最新北师大版九年级数学初三上册专题训练一元二次方程的解法
北师大版九年级数学上册一元二次方程应用题专题训练
一元二次方程应用经典题型★列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．★几类常考的一元二次方程应用题.一、面积问题（参考课本P38、48练习）1．如图，要在长、宽分别为40米、24米的矩形赏鱼池内建一个正方形的亲水平台．为了方便行人观赏，分别从东、南、西、北四个方向修四条等宽的小路与平台相连，若小路的宽是正方形平台边长的14，小路与亲水平台的面积之和占矩形赏鱼池面积的16，求小路的宽．2．一块长为60m，宽为50m的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为xm，则a ______________________；（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总的占地面积为22430m，请问通道的宽度为多少？二、增长率问题1、为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？2．某市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？3、某电脑公司2019年的各项经营中，一月份的营业额约为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 专题复习练习题
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。
九年级数学上册类比归纳专题一元二次方程的解法北师大版
类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0； （3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程：（1）x 2－5x －6＝0；（2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝__________.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.类比归纳专题：一元二次方程的解法答案1．解：(1)移项，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＝14，两边开平方，得x －52＝±14，即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2； (2)移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x2－6x ＋9＝－7＋9，即(x －3)2＝2，两边开平方，得x －3＝±2，∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；(3)原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0.∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0，∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24；(4)原方程可变形为(2x ＋1)(3x －2)＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0，∴x 1＝－12，x 2＝23. 2．x －1＝0或x ＋3＝03．解：(1)原方程可变形为(x －6)(x ＋1)＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1；(2)原方程可变形为(x ＋12)(x －3)＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0，∴x 1＝－12，x 2＝3.4．－12或15．解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t (t ＋6)＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0，x (x ＋5)＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5；当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴Δ＝b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根．∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.。
九年级数学上册第2章小专题6_一元二次方程的解法(北师大版)
小专题6 一元二次方程的解法类型1 直接开平方法形如2(0)x p p =≥或2()(0)mx n p p +=≥的方程，用直接开平方法求解.1.用直接开平方法解下列方程:(1)23270x -=;(2)22(31)8x -=.类型2 配方法当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用方法求解.1.用配方法解下列方程:(1)2250x x -+-=;(2)216304x x -+=. 类型3 因式分解法能化成形如()()0x a x b ++=的一元二次方程用因式分解法求解.1.用因式分解法解下列方程:(1)(2)20x x x -+-=;(2)23(5)(5)x x x -=-;类型4 公式法当方程没有明显特征时，运用公式法求解.4.用公式法解下列方程：(1)24310x x -+=;(2)2430x -+=;(3)3(3)2(1)(1)x x x x -=-+;类型5 选择合适的方法解一元二次方程5.用适当的方法解下列方程:(1)2460x x --=;(2)2520x x -+=;(3)(8)16y y -=-;(4)21322x x -+=-; (5)224(1)9(2)x x +=-;(6)(21)(1)(31)(1)x x x x -+=++;类型6 换元法6.【注重阅读理解】（教材P57复习题T12变式）阅读材料:为了解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以将21x -看作一个整体,设21=x y -,那么原方程可化为2540y y -+=○1,解得121,4y y ==,当=1y 时, 21=1x -,∴2=2x .∴=x ;当=4y 时, 21=4x -.∴2=5x .∴=x ±故原方程的解为1234x x x ===解答问题:(1)上述解题过程，在由原方程得到方程○1的过程中，利用___________法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想;(2)请利用以上知识解方程:222()5()40x x x x +-++=; (3)已知实数,a b 满足22222()3()100a b a b +-+-=,试求22a b +的值.参考答案1.解:(1)123,3x x ==-. (2)1211,3x x ==-2.解(1)原方程无解. (2)1212,12x x ==-.3.解:(1)122,1x x ==-. (2)12155,2x x ==.4.解:(1)原方程无解. (2)1224x x ==.(3)12x x ==5.解:(1)1222x x ==2)12x x ==(3)124y y ==. (4)1233x x ==(5)124,85x x ==. (6)121,2x x =-=-. 6.(1)换元(2)设2x x y +=,则原方程可化为2540y y -+=.解得1214y y ==，,○1当=1y 时,21x x +=,即210x x +-=,解得x =;○2当=4y 时, 24x x +=,即240x x +-=,解得12x -±=.综上所述,原方程的解为12341111,2222x x x x ---+-====. (3)设22=a b x +,则原方程可化为23100x x --=.(5)(2)0x x -+=. ∴125,2x x ==-(舍去). 故22=5a b +.。
北师大版九年级数学上册-一元二次方程专题
一元二次方程应用专题一、按指定的方法解方程1．02522=-+）（x （直接开平方法） 2. 0542=-+x x （配方法）3．025)2(10)2(2=++-+x x （因式分解法） 4. 03722=+-x x （公式法）二、适当的方法解方程1．036252=-x 2. 0)4()52(22=+--x x3、关于x 的方程021)1(2)21(2=-+--k x k x k 有实根. (1)若方程只有一个实根，求出这个根；(2)若方程有两个不相等的实根1x ，2x ，且61121-=+x x ，求k 的值.增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？3某企业生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术革新，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年(包括今年)的产量达到1400件，求这个百分数．数字问题：1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
商品定价：1某百货商店服装组在销售中发现"宝乐"牌童装平均每天可出售20件，每件盈利40元．为了迎接"六一"国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?2、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500k g ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10k g ，针对这种水产品情况，商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?3、某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游，推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游，共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元.水湾风景区旅游？19．(10分)春秋旅行社为吸引市民组团去玉龙雪山风景区旅游，推出了如下的收费标准：某单位组织员工去玉龙雪山风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少员工去玉龙雪山风景区旅游？图1面积问题：1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程 测素质 一元二次方程及其解法
第二章
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答案呈现
9 －1 10 2 11 6 12 7
2
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13 8cm
17
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15
16
答案呈现
集训课堂
一、选择题(每题4分，共32分) 1 下列方程中，是一元二次方程的是( D )
13 【教材P43随堂练习T3变式】一个直角三角形的两条 直角边之差是2 cm，面积是24 cm2，则较长的直角边 的长是__8__c_m___．
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三、解答题(共48分) 14 (6分)【教材P32随堂练习T2改编】将方程(x－1)(2x－3)
＝x(3x－1)化成一元二次方程的一般形式，并写出其 中的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：一般形式为x2＋4x－3＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，－3.
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解：设2x＋3＝a，则原方程可化为a2－4a－5＝0， 解得a，解得x＝1； 当a＝－1时，2x＋3＝－1，解得x＝－2. ∴原方程的解为x1＝1，x2＝－2.
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18 (10分)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况； 解：当b＝a＋2时，原方程为ax2＋(a＋2)x＋1＝0， ∴Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4. ∵a2＞0，∴Δ＝a2＋4＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
11 【2021·青海】已知m是一元二次方程x2＋x－6＝0的 一个根，则代数式m2＋m的值等于___6_____．
北师大版九年级数学《认识一元二次方程》专题训练(含答案)
第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程第1题． 若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是．第2题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第3题． 下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（）A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=第4题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第5题． 把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项．（1）232232m x mx m x nx px q +=+++（2）2)(3)x x x =-第6题． 设33100a x x -+-=和34680b x x -++=都是一元二次方程，求20042002的值．第7题． 关于x 的方程1(1)10k k x kx -+++=是一元二次方程，求k 的值．第8题． 方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第9题． 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 ．第10题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第11题． 若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第12题． 求关于x 的一元二次方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+的二次项系数、一次项系数及常数项．第13题． 下列各方程中属于一元二次方程的是（ ） （1）214y y -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-= A ．（1）（2）（3）． B ．（2）（3）（4）． C ．（1）（2）（6）． D ．（1）（2）．第14题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）22469154x x x x +=-+； （2）2(31)(2)51x x x x -+=-++ （3）22(23)2(5)41t t +--=-．第15题． 不解方程，估计方程2410x x --=的根的大小（精确到0.1）第16题． 下列方程中属于一元二次方程的是（ ）A ．22(3)4x x-=-+． B ．0ax b +=．C 25x -=．D 21x =+．第17题． 关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．1，3mn ，22mn n -．B ．1，3m -，22mn n -．C ．1，m -，2n -．D ．1，3m ，22mn n -．第18题． 在下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．29ax bx c ++=． B ．3560k x k ++=．C 20x x -=．D ．2(3)30m x -+-=．第19题． 填表第20题． 若方程210ax bx c ++-=是一元二次方程，则必须满足条件 ．若此方程是一元一次方程，则必须满足条件 ．第21题． 当k 时，方程2223kx x x -=-是关于x 的一元二次方程．第22题． 关于x 的一元二次方程(3)(3)2(2)4x x a x a -+-+=，化成一般形式是 ．二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第23题． 解方程2214133x x x x -+=-时，设21xy x =-，则原方程化成关于y 的整式方程是 ．第24题． 已知a ，b ，c 均为有理数，判定关于x 的方程2231ax x c b -++=-是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题． m 为何值时，关于x 的方程2(31m m x mx m --=是一元二次方程？写出这个一元二次方程的一般形式．第26题． 下列各式哪个不是二次三项式（ ） A ．2(0)ax bx c a ++≠，a ，b ，c 为实数 B ．22285x xy y +-C ．2132x x -- D ．2132x x--第27题． 将方程25x x +=化成一般形式是 ．第28题． 用一块长宽分别为8cm ，6cm 的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm 2的长方体盒子，据上述题意，可得方程： ．第29题． 若1x =-是20(0)ax bx c a ++=≠的一个解，你能求出b a c --的值吗？第30题． k 时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程．第31题． 某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积 为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为 米．参考答案 1.答案：3k ≠ 2.答案：C 3.答案：A4.答案：（1）2()0m n x px q ---=，二次项系数为：m n -，一次项系数p -，常数项为q -．（2）22630x x --=，二次项系数为2，一次项系数为6-，常数项为3-． 5.答案：C6.答案：32342a b -=⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴20042002220022200222002()(1(12)3a b ==-=-=-g g7.答案：123131.10k k k k k k ⎧-===-⎧⎪=⎨⎨≠-+≠⎪⎩⎩或，，∴∴8.答案：1，4-，1 9.答案：2a >-且0a ≠ 10.答案：C 11.答案：C12.答案：解：将方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+化为一般式：223(31)0mx m x m m -++-=．∵已知该方程是一元二次方程，所以0m ≠．此方程的二次项系数为3m ，一次项系数为(31)m -+，常数项为2m m -． 13.答案：D 14.答案：15.答案：解：分别取0.3x =-与0.2x =-时， 有：2(0.3)4(0.3)10.09 1.210.290--⨯--=+-=>，2(0.2)4(0.2)10.160----=<．于是，方程2410x x --=必有一根在0.3-与0.2-之间．分别取 4.2x =与 4.3x =时，有：24.24 4.210.160-⨯-=-<，24.34 4.310.290-⨯-=>因此，方程2410x x --=必有一根在4．2与4．3之间． 16.答案：C 17.答案：B 18.答案：C 19.答案：20答案：0a ≠；0a =，0b ≠ 21.答案：3k ≠-22.答案：一般形式是22890x ax a ++-=；二次项系数是1，一次项系数是2a ，常数项是89a -． 23.答案：23410y y -+=24.答案：是一元二次方程，二次项系数为a 3-，常数项为1c b -+．25.答案：m =210-= 26.答案：D27.答案：251)0x x -= 28.答案：(82)(62)15x x --= 29.答案：1 30.答案：1≠±31.答案：0，将1x =-代入20ax bx c ++=，得0a b c -+=，从而0b c a --=。
最新北师版九年级初三数学上册类比归纳专题：一元二次方程的解法
类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二一元二次方程的特殊解法一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.第1种拆法：4x－x＝3x（正确），第2种拆法：2x－2x＝0（错误），所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，即x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.2.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程：（1）x2－5x－6＝0；（2）x2＋9x－36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝__________.5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7.类比归纳专题：一元二次方程的解法答案1．解：(1)移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14，两边开平方，得x －52＝±14，即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2； (2)移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即(x －3)2＝2，两边开平方，得x －3＝±2，∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；(3)原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0.∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0，∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； (4)原方程可变形为(2x ＋1)(3x －2)＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0，∴x 1＝－12，x 2＝23. 2．x －1＝0或x ＋3＝03．解：(1)原方程可变形为(x －6)(x ＋1)＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1；(2)原方程可变形为(x ＋12)(x －3)＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0，∴x 1＝－12，x 2＝3.4．－12或1 5．解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t (t ＋6)＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0，x (x ＋5)＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5；当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴Δ＝b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根．∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.学生每日提醒～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 励志名言：1、泰山不是垒的，学问不是吹的。
北师大版九年级数学《认识一元二次方程》专题训练(含答案)
第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程第1题． 若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是．第2题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第3题． 下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（）A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=第4题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第5题． 把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项．（1）232232m x mx m x nx px q +=+++（2）2)(3)x x x =-第6题． 设33100a x x -+-=和34680b x x -++=都是一元二次方程，求20042002的值．第7题． 关于x 的方程1(1)10k k x kx -+++=是一元二次方程，求k 的值．第8题． 方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第9题． 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 ．第10题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第11题． 若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第12题． 求关于x 的一元二次方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+的二次项系数、一次项系数及常数项．第13题． 下列各方程中属于一元二次方程的是（ ） （1）214y y -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-= A ．（1）（2）（3）． B ．（2）（3）（4）． C ．（1）（2）（6）． D ．（1）（2）．第14题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）22469154x x x x +=-+； （2）2(31)(2)51x x x x -+=-++ （3）22(23)2(5)41t t +--=-．第15题． 不解方程，估计方程2410x x --=的根的大小（精确到0.1）第16题． 下列方程中属于一元二次方程的是（ ）A ．22(3)4x x-=-+． B ．0ax b +=．C 25x -=．D 21x =+．第17题． 关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．1，3mn ，22mn n -．B ．1，3m -，22mn n -．C ．1，m -，2n -．D ．1，3m ，22mn n -．第18题． 在下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．29ax bx c ++=． B ．3560k x k ++=．C 20x x -=．D ．2(3)30m x -+-=．第19题． 填表第20题． 若方程210ax bx c ++-=是一元二次方程，则必须满足条件 ．若此方程是一元一次方程，则必须满足条件 ．第21题． 当k 时，方程2223kx x x -=-是关于x 的一元二次方程．第22题． 关于x 的一元二次方程(3)(3)2(2)4x x a x a -+-+=，化成一般形式是 ．二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第23题． 解方程2214133x x x x -+=-时，设21xy x =-，则原方程化成关于y 的整式方程是 ．第24题． 已知a ，b ，c 均为有理数，判定关于x 的方程2231ax x c b -++=-是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题． m 为何值时，关于x 的方程2(31m m x mx m --=是一元二次方程？写出这个一元二次方程的一般形式．第26题． 下列各式哪个不是二次三项式（ ） A ．2(0)ax bx c a ++≠，a ，b ，c 为实数 B ．22285x xy y +-C ．2132x x -- D ．2132x x--第27题． 将方程25x x +=化成一般形式是 ．第28题． 用一块长宽分别为8cm ，6cm 的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm 2的长方体盒子，据上述题意，可得方程： ．第29题． 若1x =-是20(0)ax bx c a ++=≠的一个解，你能求出b a c --的值吗？第30题． k 时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程．第31题． 某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积 为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为 米．参考答案 1.答案：3k ≠ 2.答案：C 3.答案：A4.答案：（1）2()0m n x px q ---=，二次项系数为：m n -，一次项系数p -，常数项为q -．（2）22630x x --=，二次项系数为2，一次项系数为6-，常数项为3-． 5.答案：C6.答案：32342a b -=⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴20042002220022200222002()(1(12)3a b ==-=-=-g g7.答案：123131.10k k k k k k ⎧-===-⎧⎪=⎨⎨≠-+≠⎪⎩⎩或，，∴∴8.答案：1，4-，1 9.答案：2a >-且0a ≠ 10.答案：C 11.答案：C12.答案：解：将方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+化为一般式：223(31)0mx m x m m -++-=．∵已知该方程是一元二次方程，所以0m ≠．此方程的二次项系数为3m ，一次项系数为(31)m -+，常数项为2m m -． 13.答案：D 14.答案：15.答案：解：分别取0.3x =-与0.2x =-时， 有：2(0.3)4(0.3)10.09 1.210.290--⨯--=+-=>，2(0.2)4(0.2)10.160----=<．于是，方程2410x x --=必有一根在0.3-与0.2-之间．分别取 4.2x =与 4.3x =时，有：24.24 4.210.160-⨯-=-<，24.34 4.310.290-⨯-=>因此，方程2410x x --=必有一根在4．2与4．3之间． 16.答案：C 17.答案：B 18.答案：C 19.答案：20答案：0a ≠；0a =，0b ≠ 21.答案：3k ≠-22.答案：一般形式是22890x ax a ++-=；二次项系数是1，一次项系数是2a ，常数项是89a -． 23.答案：23410y y -+=24.答案：是一元二次方程，二次项系数为a 3-，常数项为1c b -+．25.答案：m =210-= 26.答案：D27.答案：251)0x x -= 28.答案：(82)(62)15x x --= 29.答案：1 30.答案：1≠±31.答案：0，将1x =-代入20ax bx c ++=，得0a b c -+=，从而0b c a --=。
北师大版初三数学上册一元二次方程复习题(含解析)
北师大版初三数学上册一元二次方程复习题（含解析）知识讲解+例题解析+强化训练◆知识讲解1．一元二次方程的一样形式ax2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0）2．一元二次方程的解法（1）直截了当开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分b2－4ac ≥0）． 3．二元三项式ax2+bx+c=a （x －x1）（x －x2）．其中x1，x2是关于x 的方程ax2+bx+c=0•的两个实数根．4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a△>0时，•方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等实数根x1=x2=－2b a ；当△<0时，方程没有实数根．5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=－b a ，x1x2=c a．6．以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－（x1+x2）x+x1x2=0．7．使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2－4ac•解题的前提是二次项系数a ≠0．8．若x1，x2是关于x 的方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，则x1，x2是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根．9．一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（尽管是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析例1 若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情形．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，•又讨论方程解的情形的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【解答】由题知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0．利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4．当m=2时，原方程为3x=0，现在方程只有一个解，x=0．当m=－4时，原方程可化为2x2－x=0，解得x1=0，x2=12．例2 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2－1=0 （1）x2+x－2=0 （2）x2+2x－3=0 （3）x2+（n－1）x－n=0 （n）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一样进行探究．【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，因此x1=－1，x2=1．<2>（x+2）（x－1）=0，因此x1=－2，x2=1．<3>（x+3）（x－1）=0，因此x1=－3，x2=1．<n>（x+n）（x－1）=0，因此x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根差不多上整数根等．【点评】本例从教材要求的差不多知识动身，探究具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观看、类比及联想等数学思想方法的考查．例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】第一化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．∴x1=－5（舍去）x2=2．所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采纳的是间接设未知数的方法．若直截了当设出购买铁皮所需金额就困难了．◆强化训练一、填空题1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一样形式为______，其中a=___ _，b=____，c=____．2．方程（x－1）2=2的解是_______．3．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－52x+______=（x－_____）2．5．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．6．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．7．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____．8．两个连续整数的积为210，则这两个数分别是_____．9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．10．假如a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a －5，那么a 的取值范畴是______．二、选择题11．关于x 的一元二次方程2x2－3x －a2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1 BC D12．若关于x 的一元二次方程（m －1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．013．关于x 的一元二次方程x2－（k+1）x+k －2=0的根的情形是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定14．已知关于x 的方程x2－（2k －1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k•的最大整数值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．115．方程mx2－4x+1=0 ）A ．14B ．2m C ．2m D ．以上都不对16．关于x 的一元二次方程x2－3x+k=0有实数根，则k 的取值范畴是（ ）A ．k<94B ．k>94C ．k ≤94D ．k ≥94 17．方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x2+ax+b=0 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和318．若a ，b 是方程x2+2x －2021=0的两个不相等的实数根，则a2+3a +b 的值是（ ）A ．－2021B ．2021C ．2021D ．2021三、解答题19．解方程：（1）x2－6x+9=（5－2x）2 （2）x2－4x+1=020．汽车产业的进展，•有效促进我国现代化建设，•某汽车销售公司2 021年盈利1500万元，到2021年盈利2160万元，且从2021年到2021年，•每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2021年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率连续保持不变，估量2021年盈利多少万元？21．假如方程ax2－bx－6=0与方程ax2+2bx－15=0有一个公共根是3，求a，b的值，•并求方程的另一个根．22．某村打算建筑如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？23．黄冈百货商店服装柜在销售中发觉：•“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉，•假如每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，•那么每件童装应降价多少元？24．近年来，由于受国际石油市场的阻碍，汽油价格不断上涨，•请你依照图所示的信息，帮小明运算今年5月份汽油的价格．25．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，•某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此运算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，•用油的重复利用率仍旧为60%，问甲车间技术革新后，•加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，同时发觉在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，如此乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？参考答案1．5x2－x－3=0 5 －1 －3 2．，x2=13．－34．9 3 2516545．x1=1，x2=－2，x3=3 6．（x－1）（x+2）7．p=±28．14，15或－15，－14 9．6，12，10 10．a>－111．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．C 18．D19．（1）x1=83，x2=2（2）x2－4x+1=0，x2－4x+4－4+1=0∴（x－2）2=3，x－2=∴x2=220．（1）设每年盈利的年增长率为x，依照题意得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：2021年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：估量2021年该公司盈利2592万元．21．方程①的另外一根是－2，方程②的另外一根是－5．22．解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，依照题意，得（x－2）·（2x－4）=288．解那个方程，得x1=－10（不合题意，舍去），x2=14．因此x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．依照题意，得（12x－2）·（x－4）=288．解那个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=28．因此x=28×12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．23．设每件童装应降价x元，由题意，得（40－x）（20+2x）=1200，整理，得x2－30x+200=0，（x－10）（x－20）=0，∴x－10=0或x－20=0，解得x1=10，x2=20，因要尽快减少库存，故x•应取20．24．设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为（x－1．8）元/升．•依照题意，得1501.8x －150x=18.75，整理得x2－1.8x－14.4=0，解那个方程，得x1=4.8，x2=－3．经检验两根都为原方程的根，但x2 =－3不符合实际意义，故舍去．答：今年5月份的汽油价格为4.8元/升．25．（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%kg=28kg．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg．由题意，得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12．整理，得x2－65x－750=0，解得：x1=75，x2=－10（舍去）．（90－75）×1.6%+60%=84%．答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为7 5kg，•用油的重复利用率为84%．。
北师大版初三数学上册《一元二次方程的解法(三)公式法,因式分解法》巩固练习含解析
北师大版初三数学上册《一元二次方程的解法（三）公式法，因式分解法》巩固练习含解析【巩固练习】【一】选择题1.方程x2+x ﹣12=0的两个根为〔 〕A 、x1=﹣2，x2=6B 、x1=﹣6，x2=2C 、x1=﹣3，x2=4D 、x 1=﹣4，x2=32．整式x+1与整式x-4的积为x2-3x-4，那么一元二次方程x2-3x-4＝0的根是( )A 、x1＝-1，x2＝-4B 、x1＝-1，x2＝4C 、x1＝1，x2＝4D 、x1＝1，x2＝-43．如果x2+x-1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A 、6B 、8C 、-6D 、-84．假设关于x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2＝0的常数项为0，那么m 的值等于( )A 、1B 、2C 、1或2D 、05．假设代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，那么x 的取值是( ) A 、x ＝2或x ＝1 B 、x ＝2且x ＝1C 、x ＝2D 、x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，那么该等腰三角形周长是( )A 、12B 、9C 、13D 、12或9【二】填空题7．实数x 满足4x2-4x+1＝0，那么代数式122x x +的值为________． 8．y ＝x2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．假设方程2x mx n ++可以分解成〔x-3〕与(x+4)的积的形式，那么m＝________，n ＝________．10．假设规定两数a 、b 通过〝※〞运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)那么3※5的值为；(2)那么x※x+2※x-2※4＝0中x的值为；(3)假设无论x是什么数，总有a※x＝x，那么a的值为．11．阅读下面的材料，回答以下问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1= 1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．〔1〕在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，表达了数学的转化思想．〔2〕方程〔x2+x〕2﹣4〔x2+x〕﹣12=0的解为．【三】解答题12. 用公式法解以下方程：2ab x a x b x a b+=+>．(1)210(1)()--=；〔2〕22222 x ax13．用适当方法解以下方程：〔1〕〔2x-3〕2=25 (2)x2-4x+2=0 (3)x2-5x-6=0 14．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x2+2x+1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+ x2＝________，x1·x2＝________．②方程x2-3x-1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x 2＝________，x1·x2＝________．③方程3x2+4x-7＝0的根为x1＝_______，x2＝________，x1+ x2＝________，x1·x2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，且b2-4 ac≥0)的两根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x1、x2是方程2x2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求以下各式的值：【一】选择题【解析】x2+x ﹣12=〔x+4〕〔x ﹣3〕=0，那么x+4=0，或x ﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．应选D 、【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．【解析】由常数项为0可得m2-3m+2＝0，∴ (m-1)(m-2)＝0，即m -1＝0或m-2＝0，∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m-1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2．【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．【解析】x2-7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．【二】填空题【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==， 所以121122x x +=+=． 【解析】此题把y 的值代入得到关于x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-．【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m ＝1，n ＝-12．【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-；(3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立．【解析】解：〔1〕换元，降次〔2〕设x2+x=y ，原方程可化为y2﹣4y ﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【三】解答题〔1〕∵1,2,1,a b a c ==-=-〔2〕222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝aB 、解：〔1〕直接开平方得：2x-3=±5，∴2x-3= 5或2x-3=-5∴x1= 4，x2= -1〔2〕∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b2-4ac=16-8=8.〔3〕分解因式得：〔x-6〕(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x1= 6，x2= -1.(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.② 32+ ；32- ； 3 ；-1. ③7 4-7； ；b a - ；c a . (3)1232x x +=-，1212x x =-g ．。
2021年北师版数学九年级上册小专题(一) 一元二次方程的解法
专题(一) 一元二次方程的解法投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》翰辰学校李道友组长1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－16＝0；(2)3x2－27＝0；(3)(x－2)2＝9；(4)(2y－3)2＝16.2．用配方法解下列方程：(1)x2－4x－1＝0；(2)2x2－4x－8＝0；(3)3x2－6x＋4＝0；(4)2x2＋7x＋3＝0.3．用公式法解下列方程：(1)x2－23x＋3＝0；(2)－3x2＋5x＋2＝0；(3)4x2＋3x－2＝0；(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．4．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝0；(2)(x－3)2－9＝0；(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；(4)2(t－1)2＋8t＝0；(5)3x＋15＝－2x2－10x；(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．5．用合适的方法解下列方程：(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(2)5(x－3)2＝x2－9；(3)t2－22t＋18＝0.参考答案1.(1)移项，得x2＝16，根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.(2)移项，得3x2＝27，两边同除以3，得x2＝9，根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝72，y2＝－12.2.(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋4，即(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－ 5.(2)移项，得2x2－x＝8.两边都除以2，得x2－2x＝4.配方，得x2－2x＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.(3)移项，得3x2－6x＝－4.二次项系数化为1，得x2－2x＝－43.配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，即(x－1)2＝－13.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．(4)移项，得2x2＋7x＝－3.方程两边同除以2，x2＋72x＝－32.配方，得x2＋72x＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x＋74)2＝2516.直接开平方，得x＋74＝±54.∴x1＝－12，x2＝－3.3.1)∵a＝1，b＝－23，c＝3，b2－4ac＝(－23)2－4×1×3＝0，x＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x1＝x2＝ 3.(2)方程的两边同乘－1，得3x2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝错误!未定义书签。
北师大版九年级上册第二章一元二次方程(解方程及判别式专题)同步测试
北师大版九年级上册第二章一元二次方程〔解方程及判别式专题〕同步测试一、解答题1. 解方程:(用配方法)(1)x2-2x-2=0; (2)2x2+3=7x.2. 解以下方程:(1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=(√3)2;(3)(x+5)(x-5)=24; (4)x2-6x+9=2;(5)(x+2)2-16=0; (6)(x-1)2-18=0.3. 解方程(2x-1)2=x(3x+2)-7.4. 用配方法解方程x2-4x+1=0.5. 用配方法解方程:x2-6x-6=0.6. 用配方法解以下方程.(1)x2+2mx-n2=0; (2)4x2-7x-2=0.7. 用适当的方法解以下一元二次方程:(1)2(x-3)2=18; (2)x(x-5) =7x; (3)x2-2x-4=0.8. 解方程:(1)x2=121; (2)(x+2)2=324;289(3)5(x-3)2=125;(4)(2x+3)2=(x+4)2.9. 解以下方程(1)x2-2x-2=0; (2)(x+3)2-2x(x+3)=0.10. 用因式分解法解以下方程:(1)3y2-6y=0; (2)x2-8x+16=0;(3)(1+x)2-9=0; (4)(x-4)2=(5-2x)2.11. 用公式法解以下方程:(1)2x2-4x-1=0; (2)4x2-3x+1=0;(3)3x2=5x+2; (4)(x-2)(3x-5)=1;第 1 页(5)4x2+4x+10=1-8x.12. 解以下一元二次方程.(1)2x2-4x-3=0; (2)(x-2)(x+3)=-4.13. 解方程:3x(x-2)=2(2-x).14. 解方程:(1)(3x+8)2-(2x-3)2=0; (2)2x2-6x+3=0.15. 解方程:2(x-3)=3x(x-3).16. 请利用公式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq解决以下问题:(1)因式分解:①x2+5x+6; ②x2-x-6. (2)解方程:①x2+6x+8=0; ②x2-2x-8=0.17. 关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7,试求方程ax2=b的两根.18. 一元二次方程x2-4x+1+m=5,请你任取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.(1)你选的m的值是;(2)解这个方程.19. 关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)假设△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.20. 关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)假设此方程的一个根是1,恳求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.21. 当m为何值时,关于x的一元二次方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0.(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根.22. 某校甲、乙两同学对关于x的方程:-3(x-1)2+m=0进展探究,其结果:甲同学发现,当m=0时,方程的两根都为1,当m>0时,方程有两个不相等的实数根;乙同学发现,无论m取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零.第 3 页(1)请找一个m 的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数,并求这两个根; (2)乙同学发现的结论是否正确?试证明.23. 关于x 的一元二次方程mx 2-2(2m +1)x +4m -1=0. (1)当m 为何值时,方程有两个相等的实数根? (2)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根? (3)当m 为何值时,方程无实数根? 24. :关于x 的方程kx 2+(2k -3)x +k -3=0. (1)求证:方程总有实数根.(2)当k 取哪些整数时,关于x 的方程kx 2+(2k -3)x +k -3=0的两个实数根均为负整数? 25. 关于x 的方程x 2-(k +2)x +2k =0.(1)求证:无论k 取任何实数值,方程总有实数根;(2)假设等腰三角形ABC 的一边长a =1,另两边长b ,c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.26. x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根.(1)是否存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立?假设存在,求出a 的值;假设不存在,请你说明理由; (2)求使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值.27. a ,b 为关于x 的一元二次方程x 2-2(m -2)x +m 2=0的两个实数根,且满足a 2-ab +b 2=16,求m 的值. 28. 关于x 的一元二次方程x 2+3x +m -1=0的两个实数根分别为x 1x 2. (1)求m 的取值范围;(2)假设2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0,求m 的值.29. 关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2. (1)务实数k 的取值范围.(2)是否存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立?假设存在,恳求出k 的值;假设不存在,请说明理由.30. x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个非零实数根,问x 1和x 2能否同号?假设能同号,恳求出相应的m 的取值范围;假设不能同号,请说明理由.31. 两方程x 2-mx +5+m =0和x 2-(7m +1)x +13m +7=0至少有一个一样的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积.32. 关于x 的一元二次方程x 2+cx +a =0的两个整数根恰好比方程x 2+ax +b =0的两根都大1,求a +b +c 的值.33. 关于x 的方程mx 2-(m +2)x +2=0(m ≠0). (1)求证:方程总有两个实数根;(2)假设方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值. 34. 一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)假如k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个一样的根,求此时m 的值.35. 阅读下面的例题,解方程(x -1)2-5|x -1|-6=0.例:解方程x 2-|x |-2=0.解:原方程化为|x |2−|x |-2=0.令y =|x |,原方程化成y 2-y -2=0.解得y 1=2,y 2=-1.当|x |=2时,x 1=2,x 2=-2;当|x |=-1时,不合题意,舍去.∴原方程的解是x 1=2,x 2=-2.北师大版九年级上册第二章一元二次方程〔解方程及判别式专题〕同步测试参考答案1.(1) 【答案】配方,得(x -1)2=3,所以x -1=±√3,所以原方程的解为x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2) 【答案】移项,得2x 2-7x =-3,二次项系数化为1,得x 2-72x =-32.配方,得x 2-72x +(-74)2=-32+(-74)2,整理,得(x -744)2=2516,所以x -74=±54,所以原方程的解为x 1=3,x 2=12.2.(1) 【答案】由题意得x 2=9,∴x =±3,∴x 1=3,x 2=-3.(2) 【答案】∵2x -1=±√3,∴x =1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√32. (3) 【答案】整理,得x 2=49,∴x =±7,∴x 1=7,x 2=-7.(4) 【答案】原方程变为(x -3)2=2,∴x -3=±√2,∴x =3±√2,∴x 1=3+√2,x 2=3-√2.(5) 【答案】移项,得(x +2)2=16,∴x +2=±4,∴x =-2±4,∴x 1=2,x 2=-6. (6) 【答案】移项,得(x -1)2=18,∴x -1=±3√2,∴x =1±3√2,∴x 1=1+3√2,x 2=1-3√2.3. 【答案】原方程可化为4x 2-4x +1=3x 2+2x -7,即x 2-6x +8=0.∴(x -3)2=1. ∴x -3=±1. ∴x 1=2,x 2=4.第 5 页4. 【答案】将原方程移项得x 2-4x =-1,配方得x 2-4x +4=-1+4,即(x -2)2=3,∴x =2±√3.故原方程的解为x 1=2+√3,x 2=2-√3.5. 【答案】x 2-6x -6=0,即x 2-6x =6, x 2-6x +(-3)2=6+(-3)2,(x -3)2=6+9,(x -3)2=15,即x -3=√15或x -3=-√15,所以x 1=3+√15,x 2=3-√15.6.(1) 【答案】移项,得x 2+2mx =n 2,配方,得x 2+2mx +m 2=n 2+m 2,即(x +m )2=m 2+n 2,开平方,得x +m =±√m 2+n 2,故x 1=-m +√m 2+n 2,x 2=-m -√m 2+n 2.(2) 【答案】4x 2-7x -2=0,方程两边都除以4,得x 2-74x -12=0,移项,得x 2-74x =12,配方,得x 2-74x +(78)2=12+(78)2,即(x -78)2=8164,开平方,得x -78=±98,即x -78=98或x -78=-98.故x 1=2,x 2=-14.7.(1) 【答案】原方程可变形为(x -3)2=9, 即x -3=3或x -3=-3, ∴x 1=6,x 2=0.(2) 【答案】原方程变形为x (x -5)-7x =0.x [(x -5)-7]=0.即x =0或x -12=0. ∴x 1=0,x 2=12.(3) 【答案】方法1:a =1,b =-2,c =-4.∵b 2-4ac =(-2)2-4×1×(-4) =20>0, ∴x =-(-2)±√202=2±2√52,即x 1=1+√5,x 2=1-√5.方法2:原方程可变形为x 2-2x =4, 配方,得x 2-2x +1=4+1, 即(x -1)2=5, ∴x -1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.8.(1) 【答案】因为x =±√121289,即x =±1117,所以x 1=1117,x 2=-1117. (2) 【答案】因为x +2=±√324,所以x +2=±18,即x +2=18或x +2=-18, 所以x 1=16,x 2=-20.(3) 【答案】因为5(x -3)2=125,即(x -3)2=25,所以(x -3)2=52, 即x -3=5或x -3=-5,所以x 1=8,x 2=-2.(4) 【答案】因为(2x +3)2=(x +4)2,即2x +3=x +4或2x +3=-x -4,所以x 1=1,x 2=-73.9.(1) 【答案】 x 2-2x -2=0.移项,得x 2-2x =2,配方,得x 2-2x +(-1)2=2+(-1)2,即(x -1)2=3,开平方,得x -1=±√3, 所以x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2) 【答案】(x +3)2-2x (x +3)=0,(x +3)(x +3-2x )=0,所以x +3=0或x +3-2x =0, 所以x 1=-3,x 2=3.10.(1) 【答案】有公因式3y ,提出来化为3y (y -2)=0,∴3y =0,或y -2=0,∴y 1=0,y 2=2.(2) 【答案】这是一个完全平方式(x -4)2=0,∴x 1=x 2=4.(3) 【答案】等式左边是两数的平方差,利用平方差公式得(1+x +3)(1+x -3)=0,即(x +4)(x -2)=0,∴x +4=0,或x -2=0.∴x 1=-4,x 2=2.(4) 【答案】移项,得(x -4)2-(5-2x )2=0,由平方差公式得(x -4+5-2x )(x -4-5+2x )=0,即(1-x )(x -3)=0,∴1-x =0,或x -3=0,∴x 1=1,x 2=3.11.(1) 【答案】b 2-4ac =(-4)2-4×2×(-1)=24>0.∴x =-(-4)±√242×2=4±2√64=2±√62,∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2) 【答案】b 2-4ac =(-3)2-4×4×1=-7<0.∴方程无实数根.第 7 页(3) 【答案】b 2-4ac =(-5)2-4×3×(-2)=49>0.∴x =-b±√b 2-4ac2a=5±76.∴x 1=5+76=2,x 2=5-76=-13. (4) 【答案】方程化为3x 2-11x +9=0.a =3,b =-11,c =9.∴b 2-4ac =(-11)2-4×3×9=13>0.∴x =-(-11)±√132×3=11±√136, ∴x 1=11+√136,x 2=11-√136. (5) 【答案】移项得4x 2+12x +9=0.a =4,b =12,c =9.∴b 2-4ac =0,∴x 1=x 2=-124×2=-32.12.(1) 【答案】2x 2-4x -3=0,x 2-2x -32=0,移项,得x 2-2x =32.配方,得x 2-2x +1=32+1,即(x -1)2=52, 两边开平方,得x -1=±√102,即x =1±√102,所以x 1=1+√102,x 2=1-√102. (2) 【答案】(x -2)(x +3)=-4,整理,得x 2+3x -2x -6=-4, 移项,得x 2+x =2,配方,得x +x +(12)2=2+(12)2,即(x +12)2=94,两边开平方,得x 2+12=±32, x +12=32或x +12=-32. 所以x 1=1,x 2=-2.13. 【答案】3x (x -2)=2(2-x )整理得3x (x -2) +2(x -2)=0,因式分解得(3x +2)(x -2)=0,即3x +2=0或x -2=0,解得x 1=-23,x 2=2.14.(1) 【答案】(3x +8+2x -3)(3x +8-2x +3)=5(x +1)(x +11)=0,∴x +1=0或x +11=0,∴x 1=-1,x 2=-11.(2) 【答案】∵a =2,b =-6,c =3,∴b 2-4ac =36-24=12.∴x =6±√122×2=6±2√34=3±√32,∴x 1=3+√32,x 2=3-√32.15. 【答案】原方程可化为(x -3)(2-3x )=0,∴x 1=3,x 2=23.16.(1) 【答案】①2与3的和为5,积为6,所以有x 2+5x +6=(x +2)(x +3).②2与-3的和为-1,积为-6,所以有x 2-x -6=(x +2)(x -3).(2) 【答案】①找到一组数：2,4,有2+4=6,2*4=8,,所以有(x +2)(x +4)=0,∴x +2=0,或x +4=0,∴x 1=-2,x 2=-4.②找到一组数：2,-4,有2+(-4)=-2,2*(-4)=-8,所以有(x +2)(x -4)=0,∴x +2=0,或x -4=0,∴x 1=-2,x 2=4.17. 【答案】根据x 2=a 2⇔x =±a 可得m -1与2m +7互为相反数,所以m -1+2m +7=0,解得m =-2.所以m -1=-2-1=-3,2m +7=2×(-2)+7=3,即方程ax 2=b 的两根为x 1=-3,x 2=3. 18.(1) 【答案】3(2) 【答案】当m =3时,原方程可化为x 2-4x +1+3=5,所以(x -2)2=5,所以x -2=±√5,所以x =2±√5.所以x 1=2+√5,x 2=2-√5.答案不唯一.例如还可以取m=8,此时有x 2−4x +4=0,即(x −2)2=0,x =2. 19.(1) 【答案】∵Δ=(2k +1)2-4(k 2+k )=1>0, ∴方程有两个不相等的实数根;(2) 【答案】一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0的解为x =2k+1±√12,即x 1=k ,x 2=k +1,当AB =k ,AC =k +1,且AB =BC 时, △ABC 是等腰三角形,那么k =5; 当AB =k ,AC =k +1,且AC =BC 时,△ABC 是等腰三角形,那么k +1=5,解得k =4. 20.(1) 【答案】证明:方程的判别式为∆=[-(m +2)]2-4×1×(2m -1)=m 2-4m +8=(m -2)2+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根.(2) 【答案】方程的一个根是1,把x =1代入方程x 2-(m +2)x +(2m -1)=0中,解得m =2,∴原方程为x 2-4x +3=0,解这个方程得:x 1=1,x 2=3,∴方程的另一个根为x =3.当1,3为直角三角形的两直角边长时,斜边长为√12+32=√10,∴周长为1+3+√10=4+√10,当3为斜边长时,另一直角边长为√32-12=2√2,∴周长为1+3+2√2=4+2√2.21.(1) 【答案】方程的判别式为∆=[-(4m +1)]2-4×2×(2m 2-1)=8m +9.(1)当8m +9>0,即m >-98时,方程有两个不相等的实数根.(2) 【答案】当8m +9=0,即m =-98时,方程有两个相等的实数根. (3) 【答案】当8m +9<0,即m <-98时,方程没有实数根.22.第 9 页(1) 【答案】由探究结果可知,取的m 的数值为一个正数,或者可以这样由于-3(x -1)2+m =0可化为(x -1)2=m3,取m =27,可使原方程的两个根为互不相等的整数,此时(x -1)2=9,所以x -1=±3,所以x =1±3,所以原方程的两个根为x 1=4,x 2=-2.(答案不唯一).(2) 【答案】乙同学发现的结论正确.证明如下:当m >0时,由(x -1)2=m3,可得x =1±√m3,∴x 1=1+√m3,x 2=1-√m3.因为1+√m3+1-√m3=2,所以无论m 取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零,所以乙同学发现的结论正确.23.(1) 【答案】∵a = m ,b =-2(2m +1),c =4m -1,∴Δ=b 2-4ac =4(2m +1)2-4m (4m -1)=20m +4.∵方程有两个相等的实数根, ∴20m +4=0,解得m =-15.因此,当m =-15时,方程有两个相等的实数根.(2) 【答案】∵方程有两个不相等的实数根, ∴20m +4>0且m ≠0,解得m >-15且m ≠0.因此,当m >-15且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根.(3) 【答案】∵方程无实数根, ∴20m +4<0,解得m <-15.因此,当m <-15时,方程无实数根.24.(1) 【答案】分类讨论:当k =0时,此方程为一元一次方程,即-3x -3=0, ∴x =-1,符合题意;当k ≠0时,此方程为一元二次方程,∴Δ=(2k -3)2-4k (k -3)=9>0,∴方程有两个不相等的实数根. 综上所述,方程总有实数根.(2) 【答案】因为方程有两个实数根,所以方程为一元二次方程,利用求根公式求得x =-(2k -3)±√92k, 即x 1=6-2k 2k=3k -1,x 2=-1.∵方程有两个负整数根,∴3k-1是负整数,即k 是3的约数, ∴k =±1,±3,但k =1或k =3时,根不是负整数, ∴k =-1或k =-3.25.(1) 【答案】证明:证法一：因为方程的判别式为∆=[-(k +2)]2-4×1×2k =(k -2)2≥0, ∴无论k 取任何实数值,方程总有实数根.证法二：方程可以因式分解为(x −2)(x −k)=0,方程的两根为2,k ,所以命题得证.(2) 【答案】解法一:①当b =c 时,∆=(k -2)2=0,∴k =2,∴b +c =k +2=2+2=4,又b =c ,∴b =c =2,∵2,2,1符合三角形的三边关系,∴△ABC 的周长=4+1=5;②当b ,c 中有一个与a 相等时,不妨设b =a =1,∵1是方程x 2-(k +2)x +2k =0的一个根,∴12-(k +2)×1+2k =0,解得k =1,∴b +c =k +2=1+2=3,∴c =3-b =3-1=2,∵2,1,1不符合三角形的三边关系,∴a 不能为△ABC 的腰长.综上所述,△ABC 的周长为5.解法二：由题意得另两边长分别为2,k ,因为ΔABC 为一个等腰三角形,所以k =1,或k =2,但k =1时构不成三角形,所以k =2.此时三角形的周长为1+2+2=5.26.(1) 【答案】首先应有a −6≠0.∵x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根,∴由根与系数的关系可知,x 1x 2=a a -6,x 1+x 2=-2a a -6.∵一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0有两个实数根,∴∆=4a 2-4(a -6)·a ≥0,且a -6≠0,解得a ≥0且a ≠6.∵-x 1+x 1x 2=4+x 2,∴x 1x 2=4+(x 1+x 2),即a a -6=4-2aa -6,解得a =24,∴存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立,a 的值是24;(2) 【答案】∵(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=aa -6−2aa -6+1=-6a -6,∴当(x 1+1)(x 2+1)为负整数且a 为整数时,有a -6=6,a -6=3,a -6=2,a -6=1,∴a =12,9,8,7,∴使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值有12,9,8,7.27. 【答案】根据根与系数的关系,得a +b =2(m -2),ab =m 2.因为a 2-ab +b 2=16,所以(a +b )2-3ab =16,所以[2(m -2)]2-3m 2=16,整理,得m 2-16m =0,解得m 1=0,m 2=16.当m =0时,方程的常数项变为0,方程化为x 2+4x =0,符合题意.当m =16时,∆=[-2(m -2)]2-4m 2=282-4×162=-240<0,不符合题意,舍去.所以m =0.28.(1) 【答案】∵原方程有两个实数根,∴∆=9-4(m -1)≥0,解得m ≤134.(2) 【答案】由题意得x 1+x 2=-3,x 1x 2=m -1,∴2×(-3)+(m -1)+10=0,解得m =-3.29.(1) 【答案】∵x 2-(a +b )x +ab -1=0有两个实数根,∴Δ= [-(2k +1)]2-4(k 2+2k )≥0,整理得1-4k ≥0,解得k ≤14. 故当k ≤14时,原方程有两个实数根.(2) 【答案】假设存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立.∵x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2, ∴x 1+x 2=2k +1,x 1·x 2=k 2+2k.∵x 1·x 2-x 12−x 22≥0,即3x 1·x 2-(x 1+x 2)2≥0,∴3(k 2+2k )-(2k +1)2≥0,整理得-(k -1)2≥0, ∴只有当k =1时,上式才能成立. 又由第1问知k ≤14,第 11 页故不存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立.30. 【答案】∵关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0有两个非零实数根,∴Δ=[4(m -1)]2-4×4m 2=-32m +16≥0,解得m ≤12.又∵x 1,x 2是方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个实数根,∴x 1+x 2=-(m -1),x 1·x 2=14m 2.x 1,x 2同号存在两种可能: (1)假设x 1<0,x 2<0,那么有{x 1+x 2<0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)<0,14m 2>0. 解得m >1.∵m ≤12时方程才有实数根,∴此种情况不成立. (2)假设x 1>0,x 2>0,那么有{x 1+x 2>0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)>0,14m 2>0.解得m <1.∵m ≤12时方程才有实数根, ∴当m ≤12时,两根能同号.31. 【答案】设两方程的一样根为α,根据根的意义可得{α2-mα+5+m =0,α2-(7m +1)α+13m +7=0.两式相减,得(6m +1)α=2(6m +1),当6m +1=0时,m =-16,方程x 2-mx +5+m =0根的判别式Δ=(-m )2-4(m +5)=(16)2-4×(-16+5)=136−583<0,那么方程无实数解,不合题意.当6m +1≠0时,有实数解a =2(6m+1)6m+1=2, 代入方程x 2-mx +5+m =0,得22-m ×2+5+m =0,解得m =9.∴两方程为x 2-9x +14=0,x 2-64x +124=0.故这两个方程的四个实数根的乘积为:14×124=1 736.32. 【答案】设方程x 2+ax +b =0的两个根为α,β,其中α,β为整数且α≤β,那么方程x 2+cx +a =0的两根为α+1,β+1,由根与系数的关系可得α+β=-a ,(α+1)(β+1)=a ,两式相加,可得αβ+2α+2β+1=0,即(α+2)(β+2)=3.所以{α+2=1,β+2=3或{α+2=-3,β+2=-1.解得{α=-1,β=1或{α=-5,β=-3.又因为a =-(α+β),b =αβ,c =-[(α+1)+(β+1)],所以a =0,b =-1,c =-2或a =8,b =15,c =6.因此a +b +c =-3或29.33.(1) 【答案】∵Δ=(m +2)2-4×2m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=(m -2)2≥0,∴方程总有两个实数根. (2) 【答案】mx 2-(m +2)x +2=0,即(x -1)(mx -2)=0, ∴x 1=1,x 2=2m.∵x 1=1为整数,∴只需求x 2=2m 为整数即可,∴正整数m 的值为1或2.34.(1) 【答案】对于方程x 2-4x +k =0中a =1,b =-4,c =k ,因为方程有两个不相等的实数根,所以Δ=b 2-4ac =(-4)2-4×1×k >0,因此k <4.(2) 【答案】由第1问知k 取的最大整数为3,将k =3代入方程x 2-4x +k =0中得x 2-4x +3=0, 解得x 1=1,x 2=3.当一样的根为x =1时,m =0;当一样的根为x =3时,m =-83.35. 【答案】该解法的原理是x 2=|x|2,比照例题解法,原方程可以化为|x -1|2-5|x -1|-6=0.令y =|x -1|,原方程化成y 2-5y -6=0.解得y 1=6,y 2=-1.当|x -1|=6时,x 1=7,x 2=-5;当|x -1|=-1时,不合题意,舍去.∴原方程的解是x 1=7,x 2=-5.。