清华工程流体力学课件第二章流体静力学
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工程流体力学课件第二章 流体静力学1
fx
1
p x
0
乘以dx
1 p
f y y 0
乘以dy
1 p
fz z 0
乘以dz
1 p
f xdx
dx x
0
1 p
f ydy y dy 0
1 p
fzdz z dz 0
❖三式相加，整理
( f xdx
f ydy
fzdz)
p dx x
p dy y
p dz z
39
(
f xdx
❖ 适用范围： 静止状态
0
0
实际流体、理想流体都是适用的。
2021/3/12
2
3
在什么情况下有惯性力？ 惯性坐标系：将坐标系建立在静止或匀速直线运动的
物体上 非惯性坐标系：将坐标系建立在有加速度运动的物体上 结论：
在惯性坐标系内运动的物体不考虑惯性力 在非惯性坐标系内加速运动的物体考虑惯性力
1 6
dxdydzf x
0
15
静压强两个特征（证明续）
❖ 化简得
px
pn
1 3
f xdx
0
❖ 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得
❖ 同理可得
px pn py pn pz pn
❖ 所以
px py pz pn
❖ 结论 n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体 中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。
❖ 将质量力和表面力代入上式，则
p
1 2
p dx dydz
x
p
1 2
p dx dydz x
f x dxdydz
0
❖ 整理上式，并把各项都除以ρdxdydz，则得
工程流体力学第2章流体静力学
① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力 流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章 流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别 为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标 轴为x、y、z。
第2章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。 静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。 静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动 等角速定轴转动
2
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章 流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
工程流体力学第二章
pxdydz pnds • sin dz 0
p y dxdz
pnds
•
cos
dz
1 2
dxdydz
g
0
所以：
px pn 0
故
py
pn
1 2
dyg
0
y b
pxdy
o
px pn py pn
pnds
G x a
p y dx
得证
微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程
F pcg A ghc A
y D
y C
J cx yA
c
常见几何形状的惯性矩（表2－2）
矩形 圆型
c
l
J cx
1 12
bl 3
b
cR
J cx
1 R4
4
¼圆
xc c yc
xc
yc
4R
3
J cx
(1 4
16
9 2
R4
) 4
例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的 距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。
z
p0
o
B
z
p0
o
B
R
(a)
pg
2
2r2
R
(b)
pg
2
2(r2
R2)
例2-4 设内装水银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋 转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为
13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。
ω
关键：
10cm 5cm
1 写出所有的体积力
20c m
z
12cm 2 根据压力差公式写出压强
流体力学教学课件chapter 2 流体静力学.
p d x (p )dydz x 2
p-
z p dx x 2
A'
泰勒级数展开
质量力：f x d x d y d z Fx=0，则：
o
(p
整理得：
p d x p d x )d yd z ( p )d yd z f x d xd yd z 0 x 2 x 2
质量力：
Px Pn cos( n, x ) Fx 0 Py Pn cos( n, y ) Fy 0 Pz Pn cos( n, z ) Fz 0
py
A
px
C
O pz
类似地有：
y
p x p y p z pn
故与作用面的方位无关。
Fx f x d x d y d z / 6
1
第二章
流体静力学
第一节 流体静压强特性 第二节 流体平衡微分方程 第三节 静止流体压强的分布 第四节 测压计
第五节 平面上的流体静压力
第六节 曲面上的流体静压力
第七节 浮力及浮潜体稳定
本章小结
2
第二章 流体静力学（6学时）
本章学习要点：
1. 静止流体中应力的特性。
2.
3.
流体平衡微分方程。等压面。
pa B 水
hv
例3 试标出图示（a）盛液容器内A、B、C三点的位置水头，测压管高度和 测压管水头。以图示0–0为基准面。 p
0
27
解：A点的测压管高度为2 m，位置水头为3 m， 测压管水头为5 m，如图（b）所示。
C
pa
p z 因为 g C ，所以,以A点的测压管水头为
依据，可以确定B点的位置水头为2 m和测压管高 度3 m。 对于C点：
p-
z p dx x 2
A'
泰勒级数展开
质量力：f x d x d y d z Fx=0，则：
o
(p
整理得：
p d x p d x )d yd z ( p )d yd z f x d xd yd z 0 x 2 x 2
质量力：
Px Pn cos( n, x ) Fx 0 Py Pn cos( n, y ) Fy 0 Pz Pn cos( n, z ) Fz 0
py
A
px
C
O pz
类似地有：
y
p x p y p z pn
故与作用面的方位无关。
Fx f x d x d y d z / 6
1
第二章
流体静力学
第一节 流体静压强特性 第二节 流体平衡微分方程 第三节 静止流体压强的分布 第四节 测压计
第五节 平面上的流体静压力
第六节 曲面上的流体静压力
第七节 浮力及浮潜体稳定
本章小结
2
第二章 流体静力学（6学时）
本章学习要点：
1. 静止流体中应力的特性。
2.
3.
流体平衡微分方程。等压面。
pa B 水
hv
例3 试标出图示（a）盛液容器内A、B、C三点的位置水头，测压管高度和 测压管水头。以图示0–0为基准面。 p
0
27
解：A点的测压管高度为2 m，位置水头为3 m， 测压管水头为5 m，如图（b）所示。
C
pa
p z 因为 g C ，所以,以A点的测压管水头为
依据，可以确定B点的位置水头为2 m和测压管高 度3 m。 对于C点：
工程流体力学课件2说课讲解
➢平衡有两种：
一种是流体对地球无相对运动，即重力场中 的流体的绝对平衡；
一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相 对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。
第一节 流体静压强及其特性 一. 流体静压强的定义
plimPdP A0A dA
单位：N/m2，Pa
作用在单位面积上的力
二、流体静压强的特性
反证 法
❖ 几何意义
z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头
p --- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度，
g
称为压强水头
z p g
--- 静压水头（或静力水头）
流体静力学基本方程的几何意义是：在重 力作用下同一平衡流体中各点的静力水头为一 常数，相应的静力水头线为一水平线。
❖ 测压管水头的含义
• 重力液体 • 静止液体 • 同一容器（连通） • 同一介质 • 局部范围内
p0 1水 2 A
pa B
3 油4
5
6
水银
一、流体静力学基本方程
2.能量形式的静力学基本方程
pgzC
z p C
g
——不可压缩流体 的 静力学基本方程 （能量形式）
p2
p0
g
2
p1 g
对静止容器内的液体中 的1、2两点有
z2
pxpypzpn
证明思 路
取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论
取研究对象
取一四面体OABC，三条边相 互垂直且与坐标重合，
受力分析
质量力
fx
1 6
dxdydz
fy
1 6
dxdydz
fz
1 6
dxdydz
px
1 2
工程流体力学--流体静力学 ppt课件
P
ppt课件
18
(2)P’=ρghcA的作用点D’
合力矩定理：
P ' yD' ghdAgy g sin a y2dA
A
A
g sin a y2dA g sin a y2dA y2dA
yD'
A
A
A
Ix
P'
g sin ayc A
yc A yc A
(1)总压力 方向垂直闸门
P
ghc
A
1000
*9.8*
4
*
4
2
*1
3.08*104 N
(2)总压力作用点
D4
yD
yc
Ic yc A
4 / sin 60o
64 yc A
3.14 *14 4.62 64 * (4 / sin 60o) * (3.14 / 4 *12 )
P0 yc
P '( yc Ic P0 P '
/
yc A)
yc
Ic (1
/ yc A P0 / P
')
ppt课件
21
例题：如图，涵洞进口装有一圆形平板闸门，闸门平 面与水平面成60º，铰接于B点并可绕B点转动，门的 直径d=1m，门的中心位于上游水面下4m，当门后无 水时，求不计门的重量,从A处将门吊起所需的力T。
2g
z2
2r22
2g
Vh
z2
z1
2
2g
r22 r12
流体力学-流体静力学PPT课件-
三.流体静压强分布图
1.绘制液体静压强分布图的知识点
流体静力学基本方程； 平衡流体中的应力特征（大小性、方向性）。
2.液体静压强分布图的绘制方法
（1）根据水静力学基本方程，计算出受压面上各点压强的大小，用一定 长度比例的箭头线表示各点的压强，箭头线必须垂直并指向作用面；
（2）对于不可压缩液体，重度γ为常量，p与h呈线性关系，当受压面为平 面时，只需用直线连接箭头线的尾部，即可得到压强分布图；而当受压面 为曲面时，由于曲面上各点的法向不同，因此需用曲线连接箭头线的尾部。
z1
p1
z2
p2
(2-11) （2-12）
或
p2 p1 (z1 z2 )
对于液体，如图所示，若液面压强为p0，则由式（2-12） 可知液体内任一点的静压强为
p p0 (z0 z) p0 h
(2-13)
式（2-13）为不可压缩静止液体的压强计算公式，通常亦称 为水静力学基本方程。该式表明：
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
上式称为流体平衡微分方程的综合式。
而 dW f xdx f y dy f z dz
又 故有
dW W dx W dy W dz
x
y
z
W
fx
x
fy
W y
W f z z
（2-5） （2-6）
•方向性: 流体静压强p垂直指向受压面
证明：采用反证法, 其要点如下: 1 因平衡流体不能承受切应力，即 τ=0，故p垂直受压面；
2 因流体几乎不能承受拉应力，故 p指向受压面。
•大小性：平衡流体中任一点的静压强大小与其作用面的方位无关
1.绘制液体静压强分布图的知识点
流体静力学基本方程； 平衡流体中的应力特征（大小性、方向性）。
2.液体静压强分布图的绘制方法
（1）根据水静力学基本方程，计算出受压面上各点压强的大小，用一定 长度比例的箭头线表示各点的压强，箭头线必须垂直并指向作用面；
（2）对于不可压缩液体，重度γ为常量，p与h呈线性关系，当受压面为平 面时，只需用直线连接箭头线的尾部，即可得到压强分布图；而当受压面 为曲面时，由于曲面上各点的法向不同，因此需用曲线连接箭头线的尾部。
z1
p1
z2
p2
(2-11) （2-12）
或
p2 p1 (z1 z2 )
对于液体，如图所示，若液面压强为p0，则由式（2-12） 可知液体内任一点的静压强为
p p0 (z0 z) p0 h
(2-13)
式（2-13）为不可压缩静止液体的压强计算公式，通常亦称 为水静力学基本方程。该式表明：
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
上式称为流体平衡微分方程的综合式。
而 dW f xdx f y dy f z dz
又 故有
dW W dx W dy W dz
x
y
z
W
fx
x
fy
W y
W f z z
（2-5） （2-6）
•方向性: 流体静压强p垂直指向受压面
证明：采用反证法, 其要点如下: 1 因平衡流体不能承受切应力，即 τ=0，故p垂直受压面；
2 因流体几乎不能承受拉应力，故 p指向受压面。
•大小性：平衡流体中任一点的静压强大小与其作用面的方位无关
流体力学第二章---流体静力学PPT课件
c2流体静力学23液体压强的测量压强度量方法压强度量方法单位名称单位名称单位符号单位符号单位换算关系单位换算关系应力单位法应力单位法ppaa1p1paa1nm1nm22液柱高度法液柱高度法米水柱米水柱mhmh22oo1mh1mh22o98o98101033aa液柱高度法液柱高度法毫米汞柱毫米汞柱mmhgmmhg1mmhg136mmh1mmhg136mmh22oo1333p1333paa工程大气压法工程大气压法工程大气压工程大气压1at10mh1at10mh22o736mmhgo736mmhg9898101044aa压强度量单位的换算关系c2流体静力学23液体压强的测量压强的三种表示法
部的压强也同时增大 p 0 .
即液面压强的增量同时等值地传递到液体中每一点，这就是著
名的巴斯卡原理。工程上的水压机、水力蓄能机等都是在此原理
下计算的。
.
21
C2 流体静力学
五、 流体平衡的条件
• 为保证欧拉平衡方程： pf
2.2 流体平衡微分方程
p X , p Y ,
x
y
p Z z
成立，均质流体（ρ=常数）和正压流体（ρ=ρ(p)）必须满足 质量力有势的条件： f ，UU称为势函数。
P0为液面 压强。
.
20
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
四、重力下流体的压强分布规律
z p0
pp0 h
P0为液面 压强。
（1）静止液体中，任意点的压强由两部
分液组重成，h 。一液部重分压是强表与面液压面强以P0；下另水一深部成分线是
性关系。
x
h2
h
h1
静止流体
pp0p0h
（2）表面压强与液重无关。如果液面压强P0增大 p0 ，液体内
部的压强也同时增大 p 0 .
即液面压强的增量同时等值地传递到液体中每一点，这就是著
名的巴斯卡原理。工程上的水压机、水力蓄能机等都是在此原理
下计算的。
.
21
C2 流体静力学
五、 流体平衡的条件
• 为保证欧拉平衡方程： pf
2.2 流体平衡微分方程
p X , p Y ,
x
y
p Z z
成立，均质流体（ρ=常数）和正压流体（ρ=ρ(p)）必须满足 质量力有势的条件： f ，UU称为势函数。
P0为液面 压强。
.
20
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
四、重力下流体的压强分布规律
z p0
pp0 h
P0为液面 压强。
（1）静止液体中，任意点的压强由两部
分液组重成，h 。一液部重分压是强表与面液压面强以P0；下另水一深部成分线是
性关系。
x
h2
h
h1
静止流体
pp0p0h
（2）表面压强与液重无关。如果液面压强P0增大 p0 ，液体内
第二章 流体静力学ppt课件
.
2.1 静止流体上的作用力
按力的物理性分为：惯性力、重力、弹性力、粘性力 按力的表现形式分为：质量力、表面力
2.1.1 质量力（体积力、长程力）
1、定义：作用于流体的每个质点上，并与作用的流体 质量成正比。 例如：重力、直线惯性力、曲线惯性力
2、单位质量力 总的质量力以F表示，设F在各个坐标轴上的分力为：
C、导出关系式： F0
D、得出结论
. 图2.2 静止流体中的微元四面体
选取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论
C
O
A
B
静止流体中任何一点上各个方向作用 的静压强大小相等，与作用面方位无 关——大小特性
.
2.2 流体的平衡微分方程及其积分
2.2.1欧拉平衡微分方程
1、取研究对象：在平衡流体中取一微元六面体，边
.
即：
z
p
常数
流体静力学基本方程
对1、2两点：
z1
p1
z2
p2
当z=0时，即自由液面处，p=p0 代入静力学基本方程，得c=p0
p=p0-γz
p=p0+γh
——静力学方程基本形式二
Δh
p2=p1+γΔh
——静力学基本方程的变形
.
2.3.2 静止液体中压强计算和等压面
1、绝对静止等压面应满足的条件：
为 静水压强的方向垂直指向作用面
、
。同一点不同方向上的静水压强大小相等
.
2.3 流体静力学基本方程
绝对静止流体——质量力只有重力 表面力只有静压力
2.3.1 静力学基本方程
重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g 代入压强p的微分公式
d p(Xd Yxd Z ydz)
2.1 静止流体上的作用力
按力的物理性分为：惯性力、重力、弹性力、粘性力 按力的表现形式分为：质量力、表面力
2.1.1 质量力（体积力、长程力）
1、定义：作用于流体的每个质点上，并与作用的流体 质量成正比。 例如：重力、直线惯性力、曲线惯性力
2、单位质量力 总的质量力以F表示，设F在各个坐标轴上的分力为：
C、导出关系式： F0
D、得出结论
. 图2.2 静止流体中的微元四面体
选取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论
C
O
A
B
静止流体中任何一点上各个方向作用 的静压强大小相等，与作用面方位无 关——大小特性
.
2.2 流体的平衡微分方程及其积分
2.2.1欧拉平衡微分方程
1、取研究对象：在平衡流体中取一微元六面体，边
.
即：
z
p
常数
流体静力学基本方程
对1、2两点：
z1
p1
z2
p2
当z=0时，即自由液面处，p=p0 代入静力学基本方程，得c=p0
p=p0-γz
p=p0+γh
——静力学方程基本形式二
Δh
p2=p1+γΔh
——静力学基本方程的变形
.
2.3.2 静止液体中压强计算和等压面
1、绝对静止等压面应满足的条件：
为 静水压强的方向垂直指向作用面
、
。同一点不同方向上的静水压强大小相等
.
2.3 流体静力学基本方程
绝对静止流体——质量力只有重力 表面力只有静压力
2.3.1 静力学基本方程
重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g 代入压强p的微分公式
d p(Xd Yxd Z ydz)
工程流体力学 水力学 课件 第二章
自由液面（p=pa）方程：
a z0 x g
二、等角速度旋转容器中流体的相对平衡
建立如图所示运动坐标系
1 ）压强分布规律 液体所受单位质量力： f 2 r cos(r, x) 2 x x
o
z
h
m
z
zs
f y 2 r cos(r, y) 2 y
代入 dp ( f x dx f y dy f z dz ) 得
二、静力学基本方程式的意义
1．几何意义
在一个容器侧壁上打一小孔，接上与大气相通的 玻璃管，这样就形成一根测压管。如果容器中装 的是静止液体，液面为大气压，则测压管内液面
z1
p1 g
p2 g
2
1
z2
与容器内液面是齐平的，如图2-8所示
从图2-8中可以看出：
p1 p2 z1 z2 g g
积分：
O
z
M
x
p ( ax gz ) c
图2-13 等加速运动容器
定解条件：当x=z=0时，p=pa，则c=pa。
∴压强分布规律
p pa ( ax gz )
2 ）等压面方程 据
p pa ( ax gz ) 和等压面定义得 p pa ax gz c ( 斜平面 )
略去级数中二阶以上无穷小量得：
p1 p
1 p dx 2 x
同理可得流体微团右侧面中心M2点处的压力： p 2 p 因此作用在流体微团左侧面和右侧面的总压力分别为：
1 p dx 2 x
(p
1 p 1 p dx)dydz和( p dx)dydz 2 x 2 x
2、作用于流体微团的质量力
工程流体力学-第二章
周围流体分子或固体分子对分离体表面 的分子作用力的宏观表现。
三、静压力
工程流体力学---第二章 流体静力学
在静止的流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是
沿受力面法线方向的正压力或法向力。
F p lim
A0 A
法向力 微元面积
静压力定义
上式中p就是垂直作用于流体单位面积上的力，即物理学中 的压强，称为流体的静压力，简称压力，用p表示，单位为牛 顿（N）。作用于整个面上的力称为总压力。
工程流体力学---第二章 流体静力学 四、流体静压力的两个重要特性
1. 流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线 方向。 （利用静止流体性质进行证明）
☆流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向； ☆流体不能承受拉力，只能承受压力。
静压力惟一可能的方向就是内法线方向。
工程流体力学---第二章 流体静力学
微元体内流体所受质量力: dxdydz
说明：
微元体内流体所受质量力在x方向的分力: Xdxdydz （1）在流体力学
2. 静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无
关，即同一点各方向的流体静压强均相等。
z
Pn
Px dz
Py
Px Py Pz Pn P
O
dx
dy
y
x
Pz
表明：静止流体中任意一点上的流体静压力，无论来自何方均相
等，或者说与作用方向无关。流体静压强不是矢量，而是标量，
仅是坐标的连续函数。即：p= p(x,y,z)，由此得静压强的全微分
☆流体静力时，流体质点之间没有相对运动，因此粘滞性在静止 流体中显现不出来。 ☆本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
三、静压力
工程流体力学---第二章 流体静力学
在静止的流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是
沿受力面法线方向的正压力或法向力。
F p lim
A0 A
法向力 微元面积
静压力定义
上式中p就是垂直作用于流体单位面积上的力，即物理学中 的压强，称为流体的静压力，简称压力，用p表示，单位为牛 顿（N）。作用于整个面上的力称为总压力。
工程流体力学---第二章 流体静力学 四、流体静压力的两个重要特性
1. 流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线 方向。 （利用静止流体性质进行证明）
☆流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向； ☆流体不能承受拉力，只能承受压力。
静压力惟一可能的方向就是内法线方向。
工程流体力学---第二章 流体静力学
微元体内流体所受质量力: dxdydz
说明：
微元体内流体所受质量力在x方向的分力: Xdxdydz （1）在流体力学
2. 静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无
关，即同一点各方向的流体静压强均相等。
z
Pn
Px dz
Py
Px Py Pz Pn P
O
dx
dy
y
x
Pz
表明：静止流体中任意一点上的流体静压力，无论来自何方均相
等，或者说与作用方向无关。流体静压强不是矢量，而是标量，
仅是坐标的连续函数。即：p= p(x,y,z)，由此得静压强的全微分
☆流体静力时，流体质点之间没有相对运动，因此粘滞性在静止 流体中显现不出来。 ☆本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
《工程流体力学》第二章 流体静力学
20 0 2340 615
各项物理意义：
容器：封闭
液体重度：g
自由液面压强：po 小孔： 器壁上距底部z处
小孔处压强：p = po+ gh
在o处与一根抽成真空的小管相通，液体进入小管，并迅
速上升到A点： p = gh’
h ——O、B两处单位重量流体位能差 h’ ——O、A两处单位重量流体位能差
代表一种能量，称为压力能
容器旋转：绕铅直轴，角速度w
容器旋转后，液体虽未流出，但压强发生了变化，
画出过边上小孔的等压线
虚线 —— 相对压强为 0
盖板各点承受的相对压强：
或真空度： 盖板上： 在轴心处，真空度 最大： 在边缘处，真空度 最小： 离心泵和风机就是利用这个原理，使 流体不断从叶轮中心吸入。
3. 流体静压强仅是空间位置和时间的标量函数，与所取 作用面的方向无关——各向同性 证：取一五面体
(1)表面力：作用静止(或相对静止)流体上无拉力和切力， 表面力只有压力，
在左面上：pydxdz 在底面上：pzdxdy 在斜面上：pndxds 在前面上：pxdydz/2 在后面上：pxdydz/2
液面上半径r处： 液体体积：
由此可测得w值。
速很高，液面上升过高， 溢出容器，容器为封闭的，只在中间留有一小口。
容器静止时：液面离盖板Dho 容器旋转时：液面中心下降到b
求：w
(1)求R’：
(2)静止时空出体积＝旋转时下凹体积
画出等压线
讨论： 1、AA`处压强？ 2、A`B处压强？ 3、容器底部压强？
外力场作用在流体微团上的非接触力，与流体质量(或 体积)成正比， 如地球吸引力、惯性力、电磁力等。 流体力学中一般只考虑地球吸引力，惯性力。 单位质量力：单位质量流体受到的质量力。
清华大学-工程流体力学基础
2、液体和气体
气体远比液体具有更大的流动性。 气体在外力作用下表现出很大的可压缩性。 二、流体质点的概念及连续介质模型 流体质点—— 流体中由大量流体分子组成的， 宏观尺度非常小，而微观尺度又足够大的物理实 体。（具有宏观物理量 、T、p、v 等） 连续介质模型—— 流体是由无穷多个，无穷 小的，彼此紧密毗邻、连续不断的流体质点所组 成的一种绝无间隙的连续介质。
恩氏粘度：º E 赛氏粘度 : SSU 雷氏粘度: R 中、俄、德使用 美国使用 英国使用 法国使用
巴氏粘度: º B 用不同的粘度计测定
3、粘压关系和粘温关系 〈1〉粘压关系 压强其分子间距离（被压缩）内聚 力粘度
一般不考虑压强变化对粘度的影响。
〈2〉粘温关系（对于液体）
温度内聚力 粘度
温度变化时对流体粘度的影响必须给于重视。
4、理想流体的概念
理想流体——假想的没有粘性的流体。
µ= 0
=0
实际流体——事实上具有粘性的流体。
小
结
1、流体力学的任务是研究流体的平衡与宏观机械运动规律。 2、引入流体质点和流体的连续介质模型假设，把流体看成没有间隙 的连续介质，则流体的一切物理量都可看作时空的连续函数，可 采用连续函数理论作为分析工具。 3、流体的压缩性，一般可用体积压缩系数 k 和体积模量 K 来描述。 在压强变化不大时，液体可视为不可压缩流体。 4、粘性是流体最重要的物理性质。它是流体运动时产生内摩擦力， 抵抗剪切变形的一种性质。不同流体粘性的大小用动力粘度 或 运动粘度 来反映。温度是影响粘度的主要因素，随着温度升高， 液体的粘度下降。理想流体是忽略粘性的假想流体。 应重点理解和掌握的主要概念有：流体质点、流体的连续介质模型、 粘性、粘度、粘温关系、理想流体。流体区别于固体的特性。 还应熟练掌握牛顿内摩擦定律及其应用。
工程流体力学 第二章流体静力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
地球 惯性系 平衡或静止 非惯性系 相对平衡或相对静止
二、静压强的两个特性
1．静压强方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法 线”—垂直作用面）。
❖ 证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一 点 m 处受力F为任意方向。则 F一定可分解为垂直于作用面的法向分 力 Fn 和平行于作用面的切向分力Fτ。
略去二阶以上高阶小量后，得：
p1
p
1 2
p x
dx
p2
p
1 2
p x
dx
3. 导出关系：
根据流体平衡的充要条件，静止流体所受的所有外力在各
个坐标轴方向上的投影之和为零，即 Fi 0 。以x方向为
例：
fx d x d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z 0
若存在垂直于作用 面的法向作用力 Fn ，由流体不能 承受拉力的性质可 知：垂向作用力Fn 只能为压力。
F
Fn
Fτ
2 垂向作用Fn指向作用面。
m
图2-1 静止流体中的单元体
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。 即静压力各向等值。只是坐标点的连续可微函数。
一 般 流 体 力微 学元 证分 明析 思法 路
若存在平行于作用
面的切向作用力
Fτ ：流体在切向
F
力作用下必然发生
流动，这与流体静 止的前提条件相悖。
Fn
Fτ
m
1 静止流体不能承受剪切作用力Fτ
图2-1 静止流体中的单元体
二、静压强的两个特性
第二章 流体静力学
地球 惯性系 平衡或静止 非惯性系 相对平衡或相对静止
二、静压强的两个特性
1．静压强方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法 线”—垂直作用面）。
❖ 证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一 点 m 处受力F为任意方向。则 F一定可分解为垂直于作用面的法向分 力 Fn 和平行于作用面的切向分力Fτ。
略去二阶以上高阶小量后，得：
p1
p
1 2
p x
dx
p2
p
1 2
p x
dx
3. 导出关系：
根据流体平衡的充要条件，静止流体所受的所有外力在各
个坐标轴方向上的投影之和为零，即 Fi 0 。以x方向为
例：
fx d x d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z 0
若存在垂直于作用 面的法向作用力 Fn ，由流体不能 承受拉力的性质可 知：垂向作用力Fn 只能为压力。
F
Fn
Fτ
2 垂向作用Fn指向作用面。
m
图2-1 静止流体中的单元体
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。 即静压力各向等值。只是坐标点的连续可微函数。
一 般 流 体 力微 学元 证分 明析 思法 路
若存在平行于作用
面的切向作用力
Fτ ：流体在切向
F
力作用下必然发生
流动，这与流体静 止的前提条件相悖。
Fn
Fτ
m
1 静止流体不能承受剪切作用力Fτ
图2-1 静止流体中的单元体
二、静压强的两个特性
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液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面， 其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不掺 混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面有一个重要性质，就是等压面与质量力互相垂 直。因为在等压面上各处的压强都一样，即dp=0，由式 (2-4)可得等压面微分方程：
f x dx f y dy f z dz =0
同理得
fx
x
0
fy
fz
1 p 0 y
（2-3）
1 p 0 z
写成矢量形式
1 f p 0
这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉 （Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程 式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量 流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中， 除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度)
dp ( f x dx f y dy f z dz)
（2-4）
17
此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的
坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp， 压强的增量取决于质量力。
二、流体平衡条件
对于不可压缩均质流体，密度ρ ＝常数，可将式（2-4） 写成
p d f x dx f y dy f z dz
2013-8-6
（2-7）
20
f 与通过A点的等压面上的微元线段ds (其分量为dx、dy、
dz)两个矢量的数量积，如图2-4所示，
式(2-7)左端又表示作用在等压面上A点的单位质量力
f ds f x dx f y dy f z dz 0 两个矢量的数量积等于零，必须f和ds互相垂直，其夹
p p( x, y, z )
（2-2）
2013-8-6
11
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的微元平行六面 体的流体微团，如图2-3所示。现在来分析作用在这流体 微团上外力的平衡条件。由上节所述流体静压强的特性知， 作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行 六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点 上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在 垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：
是说流体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体
要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是 沿作用面内法线方向的压强。
（2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的
方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。 为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点 A取一微元四面体的流体微团ABCD，设直角坐标原点与A 重合。微元四面体正交的三个边长分别为dx，dy和dz，如 图2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在
fy fx ， ， fz y z x
（2-6）
写成矢量形式：
由式（2-4）得
f grad
dp f x dx f y dy f z dz dx dy dz d （2-6a） x y z
1 p dzdxdy p 2 z
1 p p dz dxdy 2 z
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。 若流体微团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分 量为
f x dxdydz
f y dxdydz
f z dxdydz
处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性 作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为：
1 W dxdydzf 6
2013-8-6
8
它在三个坐标轴上的分量为： 1
Wx
6 1 W y dxdydzf y 6
dxdydzf x
1 Wz dxdydzf z 6 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上 的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系， 则 Px、 0 Py、 0 P。 0 z
在轴方向上力的平衡方程为：
Px Pn cos W x 0
把px ， pn 和Wx的各式代入得：
1 1 p x dydz p n dAn cos dxdydzf x 0 2 6
9
2013-8-6
1 dAn cos dydz 2 则上式变成 1 1 1 p x dydz p n dydz dxdydzf x 0 2 2 6
2013-8-6
2
第一节 流体静压强及其特性
在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的 法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流 体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。 流体静压强有两个基本特性。 （1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用 面的内法线方向。
这一特性可由反证法给予证明：
2013-8-6 16
均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相 对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最 基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程 组推导出来的。
在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程 出发，而是从下述的压强差公式来进行推导的。
把式（2-3）两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p dx 1 2 p dx 1 3 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2013-8-6 12
2 3
1 p dx dydz p 2 x
p
1 p p dx dydz 2 x
条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都 等与零。例如，对于x轴，则为
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2013-8-6 15
整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量 ρ dxdydz则得 1 p
1 p dx dydz 1 p p dx dydz 和 p 2 x 2 x
1 p p dydxdz和 2 y
1 p p dy dxdz 2 y
2013-8-6
14
垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为：
第二章 流体静力学
• §1–1 流体静压强极其特性
• §1–2 流体平衡微分方程
• §1–3 重力作用下的流体平衡 • §1–4 流体静力学基本方程的应用 • §1–5 平面上的静水总压力 • §1–6 曲面上的静水总压力
• §1–7 浮体与潜体的稳定性
2013-8-6 1
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态 的规律及其在工程实际中的应用。
因为
或
1 p x p n f x dx 0 3
由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得：
p x pn
同理可得 所以
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
2013-8-6
（2-1）
10
因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止 流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是， 静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而 流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连 续函数，即
角φ等于900。也就是说，通过静止流体中的任一点的等压 面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重力时， 等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球 面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一 部分，所以可以看成是水平面 。
2013-8-6
21
Px p x
Py p y
2013-8-6
1 dydz 2 1 dxdz 2
6
作用在ACD面上 的流体静压强 px
pz
作用在BCD面 pn 上的静压强
py 图2－2 微元四面体受力分析
2013-8-6
作用在ABD和 上的静压 强
7
1 Pz p z dxdy 2
P p dAn n n
流体静压强是空间坐标的连续函数，即 p p( x, y, z) ，它的 全微分为 所以
2013-8-6
p p p ( f x dx f y dy f z dz) dx dy dz x y z
dp p p p dx dy dz x y z
上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学 分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件
是
f y z
f z y
f z f x x z
f x f y y x
（2-5）
由理论力学可知，式（2-5）是 fx、fy、fz 具有力的
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势函数－ ( x, y, z ) 的充分必要条件。力的势函数对各坐标 轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：
（dAn为BCD的面积）
除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量
力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的 平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则微 元四面体流体微团的质量为dm=ρ dxdydz/6。假定作用在流
f x dx f y dy f z dz =0
同理得
fx
x
0
fy
fz
1 p 0 y
（2-3）
1 p 0 z
写成矢量形式
1 f p 0
这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉 （Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程 式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量 流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中， 除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度)
dp ( f x dx f y dy f z dz)
（2-4）
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此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的
坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp， 压强的增量取决于质量力。
二、流体平衡条件
对于不可压缩均质流体，密度ρ ＝常数，可将式（2-4） 写成
p d f x dx f y dy f z dz
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（2-7）
20
f 与通过A点的等压面上的微元线段ds (其分量为dx、dy、
dz)两个矢量的数量积，如图2-4所示，
式(2-7)左端又表示作用在等压面上A点的单位质量力
f ds f x dx f y dy f z dz 0 两个矢量的数量积等于零，必须f和ds互相垂直，其夹
p p( x, y, z )
（2-2）
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第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的微元平行六面 体的流体微团，如图2-3所示。现在来分析作用在这流体 微团上外力的平衡条件。由上节所述流体静压强的特性知， 作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行 六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点 上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在 垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：
是说流体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体
要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是 沿作用面内法线方向的压强。
（2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的
方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。 为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点 A取一微元四面体的流体微团ABCD，设直角坐标原点与A 重合。微元四面体正交的三个边长分别为dx，dy和dz，如 图2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在
fy fx ， ， fz y z x
（2-6）
写成矢量形式：
由式（2-4）得
f grad
dp f x dx f y dy f z dz dx dy dz d （2-6a） x y z
1 p dzdxdy p 2 z
1 p p dz dxdy 2 z
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。 若流体微团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分 量为
f x dxdydz
f y dxdydz
f z dxdydz
处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性 作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为：
1 W dxdydzf 6
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8
它在三个坐标轴上的分量为： 1
Wx
6 1 W y dxdydzf y 6
dxdydzf x
1 Wz dxdydzf z 6 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上 的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系， 则 Px、 0 Py、 0 P。 0 z
在轴方向上力的平衡方程为：
Px Pn cos W x 0
把px ， pn 和Wx的各式代入得：
1 1 p x dydz p n dAn cos dxdydzf x 0 2 6
9
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1 dAn cos dydz 2 则上式变成 1 1 1 p x dydz p n dydz dxdydzf x 0 2 2 6
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第一节 流体静压强及其特性
在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的 法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流 体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。 流体静压强有两个基本特性。 （1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用 面的内法线方向。
这一特性可由反证法给予证明：
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均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相 对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最 基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程 组推导出来的。
在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程 出发，而是从下述的压强差公式来进行推导的。
把式（2-3）两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p dx 1 2 p dx 1 3 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
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1 p dx dydz p 2 x
p
1 p p dx dydz 2 x
条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都 等与零。例如，对于x轴，则为
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
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整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量 ρ dxdydz则得 1 p
1 p dx dydz 1 p p dx dydz 和 p 2 x 2 x
1 p p dydxdz和 2 y
1 p p dy dxdz 2 y
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垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为：
第二章 流体静力学
• §1–1 流体静压强极其特性
• §1–2 流体平衡微分方程
• §1–3 重力作用下的流体平衡 • §1–4 流体静力学基本方程的应用 • §1–5 平面上的静水总压力 • §1–6 曲面上的静水总压力
• §1–7 浮体与潜体的稳定性
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流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态 的规律及其在工程实际中的应用。
因为
或
1 p x p n f x dx 0 3
由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得：
p x pn
同理可得 所以
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
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（2-1）
10
因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止 流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是， 静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而 流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连 续函数，即
角φ等于900。也就是说，通过静止流体中的任一点的等压 面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重力时， 等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球 面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一 部分，所以可以看成是水平面 。
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21
Px p x
Py p y
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1 dydz 2 1 dxdz 2
6
作用在ACD面上 的流体静压强 px
pz
作用在BCD面 pn 上的静压强
py 图2－2 微元四面体受力分析
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作用在ABD和 上的静压 强
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1 Pz p z dxdy 2
P p dAn n n
流体静压强是空间坐标的连续函数，即 p p( x, y, z) ，它的 全微分为 所以
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p p p ( f x dx f y dy f z dz) dx dy dz x y z
dp p p p dx dy dz x y z
上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学 分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件
是
f y z
f z y
f z f x x z
f x f y y x
（2-5）
由理论力学可知，式（2-5）是 fx、fy、fz 具有力的
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势函数－ ( x, y, z ) 的充分必要条件。力的势函数对各坐标 轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：
（dAn为BCD的面积）
除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量
力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的 平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则微 元四面体流体微团的质量为dm=ρ dxdydz/6。假定作用在流