高考数学三角函数的恒等变形

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三角函数恒等变形公式

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三角函数恒等变形公式
以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数：
cos( α+β)=cos α· cosβ - sin α· sin β cos( α - β)=cos α· cosβ+sin α· sin β sin( α±β )=sin α· cosβ± cosα· sin β tan( α+β)=(tan α+tan β)/(1 - tan α· tan β） tan( α - β)=(tan α - tan β)/(1+tan α· tan β）三角和的三角函数：
.
cosα· sin β=(1/2)[sin( α+β） - sin( α - β)] cosα· cosβ=(1/2)[cos( α+β)+cos( α - β)] sin α· sin β＝- (1/2)[cos( α+β）- cos( α - β)] 和差化积公式： sin α+sin β=2sin[( α+β)/2]cos[( α - β)/2] sin α - sin β=2cos[( α+β)/2]sin[( α - β)/2] cosα+cosβ=2cos[( α+β)/2]cos[( α - β)/2] cosα - cosβ＝- 2sin[( α+β)/2]sin[( α - β)/2] 推导公式 tan α+cot α=2/sin2 α tan α - cot α＝- 2cot2 α 1+cos2α=2cos2α 1- cos2α=2sin2 α 1+sin α=(sin α/2+cos α/2)2

高中数学题型全面归纳三角恒等变换19改

第三节三角恒等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度.考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲常用三角恒等变形公式和角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-差角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===半角公式sin22αα==sin 1cos tan.21cos sin a αααα-==+辅助角公式sin cos ),tan (0),ba b ab aαααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b ，特殊地，若sin cos a b αα+=或tan .baα=常用的几个公式sin cos );4πααα±=±sin 2sin();3πααα=±cos 2sin();6πααα±=±题型65 两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=-(2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ+++=-变式１证明：(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ--=+ (2):sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ--=- tan tan (3):tan().1tan tan T αβαβαβαβ---=+题型66 化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函例4.34 已知3cos()45x π+=则2sin 22sin ()1tan x xx -=-7.25A 12.25B 11.25C 18.25D 解析解法一：化简所求式评注解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.变式1 若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan _______.αβ=变式2 若4cos 5α=-，α是第三象限角，则1tan2()1tan 2αα+=- 1.2A - 1.2B .2C .2D -变式3 若1tan 4tan θθ+=，则sin 2().θ= 1.5A 1.4B 1.3C 1.2D二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1.和、差角变换如α可变为()αββ+-；2α可变为()()αβαβ++-；2αβ-可变为()αβα-+例4.35 若330,cos ,sin(),255παβπααβ<<<<=+=-则cos β的值为（）. .1A - .1B -或72524.25C - 24.25D ±评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()βαβαβααβαβαγβγ=+-=--+=-++等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式1已知sin ),(0,)2πααβαβ=-=∈则().β=.3B π .4C π .6D π5.12A π变式2 若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413πππππαβαβ∈∈-=+=，则sin()______.αβ+=二、辅助角公式变换例4.36 已知cos()sin 6παα-+=，则7sin()6πα+的值为（）..A B 4.5C - 4.5D变式1设6sin14cos14,sin16cos16,,b c α=+=+=则a,b,c 的大小关系为（）.A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c变式2将函数()cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递减区间是（） A ．(,)42ππ- B ．(,)2ππ C ．(,)24ππ-- D ．3(,2)2ππ变式3 已知sin cos 6παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．．13- D ．13变式4 设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________3.倍角，降幂（次）变换例4.37 已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos 2().α=变式1 若1sin()63πα-=则2cos()().3πα+= 7.9A - 1.3B - 1.3C 7.9D变式2 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）. A ．79-B ．29-C ． 29D ．79变式3已知312sin(2),sin 513αββ-==-且(,),(,0),22ππαπβ∈∈-求sin α值.变式4若31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=，则tan(2)().αβ-=24.7A - 7.24B - 24.7C 7.24D变式5已知1sin cos 2αα=+，且(0.)2πα∈，则cos 2_____.sin()4απα=-4.诱导变换例4.38若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )().f x =.3cos 2A x - .3sin 2B x - .3c o s C x +.3s i nD x +变式1 α是第二象限角，4tan(2)3πα+=-，则tan _______.α=变式2 若5sin(),(0,)4132ππαα-=∈，则cos 2_____.cos()4απα=+变式3 2tan sin 2cos ,,42ππααααπ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan πα-=____________．最有效训练题19（限时45分钟）1.已知函数()sin ,f x x x =设(),(),()763a fb fc f πππ===，则,,a b c 的大小关系为（）.A.a<b<cB. c<a<bC.b<a<cD.b<c<a2.函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）. A ．65 B ．1 C ．35 D ．153.若1tan 2α=，则cos(2)().2πα+= 4.5A 4.5B - 1.2C 1.2D - 4.已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，则2().αβ-= .4A π 3.4B π- 5.,44C ππ 35.,,444D πππ- 5.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x 轴的交点，则tan ().APB ∠= Ａ.10 Ｂ.8 8.7C 4.7D6.函数sin 3cos 4x y x -=+的最大值是（）.1.2A - B 4.3C - D 7.已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos ______.θθ-=8. 已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .________.2)sin10= 10.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan 2____,____.αβ==11.已知函数2()2cos .2x f x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若α是第二象限角，且1()33fπα-=，求cos21cos2sin2ααα+-的值.12.已知三点3 (3,0),(0,3),(cos,sin),(,).22 A B Cππααα∈（1）若AC BC=，求角α；（2）若1AC BC⋅=-，求22sin sin21tanααα++的值.。

高中数学三角函数恒等变形公式及应用

高中数学三角函数恒等变形公式及应用
恒等变形一直三角函数中的一个难点，但在高考中也并非重点，因为在高考中，三角恒等变换由于题型的原因变得相当简单。

但是三角恒等变换题型能够培养学生计算、分解、添加项等各方面的能力，所以在学习必修四中学生们应该大量练习，从练习中也能理解三角函数的真正意义。

下面给出了三角函数常见变形形式和几道典型例题。

】4．设函数f(x)＝(a为实常数)在区间上的最小值为－4，
那么a的值等于_______
三角形中恒等式锦囊：
11.求证：。

分析：这是一道三角恒等的证明问题，解决这类问题的一般策略是“切割化弦”、由繁到简。

其基本思路是根据题目的特点，结合有关三角公式，作适当的恒等变形。

证法1：左边
右边证法2：右边
证法3：右
边左边证法4：右边
左边证法5：右边
左边证法6：因为
，又
所以
从而，故原式成立。

反思：对三角公式做到不仅会用，而且能变形应用，这样才达到了灵活运用公式的目的，才能从中体会到公式变形的妙处及知识间的内在联系。

原题还可作如下变形，
同学们不妨试着证一下。

变形：；；
；；；；
；。

高中数学简单的三角恒等变换

5.5.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二辅助角公式辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、三角恒等式的证明例1 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明方法一左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sinθ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边．所以原式成立．反思感悟三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练1 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．二、三角恒等变换的综合问题例2 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减．反思感悟研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 三、三角函数的实际应用例3 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解连接OB (图略)，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. 反思感悟 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数答案 D解析 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.3．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.4．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________．答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.5．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， ∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.1．知识清单： (1)半角公式； (2)辅助角公式；(3)三角恒等变换的综合问题； (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：换元思想，化归思想．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 答案 C解析原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4.6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案－π6解析因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.7．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.答案 ±35解析由25sin 2θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x2解析原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x2.9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．解因为θ∈(π，2π)，所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ2＝1－cos θ2＝45， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35，所以sin θ2＋cos θ2＝15.10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.32 D ．3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.12．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________. 答案－1解析原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.13．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π.14．函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递增区间是________．答案 π ⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z 解析 y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．15．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 答案 12解析 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2，所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13，所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解如图所示，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC的中点，在Rt △ONC 中，CN ＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3CN ＝3sin α，所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2CN ＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3. 因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3. 故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。

三角恒等式的变形总结

三角恒等式的变形总结三角恒等式是数学中经常遇到的重要概念之一，它们在解决三角函数问题和证明数学命题时起到了关键作用。

本文将对三角恒等式的常见变形进行总结和讨论，以帮助读者更好地理解和应用这些变形。

一、基本恒等式的变形1. 倍角恒等式：倍角恒等式可以将一个三角函数的角度变为原来的两倍，有助于简化复杂的三角函数表达式。

- sin(2θ) = 2sinθcosθ- cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ- tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)2. 半角恒等式：半角恒等式将一个三角函数的角度变为原来的一半，常用于将角度较大的三角函数转化为角度较小的三角函数。

- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]3. 和差恒等式：和差恒等式可用于将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数表达式。

- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)二、特殊角的三角函数变形1. 30°、45°、60°特殊角：30°、45°、60°特殊角的三角函数可以通过基本恒等式和特殊三角函数值的关系来推导。

- sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√3- sin45° = √2/2, cos45° = √2/2, tan45° = 1- sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √32. 诱导公式：诱导公式是通过特殊角的三角函数值和和差恒等式推导出其他角度的三角函数值。

三角恒等变换-高考数学一题多解

三角恒等变换-高考数学一题多解三角式的恒等变形是一种基本的数学技能，它的依据是三角变换公式和代数中代数式的恒等变换的一般方法，三角变换公式如：同角三角函数的基本关系式、两角和与差的公式、二倍角与半角公式、万能公式.积化和差与和差化积公式等，公式的数量较多，学习时要通过理解角的关系以及三角函数的关系揭示公式之间的内在联系、掌握公式的推导线索.要理解公式，注意公式的适用范围和符号的取舍，三角变换贵在灵活运用公式，掌握公式的逆用和各种变形的运用，以达到熟练、恰到好处地运用公式解决具体问题的目的.不同角的三角函数关系式使用起来与同角三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养.已知条件和所要求的角之间不相同时，常看它们的和、差、倍的情况，定能找出角之间的关系.角的变换是三角变换技巧之一，转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换、角的变换、“1”的代换、和积变换、幂的升降变换等，变换时必须熟悉公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件.“恒等”这个词始终是三角变换的重点.三角恒等变换中的方法与技巧是必须掌握的解题能力.在三角恒等变换中较为重要的变换技巧如下.（1）函数名称的差异变换：①切割化弦，弦化切割；②异名化同名.（2）角的差异变换：①异角化同角；②拆角、配角技巧.（3）运算结构的差异变换：①升次降次；②分式通分；③无理化有理；④和（差）积互化.（4）常数的处理：特别注意“1”的代换.（5）引入辅助角的变换、角的分析与三角式的配凑.在解题过程中，不论运用什么变换技巧，基本原则是：把握方向，活用公式，注意目标，贵在“恒等”.真可谓：三角变换贵在活，变角变式变函数，恒等始终是重点，公式繁多方法多.【典例】（2022·新高考Ⅱ卷T6）角,αβ满足sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A.tan()1αβ+=B.tan()1αβ+=-C.tan()1αβ-= D.tan()1αβ-=-（一）直接法——由条件推结果【答案】D【解析】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-，即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=，所以()tan 1αβ-=-，故选：D（二）整体构造法——观察角与角的关系找共同点【答案】D【解析】根据sin()cos()αβαβ+++以及4πα+，可以利用辅助角公式，将4πα+当做一个整体，再进行合并，于是有如下解法：sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin ==0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选D【点评】解题的关键当然是如何沟通条件和结论，一种思考是变形条件使之朝结论的目标靠拢，而条件的变形又是多种多样，但应始终抓住是恒等变形，条件式直接变形要始终抓住“恒等”，引进新元更要注意“恒等”.另一种思考是构造法，构造法也不是凭空而得，务必考虑与条件之间的等价关系.（三）特殊值排除法——做选择题的快速解法解法：设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A ，C ；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除B ；选D.【点评】排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，【针对训练】（2022·浙江卷T13）1．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．（2022·全国）2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．3．化简：44661cos sin 1cos sin αααα----.4．求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=-．5．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=6．22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒=_____________.7．已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值．8．在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________.9．cos15sin15cos15sin15︒-︒︒+︒的值是()A ．-B ．0C ．D ．310．在ABC 中，=4A π∠，边,,a b c 满足22212b a c -=，求tan C 的值.参考答案：1．1045【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos 10θ=，()αθ-=22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.2．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC 为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin ,162A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，113sin ,6222A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.3．23.【分析】方法一：灵活利用平方关系及乘方公式化简即可.【详解】［方法一］：【最优解】“1”的代换化齐次式原式2224422366(cos sin )cos sin (cos sin )cos sin a ααααααα+--=+--2222222cos sin 23cos sin (cos sin )3αααααα⋅==+.［方法二］：公式降幂原式44661(cos sin )1(cos sin )a ααα-+=-+222222242241(cos sin )2cos sin 1(cos sin )(cos cos sin sin )αααααααααα⎡⎤-+-⋅⎣⎦=-+-⋅+2222222112cos sin 1(cos sin )3cos sin αααααα-+=⎡⎤-+-⋅⎣⎦22222cos sin 23cos sin 3a ααα⋅==⋅.［方法三］：降幂原式2242246(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos cos )sin ααααααα-+-=-++-2222244sin (1cos sin )sin (1cos cos sin )ααααααα+-=++-2222222cos 1cos (cos sin )(cos sin )αααααα=+++-22222cos 1cos cos sin a ααα=++-222cos 23cos 3αα==.【整体点评】方法一：根据22cos +sin =1αα化齐次式，简洁易算，是该题的最优解；方法二：根据22cos +sin =1αα以及平方和．立方和公式降幂，是化简求值的常用处理方法；方法三：根据平方差．立方差公式化简降幂，变形难度稍大．4．证明见解析【分析】方法一：式子左边分子分母同乘以cos α，再利用平方关系，变形分子即可得证.【详解】[方法一]：【最优解】左边＝2cos cos (1sin )ααα-＝21sin cos (1sin )ααα--＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝1sin cos a α+＝右边，等式成立.[方法二]：右边＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝21sin cos (1sin )ααα--＝2cos cos (1sin )ααα-＝cos 1sin αα-＝左边，等式成立.[方法三]：左边＝2cos (1sin )cos ααα-，右边＝(1sin )(1sin )(1sin )cos αααα+--＝21sin (1sin )cos ααα--＝2cos (1sin )cos ααα-，∴左边＝右边，∴等式成立.[方法四]：∵cos 1sin αα-－1sin cos a α+＝2cos (1sin )(1sin )(1sin )cos ααααα-+--＝22cos cos (1sin )cos αααα--＝0.∴等式成立.[方法五]：左边＝cos 1sin αα-＝cos (1sin )(1sin )(1sin )αααα+-+＝2cos (1sin )1sin ααα+-＝1sin cos a α+＝右边.[方法六]：∵(1－sin α)(1＋sin α)＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 1sin αα-＝1sin cos aα+.[方法七]：若证cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立，只需证cos α·cos α＝(1－sin α)(1＋sin α)，即证cos 2α＝1－sin 2α，此式成立，∴原等式cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立.【整体点评】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；方法二：利用平方关系，从右边证到左边；方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；方法四：利用作差法证出；方法五：利用平方关系，从左边证到右边；方法六：根据平方关系变形证出；方法七：根据分析法证出.5．C【详解】[方法一]：sin 1sin ,sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+()sin sin 2παβα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,,0,2222ππππαβα⎛⎫⎛⎫-∈--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,222ππαβααβ∴-=-∴-=.故选：C.[方法二]：222cos sin cos sin 1sin 2222tan tan cos 24cos sin cos sin 2222ββββββπαβββββ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭- 又,,,22442242βπππβππααβ⎛⎫+∈∴=+∴-= ⎪⎝⎭.故选：C.[方法三]：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，故选：C.考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．6．34【分析】根据两角和的正弦余弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】[方法一]：因为40°＝30°＋10°，所以原式＝22sin 10cos (3010)sin10cos(3010)++++22211sin 10sin10)sin10cos10sin 102222=+-+⋅- 2233(sin 10cos 10)44=+= .[方法二]：原式＝1cos 201cos80sin10cos 4022-+++cos(5030)cos(5030)1sin10cos 402+--=++cos50cos30sin 50sin 30cos50cos30sin 50sin 301sin10cos 402---=++1sin 50sin 30sin10cos 40=-+ 1cos 40(sin 30sin10)=-- 1cos 40[sin(2010)sin(2010)]=-+-- 12cos 40cos 20sin10=-2cos 40cos 20sin10cos101cos10=-sin8013114cos1044=-=-= .[方法三]：换元法令10,40,sin a b cos a b ⎧=+⎨=-⎩得()()()()()11110401050302020,2221110401050302020,22a sin cos sin sin sin cos cos b sin cos sin sin cos sin sin ⎧=+=+==⎪⎪⎨⎪=-=-=-=⎪⎩则原式=222222333()()()()3cos 20sin 20444a b a b a b a b a b ++-++-=+=+=.[方法四]：设2222sin 10cos 40sin10cos 40,cos 10sin 40cos10sin 40x y =++=++ ，则1110401040250240,11180205040.222x y sin cos cos sin sin cos x y cos cos sin cos ⎧+=+++=+=+⎪⎨-=--=--=--⎪⎩所以322x =，故34x =.[方法五]：余弦定理由余弦定理，得2222cos a b ab C c +-=，又由正弦定理，得2sin sin sin a b cR A B C===，于是2222224sin 4sin 22sin 2sin cos 4sin R A R B R A R B C R C +-⋅⋅⋅=，得222sin sin 2sin sin cos sin A B A B C C +-=故22sin 10cos 40sin10cos 40++22sin 10sin 50sin10sin 50=++22sin 10sin 502sin10sin 50cos120=+-223sin 120)24=== .[方法六]：22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒()()22sin 10cos 1030sin10cos 1030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 10sin10sin10cos10sin102222⎛⎫⎛⎫=︒+︒-︒+︒⨯︒-︒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223113sin 10cos 10sin 10sin 104424=︒+︒+︒-︒=故答案为：34.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦余弦公式的应用，属于中档题.7．2875-【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得2π2sin cos sin sin 22sin 4π1tan cos 4x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后利用条件可求出答案.【详解】［方法一］：根据已知角化简 22sin 22sin 2sin cos 2sin 1tan 1cos x x x x sin x x x x++=--2sin cos (cos sin )cos sin x x x x x x +=-π2sin cos sin()4πcos()4x x x x +=+π3cos()45x += ，177ππ124x <<，π4sin()45x ∴+=-，72sin cos 25x x ∴=．∴π2sin cos sin()284π75cos()4x x x x +=-+，∴2sin 22sin 281tan 75x x x +=--．［方法二］：直接展开求sin cos ,sin cos x x x x±()π3cos cos sin 425x x x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，得cos sin x x -=平方得2sin cos x x =725，()2732cos sin 12525x x +=+=， 177,124x ππ<<∴cos sin 0,cos sin x x x x +<+=，∴原式=cos sin 2sin cos cos sin x x x x x x +-＝－2875．［方法三］：【最优解】逆用两角和的正切公式和二倍角公式因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π4tan(43x +=-）原式＝cos sin 1tan 2sin cos sin 2cos sin 1tan x x x x x x x x x ++=--=πsin2tan 4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，7sin2cos 212cos 2425x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式=2875-．［方法四］：整体法求cos x 因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，又 177124x ππ<<，所以sin x =，tan x =7，∴原式＝－2875．【整体点评】方法一：将所求式化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出；方法二：直接根据两角和的余弦公式展开以及平方关系求sin cos ,sin cos x x x x ±，化切为弦求出；方法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解；方法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出sin ,cos ,tan x x x ，是该题的通性通法．8．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】[方法一]：由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A b bc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=，∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.[方法二]：由cos cos A b B a =可知cos 0A >，cos 0B >，即0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理结合题意可得cos sin cos sin A B B A =，即11sin cos sin cos ,sin 2sin 222A AB B A B =∴=，据此有22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.9．D【详解】[方法一]：()()15453045304530122224154530453045301222cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin =-=++=+==-=-==则原式44=[方法二]：()1tan15tan45tan15tan4515tan301tan151tan45tan15--===-==++原式[方法三]：cos15sin150>>，令cos15sin15(0)cos15sin15t t-=>+，22222cos152sin15cos15sin151sin301cos152sin15cos15sin151sin3033t t-+-===∴=+++则.[方法四]：()()222cos15cos15sin15cos15sin15cos15sin152cos15cos15sin1512cos152sin15cos15cos301sin3022cos152sin15cos15cos301sin30--=++-+-===+++[方法五]：22222cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos30cos15sin152sin15cos151sin303-+-=++-===+++（）（）（）[方法六]：cos15sin15sin15cos15cos15sin15sin15cos151sin30sin302sin60sin602--=-=-++--==（）故选D.10．tan2C=.【分析】方法一：由余弦定理及已知可得3c=，再根据正弦定理的边角关系、三角形内角性质及差角正弦公式得3sin2cos2sinC C C=+，即可求tan C.【详解】［方法一］：【最优解】利用正、余弦定理边化角因为22212b a c-=，2222cosb c a bc A+-=，所以232c=，即3c=，所以33sin sin()2cos 2sin 4C B C C C π==-=+，即tan 2C =.［方法二］：和差化积公式的应用由22212b a c -=得，2221sin sin sin 2B AC -=，即212sincos 2cos sin sin 22222B A B A B A B AC +-+-⨯=，即()21sin sin sin 2C B A C -=，因为0sin 1C <≤，所以()()2sin sin sin B A C A B -==+，即sin cos 3sin cos B A A B =，所以tan 3tan 3B A ==．()tan tan 13tan tan 21tan tan 13A B C A B A B ++=-+=-=-=--．【整体点评】方法一：利用正、余弦定理边化角，再根据消元思想即可解出，是该题的最优解；方法二：利用和差化积公式转化求值，需要较强的运算能力．。

高中数学三角函数的恒等变形

知识框架三角恒等变换和差化积公式sin sin 2sin cos 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+= sin sin 2cos sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+=cos cos 2sin sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--=- 两角和与差的公式正弦公式：:sin()sin cos cos sin :sin()sin cos cos sin S S αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩余弦公式：()()+C :cos cos cos sin sin C :cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-⎧+=-⎪⎨-=+⎪⎩正切公式：tan tan tan tan :tan();:tan()1tan tan 1tan tan T T αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=-⋅+⋅221cos 1cos :sin;:cos2222S C αααααα-+=±=±21cos sin 1cos :tan21cos 1cos sin T αααααααα--=±==++ 半角公式二倍角公式2:sin 22sin cos S αααα=22222:cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan :tan 21tan T αααα=-积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=++- ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=+-- ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=++- ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=-+--三角函数的恒等变形三角函数的恒等变形要求层次重难点两角和与差的正弦、余弦、正切公式C 掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．二倍角的正弦、余弦、正切公式 C 简单的恒等变形B（一）知识内容1.两角和与差的三角函数公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.倍角公式 sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=-3.半角公式1cos sin22αα-=±1cos cos 22αα+=± 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 4.万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-5.积化和差公式例题精讲高考要求1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--6.和差化积公式 sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=-【说明】这里的三倍角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式都属于了解内容，不要求必须掌握.不建议大家去记这些公式，首先sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+这个公式比较容易记，而且如果大家不记其他公式不记其他公式的话，应该很容易了．下面给出其他公式通过这个公式的推导过程： 2.公式的推导：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=- cos()sin[()]sin[()()]22ππαβαβαβ+=-+=-+-sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππαβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()]22ππαβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππαβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβαββαβαβ+---=+-==--+然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos 2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin2cossinsin 222tan21cos cos 2cos cos 222ααααααααα===+【说明】这里没有考虑cos sin 022αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．建议大家刚学的时候自己每次推导一下要用的公式，这样比较容易记忆，加深对公式的理解，让自己能够更熟练的使用公式．同时告诉大家数学没有需要记忆的东西，大家在学习数学时不要有任何记忆的想法，要去理解它，才能掌握它，把它变成自己的东西，每学一个东西就像知道一个常识一样的去对待．如果靠记忆来学习数学的话，你学的仍然是别人的东西，而且用起来必然不够熟练.（二）主要方法1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用(1)并项功能：2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± (2)升次功能2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(3)降次功能221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== (4)一个重要的构造22sin cos cos )ba b a b αααα+=++令sin β=，则cos β=cos cos sin )αβαβ+（sin β=）可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：⑴角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异，比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑵函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； ⑶常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2sin 2464αααα=+=-====； ⑷幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法，常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑸公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用，例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； ⑹辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式 ()22 sin cos sin y a b a b αααϕ=+=++的应用，其中tan baϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．(三)典例分析：【例1】运用两角和与差的三角函数公式推导倍角公式：sin 2,cos 2,tan 2ααα．【例2】若04παβ<<<,sin cos a αα+=,sin cos b ββ+=,判断,a b 的大小关系及求ab 的范围.板块一：三角函数中角的变换【变式】已知sin cos αα+=,则求tan cot αα+的值.【点评】解题时有时根据已知条件很难找到和要求问题的关系,这时候可以从要求的问题出发,进行推导,化简可能就会得到已知条件能够得到的简单形式.这是数学解题常用的一种方法.【变式】若04παβ<<<,sin cos ,sin cos a b ααββ+=+=,求,a b 的大小关系及ab 的范围.【例3】若三角形的两个内角,αβ满足cos cos sin sin αβαβ⋅>⋅,试判断此三角形的形状.【变式】若三角形的两个内角,αβ满足tan tan 1αβ>,试判断这个三角形的形状.【变式】在三角形ABC 中,如果22sin sin sin()A B A B +=+,且,A B 都是锐角,求A B +的值.【变式】关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一根为1,判断ABC ∆的形状.【例4】已知α为锐角，且π5cos 613α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos α的值.【变式】已知π2π63α<<，πcos (0)3m m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭≠，求2πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【例5】 ⑴α、β均为锐角，且sin cosαβ==，则αβ+=＿＿＿＿．⑵已知2π1tan(),tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭＿＿＿＿．【例6】已知π02α<<,4sin 5α=. ⑴求tan α的值；⑵求πcos2sin 2αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【例7】（2008山东卷）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( )A ．BC ．45-D ．45【例8】求tan 20tan 30tan 30tan 40tan 40tan 20︒⋅︒+︒⋅︒+︒⋅︒的值.【例9】 ()2cos 40sin101⎤︒+︒︒⎦的值．【例10】已知π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3π22α≤≤，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．【解析】已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<．⑴求tan 2α的值. ⑵求β.【例11】已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，,(0,π)αβ∈，求2αβ-的值．【点评】此题的角的范围容易产生以下错解．∵tan[2()]tan[()()]αβαβαβ-=-+-22tan()41tan ()3αβαβ-==--，∴tan(2)tan[2()]αβαββ-=-+tan[2()]tan 1tan[2()]tan αββαββ-+=--⋅41()371411()37+-==-⨯-． ∵,(0,π)αβ∈，∴022πα<<，π0β-<-<，∴π22παβ-<-<，∴2αβ-的值为3π4-或π4或5π4．【变式】已知π,0,4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3sin sin(2)βαβ=+，24tan 1tan 22αα=-，求αβ+的值.【变式】若,αβ为锐角,且满足43cos ,cos()55ααβ=+=,则求sin β的值.【变式】已知sin sin sin 0αβγ++=,cos cos cos 0αβγ++=,则求cos()αβ-的值.【变式】把x x x x 4cos 3cos 2cos cos +++化成积的形式.【例12】已知53)4πcos(=-α，1312)45πsin(-=+β，且)4π0(，∈β，)43π4π(，∈α 求)sin(βα+．【变式】已知π432π<<<αβ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin ．.【变式】求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值．【变式】已知βα，为锐角，54cos =α，31)tan(-=-βα，求βcos 的值．【变式】已知αtan 与βtan 是一元二次方程02532=-+x x 的2个根，且︒<<︒900α，︒<<︒18090β．（1）求βα+的值；（2）求)cot(βα-的值．【变式】求+︒+︒40tan 220tan ︒-︒70tan 10tan 4的值．【例13】ππππtan 2tan tan 2tan tan()tan 6363θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________.【变式】已知π4αβ+=，求(1tan )(1tan )αβ++的值；【变式】求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒的值．【变式】已知2tan()t x y t--=，tan tan 1x y t ⋅=-，2tan ()4x y +=，求实数t 的值.【变式】已知tan()tan()k αβαβ-=⋅+，求证：sin 21.sin 21k kαβ+=-(一) 知识内容本板块主要是对三角函数的求值与化简以及辅助角公式的应用，并讲解一类特殊问题，即同时含有sin cos αα+及sin cos αα这类题目的处理办法．1.三角函数求值问题一般有三种基本类型：(1)给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；(2)给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；(3)给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．2.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．3.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.（二）主要方法1.寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2.正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3.一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．4.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．板块二：三角函数的化简与求值化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．(三)典例分析【例14】已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ,b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在π3x =处取得最小值2-，则函数π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______________．【解析】 (1)化简6161π()cos π2cos π22(,)333k k f x x x x x k +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R Z ， (2)求函数()f x 的值域和最小正周期．【解析】若cos 2sin αα+tan α=( )A ．12B ．2C ．12- D ．2-【例15】函数2()sin cos f x x x x =在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A ．1 BC ．32D．1 【变式】已知sin sin cos )x y y x +-，π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则______x y -=．【例16】已知π02x -<<，1sin cos 5x x +=． ⑴求sin cos x x -的值； ⑵求223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值.【变式】已知1sin cos 5x x +=，π3π,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．求tan x 的值．【例17】已知π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数sin cos 2sin cos 1y x x x x =+++的最大值和最小值，并求出此时x 的值．【变式】已知02a ≤≤,求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值．【变式】求函数()sin cos 3sin cos f x x x x x =-+⋅的值域．【例18】设函数2πππ()sin 2cos 1468x x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ⑴求()f x 的最小正周期．w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m⑵若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当403x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时()y g x =的最大值．【变式】设θ是锐角，求θ2sin )31(+=y θ2cos )31(-+的最大值及此时θ的值．【变式】将1块圆心角为︒120，半径为20 cm 的扇形铁片截成1块矩形，如图1-13有2种裁法：让矩形1边在扇形的1条半径OA 上，或让矩形1边与弦AB 平行．请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．【变式】化简ββαβα2sin )cos()cos(+-+．【变式】求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322．【变式】求证tan(60)tan(60)tan tan(60)tan tan(60)3A A A A A A +︒-︒++︒+-︒=-【变式】已知：a A A A =++5sin 3sin sin ，b A A A =++5cos 3cos cos ．求证：（1）当0≠b 时，ba A =3tan ；（2）222)2cos 21(b a A +=+．【变式】已知222tan -=θ，π22π<<θ，求)2πsin(21sin 2cos 22+--θθθ的值．【例19】求函数()()()43sin 43cos f x x x =--的值域。

高一数学三角函数的恒等变形

高一数学三角函数的恒等变形【基本公式】1、三角函数的诱导公式：（一） sin （k ·360°+α）=sin α cos （k ·360°+α）=cos α tan （k ·360°+α）=tan α（二） sin （180°+α）= -sin α cos （180°+α）=-cos α tan （180°+α）=tan α（三） sin （-α）=-sin α cos （-α）=cos α tan （-α）=-tan α（四） sin （180°-α）=sin α cos （180°-α）=-cos α tan （180°-α）=-tan α(五) sin （90 °－α）＝cos α cos （90 °－α）＝sin α tan （90 °－α）＝cot α（六） sin （90 °＋α）＝cos α cos （90 °＋α）＝－sin α tan （90 °＋α）＝－cot α（七） sin （270 °－α）＝－cos α cos （270 °－α）＝－sin α tan （270 °－α）＝cot α（八） sin （270 °＋α）＝－cos α cos （270 °＋α）＝sin α tan （270 °＋α）＝－cot α 记忆规律：“奇变偶不变,符号看象限”：90⋅=k β°α±的三角函数值，若k 是奇数则α是β的余名三角函数，若k 是偶数则α是β的同名三角函数；假设α为锐角，符号由β对应三角函数所在象限决定。

使用原则：“负化正，大化小，化到锐角就行了” 2、同角三角函数的基本关系式：倒数关系: 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 1cot tan =⋅αα商数关系: αααcos sin tan = αααsin cos cot = 平方关系: 1cos sin 22=+αα αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+3、和角公式、差角公式：sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+ tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +-4、倍角公式、半角公式：（1）二倍角公式：αααcos sin 22sin =ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -= （2）三倍角公式：)60tan()60tan(tan tan 31tan tan 33tan )60cos()60cos(cos 4cos 3cos 43cos )60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333ααααααααααααααααααα-+=--=-+=-=-+=-= （3）升幂公式、降幂公式：22cos 1sin sin 22cos 122αααα-=⇔=- 22cos 1cos cos 22cos 122αααα+=⇔=+（4）万能公式：（5）半角公式：5、积化和差、和差化积公式：（1）积化和差公式：（2）和差化积公式：6、重要结论：（1）,tan ),sin(cos sin 22abb a b a =++=+ϕϕααα）所在象限决定所在象限由（b a ,ϕ （2）2)2cos2(sin sin 1ααα+=+ 2)2cos2(sinsin 1ααα+=-（3）ααα2sin 2cot tan =+ ααα2cot 2cot tan -=-（4）αααπαπtan 1tan 1)4cot()4tan(+-=+=- αααπαπt a n 1t a n 1)4c o t ()4t a n (-+=-=+（5）βαβαβα22sin sin sin(sin(-=-+）） βαβαβα22s i n c o s c o s (c o s (-=-+））（6）βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±（7）43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,1202222=++=-+︒=+βαβαβαβαβα则若 43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,602222=-+=++︒=+βαβαβαβαβα则若（8）γβαγβαππγπγβαtan tan tan tan tan tan ,2,=+++≠=++则若k k（9）)cos(sin cos )sin(cos tan sin ααααααα<<⇒<<是第一象限角，则若【方法技巧】 1、角的范围：（1）根据已知角的范围确定未知角的范围：21x x x 〈〈 2211y x y x y x +〈+〈+21y y y 〈〈 1221y x y x y x -〈-〈-（2）根据已知三角函数值确定未知角的范围：①由某个角的三角函数值的符号确定该角所在象限，从而确定和角（或差角）的范围：如：已知)23,2(,ππβα∈，0tan 〉α，0tan 〈β，则23παπ〈〈，πβαπβπ〈-〈⇒〈〈02②由两角的三角函数值的大小关系，根据三角函数的单调性确定和角（或差角）的范围：如：已知)2,0(,πβα∈，βαsin sin < ，则βα<02〈-〈-⇒βαπ③由某个角的三角函数值与特殊角的三角函数值的大小关系，确定该角的范围，从而确定和角（或差角）的范围：如：已知53cos =A ，135sin =B ，则312ππ<-<B A④由三角函数的值域，确定未知角的范围。

复杂的三角恒等变换

复杂的三角恒等变换三角恒等变换（Trigonometric Identity Transformation）是初级数学中的重要章节之一，通过对三角函数间的恒等式进行变形和化简，加深对三角函数的理解和掌握，提高解题能力。

以下是一些常见的三角恒等变换及其演化过程：1. 和差公式$\sin(a+b)=\sin a\cos b + \cos a\sin b$$\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b$$\tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$2. 镜像公式$\sin(\pi - a)=\sin a$$\cos(-a)=\cos a$$\tan(-a)=-\tan a$3. 反三角函数公式$\sin(\arcsin a)=a$$\cos(\arccos a)=a$$\tan(\arctan a)=a$4. 积分与微分公式$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ 5. 简化公式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ $\sec^2 x = \tan^2 x +1$ $\csc^2 x = \cot^2 x +1$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$\tan^2 x = \sec^2 x -1$6. 和积公式$\sin a\sin b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))$ $\cos a\cos b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) + \cos(a+b))$ $\sin a\cos b = \frac{1}{2}(\sin(a-b) + \sin(a+b))$ 7. 特殊角度公式$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\tan 45^\circ =1$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$以上是一些常见的三角恒等变换，希望能对初学者有所帮助。

三角恒等变形图文

交流电路
在交流电路中，三角函数用于描述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。

高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)

第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2：原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1：原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。

高中数学三角函数恒等变形公式

高中数学三角函数恒等变形公式高中数学中，三角函数是一个重要的概念和工具，通过恒等变形公式，可以将三角函数的式子进行等价的变换，使得计算更加简化。

本文将介绍一些常用的三角函数恒等变形公式。

首先，我们来介绍几个基本的三角函数公式：1.正余弦函数的平方和恒等式：$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$这个公式是最常见的三角函数公式之一，它表示：对于任意一个角度$x$，它的正弦值的平方和余弦值的平方等于12.余弦函数的和差公式：$$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$$这个公式可以表示两个角度的和或差的余弦值与各个角度的余弦值和正弦值的乘积之间的关系。

3.正弦函数的和差公式：$$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$$这个公式可以表示两个角度的和或差的正弦值与各个角度的正弦值和余弦值的乘积之间的关系。

4.正弦函数的二倍角公式：$$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$这个公式表示角度$2x$的正弦值等于角度$x$的正弦值和余弦值的乘积的两倍。

5.余弦函数的二倍角公式：$$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$这个公式表示角度$2x$的余弦值等于角度$x$的余弦值的平方减去正弦值的平方。

以上是一些基础的三角函数公式，下面我们来介绍一些与这些公式相关的恒等变形。

首先是与正弦函数和余弦函数相关的变形公式：1.正弦函数的倒数公式：$$\frac{1}{\sin x} = \csc x$$这个公式表示正弦函数的倒数可以用余割函数来表示。

2.余弦函数的倒数公式：$$\frac{1}{\cos x} = \sec x$$这个公式表示余弦函数的倒数可以用正割函数来表示。

3.余弦函数的平方公式：$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$这个公式表示余弦函数的平方可以用正弦函数的平方的补给来表示。

高考数学知识点：简单的三角恒等变换

高考数学知识点：简单的三角恒等变换一、半角公式(不要求记忆)
典型例题1：
二、三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
1、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
2、三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
3、三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典型例题2：
三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2、二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3、三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
典型例题3：
四、三角函数求值有三类
1、“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
2、“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3、“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
典型例题4：
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．典型例题5：
【作者：吴国平】。

三角函数恒等变

三角函数恒等变
三角函数恒等变形公式是cos(α +β )=cosα.cosβ。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。

90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。

也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。

也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。

不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。

就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。

在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。

在应
用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。

若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)

三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。

三角函数恒等变换

三角函数恒等变换一、三角函数的诱导公式1、以下各角的终边与角α的终边的关系2、六组诱导公式注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。

记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。

其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，那么函数名称变为相应的余名函数；假设是偶数倍，那么函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。

二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 .sin α=22tan21tan 2αα+, cos α=221tan 21tan 2αα-+ 3、形如asin α+bcos α的化简asin α+bcos α22a b +α+β).其中cos β22a b+,sin β22a b+三、简单的三角恒等变换 1、用cos α表示sin22α,cos 22α,tan 22α sin22α=1cos 2α-; cos 22α=1cos 2α+;tan 22α=1cos 1cos αα-+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。

2、用cos α表示sin2α,cos 2α,tan 2αsin2α=1cos 2α-±cos2α=1cos 2α+±tan2α= 3、用sin α,cos α表示tan 2αtan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+四、常用数据: 30456090、、、的三角函数值6sin15cos 754-==,42615cos 75sin +==3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出〞它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos,sin 2222αααα+-==等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象与性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的根本策略。