=a的实数x；非负实数a的平方根是满足x^2=a的实数x，正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，即0本身，负数没有平方根。
2.无理数：无限不循环小数称为无理数。
常见的无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数等。
3.实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数和分数，而无理数则是指不能表示为两个整数的比的数。
4.实数的运算：实数的加、减、乘、除运算与正数和0的运算规则相同，但需要注意负数的运算。
在运算过程中，需要注意运算法则和运算顺序，以免出现错误。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
在学习这一章时，学生需要理解并掌握实数的概念、性质和运算规则，同时还需要能够运用所学知识解决实际问题。
此外，学生还需要注意与之前所学有理数知识的联系和区别，以便更好地掌握数学基础知识。
实数这一章的重点内容还包括以下几个方面：1.平方根的性质：实数的平方根具有一些重要的性质，例如正实数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根。
此外，当被开方数的小数点向右每移动两位时，其算术平方根的小数点会向右移动一位。
2.立方根的性质：实数的立方根也有其独特的性质。
例如，当被开方数的小数点每向右移动三位时，其立方根的小数点会向右移动一位。
3.实数的表示：实数可以用不同的方式来表示，例如根号形式、小数形式和分数形式等。
此外，实数还可以在数轴上表示出来，这样可以更直观地理解实数的性质和运算。
4.实数的运算性质：实数的加、减、乘、除等运算具有一些重要的性质，例如运算法则、运算律和运算顺序等。
学生需要理解和掌握这些性质，以便能够正确地进行实数的运算。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
数学知识点平方根与立方根的计算
数学知识点平方根与立方根的计算平方根和立方根是数学中经常使用的概念，它们在计算和解决实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法及其应用。
一、平方根的计算平方根是指一个数的平方等于该数的非负数根。
平方根的计算可以通过手动计算或使用计算器来完成。
1. 手动计算手动计算平方根可以使用牛顿迭代法、二分法等方法，但在实际应用中，最常用的是开方公式。
对于给定的非负实数x，它的平方根可表示为√x。
若x的平方根为a，则有a^2 = x。
因此，求平方根可以转化为求解方程a^2 - x = 0。
根据求解一元二次方程的公式，平方根可以表示为：a = ±√x其中，±表示两个相反的解，正数根和负数根。
在实际应用中，通常我们只考虑正数根。
2. 使用计算器对于较复杂的平方根计算，我们可以使用计算器来得到准确的结果。
大多数科学计算器和计算机的计算软件都提供了平方根计算的功能。
只需输入待计算的数值，并按下平方根按钮，即可得到结果。
二、立方根的计算立方根是指一个数的立方等于该数的非负数根。
立方根的计算可以通过手动计算或使用计算器来完成。
1. 手动计算手动计算立方根可以使用牛顿迭代法、二分法等方法，但在实际应用中，最常用的是开方公式。
对于给定的实数x，它的立方根可表示为³√x。
若x的立方根为a，则有a^3 = x。
因此，求立方根可以转化为求解方程a^3 - x = 0。
根据求解一元三次方程的公式，立方根可以表示为：a = x^(1/3)其中，^(1/3)表示计算x的1/3次方，并得到结果。
2. 使用计算器对于较复杂的立方根计算，我们可以使用计算器来得到准确的结果。
大多数科学计算器和计算机的计算软件都提供了立方根计算的功能。
只需输入待计算的数值，并按下立方根按钮，即可得到结果。
三、平方根与立方根的应用平方根和立方根的应用非常广泛，在数学、物理学、工程学等领域都有重要的作用。
1. 几何学中的应用平方根和立方根在几何学中经常用于计算长度、面积和体积。
八年级上册数学第一章
八年级上册数学第一章
八年级上册数学第一章主要包括以下内容：
1. 实数的概念和图示：介绍了实数的定义、有理数和无理数的区别，以及实数在数轴上的图示方法。
2. 幂的概念和运算：介绍了幂的基本概念、指数的性质和运算法则，以及整数指数幂的特殊情况。
3. 平方根和立方根：讲解了平方根和立方根的概念、有理数平方根的计算方法，以及立方根的性质和计算方法。
4. 实数的大小比较：介绍了实数的大小比较，包括正数、负数、零的大小关系，以及绝对值的概念和性质。
5. 实数的运算：讨论了实数的四则运算规则，包括加法、减法、乘法和除法的运算法则。
6. 实数的应用：介绍了实数在实际问题中的应用，如数据的计算、数学建模等。
以上是八年级上册数学第一章的主要内容概述，具体章节的细节内容可能根据不同教材的编写有所差异。
如果需要更详细的学习内容，请参考相应的教材或教学大纲。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的数学运算。
平方根指的是一个数的平方根，即找到一个数使得它的平方等于给定的数。
立方根则是一个数的立方等于给定的数。
在数学中，我们常用符号√ 表示平方根，用符号³√ 表示立方根。
计算平方根和立方根的方法有很多种，下面将介绍几种常用的计算方法。
一、平方根的计算1. 通过公式计算平方根的计算可以通过以下公式来实现：若给定的数为 x ，则其平方根 y 可以通过求解方程 y² = x 来获得。
对于正实数 x ，可以使用牛顿迭代法或二分法来逼近方程的解。
2. 借助计算器计算在现代科技的进步下，我们可以直接使用计算器来计算平方根。
大多数计算器都内置了平方根计算功能，只需输入待计算的数值，按下相应的运算键即可得到平方根的结果。
3. 利用近似方法计算对于平方根的近似计算，可以使用牛顿迭代法或二分法。
这些方法可以通过多次逼近来得到一个足够接近实际值的结果。
二、立方根的计算1. 通过公式计算立方根的计算可以通过以下公式实现：若给定的数为 x ，则其立方根 y 可以通过求解方程 y³ = x 来获得。
对于正实数 x ，可以使用牛顿迭代法或二分法来逼近方程的解。
2. 借助计算器计算类似于平方根的计算，现代计算器也常常内置了立方根的计算功能。
只需输入待计算的数值，按下相应的运算键即可得到立方根的结果。
3. 利用近似方法计算与计算平方根类似，立方根的近似计算也可以使用牛顿迭代法或二分法来实现。
通过多次逼近，我们可以得到一个足够接近实际值的结果。
综上所述，平方根和立方根的计算可以通过多种方法来实现。
无论使用公式、计算器还是近似方法，我们都能够得到所需的结果。
计算器的出现使我们计算平方根和立方根变得更加简便快捷，而数学中的方法则为我们提供了一种深入了解计算过程的途径。
无论是在日常生活还是学术研究中，平方根和立方根的计算都是十分重要的基本运算，它们深刻影响了数学和科学的发展与应用。
平方根和立方根的概念及计算
平方根和立方根的概念及计算在数学中，平方根和立方根是常见的数学运算，用以计算一个数的平方和立方。
平方根指的是一个数的平方等于该数的正根。
而立方根则是一个数的立方等于该数的正根。
在本文中，我们将探讨平方根和立方根的概念以及如何计算。
一、平方根的概念及计算1.1 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的正根。
以数学符号表示，若一个非负实数x的平方等于一个非负实数a，即x²=a ，则x为a的平方根。
1.2 平方根的计算方法计算平方根有多种方法，以下是几种常用的方法：1.2.1 借助计算器借助计算器，可以直接输入要计算平方根的数，并按下对应的函数键，如√x或x^(1/2)，计算器会给出平方根的值。
1.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于逼近函数零点的方法，也可以用来计算平方根。
它的基本原理是不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求。
1.2.3 龙贝格-勒让德法这种方法利用龙贝格-勒让德法的思想，通过递归计算和加权平均来获得平方根的值。
二、立方根的概念及计算2.1 立方根的定义立方根是指一个数的立方等于该数的正根。
以数学符号表示，若一个实数x的立方等于一个实数a，即x³=a，则x为a的立方根。
2.2 立方根的计算方法与平方根类似，计算立方根也有多种方法。
以下是几种常用的方法：2.2.1 借助计算器可以通过计算器输入要计算立方根的数，并按下对应的函数键，如³√x，计算器将给出立方根的值。
2.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法同样也可以用于计算立方根。
通过不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求，从而得到立方根的值。
2.2.3 二分法二分法是一种迭代法，它通过不断将区间一分为二，判断区间中点的立方与给定的数之间的关系来逼近立方根。
结论平方根和立方根作为数学中重要的概念，在实际生活中经常用到。
通过计算器、牛顿迭代法以及二分法等方法，我们可以准确地计算出任意数的平方根和立方根。
熟练掌握这些计算方法，对于解决各种数学问题和实际应用具有重要意义。
(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
八年级上册数学第二章笔记
八年级上册数学第二章笔记人教版八年级上册数学第二章实数。
一、平方根。
1. 定义。
- 如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根（或二次方根）。
例如，因为(±2)^2 = 4，所以±2是4的平方根。
2. 表示方法。
- 正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。
其中√(a)表示a的正平方根（算术平方根），-√(a)表示a的负平方根。
例如，9的平方根表示为±√(9)=±3。
3. 性质。
- 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
二、算术平方根。
1. 定义。
- 正数a的正的平方根√(a)叫做a的算术平方根。
规定0的算术平方根是0。
例如，4的算术平方根是√(4) = 2。
2. 性质。
- √(a)≥slant0(a≥slant0)，即算术平方根是非负的。
三、立方根。
1. 定义。
- 如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。
例如，因为2^3=8，所以2是8的立方根。
2. 表示方法。
- a的立方根记为sqrt[3]{a}，读作“三次根号a”。
例如，-27的立方根表示为sqrt[3]{-27}=- 3。
3. 性质。
- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数。
1. 无理数的定义。
- 无限不循环小数叫做无理数。
例如，√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）都是无理数。
2. 实数的定义及分类。
- 有理数和无理数统称实数。
- 实数可以按照如下方式分类：- 按定义分类：- 实数有理数整数分数无理数- 按正负分类：- 实数正实数正有理数正无理数 0 负实数负有理数负无理数3. 实数与数轴上的点一一对应。
- 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，√(2)可以用数轴上一个特定的点来表示。
平方根和立方根的计算和性质
求平方根的常用方法有：倒数平方法、二分法、牛顿法等。其中，倒数平方法是一种较为简单的方法，具体步骤如下：
（1）将被开根号的数除以2，得到一个值作为初始估计值。
（2）将初始估计值与真实的平方根进行比较，如果差距较大，则继续调整估计值，直到估计值很接近真实平方根。
（3）最终得到的估计值就是所求的平方根。
3.平方根的性质
平方根具有以下性质：
（1）非负实数的平方根都是实数，其中开方数是非负实数，结果也是非负实数。
（2）负实数没有实数平方根，但可以引入虚数单位i，得到虚数解。
（3）非负实数的平方根是唯一的，即对于任意非负实数x，只有一个非负实数√x使得(√x)^2 = x。
二、立方根的计算和性质
1.立方根的定义
立方根是指一个数的立方等于给定数的正数根。简而言之，对于实数x，立方根记作^3√x，满足(^3√x)^3 = x。
2.立方根的计算方法
求立方根的常用方法有：试位法、牛顿法等。其中，试位法是一种较为简便的方法，具体步骤如下：
（1）选择两个数a和b，满足a^3 < x < b^3，并且a和b之间的差距要尽可能小。
平方根和立方根的计算和性质
数字的平方根和立方根是数学中的基本概念。在日常生活和各个领域中，我们经常遇到需要计算平方根和立方根的情况，因此了解它们的计算方法和性质非常重要。
一、平方根的计算和性质
1.平方根的定义
平方根是指一个数的平方等于给定数的正数根。简而言之，对于非负实数x，平方根记作√x，满足(√x)^2 = x。
（2）通过迭代计算来逐渐减小a和b之间的差距，直到差距足够小。
（3）最终得到的数就是所求的立方根。
3.立方根的性质
平方根和立方根的计算和性质
平方根和立方根的计算和性质平方根和立方根是数学中的重要概念，它们的计算方法和性质对于数学运算和实际问题解决都具有重要意义。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法，探讨它们的数学性质，并通过例题说明它们在实际应用中的作用。
一、平方根的计算和性质平方根是指一个数的二次方等于该数的非负实数。
平方根的计算可以通过开平方的方法得出。
在计算一个数的平方根时，可以利用求解方程的方法来进行计算。
设要求解的数为x，那么它的平方根即为满足方程x^2 = a的解。
根据方程的性质，我们可以得到平方根的计算公式：x = √a其中，√a表示a的平方根。
具体计算时，可以借助计算器等工具，或者利用牛顿迭代法逼近求解。
平方根具有一些重要的性质。
首先，平方根的值永远是非负的。
也就是说，对于任意的正数a，它的平方根√a总是大于等于0的。
而对于负数，其平方根则不存在于实数范围内。
其次，平方根满足数学上的运算规律。
如果a和b分别是两个非负实数，那么它们的平方根满足以下运算性质：（1）√(a*b) = √a * √b（2）√(a/b) = √a / √b （b ≠ 0）这些性质在实际问题的计算中十分有用，可以简化运算步骤，提高计算效率。
二、立方根的计算和性质立方根是指一个数的三次方等于该数的实数。
与平方根类似，立方根的计算也可以通过开立方的方法得出。
计算一个数的立方根时，可以利用求解方程的方法进行计算。
设要求解的数为x，那么它的立方根即为满足方程x^3 = a的解。
根据方程的性质，我们可以得到立方根的计算公式：x = ∛a其中，∛a表示a的立方根。
类似地，具体计算时可以借助工具或者迭代法进行逼近求解。
立方根也具有一些重要的性质。
与平方根类似，立方根的值可以为正数或者负数。
而在实际应用中，通常我们只考虑实数范围内的立方根。
此外，立方根满足一些运算规律。
如果a和b分别是两个实数，那么它们的立方根满足以下运算性质：（1）∛(a*b) = ∛a * ∛b（2）∛(a/b) = ∛a / ∛b （b ≠ 0）同样地，这些性质可以简化计算步骤，提高计算效率。
初中实数根知识点
初中实数根知识点实数是数学中非常重要的一个概念，它包含了所有的有理数和无理数。
在初中阶段，我们需要掌握实数的一些基本概念和性质，其中就包括实数的根。
一、平方根在初中数学中，我们首先学习的是平方根。
对于一个非负实数a，它的平方根记作√a，表示满足b²=a的非负实数b。
换句话说，如果b是一个非负实数，且b的平方等于a，那么b就是a的平方根。
那么如何求一个数的平方根呢？在初中数学中，我们可以通过估算和试算的方法来求解。
以求解√2为例，我们可以尝试一些非负实数的平方，比如1²=1，2²=4，3²=9，4²=16，5²=25等等。
通过这种试算的方式，我们可以发现2的平方根位于1和2之间，而且比1.5更接近2。
通过进一步的试算，我们可以得到1.4²=1.96，1.5²=2.25，可以发现1.4²小于2，而1.5²大于2，因此√2的值位于1.4和1.5之间。
通过这种方法，我们可以逐步逼近√2的值，求得一个比较精确的结果。
二、立方根除了平方根之外，立方根也是我们在初中数学中要学习的一个重要概念。
对于一个实数a，它的立方根记作³√a，表示满足b³=a的实数b。
换句话说，如果b是一个实数，且b的立方等于a，那么b就是a的立方根。
和求平方根类似，我们可以通过试算的方法来求解一个数的立方根。
以求解³√27为例，我们可以尝试一些实数的立方，比如1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125等等。
通过试算，我们可以得到3的立方根是3，而且它是唯一的。
这是因为3³=27，没有其他实数的立方等于27。
三、实数根的运算性质除了掌握实数根的概念和求解方法之外，我们还需要了解实数根的一些基本运算性质。
在初中数学中，我们主要学习了以下几个性质：1.两个实数的积的平方根等于这两个实数的平方根的乘积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。
记作。
0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。
蕴含条件a≥0。
三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。
(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。
(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。
(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。
即,± 。
(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。
∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。
(10) = -1例3、化简：分析：本题逆用幂之积，完全平方公式进行变形化简。
解：原式=例4、如图，数轴上的点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，其中A和B关于原点对称。
（1）化简：（2）求值：3a+2c+d+2|c-b|+分析：∵A与B关于原点对称∴a=-b代入各式化简。
解：（1）∵a=-b,由图可知b>0 ∴原式=（2）∵b>c, b>d；原式=3a+2c+d+2(b-c)+b-d=3a+2c+d+2b-2c+b-d=3a+3b=3a-3a=0例5.求下列各式中的x:(1)49x2=169解: x2=∴x=± ∴x=± 。
(2) 9(3x-2)2=(-7)2分析:先求出3x-2的值,再进一步求x的值。
解: (3x-2)2=∴3x-2=± ∴3x-2=± 接下来需分类讨论。
当3x-2= 时,3x= +2, ∴x= 。
当3x-2=- 时, 3x=- +2, ∴x=- 。
∴x= 或x=- 。
(3) =11解:两边平方得x=121。
(4) 27(x-3)3=-64解:(x-3)3=- ∴x-3= ∴x-3=- ∴x=(5) (5x+2)3-125=0解:(5x+2)3=125 ∴5x+2= ∴5x+2=5∴x=(6) =2解:∴x-1=23∴x-1=8 ∴x=9例6.若(x-y+5)2与互为相反数,求x,y的值。
解:∵(x-y+5)2与互为相反数。
∴(x-y+5)2+ =0∵(x-y+5)2≥0, ≥0,∴解这个方程组得∴x=- 且y= 。
说明:在这里用到"几个非负数的和为零,只有这几个非负数分别是零,才符合要求"这一性质。
四.练习:1.判断正误:(1) 的平方根是±3。
（）(2) =± 。
（）(3)16的平方根是4。
（）(4)任何数的算术平方根都是正数。
（）(5) 是3的算术平方根。
（）(6)若a2=b2,则a=b。
（）(7)若a=b,则a2=b2。
（）(8)729的立方根是±9。
（）(9)-8的立方根是-2。
（）(10) 的平方根是± 。
（）(11)- 没有立方根。
（）(12)0的平方根和立方根都是0。
（）2.填空:(1)(-3)2的平方根是______,算术平方根是______。
(2)169的算术平方根的平方根是______。
(3) 的负的平方根是______。
(4)- 是______的一个平方根,(- )2的算术平方根是______。
(5)当m=______时, 有意义；当m=______时, 值为0。
(6)当a为______时,式子有意义。
(7) 是4的______,一个数的立方根是-4,这个数是______。
(8)当x为______时, 有意义。
(9)已知x2=11,则x=______。
(10)当a<0时, = ______。
3.选择题:(单选)(1)在实数运算中,可进行开平方运算的是( )。
(A)负实数 (B)正数和零 (C)整数 (D)实数(2)若=5,则x=( )(A)0 (B)10 (C)20 (D)30(3)下列各式中无意义的是( )。
(A)- (B) (C) (D)(4)下列运算正确的是( )(A)- =13 (B) =-6 (C)- =-5 (D) =±(5)如果a<0,那么a的立方根是( )(A) (B) (C)- (D)±(6)下列各题运算过程和结果都正确的是( )(A) (B) =2× =(C) =7+ =7(D) =a+b4.求下列各式中x的值:(1)4x2-100=0 (2)64(x+1)3+27=05.如果+|6y-5|=0，求xy的值。
练习参考答案:1.判断正误:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×(7)√(8)×(9)√(10)√(11)×(12)√2.填空:(1)±3；3 (2)± (3)-(4)3；(5)m≥ ；m=3 (6)a≥2且a≠3(7)立方根；-64 (8)x为任意实数(9) ± (10)-a3.选择题:(1)B (2)D (3)D (4)C (5)A (6)A4.求x的值:(1)x=±5 (2)x=-5.x= ，y=，xy= 。
测试选择题1．等式成立的条件是（）A、a是任意实数B、a>0C、a<0D、a≥02．一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是（）A、x+1B、x2+1C、+1D、3．在实数范围内下列判断正确的是（）A、若|m|=|n|,则m=nB、若a2>b2,则a>bC、若（）2=|b|,则a=bD、若，则a=b4．下列四个命题中，正确的是（）A、绝对值等于它本身的实数只有零B、倒数等于它本身的实数只有1C、相反数等于它本身的实数只有零D、算术平方根等于它本身的实数只有15．在实数范围内，A、无法确定B、只能等于2C、只能等于1D、以上都不对6．下面说法正确的是（）A、-1的平方根是-1；B、若x2=9，则x=3；C、10-6没有平方根；D、6是（-6）2的算术平方根7．的平方根是（）A、±2；B、2；C、±；D、8．的算术平方根是（）A、；B、；C、；D、9．下列各式中，无意义的一个是（）A、；B、；C、；D、10．若=0，则（）A、x=2；B、x>2；C、x<2；D、x为任意数答案与解析答案：1、D 2、D 3、D 4、C 5、C 6、D 7、C 8、A 9、B 10、A解析：1.分析：对于任意实数a，都有意义；当a≥0时，才有意义。
因此当a≥0时，=a, ( )2=a，所以成立。
选D2.分析：这个自然数是x2，下一个自然数是x2+1,其算术平方根为。
选择D3.分析：因为绝对值相等的两个数或者相等或者互为相反数，故选择A错；若a<0,b>0是a2>b2不成立，如（-3）2>22，故选项B错；a、b的取值范围不一致，a>0,而b没有限制，所以b<0时结论不成立，故C选项错。
只有D正确，选择D4.选择C5.分析：提示x只能等于零。
选择C6.7.8.9.10.平方根考点扫描1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义。
2.会用根号表示一个数的平方根和算术平方根。
名师精讲1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
2.一个正数a的正的平方根，用符号“ ”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，2通常省略不写，表示为，正数a的负的平方根，用符号“–”表示，这两个平方根合起来记作“± ”，0的平方根记作“ ”。
求一个正数a的平方根的过程，就是平方的逆运算——开方，求平方等于a的两个数的过程，常用的方法步骤是：①从平方入手，写出形如(± )2=a的式子；②从平方式确定出所求数的平方根；③表示出开平方的结果± =±x。
3.本节的内容是本章的基础，重点是理解平方根及算术平方根的意义，所以试题以判断、选择、填空的形式出现较多，解题时应注意对概念的理解。
利用定义求某些数的平方根及算术平方根也是常出现的题目。
中考典例1.已知x、y是实数，若axy–3x=y，则实数a的值是( )A、B、–C、D、–考点：一元一次方程的解法、算术平方根评析：将原条件变为。
根据算术平方根，平方的非负性可得3x+4=0，y–3=0，解得x= ，y=3将其代入到axy–3x=y中，建立关于a的一元一次方程–4a+4=3解得a= ，故选A。
2.计算：-22+(-2)2+考点：平方根的运用。
评析：此题关键是求的算术平方根，然后再进行加法运算，但应注意–22与(–2)2的不同。
计算结果为。
3. 36的算术平方根是( )A、6B、±6C、D、±考点：算术平方根。
评析：求一个正数的算术平方根，即为正数，所以可用平方法确定，因为6的平方是36，所以36的算术平方根为6，选A。
此题也可用排除法，根据算术平方根的定义排除B、D，由( )2≠36，排除C，因此选A。