概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望

32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2

a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:


f ( xi )xi

x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论


绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )


xf X ( x )dx

yfY
( y )dy




xf ( x , y )dxdy,


yf ( x, y )dxdy.
它们的分布律分别为
X1
pk
0 0 1 2 0.2 0.8
X2 0 1 2 pk 0.6 0.3 0.1
解：我们先来算 X 1 和 X 2 的数学期望，
E ( X 1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分） E ( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分）
概率论
2) 指数分布 E(λ)
e x f ( x) 0
x0 x0
x
E( X )

0
x e
dx 0 xde
0

x
xe
x 0

e
x
dx
1

3) 正态分布 N(, 2)
X ~ f ( x) 1 2
概率论
x y , 0 x 1, 0 y 1, 例5: 设(X, Y)的联合密度为: f ( x , y ) 其它. 0, 求 E(X).
解:
E( X )



xf ( x, y )dxdy
dx
0
1
1 0
7 x( x y )dy 12
阴影面积近似为
概率论
f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)

xi 1
xi
f ( x )dx f ( xi )( xi 1 xi ) f ( xi )xi
由于xi与xi+1很接近,
概率论
所以区间 [xi, xi+1) 中的值可以用 xi 来近似代替.
因此 X 与以概率 f ( xi )xi 取值 xi 的离散型r.v. 近似, 该离散型r.v. 的数学期望是:
概率论
3)泊松分布
X ~ P{ X k }
E( X ) k
k 0
k
k!
e , k 0, 1, 2, ...

k
k!
e e
k 1
k 1
( k 1)!
.
例3: 按规定, 某车站每天8:00~9:00和 9:00~10:00 都恰有一辆客车到站,
例2: 几个重要的离散型 r.v.的期望 1)0-1分布 b(1, p) 的数学期望 X 1 0 E(X) = p P p 1 p 2) 二项分布 b(n, p) 的数学期望 k P{ X k } C n p k (1 p)n k k 0,1, ...n
n! k E( X ) k p k (1 p)n k !( n k )! kpk
3 6
2 6
1 1 6 6
1 3 6 6
1 2 6 6
1 3 上表中例如 : P{ X 70} P( AB) P( A) P( B) 6 6 其中A为事件" 第一班车8 : 10到站" ,
B为事件" 第二班车9 : 30到站". 候车时间X的数学期望为 :
E ( Z ) E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
j 1 i 1
这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛 .
例6 设风速V 在(0, a)上服从均匀分布,即具有概率密度:
概率论
1 , 0 v a, f (v ) a 0, 其它,
概率论
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布, 一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数) (1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,
( k 1,2,), 若 g( xk ) pk 绝对收敛，则有
k 1

(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f(x), 若
3 2 1 3 2 E ( X ) 10 30 50 70 90 27.22分 6 6 36 36 36
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量, 其密度函数为f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 < x1< x2< …, 则X落在小区间 [xi, xi+1) 的概率是:
(1) 若( X , Y )是二维连续型, 概率密度为f ( x , y ), 则有:

E ( Z ) E[ g( X ,Y )]

g( x, y ) f ( x, y )dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型, 概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij ( i , j 1, 2,)则有:
解：（1）

概率论

f ( x , y )dxdy
/2
/2
0
dy
/2
0
A sin( x y )dx 1 得A ，
1 2
（2）E X） （
E ( XY )
0

/2
0
1 x sin( x y )dxdy 2 4

概率论
第四章 随机变量的数字特征
第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差与相关系数 第四节 矩 协方差矩阵
概率论
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
二维随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
概率论
如果知道了随机变量 X 的概率分布,那么 X 的全 部概率特征也就知道了. 然而,在实际问题中,概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一 切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了, 例如分布的中心位置、分散程度等等. 因此,在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是 重要的.在这些数字特征中,最常用的是: 数学期望、方差、协方差和相关系数

xyf ( x , y )dxdy
0 0
/ 2 / 2
1 xy sin( x y )dxdy 1 2 2
五、数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
四、随机变量的函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布, 我们需要计算的是X的某个函数 g(X)的期望, 那么应该如何计算呢？ 一种方法是, 因为 g(X) 也是随机变量, 它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了 g(X) 的分布, 就可以按照期望的定义把 E[g(X)] 计算出来.
概率论
出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,
n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
可以得到n天中每天的平均废品数为:
n0 n1 n2 n3 0 1 2 3 n n n n
这是以频率为权的加权平均
当N很大时, 频率接近于概率, 所以我们在求废品数 X 的平均值时, 用概率代替频率, 得平均值为:
k 1


的和为随机变量X的数学期望, 记为 E(X), (expectation or mean) 即: E ( X ) xk pk
k 1
请注意: 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 数学期望简称期望, 又称为均值。
概率论
例1: 甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为X 1 , X 2 ,


g( x ) f ( x )dx绝对收敛，则有

E (Y ) E[ g( X )]

g( x ) f ( x )dx
3. 上述定理还可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
概率论