8、平面直角坐标系与函数的基础知识
高中一年级数学知识点
高中一年级数学知识点1. 代数基础知识2. 二元一次方程3. 三角函数基础4. 平面坐标系与直线方程5. 概率基础6. 进制与逻辑运算7. 函数基础知识8. 数列基础知识9. 解析几何基础10. 微积分初步代数基础知识：数学中的代数是指用字母等表示数，然后通过相关的数学运算进行计算，代数基础知识主要包括：整式展开、平方公式、配方法和分式的简化和运算等。
二元一次方程：二元一次方程是指包含两个未知数的一元一次方程，学生需要学会如何推导解二元一次方程，求解方程组，并利用二元一次方程解决实际问题。
三角函数基础：三角函数基础包括正弦、余弦、正切等基础概念的介绍，并学会如何利用三角函数进行计算。
平面坐标系与直线方程：平面坐标系是用于描述平面上点的位置的数学工具，学习时需要掌握平面坐标系的构成、直线方程的求解及其相关性质。
概率基础：概率是统计学中的一个重要概念，学习时需要了解事件、样本空间和概率等基本概念，以及各种计算方法和名词的定义。
进制与逻辑运算：进制是指数值表示方式的进位规则。
学生需要理解二进制、八进制、十六进制的概念和相互转换，同时也需要掌握真值表、逻辑运算、命题公式的基本知识。
函数基础知识：数学中的函数是一种数值关系，可以将一个数值通过某种规则转换成另一个数值。
学习时需要掌握函数的概念、函数的基本性质、函数的图象等。
数列基础知识：数列是指数学中描述数的一种数学对象，学生需要学会如何推导等差数列、等比数列等，以及数列的求和公式和递归公式。
解析几何基础：解析几何是一种数学工具，用于研究几何图形的性质和关系。
需要学会如何描述点、直线、平面等几何对象，以及用解析几何的方法解决几何问题。
微积分初步：微积分是数学中的一个分支，主要研究一些变量的变化率和量的积分运算。
学习时需要学会导数、微分、积分等概念，并理解它们之间的关系。
同时也包括极限、什么是连续等概念。
1. 代数基础知识：代数基础知识主要包括整式展开、平方公式、配方法和分式的简化和运算等。
平面直角坐标系的认识与应用
平面直角坐标系的认识与应用平面直角坐标系是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的点的位置。
通过平面直角坐标系，我们可以准确地表示和计算点的坐标和距离，从而实现对平面上各种几何问题的分析和解决。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、表示方法以及在数学与几何问题中的应用。
一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y 轴。
在平面上选择一个点作为原点O，并确定x轴与y轴的正方向，可以得到一个完整的平面直角坐标系。
在这个坐标系中，任意一点P可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
二、平面直角坐标系的表示方法为了清晰地表示平面直角坐标系，我们通常使用网格线来表示x轴和y轴，并在网格线上标注坐标值。
在x轴和y轴上，我们可以选择一个单位长度，通常用1表示，从而得到其他点的坐标。
例如，点A坐标为(2, 3)，表示点A在x轴上的坐标为2，y轴上的坐标为3。
三、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学与几何问题中有着广泛的应用，具体如下所示：1. 点的位置关系：通过比较点的坐标值，我们可以准确地确定点的相对位置。
例如，若点A的坐标为(2, 3)，而点B的坐标为(4, 5)，我们可以判断出点A在点B的左下方。
2. 距离的计算：在平面直角坐标系中，我们可以根据两点的坐标值计算它们之间的距离。
例如，若点A的坐标为(2, 3)，而点B的坐标为(4, 5)，则点A和点B之间的距离为√[(4-2)² + (5-3)²] = √5。
3. 图形的绘制：通过使用平面直角坐标系，我们可以准确地绘制各种图形，如直线、曲线和多边形等。
利用坐标轴上的点和线段，我们可以将抽象的数学概念具象化，并进行图形的分析和推理。
4. 函数的表示：在数学中，函数可以用平面直角坐标系表示。
将函数的自变量作为x轴坐标，函数的值作为y轴坐标，我们可以绘制函数的图像，并通过分析图像来研究函数的性质。
平面直角坐标系.一次函数知识概念
平面直角坐标系.一次函数知识概念平面直角坐标系一.知识概念1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y 轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。
另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。
掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。
教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
一次函数一.知识概念1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。
2.(0,0)的一条直线。
3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y 随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。
4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。
在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。
培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。
初三数学函数与平面直角坐标系5大考点总结
初三数学函数与平面直角坐标系5大考点总结考纲要求：1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。
2、掌握坐标平面内点的坐标特征。
3、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．4、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值。
一、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．二、距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别是|y|和|x|，点P(x，y)到坐标原点的距离为三、函数有关的概念及图像四、函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征方法总结：解这类题的关键是明确各象限内点的坐标特征，总结规律，再结合规律列出不等式(组)求解考点二、图形的变换与坐标方法总结：在平面直角坐标系中，图形的平移、对称、旋转等变换会引起坐标的变化，同样，坐标的变化也会引起图形的变换，两者紧密结合充分体现了数形结合的思想．考点三、函数的概念考点四、函数图像的应用方法总结：利用函数关系和图像分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，要看清横坐标和纵坐标表示的是哪两个变量，探求变量和函数之间的变化趋势，仔细观察图像(直线或曲线)的“走势”特点，合理地分析变化过程，准确地结合图像解决实际问题．考点五、函数自变量取值范围的确定方法总结：自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义主要体现在以下几种：含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．写在最后：中考数学冲刺阶段的复习，不管的大题还是选择填空这类型的小题，都是非常考验基础的牢固性，只有坚实的基础，加上实用的技巧，拿到高分，冲刺才有实际的意义。
专题08 平面直角坐标系与函数基础知识-备战2022年中考数学母题题源解密(广东专用)(原卷版)
专题08 平面直角坐标系与函数基础知识【母题来源】2016年中考广东梅州卷 【母题题文1】（2016·广东梅州·中考真题）已知点P （3﹣m ，m ）在第二象限，则m 的取值范围是____________________．【母题来源】2018年中考广东广州卷 【母题题文2】（2018·广东广州·中考真题）如图，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是_____．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【母题来源】2013年中考广东湛江卷【母题题文4】（2013·广东湛江·中考真题）函数y x 3=+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x 3>-B ．x 3≥-C ．x 3≠-D ．x 3≤-一、平面直角坐标系(1) 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴，构成平面 直角坐标系，其中，水平的数轴叫做_____轴或_____轴， 通常取向右为正方向；铅直的数轴叫做____轴或_____轴， 取竖直向上为正方向，两轴交点O 是原点，在平面中建 立了这个坐标系后，这个平面叫做坐标平面。
(2) 坐标平面的划分:x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限，如图所示，按___________方向编号为第一、二、三、四象限。
注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
(3) 点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由两个有顺序的实数组成，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，其位置不能颠倒，(-2，3)与(3，-2)是指两个不同的点的坐标。
平面直角坐标系与函数
析 已: 知 点 (3 － m ， m － 1) 在 第 二 象 限 ， 所 以 方法点析 解决此类问题的一般方法是根据点在 ， 3－m<0 m>3， 坐标系中的符号特征，建立不等式 (组)或者方 故 ∴m>3，故选择 A. (组)或方程 程 ( 组 ) ，把点的问题转化为不等式 m－1>0， m>1， (组)来解决．
x<0，y<0 点 P(x, y)在第三象限⇔________________ x>0，y<0 点 P(x, y)在第四象限⇔________________
(2)坐标轴上点的坐标的特征
y＝0，x为任意实数 点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________
x＝0，y为任意实数 点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________
考点聚焦 归类探究 回归教材
作业：
《复习指导用书》
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[点析] 根据函数图像，结合实际生活意义，对图像 进行分析判断即可得解．
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考点聚焦
归类探究
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平面直角坐标系与函数
中考预测：看图说故事．请你编写一个故事，使故事情 境中出现的一对变量 x，y 满足如图所示的函数关系，要求： ①指出变量 x 和 y 的含义；②利用图中的数据说明这对变量 变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量．
3
考点聚焦
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平面直角坐标系与函数
考点3 点到坐标轴或原点的距离
到 x 轴 点 P(a，b)到 x 轴的距离等于点 P 的 b 纵坐标的绝对值 ，即 的距离 ___________________ 到 y 轴 点 P(a，b)到 y 轴的距离等于点 P 的 横坐标的绝对值 ，即 a 的距离 ___________________ 到原点 点 P(a， b)到原点的距离 的距离
中考数学复习考点知识归类讲解与练习01 平面直角坐标系与函数基本概念
中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
中考总复习：函数综合--知识讲解(基础)
中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1．相关概念（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标 4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象 要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.考点五、二次函数 1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得：（1）y随x的增大而增大；（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）函数的图象过第一、二、四象限.【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第一、二、四象限.【答案与解析】解：a、b的取值范围应分别满足：（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0,∴23a＞, 且b取任何实数.（2）函数图象与y 轴的交点为（0,1-b ）， ∵ 交点在x 轴的下方，∴ ，即a≠, b ＞1.（3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 .【总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当b ＞0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b ＜0时，图象过一、三、四象限；当y=x 时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数k 、b 不同，可得到不同的函数，k 决定直线与x 轴夹角的大小，b 决定直线与y 轴交点的位置，由k 定向，由b 定点.同样，如图2，是k ＜0的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质.举一反三：【变式】作出函数y=x, 2x y x=，2()y x =的图象，它们是不是同一个函数？【答案】 函数2()y x =的自变量x 的取值范围是x≥0；函数2x y x=在x≠0时，就是函数y=x ；而x=0不在函数2x y x=的自变量x 的取值范围之内.由此，作图如下：可见它们不是同一个函数.类型二、函数图象及性质2．已知：(1)m为何值时，它是一次函数.(2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y是随x的增大而增大还是减小？(3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.【答案与解析】(1)依题意：，解得m=1或m=4.∴当m=1或m=4时，它是一次函数.(2)当m=4时，函数为y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限，y随x的增大而增大.当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y随x的增大而减小.(3)直线y=-x-3不过原点，它与x轴交点为A(-3，0)，与y轴交点为B(0，-3)，..∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为，与两轴围成的三角形面积为.【总结升华】(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b（k≠0）中k、b的符号.(3)直线y=kx+b（k≠0）与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b（k ≠0）上的点在x轴上时，令y=0，则，交点为；当直线y=kx+b（k≠0）上的点在y轴上时，令x=0，则y=b，即交点为(0，b).举一反三：【高清课程名称：函数综合1 高清ID号：369111关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】【变式】已知关于x的方程2(3)40--+-=.x m x m（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值. 【答案】证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥0，所以方程总有两个实数根.解：（2）由（1）2(5)m ∆=-，根据求根公式可知,方程的两根为：23(5)2m m x -±-= 即11x =，24x m =-,由题意，有448m <-<，即812m <<.（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -）， 由题意，可得14m -=-或44m m -=-，所以3m =或4m =.3．抛物线y=x 2+bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x 2﹣2x﹣3，则b 、c 的值为（ ）A ．b=2，c=2B ．b=2，c=0C ．b=﹣2，c=﹣1D ．b=﹣3，c=2 【思路点拨】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【答案】B ． 【解析】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为y=（x ﹣h ）2+k 代入得：y=（x+1）2﹣1=x 2+2x ， ∴b=2，c=0． 故选B ．【总结升华】抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数1y x=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 【思路点拨】因为反比例函数1y x = 的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k ＜0，将解方程组 11y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩转化成关于x 的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可．【答案】1-4k＜.【解析】由反比例函数的性质可知，1yx=的图象在第一、三象限，∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0，解方程组11y kxyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩，得kx2+x-1=0，当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0，解得1-4k＜，∴两函数图象无公共点时，1-4k＜．故答案为：1-4k＜.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x的一元二次方程，再确定k的取值范围．类型三、函数综合题5．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1【思路点拨】先判断出函数反比例函数y=的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特征进行判断．【答案】B．【解析】解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数y=的图象在二、四象限，∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y2＜0，y3＜0，∵在第四象限内y随x的增大而增大，∴0＞y3＞y2，∴y1＞y3＞y2．故选B．【总结升华】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．举一反三：【变式】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A. B． C． D．【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x=＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选D．类型四、函数的应用6．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？【思路点拨】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【答案】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A （0，2.5），B （2，2.5），C （0.5，1）设函数解析式为y=ax 2+bx+c ，把A 、B 、C 三点分别代入得出c=2.5， 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解之得a=2，b=﹣4，c=2.5．∴y=2x 2﹣4x+2.5=2（x ﹣1）2+0.5． ∵2＞0，∴当x=1时，y=0.5米． ∴故答案为：0.5米．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 举一反三：【高清课程名称： 函数综合1 高清ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】 【变式】抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （A 在B 左侧），请说明116x <，2112x <<．【答案】（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴ 12362366b a b c c a a a a++==-=-． ∵ a ＞0，c ＜0，∴0c a <，0c a->． ∴ 1023b a +>．（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ， ∴ 11 ,42 .a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 2(2)33a a n a b c a c c c =++=+--+=-＞0． ∴ 0mn <．② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<． ∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知123b a -<， ∴ 12123x x +<． ∴ 12221332x x <-<-，即116x <．。
中考第一轮复习第9讲平面直角坐标系及函数的基础知识
第三单元 函数及其图象第9讲 平面直角坐标系及函数的基础知识,知识清单梳理)平面直角坐标系1．定义：平面内，两条互相__垂直__、原点__重合__的数轴组成平面直角坐标系．坐标平面内的点与__有序__实数对一一对应．2．特殊点的坐标特征(1)各象限内点的坐标的符号特征3．点P(x ，y)坐标的几何意义(1)点P(x ，y)到x 轴的距离是__|y|__． (2)点P(x ，y)到y 轴的距离是__|x|__． (3)点P(x ，y)到原点的距离是．函数的有关概念,云南省近五年高频考点题型示例)平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】(2019曲靖中考)在平面直角坐标系中，将点P(－2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点P′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(1，5)C ．(1，－3)D ．(－5，5) 【解析】点平移规律：左减右加，上加下减． 【答案】B1．(2019红河中考)在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(－1，－2)，则点P 关于原点对称的点的坐标是( C )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(1，2)D ．(2，1) 2．(2019昭通中考)已知点P(2a －1，1－a)在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是( C )函数自变量的取值范围【例2】(2019云南中考)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围为( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≤2 D ．x ≠2【解析】分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数，即x －2≠0，x ≠2. 【答案】D3．(2019大理等八地州联考)在函数y ＝x ＋1x中，自变量x 的取值范围是__x≥－1且x≠0__． 4．(2019云南中考)函数y ＝x －7的自变量x ．5．(2019曲靖中考)如果整数x ＞－3，那么使函数y x 的值是__0__．(只填一个)6(2019内江中考)在函数y ＝1x －3＋x －2中，自变量x 的取值范围是__x≥2且x≠3__．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点无2．创新题【例】(2019佳木斯中考)如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( )ABCD【解析】先注甲池速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升．【答案】D,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.在平面直角坐标系中，已知点P(2，－3)，则点P在( D )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【方法总结】根据各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)可以得到答案．2．(2019西宁中考)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B 关于x轴的对称点B′的坐标为( B )A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)【方法总结】点平移，横坐标左减右加，纵坐标上加下减．关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数．3．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【方法总结】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．4．函数y ＝21－x ＋1x 中，自变量x 的取值范围是__x<1且x≠0__．【方法总结】(1)分式函数，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；(2)偶次根式函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负实数．5．当x ＝__－2__时，函数y ＝3x 2－12x －2的值为零．【方法总结】函数的值和分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，解分式方程时要注意检验． 6．(2019河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是__12__．【方法总结】考查函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 请完成精练本第9页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，有一平行四边形ABCD 与一正方形CEFG ，其中E 点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数为何？（ ）A ．50B ．55C ．70D ．752．下列等式一定成立的是（ ） A ．a 2+a 3=a 5B ．（a+b ）2=a 2+b 2C ．（2ab 2）3=6a 3b 6D ．（x-a ）（x-b ）=x 2-（a+b ）x+ab3．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc ＜0；② 2a ＋b ＝0; ③ b 2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c ＞0; ⑤ c+8a ＜0.正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），对角线BD 与x 轴平行，若直线y ＝kx+5+2k （k≠0）与菱形ABCD 有交点，则k 的取值范围是（ ）A.3243k -≤-… B.223k --剟C.324k --剟D.﹣2≤k≤2且k≠05．已知反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是（ ） A ．图像必经过点()1,2-B ．y 随着x 的增大而增大C ．图像分布在第二，四象限内D ．若1x >，则20y -<<6．如图，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．35B ．45C ．55D ．657．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为2110(014)2h t t t =-≤≤. 若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（ ） A ．042a ≤≤B ．050a ≤<C ．4250a ≤<D ．4250a ≤≤8．如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，AC 、BD 交于点O ，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N ，则有以下结论：①△AOM ∽△ADF ；②EF ＝BE+DF ；③∠AEB ＝∠AEF ＝∠ANM ；④S △AEF ＝2S △AMN ，以上结论中，正确的个数有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题不正确的是（ ）A ．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形B ．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形D ．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 10．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点(1,0),(3,0)A B -.有下列结论：①20a b c ++<； ②当1x >时，随x 的增大而增大；③当0y >时，13x -<<；④当2m x m <<+时，若二次函数的最小值为4a -，则m 的取值范围是11m -<<。
平面直角坐标系与函数图像
平面直角坐标系与函数图像在数学中，平面直角坐标系是一种常用的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。
平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，以一个点作为原点，可以表示二维平面上的任意点。
一、平面直角坐标系的构成平面直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，通常称为x轴和y轴。
x轴水平放置，代表横轴，y轴竖直放置，代表纵轴。
这两条直线的交点被定义为原点O，即坐标(0,0)。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点都可以通过一个有序数对表示，这个有序数对通常写成(x, y)，x代表该点在横轴上的位置，y代表该点在纵轴上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示该点在横轴上位置为2，纵轴上位置为3。
三、函数图像在平面直角坐标系中的表示函数图像是平面直角坐标系中的一种重要应用。
我们可以通过函数的定义域和值域来绘制函数图像。
以一元函数为例，假设给定函数f(x)，x为定义域上的变量，y为函数的值域。
我们可以通过给不同的x值计算对应的y值，将这些点在平面直角坐标系上连线得到函数的图像。
四、函数图像的性质函数图像在平面直角坐标系中呈现出不同的特征和性质。
我们可以通过观察图像找到函数的最大值、最小值、零点、增减性、凹凸性等关键信息来研究函数的性质。
平面直角坐标系为我们提供了一个直观的展示方式，有助于我们更好地理解和分析函数。
五、利用平面直角坐标系解决实际问题平面直角坐标系不仅在数学理论中有重要应用，在实际问题中也发挥着重要作用。
例如，在物理学中，我们可以通过绘制运动曲线来描述物体在平面上的运动轨迹；在经济学中，我们可以通过绘制需求曲线和供给曲线来研究市场的供求关系。
六、小结平面直角坐标系是一种重要的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。
它由x轴和y轴组成，通过坐标的有序数对来表示点的位置。
函数图像在平面直角坐标系中可以展现出不同的性质和特征，有助于我们研究函数的性质和解决实际问题。
通过学习和理解平面直角坐标系，我们能更好地掌握数学知识，并应用于实际生活中。
中考数学专题训练第8讲平面直角坐标系一次函数反比例函数(知识点梳理)
⑶实际问题：符合实际意义．
8.函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：
⑴列表.
⑵描点.
⑶连线．
9.函数解析式与函数图象的关系：
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上.
⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．
考点03一次函数
（3）函数关系式在书写时有顺序性．例如： 是表示 是 的函数，若写成 就表示 是 的函数．
（4）求 与 的函数关系时，必须是只用变量 的代数式表示 ，得到的等式右边只含 的代数式．
自变量的取值范围：
7.自变量取值范围：在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
10.用坐标表示地理位置：根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，一般地只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起。利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况，也就是绘制平面图的过程：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向.
3.一次函数的图象及其画法：
（1）一次函数 （ ， ， 为常数）的图象是一条直线．
（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．如果这个函数是正比例函数，通常取 ， 两点.如果这个函数是一般的一次函数（ ），通常取 ， ，即直线与两坐标轴的交点．
（3）反比例函数与一次函数的联系．
③解方程（组），得到待定系数的值.
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
8.一次函数与一元一次方程的关系：
平面直角坐标系与函数方程的关系
平面直角坐标系与函数方程的关系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的工具，用于描述平面上的点的位置。
而函数方程则是用来描述数学关系的方程。
本文将探讨平面直角坐标系与函数方程之间的关系，以及如何利用函数方程在平面直角坐标系中进行图像的表示与分析。
一、平面直角坐标系与坐标表示平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y 轴。
这两条坐标轴的交点被称为原点，用O表示。
x轴和y轴将平面分成四个象限，依次为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在平面直角坐标系中，每个点的位置可以通过两个坐标值来表示，分别是水平方向的x坐标和垂直方向的y坐标。
对于任意一个点P(x, y)，x表示该点到y轴的水平距离，正值表示在y轴右侧，负值表示在y轴左侧；y表示该点到x轴的垂直距离，正值表示在x轴上方，负值表示在x轴下方。
二、函数方程的概念与表示函数方程是用来描述自变量和因变量之间关系的方程。
在平面直角坐标系中，函数方程一般表示为y = f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量。
函数方程可以通过不同的数学表达式来表示，如线性函数、二次函数、指数函数等。
对于线性函数y = kx + b，k表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b表示截距，决定了函数图像与y轴的交点位置。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，a、b和c分别表示二次项、一次项和常数项的系数，决定了函数图像的开口方向、顶点位置以及与x轴的交点位置。
对于指数函数y = a^x，a表示底数，决定了函数图像的增长速度和开口方向。
三、函数方程与平面直角坐标系的关系在平面直角坐标系中，函数方程的图像可以直观地表示出来，有助于我们对函数关系进行分析和理解。
通过对函数方程中的自变量赋予不同的取值，可以得到对应的因变量值。
将这些点在平面直角坐标系中绘制出来，就可以得到函数的图像。
例如，对于线性函数y = 2x + 1，在平面直角坐标系中选择几个x值（如-2、0和2），代入函数方程求得对应的y值，然后将这些点连接起来，就得到了一条直线。
【初中数学】函数知识点归纳
初中函数知识点总结平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+）第二象限：（-，+）第三象限：（-，-）第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，y为零；y轴上的点，x为零；原点的坐标为（0 , 0）。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P（x,y）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
中考一轮复习--第9讲 平面直角坐标系与函数的概念
A.(-1,1) B.(3,1) C.(4,-4) D.(4,0)
解析:∵将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长
度,得到点B,
∴点B的横坐标为1-2=-1,纵坐标为-2+3=1,∴B的坐标为(-1,1).故
选A.
考法1
考法2
பைடு நூலகம்
考法3
对应练3(2019·安徽庐江期末)如图为正方形网格中的一片树叶,
点O是这两条数轴的原点,这样建立的两条数轴构成平面直角坐标
系.
考点梳理
自主测试
3.平面直角坐标系中点的坐标
各象限点
坐标的符
号特征
坐标轴上
点的坐标
特征
象限角平
分线上点
的坐标特
征
x 轴上的点的纵坐标为 0 ,y 轴上的点的横坐标为
0,原点的坐标为(0,0)
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等;第
二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反
答案:D
解析:∵点A(-3,0),点P(a,b),点B(m,n)为弦PA的中点,
-3+
0+
∴m= 2 ,n= 2 .
∴a=2m+3,b=2n.
又a,b满足等式:a2+b2=9,
∴(2m+3)2+4n2=9.故选D.
考法1
考法2
考法3
对应练1(2018·四川攀枝花)若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(a,1-b)在( D )
间的距离为|y2-y| .
考点梳理
自主测试
5.坐标系中的距离公式
(1)点P(a,b)到x轴的距离是|b|
(2)点P(a,b)到y轴的距离是|a|
平面直角坐标系与函数定义域
平面直角坐标系与函数定义域平面直角坐标系是数学中常用的坐标系，它由两个相互垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。
这种坐标系广泛应用于几何学、物理学和经济学等领域中。
在本文中，我们将重点探讨平面直角坐标系与函数定义域的关系及其应用。
在平面直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点，坐标轴上的点可以表示为(x, y)的形式，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
横坐标x表示一个点在x轴上的位置，纵坐标y表示一个点在y轴上的位置。
通过这种方式，我们可以唯一地确定平面上的每一个点。
函数是数学中常见的概念，它描述了一个变量如何根据另一个变量的取值而变化。
在平面直角坐标系中，函数可以用来描述一个曲线或者图形。
函数的定义域是指所有使函数有意义的输入值的集合。
在其他词语中，定义域是所有使得函数有定义的自变量的取值范围。
定义域可以被看作是函数在坐标轴上的投影。
通过观察函数的图形，我们可以确定定义域的范围。
例如，对于一条直线函数，其定义域为整个实数集；对于一个平方函数，其定义域为实数集；对于一个有理函数，其定义域可能需要排除使得分母为零的值等等。
理解函数的定义域对于解决实际问题非常重要。
在物理学中，函数的定义域可以告诉我们物体在时间和空间上的范围。
在经济学中，函数的定义域可以帮助我们找到一种最优化策略。
在计算机科学中，函数的定义域可以帮助我们优化算法的运行时间。
为了确定函数的定义域，我们需要考虑多个因素，包括函数的解析表达式、分数的定义以及根号中的参数。
对于多项式函数，定义域通常是整个实数集，因为多项式函数在整个实数范围内都有定义。
对于有理函数，我们需要注意分母不能为零。
对于根号函数，我们需要确保根号中的参数为非负数。
此外，我们还可以通过函数的图形来确定其定义域。
对于一个闭合曲线，其定义域通常是曲线所覆盖的区域。
对于一个开放曲线，其定义域通常是无限延伸的。
总的来说，了解平面直角坐标系与函数定义域的关系非常重要。
它可以帮助我们更好地理解函数的特性，并应用于解决各种实际问题。
平面直角坐标系的基本概念与应用
平面直角坐标系的基本概念与应用在数学中，平面直角坐标系是研究平面几何和代数的基础工具之一。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质，并探讨其在代数和几何中的应用。
一、平面直角坐标系的概念平面直角坐标系使用数轴上的实数，将平面上的每一个点都与一个有序数对（x，y）相对应。
这里，x轴上的数值表示点在水平方向上的位置，y轴上的数值表示点在垂直方向上的位置。
两个轴的交点称为原点，用O表示。
二、平面直角坐标系的性质1. 坐标轴相互垂直：x轴和y轴在原点处相交，且彼此垂直。
2. 坐标方向：x轴自原点向右延伸为正方向，向左延伸为负方向；y轴自原点向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
3. 轴的单位长度：x轴和y轴在同一张纸上通常有相同的单位长度，但在实际应用中可以根据需要进行调整。
4. 正负坐标：平面直角坐标系将平面上的每个点表示为(x，y)的形式。
若x为正值，表示点在x轴的正方向上；若x为负值，则表示点在x轴的负方向上。
同理，若y为正值，表示点在y轴的正方向上；若y为负值，则表示点在y轴的负方向上。
三、平面直角坐标系在代数中的应用平面直角坐标系在代数中有广泛的应用，尤其是在方程和函数的研究中。
1. 点的坐标：通过平面直角坐标系，我们可以将每个点表示为一个有序数对的形式。
这使得我们可以准确地描述点的位置，进行计算和推理。
2. 线段长度：利用坐标系上两点的坐标，可以计算出两点之间的距离，进而得到线段的长度。
这是平面几何中常见的计算问题。
3. 方程表示：平面直角坐标系可用于表示和解决方程。
通过将方程转化为坐标系上的图形，我们可以更直观地理解方程的性质和解的情况。
4. 函数图像：坐标系可以用于绘制函数的图像。
函数图像是将自变量的取值与函数值相对应的点所组成的集合，通过观察图像，我们可以研究函数的性质和变化趋势。
四、平面直角坐标系在几何中的应用平面直角坐标系在几何中也扮演着重要的角色，使得我们可以通过代数方法和几何方法相互转化，进而解决各种几何问题。
坐标系和一次函数知识点
位置的确定一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。
它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x （2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
平面直角坐标系与函数基础知识(共29题)(解析版)
平面直角坐标系与函数基础知识(29题)一、单选题1(2023·山东临沂·统考中考真题)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(-6,2)，则点B的坐标为()A.(6,2)B.(-6,-2)C.(2,6)D.(2,-6)【答案】A【分析】根据关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：点B的坐标为(6,2)；故选：A．【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键．2(2023·山西·统考中考真题)一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间的函数关系式为()A.y=12-0.5xB.y=12+0.5xC.y=10+0.5xD.y=0.5x【答案】B【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．【详解】解：由题意知：y=12+0.5x；故选：B．【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．3(2023·山西·统考中考真题)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P,Q,M均为正六边形的顶点．若点P,Q的坐标分别为-23,3,0,-3，则点M的坐标为()A.33,-2B.33,2C.2,-33D.-2,-33【答案】A【分析】连接PF，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M 的坐标．【详解】解：连接PF，如图，设正六边形的边长为a，∵∠ABC=120°，∴∠ABO=60°，∵∠AOB=90°，∴∠BAO=30°，∴OB=12a，OA=3a2，∴AC=CE=3a，OF=OB+BF=3a2，∵点P的坐标为-23,3，∴3a2=3，即a=2；∴OE=OC+CE=33a2=33，EM=2，∴点M的坐标为33,-2．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．4(2023·湖北武汉·统考中考真题)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L-1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10,O0,0，则△ABO内部的格点个数是()A.266B.270C.271D.285【答案】C【分析】首先根据题意画出图形，然后求出△ABO的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．【详解】如图所示，∵A0,30,O0,0，，B20,10∴S△ABO=1×30×20=300，2∵OA上有31个格点，OB上的格点有2,1，16,8，18,9，20,10，共10个格，14,7，4,2，6,3，12,6，8,4，10,5点，AB上的格点有1,29，8,22，7,23，9,21，10,20，，5,25，2,28，3,27，4,26，6,2411,19，18,12，19,11，17,13，共19个格点， ，13,17，12,18，16,14，15,15，16,14∴边界上的格点个数L=31+10+19=60，∵S=N+1L-1，2×60-1，∴300=N+12∴解得N=271．∴△ABO内部的格点个数是271．故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．5(2023·湖南郴州·统考中考真题)第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是()A.途中修车花了30minB.修车之前的平均速度是500m/minC.车修好后的平均速度是80m/minD.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【答案】D【分析】根据图象信息以及速度=路程÷时间的关系即可解决问题．【详解】解：由图象可知途中修车花了30-10=20min，修车之前的平均速度是6000÷10=600(m/min)，车修好后的平均速度是13200-6000÷38-30=900(m/min),∴900÷600=1.5故A、B、C错误，D正确．故选：D．【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键．6(2023·浙江杭州·统考中考真题)在直角坐标系中，把点A m,2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点B的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．【详解】解：∵点A m,2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，∴B m+1,2+3，，即B m+1,5∵点B的横坐标和纵坐标相等，∴m+1=5，∴m=4，故选：C．【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．7(2023·四川·统考中考真题)向高为10的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是()A. B.C. D.【答案】D【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，选出答案．【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v 随水深h 的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，那么从函数的图象上看，C 对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；A 、B 对应的图象中间没有变化，只有D 符合条件．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．8(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 各点坐标分别为A -2,1 ，B -1,3 ，C -4,4 ．先作△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1平移后得到△A 2B 2C 2．若B 22,1 ，则点A 2坐标为()A.1,5B.1,3C.5,3D.5,5【答案】B【分析】三点A -2,1 ，B -1,3 ，C -4,4 的对称点坐标为A 1-2,-1 ，B 1-1,-3 ，C -4,-4 ，结合B 22,1 ，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．【详解】∵三点A -2,1 ，B -1,3 ，C -4,4 的对称点坐标为A 1-2,-1 ，B 1-1,-3 ，C -4,-4 ，结合B 22,1 ，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，故A 2坐标为1,3 ．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．9(2023·山东聊城·统考中考真题)甲乙两地相距a 千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y (千米)与两人行驶时刻t (×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为()A.8:28B.8:30C.8:32D.8:35【答案】A【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．【详解】解：令小亮出发时对应的t 值为0，小莹出发时对应的t 值为10，则小亮到达乙地时对应的t 值为70，小莹到达甲地时对应的t 值为40，设小亮对应函数图象的解析式为y 1=k 1t ，将70,a代入解析式得a=70k1，解得k1=a 70，∴小亮对应函数图象的解析式为y1=a70t，设小莹对应函数图象的解析式为y2=k2t+b，将10,a，40,0代入解析式，得a=10k2+b 0=40k2+b ，解得k2=-a30b=43a ，∴小莹对应函数图象的解析式为y2=-a30t+43a，令y1=y2，得a70t=-a30t+43a，解得t=28，∴小亮与小莹相遇的时刻为8:28．故选A．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．10(2023·湖北·统考中考真题)如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y1(细实线)表示铁桶中水面高度，y2(粗实线)表示水池中水面高度(铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y1,y2随时间t变化的函数图象大致为()A. B.C. D.【答案】C【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【详解】解：根据图象知，t=t1时，铁桶注满了水，0≤t≤t1，y1是一条斜线段，t>t1，y1是一条水平线段，当t=t1时，长方体水池开始注入水；当t=t2时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当t=t3时，长方体水池满了水，∴y2开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，观察函数图象，选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．11(2023·贵州·统考中考真题)今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y (km )与所用时间x (h )之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是()A.小星家离黄果树景点的路程为50kmB.小星从家出发第1小时的平均速度为75km/hC.小星从家出发2小时离景点的路程为125kmD.小星从家到黄果树景点的时间共用了3h 【答案】D【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．【详解】解：x =0时，y =200，因此小星家离黄果树景点的路程为50km ，故A 选项错误，不合题意；x =1时，y =150，因此小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h ，故B 选项错误，不合题意；x =2时，y =75，因此小星从家出发2小时离景点的路程为75km ，故C 选项错误，不合题意；小明离家1小时后的行驶速度为150-752-1=75km/h ，从家出发2小时离景点的路程为75km ，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了3h ，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．12(2023·湖南怀化·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点P (2,-3)关于x 轴对称的点P 的坐标是()A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(2,3)【答案】D【分析】根据关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：点P (2,-3)关于x 轴对称的点P 的坐标是(2,3)，故选：D ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．13(2023·浙江温州·统考中考真题)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s 与时间t 的关系(部分数据)如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为()A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米【答案】B【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知x+y+z45=x+y+z-210010，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10-40=45(分钟)，小温游玩行走的时间为205-100=105(分钟)；设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：x+y+z45=x+y+z-210010，解得：x+y+z=2700，∴游玩行走的速度为2700-2100÷10=60(米/秒)，由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y=105×60=6300，∴x+y=2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800(米)；故选B．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．14(2023·浙江台州·统考中考真题)如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为-2,2，则“炮”所在位置的坐标为( )．A.3,1B.1,3C.4,1D.3,2【答案】A【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．【详解】解：∵“車”所在位留的坐标为-2,2，∴确定点O即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，∴“炮”所在位置的坐标为3,1．故选：A．【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．15(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平面直角坐标系中，将点m ,n 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是()A.m -2,n -1B.m -2,n +1C.m +2,n -1D.m +2,n +1【答案】D【分析】把m ,n 横坐标加2，纵坐标加1即可得出结果．【详解】解：将点m ,n 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是m +2,n +1 ．故选：D ．【点睛】本题考查点的平移中坐标的变换，把a ,b 向上(或向下)平移h 个单位，对应的纵坐标加上(或减去)h ，，把a ,b 向右上(或向左)平移n 个单位，对应的横坐标加上(或减去)n ．掌握平移规律是解题的关键．16(2023·江苏扬州·统考中考真题)函数y =1x 2的大致图像是()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项．【详解】解：函数y =1x2自变量x 的取值范围为x ≠0．对于B 、C ，函数图像可以取到x =0的点，不符合题意；对于D ，函数图像只有x >0的部分，没有x <0的部分，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除．17(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，两个灯笼的位置A ,B 的坐标分别是-3,3 ,1,2 ，将点B 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B ，则关于点A ,B 的位置描述正确是()A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点O 对称D.关于直线y =x 对称【答案】B【分析】先根据平移方式求出B 3，3，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．【详解】解：∵将B1,2向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B ，∴B 3，3，∵A-3,3，∴点A,B 关于y轴对称，故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-平移和轴对称，正确根据平移方式求出B 3，3是解题的关键．18(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，故选：D．【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．19(2023·浙江·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点P-1,m2+1位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【分析】根据P点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限．【详解】解：∵P-1,m2+1，∴-1<0，m2+1≥1，∴满足第二象限的条件．故选：B．【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点．二、填空题20(2023·山东枣庄·统考中考真题)银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为(-3,2),(4,3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为．【答案】-3,1【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．【详解】解：∵B，C的坐标分别为(-3,2),(4,3)，∴坐标系的位置如图所示：∴点A的坐标为：-1,-3，连接OA，将OA绕点O顺时针旋转90°后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为-3,1；故答案为：-3,1【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．21(2023·天津·统考中考真题)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点2,m，则m的值为．【答案】5【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点2,m代入即可求得m的值．【详解】解：∵直线y=x向上平移3个单位长度，∴平移后的直线解析式为：y=x+3．∵平移后经过2,m，∴m=2+3=5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．22(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的三个顶点坐标分别为A 6,3 ,B 6,0 ,O 0,0 ．若将△ABO 向左平移3个单位长度得到△CDE ，则点A 的对应点C 的坐标是．【答案】3,3【分析】根据平移的性质即可得出答案．【详解】将△ABO 向左平移3个单位长度得到△CDE ，∵A 6,3 ，∴C 3,3 ，故答案为：3,3 ．【点睛】本题考查平移的性质，熟知左右平移纵坐标不变是解题的关键．23(2023·湖北武汉·统考中考真题)我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s (单位：步)关于善行者的行走时间t 的函数图象，则两图象交点P 的纵坐标是．【答案】250【分析】设图象交点P 的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：设图象交点P 的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35．∴m -100m =35，解得m =250，经检验m =250是方程的根且符合题意，∴两图象交点P 的纵坐标是250．故答案为：250【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．24(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB C 的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C 的坐标为．(结果用含a，b的式子表示)【答案】(6-2a,-2b)【分析】过点C,C 分别作x轴的垂线CD,C D 垂足分别为D,D ，根据题意得出AD =2AD，则AD=a-2,CD=b，得出D 2-2a+4,0，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C,C 分别作x轴的垂线CD,C D 垂足分别为D,D ，∵△ABC与△AB C 的相似比为1∶2，点A是位似中心，A(2,0)∴AD =2AD∵C(a,b)，∴AD=a-2,CD=b,∴A D=2a-4,C D =2b，∴D 2-2a+4,0∴C (6-2a,-2b)故答案为：(6-2a,-2b)．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．25(2023·山东东营·统考中考真题)如图，一束光线从点A-2,5反射出发，经过y轴上的点B0,1后经过点C m,n，则2m-n的值是．【答案】-1【分析】如图，过点A作AG⊥y轴，点C作CF⊥y轴，垂足分别为G，F，可证△AGB∼△CFB，得比例线段BF CF =BGAG ，由A -2,5 ，B 0,1 得线段长度AG =2，BG =4，代入比例线段求解．【详解】如图，过点A 作AG ⊥y 轴，点C 作CF ⊥y 轴，垂足分别为G ，F由题意知，∠ABG =∠CBF ，∠AGB =∠CFB ∴△AGB ∼△CFB ∴BF CF =BG AG ∵A -2,5 ，B 0,1 ∴AG =2，BG =5-1=4∴BF CF =BG AG =2∴BF CF=1-n -m =2∴2m -n =-1故答案为：-1【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键．26(2023·贵州·统考中考真题)如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是-2,7 ，则龙洞堡机场的坐标是．【答案】9,-4【分析】根据题意，一个方格代表一个单位，在方格中数出洞堡机场与喷水池的水平距离和垂直距离，再根据洞堡机场在平面直角坐标系的第三象限即可求解．【详解】解：如图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，∵若贵阳北站的坐标是-2,7，∴方格中一个小格代表一个单位，∵洞堡机场与喷水池的水平距离又9个单位长度，与喷水池的垂直距离又4个单位长度，且在平面直角坐标系的第三象限，∴龙洞堡机场的坐标是9,-4，故答案为：9,-4．【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键．27(2023·湖南·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点P-3,-2所在象限是第象限．【答案】三【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：P-3,-2的横坐标为负数，纵坐标为负数，∴P-3,-2在第三象限，故答案为：三．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)．28(2023·江苏连云港·统考中考真题)画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、⋯、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A6,60°，则点D的坐标可以表示为．、B5,180°、C4,330°【答案】3,150°【分析】根据题意，可得D在第三个圆上，OD与正半轴的角度150°，进而即可求解．【详解】解：根据图形可得D在第三个圆上，OD与正半轴的角度150°，∴点D的坐标可以表示为3,150°故答案为：3,150°．【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．29(2023·四川成都·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，点P5,-1关于y轴对称的点的坐标是．【答案】-5,-1【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点P5,-1，关于y轴对称的点的坐标是-5,-1故答案为：-5,-1.【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．。
平面直角坐标系与函数像的关系
平面直角坐标系与函数像的关系直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，我们可以利用它来描述平面上的各种几何图形和数学函数。
在这种坐标系中，平面被划分为四个象限，每个象限由两个互相垂直的轴，即x轴和y轴所确定。
x轴和y轴的交点称为原点，它的坐标为(0, 0)。
在直角坐标系中，我们可以通过给定的x坐标和y坐标，来确定平面上的一个点。
这个点的坐标表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
通过这种表示方式，我们可以利用直角坐标系方便地进行平面几何运算和函数分析。
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个数集之间的一种关系。
在直角坐标系中，我们可以将函数表示为一条曲线，这条曲线上的每个点都满足函数的定义。
函数的自变量通常表示为x，因变量表示为y，即y = f(x)。
在直角坐标系中，这个函数图像可以看作是平面上的一个图形。
函数的图像在直角坐标系中呈现出各种不同的形状，如直线、曲线、抛物线等。
通过观察这些图像，我们可以得到函数的性质和行为。
例如，当函数图像是一条直线时，函数呈现线性关系，即y与x成正比或反比。
而当函数图像是一条曲线时，函数可能表现出增长或衰减的趋势，或者存在极值点和拐点等。
函数图像在直角坐标系中的属性还包括对称性和周期性。
对称性是指函数图像在某个中心对称轴上呈现对称的特点，例如关于x轴对称、y轴对称或者原点对称。
周期性是指函数图像呈现出一定规律的重复性，即函数在某个区间内的数值与另一个区间内的数值相同。
直角坐标系也为我们提供了一种便利的方式来研究函数的变化趋势和数值特征。
通过观察函数图像在直角坐标系中的行为，我们可以判断函数的增减性、最值、零点以及一些其他的特征。
这些特征对于我们理解函数的性质和应用具有重要意义。
在数学和物理等领域，直角坐标系与函数的关系具有广泛的应用。
例如，我们可以利用直角坐标系来分析物体的运动轨迹、计算物体的速度和加速度，从而更好地理解运动规律。
此外，直角坐标系也为计算机图形学等领域提供了重要的基础，使得我们可以实现平面上的各种图形显示和处理。
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分类训练8、平面直角坐标系及函数的基础知识
一、选择题
1、如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1 ，2）、D （2 ，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为（5 ，0），则点A 的坐标为（ ）
A 、（2 ，5）
B 、（2.5 ，5）
C 、（3 ，5）
D 、（ 3 ，6）
第1题
2、设二次函数y=（x －3）2－4图象的对称轴为直线L 。
若点M 在直线L 上，则点M 的坐标可能是（ ）
A 、（1 ，0）
B 、（3 ，0）
C 、（－3 ，0）
D 、（0 ，－4）
3、在平面直角坐标系中，已知点A （－4 ，2），B （－6 ，－4），以原点O 为位似中心，相似比为2
1，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ＇的坐标是（ ） A 、（－2 ，1） B 、（－8 ，4）
C 、（－8 ，4）或（8 ，－4）
D 、（－2 ，1）或（2 ，－1）
4、一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ， OC 组成。
为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器。
设寻宝者行 进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函 数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A 、A →O →
B B 、B →A →
C C 、B →O →C
D 、C →B →O
第4题 第6题
5、函数y=21
x ＋x －2的自变量x 的取值范围是（ ）
A 、x ≥2
B 、x ＞2
C 、x ≠2
D 、x ≤2
6、如图是本地区一种产品（航天币）30天的销售图象，图①是产品日销售量y （单位：件） 与时间t （单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单 位：天）的函数关系。
已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的 是（ ）
A 、第24天的销售量为200件
B 、第10天销售一件产品的利润是15元
C 、第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D 、第30天的日销售利润是750元
7、在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（）
A、甲的速度随时间的增加而增大
B、乙的平均速度比甲的平均速度大
C、在起跑后第180秒时，两人相遇
D、在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
第7题第8题8、甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车（驾照12分已经扣光）从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止。
设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半。
其中，正确结论的个数是（）
A、4
B、3
C、2
D、1
二、填空题
9、如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元。
（土豪可以不做此题）
第9题第10题
10、如图，正方形ABCD与正方形A
1B
1
C
1
D
1
关于某点中心对称。
已知A，D
1
，D三点的
坐标分别是（0 ，4），（0 ，3 ），（0 ，2）。
（1）、求对称中心的坐标；
（2）、写出顶点B、C、B
1、C
1
的坐标。
三、解答题
1、“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车（上海永久牌28款）上下班。
隔壁老王某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v（米/分钟）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段OA、AB和BC组成。
设线段OC上有一动点T（t，0），直线L左侧部分的面积即为t分钟内老王行进的路程s（米）。
（1）、①当t=2分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米；
②当t=15分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米。
（2）、当0≤t≤3和3＜t≤15时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式；（3）、求老王该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t。