3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式素材

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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

5 119 cos4α = 1- 2sin 2α = 1- 2 = 13 169
2
2
120 sin4α 120 169 tan4α = = =119 cos4α 119 169
教材习题答案
α 24 α 7 α 24 α α = , cos = , tan = .注意是的2 倍， 4 25 4 25 4 7 4 8 α 3π 由8π < α < 12π可得π < < . 8 2 7 2、 25 1、sin
跟踪训练
1．(1)已知
求sin 2α，cos 2α，tan 2α之值．
π (2)已知 tan x＋＝2，则 tan x tan 2x 4 ________．
3 12 cos α＝－，α∈ π，2π ， 13
的值为
跟踪训练
π π 3π 2 2．已知 cos x－4 ＝，x∈ 2， 4 . 10 (1)求 sin x 的值； π (2)求 sin 2x＋3 的值．

k ,且 2 4
k ， k Z
2
对于 C 2 能否有其它表示形式？
cos 2 2 cos 2 1
cos 2 1 2 sin
2
公式中的角是否为任意角？
引申：公式变形：
1 sin2 (sin cos )
1 cos2 2 cos
二倍角公式的简单应用 α 已知 tan ＝2，求： 2
π 6sin α＋cos α (1)tan α＋4 的值； (2) 的值． 3sin α－2cos α
ห้องสมุดไป่ตู้
分析：本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简单应用．

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

1 cos2 2 cos2 1 cos 2 2 si n2
(2)原式 = Nhomakorabea sin 20 cos 20
0
0 2

sin 200 cos 200 sin 200 cos 200 ,
0 (3)原式= 2cos2 100 2 cos10 2 cos100
cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2
1 sin 2 (sin cos ) 2 2 升幂公式： 1 ＋ cos 2 2 cos 1 cos 2 2sin 2 sin 2 sin cos 2 1＋cos 2 2 降幂公式： cos ＝ 2 1－cos 2 2 sin ＝ 2
2 tan tan 2 2 1 tan
( S 2 ) (C 2 ) (T2 )
思考：公式的适用范围是什么？注：公式S 2 与C2中取任意值都成立; k 公式T2中 k 和 , k Z 时才
2 2 4 成立.
二倍角的余弦公式的补充
4 2 2
12 5 cos 2 1 sin 2 1 13 13
2 2
13
5 12 120 sin 4 sin 2 2 2sin 2 cos 2 2 13 13 169 ;
(4)原式 = 2 sin 10
2
0
2 sin100
2 sin100
sin 300 1 (6)原式=1+cos =1+ 2 (5)原式= = 2 4 2 4
总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 sin 2 2 sin cos R cos 2 cos 2 sin 2 R 2 tan k ,且 k ， tan 2 k Z 2 1 tan 2 2 4 2、注意正用、逆用、变形用

课件4：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

解析 (1)原式＝12sin15°cos15°＝41sin30°＝18.
(2)cos215°－sin215°＝cos30°＝
3 2.
答案 (1)C (2)B
例2
求证：33－＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
证明：∵左边＝33－＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－＋ccooss 22AA2＝22csoins22AA2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边，
∴33－＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
规律总结利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边
式子中角间的倍角关系.先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．
3 2.
跟踪训练 3 证明：(1)sin 2α＝1＋2tatnanα2α； (2)cos 2α＝11－＋ttaann22αα .
证明：(1)左边＝sin
2α＝2sin
αcos
α＝2sin
αcos 1
α
＝c2ossi2nα＋αcsoisn2αα＝1＋2tatnanα2α＝右边．
(2)左边＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－1 sin2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα
4.已知 cosx－π4＝102，则 sin 2x＝－2245 .
解析 sin 2x＝cos2π－2x ＝cos2x－π2 ＝cos 2x－π4 ＝2cos2x－π4－1 ＝2× 1022－1 ＝－2245.
5.已知 tan(π4＋α)＝2，则 tan2α＝________.
解析 ∵tan(π4＋α)＝11＋－ttaannαα＝2，∴tanα＝13， ∴tan2α＝1－2tatannα2α＝43.

课件3：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.
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sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α；
tan 2 2 tan 1 tan 2
探究（一）：二倍角基本公式
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？
2 tan 1 tan2
理论迁移
例1 已知 sin 2 5 ，
求sin
4
，cos
13
4
4
，tan
ห้องสมุดไป่ตู้
4
2
的值.
例2 在△ABC中, cos A 4 , tan B 2,
5
求 tan 2C 的值.
44
117
理论迁移例3 化简 (sin 2x cos 2x 1)(sin 2x cos 2x 1)
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α可化为什么？ 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα，cosα与cos2α的关系分别如何？
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
探究（二）：二倍角公式的变通
第三章三角恒等变换
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？
2. 4

3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式

2
k ,

2
k
注意：二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式,其它如 4α 是
a a
a a
2α 的二倍, 是的二倍, 是的二倍等。
2 4
3 6
五．课堂小结
1.我们是如何得出倍角公式的。
2. cos的三种形式及其如何用 cos表示 sin2, .
cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) 2 cos 2 1
（3） tan 2 tan
tan tan
2 tan
．

1 tan tan
1 tan 2
（二）例题讲解
α－β)；
sin(α＋β)＝______________________(S
sinαcosβ＋cosαsinβ
α＋β)；
sinαcosβ－cosαsinβ
sin(α－β)＝_____________________(S
α－β)；
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ α＋β)；
tan(α＋β)＝________________(T
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
tan(α－β)＝________________(T
)．
α－β
你能根据两角和的正弦、余弦
、正切公式推出二倍角的正弦
、余弦、正切公式吗？
（二）公式推导
•
（三）得出结论
二倍角的三角函数
cos 2 cos sin 1 sin sin 1 2sin
2
2
2
2
2

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式必修4

B.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
2

2、求函数y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 2 的最小正周期及最值.
1 例4、已知 sin cos , 且 (0, ), 3 8 求 sin 2的值.
9
(sin cos ) 1 2 sin cos

Hale Waihona Puke 3 17 7 练习：若cos( x ) , x , 4 5 12 4 sin 2 x 2 sin2 x 求的值. 1 tan x

练习： 1、函数y sin x cos x cos 2 x是 A.周期为的奇函数 2 C.周期为的偶函数 2
2
（）
三、新授内容：
二倍角的正弦、余弦、正切公式：
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin 2 2cos 1 2 1 2sin 2 tan tan 2 2 1 tan
2 2
倍角公式
（只含（只含
cos ）
sin ）
使等式各部分均有意义
求下列各式的值：（1 2sin150 cos150 ）（3） cos 2
2
（2）sin15 sin 75 8 8 3 tan 22.50 （6） 2 0 2 2 tan 22.5 （4） sin
2

8 tan 22.50 （5） 2 0 1 tan 22.5
1
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、复习和角公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin

3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式

π 12 5 又－2＜β＜0 且 sin β ＝－13，∴cos β＝13， ∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β 4 5 3 12 56 ＝5×13－5×－13＝65. 9 又 cos 2α＝1－2sin α，∴sin α＝130.
升、降幂公式
1、升幂公式： 2 2 1 sin 2 sin cos 2 sin cos
2 =（sin cos ）
1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
升幂缩角
2、降幂公式：
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
平罗中学石占军
复习两角和（差）的三角公式
C(α β)
cos cos cos sin sin
S(αβ)

sin sin cos cos sin
tan tan tan 1 tan tan
2
降幂扩角
例4.化简
(1) 1 sin 40 ; (2) 1 sin 40 ; (3) 1 cos 20 ; (4) 1 cos 20
变式：如何化简 2 sin 2 cos4呢？
2
变式2.化简 1 sin 1 sin，（0，）.
当（0，）时，原式=2sin 2 2 当（，）时，原式=2cos 2 2
2
π 3 12 2．已知 sin(2α－β)＝5，sin β＝－13，且 α∈2，π，β∈ π －，0，求 sin α 的值． 2 π 解：∵2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)

π π 1 π sin + x sin − x = , x ∈ , π , 4 4 6 2
D.
7 9
求 sin 4x 的值．的最小值,
3.求函数并求其单调区间.
7π π f ( x ) = 5 3 cos 2 x + 3 sin 2 x − 4sin x cos x ≤ x ≤ 24 4
倍角公式的逆向变换及有关变形:
1.完全平方公式:
1 ± sin 2α = ( sin α ± cos α )2
1 − cos 2α = 2sin 2 α 2 1 + cos 2α = 2 cos α
2.升幂公式:
sin α cos α = 1 s i n 2 α
3.降幂公式:
2
sin 2 α = 1 (1 − cos 2α )
π y = 2 cos 2 x − − 1 4
(2008广东文 5.已知函数 f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x, x ∈ R, 广东文) 广东文已知函数则 f ( x ) 是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数最小正周期为 π B.最小正周期为 2 的奇函数最小正周期为 C.最小正周期为 π 的偶函数最小正周期为 π D.最小正周期为 2 的偶函数最小正周期为解析】【解析】f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x = 2 cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 2 x = 1 (1 − cos 4 x ) , 4 2 选D.
2
cos α =
2
1 (1 + cos 2α ) 2
例填空:
co s150 4 = ______; (1) tan150 + 0 sin15

3,1,3二倍角的正弦,余弦,正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式[知识探究]二倍角公式S(α+β)S2αC(α+β)C2α利用sin2α+cos2α=1T(α+β)T2α题型一化简求值【例1】求下列各式的值:(1)cosπ12cos5π12;(2)2cos2π12-1;(3)22tan1501tan150-.解:(1)原式=cosπ12sinπ12=12×2cosπ12sinπ12=12sinπ6=14.(2)原式=cos(2×π12)=cosπ6.(3)原式=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°题后反思 (1)同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简.在应用时,应找到化简思路后再动手化简.(2)注意观察式子的特点及角之间的特殊关系,灵活运用二倍角公式解题,通过观察角度的关系,发现其特征(二倍角形式),创造条件正用或者逆用二倍角公式,使得问题得以解决.跟踪训练11:(2014公安一中、宜昌一中、沙市一中期末)在直角坐标系xOy 中,若角α的始边为x 轴的非负半轴,终边为射线l:y=2x(x≤0). (1)求tan 2α的值;(2)求22cos 2sin(π)127π)4ααα----的值.解:(1)在终边l 上取一点P(-1,-2),则tan α=21--=2, ∴tan 2α=22tan 1tan αα-=22212⨯-=-43.(2)22cos 2sin(π)127π)4ααα----=cos 2sin π)4ααα++ =cos 2sin cos sin αααα+-=12tan 1tan αα+-=51-=-5. 题型二条件求值【例2】 (1)设α为锐角,若cos （α+π6）=45,则sin （2α+π12）的值为 .(2)已知sin （π4-x ）=513,0<x<π4,则cos 2πcos()4xx +的值为 . 解析:(1)∵α为锐角, ∴α+π6∈（π6,2π3）.又∵cos（α+π6）=45,∴sin（α+π6）=35,∴sin（2α+π3）=2sin（α+π6）cos（α+π6）=2425,cos（2α+π3）=2cos2（α+π6）-1=725∴α∈（0,π2）,∴sin（2α+π12）=sin[（2α+π3）-π4]=sin（2α+π3）cos π4-cos（2α+π3）sin π4=2425-725.(2)∵0<x<π4,∴0<π4-x<π4.又∵sin（π4-x）=513,∴cos（π4-x）=1213.∵cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）=2cos[π2-（π4-x）]cos（π4-x）=2cos（π4+x）cos（π4-x）,∴cos2πcos()4xx=2cos（π4-x）=2413.答案:(1)(2)2413题后反思 (1)解决给值求值问题的关键是找到已知角与未知角之间的关系并选择恰当的公式求解.(2)遇到角π4±x时可借助诱导公式进行转化求解.如①cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）;②cos 2x=sin （π2+2x ）=2sin （π4+x ）cos （π4+x ）; ③sin 2x=cos （π2-2x ）=2cos 2（π4-x ）-1; ④cos （π4-x ）=sin[π2-（π4-x ）]=sin （π4+x ）;⑤sin （π4-x ）=cos[π2-（π4-x ）]=cos （π4+x ）等. 跟踪训练21:(2014石家庄第一中学期末)已知tan （α+π4）=12,且-π2<α<0,则22sin sin 2πcos()4ααα+-= . 解析:tan （α+π4）=tan 11tan αα+-=12解得tan α=-13, ∵-π2<α<0,∴sin α=∴22sin sin 2πcos()4ααα+-2sin sin cos ααα+.答案题型三给值求角【例3】已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β. 解:∵tan α=tan[(α-β)+β] =tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--=112711127-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=13>0,且α∈(0,π),且tan 2α=22tan 1tan αα-=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34. ∵tan β=-17<0,且β∈(0,π), ∴β∈（π2,π）,∴-π<α-β<0.∵tan(α-β)=12>0, ∴-π<α-β<-π2, ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ∵tan(2α-β)=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+=314731147⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭=1,∴2α-β=-3π4. 题后反思解决给值求角问题的关键:根据角的取值范围及题目条件中函数名称选择求解一个适当的三角函数值.跟踪训练31:已知A 、B 均为钝角,且sin A=55,sin B=1010求A+B 的值. 解:∵A 、B 均为钝角且sin A=, ∴, , ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B ×（）, ① 又∵π2<A<π,π2<B<π, ∴π<A+B<2π, ② 由①②得,A+B=7π4. 【自主练习】1. 已知sin 22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈（0,π2）.求sin α,tan α的值.解:由倍角公式,得sin 2α=2sin αcos α,cos2α=2cos2α-1,由原式得4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos2α=0,即2cos 2α(2sin 2α+sin α-1)=0⇔2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.因为α∈（0,π2）,所以sin α+1≠0,cos 2α≠0.所以2sin α-1=0,即sin α=12.所以α=π6.所以2.已知α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0.求证α+2β=π2 .证明:由已知得3sin2α=cos 2β,①3sin 2α=2sin 2β.②①②,得tan α=cos2sin2ββ=πsin22πcos22ββ⎛⎫-⎪⎝⎭⎛⎫-⎪⎝⎭=tan（π2-2β）因为α,β为锐角,所以0<β<π2,则0<2β<π,则-π<-2β<0,所以-π2<π2-2β<π2,所以α=π2-2β,即α+2β=π2.3∈(0,π)).解:原式=︱sin2θ+cos2θ︱-︱sin2θ-cos2θ︱.∵θ∈(0,π),∴2θ∈（0,π2）. (1)当2θ∈（0,π4]时,cos 2θ≥sin 2θ>0,此时原式=sin2θ+cos2θ-cos2θ+sin2θ=2sin2θ.(2)当2θ∈（π4,π2）时,cos 2θ<sin 2θ, 此时原式=sin2θ+cos2θ-sin2θ+cos2θ=2cos2θ.4.已知sin α-∈(0,π),则sin 2α等于( A )(A)-1 (D) 1解析:∵sin α-∴(sin α-cos α)2=2, ∴sin 2α=-1,故选A.5.若cos （π4-θ）cos （π4+θ）（0<θ<π2）,则 sin 2θ的值为( B )(A)解析:cos （π4-θ）cos[π2-（π4-θ）]=,即cos （π4-θ）sin （π4-θ）,即12sin （π2-2θ）,∴cos 2θ=3. 又∵0<θ<π2, ∴0<2θ<π,∴sin 2θ. 故选B. 6.已知sin x=14,则cos 2x= . 解析:cos 2x=1-2sin 2x=1-2×（14）2=78. 答案:78课堂小结1.二倍角公式是两角和公式的特例.公式中的“倍角”是相对的.如“α是2的2倍,2α是α的2倍”. 2.二倍角的余弦公式有三个cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,要注意根据条件选取合适的公式.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

将公式变形运用.
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01 课前自主预习 02 课堂合作探究 03 课后讨论探究 04 课时跟踪训练
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[基础认识] 知识点二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材 P132～133，思考并完成以下问题能利用 S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的公式吗？
法二：原式＝（（ssiinn
θ＋cos θ＋cos
θ）2－（cos2θ－sin2θ） θ）2＋（cos2θ－sin2θ）
＝（（ssiinn
θ＋cos θ＋cos
θ）[（sin θ）[（sin
θ＋cos θ＋cos
θ）－（cos θ）＋（cos
θ－sin θ－sin
θ）] θ）]
＝22csions θθ＝tan θ.
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[解析] (1)cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2
＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
3 2.
(2)2cos 105°cos 15°＝2cos(90°＋15°)cos 15°
＝2(－sin 15°)cos 15°＝－2sin 15°cos 15°
80°
＝sin
40°cos 40°cos 4sin 20°
80°＝sin
80°cos 80° 8sin 20°
＝116·ssiinn12600°°＝116.
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[课后小结] 1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍；3α 是32α 的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；2αn是2nα＋1的二倍(n∈N*)．

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

二倍角的正二、余二、
正正
cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ⇒ cos(α + α ) = cos α cos α − sin α sin α 2 2 ⇒cos 2α = cos α − sin α sin( α + β )= sin α cos β + cos α sin β ⇒ sin( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
，4 < α < 2 的值. 求 sin 4α， 4α， tan 4α 的值. cos 例1 已知
4 ABC中例2 在△ABC中, cos A = , tan B = 2. 5
5 sin 2α = 13
π
π
求 tan(2A+2B) 的值的值.
变式：把例2中求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值.
总结归纳
sin2α = 2sinα cosα 2 2 cos 2α = cos α − sin α
= 2 cos α − 1
2 2
= 1 − 2 sin α 2tanα tan 2α = 1− 1 − tan2 α
1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α 2tanα kπ π α ≠ kπ + π (k ∈Z) ， α ≠ + ,且 tan 2α = 2 2 2 4 1 − tan α

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

例1 求下列各式的值:
(1) 2 sin15 cos15 ; 2 2 ( 2) cos sin ; 8 8
1 (1) 2
3 ( 3) 2 3 ( 5) 2
2 ( 2) 2
(3) 1 2 sin 75 ;
2
( 4) 1
2 tan22.5 ( 4) 1 tan2 22.5
2 2
1 2 sin
2
2 cos 1.
2
sin ２sin cos 2 2 sin ２sin cos 2 4 4

x 2 x 2 x 2 x 2 x cos cos sin 1 ２sin 2cos １２ 4 4 4 4
高中数学备课组
例题示范
2

升幂降角公式

降幂升角公式
高中数学备课组
例3 化简下列各式：
(1) 1 sin40 cos 20 sin 20 ( 2) 1 sin40 cos 20 sin 20 (3) 1 cos 20 2 cos 10

(4) 1 cos 20 2 sin 10 .
5 又 sin2 , 13
2
所以
12 5 2 cos2 1 sin 2 1 ( ) . 13 13
sin4 2 sin2 cos 2
5 12 120 2 ( ) ; 13 13 169
高中数学备课组
5 2 cos4 1 2 sin 2 1 2 ( ) 13 sin4 120 tan4 . cos4 119

变式：如何化简
2 sin 2 cos4 ?
2

课件11：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

所以原式成立．
归纳升华三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0，左右边边＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
(1)【解析】cos4 α2－sin4 α2＝
cos2
α2－sin2
α2cos2
α2＋sin2
α2＝cos α.
【答案】cos α
(2)解：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
2sin
20°cos 20°cos 40°cos 2sin 20°
80°＝
2sin
40°cos 4sin
40°cos 20°
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)． 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步体会化归思想的应用(重点、难点)．
知识提炼·梳理
三角函数
公式
简记
二倍角的正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α cos 2α＝cos2 α－sin2α＝
类型 3 化简与证明典例 3 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2A·cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
证明：(1)左边＝1＋cos（22A＋2B）＝1－cos（22A－2B）＝
cos（2A＋2B）＋2 cos（2A－2B）＝
1 2(cos°80°＝

3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式

基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式在公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 中，令 β＝α，得到 sin 2α＝________，这就是二倍角的正弦公式；在公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 中，令 β＝α，得到 cos 2α＝________，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝________＝________；
利用二倍角公式化简与证明
2 2 已知tan2β ＝tan2α＋
cos 2α－2cos 2β＝1.
1 ： cos 2α－2c 已知 tan β＝tan α＋ 2 求证 .求证： cos α
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它们的关系．
1 解析：∵1＋tan β＝1＋tan α＋ 2 ， cos α 1 2 ∴ 2 ＝ 2 ，∴cos2α＝2cos2β， cos β cos α 1＋cos 2α ∴ ＝1＋cos 2β， 2 ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β，即得 cos 2α－2cos 2β＝1.
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课标点击
预习导学
典例精析
课堂导练
课堂小结
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．
二、二倍角公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． α α α 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是的二倍角，是的 2 3 6 α α α α 二倍角等等．又如 α＝2× ，＝2× ，„， n 2 2 4 2 α ＝2× n＋1等等． 2 π (2)当 α＝kπ＋，(k∈Z)时，tan α 的值不存在， 2 这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． π π (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin ≠2sin . 3 6

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点一二倍角公式的推导sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α， sin αcos α＝12sin2α， cos 2α－sin 2α＝cos_2α， 2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式 cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.类型一给角求值对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1.cos 2π12－sin 2π12；2.1－tan 275°tan75°；3. 12－cos 2π84. sin15°sin75°5. cos20°cos40°cos80° 6．cos π7cos 3π7cos 5π77．sin 4π12－cos 4π12 8.3tan π81－tan 2π8类型二给值求值(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.1.已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )2、若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.3、若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于4、若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )5、已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.类型三利用二倍角公式化简证明三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．1α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.2、1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.3、4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.【知识梳理】【做一做1】已知sin α=3,cos α=4,则sin 2α等于 ()A.7B.12C.12D.24解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cos α=13,则cos 2α等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=2−1=−7.答案:C【做一做3】已知tan α=3,则tan 2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tanα1-tanα=2×31-32=−3.答案:B二倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1sin2α; cosα=sin2α;cos2α-sin2α=cos2α;2tanα1-tan2α=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sinα2+cosα22;1-sinα=sinα2-cosα22;1+cosα=2cos2α2;1−cosα=2sin2α2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2.【典例分析】题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)co sπcos2π;(2)12−cos2π8;(3)ta nπ−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ=sinπ54sinπ=14.(2)原式=1-2cos2π8=−2cos2π8-1=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=33=-2 3.【变式训练1】求下列各式的值:(1)si nπ12cos π12; (2)1-2sin 2750°; (3)1sin10°− 3cos10°. 解:(1)原式=2sin π12cos π122=sin π62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500° =cos(4×360°+60°)=cos60°=1.(3)原式=cos10°- 3sin10°=2 12cos10°- 32sin10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°=4.题型二知值求值【例2】已知si n π4-x =513,0<x <π4,求cos2xcos π4+x的值. 分析:注意角的关系 π4+x + π4-x =π2,注意诱导公式的应用cos2x=si n π2+2x ,利用倍角公式解题.解:原式=sin π2+2x cos π4+x=2sin π4+x cos π4+xcos π4+x=2si n π+x .∵si n π-x =cos π+x =5,且0<x <π,∴π+x ∈ π,π,sin π+x = 1-cos 2 π+x =12,∴原式=2×12=24.反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.【变式训练2】(1)已知si n α-π6 =35,且α是锐角,则sin 2α-π3 =__________,cos 2α-π3 =__________,tan 2α-π=__________;(2)若si n π+θ =30<θ<π,则cos 2θ=__________. 解析:(1)由题意知co s α-π6 =45,∴si n 2α-π3 =2sin α-π6 cos α-π6 =2425,cos 2α-π3 =725,tan 2α-π3 =247. (2)∵si n π4+θ =35,0<θ<π4,∴co s π4+θ =45.∴cos2θ=si n π+2θ =sin2 π+θ=2si n π+θ cos π+θ =2×3×4=24. 答案:(1)24724(2)24题型三化简与证明【例3】化简:(1 3tan10cos70° 1+cos40°(2)2cos 2α-12tan π4-α sin π4+α. 分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解。

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式知识梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式【问题导思】在公式C (α＋β)，S (α＋β)，T (α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？二倍角的正弦、余弦、正切公式2.正弦、余弦的二倍角公式的变形 (1)余弦的二倍角公式的变形(2)正弦的二倍角公式的变形sin αcos α＝， (sin α±cos α)2＝．知识点一利用二倍角公式给角求值例1 求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)2tan 150°1－tan 2150°变式求下列各式的值．(1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.知识点二利用二倍角公式给值求值例2 已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．变式在例题条件不变的情况下，求sin 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．知识点三二倍角公式的综合应用例3(1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ；(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°变式化简下列各式．(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________. (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.巩固练习1．12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.12 2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°－cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．cos 215°＋sin 215°3．已知tan α＝12，则tan 2α＝__________.4．若tan(α＋π4)＝3＋22，求1－cos 2αsin 2α的值．知能检测一、选择题1．2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.122．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．13．设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．设sin α＝35(π2＜α＜π)，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724 C.247 D.7245.2－2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( )A ．2cos 4－4sin 4B ．2sin 4C ．2sin 4－4cos 4D ．－2sin 4二、填空题6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值等于________．7．在△ABC 中，已知cos 2C ＝－14，则sin C 的值为________．8．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22·sin 2x 的最小正周期是________．三、解答题9．求函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x2，x ∈R 的值域；10．已知tan α＝3，α∈(π4，π2)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．11．已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值．答案例1 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sinπ54sinπ5＝14.(2) 原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.变式 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2 12cos 50°＋32sin 50° 12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.例2∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4)．又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213.又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169，cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413.变式 ∵x ∈(0，π4)，∴π4－x ∈(0，π4)．又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213.又sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos 2(π4－x )＝2cos 2(π4－x )－1＝119169．∴原式＝1191691213＝119156.例3(1) 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝＝－1tan θ，∴原式＝－1tan θ. (2)1＋sin 10°－1－sin 10°＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5° ＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°)＝2sin 5°．∴原式＝2sin 5°.变式 (1)∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝ sin α－cos α 2＝sin α－cos α. (2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.巩固练习1．B 2．B 3．434．由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22.知能检测一、选择题ABADA二、填空题6．725 7．104 8．π三、解答题9．f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]． 10．∵α∈(π4，π2)，tan α＝3，∴sin α＝31010，cos α＝1010.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×31010×1010＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×110－1＝－45，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.11．因为(π4＋α)＋(π4－α)＝π2.所以sin(π4－α)＝cos(π4＋α)因为sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，所以2sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝13，即sin(π2＋2α)＝13.所以cos 2α＝13.又因为α∈(π2，π)，所以2α∈(π，2π)，所以sin 2α＝－1－cos 2 2α＝－223.所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 4 2sin 2 cos 2 5 12 120 2 ( ) ; 13 13 169
cos 4 1 2sin 2 2 5 2 119 1 2 ( ) ; 13 169
tan 4 sin 4 120 169 120 ( ) . cos 4 169 119 119

2 4 , 5
8 D. 25
8 : 5得， cos
7 cos 2 cos 1 . 2 25

2.已知 cos
4 ,8 12, 求 sin , cos , tan 的值. 8 5 4 4 4 3 4 3 解：由， cos , 得sin = ， 8 2 8 5 8 5 3 4 24 sin =2sin cos =2 ）（）（ = , 4 8 8 5 5 25
2.公式的逆用例3.求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ;(2) cos

2

8
sin
2

8
;
tan 22.5° (3) ;(4)2 cos 2 22.5° 1. 1 tan 2 22.5°
1 1 1 解：(1)sin15°cos15°= 2sin15°cos15°= sin 30° ; 2 2 4 2 (2) cos 2 sin 2 = cos(2 ) cos ; 8 8 8 4 2 1 2 tan 22.5° tan 22.5° 1 1 2 (3) tan 45° ; 1 tan 2 22.5° 1 tan 2 22.5° 2 2
tan B 2, 2 tan B 2 2 4 tan 2B . 2 2 1 tan B 1 2 3 tan 2A tan 2B tan(2A 2B) 1 tan 2A tan 2B 24 4 44 7 3 . 24 4 还可以把 2A 2B 1 ( ) 117 7 3

课件8：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

θ 2>0.
∴原式＝sin
θ2＋cos
θ2－cos
θ2－sin
2θ＝2sin
θ 2.
归纳点评 (1)三角函数中常用的解题技巧——“变次”．
本题用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：
1±sin α＝(sin
α 2±cos
α2)2，
1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2.
(2)含有根号的式子化简，脱掉根号时要注意符号问题．
－cos π6＝－ 23.故选 C.
3．设 sin 2α＝－sin α，α∈2π，π，则 tan 2α 的值是_____．【解析】∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈2π，π， ∴cos α＝－12，sin α＝ 23.∴tan α＝－ 3，则 tan 2α＝ 12－tatannα2α＝ 3. 【答案】 3
17－15sin 2β≤4 2. 又当 β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
(3)证明：由 tan αtan β＝16，得4scionsβα＝4scionsαβ，所以 a∥b.
归纳点评对向量的垂直，平等，模概念要清楚，记忆防止混乱而出错．对三角函数的基本关系式应熟悉掌握．
4．已知 sin π4＋xsin π4－x＝61，x∈π2，π，求 sin 4x， cos 4x，tan 4x 的值．解：sin π4－x＝sin[π2－π4＋x]＝cos π4＋x， ∴2sin π4＋xcos π4＋x＝13，即 sin 2π4＋x＝31，sin π2＋2x＝13，
∴cos 2x＝13.又 x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)，
2α，sin2α＝1－c2os
2α .

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式素材

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

课件4：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课件3：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 必修4

3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)

3,1,3二倍角的正弦,余弦,正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课件11：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课件8：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式必修4