同济大学 理论力学 孙杰 第四章 静力学应用问题

4 4
FDE
[D]
3 3 Fix 0 : FDB FDA FDE 0 5 5
FDE 3kN
F FBA [B] FBD FBC FBE 4m A B C
D E 4 4 Fiy 0 : FBD FBE 0 FBE 2.5kN 3 3 3 3 5 5 3 3 Fix 0 : FBC FBA FBE FBD 0; FBC 4.5kN BD 5 5 3 3 [E] F Fix 0 : FEC FEB FED 0 FEC 7.5kN FEC EB EB ED 0 5 5 [E] FED FE 4 4 Fiy 0 : FEB FEC FE 0 FE 8kN 5 5 [C] 3 Fix 0 : FCB FCE FCX 0; FCX 0 [C] CB FCx F 5 4 4 FCy FCE Fiy 0 :: FCE FCY 0 Fiy 0 FCE FCY 0 FCY 6kN 5 5
截面法： 取部份桁架为研究对象（受平面任意力系作用）
（平面任意力系只有三个独立平衡方程） 当研究对象上有三个以上未知量时， 其方法是：先由其它途径求出部分未知量， 使该研究对象上未知量不再多于三个。
截面法 ：用于求桁架部份杆件内力，补充了节点法的局限性。
求内力时，可利用下列情况简化计算。
1、利用对称性(例4-2)
2、静滑动摩擦定律
最大静滑动摩擦力 Fmax f f FNN Fmax s s F
静摩擦定律 (库仑定律)
f s 静滑动摩擦系数 ：由实验测定
3、动滑动摩擦定律 动滑动摩擦力
大小 F (导学篇P56：表4-2) Fmax Fd
Fdd ffddFNN F F
ffdd f s
45º
a a m
思考题4. 求：黄沙输送带的锥角值a 4.
a a m
A
问题：假设墙壁光滑，若使梯
子不滑动，地面与梯子间的静 滑动摩擦因数 fS 至少为多大? ( 不计梯子自重 人重为W )
B
FA
A
解：
max
0

n
0 0 30 0 m 30
FB
2、求最大值
x Fm
a y
Fmax
tan max s f s tan max f
W
F F
ix
0:
a
Fmax cosa Fm W sin a 0
iy
FN Fmax sin a W cosa 0 sin a f s cosa 解得： Fmax W W tan( m ) a cosa f s sin a tan max f 讨论： 平衡范围 需判定! 不等式求? tan max s f s 平衡范围?
tan tan max tan tan max f sf s
W
B
tan 30 f s
0
几何法
四、考虑摩擦时物体的平衡问题 1、几何法： 利用摩擦角的概念和自锁条件 2、解析法：平衡方程 + 补充方程
例4-7 重W的物块放在倾角为a （a > m）的斜面上，另加一 水平力F使物块保持平衡。已知摩擦系数 fs，求：力F的最小值 a y 和最大值。 W x W Fmin F Fm a a 解析法 解： FN
Fm f s FN
0
FDB C
讨论 例4-5： 图示一桁架，已知
F ABCDEF为正八角形的一半。
C B
2
F
D E 3 F
求：1、2、3杆的内力。
支座反力计算： 整体 E
1 节点法 求内力不易， F 截面法 则非常方便。
A D
F
1 A
FAy
FAx
FF
C 关键： 截面如何截 （研究对象怎么取） B （三角形BCF与ADE 简单桁架
取[A][C]

逐点求解所有内力与约束力, 再整体方程校核。
节点法 举例 例4-2：计算图示桁架各杆的内力。 桁架对称，可只求一半。 （结构对称、荷载与反力也对称）
先求反力
A处为固定铰支座。 但桁架上其它受力的作 用线均为垂直方向，故 FA也为垂直方向。 （平面平行力系的平衡特性）
M A 0 0 B KN , F M A , FB 1010 KN
第四章 静力学应用问题
§4-1 平面桁架
桁架实例
F P
屋架桁架
桥梁桁架
•桁架：由杆件构成的几何形状不变的 结构 •桁架：
旧金山国际机场
桁架的特点：
跨度大 自重轻
吉隆坡双塔大厦 高度：452米 材料：钢筋混凝土
一、基本概念：
理想桁架 ：基本假设
F
P
构 连 荷 自 1 、 都 是 直 杆 直杆轴线 位于同一平面。 F 。 接 载 重 件 A 2、两端用光滑铰链连接。
E FEB FED
FEC
[E]
分布力 内力
FC
FB
FAD
直杆对节点的作用 力
FE
二、节点法：
取节点为研究对象(平面汇交力系)，逐个取节点求解。
例4-1：平面桁架如图示。已知：F=2kN。 A 求：各杆的内力与支座约束反力。
解：节点法
F
y
C
F
B
不超过二个未知力 [A]
4m D 3 3 3 E 3
结构对称，载荷也对称，则 内力必对称；
结构对称，载荷反对称，则 内力反对称。
2、零杆的判别
F2 F1 = 0 F3 = 0 F2 = 0 F1 F1 F2 = 0
F
（a）无载 二根非共线杆
（b）无载 三根杆 二根共线杆
（c）有载 二根非共线杆
截面法 举例
例4-4：平面桁架如图。已知F，求杆1的内力。
x
FAB
[A] FAD
FDA
[D] [B]
25 F FAD 0 Fiy 0 : F FAD 0 FAD 2.5kN 2 2 22 4 3 4 3 4 3 3 FAB 1.5kN Fix 0 : FAB FAD 0 0 AB FAD 5 5 4 4 FDB Fiy 0 : FDA FDB 0 FDB 2.5kN 5 5

§4-2 摩擦
摩 擦 在 工 程 中 的 应 用
摩擦分类： 滑动摩擦 （干摩擦，湿摩擦）
滚动摩擦
W
一、滑动摩擦现象：粗糙 运动 或 运动趋势 二、静滑动摩擦力 最大静滑动摩擦力 摩擦系数 动滑动摩擦力
小实验： W
P
FN
F
W
运动趋势 P
F
滑动摩擦力：滑动 滑动趋势
FN
P 1、静滑动摩擦力 F ：方向 一般与运动趋势相反 约束力 大小：F = P 范围 ：0 F Fmax 平衡
FHK
FHJ
a b A a 2 b2 5 FGH ( FHK FEH ) F a 6 F b FGH FHJ 0 Fy 0 , 2 2 a b b F FHJ FGH 2 2 2 a b
2 2
F
0 , FEH FGH
a
FHK 0
方向与运动相反 动滑动摩擦系数
P
(导学篇P56：表4-1)
三、摩擦角和自锁现象 1、摩擦角
W P FN (静止)
FR
FN
FR

F FR (全约Fra Baidu bibliotek反力)
max FN
F
FR F FN
大小 FR 方向 P
Fmax
FR Fmax FN
2 N
F F F tan FN
6
三、截面法：
一般为平面任意力系
假象地用一个截面将桁架一切为二，取其中一部分为研究对象。 例4-3：求：例4-1中杆DE 的内力FDE 。 截面法 取不超过三个未知力的研究对象 M = 0 6F +F 4 = 0 F 解：
B DE
F
A
1
B
2
C
A
FAB
B
4m D 3 3 2 3 1 E 3
FDE = -3kN
F
C
F
K b
m
H
n E
B
2. 用截面n-n。 取右半桁架为研究对象。
J b L a n I a m E
G
D
A
M F (F ) 0
F
a n B
C
a
F
F 2a FEH 2b 0 4 解得： FEH F 3
[节点H ]
x
FEH FEG
FDF
F n H
D
FCFC FEH FGH
B
C
FA B FB FA FB FC FC C 桁架的特点： ：桁架中的每个杆件均为二力杆 平衡力 反作用力
桁架中的每个节点均受到汇交力系作用 桁架的计
FA FA 物体系统 FC
3、 载荷 集中作用在节点。 载荷位于 桁架平面 。 D 接 平面桁架 F 4、 自重 不计。 点 FAB [A] A C 二力杆 B
F x 0 0 , 3 Y ’ = F3 4.33 KN X ’= F4 12.5 KN F 0 0 , 4
x
F = 0,, Y 0 F 4.33 KN Y y0 F55 4.33 KN X 0 0 ,, F = F 8.67 KN X x0 F 6 8.67 KN
1、求最小值
临界平衡
Fm f s FN
F F
ix iy
0: 0:
Fmin cosa Fm W sin a 0 FN Fmin sin a W cosa 0
解得： Fmin
sin a f s cosa W W tan(a m ) cosa f s sin a
max q
平衡条件： 自锁条件
（不滑动的条件）
自锁条件的应用：计算q ，令q m 或q m 。
思考题1. 求：千斤顶楔螺纹角值 1.
P
斜面摩擦自锁的倾角：
q n F
P
q m
q
思考题2. 求：a 与摩擦角关系。 2.
T
a m a a
思考题3. 求：黄沙堆的锥角值a 3.
+
分析组成 杆1、2、3）
桁架分类： 简单桁架 组合桁架 复杂桁架
B
其中： F 为主动力， FF为反力(已求)。 平面任意力系平 衡方程，不难求 出F1、F2、F3 . P15 习题：1、2
组合桁架
四、联合应用节点法和截面法求解。
例4-6：悬臂式桁架如图所示。a =2 m，b =1.5 m，试求杆件 GH、HJ、HK的内力。
解： ［整体］
F m E 1
3 0 M C 0, 2aFAy aF 2 3 FAy F 4
取m-m截面左侧： FDB为零杆
D
F
C a
A`
FAx FAy
m a
B m
FC
M C 0, 2aFAy aF1 0
节点法? FFE
F1 FAy FAx FAB m
3 F1 F 2
m K b
J b L G D H E B
解： 1. 用截面m-m将杆HK、HJ、 GI、FI 截断。
A
a
H
I
am
F E
a
C B
a
F
FHK FHJ
取右半桁架为研究对 象，受力分析如图。 M (F) 0

I
FGI
I
G
D A
F 3a FHK 2b 0
解得： FHK 2 F
FFI
为了表示方便，我们给杆编号。
再依次取节点 结构组成可视为 先有中间三角形，再分别向左右扩展。 节点的选取顺序：与组成顺序相反。 节点的选取顺序：与组成顺序相反。
简单桁架
（从铰B开始）
Y = 0 ,, F 0 F1 15 KN Y y0 F1 15 KN X x 0 0 ,, X = F2 13.0 KN F 0 F2 13.0 KN
D
FDB FDE FCx FCy
讨论： 也可取右半部分： 也可以换个截面： 受力图?
A
F 支座反力先求 整体平衡
B C
FAB B
C FCx
FDB
FDE
E
E 支座反力!
FCy F
D
E
FE
桁架内力计算： 节点上未知受力 = 杆件受力 = 杆件内力 拉力假设（背离节点） 节点法： 取节点为研究对象 （受平面汇交力系作用） 节点选取顺序： 两杆节点起 （平面汇交力系只有两个独立平衡方程）
2
tan max
max 称为摩擦角 tan max f s
摩擦角m 的正切值等于静摩擦系数
Fmax FN
Fmax f s FN
F

m
F
F
F
q 二力平衡
物体平衡
q m
q

FR
m
2、自锁
摩擦锥
max
主动力的合力位于摩擦锥之内，则无 论这个力有多大，物体总处于平衡。