18。4反比例函数的图象和性质(1)张1勤
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数图像和性质ppt课件
反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但 永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单 调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和 因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系 中绘制，通过选择不同的 k 值，可 以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的 有限区域，呈现出双曲线的形状，随 着 x 的增大或减小，y 的值会无限接 近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得 到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效 成反比关系，即当药物剂量增加时， 药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果 成反比关系，即当训练强度增加时， 训练效果可能会减弱。
高中数学-反比例函数的图像与性质
02 在求解具体问题时，需要注意题目中给出的其他 条件，如函数的定义域限制等。
判断单调性和奇偶性问题
反比例函数在其定义域内没有单调性， 即在不同的区间内可能具有不同的单调
反比例函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，图像关 于原点对称。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足f(-x)=f(x)，图 像不关于y轴对称。
周期性探究
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不 存在一个正数T，使得对于所有x ，都有f(x+T)=f(x)。
图像特征
反比例函数的图像是两条分别位 于第一、三象限和第二、四象限 的双曲线，且无限接近于坐标轴 但永不相交。
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01 求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判断函 数的单调性。
02 图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接得出其在 不同区间上的单调性。
03 定义法
根据反比例函数的定义，结合不等式的性质，可 以推导出函数在不同区间上的单调性。
奇偶性讨论
奇函数性质
劳动力供给与工资率关系
劳动力供给量通常与工资率成反比。当工资率提高时，劳动力供给量减少；当 工资率降低时，劳动力供给量增加。这种关系也可以用反比例函数来表示。
工程学中应用场景
杠杆原理
在机械工程中，杠杆原理指出动力臂与阻力臂成反比。当动 力臂增长时，阻力臂缩短；反之亦然。这种关系可以用反比 例函数来描述。
性。
对于奇偶性的判断，可以根据函数的定 义进行判断。若$f(-x) = -f(x)$，则函 数为奇函数；若$f(-x) = f(x)$，则函数
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
反比例函数的图象和性质
感谢观看
汇报人：XX
单击此处添加副标题
反比例函数的图象和性质
汇报人：XX
目录
01 02 03 04
添加目录项标题 反比例函数的图象 反比例函数的性质 反比例函数与其他函数的比较
01
添加目录项标题
02
反比例函数的图象
反比例函数的定义
反比例函数是一种数学函数，其定义为 y = k/x (k为常数且k≠0) 该函数在平面坐标系上的图像为双曲线 双曲线的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限 当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限
反比例函数与二次函数的比较
定义域：反比例函数的定义域为x≠0，而二次函数的定义域为全体实数。
值域：反比例函数的值域为y≠0，而二次函数的值域取决于开口方向和顶点位置。
函数图像：反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，而二次函数的图像可能为开口向上或向下的抛 物线。
导数：反比例函数的导数在x=0处不存在，而二次函数的导义域和值域
添加标题
添加标题
根据函数的表达式，在坐标系上 描点并绘制出反比例函数的图象
反比例函数图象的特性
反比例函数的图象是双曲线
反比例函数的图象在各自象限内 单调递减
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
双曲线的两支分别位于第二、第 四象限
反比例函数的图象与坐标轴无限 接近但永不相交
反比例函数的奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 偶函数：满足f(-x)=f(x) 图像特点：关于原点对称 性质推导：利用极限思想推导
反比例函数的极限性质
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是一种常见的数学函数，它的图像和性质在数学学科中扮演着重要的角色。
本文将介绍反比例函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这种函数。
一、反比例函数的定义和表示形式反比例函数是指一个变量的值与另一个变量的值之间存在反比关系的函数。
一般而言，反比例函数可以表示为y = k/x，其中k是一个常数。
这里的x、y分别表示两个变量，k表示比例常数。
二、反比例函数的图像特点反比例函数的图像具有一些明显的特点。
首先，图像始终通过第一象限的原点(0,0)，这是因为当x等于0时，无论k的值为何，y都等于0。
其次，当x趋近于正无穷大时，函数的图像趋近于x轴，当x趋近于负无穷大时，函数的图像也趋近于x轴。
这是因为当x趋近于无穷大或负无穷大时，1/x的值趋近于0。
三、反比例函数的图像形状反比例函数的图像呈现出特殊的形状，即一条通过原点的拋物线。
随着x的增大，y的值逐渐减小，而且曲线逐渐接近x轴。
同样地，随着x的减小，y的值逐渐增大。
这种特殊的图像形状可以帮助我们更好地理解反比例函数的性质。
四、反比例函数的性质反比例函数具有一些重要的性质，这些性质对于进行数学分析和解决实际问题非常有用。
以下是一些常见的反比例函数性质：1. 零点：反比例函数的图像通过原点(0,0)，也就是说，当x等于0时，y等于0。
2. 定义域和值域：反比例函数的定义域为除了零以外的所有实数，值域也是除了零以外的所有实数。
3. 单调性：反比例函数在其定义域上是单调递减或单调递增的。
随着x的增大，y的值逐渐减小，反之亦然。
4. 渐近线：反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数的图像将趋近于x轴。
当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数的图像将趋近于y轴。
5. 对称性：反比例函数具有以下对称性：当x1和x2满足x1*x2 = k 时，有f(x1)*f(x2) = k。
6. 变化率：反比例函数的变化率是一个负数。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
反比例函数的图像和性质是什么
反比例函数的图像和性质是什么
反比例的图像和性质
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
反比例函数定义
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x-1。
反比例函数的应用举例
反比例函数的图象上有一点P（m，n）其坐标是关于t的一元二次方程t²-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式。
分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程。
解：∵m，n是关于t的方程t²-3t+k=0的两根，
∴m+n=3，
mn=k，
又∵PO=根号13，
∴m²+n²=13，
∴（m+n）²-2mn=13，
∴9-2k=13．
∴k=-2
当k=-2时，
△=9+8＞0，
∴k=-2符合条件。
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
反比例函数的图像和性质
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数图像和性质教学课件
THANK YOU
反比例函数图像和性质教学 课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用举例 • 反比例函数与其他知识点的关联
01
反比例函数简介
反比例函数的定义
1 2
反比例函数
形如 (f(x) = frac{k}{x}) (其中 (k neq 0)) 的函数 被称为反比例函数。
反比例函数的渐近线
反比例函数的图像没有界限，但可以无限接近两条渐近线，分别是 (y = 0) 和 (x = 0)。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和其他科学领域中，反比例函数有广泛的应用，例如电阻、电容和电感 之间的关系。
02
反比例函数的图像绘 制
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos等，这些
运动与减肥的关系
在减肥过程中，运动量与减肥效果之 间存在反比关系，即当运动量增大时 ，减肥效果不一定更明显，需要合理 控制饮食和运动量。
05
反比例函数与其他知 识点的关联
与一次函数的关联
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，且k≠0。当b=0时，一次函数退化为正比例函数 ，其图像是一条过原点的直线。反比例函数与正比例函数在形式上相似，只是自变量x的次数为-1。 因此，反比例函数的图像也位于坐标轴的两侧，并随着x的增大而趋近于无穷远。
一次函数和反比例函数在图像上都是单调的，但方向相反。一次函数随着x的增大而增大或减小，而 反比例函数则随着x的增大而减小或增大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 . -7 -6 -5 ． -3 -2 -1 0 -4 ． -1 4 ． -2 y=— x -3 . -4 -5 -6 -7
y
. ． ．．
画图时，为什么 曲线的每一支是 向两方伸展的？
.
7 8
1 2 3 4 5 6
x
双曲线是否会与 坐标轴相交？来自.解： 1．列表：
9 y 。 50 x
其中,图像位于第一、三象限的函数是 在其图像的每个象限内，y随x的增大而 增大的函数是
练习2 已知反比例函数 y= — (k≠0) 的图像的一 支
K
x
如图 (1)判断k是正数还是负数; (2)求这个反比例函数的解析式; (3)补画这个反比例函数图像的另一支的方法是？
y D .8
-8
.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
． ． ． .
.
7 8
x
.
… -8 -4 -3 -2 -1 … 1 2 3 4 8 3． x 4 4 1 连 y4 … 1 … 8 -4 2 3 1 2 -1 3 -2 -4 -8 x 2 线
(1)当 k﹥0时,函数图像的两个分支分别 在第一﹑三象限内,在每个象限内,自变 量X逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小。 （2)当 k﹤0时,函数图像的两个分支分别在第 二﹑四象限内，在每个象限内，自变量X 逐渐增大时， y的值也随着逐渐增大。 （3) 图像的两个分支都无限接近于X轴和 y 轴,但不会与X轴和y 轴相交。 k (4)反比例函数y= — (k≠0) 的图像关于直角坐 x 标系的原点成中心对称.
二 四 (2) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第___、___象限，
想一想:如果把正比例函数和反比例函数加 以类比的话，你会发现有哪些相同之处和 不同之处？
函数 解析 式
填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别
图像形 状
正比例函数
y=kx ( k≠0 )
直线
位 置
反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )
例题精讲：
4 的图像。 例1．画出函数 y = — x 思考： （1）这个函数中自变量的取值范围是什么？ 因为分母不能为零，所以 x ≠0。 （2）按照画函数图像的三个步骤 列表、描点、连线。 解：1．列表：
x
4 y x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1注意：①列表时自变量 4 -1 3 -2 -4 -8 … 2取值要均匀和对称②x≠0
中，当m= 3 时， 它是反比例函数，此时反比例函数
的图像在第 1、3 象限内 y随x的
增大而
减小
归纳总结
学习本节课后,能用描点法画出反比例 函数图像，并了解图像的性质。
课内练习
P71
T1 （把分子中的4改为6）
T2 T3
T4 课外作业：练习册18.3(2)
反比例函数y= k (k≠0) 图像的性质： — x 它的图像是由两个分支组成的曲线叫做双曲线
双曲线 一三 象限
分别在一、三象限内y 随x的增大而减小
一三 象限
分别在一、三象限内y 随x的增大而增大
K>0
增 减 性
位 置
二四 象限
分别在二、四象限内y 随x的增大而减小
二四 象限
分别在二、四象限内y 随x的增大而增大
K<0
增 减 性
练习1.已知下列反比例函数
0 .2 3 1 4 y , y ，y ，y ， 2x x x 7x
…
1 2
1 2 3 4 8 …
4 3
2
.
4
y
-8 … -8 -4 -2
-1
1 2
…
y
．
6 4 5 x .4 3 . 2 ．． 1 1 2 3 4 ．6 x . . 5 ．
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
.
．
．
2．讨论与交流：
4 1)． y x
函数的图像在哪两个象限？和函数
4 y 的图像有什么相同点和不同点？ x k (2)．反比例函数 y 的图像在哪两个象限？ x
由什么确定？
y 4 y=— x y 4 y =－ — x o x
o
x
3．简单的归纳与概括： k 反比例函数 y x 有下列性质：
k 反比例函数的图像 y x 是由两支曲线组成的。也叫双 曲线 一 三 (1) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第___、___象限，
4 三、 1．画出函数 y x
1 2
的图像。
x
y 4 x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8
4 3
1
4 3
2
4 8 … -8 -4 -2
-1
1 2
2．描点： 3．连线：
x
y 4 x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1 2
1
4 3
1 2
1 2
…
1 2
1
2 3
4 3
4 8 1
1 2
8
4 2
③选整数较好计算和描点。
2．描点：
x
4 y x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1 2
-1
y8
7 6 5 4 3 2 1
4 3
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8
4 2
4 3
． .
-2 -4 -8 … 8
1
1 2
． ．．
1 2 3 4 5 6
想一想:从反比例函数图
B A . (-4,2)
.
C.
6 4 2
-8 -6 -4 -2O -2 像的一个分支分到另一个 -4 支,可以看做是怎样的图形 -3 变换? -4
2 4 6 8
x
m3 如果反比例函数 y x
的图像在二、四象限，那么m的取值
范围是什么？
m＜3
2m 1 在函数 y m2 x
一、复习旧知、引人新课：
1．什么是反比例函数？
k 一般地，形如 y = — ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 x 2．反比例函数的定义中需要注意什么？ （1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）除 k、x 、y三项以外，不含其他项。
自变量x≠0.
二、讲解新知：
问题1：对于正比例函数 y = kx ( k ≠ 0 )，我们 是如何研究的？
（ 我们先研究正比例函数的定义，再研 究正比例函数图像的画法，最后研究正比例函 数的性质。）
问题2：对于反比例函数 y =
k — x
( k是常数，
k ≠ 0 )，我们能否像正比例函数那样进行研究 呢？ （可以。）
如何作反比例函数y=
4
X
和 y= –
4
X
的图像
参照正比例函数图像的做法，基本步骤怎样？ (1)列表 (2)描点 (3)连线