东莞市2012届高三文科数学模拟试题(一)(东莞一模)

广东省东莞市2012届高三文科数学模拟试题(一)一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}B=|0x x x R ≥∈，，则A B ⋂=A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅2．已知复数i z +=21，21z ai =-，a R ∈，若z = 12z z ⋅在复平面上对应的点在虚轴上，则a 的值是 A ．-12 B ．12C ．2D ．-2 3．已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310a a a a ++++=A ．55-B ．5-C ．5D ．554.若,x y 满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为A ．20B ．22C ．24D ．285．在回归分析中，残差图中纵坐标为 A.残差 B.样本编号C._x D.µi y 6．如图所示的程序框图运行的结果是A ．12012 B ．12013 C ．20112012 D ．201220137．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则其解析式可以是 A ．3sin(2)3y x π=+B ．3sin(2)3y x π=-+C ．13sin(212y x π=+ D ．13sin(212y x π=-+8．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为A ．24y x = B. 24y x =－ C. 24x y = D. 28y x =9. ,,,A B C D 四位同学分别拿着5342，，，个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个。

要使他们打完水所花的总时间（含排队、打水的时间）最少，他们打水的顺序应该为 A. D B C A ，，，B. ,,,A B C DC. ,,,A C B DD. 任意顺序10．对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ,都有x m x *=，则m 的值是A.4B.4-C.5-D.6二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。

11．若1()21xf x a =+-是奇函数，则a = ． 12．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是 ．13．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为2，则OA OB ⋅的值为 ．（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C的切线交AB 的延长线于点D ，正视图 俯视图侧视图15.（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点)3, 1(πA ，)32, 3(πB ，O 是极点，则AOB ∆的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （其中a b c ≤≤），设向量cos sin m B B =（，），(0,n =，且向量m n -为单位向量．（1）求∠B 的大小；（2）若1b a ==，求△ABC 的面积．17．（本小题满分14分）如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H G ,是BE DF ,的中点．（1）求证：CDE BD 平面⊥； （2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．DE18．（本题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？19．（本题满分14分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n nn b b b T a b +++== 21,2，若)(Z m m T n ∈<对*N n ∈恒成立，求m 的最小值.频率分布表20．（本题满分14分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ， 直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵 坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （1）设12e =，求BC 与AD 的比值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．21.（本小题满分14分）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈． （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.东莞市2012届高三文科数学模拟试题(一)参考答案一、选择题1～5：CDCBA ； 6～10：DBABA 二、填空题11. 12 12．π63 13．2 14．273 15.433 三、解答题16．（本题满分12分）解：（1）(cos ,sin ||1m n B B m n -=-=--------------------2分∴22cos (sin 1,sin B B B +==--------------------4分 又B 为三角形的内角，由a b c ≤≤，故3B π=--------------------6分（2）根据正弦定理，知sin a b sinA B =，即1sin 3sinA π=， ∴1sin 2A =，又a b c ≤≤，∴6A π= --------------------9分 故C ＝2π，△ABC的面积＝122ab =----------------------12分17．（本题满分14分）（1）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为ADAD ED ⊥∴ABCD ED 平面⊥ ----------2分 ∴BD ED ⊥又 CD BD ⊥DE∴CDE BD 平面⊥ --------4分 （2）证明：连结EA ，则G 是AE 的中点∴EAB ∆中，AB GH // ---------------6分 又 CD AB // ∴//GH CD∴//GH 平面CDE -------------8分（3）解：设BCD Rt ∆中BC 边上的高为h 依题意：3121221⋅⋅=⋅⋅h ∴23=h 即：点C 到平面DEF 的距离为23---------------10分 ∴3323222131=⋅⋅⋅⋅==--DEF C CEF D V V -----------------14分18．（本题满分12分）解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, ……………… 1分第3组的频率为300.300100=, ……………… 2分 频率分布直方图如下: ……………… 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为：第3组:306360⨯=人, ……… 6分 第4组:206260⨯=人, ……… 7分 第5组:106160⨯=人, ……… 8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C …………… 10分第4组至少有一位同学入选的有:11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9种可能。

所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93155=………… 12分19．（本题满分14分）解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ， …………3分)12(log )(3-=∴x x f*)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==- ………6分（2）由（1）得nn n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①2311113252321222222n n n n n n n T -+---=+++++ ② ①-②得123111122111122222122222221111121()222222n n n n n n n n T n -+--+-=+++++--=+++++-112122123+----=n n n . nn n n n n T 23232122132+-=---=∴-， …………10分 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(2522252)()1(1<+≤++=++=+=++n n n n n f n f nn 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小，n T 随n 的增大而增大。

+∞→∴n 当时，3→n T又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m …………14分20．（本题满分14分）解：（1）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,2A B e b y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（2）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e -=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当0e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………14分21.（本小题满分14分）解：（1）当1a =－时，2()ln 1,(0,)f x x x x x=++∈+∞－/2/12()1(2)ln 22,(2)1, ln 2f x f x xf y x =+=+==－，所以切线方程为：－， ……………………6分（2）因为11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以211)('x a a x x f -+-=221xax ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x ……………………8分（Ⅰ）当a=0时，()1, (0,)g x x x =+∈+∞－所以当(0,1)x ∈时g(x)>0,，此时()0f x <，函数()f x 单调递减，（Ⅱ）当0a ≠时，由()=0f x ，欢迎关注@高考直通车 ：/gaokao96040·11· 解得：1211,1x x a==－……………………10分 ①若12a =,函数f(x)在(0,+)∞上单调递减，……………………11分 ②若102a <<，在1(0,1), (1)a +∞－，单调递减，在1(1, 1)a －上单调递增. ③ 当a<0时，由于1/a-1<0,x ∈(0,1)时，g(x)>0,此时f ,(x)<0函数f(x)单调递减； x ∈（1 ，∞）时，g(x)<0此时函数f ,(x)<0单调递增。