第一章-量子论基础

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第一章 量子力学基础

第一章 量子力学基础

氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动 量量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释:由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍,这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的,如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了, 但“定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
测物理量. 波函数应具有品优性 , 包括单值性、连续性 、平方可积性.
波函数的概率解释
例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.
不确定原理可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
波是不确定性的表现
单 缝 衍 射
这个象征着科学 的标志, 迄今仍被有 些人认为是原子模型 的真实图像. 实际上, 它只是照耀过科学历 程的星光:
由于坐标与相应 的动量分量不可能同 时精确测定, 所以, 原子中的电子不可能 具有这种轨迹确切的 轨道.
(photoelectric effect), 后来导致了光的粒子学说. 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图G为电 流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1898年,P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902年指出: 1.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子; 2.光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比; 3.光电流强度与光强成正比。
de Broglie波不仅对建立量子
力学和原子、分子结构理论有重要
意义,而且在技术上有重要应用.
使用de Broglie波的电子显微镜分辨率

chapter1总结.ppt

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假设Ⅴ:Pauli原理
§ 1.2 量子力学在简单体系中的应用
一维势箱

n (x)
2 l
sin
n
l
x;En
n2h2 8ml 2
(0 x l;n 1,2,3)
立方势箱
nz,ny,nz (x, y, z)
8 a3
sin
nx
a
x
sin
ny
a
y sin
nz
a
z;
Enz , ny , nz
h2 8ma2
(nx2
ny2
nz2 )
(0 x, y, z a;nx , ny , nz 1,2,3 )
简并能级;简并态;简并度
第二章 原子结构和性质
Chapter 2 The structure and properties of atoms
例题:
• 1.微观粒子体系的定态波函数所描述的状态 是( )
• A. 波函数不随时间变化的状态 • B.几率密度不随时间变化的状态 • C. 自旋角动量不随时间变化的状态 • D. 粒子势能为零的状态
• (北师大) 简答: 1.波函数的合格条件

2. Pauli原理
• 选择:1.一维谐振子的势能表达式 为 V 1 kx2 ,则该体系的定态S方程式中
2
的哈密顿算符为( )
原子光谱
-Bohr “玻尔假说”
2. 实物粒子的波粒二向性
粒 子 性
= h v 波

p= h /λ 性
h h
p mv
德布罗意(de Broglie)波长
3. 物质波统计解释
玻恩(Born)提出实物微粒波的统计解释 -几率波

第一章_量子力学的基础知识

第一章_量子力学的基础知识

m
0
c2
h
c2
(4)光子的动量为 pmh c/ch /
(5)光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒定律
1

hν < W 0

hν > W 0
W0
1 m2 2
W0
① 当 h < W0 (ho) 时,光子
没有足够的能量使电子克服 电子的束缚能而成为自由电 子,则不发生光电效应;
② 当 h > W0 (ho) 时,
D
狭缝到底片的距离远大于狭
缝宽度, CP≈AP,
e
sin=OC/AO =/D
x A OC
P y
在p点的动量在x轴的分量就 是在该方向的不确定量
△px=psin=p/D=h/D 而坐标x的不确定量Δx即为 单缝宽度D
△x=D, 所以 △x△px=h
Q A
C O
P
psin
电子单缝衍射实验示意图
考虑二级以上衍射, x px ≥h 1
金属中发射的电子具有 一定的动能,发生光电
流,并随 增加而增加。
1
光电子动能mv 2/2
光子能量: E=hν 光子动量: p=h/λ 光电效应方程: mv2/2 =hν-W
(λ为入射光的波长, W为金属的功函数, m和v为光电子的质量和速度)
斜率为h
光频率ν
1
只有把光看成是由光子组成的光束才能理解光电效 应,而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象。光表 现出波粒二象性,即在一些场合光的行为像粒子,在另 一些场合光的行为像波。粒子在空间定域,而波却不能 定域。光子模型得到的光能是量子化的,波动模型却是 连续的,而不是量子化的。
1
按经典物理学理论

第1章 量子力学基本原理

第1章 量子力学基本原理
1898年, Rayleigh-Jeans根据经典的电 磁理论推导出黑体辐射Rayleigh-Jeans 方程 ,在长波处很接近实验曲线,而 在短波长处与实验显著不符。
黑体辐射----经典的理论解释”
W. Wien(维恩) 1904年Nobel物理奖。
L. Rayleigh(瑞利9) 1911年Nobel物理奖
当n小于某一频率n0时,
无论光强多大,照射时间 多长都不会发生光电效应。
截止电压与入射光频率n的关系
20
经典物理学理论无法解释光电效应
根据经典的光的电磁波理论,光的能量是由
光的强度决定的,光强越强,照射在金属片
上发射出的光电子动能也越大,光电子动能
与光强相关。
只要光强足够强,足以供应发射电子所需要
37
要点二(频率假设):当电子由低能量轨道跃 迁至高能量轨道,相应地原子由低能量定态变 为高能量定态,必须吸收一个光子;反之由高 返低,则放出一个光子。光子的能量就等于两 个能级或定态能量之差。
EEIIEI hn
38
要点三(量子化假设):在原子的各种可能的
态中,电子绕核运动的角动量L必须是h/2的
的能量,那么光电效应理应对各种n的光都发
生,而不应具有极限频率n0。
21
到了1905年,Planck定律的正确性一次又一次 地得到了实验证实,然而关于它的真实含义物理 学家们的认识却是模糊的。 当时年仅26岁的Einstein第一个意识到Planck量 子假设的革命性意义,同时,他还进一步发展了 普朗克的能量子概念,并大胆地提出了光量子假 设。整数来自。L nh / 2 n
n 1, 2,3,
39
Bohr理论成功地解释了当 时已知的Balmer、Paschen 和Brackett线系。 预 测 n1 = 1 定 态 的 光 谱 线 的波长121.6nm等,1915年 被Lyman发现,称为Lyman 线系。

第一章 量子力学基2013

第一章 量子力学基2013

E = nhv0
第一章
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
1600K时黑体辐射的理论预测与实验结果的比较
第一章
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
第一章
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
2 光电效应 2.1 微粒说的严重挑战——光电效应 对阴极B所用金属,有一固定的频率ν0,只有 当入射光的频率ν>ν0时,才有光电流产生, ν0 频率称为该金属的临域频率。 但当电压减小到0并逐渐变负时,i≠0,表明 B发射的光电子具有动能,故能克服反向电 场力的作用而仍向A运动。只有当V负得足够 大,才使i=0,这个电压称为遏止电压Vs。
第一章
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
T = hv − W0
增加照射光强度,不能增加光电子动能,只能 光电子的数目增加; 光电子动能随照射光频率的增加 而增加。
第一章
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
1.3 氢原子光谱实验 原子光谱:当原子被火焰、电弧、电火花等方法 加热时能发出光来,这样测得的谱线称为原子光谱。
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
de Broglie波不仅对建立量子 力学和原子、分子结构理论有重要 意义,而且在技术上有重要应用。
使用de Broglie波的 电子显微镜分辨率 达到光学显微镜的 千倍,为人类打开 了微观世界的大门。
第一章
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
量子理论诞生100年后, 我国科学家又在世界上首次 发现了新的物质波干涉现象。中国科学院大连化学物 理研究所发展了一种新的激光光谱方法来测量分子碰 撞传能截面,证明了分子与分子碰撞时也像光波一样 发生干涉效应,对分子碰撞传能有重要影响。我国科 学家在钠的碰撞实验中也观察到这一效应。这一成果 丰富了量子理论,受到国际同行的关注和高度评价, 是2000年中国十大科技进展新闻之一。

第一章 量子力学基础

第一章 量子力学基础

1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径,n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ(x, y, z, t) 描述, Ψ(x, y, z, t)决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 (定态:概率密 度与能量不随时间改变的状态) z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时,要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为: ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效,也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱,更不 必说较复杂的原子;也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的,半径有问题,角动量是错的; 仍属于经典力学,只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年,戴维逊、革末用电子束单晶衍射法,G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖;1937年,戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.

第一章量子力学基础

第一章量子力学基础

m

h
c2
h
c
光子的质量与光的频率或波长有关,但光子没有静止质 量,因为根据相对论原理:
m
m0
1 (v / c)2
2020/3/17
13
④光子有动量P
P mc mc2 h h c c
⑤光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。
h
W

Ek

h 0

1 m 2
2
——光电方程或爱因斯坦关系式
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出,二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象,光波的能量与它的强度 (振幅的平方)成正比,而与频率无关。因此 只要有足够的强度,任何频率的光都能产生光 电效应,而电子的动能将随着光强的增加而增 加,与光的频率无关,这些经典物理学家的推 测与实验事实不符。
5
E( v,T)10-9J.m-2
5 4 3 2 1
0
max
2000K
1500k
1000K
1
2
3
v/1014s-1
①随着温度(T)的增加, 总辐射能量E(即曲线下的面积) 急剧增加。
E T 4 ( 5.67 108W gm2 gK 4 )
——斯芯蕃公式
②随着温度(T)的增加,E的 极大值向高频移动;曲线的峰值 对应于辐射最强的频率,相应的 波长ma随x 温度升高而发生位移。
1


R° H

1 n12

1 n22

R°为H 里德堡常数, R°=H 1.09677576×107m-1

第一章 量子力学基础.

第一章 量子力学基础.

在量子力学中,最重要的一种本征方程是能量本征方程,
即定态Schrödinger方程(能量算符是Hamilton算符):
Ĥ =E
2
( 2 V ) E
2m
只有参数E取某些特定值时, 该方程才有满足自然条件的非零解
. 参数E的这些取值就是Hamilton算符的本征值,相应的ψ是
Hamilton算符的属于该本征值的本征函数.
力学量
算符
位置x,时间t
xˆ x,tˆ t动量的x Nhomakorabea分量px


x

i
x
角动量的z轴分量
Mˆ z

i
x
y

y
x

力学量 势能 V
动能 T=p2/2m 总能量 E=T+V
算符
Vˆ V



2 2m

2 x 2

2 y 2

2 z 2
dx 2
的本征函数。若是,求出本征值。
d2 (ex ) 1 ex dx 2
ex是算符的本征函数,本征值为1
d 2 (sin x) sin x sinx是算符的本征函数,本征值为-1 dx 2
d2 (2cos x) 2cos x dx 2
2cosx是算符的本征函数,本征值为-1
d2 (x3 ) 6x dx 2
三、能级公式的意义:
En

n2h2 8ml 2
(n
1, 2,3......)
受束缚的粒子的能量必须是量子化的,即边界条件迫使
能量量子化。(一维势箱的量子化是解方程自然得到的,
而非像旧量子论人为附加)
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第五章 近似方法一、概念与名词解释1. 斯塔克效应2. 跃迁概率3. 费米黄金规则4. 选择定则二、计算1. 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为r 0,电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正.2. 转动惯量为I ,电矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中,如果电场较小,用微扰理论求转子基态能量的二级修正.3. 转动惯量为I ,电矩为D 的平面转子处在均匀弱电场E 中,电场处在转子运动的平面上,用微扰法求转子的能量的二级修正.4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 ,a Eb b a E 0201⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a 、b 是实数. (1) 用微扰公式求能量至二级修正;(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解,并与(1)的结果比较.5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是)E (E E E 0 0 E 010202*b *a b 01a 01>⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ, (1) 用简并微扰方法求能量至二级修正;(2) 求能量的准确值,并与(1)的结果比较.6. 在简并情况下,求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级修正.7. 线谐振子受到微扰aexp(-βx 2)的作用,计算基态能量的一级修正,其中常数β>0.8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a +与降算符a 表示为, 1/2)a (a H ˆ0ω+=+ 此体系受到微扰ω+λ=+ a)(a 'H ˆ的作用,求体系的能级到二级近似. 已知升与降算符对0H ˆ的本征态|n>的作用为.1n n n a ;1n 1n n a -=++=+9. 一个电荷为q 的线谐振子受到恒定弱电场i E ε=的作用,利用微扰论求其能量至二级近似,并与其精确结果比较.10. 一维非简谐振子的哈密顿量为H=p 2/2m+m ω2x 2/2+βx 3. β是常数,若将3x H'β=看成是微扰,用微扰论求能量至二级修正,求能量本征函数至一级修正.11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(p x 2+p y 2)/2μ+μω2(x 2+y 2)/2+λxy. 若λ<<1,试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数.12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 , bz ax y H'2+=求第一激发态的一级能量修正.13. 一维无限深势阱(0<x<a)中的粒子,受到微扰⎩⎨⎧<<<<λ=a)x (a/2 x/a)-2x(1a/2)x (0 x/a 2H'作用,求基态能量的一级修正. 14. 处于一维无限深势阱(0<x<a)中的粒子,受到微扰⎩⎨⎧<<<<<<=2a/3)x (a/3 V -a)x a/3,2a/3x (0 0H'1的作用,计算基态能量的一级修正. 15. 在一维无限深势阱(0<x<a)中运动的粒子,受微扰⎩⎨⎧<<<<=a)x (a/2 b a/2)x (0 b H'+-作用,求波函数至一级修正. 16. 一个粒子处在二维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<=)( a)y x,(0 0y)V(x,其他中运动,现加上微扰 a),y x,xy(0H'≤≤λ=求基态能量和第一激发态的能量修正值.17. 粒子在如下势阱中运动, a)x 0,(xa)x (0 a x/a)/80sin(V(x)222⎩⎨⎧><∞≤≤μππ= -求其基态能量的一级近似.18. 粒子处于如下势阱中, a)X 0,(x a)x (a/2 a /80a/2)x (0 0V (x )222⎪⎩⎪⎨⎧><∞≤≤μπ<<= 求其能级的一级近似值.19. 自旋为ħ/2的粒子处于一维无限深方势阱(0<x<a)中,若其受到微扰⎩⎨⎧><≤≤πλ=a)x 0,(x0a)x (0 s ˆx/a)cos(2H'y 的作用,求基态能量至一级修正,其中λ为一小量.20. 两个自旋为ħ/2,固有磁矩算符分别为2211ˆˆˆˆσβ=μσα=μ和的粒子,处于均匀磁场k B B 0 =中,若粒子间的相互作用21ˆˆσ⋅σγ 可视为微扰,求体系能量的二级近似,其中α、β、γ为实常数.21. 类氢原子中,电子与原子核的库仑作用为U(r)=-Ze 2/r ,当核电荷增加e(从Z →Z+1),相互作用增加/r -e H'2=,试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.22. 设氢原子处于均匀的弱电场k 0 ε=ε和弱磁场k B B 0 =中,不考虑自旋效应,用微扰论讨论其n=2的能级劈裂情况.23. 求氢原子n=3,简并度n 2=9时的斯塔克效应.24. 设在t=0时,电荷为e 的线性谐振子处于基态. 在t>0时起,附加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场ε,求其处在任意态的概率.25. 一个自旋为ħ/2,磁矩为s ˆg ˆ=μ的粒子处于如下弱旋转磁场中 , k B j t)sin(B i t)cos(B B 00 +ω+ω=粒子与磁场的作用为 .B s ˆg ⋅-若粒子开始处于s z = ħ/2的状态,讨论跃迁情况并计算跃迁概率.26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中,求空腔温度等于多少时,自发跃迁概率和受激跃迁概率相等.28. 一个粒子在吸引势V(r)= -g 2/r 3/2中运动,试用类氢原子的波函数作为尝试波函数,求基态能量.29. 以)ex p(-cr (r)2=φ为试探波函数,求氢原子基态能量与波函数,其中c>0.30. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为 , x /2p ˆH ˆ42x λ+μ=以/2)x ex p(-a a/(x )22π=φ为试探波函数,a 为变分参数,求其基态能量.31. 取尝试波函数为 ,Ce 2-ax C 为归一化常数,a 是变分参数,试用变分法求谐振子的基态能量和基态波函数,并算出归一化常数C.32. 设粒子在中心力场V(r)= -Ar n (n 为整数)中运动,选R(r)=Nexp(-βr)为试探波函数,求其基态能量. 进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐振子势(n=2,A<0)的结果,并与严格解比较.33. 试用Φ=exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数,f 为变分参数,求势场为V(x)=g 2(x 2-1)2/2的基态能量,其中g 是个很大的常数.三、证明1. 在无简并的微扰论中,证明(1)n(1)n (1)n (3)n (2)n (1)n (0)n (1)n (0)n (0)n (1)n(0)n (0)n (0)n E -W ˆE E E E H ˆE E H ˆφφ=++=φ+φφ+=φφ2. 一维运动的体系,定义从|m>态跃迁到|n>态相应的振子强度为, /m x n 2m f 2nm nm ω= m 是粒子质量,求证:∑=n nm 1f3. 设体系在t=0时处于基态|0>,若长时间加上微扰),(x )ex p(-t/F ˆt)(x ,Wˆτ=证明该体系处于另一能量本征态|1>的概率为222012/)E -(E 1Fˆ0τ+四、综合题1. 一根长度为d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动,棒的质量为M. 在棒的两端分别有电荷+Q 和-Q.(1) 写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值;(2) 如果在转动平面内存在一电场强度为E 的弱电场,准确到一级修正,它的本征函数和能量如何变化?(3) 如果这个电场很强,求基态的近似波函数和相应的能量值.2. 对于一个球形核来说,可以假定核子处在一个半径为R 的球对称势阱中,势场是. R)(r R)(r 0V ⎩⎨⎧≥∞<=相应地,对发生微小形变的核,可以认为核子处在椭球形势阱中,势壁高仍为无限大,即势场是)1/a z )/b y (x ( 0V 22222el ,(其他地方)内在⎩⎨⎧∞=++=其中a ≈R(1+2β/3), b ≈R(1-β/3),且β<<1,利用微扰论,准确到一级近似,求椭球形核相对于球形核基态能量的变化.(提示:作变量代换,将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)3. 一个量子体系由哈密顿量H=H 0+H'描述,其中H'=i λ[A,H 0]是一个加在非微扰哈密顿量H 0上的微扰,A 是个厄米算符,λ是个实数.设B 是另一个厄米算子,而且C=i[B,A].(1) 已知A 、B 、C 在无微扰(非简并)基态的平均值为<A>0、<B>0、<C>0.当微扰加入时,求B 在微扰后的基态上的平均值至λ的第一级;(2) 将这个结果用到如下三维问题上:.x H',x m 212m p H 331i 2i 22i 0λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ω+=∑=计算x i 在基态的平均值<x i >(i=1,2,3)至λ的最低阶,并将这个结果和精确解相比较.4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中,取平行板法线方向为z 轴方向. 电场沿z 轴方向,可视为均匀电场. 设电容器突然充电,然后放电,电场随时间的变化是).( 0)(t e 0)(t0(t)t/-0为常数τ⎩⎨⎧>ε<=ετ求时间充分长后,氢原子跃迁到2s 态和2p 态的概率.5. 考虑势U=g|x|的能级.(1) 用量纲分析,推导本征值和参数(质量m 、ħ、g)的关系;(2) 用尝试波函数φ=C θ(x+a) θ(a-x)(1-|x|/a)对基态能量作变分计算;0)(x 10)(x 0(x)这里C、a是复数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧><=θ, (3) 为什么φ=C θ(x+C) θ(a-x)不是一个好的尝试波函数?(4) 如果要求第一激发态能量,你将如何处理?6. 一个质量为m的粒子在汤川势U(r)= -λe-μr/r中运动,用变分法,取尝试波函数φ=e-ar,问λ的临界值λ0等于多少时,能使得λ<λ0无束缚态,λ>λ0有束缚态?7. 介子一般可看成夸克和反夸克)q(q的束缚态. 考虑s态介子,设夸克质量为mq,束缚qq和的势U=A/r+Br,A<0,B>0.(1) 选用类似于氢原子基态波函数的φ=e-r/a作为尝试波函数,用变分法求基态能量(在用变分法决定a的方程中,可近似取A=0来简化计算).(2) 用不确定性原理估算基态能量,并和变分法的结果(1)比较.。

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