电路理论_11_线性动态电路的时域分析

常系数线性一阶微分方程： uC RC 本例：达到稳态时
duC =0，所以uC(∞)=US。 dt

(2)通解： uC RC
duC pt 0 由数学知识知，方程的通解为：uC ( t ) Ke dt
由其特征方程： 1+RCp=0， 求解p为：

p
t RC
1 RC
(3)微分方程的全解： u ( t ) U Ke C S

L R 动态电路中的其它电压或电流：？？
其中：
i
R k(t=0) L iL
+
US
+
uL
形式完全相同：
f ( t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )

t 0
]e

t
t0
一阶电路的三要素分析法：就是高等数学中求解微分方程与电路基本 理论相结合而形成的一种电路分析的工程方法。 一阶电路的动态过程：f(∞)、f(0+)、 三个要素。
UC(V)

原因：电路发生变化；
R1 C
5V
5 3 0
稳态
暂态
稳态
t(s)


换路：如果电路中含有储能元件电容或电感，当电路中的元件参数、电 稳态：前几章所介绍的直流电路、正弦电流电路和非正弦周期电流电路 路中，能量吸收或释放是不可能瞬间完成的，需要经历一段过渡过程， 动态方程：描述电路动态过程的方程称为动态方程。 路结构或电源发生变化时，原电路的稳定状态就受到破坏，从而引起电 中，电流和电压是常量或是周期量。电路中的这种工作状态称为稳定工 在过渡过程中电路的工作状态称为暂态(transient state)，这个过渡过程 一阶动态电路：如果动态方程是常系数线性一阶微分方程，电路称为 流和电压的变化。 作状态，简称稳态(steady state）； 称为电路的动态过程。 一阶动态电路(first-order circuit)；
R3 + US R1
IL(0-) I3 R2 + UC(0-) 0A I3(()+) R2 + 10V
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I2
R1
+ UR3(0+) R3 +U R1(0+) + US
I3(0+) = -I2(0+) = -2 A
UR1(0+) = 0 V UR3(0+) = 10 V
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I2(0+)
11.2.2 时间常数
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V
系数K：由电路的初始条件确定，即在换路后瞬间的初始值。
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微分方程的求解

全解分析：发现规律？？？
i R k(t=0) C iC
(4)系数K 在t =0+时刻，得：uC(0+)=US+K， 即有：K=uC(0+)-US= U0-US (5)微分方程的全解 +
US
+
uC

uC (t ) U S (U 0 U S )e
k(t=0)
R iC
+
C uC
US
uC (t ) U S (U 0 U S )e

t 0 其中： = RC
问题：电容电压按照指数规律变化，其它变量如何变化？ 动态电路特性：一个动态电路的任意电路变量的微分方程具有相同的 特征方程。 推论：动态电路中的所有电压或电流量的解的形式完全相同，即：
US R

t
其中：
L R
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11.2 一阶电路的三要素分析
i R k(t=0) C iC
uC (t ) U S (U 0 U S )e
t
t0
其中： = RC
US
t
+
+
uC
i L (t ) i L () (i L (0 ) i L ())e
UC(V) 3
2
+ UC
R2
(1)当t=0时,开关k由1投向2 (2)当t=5时,开关k由2投向1 (3)当t=10时,开关k由1投向2 (4)当t=15时,开关k由2投向1 ……
稳态

暂态
稳态 暂态
稳态
暂态
稳态
暂态
稳态
暂态
稳态 t(s)
列写函数表达式的依据：动态电路的微分方程及其通解； 动态元件：储能元件； 动态电路：由储能元件构成的电路； 一阶动态电路：由一个动态元件构成的电路；
动态电路：含有储能元件(电感、电容)的电路。 暂态：动态电路换路之后，电容和电感的储能也要发生变化。在实际电

二阶动态电路：如果动态方程是常系数线性二阶微分方程，电路称 为二阶动态电路(second-order circuit)。
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微分方程

动态方程：描述电路动态过程的方程称为动态方程。 一阶动态电路：如果动态方程是常系数线性一阶微分方程，电 路称为一阶动态电路(first-order circuit)； 二阶动态电路：如果动态方程是常系数线性二阶微分方程， 电路称为二阶动态电路(second-order circuit)。
第十一章 线性动态电路的时域分析
解永平 2007.09.30
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为什么？？？ 换路 达到稳态 动态过程：电路从一个稳态到另一个稳态的过渡过程称 为电路的动态过程。其实质是由于电路发生变化而引起 U (V) 1 2 储能元件上储能重新分配。
学习背景
k + R1 UR
R
+
3V
+
5V
稳态


即：在0+时刻的电路中，将电容用电压等于UC(0+)的电压源替代；将 电感用电流等于IL(0+)的电流源替代。
特点：0+时刻等效电路是线性电阻电路，利用前4章介绍的直流电路 分析方法即可求出各非独立初始值。
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例11-1 如图所示电路，已知US=10V, R1=20，R2=5，R3=2，开关K在 t=0时闭合，求IL(0+)、UC(0+)、I2(0+)、I3(0+)、UR1(0+)和UR3(0+)。
解：(1)UC(0+)和IL(0+)遵守换路定理，在换路 前的稳态电路中，电感短路、电容开路。
R3
R1
+ US
L
IL I3 R2 C K(t =0) I2
则： IL(0+)=IL(0-)=0 A UC(0+)=UC(0-)=10 V (2)非独立初始值 0+时刻等效电路，如图所示。 I2(0+) = 10/5 =2 A
UC(0+)= UC(0-)
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IL(0+)= IL(0-)
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初始值 f(0+)

由于：UC(0+)= UC(0-)
IL(0+)= IL(0-)
结论：当电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路瞬间电容电压 和电感电流不能跃变。上述关系又称为换路定理。 独立初始值的求法：即用换路前的电路，求得UC(0-) 或 IL(0-)，根据换 路定理分别等于独立初始值 UC(0+) 或 IL(0+)。 (2)非独立初始值的确定 要求非独立初始值，利用0+时刻电路的KVL、KCL和VCR方程即可。

电阻电容电路：=RC
U0
UC(V)

L 电阻电感电路： R
0.368U0
0.05U0
0

τ
2τ 3τ
4τ
5τ
t(s)
时间常数：根据全响应的表达式，绘制电容放电时电压 uC 的变化曲线
如图所示。可以看出，电压 uC 的衰减速率取决于 的大小，称 为 RC电路的时间常数(time constant)，它具有时间的量纲。

f ( t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )

t 0
]e

t
t0
即有三个量需要确定：f(∞)、f(0+)和 ，称为一阶电路的三要素。要确 定这三个量，动态方程的解就确定了，没必要列微分方程求解。这种分 析求解一阶动态电路的方法叫做一阶动态电路的三要素分析法。
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提纲

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
动态电路及其方程 一阶电路的三要素分析 一阶电路的典型题分析 一阶电路的阶跃响应和冲激响应 二阶电路的动态过程
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5
11.1 动态电路及其方程

问题：如何求电压、电流？
+ 3V
1 k
2
+ UR + UC +
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RL电路的动态方程
i
R k(t=0) L iL
+

+
uL
RL电路的一阶微分方程为：
US
L

diL RiL U S dt
只含有一个电感元件的电路模型
RL电路的全解为：
i L ( t ) i L ( ) ( i L (0 ) i L ( ))e
其中： i L ()


t RC
) t0
零输入响应：全解中若电压源US=0，仅由动态元件电容的初始储能 (uC(0+)=U0)产生响应，该响应称为零输入响应。 即动态元件的放电过程，uC(t)的解为： u ( t ) U e C 0