人教版走向高考数学A版(集合与函数)(对数与对数函数)

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第一章
集合与函数
2．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数比 较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间量0、
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1的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠
近y轴(逆时针底数依次变小)，在直线x＝1右侧，底大图低 (区分x轴上方与下方)．
第一章
f(a)＝－b.故选 B. (2)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5 ＝1.
答案：(1)B (2)1
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第一章
集合与函数
1x －1≤x<0 (文)若函数 f(x)＝4 ，则 f(log43)＝( 4x 0≤x≤1 1 A. 3 C．3 4 B. 3 D．4
)
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解析：∵0<log43<1，∴f(log43)＝4log43＝3. 答案：C
第一章
集合与函数
(理)设函数 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，若 xi>0(i＝1,2，„， 2011)， 1·2·3· x2011)＝50， f(x2)＋f(x2)＋f(x2)＋„＋f(x2 ) f(x x x „· 则 1 2 3 2011 的值等于 A．2500 B．50 C．100 ( D．loga50 )
y>0 y<0
y<0 y>0
第一章
集合与函数
同底的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直 线y＝x对称，单调性相同． 三、反函数的概念与性质 1．若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中的
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每一个元素y0，在A中都有唯一的元素x0与之对应，则函数y
＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)，且y＝f－1(x)的定义域、 值域分别为y＝f(x)的值域、定义域． 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且 a≠1)互为反函数．
第一章
集合与函数
(理)若函数y＝loga(x2－ax＋1)在[1,2]上为增函数，则实
数a的取值范围是________．
a2 a2 z＝φ(x)＝x2－ax＋1＝x－2 ＋1－ 4 .
解析：令
1 a 1 a 当 0<2<2， 0<a<1 时， 即 对称轴 x＝2∈0，2， 函数 φ(x) 在[1,2]上单调递增，且 φ(1)＝2－a>0. 又因为 y＝logaz 单调递减，所以复合函数 y＝loga(x2－ ax＋1)在[1,2]上单调递减．
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第一章
集合与函数
1 a a 1 当2<2<1， 1<a<2 时， 即 对称轴 x＝2∈2，1， 函数 φ(x) 在[1,2]上单调递增，y＝logaz 也单调递增，因此 y＝loga(x2 －ax＋1)在[1,2]上是增函数，符合条件． a 当 1≤2≤2，即 2≤a≤4 时， 函数 φ(x)在[1,2]上不单调． a 当2>2，即 a>4 时，φ(x)单减， 又 logaz 单增，故不符合条件． 因此，符合条件的实数 a 的取值范围是(1,2)．
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分析：根据对数的运算性质，loga(MN)＝logaM＋logaN，
logaM2＝2logaM(M>0，N>0)求解．
第一章
集合与函数
解析：由 f(x1·2·3· x2011)＝50 得，logax1＋logax2＋„＋ x x „·
2 logax2011 ＝50 而 f(x 2 )＋f(x 2 )＋f(x 2 )＋„＋f(x 2 )＝logax 1 ＋ 1 2 3 2011 2 2 logax2 ＋„＋logax 2011 ＝2(logax1 ＋logax2 ＋„logax2011)＝2×50
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D.
答案：C
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集合与函数
[例 4]
对于 0<a<1，给出下列四个不等式
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1 ①loga(1＋a)<loga(1＋ )； a 1 ②loga(1＋a)>loga(1＋ )； a .其中成立的是 ( )
A．①与③ C．②与③
B．①与④ D．②与④
第一章
集合与函数
1 1 解析：由于 0<a<1⇒a< ⇒1＋a<1＋ ， a a 1 1 1＋a ∴loga(1＋a)>loga(1＋ )，a >a1＋ .∴选 D. a a
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答案：D
第一章
集合与函数
2 已知 logax1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、x2、x3 的大小关系是 A．x3<x2<x1 C．x1<x3<x2
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集合与函数
一、转化的思想 指数式ab ＝N与对数式logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)可以
互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对
互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事 半功倍的效果．
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集合与函数
二、数形结合的思想
第一章
集合与函数
y＝logax(a>0，a≠1) (x>0) 定义 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0. (4)当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数； 性质 当0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数． x>1 0<x<1
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a>1 0<a<1
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重点难点 重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式．
②对数函数的概念、图象与性质．
难点：①对数的换底公式． ②对数函数在a>1与0<a<1时图象、性质的区别． ③对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等 式的求解．
(b，a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的图
象关于直线y＝x对称．
第一章
集合与函数
(2010·重庆南开中学)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象 为 ( )
人 教 A 版 数 学(x＋1)的图象过点(0,0)，故 反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.
(2)logaab＝
b .
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二、对数函数的图象与性质
定义 y＝logax(a>0，a≠1) (x>0)
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图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0. (4)当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数； 当0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数．
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＝100，故选 C.
答案：C
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集合与函数
[例2] 已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，那么f－1(9)＝( A．9 B．3
)
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C．513
∴a＝3，故选B. 答案：B
D．511
解析：设f－1(9)＝a，则f(a)＝9，即2a＋1＝9，
点评：如果点(a，b)在反函数y＝f－1(x)的图象上，则点
第一章
集合与函数
1－a 1＋a 分析：(1)由 与 的倒数关系及对数运算法则 1＋a 1－a logaN ＝nlogaN 求解． (2)注意到 lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生 lg2＋ lg5 求解．
n
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1－a 1＋a 1－a －1 解析：(1)f(－a)＝lg ＝lg ＝－lg1＋a＝－ 1－a 1＋a
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集合与函数
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集合与函数
[例 1] ＝ A．b B．－b 1 C. b 1 D．－b
1－x (1)已知函数 f(x)＝lg ，若 f(a)＝b，则 f(－a) 1＋x ( )
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(2)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.
1 解析：取 a＝2满足条件，则 ，画出图象后知选 D.
( B．x2<x1<x3 D．x2<x3<x1
)
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答案：D
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集合与函数
[例5]
设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x －2ax －2)，则使
f(x)<0的x取值范围是
A．(－∞，0) C．(－∞，loga3) B．(0，＋∞)
其中k∈Z，作出f(x)的图象如图．
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∵log55＝1，∴f(x)的图象与y＝log5x的图象共有4个交 点，故选B. [答案] B
第一章
集合与函数
[点评] 作为选择题，严格推导f(x)的表达式比较烦琐，
故可由f(x)的对称性直接画图解决，可先由f(x)＝x2(0≤x≤1)
及f(x)为偶函数，画出[－1,1]上一段，再由f(1－x)＝f(1＋x) 知f(x)的图象关于直线x＝1对称，画出x∈[1,3]上一段，再 由偶函数画出[－3，－1]上一段，以此类推可画出f(x)的图 象．