第二十四讲 作图分析法解决问题
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章 圆 第二十四章 小结与复习
二、 圆的基本性质 1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_直__径__所在的直线都是 它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质 (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等，那么
A
O
BP
又∵∠COB = 2∠PCB，∴∠ACO =∠PCB．
∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB = 90°．
∴∠PCB +∠OCB = 90°，即 OC⊥CP．
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线．
针对训练 7. 如图，点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任
意一点，过 D 作 DE⊥OB 于 E，以 DE 为半径作⊙D.
12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称 其为正多边形的中心. (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角.
它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与
圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
d＜r
点 P 在圆内；[以注转意化]为点点与到圆圆的心位的置距关系离可与
d=r
点 P 在圆上；半径之间的大小关系；反过
S 1 nar 1 Cr. 其中 C 为正 n 边形的周长.
“图示法”在解决问题中的应用
“图示法”在解决问题中的应用瓦•阿•苏霍姆林斯基（1918-1970），前苏联著名教育实践家和教育理论家。
他在数学教学中，要求学生“把应用题画出来。
”他曾经说过：“如果哪一个学生学会了‘画’应用题，我就可以有把握地说，他一定能学会解应用题。
”利用图示法能从图形的直观特征中发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。
因此，教师要想提高学生解决问题的能力，就力求做到根据解决问题所给的条件把图“画”出来，从而优化学生解决问题的途径，以实现数学素养的整体提高。
一、借助图示法，帮助学生读懂图意由于受年龄、知识与生活经验等方面的限制，很多学生对纯文字的解决问题很难理解。
这时作为教师可以引导学生把枯燥乏味的文字画出图形，借助图形架起学生形象思维和抽象思维之间的桥梁，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
如：“一根钢管的横截面是环形，内圆直径6厘米，环宽2厘米，钢管的横截面多少平方厘米？”学生根据题中叙述的题意，很难分辨外圆、内圆的半径是多少，大部分学生误认为外圆的半径为（6+2）÷2=4厘米。
导致列式错误。
这时我就引导学生画出环形，在图上标出已知的条件（如下图），帮助辨清题中内圆、外圆的半径各是多少，再列式正确解答。
在图形的帮助下，学生能直观形象地看出内圆的半径是6÷2=3厘米，外圆的半径是3+2=5厘米或（6+2+2）÷2=5厘米。
教学时，利用图示法帮助学生解决学习中的困难，既调动了学生的学习热情，又促进了学生学习能力的提高。
又如：“一根圆柱木头长2米，底面直径30厘米，把这根圆柱切成4段，表面积增加了多少？”由于受生活经验的缺乏缺乏，学生不容易理解这一题的题意。
在学生感到对题目意思不能正确理解时，我引导学生画出下面的图形：有了这一图形，学生就能明白切成4段，只要切3次，每次切下去多了2个面，求表面积增加了多少，也就是求圆柱的6个底面积的和。
如何运用画图法解决问题策略
如何运用画图法解决问题策略概要：数学源于生活，用于生活，《数學课程标准》中也非常强调数学与现实生活的联系。
我认为在用“画图”法解决实际问题时要讲究策略，即重视对策略意识的理解、合理的选择以及适度的策略的提升。
这样，可以使习题的教学意义超越解答一道题目得到一组答案，体会到一种思想方法，使学生的无序思维有序化、简洁化、规范化、科学化。
对于小学四年级来说，倒推、替换和假设的应用相对较少，列表、一一列举、转化比较常用，而“画图”法可以说是应用于整个四年级下册数学中，就“画图”策略我认为应该重视以下几个方面：一、重视策略意识的理解学生在解决问题的过程中发展数学思考是非常重要的，教师应注意引导学生在解决问题的过程中不断发展策略性知识，以促进数学思考能力的发展。
由于小学生在解决问题的过程中，会受到学生的知识水平、思维水平、问题的内容、难度、解决问题的环境等多种因素的影响，那在教学中如何利用教材资源，引导学生开展积极地数学思考活动，形成对策略的理解？例如在教学苏教版四年级（下册）“解决关于面积计算问题的策略”例题时，首先要让学生知道，这题的数量关系不明显，我们可以根据题目的条件和问题画出示意图，这里要让学生理解到“画图”法不仅包括画实物简图，还包括线段图等等。
这样学生在纸上图图画画可以拓展思路，使用这项解题策略，比较符合小学生思维形象性的特点，也使学生通过“画图”法使问题的情境具体化，使思路比较清晰。
二、重视策略的合理选择在学习解决问题的策略后，就要引导学生能够根据实际问题的特点选择合理的策略。
教师在教学中要重视问题结构的教学。
解决问题的教学实际上就是建立解决问题模型的过程，要建立解决问题的模型，首先要理解实际问题的特点。
例如，教学“画图”法这一策略时，教师应首先让学生自己尝试去解决问题，学生在尝试的过程中发现采取什么策略去解决问题。
在教学苏教版四年级（下册）“解决行程问题”时要让学生先根据题意列表整理：两人行走的速度要列入表中，再想想两人各行走多长时间，于是列成下表：小明从家到学校每分走70米走了4分小芳从家到学校每分走60米走了4分这样让学生更清楚地认识这类问题的知识特点，同时在与“解决关于面积计算问题”策略进行比较，也从而提高了他们运用这些策略的自觉性，并感知这种类型题应选择画线段图的策略。
运用作图法辅助解决问题
运用作图法辅助解决问题
作图法是一种将问题以图形方式表现出来的方法，它能够辅助问题的解决，帮助人们更好地理解和分析问题。
作图法可以应用于各种领域的问题，例如数学、物理、经济等。
在数学中，利用作图法可以解决几何问题、函数问题等；在物理中，利用作图法可以绘制物理图、图像等；在经济中，利用作图法可以绘制市场曲线、收益曲线等。
假设现有一块正方形的草坪，它的边长为10米，现在需要在草坪上建立一个长方形的游泳池，并使得游泳池的面积最大。
应该怎么做呢？
通过作图，可以很容易地解决这个问题。
首先，将正方形草坪分成若干个小正方形，如图所示。
然后，在正方形草坪上，绘制长方形池子的各个位置，每个位置表示池子的一边。
如下图所示，横坐标代表长方形池子的长，纵坐标代表长方形池子的宽。
可以发现，当长方形池子的长等于草坪的边长10米时，长方形池子的宽可以取任意值；当长方形池子的长小于10米时，长方形池子的宽应该变大，因为长方形池子的面积会增加；当长方形池子的长大于10米时，长方形池子的宽应该变小，因为长方形池子的面积会减少。
综上所述，可以得出结论：长方形池子的长应该等于草坪边长10米，长方形池子的宽等于5米（草坪边长的一半），此时长方形池子的面积最大，为50平方米。
从这个例子可以看出，作图法不仅可以节省计算时间，还能够直观地帮助人们理解问题，最终得出正确的结论。
总之，作图法是一种非常实用的工具，可以帮助人们更好地解决问题。
在实际中，我们可以运用作图法来解决各种问题，增强自己的思考能力和创新意识。
第二十四节二次函数图象与性质-(一)
二次函数图象与性质 (一)【知识要点】1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2的数学模型？【典型例题】例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。
例2 试在同一坐标系内画出22x y -=与322+-=x y 以及322--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线22x y -=与322+-=x y 和322--=x y 有什么关系？小结：y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状①其对称轴为 轴 ②顶点坐标为（ , ）③当a>0时，开口 ，y=ax 2+c 图象有最 点；当x=0时，y 有最 值为 ；当a<0时，开口 ，图象有最 点，当x=0时，y 有最大值为 。
④当c>0时，是由y=ax 2向 平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向 平移|c|个单位。
简称“ ”例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －21x 2 ， y= －21(x+1)2 ， 与y=－21(x-1)2结合图象分析研究以下问题： （1）抛物线y=－21(x+1)2，y=－21(x-1)2与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？ （2）抛物线y=－21 (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____； （3）抛物线y=-－21 (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。
小结：y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状 ，①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最 值为0； 当a<0时，开口向下，图象有最 点，当x=h 时，y 有最大值为0④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=xk（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）例5 如果二次函数m ax y +=2的值恒大于0，那么必有（ ） A 、a ＞0，m 取任意实数B 、a ＞0，m ＞0C 、a ＜0，m ＞0D 、a ，m 均可取任意实数例 6 若二次函数c ax y +=2，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（ ）．A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。
用作图法解决问题
列式：6×3÷2 ×3 =18÷2 ×3 =9 ×3
亲爱的同学们!
=18块 答：这包糖为27块。
通过以上几个例子的学习，大家对用作图法解决
问题的优越性是不是有了更深的了解呢？这几个题只 是我们数学学习解决问题的一个缩影，希望同学在日 常的 学习中遇到类似问题时，能仔细审题，冷静分析，
把抽象的数学语言转化成形象的线段图，这样就能揭 开题目中掩人耳目的“神秘面纱”，化难为易了。
答：6块后，三个 人剩下的总数与每人开始分得一样多，这包糖原 来多少块？
分析：本题缺少每人分了多少块这个直接条件，我们用 下图来分析解答：
一包糖
吃了6 × 3块
剩下的块数
从图上清楚的看到每人吃了6块共吃了 6×3=18块，后剩下一份。说明吃了两份， 因此原来这包糖的块数量：18÷2×3=27 块。
18厘米
第一根
26厘米
第二根
从图上可以很清楚的看到：由于第二根比第一根多剪了 26-18=8厘米。而这个8厘米正好是第二根剩下的2倍。
我们可以利用第一根绳 当然也可以利用第二根绳
子的长度求绳长
子的长度求绳长
方法一：（26-18）÷2×3+18 =8÷2×3+18 =30厘米
方法二：（26-18）÷2+26 =8÷2+26 =30厘米
列式：井深：8×2-3×2=10尺
绳子：（10+8）×2=36尺
答：井深10尺，绳子长36尺。
例3：两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米， 第二根剪下26厘米，余下的铁丝，第一根是第 二根的3倍，求原来每根铁丝长多少厘米。
分析：同样的两根铁丝为什么会出现“第一根是第二根的3倍这 种现象呢？”我们用下图分析：
人教版初中九年级上册数学精品课件 第二十四章 圆 点和圆、直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系
拓广探索题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定 其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
B
C
A
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
课堂小结
点与圆的 位置关系
作 圆
三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
．
巩固练习
6. 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个 锐角不大于45°”时，应先假设（ D ）
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45°
巩固练习
探究新知
点和圆的位置关系
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内
d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外
d>r
数形结合： 位置关系
数量关系
探究新知
素养考点 1 判定点和圆的位置关系
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
探究新知 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90° ，
∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ 3 3
因此圆的半径为3．点A的坐标( 3 3， 0) ∴△AOB外接圆的面积是9π. 解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外 接圆的直径(或半径)长度．
小学数学教学中运用画图法解决问题基本策略
小学数学教学中运用画图法解决问题的基本策略教学实践中，不同学生在解决数学问题时存在显著差异。
有的学生理解能力强，抽象水平高，直接通过文字阅读就能清晰理解数量关系，构建起数学模型，顺利解决问题。
但也有不少学生理解能力较弱，抽象水平低，需要借助直观，才能较好地理解题意、解决问题。
这时，画图就成为这部分学生解决问题的重要依杖。
作为数学教师，应该有意识地在解决数学问题过程中培养学生画图的意识和能力，让学生借助直观的示意图或线段图，将题目中蕴含的数量关系以直观形象的方式表示出来，让学生能根据遇到的题目，灵活运用学过的画图方法来解决.一、对运用画图法解决数学问题的价值思考1.、画图能把学生的兴趣与数学学习相结合小学生特别喜欢画画，如果您是一位细心的老师或家长，一般都能从这个年龄段学生的书包里发现一本或几本有图或画的本子，这是课间或闲暇时一个学生或几个学生一起交流和活动的场所。
游戏本或画画本，里面画满了只有学生们才能读懂的游戏规则和游戏过程。
兴趣是最好的老师，既然学生们这么喜欢画画，喜欢用图画表达各自不同的想法，我就利用他们擅长画画的特点，把“图”与数学学习相结合，激发他们的数学学习兴趣，让他们用自己喜爱的方式画图，通过生动有趣的原生态图形，使数学与图形结合，以画促思，最终化复杂为简单，化抽象为直观，从而更好地寻找问题的答案。
同时，让他们在尝试中体会到画图解题的快乐，体验用画图法解题带来的成功感和价值感。
2、画图是学生数学学习“有形”的语言作为中低段的数学老师，经常有这样的感触：有些学生能把一些数学题做出来，但对解题的思路总说不清楚，而且越说越糊涂，想在这个年段渗透一些数形结合思想、对应思想、转化思想等，更是难上加难。
而画图法，却是一座桥梁，它让学生把图当做“有形”的语言，把想法说出来，把思路理清楚，从而顺利解决数学问题。
当然也要认真对待每一位学生的图画“作品”，不管是“力作”还是“劣作”，都是学生不同的解读和表达。
人教版数学九年级上册第二十四章 圆 教材分析 课件(共40张PPT)
与学生 怕
作为一线教 师的困惑
表现：跳过圆的题目
①怎么教？--使尽可能多的学 生能够消除对圆的畏惧心理 ②教学着眼点和落脚点在何处？
③圆这章综合到什么程度?
考试撬动教学改革 中考改革：稳中求变，变中求新
每一章的 问题 核心内容 情境
圆的概念 与性质、 定理等
2019年中考22.在平面内，给定不在同 一直线上的点A，B，C，如图所示．点 O到点A，B，C的距离均等于a（a为常 数），到点O的距离等于a的所有点组 成图形G，
掌握切线的概念；能利用切线的判定 与性质解决有关简单问题；能利用直 运用圆的切线的有关 线和圆的位置关系解决有关简单问题； 内容解决有关问题 能利用切线长定理解决有关简单问题
多边形和圆
了解圆内接多边形和多边形外接圆的 能利用圆内接四边形的对角互补解决
概念；了解三角形外心的概念；知道 有关简单问题；能利用正多边形解决
三角形的内切圆；了解三角形的内心； 有关简单问题；尺规作图（利用基本
了解正多边形的概念及正多边形与圆 作图完成）：作三角形的外接圆、内
的关系
切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面 会计算圆的弧长和扇形的面积；会计
积 算圆锥的侧面积和全面积
和圆锥
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一 些简单的实际问题
难点突破的尝试二
拆分图形 ----复杂图形分解，降低难度
2019年西城一模试题23题
（2）若ME=3,MB=2,求BE的长
x
x
M
难点突破的尝试三
思维培养落脚在课堂教学中，利用好教辅材料 以学探诊P56-9
问题一：为什么这样做？没有辅助线你会做吗？ 问题二：为什么旋转60度？ 问题三：为什么以A为旋转中心？ 问题四：为什么 旋转三角形ABP？
解决问题的策略——画图策略
解决问题的策略——画图策略——教研活动理论学习整理交口县城关小学赵亚虹可能初次接触新课本的老师会说课本为何越改越麻烦呢？学生会做就行了，为何课本上要让学生画图呢？又浪费时间又浪费精力。
确实在教学中，我们发现很多老师不适应新教材“应用题”教学的编排特点，教学中往往削弱应用题教学，着重于计算教学；或者和传统的应用题教学完全隔离开来。
曾记得自己在教高段时，时不时地在发牢骚：纯文字的应用题，很多学生看不懂；学习困难的学生解决应用题简直是在瞎猜。
可在低年级的实际教学中，发现解决问题教学已经占有很大的比重，学生解决问题能力不错，为什么随着年级的增高，解决问题的能力越来越弱？我认为原因有两个：一是在低年级的教材中，解决问题的呈现形式是直观而有趣的图表，小学生一看，通俗易懂、非常喜欢，乐于解决。
到了中高年级纯文字的应用题，很多学生看不懂，一碰到解决问题就烦，加上一部分学生认知水平的落后，解决问题对于他们来说会越来越困难。
导致对这一类问题失去了兴趣；二是学生在学的过程中，由于没有系统的学习解决问题的方法，导致解决问题能力的下降。
是啊！现在不讲线段图，也不讲数量关系，学生没有基本的解决问题的策略到五六年级时怎么解决稍复杂的分数和百分数应用题。
因此，我们有必要抓住要点进行突破，以解决问题的策略研究为抓手，对数学教学中的问题进行反思、总结，在研究中使得师生共同提高。
关于解决问题,新课程标准提出了这样的要求：1、初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
2、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略多样性，发展实践能力与创新精神。
3、学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
课程标准提出的上述目标中，发展应用意识和形成解决问题的策略是重点。
解决问题的价值不只是获得具体问题的解，更重要的旨在使学生获得发展，即学会解决问题的基本策略，体验其多样性，从而形成自己独特的解决问题策略，使每一名学生找到解决应用问题的金钥匙。
小学数学：有效的“画图”解题法，立竿见影！
小学数学：有效的“画图”解题法，立竿见影！小学数学到底学什么学过数学的人都知道，思维方式的运用在学习数学这一科目上的重要性，小学阶段的数学主要培养的是孩子的逻辑思维能力，是从形象思维逐步过度到抽象思维的过程，如果在小学阶段没有将基础打牢，那么等孩子上初中后面对更复杂的学习内容，就会变得更吃力。
可以这样说，审题是对题目进行初步的感知，特别是应用题，而理解题意这个环节，决定你考了问题的角度，确定你考虑问题的方法，因此，这是做题中的重要环节。
小学数学“画图”解题立竿见影！根据审题的内容画图，把该题的条件、问题在图上表明，借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化，还原本来的面目，从而找到解决问题的方法，从图中一下子就可以找到答案，而且通过画图也能很快找到自己的错误，。
很多小学生做应用题，就知道看题目，草稿纸也不用，紧盯着啊看啊......能看出花来？光看题，又不是看小说。
借助画图帮助孩子理解题意是至关重要的一步借助画图解题，它是孩子打开解决问题大门的一把“金钥匙”，很多问题都可以很快速的求解，比如几何问题、路程问题，如果光靠想是很难想出答案的画图就一目了然，下面我们举几个栗子来看看。
1. 平面图对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。
如，有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加12O，求原来两数的积。
根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。
先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。
如图（l）所示。
根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B增加12，则宽延长12，如图（3）。
从图中不难找出：原长方形的长（A）是120÷12＝10原长方形的宽（B）是72÷12＝6则两数的积为1O×6＝6O借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。
人教版数学九年级上册第二十四章圆单元教学设计
（2）判断以下图形中圆与直线、圆与圆的位置关系：
A.两个半径分别为3cm和5cm的圆。
B.一个半径为4cm的圆与一条直线。
2.提高拓展题：
（1）在草稿纸上画一个半径为6cm的圆，并标出圆心、半径、直径、弧、弦、切线等元素。
（2）解决12m的圆形花坛，请你计算花坛的面积，并设计一条小路围绕花坛，小路的宽度为1m。
2.学生分享自己的学习心得和收获。
3.教师总结：本节课我们学习了圆的相关知识，希望大家能够将这些知识运用到生活实际中，解决实际问题。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请运用圆的周长和面积公式，计算以下问题：
A.半径为5cm的圆的周长和面积。
（2）提高题：涉及圆与直线、圆与圆的位置关系，提高学生的几何推理能力。
（3）拓展题：结合实际情境，培养学生解决复杂问题的能力。
7.注重课堂小结，引导学生总结本节课的知识点，提高学生的归纳总结能力。
8.强化课后反馈，了解学生的学习情况，针对问题进行个别辅导，确保每个学生都能掌握本章节内容。
在教学过程中，教师要关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在积极参与中提高数学素养。同时，注重培养学生的团队合作精神，提高他们的人际沟通能力，为学生的全面发展奠定基础。
（3）在本节课的学习中，你觉得有哪些收获和不足？
请同学们按时完成作业，并认真检查，确保解题过程清晰、答案准确。通过作业的完成，希望大家能够进一步巩固圆的知识，提高解决问题的能力。同时，鼓励同学们在课后阅读和思考中，积极探索数学的奥秘。教师将根据作业情况，给予针对性的指导和反馈，助力学生成长。
利用图表解决数学问题的技巧
利用图表解决数学问题的技巧数学作为一门学科，常常让学生感到困惑和头疼。
然而，如果我们能够善于利用图表，就能够更加轻松地解决数学问题。
本文将介绍一些利用图表解决数学问题的技巧，希望能够帮助大家更好地应对数学难题。
第一种技巧是利用表格。
表格可以清晰地展示数据和关系，帮助我们更好地理解和分析问题。
例如，在解决代数方程时，可以将未知数的取值范围制作成表格，逐个尝试不同的值，从而找到满足方程的解。
此外，在解决几何问题时，可以将已知条件和待求的要素制作成表格，通过观察表格中的数据关系，找到解决问题的线索。
第二种技巧是利用折线图。
折线图可以直观地展示数据的变化趋势，帮助我们更好地分析和解决问题。
例如，在解决函数的性质问题时，可以将函数的图像绘制成折线图，通过观察折线的走势，推测函数的增减性、最值等性质。
此外，在解决统计问题时，可以将数据制作成折线图，通过观察折线的变化，找到数据的规律和趋势。
第三种技巧是利用柱状图。
柱状图可以直观地展示数据的大小和比较，帮助我们更好地分析和解决问题。
例如，在解决比例问题时，可以将不同物体的大小或数量制作成柱状图，通过比较柱状图的高度或长度，找到它们之间的比例关系。
此外，在解决概率问题时，可以将事件的发生次数制作成柱状图，通过观察柱状图的高度，计算事件发生的概率。
第四种技巧是利用饼状图。
饼状图可以直观地展示数据的占比和比例，帮助我们更好地分析和解决问题。
例如，在解决百分数问题时，可以将百分数的分子和分母制作成饼状图，通过观察饼状图的扇形面积，计算百分数的大小。
此外，在解决比例问题时，可以将不同物体的数量制作成饼状图，通过观察饼状图的扇形面积，找到它们之间的比例关系。
除了以上四种常见的图表外，还有许多其他类型的图表可以用来解决数学问题。
例如，散点图可以用来展示数据的分布和相关性；雷达图可以用来展示多个指标的比较和评价；箱线图可以用来展示数据的分散程度和异常值等。
在解决数学问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的图表，以帮助我们更好地理解和分析问题。
浅谈画图法在小学数学解决问题教学中的运用
浅谈画图法在小学数学解决问题教学中的运用
画图法是数学问题解决的一种有效方法，尤其适用于小学数学解决问题的教学中。
通过画图，能够帮助学生更好地理解问题，找到规律和解题路径，提高解题的准确性和效率。
画图法能够帮助学生更好地理解问题。
在小学数学问题中，很多题目抽象且抽象，对学生来说难以形象化。
通过画图，能够将抽象的题目转化为具象的图像，让学生对问题有更清晰的认识。
在解决几何题目时，通过画图，可以使学生更好地理解问题的几何关系，更容易找到解决问题的方法。
在解决运算问题时，画图也能够帮助学生建立运算模型，更好地理解问题的逻辑关系。
画图法能够帮助学生发现问题中的规律和解题路径。
通过画图，可以将问题分解为多个小部分，进而找到问题的规律和解题的路径。
在解决排列组合问题时，通过画出排列组合的图像，能够帮助学生找到排列和组合的规律，进而解决相应的问题。
在解决问题时，画图也能够帮助学生通过图像判断问题的可行性和解题的方向，从而节省解题时间和提高解题准确性。
画图法能够培养学生的创造力和思维能力。
通过画图，学生能够培养观察和思考问题的能力，从而培养学生的创造力和思维能力。
在解决问题时，学生可以通过画图，从不同的角度和方式思考问题，找到解决问题的多种方法。
在解决几何问题时，学生可以通过画图，自己创造几何形状，发现问题中的规律和特点，从而培养学生的几何思维能力。
运用作图法辅助解决问题
运用作图法辅助解决问题【摘要】作图法是解决问题中的重要工具，能够帮助人们更清晰地分析和理解问题。
选择合适的作图工具和利用作图法分析问题是提高问题解决效率的关键。
作图法在决策过程中的应用可以帮助人们更直观地比较各种方案的优劣，作图法在数据展示中的优势也使得信息更易于被理解和传达。
作图法与解决问题的关联密切，通过作图可以帮助人们发现问题的本质和规律。
作图法不仅是解决问题的有力工具，更是在现代社会中具有重要意义的技能，能够提高人们的思维能力和解决复杂问题的能力。
通过运用作图法，人们能够更高效地解决问题，推动社会的发展和进步。
【关键词】作图法、问题解决、工具、分析、决策、数据展示、优势、关联、效率、现代社会1. 引言1.1 作图法的概述作图法是一种通过图形的方式来表示和分析问题的方法。
通过绘制图表、图示或图形，我们可以更直观地理解问题的本质，快速找出解决问题的路径。
作图法可以帮助我们将抽象的概念转化为具体的形象，使复杂的问题变得简单易懂。
作图法在解决问题中起着非常重要的作用。
它不仅可以帮助我们整理思路，发现问题的关键因素，还可以帮助我们快速定位问题的症结所在。
通过作图法，我们可以清晰地表达问题的本质和关系，从而为问题的解决提供更有建设性的方案。
作图法是一种直观、高效的解决问题的手段。
它通过简单明了的图形表示，帮助我们更好地理解和分析问题，从而找到解决问题的思路和方法。
在日常工作和学习中，不妨多多运用作图法，相信它会成为你解决难题的得力助手。
1.2 作图法在解决问题中的重要性作图法在解决问题中的重要性不可忽视。
通过作图，我们可以更直观地展现问题的本质和关系，帮助我们更清晰地理解问题的复杂性和关联性。
作图法可以帮助我们整理和分类信息，找出问题的关键因素，从而更有针对性地制定解决方案。
作图法还可以帮助我们发现问题的潜在规律和与其他变量的关系，帮助我们预测未来的发展趋势和可能的影响。
通过作图，我们可以更加全面地考虑问题，避免盲目行动和不经思考的决策。
运用作图法辅助解决问题
运用作图法辅助解决问题【摘要】作图法是一种辅助解决问题的方法，在解决复杂问题时能起到很大的帮助。
本文首先介绍了作图法的概念，然后探讨了作图法的优势，接着详细说明了作图法的步骤。
通过实际应用案例展示了作图法在问题解决中的有效性，并指出了在运用作图法时需要注意的事项。
通过本文的阐述，读者可以更好地了解作图法的概念和方法，以及如何运用作图法解决问题。
结合实际案例和注意事项的提醒，读者可以更好地应用作图法解决现实生活和工作中的问题，提升问题解决能力。
【关键词】作图法、辅助、解决问题、概念、优势、步骤、应用举例、注意事项、引言、结论1. 引言1.1 引言作图法是一种通过图形化的方式来解决问题的方法，可以帮助我们更直观地理解问题的本质，找到问题的解决方案。
在现代社会，随着信息量的急剧增加和问题的复杂化，作图法越来越受到重视和应用。
通过作图法，我们可以将抽象的问题变得具体可视化，帮助我们更有效地分析和解决问题。
正文将会介绍作图法的概念、优势、步骤等方面，以及作图法在问题解决中的应用举例和注意事项。
通过这些内容，我希望读者能够了解作图法的重要性和实用性，以及如何运用作图法来更好地解决日常生活和工作中的问题。
在本文中，我们将深入探讨作图法这一有趣且实用的问题解决方法，希望能为读者带来新的思考方式和解决问题的技巧。
让我们一起来探索作图法的奥秘，发现它在解决问题中的潜力和应用价值。
愿本文能为读者带来新的启示和帮助，让我们共同进步和成长。
2. 正文2.1 作图法的概念作图法是一种解决问题的方法，通过绘制图表或图形来帮助我们更清晰地理解问题，分析问题并找到解决方案。
作图法可以将抽象的问题转化为具体的可视化形式，使问题更加直观，有助于我们掌握问题的本质和规律。
作图法的基本原则是准确、简洁、直观。
在绘制图形时，要注意选择合适的比例、明确图形的要素和关系，避免不必要的复杂性。
作图法不仅可以帮助我们理清问题思路，还可以帮助我们提高问题的解决效率和准确度。
第二十四讲 作图分析法解决问题
2160千米
拓展1 五个小碗放成一排，其中有两只小碗内各有一个相同的 兵乓球，请问有多少种放法？ 10种。可作图逐一列举：每一竖行表示一种放法，所有不同 放法一共只有10只。
拓展2 甲、乙两人分别从 A、B两地同时相向而行，乙的速度 2 是甲的 ，两人相遇后继续前行，甲到B地、乙到A地后立刻 3 返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20 千米，那么，A、B两地相距多少千米？ 50千米
45个
热身1 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则 多余12个同学；如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加 一个，则少9人。算一算东风小学仪仗队有多少个学生？ 112个
热身2 AB两地相距540千米。甲乙两车往返行驶于A、 B两地之间，都是到达一第二次相遇 都在途中P地。那么，到两车第三次相遇为止，乙 车共走了多少千米？
10 丁 10 10 丙 10 乙
例2:哥哥的年龄和妹妹现在的年龄一样时，妹妹是9岁；妹妹的 年龄和哥哥现在的年龄一样时，哥哥是24岁，兄妹两人现在各 是多少岁？
点拨 不管任何时候，兄妹两人的年龄差总是不变的。只要知道哥哥比妹 妹大多少岁，问题就解决了一半。
9 妹妹 解答 我们用线段长短不是年龄，并且用虚线、 实线、点划线分别表示题目中指出的过去、现在、 将来三个时候的年龄.如图，因为存在如下的关 系：妹妹现在的年龄=哥哥过去的年龄，哥哥现 在的年龄=妹妹将来的年龄。可以看出24－9=15 哥哥 正好是兄妹年龄差的三倍。所以，妹妹现在的年 龄是9＋（24－9）÷3=14（岁），哥哥现在的 年龄是14＋（24－9）÷3=19（岁） 答：哥哥现在19岁，妹妹现在14岁。
解答从题目看出这是一个环形债务适用于用一个圆环状的关系图来表示箭头方向表示要还钱的方向如右图所示
用画图法解决问题
用画图法解决问题一、培养学生画图策略的必要性在《新课程标准》提出的课程目标中，把解决问题作为重要的课程目标，并指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
画图策略是众多的解题策略中最基本的、也是一个很重要的策略。
它是通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口，从而形成解题的思路。
因此，人们在解决问题时喜欢使用画图策略。
为什么需要画图?怎样让学生学会画图?不是把现成的图画好展现给学生看，也不是直接告诉他们怎样画，而是让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。
贯穿在学习过程始终的应该是——引导学生走上数学思维之旅。
从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力、思维能力的高低。
所以在解决问题的教学过程中，注意培养学生运用画图策略分析解决问题的能力是非常必要的。
二、鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题在传统的应用题教学中，提到画图教师们想得更多的是线段图，而且那时的线段图在画法上也有明确的要求，如：单位“1”要标在图的上面，画图必须准确，要用直尺等，可以说传统的教学更多的是把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学，所以学生不愿意按照老师的要求来画图。
新教材把画图作为一种策略来教给学生，而且画图的形式也不只限于线段图，学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。
因此教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。
在这个过程中要遵循这样一个原则，即能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。
学生正是在教师的不断鼓励和尊重中大胆提出自己的不同见解，运用更多的图来帮助自己分析和解决问题。
二、抓住培养学生画图策略的重要内容教学要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，不是在加深问题的难度上下功夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的画图策略，使学生能够产生迁移，这样即使遇到一些未解过的题目，学生经过自己的画图、分析也能找出解答的方法。
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甲
解答 从题目看出这是一个环形债务，适 用于用一个圆环状的关系图来表示，箭 头方向表示要还钱的方向，如右图所示。 每人在进钱的同时也要出钱，假定有一 个中间人，每人都只把进出的差数和他 结算，如图中虚线所示。乙、丙、丁都 应付出10元，而甲应收入30元。中间人 收支是平衡的。那就是说不如乙、丙、 丁直接每人付给甲10元，甲就正好收回 了差额30元。
45个
热身1 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则 多余12个同学；如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加 一个，则少9人。算一算东风小学仪仗队有多少个学生？ 112个
热身2 AB两地相距540千米。甲乙两车往返行驶于A、 B两地之间，都是到达一地之后立刻返回，乙车较 快。设两车同时从A地出发后第一次和第二次相遇 都在途中P地。那么，到两车第三次相遇为止，乙 车共走了多少千米？
10 丁 10 10 丙 10 乙
例2:哥哥的年龄和妹妹现在的年龄一样时，妹妹是9岁；妹妹的 年龄和哥哥现在的年龄一样时，哥哥是24岁，兄妹两人现在各 是多少岁？
点拨 不管任何时候，兄妹两人的年龄差总是不变的。只要知道哥哥比妹 妹大多少岁，问题就解决了一半。
9 妹妹 解答 我们用线段长短不是年龄，并且用虚线、 实线、点划线分别表示题目中指出的过去、现在、 将来三个时候的年龄.如图，因为存在如下的关 系：妹妹现在的年龄=哥哥过去的年龄，哥哥现 在的年龄=妹妹将来的年龄。可以看出24－9=15 哥哥 正好是兄妹年龄差的三倍。所以，妹妹现在的年 龄是9＋（24－9）÷3=14（岁），哥哥现在的 年龄是14＋（24－9）÷3=19（岁） 答：哥哥现在19岁，妹妹现在14岁。
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迁移1 用5元3角钱买西瓜和甜瓜，西瓜7角一个，甜瓜4角 一个，钱要正好用完，还要尽量多买甜瓜，应买多少个西瓜？ 多少个甜瓜？ 8个甜瓜，3个西瓜
迁移2 把一堆棋子分别放在两个盒子里，甲盒子里的 棋子数比乙盒子里的棋子数多5个。如果把甲盒的棋 子拿出10个放入乙盒，这时甲盒里的棋子数正好等 于乙盒的一半。这堆棋子共有多少个？
2160千米
拓展1 五个小碗放成一排，其中有两只小碗内各有一个相同的 兵乓球，请问有多少种放法？ 10种。可作图逐一列举：每一竖行表示一种人分别从 A、B两地同时相向而行，乙的速度 2 是甲的 ，两人相遇后继续前行，甲到B地、乙到A地后立刻 3 返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20 千米，那么，A、B两地相距多少千米？ 50千米