人教版九年级数学下册 相似多边形及位似同步练习题(含答案)
人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题（含答案）
第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。
人教版九年级数学下册27.3位似同步练习含答案
27.3 位似1. 如图（ 1）火焰的光芒穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm, OB=1 5 cm，则火焰的长度为________.（ 1）（2）2.如图（2），五边形ABCDE 与五边形A′ B′ C′ D′ E′是位似图形，且位似比为1.若五2边形 ABCDE的面积为17 cm2，周长为20 cm，那么五边形 A′B′ C′ D′ E′的面积为________，周长为________.3.已知，如图 2，A′ B′∥ AB，B′ C′∥ BC，且 OA′∶ A′ A=4∶ 3，则△ ABC 与 ________是位似图形，位似比为________；△ OAB 与 ________是位似图形，位似比为________.图 24.以下说法中正确的选项是()A. 位似图形能够经过平移而相互获得B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不仅有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等5.小明在一块玻璃上画上了一幅画，而后用手电筒照着这块玻璃，将画映到雪白的墙上，这时我们以为玻璃上的画和墙上的画是位似图形. 请你再举出一些生活中的位似图形来？并说明一对对应线段的地点关系.6. 将有一个锐角为 30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确立放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.7. 一三角形三极点的坐标分别是A（0，0）， B（2，2）， C（3，1），试将△ ABC放大，使放大后的△ DEF与△ ABC对应边的比为2∶ 1. 并求出放大后的三角形各极点坐标.8、经过不一样位似中心将同一图形进行放大和减小，试问放大后的图形和减小后的图形可否也是位似图形？说说你的见解.答案： 1、 8 cm 2、17cm 210 cm 3、△ A′B′ C′7∶4 △OA′B′47∶ 4 4 、D 5 、略 6 、(1)1 ∶ 31∶ 37、位似中心取点不一样, 所得D、E、F各点坐标不一样，即答案不唯一.8、由放大或减小猴图形中对应线段与原图形中对应线段相互平行，故而放大后的图形和缩小后的图形的对应线段也相互平行，因此它们也是位似图形.。
人教版九年级数学下册第二十七单元图形的相似同步练习1带答案
人教版九年级数学下册第二十七单元《图形的相似》同步练习1带答案一、填空题 一、形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形能够看做由另一个图形的 或 而取得的。
二、相似多边形的对应角 ，对应边 ；若是两个多边形的对应角 ，对应边的比 ，那么这两个多边形相似。
相似多边形对应边的比称为 。
3、下面各组中的两个图形， 是形状相同的图形， 是形状不同的图形.4、如图，在正六边形ABCDEF 与正六边形F E D C B A ''''''中∵正六边形的每一个内角都等于120°∴∠A=∠A ′， ， ，， ， ；又∵AB=BC=CD=D E=EF=FAB A ''= ； ∴B A AB ''= ＇ ∴正六边形ABCDEF ∽正六边形F E D C B A '''''' 五、如图，四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，已知∠A=120°，∠B=85°∠C 1=75°，AB=10，A 1B 1=16，CD=18，那么∠D 1= ，C 1D 1= ，它们的相似比为 。
六、假设(a –b) : b=3 : 2 ,那么a : b= _________。
7、已知两个相似园形的相似比是3∶4，其中一个园形的半径长为4 cm ，那么另一个园形的半径长为 。
八、假设四边形ABCD 与四边形D C B A ''''的相似比为3∶2，那么四边形D C B A ''''与四边形ABCD 的相似比为 。
九、在比例尺1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm ，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 km 。
二、选择题10、以下说法中正确的选项是（ ）A ． 两个平行四边形必然相似B ．两个菱形必然相似C ． 两个矩形必然相似D ．两个等腰直角三角形一定相似1一、以下说法中正确的选项是（ ）A ．两个直角三角形相似B ．两个等腰三角形相似C ．两个等边三角形相似D ．两个锐角三角形相似1二、以下各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ）A ′A ．1．2．3．4B ．1 .2. 2. 4C ．3. 5. 9. 13D ．1. 2. 2. 313、假设四边形ABCD ∽四边形D C B A ''''，且AB ∶B A ''=1∶2 ，已知BC=8，则C B ''的长是（ ）A ．4B ．16C ．24D ．6414、Rt △A BC 的两条直角边别离为3 cm 、4 cm ，与它相似的Rt △C B A '''的斜边为20 cm ，那么Rt △C B A '''的周长为（ ）A ．48cmB ．28cmC ．12cmD ．10cm三、解答题1五、证明：任意两个正六边形是相似形1六、如下图为一矩形木框，周围为宽度相同的木条，那么那个矩形框的里、外两个矩形是相似形吗？假设木框长为30 cm 宽为20cm ，木条的宽度为2 cm ，试加以验证。
九年级数学下册《第二十七章 成比例线段与相似多边形》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 成比例线段与相似多边形》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如果:12:8a b =，且b 是a ，c 的比例中项，那么:b c 等于（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:3D ．3:42．4和9的比例中项是（ ）A ．6B ．6±C ．169D ．8143．下列各组图形中，一定是相似形的是（ ）A ．两个腰长相等的等腰梯形B ．两个半径不等的半圆C ．两个周长相等的三角形D ．两个面积相等的矩形4．用一个2倍放大镜照一个ABC ，下面说法中错误的是（ ）A ．ABC 放大后，A ∠是原来的2倍B ．ABC 放大后，各边长是原来的2倍C ．ABC 放大后，周长是原来的2倍D ．ABC 放大后，面积是原来的4倍5．下列结论中，错误的有：（ ）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°7．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（ ）A ．甲方案正确，周长和的最大值错误B ．乙方案错误，周长和的最大值正确C ．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确D ．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误8．如图，以点O 为位似中心，把ABC 的各边放大为原来的2倍得到A B C '''，下列说法错误的是（ ）A ．AB //A B ''B ．:1:2AO AA '=C ．ABC A B C '''∽△△D ．:1:4ABC A B C S S '''=9．已知四边形ABCD ∽四边形EFGH ，且AB ＝3，EF ＝4，FG ＝5．则四边形EFGH 与四边形ABCD 的相似比为（ ）A ．3：4B ．3：5C ．4：3D ．5：3二、解答题10．如图，所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.11．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？''''．12．如图，四边形ABCD∽四边形A B C D(1)α＝________，它们的相似比是________；(2)求边x的长度．13．一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式．14．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC；（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？三、填空题15．四边形ABCD和四边形A′B′C′D′，O为位似中心，若OA：OA′＝1：4，那么S四边形ABCD：S四边形A′B′C′D′＝______．16．相似图形：①定义：形状相同的图形叫做______．②性质：两个图形相似是指它们的形状相同，与他们的______无关．全等图形与相似图形的联系与区别：全等图形是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．17．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___．参考答案与解析1．B【分析】由b 是a 、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得=b a c b，又由a ：b =12：8，即可求得答案．【详解】解：∵b 是a 、c 的比例中项∴b 2=acb ac b∴= ∵a :b =12:8 ∴12382a b == :3:2b c ∴=故选：B ．【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．2．B【分析】根据比例中项的定义：如果存在a 、b 、c 三个数，满足::a b b c =，那么b 就交租ac 的比例中项，进行求解即可．【详解】解：设4和9的比例中项为x∴4::9x x =∴6x =±故选B ．【点睛】本题主要考查了求比例中项，熟知比例中项的定义是解题的关键．3．B【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．【详解】解：两个腰长相等的等腰梯形、两个周长相等的三角形、两个面积相等的矩形都属于形状不唯一确定的图形．故A 、C 、D 错误；而圆的形状唯一确定，两个半径不等的半圆相似，故B 正确．故选B ．【点睛】本题考查相似形的识别，解题关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．4．A【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．【详解】解：因为放大前后的三角形相似放大后三角形的内角度数不变面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍故选A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．5．B【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④. 【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.有2个错误，故选B.【点睛】本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.6．A【解析】略7．D【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．【详解】解：∵6：2=3：1∴三个矩形的长宽比为3：1甲方案：如图1所示3a+3b=6∴a+b=2周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；乙方案：如图2所示a+b=2周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；如图3所示矩形①的长为2，则宽为2÷3=23；则矩形②的长为6-23=163，宽为163÷3=169；∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+23)+2(163+169)=1769；∵176916∴周长和的最大值为1769；故选：D．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键．8．B【分析】根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．【详解】以点O 为位似中心，把ABC 的各边放大为原来的2倍得到A B C '''∴ABC ∆和A B C '''∆是位似图形∴ABC ∆~A B C '''∆，故C 正确；∴:1:2AO OA '=，:1:2OB OB =' 又AOB A OB ''∠=∠ABO ∆~ΔA B O ''∴ABO A B O ∠=∠''∴AB //A B ''故A 正确；∵把ABC 的各边放大为原来的2倍得到A B C '''∴:1:2AO OA '=∴:1:3AO AA '=，故B 选线说法错误； ∵2:()1:4ABC A B C OA S S OA ''''==，故D 正确； ∴说法错误的是：B 选项；故选：B ．【点睛】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键．9．C【解析】略10．相似，见解析【分析】要说明两个矩形是否相似，只要说明对应角是否相等，对应边的比是否相等．【详解】解：相似.理由：这两个的角是直角，因而对应角相等一定是正确的小矩形的长是20-5-5=10，宽是12-3-3=6 因为1062012=，即两个矩形的对应边的比相等 因而这两个矩形相似．【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．11．放缩比例是3：1，面积扩大为原来的9倍【分析】根据放缩比例等于对应边的比解答；根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm∴这次复印的放缩比例是6：2=3：1∴这个多边形的面积变为原来的9倍．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似比的求解以及相似多边形面积的比等于相似比的平方．12．(1)81︒ 3∶2；(2)332 x=【分析】（1）根据相似多边形的性质求出∠A′、∠B′，以及相似比，根据四边形的内角和定理求出∠C′；（2）根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A B C D''''∴∠A′＝∠A＝64°，∠B′＝∠B＝75°∴∠C′＝360°−64°−75°−140°＝81°它们的相似比为：93 62 =故答案为：81°3 2（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′∴9 116 x=解得x＝332．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．13．S＝2x 2【分析】用x表示矩形的宽，则矩形的长为2x，然后利用矩形的面积公式即可得到解析式．【详解】解：∵矩形的长是宽的2倍，宽为x∴矩形的长是2x∵矩形的面积＝长×宽∴S＝x•2x＝2x2故答案为：S＝2x2．【点睛】此题考查了列函数关系式，解题关键是：熟记矩形的面积公式．14．（1）见解析；（2）图②中，DE﹣DF＝AC；图③中，DF﹣DE＝AC；（3）17或3【分析】（1）证明四边形AEDF是平行四边形，且△BED和△DFC是等腰三角形即可证得；（2）与（1）的证明方法相同；（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．【详解】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴DE＝AF，∠FDC＝∠B又∵AB＝AC∴∠B＝∠C∴∠FDC＝∠C∴DF＝FC∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC；（2）如图②，当点D在边BC的延长线上时∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴DE＝AF，∠FDC＝∠B又∵ＺAB＝AC∴∠B＝∠ACB=∠DCF∴∠FDC＝∠DCF∴DF＝FC∴DE=AF=AC+CF＝AC＋DF；即DE﹣DF＝AC；当点D在边BC的反向延长线上时，在图③∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴DE＝AF，∠FDC＝∠ABC又∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C∴∠FDC＝∠C∴DF＝FC∴DF=FC=FA+AC=DE+AC；∴DF﹣DE＝AC．（3）当点D在边BC上时如图①所示DE＋DF＝AC∴DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③所示，DF﹣DE＝AC．∴DF＝AC＋DE＝10＋7＝17.∴DF的长为17或3【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题，解决本题的关键是进行分类讨论．15．1:16【解析】略16．相似图形位置【解析】略17．60000000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．【详解】解：1200千米＝120000000厘米2：120000000＝1：60000000．故答案为：60000000．【点睛】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题．第11 页共11 页。
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷含答案
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD 的长为 .14．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ， 若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比=___________．15．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．2.244 1.520．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC 边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是．三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•A C；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．答案（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．【答案】A【解析】选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A错误；选项B，，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B正确；选项C，，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C正确；选项D，，根据比例的基本性质可得a=b，选项D正确．故选A．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形【答案】D3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．【答案】C【解析】△ABC∽△DEF，故：A．∠A＝∠D正确，故本选项错误；B．∠B=∠E正确，故本选项错误；C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确；D．正确，故本选项错误．故选C．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m【答案】A解得y=16000（cm）=160（m）∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m.故选A.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)【答案】D6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以,,所以，所以△DEF∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BE，∵CG∥AE，∴四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，∴，，CF=AG，∴DF=BG，，∴选项A、B正确；∵AD∥BE，∴，∴，∴选项C正确，D不正确；故选D．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．【答案】25【解析】根据AD:DB=2:3可得：AD:AB=2:5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴25DE AD BC AB . 12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.【答案】3.2 【解析】利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x ，得到AE=DE=DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1=10-3x ，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF=32x ，然后利用勾股定理列式求出E 1F=132x ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=85，从而可得AD 的长为2×85=165=3.2． 13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD的长为 .【答案】23．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥A C，AE、CD相交于点O，若S△DO E：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________．【答案】1：4【解析】根据S△DOE：S△COA=1：25可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE和△CDE是登高三角形，则S△BDE：S△CDE=BE:EC=1:4.15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．【答案】1：2【解析】由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 【答案】152【解析】设原矩形的长为x ，宽为y ，则剩下的矩形的长为y ，宽为(x －y)，根据矩形相似可求出比值. 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．【答案】1．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．【答案】13【解析】根据菱形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，求出AD=3BE ，根据相似三角形的判定得出△AFD ∽△EFB ，根据相似得出比例式BF BE DF AD =，代入求出即可求得结果为13． 19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．41.52.24【答案】3.08 【解析】根据三角形相似的性质可得：x24.25.144=+，则x=3.08 20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论： ①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB 是正三角形．其中正确结论的序号是．【答案】①②③⑤在Rt△BPF 中，BF=2，由勾股定理可求得PF=22BF BP +=22343⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=433，∵DE=1，∴PF=433DE ，故②正确；在Rt△BCE 中，EC=1，BC=3，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC， 故③正确；∵AB=2，AD=3，∴S 矩形ABCD =AB×AD=2×3=23，∵BF=2，BP=433，∴S △BPF =12BF×BP=12×2×433=433， ∴4S △BPF =1633，∴S 矩形ABCD =≠4S △BPF ，故④不正确； 由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB 为正三角形，故⑤正确； 综上可知正确的结论为：①②③⑤．故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm ，BD=4cm ，求AC 的长．【答案】4622．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和格点O ，按要求画出格点△A 1B 1C 1和格点△A 2B 2C 2． （1）将△ABC 绕O 点顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1；（2）以A 1为一个顶点，在网格内画格点△A 1B 2C 2，使得△A 1B 1C 1∽△A 1B 2C 2，且相似比为1：2．【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析.【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A1B2C2，即为所求．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【答案】4．【解析】∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BD DEAB AC，∴DE=BD ACAB⋅=8714⨯=4．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3525．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．【答案】8米【解析】如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G,由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH，FG AG EH AH=又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6，所以1.628EH=，EH=6.4，∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED的高为8米26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•AC；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10.28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1秒或5秒.【解析】(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴ADBP=APBC.即AD·BC=AP·BP．(2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC =∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴ADBP=APBC.，∴AD·BC=AP·BP．(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4，∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP，又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1，解得t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．。
人教版九年级下册数学《相似》同步测试及答案
相似同步测试一、基础训练1．如图1所示，E、F分别是平行四边形的边BC、AD的中点，且平行四边形ABFE∽平行四边形ADCB，则ABBC=_______．(1) (2) (3) 2．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，•那么最短边分别为5cm•和_______cm．3．在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图2中的阴影部分），•若留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_________．4．下列说法正确的是（）A．矩形都是相似的 B．有一个角相等的菱形都是相似的C．梯形的中位线把梯形分成两个相似图形 D．任意两个等腰梯形相似5．如图3所示，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论中正确的是（）A．xy=1 B．xy=abC．xy=baD．以上答案都不对6．（扬州市）如图4所示，有两个形状相同的星星图案，则x的值为（）A．15 B．12 C．10 D．87．如图5所示，小明将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，•你能推算出整张报纸的长与宽的比是下面哪一个答案吗（）A 1 B．4：1 C．1：4 D．1(4) (5) (6) 8．下列说法正确的是（）A．分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，• 则△ADE•是△ABC放大后的图形;B．两位似图形的面积之比等于位似比;C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比;D．位似图形的周长之比等于位似比的平方9．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（）A．每对对应点所在的直线相交于同一点;B．两个图形上的对应线段之比等于位似比C．两个图形上对应线段必平行 D．两个图形的面积比等于位似比的平方10．下列说法正确的是（）A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似11．如图6所示，有三个矩形，其中是相似形的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙二、能力提升:12．按如下方法将△ABC的三边缩小来原来的1 2：如图所示，任取一点O，•连AO，•BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法中正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF是周长的比为2：1; ④△ABC与△DEF面积比为4：1A．1个 B．2个Array C．3个 D．4个13．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼和小鱼是位似图形（如图所示），则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点．（）A．（-2a，-2b）B．（-a，-2b）C．（-2b，-2a）D．（-2a，-b）14．如图所示，点E为矩形ABCD的边AB的黄金分割点（AE>EB），且AEFD为正方形．问：矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？15．（淮安市）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（•即新图与原图的位似比为2），画出图形；（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．三、应用与探究:16．印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32分米2，•上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长是x分米，•四周空白处的面积为5分米．（1）求S与x的关系式．（2）当要求四周空白处的面积为18分米2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在（2）的条件下，内外两个图形是位似图形吗？参考答案1．1 2．2 3．27cm2 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D 13．A 14．相似 15．略 16．略。
人教版初三数学九年级下册 第27章 相似 27.3 位似 同步训练题 含答案
第27章 相似 27.3 位似 同步训练题1. 位似图形的位似中心可以在( )A ．原图形外B ．原图形内C ．原图形上D ．以上三种可能都有2. 如图所示3个图形中是位似图形的有( )A ．1个B ．2个 C.3个 D ．0个3. 已知：△ABC ∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 与△A′B′C′不存在位似关系的是( )4. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，以点A 为位似中心把△ABC 的各边放大2倍后得到△AB′C′，则∠B 的对应角∠B′的度数为( )A ．36°B ．54° C.72° D ．144°5．如图是△ABC 的位似图形的几种画法，其中正确的有( )A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个6. 下列图形中不是位似图形的是( )7．如图，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D 是以O 为位似中心的位似图形，若OA ∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D 的面积比是( )A ．4∶9B ．2∶5 C.2∶3 D ．2∶ 38. 按如下方法，将△ABC 的三边缩小到原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是( ) ①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1A ．1B ．2 C.3 D ．49. 如图，A′B′∥AB ，B′C′∥BC ，且OA′∶A′A＝4∶3，则△ABC 与 是位似图形，相似比为 ；△OAB 与 是位似图形，相似比为 .10. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE OA ＝35，则FG BC＝ .11. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA ＝10cm ，OA ′＝20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B ′C′D′E′的周长的比值是______．12. 如图，原点O 是△ABC 和△A ′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△A′B′C′的面积是________．13．如图，以O 为位似中心，将边长为256的正方形OABC 依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA 1B 1C 1，其边长OA 1缩小为OA 的12，经第二次变化后得正方形OA 2B 2C 2，其边长OA 2缩小为OA 1的12，经第三次变化后得正方形OA 3B 3C 3，其边长OA 3缩小为OA 2的12，…，依此规律，经第n 次变化后，所得正方形OA n B n C n 的边长为正方形OABC 边长的倒数，则n ＝________.14. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a ，b)对应小鱼上的点的坐标是_____________________．15. 如图，△DEO 与△ABO 是位似图形，△OEF 与△OBC 是位似图形，试说明：OD·OC＝OF·OA.16. 如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)17. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BC 于E 点，连接DE 交OC 于F 点，作FG ⊥BC 于G 点，则△ABC 与△FGC 是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．参考答案;1---8 DBDCD CAC9. △A′B′C′ 7∶4△OA′B′ 7∶410. 3511. 1212. 613. 814. (－0.5a ，－0.5b)15. 证明：∵△DEO 与△ABO 是位似图形，∴△DEO ∽△ABO ，∴OD OA ＝OE OB ＝DE AB，同理：OF OC ＝OE OB ，∴OD OA ＝OF OC，∴OD·OC＝OF·OA. 16. 解：(1)如图(2)四边形AA′C′C 的周长为4＋6 2.17. 解：△ABC 与△FGC 是位似图形，位似中心是点C.因为在矩形ABCD 中，AD∥BC ，所以∠FAD ＝∠FCE ，∠FDA ＝∠FEC ，所以△AFD ∽△CFE ，所以CF AF ＝CE AD.因为AD ＝BC ，所以CF AF ＝CE CB.因为∠ABC ＝90°，OE ⊥BC ，所以OE ∥AB.因为OA ＝OC ，所以CE ＝12BC ，所以CF AF ＝12，所以CF AC ＝13.即△ABC 与△FGC 的相似比为3∶1.。
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 专题练习(含答案)
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 专题练习（含答案）一、单选题1.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）A.∠E =2∠KB.BC=2HIC.ABCDEFF GHIJKL 4C C =六边形六边形D.GHIJKL ABCDEFF六边形六边形S S =2.如图，点P 是□ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有（ ）对A.0B.1C.2D.33.下列各选项中是相似多边形的是（ ） A.所有的矩形B.所有的菱形C.所有的等腰梯形D.所有的正方形4.如图，夏季的一天，身高1.6米的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA 由点B 到点A 走去，当走到点C 时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，已知BC=3.2米，CA=0.8米，于是她算出树的高度为（） A.8米 B.6.4米 C.4.8米 D.10米5.点C 为线段AB 的黄金分割点，AC 为较长线段，若AC=1，则AB 等于（ ）LG HI J K C A B D E F P A B CD E A BC6.已知23a b=(a ≠0，b ≠0)，下列变形错误的是( )A ．23a b =B ．2a ＝3bC ．32b a = D ．3a ＝2b7.如图，在长为8厘米，宽为4厘米的矩形中，截取一个矩形，使得留下的矩形（图中的阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 28.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝________里．9.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE:EA=3:4，EF=3，则CD 的长为（ ）A.4B.7C.3D.1210.如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=； ④2AC AD AB =⋅其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11.已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以点A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 （写出一个即可）B C DE F B12.如图，在△ABC 中，E ，F ，D 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，且满足21==FC AF EB AE ，则△EFD 和△ABC 的面积比为 。
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第27章相似专项训练专训1 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．(第1题)三角形的内接矩形问题2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE EF＝1 2.(第2题)三角形的内接正方形问题(方程思想)3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N 分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？(第3题)4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：DPBQ＝PEQC.(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN2＝DM·EN.(第4题)专训2 图形的相似中五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．成比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是( ) A ．2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB ．2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD ．2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c＝________. 3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________(5≈2.236，结果精确到0.01)．(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF相等的是( ) A .AB EF B .CD EF C .BO OE D .BC BE(第4题)(第5题) 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6．如图，在△ABC 中，AM MD ＝4，BD DC ＝23，求AE EC的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE ED＝31，CE 的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF S四边形ABCE为( )A．3 4 B．4 3 C．79 D．97(第7题)(第9题)8．若两个相似多边形的面积之比为14，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．9．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第10题)11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第11题)相似三角形的应用12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立(BN)时的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．(第12题)13．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第13题)位似(第14题)14．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形AB′C′D′，则点C′的坐标为________．15．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC 的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1 2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．(第15题)答案专训11．证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO，CEC′E′＝OEOE′.又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO，DED′E′＝OEOE′.∴∠CED＝∠C′E′D′，CEC′E′＝DED′E′.∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．(第2题)2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC 上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，且DE EF ＝1 2.3．解：设符合要求的正方形PQMN 的边PN 与△ABC 的高AD 相交于点E. 设正方形PQMN 的边长为x mm ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC.∵△APN 与△ABC 的对应点都经过点A ，∴△APN 与△ABC 是以点A 为位似中心的位似图形．∴AE AD ＝PN BC .∴80－x 80＝x 120.解得x ＝48. 即这个正方形零件的边长是48 mm .点拨：利用位似图形的性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，构造方程，利用方程思想解决问题．4．(1)证明：在△ABQ 和△ADP 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ ＝AP AQ. 同理△ACQ ∽△AEP ，∴PE QC ＝AP AQ .∴DP BQ ＝PE QC. (2)①解：MN ＝29. ②证明：∵∠B ＋∠C ＝90°，∠CEF ＋∠C ＝90°.∴∠B ＝∠CEF.又∵∠BGD ＝∠EFC ＝90°，∴△BGD ∽△EFC.∴DG CF ＝BG EF. ∴DG ·EF ＝CF ·BG.又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF ·BG.由(1)得DM BG ＝MN GF ＝EN CF .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫MN GF 2＝ DM BG ·EN CF ，即MN 2FG 2＝DM ·EN BG ·CF ，∴MN 2＝DM ·EN.专训21．A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm(第6题)6．解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图．易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵BD DC ＝23，∴BD BC ＝25. ∴DN CE ＝BD BC ＝25. ∵AM MD ＝4，∴AE DN ＝AM MD＝4. ∴AE EC ＝DN EC ·AE DN ＝25×4＝85. 7．D 8.6，129．4或247点拨：∵△ABC 沿EF 折叠，B 和B ′重合，∴BF ＝B ′F.设BF ＝x ，则CF ＝8－x ，当△B ′FC ∽△ABC 时，B ′F AB ＝CF BC .∵AB ＝6，BC ＝8，∴x 6＝8－x 8，解得：x ＝247，即BF ＝247；当△FB ′C ∽△ABC 时，FB ′AB ＝FC AC ，则x 6＝8－x 6，解得：x ＝4.故BF ＝4或247. 10．(1)证明：∵E 是Rt △ACD 的斜边的中点，∴DE ＝EA.∴∠A ＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD.又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC.∴FB FD ＝FD FC.∴FD 2＝FB ·FC.(2)解：∵FB ＝5，BC ＝4，∴FC ＝9.∵FD 2＝FB ·FC ，∴FD 2＝45.∴FD ＝3 5.11．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°.又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF.(2)解：易知∠CBD ＝45°.∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝12DF. ∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝22，∴CF ＝22－2.在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(22－2)2＝16－8 2.∴DM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DF 22＝4－2 2. ∵∠CDF ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴DM MB ＝ME DM，即DM 2＝ME ·MB.∴ME ·MB ＝4－2 2. 12．解：设CD ＝x m ．∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝x m ．易知△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m .13．解：如图，过点C 作CM ∥AB ，分别交EF ，AD 于点N ，M ，作CP ⊥AD ，分别交EF ，AD 于点Q ，P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ＝8 cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240，解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm )．即横梁EF 的长应为44 cm .(第13题)(第15题)14．(2，1)或(0，－1)15．解：(1)△A′B′C′如图所示．(2)如图，四边形AA′C′C的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC＝2＋22＋2＋42＝4＋6 2.。
人教版九年级下 2019年初三下相似练习-位似(pdf版,含答案)
∴则点 A′的坐标为：（﹣1， ），
故答案为：（1， ），（﹣1， ）． 三．解答题（共 5 小题） 12．如图，在方格网中已知格点△ABC 和点 O．
（1）在图中画出△A1B1C1 使其和△ABC 关于点 O 成中心对称； （2）在图中以点 O 为位似中心，在△ABC 同侧画出放大的位似△A2B2C2，相似比为 2．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
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13．如图，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 与△A′B′C′是关于点 O 为位似中心的位似图 形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点 O； （2）求出△ABC 与△A′B′C′的位似比； （3）以点 O 为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC 的位似比等于 1.5．
A．点 P
B．点 O
C．点 M
D．点 N
4．如图，正五边形 FGHMN 是由正五边形 ABCDE 经过位似变换得到的，若 AB：FG＝2：3，则下列结论
正确的是（ ）
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
5．如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形
．
10．如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正
方形的位似中心的坐标是
，
．
11．在平面直角坐标系中，△ABC 顶点 A 的坐标为（2，3），若以原点 O 为位似中心，画△ABC 的位似图
形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比等于 2：1，则点 A′的坐标
九年级数学下册第27章相似测试题(含答案新人教版)
九年级数学下册第27章相似测试题（含答案新人教版）实用精品文献资料分享知识点3相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为(a)a.23b.32c.49d.947．(2021?重庆a卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为(c)a．3cmb．4cmc．4.5cmd．5cm8．下列四组图形中，一定相似的是(d)a．正方形与矩形b．正方形与菱形c．菱形与菱形d．正五边形与正五边形9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝325，α＝80°．10．如图，四边形abcd的对角线相交于点o，a′，b′，c′，d′分别是oa，ob，oc，od的中点，判断四边形abcd与四边形a′b′c′d′是否相似，并说明理由．解：四边形abcd与四边形a′b′c′d′相似．理由：∵a′，b′分别是oa，ob的中点，∴a′b′∥ab，a′b′＝12ab.∴∠oa′b′＝∠oab，a′b′ab＝12.同理，∠oa′d′＝∠oad，a′d′ad＝12.∴∠b′a′d′＝∠bad，a′b′ab＝a′d′ad.同理，∠a′d′c′＝∠adc，∠d′c′b′＝∠dc b，∠c′b′a′＝∠cba，a′b′ab＝a′d′ad＝d′c′dc＝b′c′bc，∴四边形abcd与四边形a′b′c′d′相似．易错点没分后情况探讨引致漏解11．未知三条线段的长分别为1实用精品文献资料分享cm、2cm、2cm，如果另外一条线段与它们就是变成比例线段，那么另外一条线段的短为2__cm，22__cm或22__cm.02中档题12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(c)a．150°b．105°c．15°d．无法确定大小13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(b)a．2b．3c．－3d．3或－314．如图，正五边形fghmn与正五边形abcde相似，若ab∶fg＝2∶3，则下列结论正确的是(b)a．2de＝3mnb．3de＝2mnc．3∠a＝2∠fd．2∠a＝3∠f15．(教材p28习题t5变式)如图，de∥bc，de＝3，bc＝9，ad＝1.5，ab＝4.5，ae＝1.8，ac＝5.4.(1)求adab，aeac，debc 的值；(2)求证：△ade与△abc相似.解：(1)adab＝1.54.5＝13，aeac＝1.85.4＝13，debc＝39＝13.(2)证明：∵de∥bc,∴∠d＝∠b，∠e＝∠c.又∵∠dae＝∠bac，adab＝aeac＝debc，∴△ade与△abc相似．16．例如图，g就是正方形abcd对角线ac上一点，作ge⊥ad，gf⊥ab，像距分别为点e，f.澄清：四边形afge与四边形abcd相近．证明：∵四边形abcd就是正方形，ac就是对角线，∴∠dac＝∠bac＝45°.又∵ge⊥ad，gf⊥ab，∴eg＝fg，且ae＝eg，af＝fg.∴ae＝eg＝fg＝af.又∵∠eaf＝90°，∴四边形afge为正方形．∴afab＝fgbc＝gecd＝aead，且∠eaf＝∠dab，∠afg＝∠abc，∠fge＝∠bcd，∠aeg＝∠adc.∴四边形afge与四边形abcd相近．03综合题17．(教材p28习题t8变式)如图，把矩形abcd对折，折痕为mn，矩形dmnc与矩形abcd相似，已知ab＝4.(1)求ad的长；(2)求矩形dmnc与矩形abcd的相似比．解：(1)若设ad＝x(x＞0)，则dm＝x2.∵矩形dmnc与矩形abcd相似，∴adab＝dcdm，即x4＝4x2.解得x＝42(舍负)．∴ad的长为42.(2)矩形dmnc与矩形abcd的相似比为dcad＝442＝22.27．2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例01基础题知识点1相似三角形的有关概念1．如图所示，△ade∽△acb，∠aed＝∠b，那么下列比例式成立的是(a)a.adac＝aeab＝debcb.adab＝aeacc.adae＝acab＝debcd.aeec＝debc2．已知△abc和△a′b′c′相新颖精品文献资料互动似，且△abc与△a′b′c′的相似比为r1，△a′b′c′与△abc的相似比为r2，则r1与r2的关系是(d)a．r1＝r2b．r1r2＝－1c．r1＋r2＝0d．r1r2＝1知识点2平行线分后线段成比例定理及推断3．例如图，ab∥cd∥ef，则以下结论不恰当的就是(c)a.acce＝bddfb.acae＝bdbfc.bdce＝acdfd.aece＝bfdf4．(教材p31练t2变式)例如图，在△abc中，de∥bc.若addb＝23，则aeec＝(c)a.13b.25c.23d.355．(2021?临沂)例如图，未知ab∥cd，ad与bc平行于点o.若booc＝23，ad＝10，则ao＝4．6．(2021?嘉兴)例如图，直线l1∥l2∥l3，直线ac交l1，l2，l3于点a，b，c；直线df交l1，l2，l3于点d，e，f.未知abac＝13，则efde＝2．7．例如图，eg∥bc，gf∥cd，ae＝3，eb＝2，af＝6，谋ad的值．求解：∵eg∥bc，∴aeeb＝aggc.∵gf∥cd，∴aggc＝affd.∴aeeb＝affd，即32＝6fd.∴fd＝4.∴ad＝af＋fd＝10.知识点3相近三角形认定的trained定理8．例如图，在△abc中，点d，e分别在边ab，ac上，de∥bc.若bd＝2ad，则(b)a.adab＝12b.aeec＝12c.adec＝12d.debc＝129．(2021?自贡市)例如图，在△abc中，mn∥bc分别交ab，ac于点m，n.若am＝1，mb＝2，bc＝3，则mn的短为1.10．例如图，在△abc中，点d在bc上，ef∥bc，分别交ab，ac，ad于点e，f，g，图中共存有几对相近三角形？分别就是哪几对？求解：共计3对相近三角形，分别就是：△aeg∽△abd，△agf∽△adc，△aef∽△abc.易错点图形的不唯一导致漏解11．在△abc中，ab＝6，ac＝9，点p是直线ab上一点，且ap＝2，过点p作bc边的平行线，交直线ac于点m，则mc的长为6或12．02中档题12．例如图，在△abc中，ab＝ac＝12，ad⊥bc于点d，点e在ad上，且de＝2ae，相连接be并缩短交ac于点f，则线段af短为(c)a．4b．3c．2.4d．213．例如图，练习本中的横格线都平行，且相连两条斜格线间的距离都成正比，同一条直线上的三个点a，b，c都在横格线上．若线段ab＝4cm，则线段bc＝12cm.14．小明正在登山一个如图所示的攀登架，de和bc就是两根互相平行的固定架，de＝10米，bc＝18米，小明从底部固定点b已经开始登山，攀行8米，实用精品文献资料分享碰上第二个固定点d，小明再攀行多少米可以抵达这个攀登架的顶部a?求解：∵de∥bc，∴△abc∽△ade.∴adab＝debc，即adad＋8＝1018.∴ad＝10.请问：小明再攀行10米可以抵达这个攀登架的顶部a.15．例如图，未知：ab＝ad，ac＝ae，fg∥de.澄清：△abc∽△afg.证明：∵ab＝ad，ac＝ae，∠bac＝∠dae，∴△abc≌△ade.∴bc＝de，∠b＝∠ade，∠c＝∠aed.∵fg∥de，∴△afg∽△ade.∴afad＝agae＝fgde.∴afab＝agac＝fgbc.又∵∠c＝∠aed＝∠g，∠b＝∠ade＝∠f，∠bac＝∠fag，∴△abc∽△afg.03综合题16．如图，ad∥eg∥bc，eg分别交ab，db，ac于点e，f，g，已知ad＝6，bc＝10，ae＝3，ab＝5，求eg，fg的长．解：∵在△abc中，eg∥bc，∴△aeg∽△abc.∴egbc＝aeab，即eg10＝35.∴eg＝6.∵在△bad中，ef∥ad，∴△bef∽△bad.∴efad＝beba，即ef6＝5－35.∴ef＝125.∴fg＝eg－ef＝185.第2课时相似三角形的判定定理1，201基础题知识点1三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(a)a．一定相似b．一定不相似c．不一定相似d．无法判断2．(教材p34练习t3变式)已知△abc的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△def的一边长为4cm，当△def的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(c)a．2cm，3cmb．4cm，5cmc．5cm，6cmd．6cm，7cm3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(b)4．如图，在△abc中，ab＝25，bc＝40，ac＝20.在△ade中，ae＝12，ad＝15，de＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵acae＝2021＝53，abad＝2515＝53，bcde＝4024＝53，∴acae＝abad＝bcde.∴△abc∽△ade.知识点2两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近5．例如图，未知△abc，则以下4个三角形中，与△abc相近的就是(c)6．例如图，在△abc与△ade中，∠bac＝∠d，必须并使△abc与△ade相近，还须要满足用户以下条件中的(c)a.acad＝abaeb.acad＝bcdec.acad＝abded.acad＝bcae7．在△abc和△a′b′c′中，若∠b＝∠b′，ab＝6，实用精品文献资料分享bc＝8，b′c′＝4，则当a′b′＝3时，△abc∽△a′b′c′.8．例如图，未知ab?ad＝ac?ae，∠b＝30°，则∠e＝30°．9．例如图，未知在正方形abcd中，p就是bc上的点，且bp＝3pc，q就是cd的中点，澄清：△adq∽△qcp.证明：设立正方形的边长为4a，则ad＝cd＝bc＝4a.∵q就是cd的中点，bp＝3pc，∴dq＝cq＝2a，pc＝a.∴dqpc＝adcq＝21.又∵∠d＝∠c＝90°，∴△adq∽△qcp.易错点对应边没有确定时容易漏解10.(2021?随州)在△abc中，ab＝6，ac＝5，点d在边ab上，且ad＝2，点e在边ac上，当ae＝125或53时，以a，d，e为顶点的三角形与△abc相似．02中档题11．如图，在正方形网格上，若使△abc∽△pbd，则点p应在________处(c)a．p1b．p2c．p3d．p412．如图，在等边△abc中，d，e分别在ac，ab上，且ad∶ac＝1∶3，ae＝be，则有(b)a．△aed∽△bedb．△aed∽△cbdc．△aed∽△abdd．△bad∽△bcd13．如图，在△abc中，点d，e分别在边ab，ac上，∠aed＝∠b，射线ag分别交线段de，bc于点f，g，且adac＝dfcg.(1)求证：△adf∽△acg；(2)若adac＝12，求affg的值．解：(1)证明：∵∠aed＝∠b，∠dae＝∠bac，∴∠adf＝∠c.又∵adac＝dfcg，∴△adf∽△acg.(2)∵△adf∽△acg.∴adac＝afag＝12.∴affg＝1.14．例如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝6cm，bc＝8cm，动点p从点b启程，在ba边上以每秒5cm的速度向点a匀速运动，同时动点q从点c启程，在cb边上以每秒4cm的速度向点b匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，相连接pq.若以b，p，q为顶点的三角形与△abc相近，谋t的值．求解：由题意，得bp＝5t，qc＝4t，ab＝10cm，bc＝8cm.①∵∠pbq＝∠abc，∴若△bpq∽△bac，则还须要bpba＝bqbc，即5t10＝8－4t8.Champsaurt＝1.②∵∠pbq＝∠cba，∴若△bpq∽△bca，则还须要bpbc＝bqba，即5t8＝8－4t10.Champsaurt＝3241.综上所述，当t＝1或3241时，以b，p，q为顶点的三角形与△ab c相近．03综合题15．如图，在△abc中，ab＝ac＝1，bc＝5－12，在ac边上截取ad＝bc，连接bd.(1)通过计算，判断ad2与ac?cd的新颖精品文献资料互动大小关系；(2)求∠abd的度数．解：(1)∵ad＝bc＝5－12，∴ad2＝(5－12)2＝3－52.∵ac＝1，∴cd＝1－5－12＝3－52.∴ad2＝ac?cd.(2)∵ad2＝ac?cd，∴bc2＝ac?cd，即bccd＝acbc.又∵∠c＝∠c，∴△abc∽△bdc.∴abbd＝acbc.又∵ab＝ac，∴bd＝bc＝ad.∴∠a＝∠abd，∠abc＝。
初中数学(新人教版)九年级下册同步测试：图形的相似(同步测试)【含答案及解析】
第二十七章 相似27.1 图形的相似知能演练提升能力提升1.已知△ABC 与△A'B'C'相似,且△ABC 与△A'B'C'的相似比为R 1,△A'B'C'与△ABC 的相似比为R 2,则R 1与R 2的关系是( )A.R 1=R 2B.R 1R 2=-1C.R 1+R 2=0D.R 1R 2=12.如图,内外两个矩形相似,且对应边平行,则下列结论正确的是( )A.x y =1B.x y =a bC.x y =b aD.以上选项都不对 3.如图,Rt △ABC 与Rt △ADE 相似,且∠B=60°,CD=2,DE=1,则BC 的长为( )A.2B.4√33C.2√3D.4√34.如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,△ABC 是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P ,A ,B 为顶点的三角形与△ABC 相似(全等除外),则格点P 的坐标是 .5.如图,在长为15 cm,宽为6 cm的矩形ABCD中,截去一个矩形ABFE,使得留下的矩形EFCD与截去的矩形ABFE相似(全等除外),则所截取的线段AE的长度可以是.6.已知两个相似的四边形如图所示,根据已知数据,求x,y,α.7.顺次连接正方形各边的中点得到的图形与原来的正方形是否相似?若相似,它们的相似比是多少?8.如图,OA∶OD=OB∶OC=1∶2,OB=3.(1)求BC的长;(2)若AB∶CD=1∶2,AB∥CD,试问△AOB与△DOC相似吗?为什么?9.有16 K和32 K两种纸,把它们纵向放置时,它们的宽度和高度的比可近似地看作相同,其中32 K纸的宽度为130 mm,高度为184 mm;16 K纸的宽度为184 mm,求16 K纸的高度约为多少毫米?(精确到1 mm)创新应用★10.(2020·甘肃定西中考)生活中到处可见黄金分割的美.如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2米,则a约为()A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米能力提升1.D2.C3.B∵相似三角形的对应角相等,∴∠ADE=60°.∴AD=2DE=2,∴AC=4.在Rt△ADE中,AE=√AD2-DE2=√22-12=√3.又BCDE =ACAE,即BC1=√3,∴BC=√3=4√33.4.(1,4)或(3,4)5.12 cm或3 cm设AE=x cm,则DE=(15-x)cm.∵AB=6 cm,AD=15 cm,矩形EFCD与矩形ABFE相似,∴AEEF =EFDE,即x6=615-x,解得x1=12,x2=3.故所截取的线段AE的长度是12 cm或3 cm.6.解因为四边形的内角和等于360°,所以∠C=360°-30°-120°-130°=80°,所以α=80°.因为AB和GH是对应边,所以两个相似四边形的相似比是5∶8,BC的对应边为HE.所以BCHE =58,即4x=58,解得x=6.4.因为AD和GF是对应边,所以6y =58,解得y=9.6.7.解如图,E,F,G,H四个点分别是大正方形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是正方形.故得到的图形与原来的正方形相似.设正方形ABCD的边长为2,在Rt△AEH中,得HE=√AE2+AH2=√2,故相似比为√22.8.解(1)∵OB∶OC=1∶2,OB=3,∴OC=6.∴BC=OB+OC=9.(2)相似.理由:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C.∵OA∶OD=OB∶OC=AB∶CD=1∶2,且∠AOB=∠COD,∴△AOB与△DOC相似.9.解设16 K纸的高度为x mm,则有184∶x=130∶184,解得x≈260,即16 K纸的高度约为260 mm.创新应用10.A。
人教版九年级数学下册《相似》单元测试题(含答案)
一、选择题：1、下列各组线段中，成比例的是（）A. 2cm,3cm,4cm,5cmB.2cm,4cm,6cm,8cmC.3cm,6cm,8cm,12cmD.1cm,3cm,5cm,15cm2、如图，在平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD相交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A. 3对B. 4对C. 5对D.6对3、（四川内江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）【答案】 B4、在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似（图中阴影部分)，则留下的矩形的面积是（）A. 2cm2B. 4cm2C.8cm2D. 16cm25、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）① ② ③ ④A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④6、要作一个多边形与已知多边形位似，且使面积扩大到原来的16倍，那么边长应扩大到原来的（）倍。
A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】由题意得两个多边形的面积比为16∶1，所以相似比为4∶1，即边长的比为4∶1，所以边长要扩大到原来的4倍。
【答案】C7、(湖北荆门)如图，AB 是半圆O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连结AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）A ． ∠ACD=∠DABB ． AD=DEC ． AD 2=BD•CD D ． AD•AB=AC•BD8、如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN ，CMBM AN AM =，下列结论正确的是（ ） A ．∆ABM ∽∆ACB B ．∆ANC ∽∆AMB C ．∆ANC ∽∆ACM D ．∆CMN ∽∆BCA9、如图， P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】如图所示，过点P分别作三边的垂线截得三角形都与原三角形相似，一共可作3条。
2020—2021年人教版九年级数学下册相似形同步练习题1及答案(基础提分试卷).docx
（时间45分钟 满分100分）班级 学号 姓名 得分一、选择题（每小题3分，共24分）1．两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm ，则这两个多边形的相似比可能是（ ）A ．43B ．65C ．21 D ．23 2．有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一地块的三角形的相似比是（ ）A ．5：1B ．25：1C ．1：25D ．1：53．在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm 变成了4cm ，那么这个多边形的另一条边由原来4cm 变成了（ ）A ．4cmB ．8cmC ．16cmD ．32cm4．下列说法：①相似多边形一定全等；②不相似多边形一定不全等；③全等多边形不一定相似；④全等多边形一定相似.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④5．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=30º， ∠C=120º，则∠A= （ ）A ．60ºB ．45ºC ． 30ºD ． 20º6．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角 （ ）A ．都扩大为原来的5倍B ．都扩大为原来的10倍C ．都扩大为原来的25倍D ．都与原来相等7．如图，点E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点G ，AC 是□ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对8．已知△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为4，5，6，△DEF 的一边长为2，则△DEF 的周长为（ ）．A ．7.5B ．6C ．5或6D ．5或6或7.5 第5题第7题第18题 二、填空题（每小题3分，共30分）9．已知A 、B 两地相距300km ，在地图上量得两地相距15cm ，则图上距离与实际距离之比为______.10．用100倍的放大镜看一个正方形，则所看到正方形与原正方形的形状关系是____.11．已知正方形ABCD 与正方形DEFG 的边长分别是23cm 和4cm ，则正方形ABCD 与正方形DEFG 的相似比是___.12．已知矩形ABCD ∽矩形EFGH,若AB=5cm,BC=6cm,EF=10cm,则FG=_____.13．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 ．14．如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有 对。
人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm2．如图，在平行四边形ABCD 中，以对角线AC 为直径的圆O 分别交BC ，CD 于点M ，N ，若13AB =，14BC =，9CM =，则线段MN 的长为（ ）A ．18013B ．10C ．12613D ．13．下列各组线段能成比例的是（ ）A ．1.5cm ，2.5cm ， 3.5cm ，4.5cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ， 6cm ， 4cm ， 8cmD ．2cm ，10cm ，5cm ，15cm 4．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（ ）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 5．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠DBC ＝30°，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若CD ＝2，则BF 的长为（ ）A 23B 23C 63D 436．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m ==，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD的值为（ ）A ．1m n -B ．1m m n +-C ．1n m n +-D ．1n m - 7．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．45-4B ．12-45C ．12+45D ．45+48．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ） A ．5(5-1) B ．5(5+1) C ．10(5-2) -D ．5(3-5) 9．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1610．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）A ．AD AC AC AB = B ．AD CD CD BD =C ．DE CD CD DG = D ．EG BD EF BG = 11．如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（ ）A ．2.5B ．5C ．22D ．312．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（ ）A ．ADC ACB ∠=∠B ．ABC ACD ∠=∠ C ．AD AC AC AB= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅ 二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．14．如图，BD 、CE 是锐角ABC 的两条高线，则图中与BOE △相似三角形有______个．15．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b 的值为_______． 16．如图，在△ABO 的顶点A 在函数k y x=（x ＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为________．17．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．18．若()0a b a c b c k k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 19．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．20．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数122y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）过点P 作//PM y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标．（3）当2PBA OAB ∠=∠时，求点P 的坐标．22．如图，王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行12 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知王华同学的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？23．下图是由边长为1的小正方形组成的5×4网格，A 、B 、C 、D 、E 、F 、P 、Q 均为网格格点，请用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法. （1）在线段AB 上找到一点M ，使△AQM ≌△BPM.（2）在线段CD 上找点N ，使△ECN ∽△FDN.24．如图，ABC 内接于⊙O ，AB AC =，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为点E ，交O 于点F ，连接AD ，并使AD BC ∥．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若5AC =，2BE =，求AD 的长．25．△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．（1）以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使其位似比为1：2．且△A 1B 1C 1位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C 2．26．黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；（2）请证明你找到的点是黄金分割点．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长约为3.7cm或2.3cm，故此选项错误；故选择：C．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．2．A解析：A【分析】连结AM，AN，根据圆周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长；易证△AMN∽△ACD，根据相似三角形的性质即可求出MN的长．【详解】解：连结AM，AN，∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，∵AB=13，BM=5，∴22，AB BM∵CM=9，∴AC=15，∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，∴∠MNA=∠CAD，∵∠AMN=∠ACN，∴∠AMN=∠ACN，∵△NMA∽△ACD，∴AM：MN=CD：AC，∴12：MN=13：15，∴MN=180．13故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．3．C解析：C【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【详解】解：A、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本选项错误；B、1×4≠2×3，故本选项错误；C、3×8＝4×6，故本选项正确；D≠，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．4．D解析：D【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．【详解】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB；D、无法判断三角形相似．故选：D．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．C解析：C【分析】连接DE ，根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理求出BD ，再求出AB ，根据DE ∥AB ，得到B DE AB DF F =，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，CD ＝2， ∴BC ＝2CD ＝4，由勾股定理得，BD 22BC CD -2242-23∵E 是BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝BE ＝2， ∴∠BDE ＝∠CBD ＝30°，∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDE ，∴DE ∥AB ，∴BDE AB DF F =， 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD 3 ∴AB 22BD AD -3， ∴23DF FB =， 2332BF =-， 解得，BF 63 故选：C ．本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．6．C解析：C【分析】过D作DG∥AC交BE于G，易证△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D作DG∥AC交BE于G，则△BDG∽△BCE，∴DG BDCE BC=，∵1BD BCn=，∴1DG BDCE BC n==，∵1AE ACm=，∴1mCE ACm-=,∴DG=11mCE ACn mn-⋅=∵DG∥AC，∴△DGF∽△AEF，∴111mACDF DG mmnAF AE nACm--===，∴1AD m nAF n+-=，即1AF nAD m n=+-，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．7．D解析：D【分析】根据黄金分割的定义得到AP=512-AB ，然后把AP=8代入后可求出AB 的长． 【详解】∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），∴AP=512-AB ， ∴AB=()845145451⨯=+=+-（cm ）， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC=51-AB ．并且线段AB 的黄金分割点有两个． 8．C解析：C【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ 、PB 的长度，再根据PQ =AQ +PB －AB 即可求出PQ 的长度．【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知51PB AQ AB AB -== ∴AQ =PB ，AB =10，∴AQ =PB =51105552⨯=， ∴PQ =AQ +PB －AB =555555101052010(52)+-==．故选：C ．【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．9．D解析：D【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，45BAC EDA ∴∠=∠=︒，由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，B AC EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF DEA ∴~，EF AE AE DE ∴=，即44EF DE=， 16EF DE ∴⋅=，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．D解析：D【分析】通过证明△ACD ∽△ABC ，可得AD AC AC AB =，通过证明△ACD ∽△CBD ，可得AD CD CD BD =，通过△ADE ∽△GDB ，△ACD ∽△CBD ，可得DE CD CD DG=，通过证明△GEF ∽△GBD ，可得=EG BG EF BD，即可求解． 【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠BCD +∠ABC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ABC ，又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB=， 故A 选项不合题意；∵∠ACD ＝∠ABC ，∠ADC ＝∠BDC ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD CD BD= 故B 选项不合题意；∵AF ⊥BG ，∴∠AFB ＝90°，∴∠FAB +∠GBA ＝90°，∵∠GDB ＝90°，∴∠G +∠GBA ＝90°，∴∠G ＝∠FAB ，又∵∠ADE ＝∠GDB ＝90°，∴△ADE ∽△GDB ， ∴=AD DE GD BD， ∴AD •BD ＝DE •DG ，∵△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD， ∴CD 2＝AD •BD ，∴CD 2＝DE •DG ， ∴DE CD CD DG=， 故C 选项不合题意；∵∠G ＝∠G ，∠EFG ＝∠GDB ＝90°，∴△GEF ∽△GBD ， ∴=EG BG EF BD故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．11．B解析：B如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得=OA OF BD BH，即可解决问题．【详解】解：如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=10，面积为80，∴AB•DH=80，∴DH=8，在Rt △ADH 中，226AH AD DH =-=， ∴HB=AB-AH=4，在Rt △BDH 中，2245BD DH BH +=， 设⊙O 与AB 相切于F ，与AD 相切于J ，连接OF ，OJ ，则OF ⊥AB ，OJ ⊥AD ，OF=OJ ， ∴OA 平分∠DAB ，∵AD=AB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴=OA OF BD BH ， ∴445OF ， ∴5故选：B ．【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应【详解】∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB 时，△ABC ∽△ACD ．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．二、填空题13．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD 中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定解析：3【分析】证明DEF BCF ，可得31BF CB DF ED ==，结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】在平行四边形ABCD 中，AD BC =，//AD BC ， ∵21AE ED =，AE ED AD +=，∴13ED AD = ∵//AD BC ，13DF ED ED BF BC AD ∴===． ∴3BCF DGF S BF S DF==． 故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．14．3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°可证同理可证从而得出答案；【详解】是的高又∵综上与相似的三角形有3个故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定解题的关键是找出两个对应角相等即可；解析：3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°，BOE COD ∠=∠可证BOE COD ∽△△，同理可证BOE CAE ∽△△，BOE BAD ∽△△，从而得出答案；【详解】 BD ，CE 是ABC 的高，90BEO CEA BDC BDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，BEO CDO ∠=∠，BOE COD ∠=∠，BOE COD ∴∽△△，90EBO A ∠+∠=︒，90ACE A ∠+∠=︒，EBO ECA ∴∠=∠，又∵BEO CEA ∠=∠，BOE CAE ∴∽△△，BEO BDA ∠=∠，∠=∠OBE ABD ，BOE BAD ∴∽△△，综上与BOE △相似的三角形有3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；15．6【分析】由等式可用a 表示出b 代入求值即可【详解】解：∵5a=6b （a≠0）∴b=a ∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b 是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a 表示出b ，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b （a≠0），∴b=56a ， ∴1651--66a ab a a a ===， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a 表示出b 是解题的关键．16．【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB 由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积进而可求出△AOB 的面积则k 的值也可求出【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB解析：18【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积，进而可求出△AOB 的面积，则k 的值也可求出．【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，∵M 、N 是OA 的三等分点， ∴11,23AN AN AM AO ==， ∴14ANQ AMP SS =， ∵四边形MNQP 的面积为3， ∴314ANQ ANQ S S =+， ∴S △ANQ ＝1，∵2119AOB AN S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k 的几何意义，正确的求出S △ANQ ＝1是解题的关键．17．【分析】由EC ∥ABEB ∥DC 可得∠A=∠CED ∠AEB=∠D 证得△ABE 与△ECD 相似由△ABE 的面积为5△CDE 的面积为1可得AB ：CE=：1又由EC ∥AB 可得△ABE 与△BCE等高然后由等高三【分析】由EC ∥AB ，EB ∥DC ，可得∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，证得△ABE 与△ECD 相似，由△ABE 的面积为5，△CDE 的面积为1，可得AB ：1又由EC ∥AB ，可得△ABE 与△BCE 等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．【详解】∵EC ∥AB ，∴∠A=∠CED ，∵EB ∥DC∴∠AEB=∠D ，∴△ABE ∽△ECD ，∴22ABE ECD 551S BE AB CD CES ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AB CE =AB =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，∴ABEBCE S AB S CE ==BCE S ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．18．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（ 解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．19．或【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴解析：163或3【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴AB ADAC AE=，即12164AD=，解得：AD=3，∴当△AED∽△ABC，∴AB AE AC AD=，即12416AD=，解得：AD=163，故答案为：163或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 20．或【分析】根据△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似∴△PDC 是直角三 解析：12a 或13a 【分析】 根据△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，∴△PDC 是直角三角形，当90DPC ∠=︒时，∴90APD BPC ∠+∠=︒，∵90BPC BCP ∠+∠=︒，∴APD BCP ∠=∠，∵90A B ∠=∠=︒，∴△△APD BCP ，当△△APD PDC 时，∴APD PDC ∠=∠，此时CD ∥AB ，90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，与题意矛盾，故不存在这种情况；当△△APD PCD 时，∴ADP PDC ∠=∠，APD PCD ∠=∠，∴PCD BCP ∠=∠，过点P 作PM CD ⊥于M ，∴90PMD A ∠=∠=︒，90PMC B ∠=∠=︒，在△PAD 和△PMD 中，A PMD ADP MDP PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PAD PMD ≅，∴PA=PM ，在△PBC 和△PMC 中，B PMC BCP MCP CP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PBC PMC ≅，∴PB=PM ， ∴12PA PB AB ==， ∵AB a ， ∴12AP a =； 当90PDC ∠=︒时， 当△△△ADPDCP BCP 时，60APD DPC BPC ∠=∠=∠=︒，∴30ADP ∠=︒， ∴12AP PD =， 在△DPC 和△BPC 中，PDC B DPC BPC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△DPC BPC ≅，∴PD=PB ， ∴12AP PB =， ∴1133AP AB a ==； ∴AP 的长为12a 或13a ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键．三、解答题21．（1）2722y x x =--；（2）3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A 、B 点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP ，可知相似存在两种情况：①当∠CBP=90°时，如图1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，证明△AOB ∽△BNP ，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B 和P 是对称点，可得P 的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）设点A 关于y 轴的对称点为A′，求出直线A′B 的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．【详解】解：（1）令0x =，得1222y x =-=-，则()0,2B -， 令0y =，得1022x =-，解得4x =， 则()4,0A ，把()4,0A ，()0,2B -代入()20y ax bx c a =++≠中， 得16402b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得722b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为：2722y x x =--． （2）∵//PM y 轴，∴90ADC ∠=︒，∵ACD BCP ∠=∠，∴以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当90CBP ∠=︒时，如图，过P 作PN y ⊥轴于N ，∵90ABO PBN ABO OAB ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBN OAB ∠=∠，∵90AOB BNP ∠=∠=︒，∴Rt PBNRt BAO △△， ∴PN BN BO AO=． 设27,22P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴2722224x xx⎛⎫----⎪⎝⎭=，化简得232x x-=．解得0x=（舍去）或32x=．当32x=时，2273732252222y x x⎛⎫=--=-⨯-=-⎪⎝⎭．∴3,52P⎛⎫-⎪⎝⎭；②当90CPB∠=︒时，如下图，则//PB x轴，所以B和P是对称点，所以当2y=-时，27222x x--=-，解得0x=（舍去）或72x=．∴7,22P⎛⎫-⎪⎝⎭．综上，点P的坐标是3,52⎛⎫-⎪⎝⎭或7,22⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）设点A关于y轴的对称点为'A，则'A B AB=．∴'BAO B AO∠=∠．直线'A B交抛物线于P．∴'2PBA BAO BA O BAO∠=∠+∠=∠．∵()4,0A，∴()'4,0A-．设直线'A B 的解析式为()0y kx b k =+≠．∵()0,2B -．∴4002k b k b -+=⎧⎨⋅+=-⎩． 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．∴直线'A B 的解析式为122y x =--， 由方程组2122722y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得230x x -=． 解得0x =（舍去）或3x =．当3x =时，117232222y x =--=-⨯-=-． 所以点P 的坐标是73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．22．（1）18；（2）3.6【分析】（1）依题意得到△APM ∽△ABD ，得到MP AP BD AB=再由它可以求出AB ； （2）设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F 则BF 即为此时他在路灯AC 的影子长，容易知道△EBF ∽△CAF ，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．【详解】解：(1)由对称性可知AP ＝BQ ，设AP ＝BQ ＝x m ，∵MP ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ， ∴MP AP BD AB = ， ∴1.69.6＝212x x +， 解得x ＝3，∴AB ＝2x ＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米(2)设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F ，则BF 即为此时他在路灯AC 下的影子长，设BF ＝y m ，∵BE ∥AC ，∴△FEB ∽△FCA ， ∴BE BF AC FA = ，即1.69.6＝18y y +， 解得y ＝3.6，当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长3.6米．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．23．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接PQ,AB 交点即为所求；（2）找到F 点关于CD 的对称点F’，连接CD,EF’，交点即为所求．【详解】（1）如图，M 点为所求；（2）如图，N 点为所求．【点睛】此题主要考查网格中作图，解题的关键是熟知熟知网格的特点、对称性、全等三角形与相似三角形的判定方法．24．（1）证明见解析；（2）35【分析】（1）连接AO 后交DC 于点H ，交BC 于点G ，由垂径定理可知AG ⊥BC ，然后根据互余关系得到∠HAE=∠HCG，然后利用平行关系得到∠ADE=∠HCG=∠HAE，等量代换后可得∠HAE +∠EAD=90°；（2）根据AC和BE可算出AE，然后在Rt△AEC中算出EC，然后证明△AED∽△BEC，然后利用比例关系算出DE，在Rt△AED中计算AD即可．【详解】解：（1）如图，连接AO交DC于点H，交BC于点G，则AG⊥BC∵AG⊥BC，AB⊥DC，∠AHE=∠CHG∴∠HAE=∠HCG∵AB⊥DC∴∠ADE+∠EAD=90°∵AD∥BC∴∠ADE=∠HCG=∠HAE∴∠HAE +∠EAD=90°∴AD为O的切线（2）∵AC=AB，AC=5，BE=2∴AE=3在Rt△AEC由勾股定理可得：22-=EC AC AE=4∵AD∥BC∴△AED∽△BEC∴BE EC=AE DE∴DE=6在Rt△AED由勾股定理可得：22+=DE AEAD=35【点睛】本题主要考查圆的相关定理，掌握切线的证明方法，灵活转化角关系是证明切线的关键，在圆中计算线段长度，找准相似三角形，结合勾股定理，是解题的关键．25．（1）图见解析；（3，﹣3）；（2）图见解析．【分析】（1）首先找到A、B、C点对应点A1、B1、C1，然后连接即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1所作，点A 1的坐标为（3，﹣3）；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作．【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．26．（1）图见解析；（2）见解析【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，AC=225AB BC a +=，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．【详解】（1）如图：点E 即为所求；（2）设BC=a ，则AB=2a ，∴225AB BC a +=，∵CD=BC=a ，∴5a -a ，∵2222=-=-，222(2)6AB BE a a a a⋅=⋅+=-，aAE a6)∴2=⋅，AE BE AB∴点E是线段AB的黄金分割点．【点睛】此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．。
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相似多边形及位似一. 选择题1. 下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2. 下列说法错误的是（）.A. 位似图形一定是相似图形.B. 相似图形不一定是位似图形.C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3. 下列说法正确的是（）A. 分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC 放大后的图形.B. 两位似图形的面积之比等于相似比.C. 位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D. 位似图形的周长之比等于相似比的平方.4. 平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A. 将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B. 将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C. 将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D. 将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=C. AB=D. BC≈0.618AB7. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. B. C. D. 2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为______.9. 已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出___个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_______.13. 如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC 的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15. 如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN 是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_____________ ；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定_____________（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是．（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．）17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4 ．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC= , AB=AC≈0.618AB．故选D．7. 【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即，解得, ,（负值舍去），经检验是原方程的解．故选B．二、填空题8. 【答案】50cm.9. 【答案】2个；全等.10. 【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．11. 【答案】；【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.12. 【答案】；【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据矩形相似，对应边的比相等得到：即：，则b2=∴∴13. 【答案】.【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，第四个六角形的面积为：，故答案为：.14. 【答案】；【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，∴BC=AD=4×=.三．解答题15. 【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.16. 【答案与解析】问题一：（1）不相似.因为两个梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，因而这两个梯形一定不相似；（2）相似性无法确定．问题二：（1）不相似；（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，∴，即解得：PQ=4．∵又∵AP+PB=6，∴AP=2（3）存在.如果梯形APQD∽梯形PBCQ，则,，∵AD=a，BC=b，∴PQ=，∴17. 【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF= S矩形ABCO= ×4 ×4=；（2）存在．∵OE=所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC=∴8h=4×4 ，解得h=2 ，∴当点E到AC的距离为2 +2时，△ACE的面积有最大值，当点E到AC的距离为2 -2时，△ACE的面积有最小值，S最大=S最小=。