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一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.

江苏省苏州市第十中学高三数学一轮复习-防错纠错5 不等式(含答案解析)

防错纠错5 不等式昆山震川中学刘恺一、填空题1．不等式211xx -≤的解集是．【解析】211xx -≤可化为211011x x x x +-=--≤，等价转化为10(1)(1)0x x x -≠⎧⎨+-⎩≤，所以解集为. 点拨：化简分式时要注意分母不为零.2.不等式210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____________.【解析】当0a =时，满足题意，当0a ≠时，必有00a >⎧⎨∆<⎩，解得04a <<，综上实数a 的取值范围是04a <≤.【易错、易失分点点拨】本题极易遗漏a =0的情况.点拨：在处理二次不等式问题时，要注意二次项系数为0的情况.3．当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【解析】法一：令2()4f x x mx =++，则只要满足(1)0(2)0f f ⎧⎨⎩≤≤，解得5m -≤.法二：变量分离4()m x x <-+恒成立，4()x x-+的取值范围是(5,4)--，所以5m -≤. 【易错、易失分点点拨】本题用法一做时，很容易漏掉等号，如果把(1,2)x ∈变为[1,2]x ∈，结果又会不同，这样的题目很多；用法二做时，容易把最大最小值搞反，从而得到错解4m -≤，还容易漏掉等号.点拨：用函数思想处理二次不等式时，要注意区间端点的影响4.设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(2)z x y =+-的最小值_____________.【解析】先画出可行域，注意22(2)x y +-表示点（x ，y ）到点（0,2）距离的平方，距离最小值即为点（0,2）到直线1y x =-的距离，所以z 的最小值为92. 【易错、易失分点点拨】注意该题的最小值并不在区域顶点取得，而且z 表示距离的平方，求出最小距离后不能忘记再平方.5.设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41b a --的取值范围是 . 【解析】令2()22f x x ax b =++-，由根的分布知识可得(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，得到22021010b a b a b ->⎧⎪+-<⎨⎪++>⎩画出不等式组所表示的区域，41b a --表示区域内的点(a ，b ）与(1,4)连线的斜率，则41b a --的取值范围是13(,)22.【易错、易失分点点拨】本题其实本质还是线性规划问题，学生可能认识不到这一点，也不能准确列出线性约束条件，如果把字母(a ，b )换成(x ，y )，学生可能会认识到问题的本质. 点拨：要突破字母对解题的影响6. 211x x y x -+=-的值域是___________.【解析】令1t x =-，则1x t =+，则22121121x x t t y t x t t-+++===++-，所以该函数的值域是[4,)(,0]+∞-∞ .【易错、易失分点点拨】本题不小心就会得出错解[4,)+∞，除非0t >才行，一定要当心. 点拨：应用基本不等式解题时，一定要注意正数这个基本条件. 7.函数2y =（的最小值为____________.【解析】22y （+++===，令t =，而1y t t =+在（0,1）单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以在t =. 【易错、易失分点点拨】该题极易有如下错解：4y ≥=.事实上此时等号成立条件是x 无解，所以等号取不到.点拨：应用基本不等式解题时，一定要关注等号成立条件，若等号条件不成立，可结合函数性质来解决此类问题.8. 已知正数,x y 满足1x y +=，则4y x y+的最小值是___________. 【解析】4()448y x y y xx y x y++=++≥，当且仅当4y x x y =，即2y x =，即12,33x y ==时等号成立.本题还可以消去y 来做.【易错、易失分点点拨】本题学生可能会有如下变形：44()()y y x y x y x y+=++，然后无法进行下去，这样的变形可能是受一类老题“已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值是__________.”的影响.说明学生没有掌握这类题的本质，只知道简单模仿. 二、解答题9. 已知不等式2(1)10x a x -++>.（1）若对[2,3]x ∈恒成立，求a 的取值范围；（2）若对[1,3]a ∈恒成立，求实数x 的取值范围. 【解析】（1）问题可转化为11a x x +<+恒成立，则512a +<即可，所以32a <；（2）问题可转化为关于a 的不等式210xa x x -+-+>，设21()xa x x g a -+-+=，只要(1)0,(3)0g g >>即可，解得2x >+2x <【易错、易失分点点拨】本题两问要注意对比，学生容易发生混淆.当然第（2）问也可以用变量分离来做，变换主元也是学生应该掌握的思想.10．设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果[1,4]M ⊆，求实数a 的取值范围. 【解析】令2()22f x x ax a =-++当244(2)0a a ∆=-+<，即12a -<<时，M φ=，满足题意；当0∆=时，1a =-或2a =.当1a =-时，{1}M =-，不满足题意；当2a =时{2}M =，满足题意；当0∆>时，2a >或1a <-，如果[1,4]M ⊆，则有14(1)0(4)0a f f <<⎧⎪⎨⎪⎩≥≥，解得1827a <≤；综上：1817a -<≤【易错、易失分点点拨】本题学生有可能想不到用函数思想解决二次不等式问题.可能一上来就会用求根公式求出解集M ，根本就没有考虑到方程2220x ax a =-++无根的情况，也就是M φ=的情况.然后去解无理不等式，无理不等式很容易解错，而且无理不等式现在也不作要求.点拨：要有用二次函数解决二次不等式问题的思想.本题还有若干变式，可以把不等式变为2(2)20x a x a -++≤，也可以把[1,4]M ⊆变为[1,4]M ⊆等. 11.已知两正数x ，y 满足1,x y +=求11()()z x y x y=++的最小值.【解析】111()()y x z x y xy x y xy x y =++=+++，因为14xy ≤，所以1174xy xy ≥+，当且仅当14xy =时等号成立；而2y x x y ≥+，当且仅当x y =时等号成立.综上：当且仅当12x y ==时，z 有最小值254. 【易错、易失分点点拨】本题学生有可能得到错解4：112,2x y x y++≥≥或者12,2x yxy xy y x≥≥++，但是两个等号不能同时成立，事实上因为1x y +=，决定了14xy ≤，而正确做法中两个等号确实可以同时取得.点拨：应用基本不等式解决问题时一定要关注等号成立条件. 12.若,x y R +∈，且30x y xy +-+=，求xy 的最小值；x y +的最小值；2x y +的最小值.【解析】（1）3xy x y ≥-=+3，即9xy ≥，当且仅当x =y =3时取等号；（2）23()2x y x y xy ≤+++=，解得6x y +≥，当且仅当x =y =3时取等号；（3）31x y x +=>-，1x ∴>，所以34422212(1)33111x x y x x x x x x ++=+=++=-+++---≥当且仅当11x y =+=+.【易错、易失分点点拨】这三类题是一定要注意辨析的，尤其是第（3）问，学生可能有如下错解：因为由已知可解得9xy ≥，所以2x y ≥+，此时两个等号成立条件分别是x y =和2x y =，显然不能同时成立.所以第（3）只能用最根本的消元来做，还要注意到0y >可以控制出1x >这个隐含条件. 当然前两问也可以消元来做.点拨：这三类问题要加以辨析，弄懂弄透；多次不等时要注意取等号条件要能够同时成立才行.。

高等数学知识点

高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

专题一次二元方程-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

检【例1】若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5=0(a≠0)的解是
测
考 x=1,则2013-a-b的值是( A )
点 A.202X B.2008
C.2014
D.2012
真题
精练
提升
考点1 一元二次方程的概念
检定义：
测
含有_一__个未知数,并且未知数的最高次数是_2__的整式方程.
考点
m2+3m+n=__2_0_2_X_ 提升
检 1.若一元二次方程-x2+ax+x=0的两根在-2到0之间(含-2和0), 测考则a的取值范围是__-_3_≤__a_≤__-_1__ 点
真题
精练
提升
考点4 根与系数的关系
检 2.方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一个正根,一个负根,求m的取值范围.
练
a
4.若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根,-a是一元二次
提升
方程x2+5x-m=0的一个根,求a的值． a＝5
02
OPTION
目录
考点1 一元二次方程的概念考点2 一元二次方程的解法考点3 根的判别式考点4 根与系数的关系考点5 一元二次方程的应用
考点2 一元二次方程的解法
一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,
考则x1+x2=___,x1x2=___.
点误区警示：利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判
真别式Δ≥0. 题
精练
提升
考点4 根与系数的关系
检 (202X·T5)设α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 测

高中数学等比数列公式是什么

高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。

如函数过的定点、二次函数的对称轴等。

3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。

4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。

5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。

6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。

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防错纠错8 复数与平面向量一、填空题1．若复数1z mi =-(i 为虚数单位，m R ∈) 22z i =-，则复数z 的虚部为．【解析】把1z mi =-代入22z i =-得1,m =故复数z 的虚部为1-．【易错、易失分点点拨】本题学生易错答为i ．点拨：复数的实部与虚部均为实数．复数部分的考点就是复数的概念、复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算，其考查带有综合性．求复数的模注意开方；复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．2．122,34z a i z i =+=- 且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为．【解析】1238642525z a a i z -+=+，由于12zz 为纯虚数，则有38025a -=且64025a +≠，故83a =．【易错、易失分点点拨】本题学生的答案会正确，但过程易错，会出现如下过程：由于12z z 为纯虚数，则有38025a -=．点拨：要注意复数z a bi =+为纯虚数的充要条件是0,0ab =≠．故要健全考试说明中涉及的基本概念．3．已知(3,2)a m =-与(,)b m m =- 共线，则m 值的个数是．【解析】由a 与b 共线可得20m m -=，解之得5m =或0m =，故m 的值有2个．【易错、易失分点点拨】本题学生的答案易为1个，错解如下：由a 与b共线可得32m m m-=-，解之得5m =或0m =(舍)．点拨：零向量与任一向量平行．4．已知同一平面上的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，并且||||||(0),a b c m m ===>则a b c ++的模等于．【解析】（1）当向量a ，b ，c 共线同向时，所成角均为00，所以||||||||3a b c a b c m ++=++=，（2）当向量a ，b ，c 不共线时，三者两两所成的角θ为0120，所以22m a b b c c a ===- ，故2||0a b c ++= ．综上，||a b c ++为0或3m ．【易错、易失分点点拨】本题学生的答案易为0．误以为a ，b ，c皆为不共线向量．点拨：要注意题设中的隐含条件，对于题中同时给出两个及以上的向量须研究每个向量的方向与模，同时要研究两个向量是否具备共线或垂直关系．5．在边长为1的正三角形ABC 中，AB BC BC CA CA AB ++=．【解析】cos120cos120cos120AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB ++=++11132222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【易错、易失分点点拨】本题学生易错解如下：AB BC BC CA CA AB ++cos60cos60cos60AB BC BC CA CA AB =++11132222=++=．这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的．点拨：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量AB与BC ，BC 与CA ，CA 与AB的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°．6．设()()321a x,,b ,,==-若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为．【解析】cos ||||a b a b θ⋅== θ为钝角，所以0cos <θ则032<-x 且32x -≠⨯所以32x <且6x ≠-．【易错、易失分点点拨】本题学生易错解如下：cos ||||a b a b θ⋅==θ为钝角，所以0cos <θ．点拨：向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是a b 0<且a 与b 不共线．这里，a 与b 不共线不能忽略，同时也需整合向量a 与b的夹角为钝角的充要条件．7．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),||||AB ACOP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过△ABC 的心．【解析】由(),||||AB AC OP OA AB AC λ=++可得(),||||AB ACAP AB AC λ=+，而||AB ||AC +的几何意义是∠BAC 的角平分线，且角平分线的交点是三角形的内心，P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．【易错、易失分点点拨】本题学生产生的错因是对),0[(+∞∈++=λλOA OP +的几何意义是与∠BAC ||AB 的几何意义是与AB共线同向的单位向量，掌握向量运算的几何意义．8．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB ==，则HG BC ⋅ 的值为．【解析】1()()()3HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-22120()33AC AB =-=- ．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠= ，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案．【易错、易失分点点拨】本题学生产生的错因是HG 如何用,AB AC 表示以及0AH BC = ，点拨：明确向量数量积求解的三种常用方法，其中用转化法求解时注意基底的合理选取，用坐标法求解时注意创造建系的条件，包括特例法等．二、解答题9．向量a、b都是非零向量，且向量3a b +与75a b -垂直， 4a b -与72a b -垂直，求a 与b的夹角．【解析】由题意，得()()3750a b a b +⋅-= ，① ()()4720a b a b -⋅-=，②将①、②展开并相减，得24623a b b ⋅= ，即22ab b ⋅= ，代入①式、②式均可得22a b = ，则a b =，1c o s 2a b a b θ⋅∴==⋅ ．又∵0θ180 ≤≤，∴60θ=．【易错、易失分点点拨】本题易出现下列错解：由题意，得()()3750a b a b +⋅-=，①()()4720a b a b -⋅-= ，②将①、②展开并相减，得24623a b b ⋅=，③ ∵0b ≠ ，故12a b = ，④ 将④代入②，得22a b = ，则a b = ，设a 与b 夹角为θ，则22112cos cos 2b a b a b bθθ⋅∴=∴===⋅ ．∵0θ180 ≤≤，∴60θ= ．此解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．点拨：对于实数,0ab bc b =≠，则a c =，但向量的数量积不满足消去律，所以即使0b ≠，也不能随便约去．10．已知()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==a 与b之间有关系,ka b kb +=- 其中0>k ，（1）用k 表示a b ⋅ ;（2）求a b ⋅ 的最小值，并求此时a b ⋅的夹角的大小．【解析】（1）要求用k 表示a b ⋅,而已知,ka b kb +=- ，故采用两边平方，得223,ka b a kb +=-()()()2222222222232,8331k a b ka b a k b ka b k a b k a k b ++⋅=+-⋅∴⋅⋅=-+-()()22223318k a k ba b k-+-⋅=()()c o s ,s i n ,c o s ,s i n ,a b ααββ==221,1a b ∴== 222331184k k k a b k k-+-+∴⋅==（2）k k 212≥+ , 即2142412=≥+k k k k ∴a b ⋅的最小值为21，又cos a b a b γ⋅=⋅⋅ ,1a b == γc o s1121⨯⨯=∴.∴o60=γ,此时a 与b 的夹角为60°【易错、易失分点点拨】本题学生可能会把,ka b a kb +-直接坐标化，导致过繁运算，实际还是归结为向量运算不够熟练．点拨：实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有()22222a b a ba b a b +=+=++⋅或222a b a b ++⋅ .11．如图，在ABC RT ∆中，已知a BC = ，若长为a 2的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时⋅【解析】解法一：0,=⋅∴⊥,,,-=-=-= ()()-⋅-=⋅∴⋅+⋅-⋅-⋅=AP AB AC AP a ⋅+⋅--=2()a -⋅--=2 a ⋅+-=212θc o s 22a a +-= 故当1cos =θ,即0=θ（与方向相同）时, ⋅最大.其最大值为0.解法二：以直角顶点A 直角坐标系.设()()(),,0,0,00,b C c B A b AC c AB ，，则== 且.,2a BC a PQ ==设点P 的坐标为()y x ,,则()y x Q --,.()()b y x y c x ---=-=∴,,,Q()().2,2,,y x b c --=-= ()()()b y y x c x --+--=⋅∴().22by cx y x -++-= .c o s2abycx -==θ θc o s 2a by cx =-∴ θc o s 22a a +-=⋅∴故当1cos =θ,即0=θ（与方向相同）时， ⋅最大，其最大值为0.【易错、易失分点点拨】本题易从如下两方面出现错误：1．不会利用2AP AQ a ⋅=- 及0AC AB ⋅= 这两个关系式，即没有把BP 表示为AP AB - ， CQ 表示为AQ AC -致使该题在运算上发生错误．2．在运用坐标运算过程中，未知数多，如()()()(),0,0,,,,,B b C c P x y Q x y --而忽视了这些量内在的联系222222,b c a x y a +=+=还有cos θ的表示式2cos bx cyaθ-=，这些关系不能充分利用，导致运算错误．12．已知椭圆的中心在原点，离心率为21，一个焦点()0,m F - (m 是大于0的常数．) (1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||M Q Q F =，求直线l 的斜率．【解析】（1）设所求椭圆方程为()012222>>=+b a by a x由已知得m b m a a cm c 3,2,21==∴==，故所求的椭圆方程是1342222=+my m x （2）设(),,00y x Q 直线l 的方程为(),m x k y +=则点()F Q M km M 、、 ,,0三点共线，||2||MQ QF =,QF MQ 2=∴.当QF MQ 2=时，由于()(),,,0,km O M m F -由定比分点坐标公式，得0021,33x m y km =-=，又Q 在椭圆1342222=+m y m x 上,127912=+∴k ，解得62±=k同理，当QF MQ 2-=时，有131222=+mm k ，解得0=k .故直线l 的斜率是0±或【易错、易失分点点拨】第（2）问学生易出现如下错误：设()yo xo Q ,,直线l 的方程为()m x k y +=,则点()km O M ,.由已知F 、Q 、M 三点共线，且||2||MQ QF =，2MQ QF ∴=，由于()0,m F -，()km O M ,，从而得0021,33x m y km =-=，又Q 在椭圆1342222=+m y m x 上,127912=+∴k ，解得62±=k ．归因：缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将QF MQ 2=进行转化时出现错误．点拨：依题意QF MQ 2=应转化为QF MQ 2±=再分类求解k ．平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量关系式转化为坐标满足的关系式，再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视．。

江苏省苏州市第十中学2017届高三数学一轮复习-防错纠错1 集合与简易逻辑 Word版含答案

防错纠错1 集合与简易逻辑一、填空题1．已知集合2{|60},{|21},xA x x xB x =--<=≥则=B A . 【解析】)3,2(-=A ，),0[+∞=B ，则=B A ),2(+∞-【易错、易失分点点拨】易错：学生在答题时会看不清题目，将并集当作交集运算导致错误．点拨：主要考查一元二次不等式、指数不等式的运算及集合的并集运算，为容易题，答题时看清题目要求，弄清楚集合运算符号含义.2．命题“2,10x x x ∀∈-+>R ”的否定是 .【解析】2,10x x x ∃∈-+R ≤【易错、易失分点点拨】易出现的错误有：①没有把不等式否定，②出现“∃∀”这样的符号．点拨：主要考查全称命题的否定，注意命题的否定和否命题的区别，并注意符号的书写．3．若命题:p “2log 0x <”，命题:q “1<x ”，则p 是q 的______条件． (填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)【解析】:p 10<<x ，所以答案为：充分不必要．【易错、易失分点点拨】易出现的错误：在解不等式0log 2<x 时没有考虑0>x ，缺乏由集合到命题的转换能力．点拨：主要考查解对数不等式及命题的关系.4．如图，已知集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为____________．【解析】 A ∩C ＝{2,4,5,8}，又4,5在集合B 中，2,8不在集合B 中，故阴影部分表示的集合为{2,8}．【易错、易失分点点拨】易错：没有看清楚阴影部分表示的含义，最后结果没有用集合表示. 点拨：本题的关键是弄清阴影部分为A ∩C ，再去除集合B 的部分，最后用集合表示．5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |x >1}，则集合A ∩(∁U B )＝________.【解析】由题知∁U B ＝{x |x ≤1}，A ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |0＜x ≤1}．【易错、易失分点点拨】易错：在集合的运算过程中，没有注意到“1”的取舍，错误的将答案写成{x |0＜x ＜1}. 点拨：本题考查集合的交、并、补运算．解决问题的关键在于理解集合A ∩(∁U B )的含义：在集合A 中剔除B 中元素所得到的集合．6．集合{－1,0,1}共有________个子集．【解析】解法1 集合{－1,0,1}的所有子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{0,1}，{－1,1}，{－1,0,1}．解法2 利用性质：若一个集合有n 个元素，则它有2n 个子集，从而{－1,0,1}的所有子集个数为8.【易错、易失分点点拨】易错：用列举法时，少算一个空集，或者集合本身. 点拨：一般地，集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集共有2n 个，真子集有(2n －1)个，非空真子集有(2n－2)个．7．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.【解析】由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.【易错、易失分点点拨】易错：看不清题目意思是假命题，得到0>∆或者0≥∆. 点拨：从命题的否定为真命题出发解题，结合函数图象，正确得到0<∆.8. 已知p ：|x －a |<4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题意知p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，因为“⌝p ”是“⌝q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3≤a ＋4，2≥a －4，解得－1≤a ≤6. 答案：【易错、易失分点点拨】易错：①充要性没有正确转化为集合之间的关系，②从数轴上比较端点的大小时，没有加等号. 点拨：本题考查根据充分必要条件来求取值范围．解决此类问题，首先要分清什么是条件，什么是结论，然后根据充分必要条件的定义来解题．此题中“⌝p ”是“⌝q ”的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．进而根据充分必要条件的定义来求实数a 的取值范围．二、解答题9．已知集合=A {}2|230x x x --<，=B {}|(1)(1)0x x m x m -+--≥．（1）当0=m 时，求B A ；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】（1）{}31<<-=x x A ，{}11≥-≤=x x x B 或，则{}31<≤=⋂x x B A（2）{}11+≥-≤=m x m x x B 或，q 是p 的必要不充分条件，则B A ⊄，得到1131-≤+≥-m m 或，则24-≤≥m m 或. 【易错、易失分点点拨】易错：①q p q p ,,⊂不是集合注意书写；②不写出q p ⇒且q 不可推出p ；③列出的不等式中无等号；④求解过程中写成⎩⎨⎧≥--≤+3111m m ．点拨：主要考查解不等式，集合运算，简易逻辑，加强书写的规范性，提高解题的正确率．10．已知集合{}0)53)(3(<---=a x x x A ，函数2lg(514)y x x =-++的定义域为集合B ．（Ⅰ）若4a =，求集合A B ；（Ⅱ）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围．【解析】（1）{}173<<=x x A ，{}72<<-=x x B ，则{}73<<=⋂x x B A（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则B A ⊆， ①353=+a ，即32-=a 时，=A ∅，成立. ②353≠+a ，即32-≠a 时，由B A ⊆得：7532≤+≤-a则3237≤≤-a 且32-≠a . 综上：a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3237a a . 【易错、易失分点点拨】易错：①认为“x ∈A ”后，集合A 非空；②在研究子集关系的时候，不考虑端点可重合．点拨：主要考查解不等式，集合的运算，充分条件的概念等，注意集合书写的规范性．11．已知集合107x A x x ⎧-⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22220B x x x a a =---<．（Ⅰ）当4a =时，求A B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）{}|17A x x =<<，当4a =时，{}{}2|224046B x x x x x =--<=-<<，∴{}|16A B x x =<<．（Ⅱ）{}()(2)0B x x a x a =+--<，①当1a =-时， ,B A B =∅∴⊆不成立；②当2,a a +>-即1a >-时，(,2),B a a =-+1,27a A B a -≤⎧⊆∴⎨+≥⎩，解得5;a ≥③当2,a a +<-即1a <-时，(2,),B a a =+-21,7a A B a +≤⎧⊆∴⎨-≥⎩解得7;a ≤-综上，当A B ⊆，实数a 的取值范围是(,7][5,)-∞-+∞．【易错、易失分点点拨】易错：①用这类方法解题时，对集合B 的分类没有做到不重不漏；②在研究子集关系的时候，不考虑端点可重合．点拨：本题还可以从恒成立角度出发，即对任意的)7,1(∈x ，不等式02222<---a a x x 恒成立.12．已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数)1(2lg2+--=a x x a y 的定义域为集合B . (1) 若a ＝2，求集合B ；(2) 若A ＝B ，求实数a 的值．【解析】 (1) 当a ＝2时，由4－x x －5>0得4<x <5，故集合B ＝{x |4<x <5}． (2) 由题可知，B ＝{x |2a <x <a 2＋1}．①若2<3a ＋1，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，又A ＝B,2a ≤a 2＋1，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a 2＋1＝3a ＋1，无解；②若2＝3a ＋1，即a ＝13时，显然不合题意； ③若2>3a ＋1，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，又A ＝B,2a ≤a 2＋1，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3a ＋1，a 2＋1＝2，解得a ＝－1.综上所述，a ＝－1.【易错、易失分点点拨】易错：考查了分类讨论的思想，解题时要对2与3a ＋1的大小关系进行讨论．点拨：本题考查对数函数的定义域和两个集合的相等．对数函数中真数大于0，在复习时要牢记；用区间法表示两个集合相等的等价条件是两个端点分别对应相等．。

高中数学学习方法指导课件高三数学一轮复习

1. 为什么学数学？
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2. 初高数学区别
高中教材知识容量增大，难度增加，知识点之间环环相扣
学习方式从初中的模仿和记忆为主，转化为以
更严密精确，更深入简洁，更善于创造.....
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1. 为什么学数数学之美
1. 为什么学数学？
➢ 伽利略说过：“大自然是一本书，这本书使用数学文字写的”
➢ 罗素曾经说过:”数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。”数学之美，拥有规律美、简洁美、逻辑美;是严谨的美冷静的美、未知的美......它需要我们去细细品味，感受和体验。接下来让我们一起寻找世界中著名的数学美。
制定计划和目标，明确学习目的。包括短期计划和长期计划，从而保证更有效地利用时间来学习
预习可以增强听课的目的性和针对性，预习既包括预习知识又包括预习习题，要做好预习计划与预习笔记
抓住课上时间，跟上老师节奏，提高课堂效率。课堂是学习基本知识的关键环节，抓住课堂才能事半功倍
学而有法，事半功倍
及目时录纠错
恩格斯：“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。
数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理

第十中学高三数学一轮复习-防错纠错9 算法、概率与统计 Word版含答案

防错纠错算法、概率与统计一、填空题．如果执行下面的流程图，那么输出的等于．【解析】本流程图含有循环结构．第次循环为≤；＝＋×；＝＋＝；第次循环为≤；＝＋×；＝＋＝；……第次循环为≤；＝＋＋…＋＝．＝>，退出循环，输出．答案：【易错、易失分点点拨】对于含有循环结构的算法问题，一定要注意循环变量、计数变量以及终止条件之间的关系，通常可以采取列出前几次操作，然后找到规律，再注意终止条件的判定．．阅读下列程序:输出的结果是．【解析】第一次循环时，被赋予，被赋予，并输出；第二次循环时，被赋予，被赋予，并输出；第三次循环时，被赋予，被赋予，并输出；由于此时，故循环终止，程序结束．所以输出的结果是，，．【易错、易失分点点拨】本题最容易出现的问题是没有弄清是在循环体内，即每循环一次，都将执行一次，因为循环进行了次，所以也执行了次．所以本题最常见的错解为：第一次循环时，被赋予，被赋予；第二次循环时，被赋予，被赋予；第三次循环时，被赋予，被赋予；由于此时，故循环终止，最后输出为．．下面的程序运行时输出的结果是．【解析】当时，．【易错、易失分点点拨】没有注意到由于在循环内，每经过一次循环后都被赋值，习惯性认为在之前，因此，只要求满足条件的最后一次循环的值．本题较容易出现的错解为：第一次循环时，被赋予，被赋予；第二次循环时，被赋予，被赋予；第三次循环时，被赋予，被赋予；第四次循环时，被赋予，被赋予．由于此时，故循环终止，输出为．．在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是．【解析】将取出的两个数分别用，表示，则，∈，要求这两个数的平方和也在区间内，即要求≤＋≤，故此题可以转化为求≤＋≤在区域内的面积比的问题，即由几何概型知识可得到概率为＝．【易错、易失分点点拨】本题容易习惯性地把条件“在区间内随机取出两个数”误认为“在区间内随机取出两个整数数”，从而将本题当做古典概型进行求解．．盒中有张分别标有的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【解析】两次有放回抽取卡片所有可能的结果为：()，()，()，()，()，()，()，()，()，共有种可能，其中至少有一个为偶数的结果为()，()，()，()，()，共种，所以所求概率＝．【易错、易失分点点拨】本题容易发生的错误在于对本题基本事件总数的计算，易混淆“有放回”和“无放回”，将()，()之情形，认为是同一种基本事件．．在等腰△中，过直角顶点在∠内作一条射线与线段交于点，则<的概率为．【解析】射线在∠内是均匀分布的，故∠＝°可看成试验的所有结果构成的区域，在线段上取一点，使＝，则∠＝．°可看成事件构成的区域，所以满足条件的概率为＝．【易错、易失分点点拨】本题是很典型的一道题目，最容易产生的错解为：在线段上取一点，。

学生备战高考三轮复习计划模板(7篇)

学生备战高考三轮复习计划模板（7篇）学生备战高考三轮复习计划模板篇1很多学生问我高三如何规划才合理，这个问题我想了好久。

每个人都有自己的规划周期，应当是结合自己的实际情况进行规划。

尤其是现在同学们刚进入高三，体会还不是很深刻，但还是希望同学们为自己量身定好规划。

我结合大家各自不同的情况，说一下当前同学们即将进入的第一阶段。

高三首轮复习按时间大致为：9月-3月初，这个时期为基础能力过关时期1、认真回顾课本知识这个阶段过程主要是用于高中三年全部课程的回顾。

这时候我希望大家在回顾的过程中能够找到自己知识遗漏的部分。

这个阶段相当的冗长，最主要的是要会学回归课本。

无论如何，高考绝大部分内容都贴近课本的。

高考试题的80%是基础知识，20%是稍难点的综合题，掌握好基础，几乎能上一个比较不错的大学。

因此高三前期，我希望同学们老老实实把课本弄懂。

弄懂课本不是光记住结论，而是要通读。

即理科全部的原理要弄清、语文课文内标注的字词句摘抄、英语课文至少要达到念的通顺、文史类知识主线及同类型知识要素要学会整理等。

注意，第一轮复习十分重要，大家千万不要埋头做题，而是先看课本，再“精”做题目。

在复习过程中一定先将课本看明白了，然后再做题，做题过程中不许看课本，不许对答案。

会就会做，不会做一定要先想哪些内容遗忘了，哪里想错了，先做后面的，等隔一定时间再看不会做的，马上看的话效果打折扣的。

2、把握好自己的节奏很多学生因为在复习过程中跟不上老师的节奏，导致前面部分没弄懂，后面部分更是拉下，学校在教学节奏控制上又不能根据学生本身制定。

因此我建议学生一定要提高自学能力，如果实在跟不上节奏，就先关注最基础最简单的题目，将遗漏的课本部分做好画线标记，或将页面折起做标记，以利于及时的回顾。

在学的过程中不要因为面子问题不敢发问，建议学生在弄不懂的问题上多问同学，多问老师。

最好能够找到水平相当的同学，互相约定好给对方做考察，给对方讲解双方对知识点的认识，互相研究题目。

高三数学提分最快的方法

高三数学提分最快的方法高三数学提分最快的方法是什么在学习学习的科目时，首先课堂紧跟老师，认真听每一节课，记好课堂笔记;其次，想学好数学，大量刷题确实很有必要，下面小编给大家整理了关于高三数学提分最快的方法的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!高三数学提分最快的方法1、认真听好每一节课。

有的同学上课不听，下课不看，资料不做，考试前拿着课本在那记公式，总结知识点，考试成绩是一塌糊涂。

2、记数学笔记，特别是对概念不同侧面的理解，以及典型例题。

3、建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到能从反面入手深入理解;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对阵下药，解答问题完整、推理严密。

4、记忆数学规律和数学小结论。

高中数学不是靠死记硬背，但是不代表不背，基本的规律和结论还是必须记得，记的熟练了，自然也就能灵活运用了。

5、在有能力的基础上做一些数学课外题，加大自学力度。

高三做数学题要注意总结做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。

学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。

因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问:本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。

也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。

高三数学不好解决办法多问：不会做的题，可以请教老师和同学。

在课间请教去老师，有些同学不好意思问老师可以请教身边的同学，不要不好意思同学间互相帮忙是很正常的。

高三数学的复习方法总结大全

高三数学的复习方法总结大全高三数学的复习方法总结一、课后及时回忆如果等到把课堂内容遗忘得差不多时才复习，就几乎等于重新学习，所以课堂学习的新知识必须及时复习。

可以一个人单独回忆，也可以几个人在一起互相启发，补充回忆。

一般按照教师板书的提纲和要领进行，也可以按教材纲目结构进行，从课题到重点内容，再到例题的每部分的细节，循序渐进地进行复习。

在复习过程中要不失时机整理笔记，因为整理笔记也是一种有效的复习方法。

二、定期重复巩固即使是复习过的内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。

可以当天巩固新知识，每周进行周小结，每月进行阶段性总结，期中、期末进行全面系统的学期复习。

从内容上看，每课知识即时回顾，每单元进行知识梳理，每章节进行知识归纳总结，必须把相关知识串联在一起，形成知识网络，达到对知识和方法的整体把握。

三、科学合理安排复习一般可以分为集中复习和分散复习。

实验证明，分散复习的效果优于集中复习，特殊情况除外。

分散复习，可以把需要识记的材料适当分类，并且与其他的学习或娱乐或休息交替进行，不至于单调使用某种思维方式，形成疲劳。

分散复习也应结合各自认知水平，以及识记素材的特点，把握重复次数与间隔时间，并非间隔时间越长越好，而要适合自己的复习规律。

高三数学怎么提高成绩高三第一轮复习是花费时间最长，也是最为重要的复习阶段，这一轮复习效果的好坏，直接决定着后面复习的效果，甚至决定着自己的高考成绩，其重要性可见一斑。

要做好第一轮复习，可以采用以下几种方法：1、比较辨析法。

政治学科中有不少相似的概念，考生在复习过程中容易混淆。

比较辨析法，就是通过对知识专题中的概念或原理进行比较辨析研究，弄清其本质区别以及适用范围，为提升分析和解决问题的能力奠定基础。

列表比较法就是一种辨析相似概念、原理的好方法。

2、知识网络法。

在理解考点的基础上，学会自主归纳知识点，从微观上构建知识网络，一框题一建，一节一建，一课一建，具体分析每个框题之间、每个章节之间的内在联系，从根本上实现知识的内化，提升对知识的理解和整体把握的能力，为以后的复习打下坚实的基础。

高三数学不等式知识点

高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。

高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。

学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。

良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

高考数学一轮复习知识点(精选5篇)

高考数学一轮复习知识点(精选5篇)高考数学一轮复习知识点篇11、基础不牢，地动山摇。

数学想考高分，基础是最重要的，这也是很多学生数学成绩一直不好的核心原因，牢记基本公式和基本定理，根据课本目录，能熟练回忆出课本上所有知识点，真正打牢基础，你才有学好数学的可能。

2、从基础题由浅入深进行练习。

不少人对数学学习彻底失去了信心，甚至感觉自己就不是学习数学的料，其实都是平时不会选题，基础差还总爱做难题，最后被打击的自信心全无。

正确的做法是从最基础的题目开始做，先完成老师布置的作业，然后再每天给自己准备一定数量的题目，题目的选择应该从浅入深，基础不好就先做简单的题目，一点一点加深难度。

3、不要怕问。

数学想考满分，你的知识体系必须非常完美，知识没有任何漏洞才行。

遇到问题千万不要放弃，一定要多问多想，遇到不会的难题，不要硬靠自己，要敢于走出去找老师解答，在这个过程中，你可以体会老师的解题方法和老师的解题思想，更有效地利用做题时间。

4、错题本必须要有。

有人经常说，数学学霸们的学习方法并不适合所有人，但错题本学习法确实是人人都应该掌握的一个高效学习法。

如果不想错题一错再错，错题本是必须要有的。

最重要的是经常出错的题要多看，也可以的错题进行归类，不然你整理再多错题作用也不大。

高考数学一轮复习知识点篇2越是容易的题要越小心，因为这样的题很可能有陷阱。

出现怪异的答案的题要小心，因为很有可能计算错误。

任何带有数字的题要多问一下自己，有没有遗漏答案，如出现2的答案，就要考虑-2有没有可能也是答案。

最后一道填空题很有可能是难题，如果不能马上解出，应迅速放在一边进行下面答题，毕竟这道题再难也分数也有限，不应恋战。

高考数学一轮复习知识点篇3三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。

是高考数学必考题型。

高考对其的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。

近几年来，高考关于数列方面的命题有以下三个方面。

江苏省苏州市第十中学2017届高三数学一轮复习-防错纠错2 函数与导数含答案

防错纠错2 函数与导数一、填空题1．函数f (x ）＝错误!的定义域为________．【解析】由题意知错误!解得0〈x ≤错误!。

∴定义域为(0，错误!］【易错、易失分点点拨】易错：本题中有对数符号，要注意真数大于0. 点拨：解决这类问题时，要将自变量满足的条件全部用不等式列出，用大括号表示,再求出这些不等式的交集。

2．函数x x y 22)21(-=的值域为 .【解析】11)1(222-≥--=-=x x xy ，且函数x y )21(=单调递减，所以值域为]2,0( 【易错、易失分点点拨】易错：没有注意到指数函数本身的范围,错将答案写成]2,(-∞3．函数)32(log 25.0+--=x x y 的单调递增区间是. 【解析】由0322>+--x x 得到定义域为)1,3(-，函数x y 5.0log =在),0(+∞上单调递减，由复合函数单调性,)32(log 25.0+--=x x y 的单调递增区间为)1,1(-.【易错、易失分点点拨】易错：①不注意定义域；②没有注意外层函数单调递减。

点拨：研究函数单调性的第一步要研究函数的定义域.4．已知()2()xf x x =∈R 可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 之和,则()()g x h x ⋅=______________．【解析】x x h x g 2)()(=+，则x x h x g -=-+-2)()(，由奇偶性可得xx h x g -=+-2)()(，解得222)(x x x g --=,222)(x x x h -+=，则422)()(22x x x h x g --=⋅。

【易错、易失分点点拨】易错:指数运算及幂运算不过关，混淆运算法则．点拨：本题利用函数奇偶性构造“方程”，再进行代数式化简．需加强指数运算和对数运算，特别是易混淆的运算法则，多练习．5．函数1lg 1y x x=-+的零点个数是．【解析】即研究函数1lg -=x y 与函数xy 1-=图象的交点个数,由图可知，3个。

【名师金典】(教师用书)版高考数学大一轮复习第五章数列

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法[考情展望] 1.以数列的前n 项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n 项和S n 求通项a n.一、数列的有关概念判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1－a n ＝0，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1－a n ＜0，则数列{a n }为递减数列．(2)作商比较法：不妨设a n ＞0. ①若a n ＋1a n＞1，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1a n＝1，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1a n＜1，则数列{a n }为递减数列．三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法．四、a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝，S n －S n －1， n已知S n 求a n 的注意点利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示．1．已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数【答案】 B2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 【答案】 B3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【答案】 A4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝2n －n5．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝ . 【答案】 46．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝ .【答案】 (－2)n －1考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .规律方法1 1.求数列的通项时，要抓住以下几个特征．(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．考向二 [084] 由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式a n .(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a n ＋1＝n ＋2na n ，a 1＝4； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.【尝试解答】 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋2.所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋2a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．规律方法2 递推式的类型对点训练 (2015·银川模拟)已知f (x )＝1＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n＋2＝f (a n )．若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11的值是．【答案】135＋326考向三 [085] 由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .(b 为常数)【尝试解答】 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.规律方法3 已知S n 求a n 时的三个注意点(1)重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写” . (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.对点训练 (1)(2015·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1【答案】 B(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，求下面数列{a n }的通项公式a n . ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 【解】 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ，2·3n －1，n ＝1，n ≥2.易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题 —————————— [1个示范例] ——————已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 ∵a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，∴a n ＋1－a n ＞0对∀n ∈N *都成立，此处在求解时，常犯“a n 是关于n 的二次函数，若{a n }单调递增，则必有k2≤1，k ≤2”的错误．出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数．又a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，所以由2n ＋1－k ＞0，即k ＜2n ＋1恒成立可知k ＜(2n ＋1)min ＝3.,【防范措施】 1.明确函数单调性与数列单调性的关系 (1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调．(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n ∈N *上的特殊函数． 2．数列单调性的判断一般通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：若a n ＋1＞a n ，则该数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则该数列为递减数列．———————— [1个防错练] ———————已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是．【解析】法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，故对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)(*)．因为n ≥1，故－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其对称轴为n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需满足n ＝－λ2＜32即可，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n n ＋2【答案】 C2．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108 【答案】 D3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048 D ．2 047【答案】 B4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【答案】 D5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1【答案】 A6．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝ .【答案】 128．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ .【答案】61169．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为，k 的值为．【答案】－1 4三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1，于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋2，∴a n ＝n n ＋2，n ≥2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝n n ＋2，n ∈N *.11．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝，1n ，n(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， ∴{c n }是递减数列．12.(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －＋n －2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ，∴a n ＝3n 2－n . (2)∵点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上， ∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)， ∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )，当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273，∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0， ∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．第二节等差数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题．一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2.证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)． ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】 D2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】 B3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 【答案】 B4．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 【答案】 2n －15．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝ . 【答案】 726．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝ . 【答案】 20考向一 [086] 等差数列的判定与证明在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．【尝试解答】 (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2)． ∴a 2＝2a 1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．规律方法1 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．对点训练 (2014·大纲全国卷)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．【证明】 ①由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.考向二 [087] 等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】 C(2)(2013·四川高考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【尝试解答】设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得． 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.规律方法2 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．对点训练 (2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.①求d 及S n ；②求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 【解】 ①由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．②由①得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.考向三 [088] 等差数列的性质及应用(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 【答案】 B(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.【尝试解答】由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.规律方法3 1.在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．对点训练 (1)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 【答案】 (1)A (2)60考向四 [089] 等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【尝试解答】法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 法二同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.规律方法4 求等差数列前n 项和的最值常用的方法(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．对点训练已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n n －2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.规范解答之八等差数列的通项与求和问题 ————————— [1个示范例] ———————(12分)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【规范解答】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *). 5分(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，6分所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.12分【名师寄语】 1.涉及求数列{|a n |}前n 项和的题目，其解题的关键是找到数列{a n }的正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点．2．要正确区分“|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |”与“a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ”的差异，明确两者间的转换关系，切忌逻辑混乱．————————— [1个规范练] ———————已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，易求a 2＝－1，则a 3＝a 2＋d ，a 1＝a 2－d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1－d ，－1＋d －1－d －＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不合题设条件．当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5. 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －＋n －2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.课时限时检测(三十) 等差数列 (时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】 D3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27 【答案】 B5．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 【答案】 D6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝ . 【答案】 108．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝ . 【答案】 139．已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝ .【答案】252三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．(12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的根，且a 4＞a 3， ∴a 3＝9且a 4＝13，从而a 1＝1，公差d ＝4，故通项a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n＋4n －2＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c .法一所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)．令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二当n ≥2时， b n －b n －1＝2n 2－nn ＋c－n －2－n－n －1＋c＝2n 2＋c －n －3c n 2＋c －n ＋c c －，欲使{b n }为等差数列，只需4c －2＝2(2c －1)且－3c ＝2c (c －1)(c ≠0)，解得c ＝－12.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．12．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项； (3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)证明由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)得， 1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴a n ＝13n －2. (3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2(n ∈N *)恒成立．整理得λ≤n ＋n －n －(n ≥2，n ∈N *)，令C n ＝n ＋n －n －，Cn ＋1－C n ＝n ＋n ＋3n－n ＋n －n －＝n ＋n －3n n －因为n ≥2，所以C n ＋1－C n ＞0，∴{C n }为单调递增数列，C 2最小，且C 2＝283，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.第三节等比数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．一、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．二、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m qn －m(m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12【答案】 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11【答案】 A3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7 【答案】 B4．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是．【答案】 45．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【答案】 C6．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】 A考向一 [090] 等比数列的基本运算(1)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝；前n 项和S n ＝ .(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n . 【尝试解答】 (1)2,2n ＋1－2(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .规律方法1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．对点训练 (1)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .【答案】 2n(2)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列． ①求数列{a n }的通项公式； ②求数列{3a n }的前n 项和．【解】 ①设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )．又a 1＝2，所以d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝2n .②由①可知3a n ＝32n＝9n. 故数列{3a n }的前n 项和为－9n1－9＝98(9n－1)．考向二 [091] 等比数列的判定与证明成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．规律方法2 1.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可．对点训练 (2015·武汉模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【解】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．考向三[092] 等比数列的性质及应用(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3(2)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝ .【答案】 (1)C (2)－53规律方法3 在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．对点训练 (1)(2015·兰州模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16(2)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ .【答案】 (1)B (2)50思想方法之十三分类讨论思想在等比数列求和中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．在数列的学习中，也有多处知识涉及分类讨论思想，具体如下所示： (1)前n 项和S n 与其通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2；(2)等比数列的公比q 是否为1；(3)在利用公式S n 求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等．求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．————————— [1个示范例] ———————(理)(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.————————— [1个对点练] ———————已知数列{d n }满足d n ＝n ，等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n ；(2)令c n ＝1－(－1)na n ，不等式c k ≥2014(1≤k ≤100，k ∈N *)的解集为M ，求所有d k ＋a k (k ∈M )的和．【解】 (1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，所以(a 1q 4)2＝a 1q 9，解得a 1＝q ，又因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2(a n ＋a n q 2)＝5a n q ，则2(1＋q 2)＝5q,2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12(舍)或q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.(2)则c n ＝1－(－1)n a n ＝1－(－2)n，d n ＝n ，当n 为偶数，c n ＝1－2n ≥2014，即2n≤－2013，不成立；当n 为奇数，c n ＝1＋2n ≥2014，即2n≥2013，因为210＝1024,211＝2048，所以n ＝2m ＋1,5≤m ≤49 则{d k }组成首项为11，公差为2的等差数列 {a k }(k ∈M )组成首项为211，公比为4的等比数列则所有d k ＋a k (k ∈M )的和为＋2＋211－4451－4＝2475＋2101－20483＝2101＋53773.课时限时检测(三十一) 等比数列(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( ) A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】 B2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n【答案】 D4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且54为a 4与2a 7的等差中项，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 【答案】 C6．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝ .【答案】 148．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .【答案】1529．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ .【答案】 32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 【解】 (1)由题意知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.11．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.故1b n ＝－2nn ＋＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.12．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)． (1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【解】 (1)证明由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2. 由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋qn －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．第四节数列求和[考情展望] 1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧．一、公式法与分组求和法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的拆项方法 (1)1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k。

【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点1学案

1.集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1]已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.答案02．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．[问题2]已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝__________. 答案{y|y≥1}3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．[问题3]已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，4]4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题4]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B＝__________.答案[0，＋∞)5．命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，而此命题的否定(非命题)是“若p，则綈q”．[问题5]已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A ⊆B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分条件；若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件．[问题6] 已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________．答案 (2，＋∞)7．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确地对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”． [问题7] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是________．(填序号) ①∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n ； ②∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n ； ③∃n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n ； ④∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n . 答案 ④8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用．[问题8] 已知命题p ：∃x ∈R ，ax 2＋x ＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a ＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.易错点1 忽视空集例1 已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．易错分析忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B ＝∅时，符合题设．解决有关A ∩B ＝∅，A ∪B ＝∅，A ⊆B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解．解集合A ＝{x |－2≤x ≤5}， ①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2. 由B ⊆A 得－2≤p ＋1且2p －1≤5. 由－3≤p ≤3，∴2≤p ≤3.②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2. 由①②得p ≤3.易错点2 忽视区间端点的取舍例2 记f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．易错分析在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小．解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，∴x －1x ＋1≥0.∴x ＜－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )＞0，得(x －a －1)(x －2a )＜0.∵a ＜1，∴a ＋1＞2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)． ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2，而a ＜1，∴12≤a ＜1或a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.易错点3 混淆充分条件和必要条件例3 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a >b 成立的必要不充分的条件是__________．(填序号)①a >b －1；②a >b ＋1；③|a |>|b |；④2a >2b .易错分析在本题中，选项是条件，而“a >b ”是结论．在本题的求解中，常误认为由选项推出“a >b ”，而由“a >b ”推不出选项是必要不充分条件．解析由a >b 可得a >b －1，但由a >b －1不能得出a >b ，∴a >b －1是a >b 成立的必要不充分条件；由a >b ＋1可得a >b ，但由a >b 不能得出a >b ＋1，∴a >b ＋1是a >b 成立的充分不必要条件；易知a >b 是|a |>|b |的既不充分又不必要条件；a >b 是2a >2b 成立的充要条件．答案 ①易错点4 对命题否定不当例4 已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．易错分析题中5∉M 并不能转化为5a ＋105a －25>0，题意中还有分式无意义的情形，本题可从集合的角度用补集思想来解．解析方法一 ∵5∉M ，原不等式不成立， ∴5a ＋105a －25>0或5a －25＝0， ∴a <－2或a >5或a ＝5，故a ≥5或a <－2. 方法二若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5，∴当5∉M 时，a <－2或a ≥5. 答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)1．(2017·江苏江阴中学月考)已知集合A ＝{x |x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________. 答案 {－1,0}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}， ∴A ∩B ＝{－1,0}．2．设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －2＜0，B ＝{x |2x ＜2}，则图中阴影部分表示的集合为______________．答案 {x |1≤x ＜2}解析 A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜1}，由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |1≤x ＜2}．3．(2017·江苏常州竹箦中学摸底)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a ＝________. 答案－2解析 ∵集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ， ∴a ＋3＝1，解得a ＝－2.4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －4x ＋1≤0，B ＝{x ∈R |(x －2a )·(x －a 2－1)＜0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是____________．答案 {1}∪[2，＋∞)解析由x －4x ＋1≤0，得A ＝{x ∈R |－1＜x ≤4}，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)＜0}＝{x ∈R |2a ＜x＜a 2＋1}．若B ≠∅，则在数轴上可以看出2a ≥4，所以a ≥2；若B ＝∅，只能a ＝1. 5．已知命题p ：12log |2x －3|>0，命题q ：x 2－3x <0，则p 是q 的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案充分不必要解析不等式12log |2x －3|>0⇔0<|2x －3|<1⇔－1<2x －3<0或0<2x －3<1⇔1<x <32或32<x <2，即不等式12log |2x －3|>0的解集为A ＝⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 而不等式x 2－3x <0的解集为B ＝(0,3)，因此A B . 从而可知p 是q 的充分不必要条件．6．已知p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 p ⇔a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，23，q ⇔a ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∴a ∈⎝⎛⎦⎤12，23.7．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2,4]，则实数m ＝________. 答案 5解析由题意知，A ＝[－2,4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2,4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，则m ＝5.8．已知条件p ：x 2＋2x －3>0，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__________．答案 [1，＋∞)解析由x 2＋2x －3>0，可得x >1或x <－3，“綈p 是綈q 的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，故a ≥1.9．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B中元素的个数是________．答案 10解析因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}．因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0,1；因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1,0,1,2,3. 则(x ，y )的可能取值如下表所示：故A *B 中的元素共有10个． 10．给出下列命题：①命题：“存在x >0，使sin x ≤x ”的否定是：“对任意x >0，sin x >x ”； ②函数f (x )＝sin x ＋2sin x (x ∈(0，π))的最小值是22； ③在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰或直角三角形； ④若直线m ∥直线n ，直线m ∥平面α，那么直线n ∥平面α. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①③ 解析易知①正确；②中函数f (x )＝sin x ＋2sin x (x ∈(0，π))，令t ＝sin x ，则g (t )＝t ＋2t ，t ∈(0,1]为减函数，所以g (t )min ＝g (1)＝3，故②错误；③中由sin 2A ＝sin 2B ，可知2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故③正确；④中直线n 也可能在平面α内，故④错误．。