空间向量的坐标运算说课稿
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 学会向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)。
3. 向量的加法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的和向量为\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\) 和\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)\)。
4. 向量的减法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的差向量为\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\) 和\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y, a_z b_z)\)。
5. 向量的数乘：一个标量\(k\) 乘以向量\(\vec{a}\) 得到\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y)\) 和\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)\)。
6. 向量的点乘：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的点乘为\(a_x b_x + a_y b_y\) 和\(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体演示向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生通过小组讨论和实例分析，掌握向量的坐标表示和运算。
4. 利用练习题巩固所学知识，提高学生的实际运用能力。
3.1.5空间向量运算的坐标表示(说课)
d Байду номын сангаасB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
a, b [0, ]
新课
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ; a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
三、教法及学法分析
课题第七课空间向量运算的坐标表示
课 题： 第七课 空间向量运算的坐标表示教学目标：1．掌握空间向量加减法运算的坐标表示，掌握空间向量的数量积的坐标表示；2．空间向量长度与夹角的坐标表示教学过程一、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
二、建构数学1 复习：空间向量的坐标表示2 新课：（1）向量加减法和数乘的坐标表示a+b=(x 1+x 2 ,y 1+ y 2, z 1+ z 2)a-b=(x 1-x 2 ,y 1-y 2, z 1- z 2)λa=(λ x 1,λ y 1,λz 1)(2)、数量积的坐标表示（1）设,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos ||||叫作向量,的数量积，记作⋅，即 ⋅＝><,cos ||||（2）夹角：2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+． （3）运算律 a b b a ⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则2||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+． （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，或2,2121)()A B d = （6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x三、数学运用1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB 29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等， 则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=a ，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
3.1.5空间向量运算的坐标表示教案
3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示；
2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用；
3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题. 学习重点：空间向量平行与垂直的条件与应用，向量的模、夹角及两点间的距离公式； 学习难点：空间向量平行与垂直的条件与应用，向量的夹角公式；
二、导学指导与检测
练习第一题.
二、空间向量平行与垂直条件的坐标表示,,)b b 【即时训练2】
已知空间向量(2,,1)a λ=-，b .
减法 a b -
数乘 λa b •
三、空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示,)a a ，,,)b b b ，则a a =•= cos ,||||
a b a b <>== ）若111(,,)A a b c ，2(B a 【即时训练3】
2,-(32,6,0)
三、巩固诊断
1、已知空间向量(1,2,3)a =--，(2,4,)b x =-，(4,,6)c y =.
（1）若//m a ，且||27m =m ；
（2）若a c ⊥，求实数y 的值；
（3）若(2)//(3)a b a b -+，求实数x 的值.
2、在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是1111A B C D 的中心，1E 在11B C 上，且111113
B E B
C =，求1BE 与1CO 所成角的余弦值.
闯关题：棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.
（1）求证：EF CF ⊥；
（2）求异面直线EF 与CG 所成角的余弦值；
（3）求CE 的长.。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。
二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。
4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。
3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。
4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。
5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。
五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。
向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义解释向量的概念，即有大小和方向的量。
强调向量与标量的区别。
1.2 向量的表示方法介绍用箭头表示向量，并标注大小和方向。
讲解用坐标表示向量，特别是二维和三维空间中的向量。
1.3 坐标系的引入介绍坐标系的概念，包括直角坐标系和柱面坐标系等。
解释坐标系在表示向量中的应用。
第二章：向量的运算2.1 向量的加法讲解向量加法的定义和几何意义。
给出向量加法的坐标表示公式。
2.2 向量的减法解释向量减法的定义和几何意义。
推导向量减法的坐标表示公式。
2.3 向量的数乘讲解向量数乘的定义和几何意义。
展示向量数乘的坐标表示方法。
第三章：向量的线性组合3.1 线性组合的定义解释向量的线性组合及其概念。
强调线性组合中系数的选择。
3.2 线性组合的坐标表示给出向量的线性组合的坐标表示方法。
讲解线性组合的坐标运算规则。
3.3 线性相关与线性无关介绍向量组线性相关的概念。
解释线性无关的概念及其判断方法。
第四章：向量的数量积（点积）4.1 数量积的定义讲解数量积的概念和几何意义。
强调数量积的计算公式。
4.2 数量积的性质介绍数量积的基本性质，包括交换律、结合律等。
讲解数量积与向量长度的关系。
4.3 数量积的应用展示数量积在解决向量垂直、夹角等问题中的应用。
讲解数量积在坐标系中的运算规则。
第五章：向量的向量积（叉积）5.1 向量积的定义解释向量积的概念和几何意义。
强调向量积的计算公式。
5.2 向量积的性质介绍向量积的基本性质，包括交换律、结合律等。
讲解向量积与向量长度和夹角的关系。
5.3 向量积的应用展示向量积在解决向量垂直、平行等问题中的应用。
讲解向量积在坐标系中的运算规则。
第六章：向量的长度和单位向量6.1 向量长度的概念解释向量长度的定义和几何意义。
强调向量长度是标量，表示向量的大小。
6.2 向量长度的计算讲解如何利用坐标计算向量的长度。
给出向量长度计算的坐标公式。
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)
3．空间向量运算的坐标表示目标：1.掌握空间向量的坐标运算的规律2.会根据向量的坐标，判两个向量共线或垂直3.掌握向量长度公式，两个向量的夹角公式，空间两点间距离公式4.应用以上知识解决简单立体几何问题重点：运用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题难点：推导空间向量运算法则一．复习1.平面向量的直角坐标运算法则： 设1212(,),(,)a a a b b b ==则有1212(,)a b a a b b +=++1212(,)a b a a b b -=--12(,)a a a λλλ=1122a b a b a b ⋅=+1122//,a b a b a b a b λλλ⇔===即11220a b +a b =0⊥⇔⋅=⇔a b a b1122(,),(,)A x y B x y ==2.在空间直角坐标空间任一点P ，存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使OP xi y j zk =++,(x,y,z)叫做向量P 在空间直角坐标系中O －坐标，y 叫纵坐标,z 叫坚坐标。
21||a +a =⋅=a a a 121a b cos ,||||a +a ⋅<>==⋅a b a b a b ||(x =⋅=AB AB AB zijy jxiOQki•二．引入生活中的一些类比（投影）问题：类比平面向量,空间向量的坐标运算是怎样的呢?三．新课讲解1. 空间向量的坐标运算：112233(,,)a b a b a b a b ±=±±±123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈112233a b a b a b a b ⋅=++数量积的证明（略）2. 空间向量平行、垂直的坐标表示112233//,,a b a b a b a b a b λλλλ⇔=⇔===112233a b a b 0a b +a b +a b =0⊥⇔⋅=⇔3. 距离公式（1） 向量的长度（模）公式222123||a +a +a =⋅=a a a （2） 空间两点间的距离公式222212121||()()()=⋅=-+-+-AB AB AB x x y y z z 4. 两个向量夹角公式112233222222123123a cos ,||||a +a +ab +b +b ⋅<>==⋅a ba b a b 四．自主学习1.已知()(),,, ,,,=-=--a 235b 314求,2,()a b a b a a b +-⋅+2.已知,向量()(),, , ,,,==-a 110b 102问a 与b 是否垂直？3.已知点A(1,2,5), B(-1,3,2) .若向量AB 与a =(4, m+n, m-n )平行,求m, n 的值.五．例题例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 1，F 1分别是1111,A B D C 的一个四等分点，求异面直线1BE 与1DF 所在角的余弦值。
1.3.2空间向量运算的坐标表示 教案—高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.3.2 空间向量运算的坐标表示教学设计一、内容和内容解析1.内容：空间向量的坐标运算；根据向量坐标判断两向量平行或垂直；向量长度公式；两向量夹角公式、空间两点间距离公式。
2.内容解析本节课是人教A版高中数学选择性必修第一册第一章第三节的第二课时。
引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法，为培养学生思维提供了更广阔的空间。
本节课是在学生学习了空间向量及其运算和基本定理的基础上进一步学习空间向量运算的坐标表示，是平面向量运算的坐标表示在空间的推广，是运用向量坐标运算解决几何问题的基础.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握空间向量运算的坐标表示（2）通过向量坐标判断两向量特殊位置关系（3）掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式（4）培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养2.目标解析（1）掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算（2）会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直（3）能根据向量的坐标计算出向量的模长，两向量夹角和空间两点距离，并能解决简单的立体几何问题三、教学问题诊断分析1.教学问题诊断：（1）空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似，可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在（2）学生难将向量坐标运算的代数结果与几何问题进行转化，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题是教学中的难点2.教学重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直的条件，距离公式，夹角公式3.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题四、教学支持条件：多媒体辅助教学五、教学过程设计(一）知识回顾平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示【设计意图】回顾上节课所学内容，为本节课的学习作铺垫。
(二）类比得到空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示{}123123123123111213212223313233,,,,()()10设为空间的一个单位正交基底，则所以因为，所以a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++=++=++++=++++++++======i j k a i j k b i j k a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k i i j j k k i j j k k i a b 112233.a b a b a b =++其他运算的坐标表示可以类似证明。
〖2021年整理〗《空间向量运算的坐标表示》参考优秀教案
空间向量运算的坐标表示 教案一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离；三、教学方法：探究归纳，讲练结合；四、教学过程（一）、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
（二）、探析新课数量积：（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即 b a ⋅＝><b a b a ,cos ||||（2）夹角： 定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0 特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （3）运算律a b b a ⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，,A B d = （6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x b a b a（7）与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a a a a a 0（三）、知识运用 1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度； （2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=OB OA OM ．∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=AB ． （2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ． 点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=a ，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
《空间向量的坐标运算》教学设计
通过对例题讲解，练习题巩固,检测学生对本节课的掌握情况，加深对知识内容的记忆.
课堂
小结
提出问题：今天你学到了什么？
引导学生总结归纳
归纳自己对这堂课的收获，交流展示.
学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识.
课后
作业
习题9.6：3、4、5、6题
《成才之路》：课后强化作业（十四）
预习：空间向量的夹角和距离公式
3.情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动、激发学生的学习兴趣，使学生经历数学思维过程，品尝到成功的喜悦.
三、教学重点、难点
1.重点：空间右手直角坐标系，空间向量的坐标运算及初步应用.
2.难点：空间向量坐标的确定，坐标运算的初步应用
四、学习者特征分析
本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学习了空间向量及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力.但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.希望通过教师的引导,学生的自主探索,能不断地完善自我的认知结构.
问题6.如何确一个向量在空间直角坐标系中的坐标？
问题7.如何确定一个点在空间直角坐标系中的坐标？
空间直角坐标系中的坐标教学
思考、讨论、交流,并发表各自的意见.
问题8.能否将空间向量的运算转化为坐标运算？
你能类比平面向量猜想空间向量的坐标运算吗？
空间向量的坐标运算教学
类比旧知,
大胆猜想.
引导学生大胆地“由旧猜新”即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程发现从二维到三维的内在联系，学会发现规律，并加以总结.让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感.
应用
新知
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式(教案说明)
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。
5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。
本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。
三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。
四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。
空间向量及其运算说课稿(2)
《2.2空间向量及其运算》各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量及其运算》，选自普通高中课程标准实验教科书湘教版选择性必修第二册第二章.下面我就从说教材、明目标；说教法、明策略；说过程、明意图；说反思、明方向等方面对这节课进行说明.本节内容是第二章《空间向量与立体几何》的第二节，由于这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的加减法.新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将本节课的教学过程分为5个环节：创设情境、引出课题；问题引导、概念类比；例题练习、巩固新知；问题引导、运算类比；总结反思，深化认知；布置作业、应用迁移。
其中重点是概念的形成和概念的深化。
首先我通过视频导入提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念，最后师生小结。
我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已.以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了.在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性.接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点.概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律.我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明.接着由学生自主完成对加法结合律的证明.教师小结；通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处.应用概念在应用概念环节中，我设置了两道例题（PPT给出）.例1的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解.归纳小结在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先提问让学生自己总结，接着我根据学生的回答补充完善小结，总结空间向量的概念内容和研究过程，尤其强调在整个研究过程中都使用到的类比的推理方法，进一步突破这节课的教学难点.布置作业练习A和练习B的第1，2题可帮助学生巩固基础知识；练习B 的第3题是为下一节《空间向量的基本定理》做准备.教学反思通过这节课的备课与教学我自己主要获得了以下几方面的收获：1.在概念课教学中教师作用的体现这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那么教师在这节课中的作用是什么？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系中的地位和作用。
空间向量及其运算说课稿
空间向量及其运算说课稿1.引入首先，我会通过引入问题的方式，激发学生的兴趣，让他们思考空间向量的概念和运算方法.例如，我会给学生一个图形，让他们思考如何用向量表示这个图形的位置关系.2.概念讲解接着，我会对空间向量的概念进行详细讲解，包括向量的大小、方向、起点和终点等方面的内容，并通过图形的方式进行说明，让学生更好地理解.3.线性运算然后，我会引入空间向量的线性运算，包括向量的加法、数乘和减法等，讲解其定义和运算规律，并通过图形的方式进行说明，让学生掌握空间向量的线性运算.4.练在讲解完空间向量的概念和线性运算后，我会让学生进行一些练，巩固所学知识，并帮助学生更好地理解和应用空间向量的概念和运算方法.5.解决问题最后，我会给学生一些简单的立体几何问题，让他们运用所学知识解决问题，并引导学生思考如何将所学知识应用到实际问题中.六.教学反思通过本节课的教学，我发现学生对于空间向量的概念和运算方法有了更深入的理解，同时也能够初步应用所学知识解决一些简单的立体几何问题.但是，在教学过程中，我也发现学生对于类比平面向量的数学方法的应用还有一定的困难，需要在后续的教学中加以强化和巩固.本节课分为六个环节，包括引入概念、概念形成、概念深化、应用概念、归纳小结和布置作业。
其中，概念的形成和概念的深化是重点，实际教学时间为25分钟。
在引入概念环节中，我通过提问帮助学生回顾平面向量研究的内容，研究的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的研究做铺垫。
接着我以一个生活实例引出空间向量的问题，通过追问激发学生研究新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向。
这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用。
在概念形成环节中，我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量。
接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念。
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2 【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。
现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试： （基础题）1．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=-r r //,a b λμr r若则与的值分别为（ ）A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-2（中等题）3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(，)3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
高二数学教案《9.6空间向量的坐标运算》
教学设计（主备人：岳建萍）教研组长审查签名：高中课程标准•数学必修第二册（下B）教案执行时间：9.6 空间向量的坐标运算教案一、内容及解析（一）内容：本节是在学习了空间向量及其运算的基础上，通过类比平面向量的有关知识，而得到空间直角坐标系的空间向量的坐标表示、坐标运算、平行向量、垂直向量坐标之间的关系，中点公式以及空间向量的夹角和距离公式，并通过空间向量的坐标运算来解决立体几何中的问题。
（二）解析：本节之前学习了空间向量及其运算，在那里的空间向量都是用有向线段来表示的，后来又介绍了选择空间的一个基底，用基向量来表示；在那里的向量运算也是基于上述两种表示形式进行的。
那么在本节我们把空间的一个基底和基向量进行特殊化，选择单位正交基底和空间任一点建立空间直角坐标系，把所有的空间向量都用空间直角坐标表示，把所有的空间向量运算都变成空间向量的直角坐标运算。
这一变化使得代数方法与几何背景之间的联系显得更加紧密，也使得空间向量的运算显得更加简明、方便。
所以本节教材在训练学习的坐标法思想、向量思想，以及帮助学生解决立体几何问题等方面都占有重要的地位和作用。
二、目标及解析（一）目标1、使学生掌握空间右手直角坐标系的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，掌握模长公式、夹角公式、两点间距离公式，了解平面的法向量的概念。
2、使学生学会确定一些简单几何体的顶点坐标，会判断两个向量共线或垂直，会用中点坐标公式解决有关问题，会计算模长、夹角、两点间距离。
3、使学生进一步熟悉坐标法的思想、向量的思想，进一步培养学生对立统一的辩证唯物主义世界观。
（二）解析1、知道空间右手直角坐标系统的概念，会确定一些简单的几何体（正方体、长方体）顶点的坐标。
2、知道空间向量的坐标运算规律。
3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。
4、知道中点坐标公式、向量长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用运算公式解决有关问题。
5、知道平面的法向量的概念。
高二数学教案：空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算（1）一、课题：空间向量的坐标运算 （1）二、教学目标：1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体，长方体）顶点的坐标；2．掌握空间向量的坐标运算规律．三、教学重点、难点：空间向量的坐标的确定及运算．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p 是空间任意一向量，存在唯一的实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．2．平面向量的坐标表示及运算律：（1）若p xi y j =+（,i j 分别是,x y 轴上同方向的两个单位向量），则p 的坐标为(,)x y ；（2）若12(,)a a a =，12(,)b b b =，则1122(,)a b a b a b +=++，1122(,)a b a b a b -=--， 12(,)()a a a R λλλλ=∈，1122a b a b a b ⋅=+，1122//,()a b a b a b R λλλ⇔==∈，11220a b a b a b ⊥⇔+=；（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--．（二）新课讲解：1．空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。
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《空间向量的坐标运算》——说课稿
各位同仁：大家好!
根据年级数学教学进度，今天我说课的题目是《空间向量的坐标运算》，下面我将从教材分析、学生情况、教学目标、教学方法、教学过程和教学设计说明六个方面来介绍我对本节课的教学设想.
一、教材分析
1.地位和作用
用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。
在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。
“空间向量”这部分内容具有“必学”和“选学”两重性。
教学大纲规定“直线、平面、简单几何体的教学内容和教学目标在9(Ａ)和9(Ｂ)两个方案中只选一个执行”，9(Ｂ)具有选学的性质；但大纲把“直线、平面、简单几何体”作为必学内容，如果学生不按“第二册(下Ａ)”教科书来学习，那么空间向量对于他们就是必学内容。
“空间向量”这部分内容，大致可分成“空间向量及其运算”与“空间向量的应用”这两个模块。
空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容．是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构．为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础． 2.教学结构的调整
在教学中我对教材做了适当的调整：第一节，用类比的方式探索新知识，并作简单的应用；第二、三节，例题讲解、习题处理．今天我的说课内容是调整后的第一课时． 3.重点、难点
教学重点：空间坐标系、空间向量的坐标运算规律、距离和夹角公式． 教学难点：空间向量坐标的确定．
二、学生情况
本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构.
三、教学目标
1.知识教学点: 掌握空间右手直角坐标系、空间向量的坐标运算规律，平行向量与垂直向量坐标之间的关系、距
离与夹角公式．
2.能力培养点:通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进
一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．
3.德育渗透点:通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到
成功的喜悦．
四、教学方法
本节课我将采用了“启发探究”和“类比”的教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中重点突出以下两点：(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线．(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法．
在教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索．将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．
除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学．多媒体投影为师生的交流和讨论提供了平台；计算机演示则有助于提高学生的空间想象能力和帮助他们化解难点.
五、教学过程
启----创设情境，引出课题
问题的提出：在正方体的同一个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学积极思考并列出求解步骤．
学生回答：
（1）可用尺子直接测量出来．
（
2）建立直角坐标系，求出A 、
B 两点坐标，再利用距离公式求出．
（3）在上述直角坐标系的基础之上，求A 、B 两点的坐标，求出AB uuu r
，再求其模长
思----启发思考，自主探究
（1）确定理论依据——平面向量的基本定理. （2）建立平面坐标系: （3）确定M 、N 点的坐标
（4）求MN u u u u r
向量:
（5）求MN u u u
u r
的模长：
问题的延伸：在正方体的不同面上任取两点，如何求出这两点间的距离？根据上述情况，请同学们通过类比,提出解决的方案．
演----知识演练， 扩充推广
在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是平面1111A B C D 和平面11BCC B 的中心，求MN 的距离.
推广：请根据平面向量的坐标运算规律，确定M 、N 点的坐标求MN u u u u r
向量:求MN u u u u r 的模长：
练----
练习：长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E 、F 、G 分别是DD1、AB 、CC1 的中点，则异面直线A1E 与GF 所成的角是( ) A 、
4π B 、2
π
C 、
D 、
结----梳理知识,构建网络
（1）回顾求解空间两点间距离的五个步骤：
①确定理论依据②建立空间坐标系③确定M 、N 点的坐标
④求MN u u u u r
向量⑤求MN u u u u r 模长
（2）通过空间直角坐标系的建立，实现了空间向量几何形式与代数形式的转化，可以将空间向量的运算转化为坐标
运算，在此基础上实现了立体几何问题向代数问题的转化．其次是引导学生应用类比思维记忆空间向量坐标运算规律、夹角和距离公式．
六、教学设计说明
本节课力求体现的教学特色有3个:
①以问题为教学线索:问题是数学的心脏,本课教学终始以问题的解决为线索.在教师的引导下,使学生的思维从问题开始由问题深化.
②以学生为课堂主体:重视学生的自主参与能力,重视学生探究能力和创新能力的培养,激励学生积极思维,大胆思考, 动手实践
③以类比为教学方法:在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从平面向量向空间向量的过渡,发现两者之间的内在联系,并通过类比方式强化空间向量坐标运算及其规律.
F G C B。