导学案12.4椭圆的性质(2)
高中数学椭圆的性质教案
高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。
2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。
三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。
2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。
四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。
五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。
教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。
同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。
《2.1.2椭圆的几何性质(2)》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《2.1.2椭圆的几何性质(2)》导学案
学习目标：
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
自主学习：
复习1：椭圆22
11612
x y +=的 焦点坐标是( )( ) ；长轴长_________、短轴长_______；离心率_______． 合作探究:
例1：比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴22
936x y +=与22
11612x y +=； ⑵22
936x y +=与22
1610x y +=． 结论：离心率c e a
=的大小是怎么样来刻画椭圆的扁平程度的？ 例2：点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．
小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆． 目标检测:
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点(P -，Q ；
⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；
⑶焦距是8，离心率等于0.8．
2．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ______________．
3．已知点P 是椭圆22
154
x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．。
椭圆的简单几何性质(二)导学案
2017级人教版数学选修2-1 编号：14 编制时间： 2018/10/11 编制人:2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质 .2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1，2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系.思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系？梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离. (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长.请推导一下弦长公式:(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1已知点P (k ，1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为________.跟踪训练1 已知点(3，2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则( )A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3，2)在椭圆上D.以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 (1) 判断直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围.跟踪训练2(1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63B.－63C.±63D.±33类型二 弦长及中点问题例3、已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2，1)，求直线AB 的方程.引申探究在本例中求弦AB 的长.跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k 2x 1－x 22＝1＋k 2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋1k2y 1－y 22＝1＋1k2· y 1＋y 22－4y 1y 2(k 为直线斜率).(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况. 2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 0－x 2a 2＋y 0－y 2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程.特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.。
导学案—椭圆的简单几何性质2
§ 2.2.2椭圆的简单几何性质(第2课时导学案)学习目标1 •掌握椭圆的范围、对称性、离心率等几何性质.2 •会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形，能根据几何性质解决一些简单问题.3 •掌握直线和椭圆位置关系的相关知识.学习重难点1.重点是椭圆的简单几何性质；2难点是椭圆性质的综合应用.【预习提纲】问题1 ：离心率e的取值范围：______ , e越接近1,则 ____ 越接近a，从而b=Ja2-c2越___ ，椭圆越_____ ;反之，e越接近0,则越接近a ,椭圆越接近于____________ ；当且仅当___ 时，c= ______ ，这时两个焦点_______ 椭圆就变为________ ，方程即为________-2 2问题2:直线丨：八kx • m，椭圆C :笃芯=1(a>0,b>0)联立解方程组，消去y(或x)得a b到一元二次方程，其判别式记为.：.(1)如何判断直线与椭圆的位置关系？当△> 0时，直线与椭圆___;当△ =0时，直线与椭圆___;当A V 0时，直线与椭圆___(2)如果直线与椭圆相交于 A ( x n y1 )，B ( X2,y2)两点，那么怎样计算弦长|AB|?弦长公式为：|AB|= 1 k2|為-x2 | = ______________________或者|AB|= j 12 | y^ y21 = ____________________ .\ k【预习检测】问题1:椭圆X24y2 =1的离心率为()D.1问题2:椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0, 13,)另一个顶点是(-10 , 0), 则焦点坐标是()2 2C : X7=1(a>0,b>0)的离心率为——，其中左焦点为F (- 2 , 0)a b 2C的方程；y二x m与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点M在圆问题4:已知椭圆 (1) 求椭圆(2) 若直线A. ( -13 , 0)B. (0, -10 )C. (0, _ 13 )D. (0, _ 一 69)问题3:已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为』，且过点P (- 5 , 4),则5椭圆的方程为x 2 y 2 =1 上, 求m 的值.I 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点. 【例题分析】2例1•已知斜率为1的直线I 过椭圆— y 2 =1的右焦点，且交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 4的长.2 2例2.已知椭圆36+ 9 = 1和点P(4,2)，直线 当直线I 的斜率为J 时，求线段AB 的长度; 当堂检测2y_ m 1=1的离心率为，贝U m 等于2 x i .若焦点在x 轴上的椭圆2+3 8 B.2 C.32 2.在一椭圆中，以焦点 F i 、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两个端点，则此椭圆的离心率 于（ ） A .2 B .# 打2 23.直线y = x + 1被椭圆〒+号=1所截得的弦的中点坐标是（） 2 5 4 7 2 1 A .（3，3） B . （3，3） C . （- 3，3） 13 17 D . (— "2，-_2)4.椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 .5,则此椭圆的标准方程是 【拓展提升】1. 椭圆 3x 2+2y 2=1 的焦点坐标是（）A. （0,-工6 ）, （0,兰6 ） B. （0, -1）,6 6恵 46 、 C. （ -1, 0）, （1, 0） D. （― , 0）, （ , 0） 6 6 2. 已知4x 2+v 2 =4，则y 的最大值为x+22 23. 过椭圆 笃-爲=1（a > 0,b > 0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于 A 、B 两点， a b焦点，若 ABF 2是正三角形，求椭圆的离心率. (0, 1) F 2为右 【小结反思】。
椭圆的几何性质2导学案
高中数学选修1-1学案课题：椭圆的几何性质二一、学习目标：1.进一步掌握椭圆的基本几何性质；2.会根据椭圆的几何性质解决有关的问题；3.掌握椭圆离心率的求法。
4.体会椭圆与直线位置关系问题的常规解决办法.教学重点：根据椭圆的几何性质解决有关的问题.教学难点：体会椭圆与直线位置关系问题的常规解决办法.二、温习旧知1.求椭圆192522=+y x 的顶点坐标，离心率，焦点坐标，长轴长，短轴长.2.椭圆）（012222>>=+b a by a x 的离心率的取值范围是 . 三、自主学习请同学们分组讨论，解决下列问题：1.直线与椭圆的位置关系有哪些？如何判断？2.求直线y=x 与椭圆191822=+y x 的交点坐标.四、合作探究例1.点M （x,y)与定点F （4，0）的距离和它到直线425:=x l 的距离比是常数54，求点M 的轨迹.例2.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.(1)求椭圆的离心率.（2）若椭圆的一个焦点与长轴上较近顶点的距离为510-，求椭圆的方程,五、课堂检测1.过椭圆）（012222>>=+b a by a x 的焦点作与长轴垂直的直线，直线被椭圆截得的线段长 为 .2.若椭圆的焦距等于长轴的一个端点到短轴的一个端点之间的距离，则椭圆的离心率为 .3、当m 取何值直线l : y ＝x ＋m 与椭圆22916144x y +=相切.六、课堂小结：（可引导学生归纳总结本堂课学习的知识、方法和易错处）七、补充适合班级学情的教学内容：八、课后反思：九、课外作业：1.长轴长为20，离心率为0.6的椭圆标准方程为 .2．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________. 3.已知椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，若0222=--c ac a ，则椭圆的离心率为 . 4.已知椭圆16410022=+y x 的两个焦点分别为21F F 、,经过1F 的直线与椭圆交于A,B 两点，则△2ABF 的周长为 .5.点P 与定点F(2，0)的距离和它到定直线x=8的距离比是21，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.6.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨迹是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点距太阳中心P 千米，远日点距太阳中心5P 千米，且近日点、远日点、太阳中心在同一条直线上，求轨迹方程.。
高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案
2.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□01x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)□02y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围□03－a≤x≤a且－b≤y≤b□04－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点□05A(±a,0)，B(0，±b)□06A(0，±a)，B(±b,0)轴长短轴长＝□072b，长轴长＝□082a焦点□09(±c,0)□10(0，±c)焦距|F1F2|＝□112c对称性对称轴□12x轴、y轴，对称中心□13(0,0)离心率e＝□14c a(0<e<1)1．椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ca＝|OF2||F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.2．椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝2c2a＝ca.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.3．利用方程研究曲线对称性的方法若把曲线方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称；若把曲线方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．4．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(2)椭圆x24＋y29＝1的离心率e＝________.(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案(1)(0,2)，(0，－2)(2)53(3)[－5,5]探究1 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.∴椭圆焦点在x 轴上．∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．【跟踪训练1】 (1)求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；解 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)． (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程． ①长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； ②离心率e ＝35，焦距为12.解 ①若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.②由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－12舍去.故选B.[答案] B[解法探究] 例2有没有其他解法呢？ 解 如图，由题意得在椭圆中，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b ，BF ＝a .在Rt △OFB 中，|OF |·|OB |＝|BF |·|OD |，即c ·b ＝a ·12b ，解得c a ＝12，所以椭圆的离心率e ＝12.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22答案 C解析 设P (m ，n )，PF 1→·PF 2→＝c 2＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2，∴m 2＋n 2＝2c 2,2c 2－m 2＝n 2①，把P (m ，n )代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1得b 2m 2＋a 2n 2＝a 2b 2②，把①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，∴b 2≤2c 2，∴a 2≤3c 2，∴e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2，∴a 2≥2c 2，∴e ＝c a ≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故选C.(2)已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 解法一：由已知可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，∵PF 1⊥F 1A ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 1－c 2a 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.解法二：由解法一知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ，∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.探究3 直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.[解] (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0， ① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)， 由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22或C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－2，22，所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)，又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.拓展提升1.利用设而不求的方法解决直线与椭圆位置关系问题的解题步骤 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (2)联立直线与椭圆的方程．(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程． (4)利用根与系数的关系设而不求．(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解． 2．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．【跟踪训练3】 (1)在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(ⅰ)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (ⅱ)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(ⅱ)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(ⅰ)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .探究4 椭圆的中点弦问题例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[解] 解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，(*) 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是(*)方程的两个根， ∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2.解得k ＝－12，且满足Δ>0. ∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A (x ，y )，另一交点为B (4－x,2－y )，∵A ，B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16.②①－②得x ＋2y －4＝0，则A ，B 在直线x ＋2y －4＝0上，而过A ，B 的直线只有一条，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 拓展提升解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关．与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活．【跟踪训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证法一：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)8＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)8(y 1＋y 2)＝－12·x My M .又k OM ＝y M x M，∴k AB ·k OM ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．1.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法；(2)方程法.2.判断直线与椭圆的位置关系的方法3.求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解. 4.两个特殊结论(1)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径. (2)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 5.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法. (2)点差法. (3)共线法.1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357 B ．14,4，357 C ．7,2，57 D ．14,4，－57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝35，则2a ＝14,2b ＝4，e ＝c a ＝357.故选B.2．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1 答案 A解析 由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2.3．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13 答案 B解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴233c ＋433c ＝2a ，得e ＝c a ＝33.4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13，所以中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.5．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同 D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.2．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1答案 C解析 设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，则由题意得|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.3．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 答案 C解析 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( )A.32B. 3C.72 D ．4 答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0知MF 1⊥MF 2，∴椭圆上的点均满足∠F 1MF 2<90°，∴只需F 1，F 2与短轴端点形成的角为锐角，所以c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，解得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能 答案 A解析 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2.二、填空题7．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由题意可知a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，又焦点在x 轴上，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，O (0,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 和B ，右焦点为F .若|AF |，|AB |,3|BF |成等比数列，则该椭圆的离心率为________．答案3－52解析 ∵|AF |＝a －c ，|AB |＝a 2＋b 2，3|BF |＝3a ，∴由|AF |·3|BF |＝|AB |2得，a 2＋b 2＝3a (a －c )， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2－3ac ＋a 2＝0，则e 2－3e ＋1＝0，解得e ＝3－52或e ＝3＋52(舍去)．三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝13，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝c a ＝13，∴a ＝3c .∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9c 2－c 2＝8c 2. 又∵M (c,4)在椭圆上，∴c 29c 2＋168c 2＝1， 解之得c 2＝94， ∴a 2＝814，b 2＝18， ∴所求椭圆的方程为x 2814＋y 218＝1.B 级：能力提升练1．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解 解法一：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎨⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.设弦两端点横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， 即a 2＝3b 2.②由①②得a 2＝75，b 2＝25，此时Δ>0. ∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.解法二：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线y ＝3x －2与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1， ①y 22a 2＋x 22b 2＝1.②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)a 2＝－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)b 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝a 2(x 1＋x 2)－b 2(y 1＋y 2)＝－a 2(x 1＋x 2)b 2(y 1＋y 2). ∵k AB ＝3，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝12，y 0＝－12， ∴3＝－a 2b 22×122×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a 2b 2，即a 2＝3b 2.又a 2－b 2＝(52)2＝50， ∴a 2＝75，b 2＝25， ∴椭圆方程为y 275＋x 225＝1.数学•选修1－12．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝a 2－c 2＝32a ＝5 3.。
椭圆的性质教学设计
椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计【1】（一）指导思想与理论依据1、本节课的设计力图体现“教师为主导,学生为主体”的教学思想。
在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。
2、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“实验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
3、数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。
针对这节课的内容：教师提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。
在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。
这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。
另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。
（二）教学背景分析A、学情分析 1、能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
2、认知分析①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤;②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解;③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。
3、情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。
B、教材分析在教材处理上，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；②难点：椭圆的标准方程的推导，辨析椭圆标准方程。
椭圆导学案(附答案)
课题：曲线与方程撰写人：王铁明 审稿人：唐新阳【学习目标】一、课程标准1．使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，理解“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念．2．使学生掌握证明已知曲线C 的方程是f(x,y)=0的方法和步骤．3．通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生推理能力、数学交流能力、探索能力，渗透“数形结合”的思想方法，提高学生的逻辑思维能力． 二、重点难点教学重点：对“曲线的方程”、“方程的曲线”定义中两个条件的理解． 教学难点：“曲线的方程”、“方程的曲线”间的对应关系． 使用说明本导学案1课时； 【知识导学】导学一：曲线与方程曲线与方程的概念是建立数形结合关系形成解析几何基本方 法的出发点，其主要内容是曲线与方程的关系。
在平面直角坐标系中，如果一条曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
定义的实质是平面曲线的点集{})(|M P M 和方程0),(=y x f 的解集之间的一一对应关系，导学二：曲线的对称性在曲线方程里，如果以y -代y 方程不变，那么当点),(y x P 在曲线上时，它关于x 轴的对称点),(/y x P -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理如果以x -代x 方程不变，那么曲线关于y 轴对称，如果以x -代x ，以y -代y 方程不变，那么曲线关于原点对称。
点M按某种规律运动（几何意义）曲线C坐标（x,y ）x,y 的制约条件 （代数意义）方程0),(=y x f导学三：已知方程画曲线（1）对于这类问题，往往要把方程进行同解变形，注意方程的附加条件和y x 、的允许值的取值范围，有时要把它看作)(x f y =的函数关系，利用作函数图象的方法画出图形；（2）对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符； （3）注意方程的隐含的对称性，并充分予以运用从而减少描点量；（4）解决此类问题要充分依据已知曲线方程的特点，而对于较复杂的方程形式，一般先考虑化简再描点作图，且在化简过程中尽量保持同解变形，以保证轨迹曲线的纯粹性。
椭圆的简单几何性质(二)导学案
椭圆的简单几何性质(二)导学案【学习要求】1．理解直线与椭圆的位置关系.2．能解决简单的与椭圆有关的综合问题.【学法指导】用直线和椭圆的方程研究直线和椭圆的位置关系，将图形之间的关系问题转化为方程组解的问题是典型的数形结合思想.【知识要点】1．点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔ ； 点P 在椭圆内部⇔ ； 点P 在椭圆外部⇔ .2．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y2b 2＝1，消去y 得到一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，则有3．弦长公式设直线方程y ＝kx ＋m ，椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0).直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.【问题探究】探究点一 直线与椭圆的位置关系问题1 已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？问题2 直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来判断？例1 已知椭圆x 225＋y 29＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？问题3 如何求最大距离？跟踪训练1 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离.探究点二 直线与椭圆的相交弦问题问题 直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.（1）当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；（2）当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.跟踪训练2 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程，并求弦AB 的长.探究点三 椭圆中的最值(或范围)问题问题 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.跟踪训练3 在本例中，设直线与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.【当堂检测】1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是 ( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠53．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的线段的中点坐标是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫23，53B ．⎝⎛⎭⎫43，73C ．⎝⎛⎭⎫－23，13 D ．⎝⎛⎭⎫－132，－172 4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________【课堂小结】解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 （1）设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； （2）联立直线与椭圆的方程；（3）消元得到关于x 或y 的一元二次方程； （4）利用根与系数的关系设而不求； （5）把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.【拓展提高】1．若),(y x P 在椭圆116922=+y x 上，则y x +的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．椭圆2214x y +=两焦点为21F F 、，点P 在椭圆上，则21PF PF ⋅的最大值为_____，最小值为_____ 3．椭圆2212516x y +=两焦点为21F F 、，)1,3(A 点P 在椭圆上，则PA PF +1的最大值为____ _， 最小值为_____ 4．设A (－2, 3)，椭圆3x 2＋4y 2=48的右焦点是F ，点P 在椭圆上移动，当|AP |＋2|PF |取最小值时P 点的坐标是( )A ．(0, 23)B ．(0, －23)C ．(23, 3)D ．(－23, 3)5．过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
椭圆及简单几何性质导学案
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．学习过程一、课前准备复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？典型例题例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例 2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．练一练练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．当堂检测1．若椭圆2215x ym+=的离心率105e=，则m的值是（）．A．3 B．3或253C ．15D ．15或51532．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F，2(3,0)F，则其离心率为（）．A．34B．23C．12D．143．短轴长为5，离心率23e=的椭圆两焦点为12,F F，过1F作直线交椭圆于,A B两点，则2ABF∆的周长为（）．A．3 B．6 C．12 D．244．已知点P是椭圆22154x y+=上的一点，且以点P及焦点12,F F为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y+=与2211612x y+=；⑵22936x y+=与221610x y+=．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(22,0)P-，(0,5)Q；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P；⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 学习过程 一、课前准备复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？典型例题例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．例2 已知椭圆221259x y +=，直线l ：45400x y -+=。
椭圆的简单几何性质导学案
椭圆的简单几何性质导学案（复习课）教学目标：1.深入了解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。
2.掌握a、b、c几何意义以及a、b、c、e 的相互关系。
3.能利用椭圆的有关知识解释实际问题。
4.贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质。
教学重、难点：重点：椭圆的简单几何性质。
难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的综合问题。
椭圆的标准方程及其几何性质：常见题型一:椭圆几何性质的简单应用例1 已知椭圆方程为16x 2+25y 2=400,它的长轴长是： 。
短轴长是：焦距是 。
离心率等于： 。
焦点坐标是： 。
顶点坐标是： 。
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点，且离心率为 55 ；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点A （2，0）；练习：(1) 在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6，求椭圆的标准方程；(2) 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4，短轴长为8，求椭圆的标准方程。
常见题型二：有关椭圆的离心率例3（1）已知椭圆C: 14222=+y a x 的一个焦点（2,0），求椭圆的离心率。
（2）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，求椭圆的离心率.练习：1、若椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．2. (13四川)从椭圆 22221(0)x y a b a b +=>>上一点Ｐ向ｘ轴作垂线，垂足恰为左焦点，A 是椭圆与ｘ轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与ｙ轴正半轴的交点，且 //AB OP ，Ｏ是坐标原点，则该椭圆离心率是（ ）Ａ．4 Ｂ． 12Ｃ．2 Ｄ.2目标测试：1. 椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e= 32，长轴长为6，则椭圆的方程为（ ）A. 1203622=+y xB.15922=+y xC.15922=+y x 或15922=+x yD.1203622=+x y 或1203622=+y x2.椭圆 12222=+b y a x 和 k b y a x =+2222 （k>0）具有（ ）A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率思考： 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。
高中数学-椭圆的几何性质(-)导学案doc
质？
问题 3 观察不同的椭圆， 椭圆的扁平程度不一样， 怎样刻画椭圆 的扁平程度呢？
结论 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 ca称为椭圆的离心率，用 e
表示，即
e＝
c a.
e 越接近于 1，椭圆越扁； e 越接近于 0，椭圆越接近于圆 .
问题 4 (1)ba或 bc的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
对称性
对称轴：
对称中心：
离心率
e＝ ac∈
2.离心率的作用 . 当椭圆的离心率越
，则椭圆越扁；当椭圆离心率
越
，则椭圆越接近于圆 .
探究点一 椭圆的简单几何性质
问题 1 观察椭圆xa22＋yb22＝ 1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具
有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
问题 2 如何用椭圆的标准方程 (代数方法 )研究你观察到的几何性
离心率 .
6 例 2 椭圆过点 (3,0)，离心率 e＝ 3 ，求椭圆的标准方程 .
强化训练 1.已知椭圆方程为 4x2＋ 9y2＝ 36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐 标和离心率
2
2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 . 2
(1)长轴在 x 轴上，长轴的长等于 12，离心率等于 3； (2)长轴长是短轴长的 2 倍，
椭圆的顶点， P 是椭圆上且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB，求此椭圆的离
心率 .
4
难点 : 利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题 .
独立学习
新知初探·思维启动
想一想：做一做：
1.椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 y 轴上
焦点在 x 轴上
图形
标准方程
《椭圆的简单性质》导学案
第2课时椭圆的简单性质1.进一步理解椭圆的标准方程及a,b,c之间的关系.2.掌握椭圆的几何图形及简单几何性质,并能利用简单几何性质求椭圆的标准方程.3.根据椭圆的标准方程,讨论研究其几何性质,使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质的基本方法,加深对曲线与方程的理解,同时提高分析问题和解决问题的能力.1998年12月19日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通讯卫星,卫星运行的轨迹是以地球中心为一个焦点的椭圆.若卫星的近地点高度(即轨道上的点到地球表面的最近距离)为m km,远地点高度为n km,地球半径为R km,且该轨迹上两点M,N和轨迹中心O在一条直线上.问题1:在上述情境中,|OM|与|ON|之间的大小为,|MN|的最小值是,|AF|=m+R=a-c,|BF|=n+R=a+c,a2-c2=(m+R)(n+R),即b=,当M位于M',N 位于N'时,|MN|取最小值.问题2:根据椭圆的简单几何性质填写下表:+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)问题3:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫作椭圆的.∵a>c>0,∴0<e<1.(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b=越小,因此椭圆越;(2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越接近于;(3)当且仅当a=b时,c=0,两焦点,图形变为圆,方程成为x2+y2=a2.问题4:如何求椭圆上到中心距离最远或最近的点?设P(x,y)为椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,|PO|===,∵-a≤x≤a,∴当x=0时,|PO|有,这时P在短轴端点B1或B2处.当x=±a时,|PO|有,这时P在长轴端点A1或A2处.1.椭圆x2+4y2=1的离心率为().A. B. C. D.2.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为().A.+y2=1B.x2+=1C.+=1D.+=13.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为.4.求椭圆+y2=1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.利用标准方程研究几何性质求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.由椭圆的几何性质求标准方程已知在椭圆C中,长轴长为2a,焦距为2c,且a+c=10,a-c=4,求椭圆C的标准方程.与离心率有关的问题(1)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为().A. B. C. D.-2(2)椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆的离心率的取值范围.椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1(0<k<9)有().A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是10,离心率是;(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.已知椭圆+=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,AB∥OM.(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围.1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m等于().A. B. C.2 D.42.椭圆+=1和+=k(k>0)具有().A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率3.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.4.点P是椭圆+=1上一点,F1、F2是其焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.(2013年·新课标Ⅱ卷)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为().A. B. C. D.考题变式(我来改编):第2课时椭圆的简单性质知识体系梳理问题1:|OM|=|ON|2问题2:问题3:离心率(1)扁(2)圆(3)重合问题4:最小值最大值基础学习交流1.A将椭圆方程x2+4y2=1化为标准方程x2+=1,则a2=1,b2=,c==,故离心率e==.2.A因为=,且c=,所以a=,b==1.所以椭圆C的方程为+y2=1.3.(0,±)由题意知,椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±).4.解:已知方程为+=1,所以a=2,b=1,c==,因此,椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=4,2b=2,离心率e==,两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),椭圆的四个顶点是A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1).重点难点探究探究一:【解析】已知方程化成标准方程为+=1,于是a=4,b=3,c==,∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率e==,又知焦点在x轴上,∴两个焦点坐标分别是F1(-,0)和F2(,0),四个顶点坐标分别是A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和B2(0,3).【小结】解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.探究二:【解析】因为所以a=7,c=3,所以b2=a2-c2=72-32=40.所以椭圆C的标准方程为+=1.[问题]本题中椭圆的焦点是在x轴上吗?有没有可能在y轴上?[结论]由于题目中没有告诉我们焦点的位置,因此所求标准方程有两种情况:①焦点在x 轴上;②焦点在y轴上.于是,正确解答为:①焦点在x轴上时,设方程为+=1(a>b>0),则有解得a=7,c=3.所以b2=a2-c2=72-32=40.所以椭圆的标准方程为+=1.②焦点在y轴上时,设标准方程为+=1(a>b>0),则有解得a=7,c=3,所以b2=a2-c2=72-32=40.所以标准方程为+=1.综上所述,椭圆C的标准方程为+=1或+=1.【小结】利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待定系数法,而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出有关参数的关系式,利用解方程(组)求解,同时注意a、b、c、e的内在联系以及对方程两种形式的讨论.还要注意两点:(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,一般步骤为:①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程.(2)当所求椭圆焦点不确定时一定要注意分类讨论,并且体会方程思想在解题中的应用.探究三:【解析】(1)由椭圆的几何性质可知:=a-c,=2c,=a+c,又,,成等比数列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得==e.故应选B.(2)设P(x,y),由∠APO=900知:P点在以OA为直径的圆上.圆的方程是:(x-)2+y2=()2⇒y2=ax-x2.①又P点在椭圆上,故:+=1.②把①代入②得:+=1⇒(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0.故(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0.又0<x<a,∴x=.即0<<a⇒2b2<a2⇒a2<2c2⇒e>.又∵0<e<1,故所求的椭圆离心率的取值范围是<e<1.【答案】(1)B【小结】椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量,求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下:(1)定义法:若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a2,b2,求出a,c的值,利用公式e=直接求解.(2)方程法:若椭圆的方程未知,则根据条件建立a,b,c满足的关系式,化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e 的方程或不等式,即可求得e的值或范围.思维拓展应用应用一:B依题意知椭圆C2的焦点在y轴上,对于椭圆C1:焦距=2=8,对于椭圆C2:焦距=2=8,故答案为B.应用二:(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0).由已知得,2a=10,a=5.又e==,∴c=4.∴b2=a2-c2=25-16=9.∴椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2)依题意,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方程为+=1.应用三:(1)∵F1(-c,0),则x M=-c,y M=,∴k OM=-.∵k AB=-,OM∥AB,∴-=-,∴b=c,故e==.(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ,∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c,cosθ===-1≥-1=0,当且仅当r1=r2时,cosθ=0,∴θ∈[0,].基础智能检测1.A将椭圆方程化为标准方程为x2+=1,∵焦点在y轴上,∴>1,∴0<m<1.由方程得a=,b=1.∵a=2b,∴m=.2.D在椭圆+=1和+=k(k>0)中,不妨设a>b,椭圆+=1的离心率e1=,椭圆+=1(k>0)的离心率e2==.3.4或-当k+8>9时,e2===,k=4;当k+8<9时,e2===,k=-.4.解:设|PF1|=u,|PF2|=v,则由椭圆的定义及余弦定理可得解得uv=48,∴=uv sin60°=12.全新视角拓展D由题意可得|PF1|=2|PF2|,而|PF1|+|PF2|=2a,则|PF2|=a,而|PF2|=,∴a=,则a2=b2=a2-c2,则=.。
椭圆的性质导学案
椭圆的性质导学案【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆12222=+by a x )0(>>b a 来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x，或把y 换成―y，或把x 、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆22221x y a b+=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b），B 2（0，b ）。
③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。
②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。
e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。
要点诠释：椭圆12222=+byax的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a+=，1212||||||||PF PFePM PM==，2122||||aPM PMc+=；（2）12BF BF a==，12OF OF c==，2221A B A B a b==+；（3）1122A F A F a c==-,1221A F A F a c==+，caPFca+≤≤-1；要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
椭圆的基本性质
课题：12.4椭圆的基本性质〔二课时〕教学目标：1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形．3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆（1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。
椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。
2) 椭圆的标准方程： 1。
焦点在x 轴上____________〔 〕2。
焦点在y 轴上____________〔 〕假设1251622=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________二．教学过程设计 一、引入课题“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，防止盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称；x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换成－x 方程不变，相当于点P 〔x ，y 〕在曲线上，点P 点关于y 轴的对称点Q 〔－x ，y 〕也在曲线上，所以曲线关于y 轴对称．其它同理.相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二） 顶点问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？在椭圆的标准方程中，令0=x ，得b y ±=，0=y ，得a x ±= 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.顶点坐标；)0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -.相关概念：线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于b a 2,2，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中，c 2表示焦距，这样，椭圆方程中的c b a ，,就有了明显的几何意义.问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令222b c a =-能使方程简单整齐，其几何意义是什么？c 表示半焦距，b 表示短半轴长，因此，联结顶点2B 和焦点2F ，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，2222222OB F B OF -=，即222b c a =-.（三） 范围问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围．12222=+b y a x 变形为：a x a a x a x a x b y ≤≤-⇒≤⇒≤≥-=22222201， 这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围：a x a ≤≤-同理，我们也可以得到y 的范围：b y b ≤≤- 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把12222=+b y a x 看成1cos sin 22=+αα，利用三角函数的有界性来考虑b ya x ,的范围；方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122≤ax ，同理可以得到y 的范围由椭圆方程中y x ,的范围得到椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里.三、例题解析例1 已知椭圆的方程为364922=+y x .（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;（2） 写出与椭圆364922=+y x 有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程. 解：解答见书本P48[说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用.例2〔1〕求以原点为中心，一个焦点为),1,0(-且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程; 〔2〕过点〔2，0〕，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.解：〔1〕由题意可知：b ac 2,1==，由222c b a =-，有1222=-b b ，1=b ，2=a ; ∴椭圆的标准方程为：1222=+y x . 〔2〕1422=+y x 或141622=+x y . [说明] 此题利用椭圆标准方程中c b a ,,的关系来解题，要注意焦点在x 轴上或y 轴上的椭圆标准方程.例3已知直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x ，当k 在何范围取值时， （1） 直线与椭圆有两个公共点；（2） 直线与椭圆有一个公共点； （3） 直线与椭圆无公共点.解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k ； 〔1〕当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 有两个公共点； 〔2〕当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 有一个公共点；〔3〕当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 无公共点. [说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则〔1〕直线与椭圆相交0>∆⇔〔2〕直线与椭圆相切0=∆⇔〔3〕直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法.例4假设直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围. 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m51≠≥∴m m 且.解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m 51≠≥∴m m 且[说明]法一转化为k 的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(o o y x M 在椭圆内部或在椭圆上则12222≤+bya x o o .例5 椭圆中心在原点，长轴长为103，一个焦点1F 的坐标)5,0(，求经过此椭圆内的一点)21,21(-M ，且被点M 平分的弦所在的直线方程.解：由已知，5,35==c a ，且焦点在y 轴上，50222=-=c a b ，椭圆方程为1507522=+x y .设过点M 的直线交椭圆于点),(21y x A 、),(22y x B . M 是弦AB 的中点，则1,12121-=+=+y y x x ，将B A ,两点的坐标代入椭圆方程，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+150751507522222121x y x y ，两式相减整理得：232321212121=++⋅-=--y y x x x x y y ，即23=k .所求的直线方程为)21(2321-=+x y ，即0546=--y x . [说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法”.但需注意两点：1〕斜率是否存在？2〕应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于0？例6求椭圆1422=+y x 中斜率为1的平行弦的中点的轨迹. 解：见书本P50[说明] 此题因为涉及椭圆的弦中点问题，此题也可使用“点差法”.例7 已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，假设过点P 〔0，-2〕及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y ,可得04492=-+y y ， 91044)(2122121=-+=-y y y y y y, 1212129S F F y y ∆∴=-=解法二：2F 到直线AB 的距离554=h , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB , 910421==∴∆h AB S . [说明] 在利用弦长公式212212111y y kx x k AB -+=-+=〔k 为直线斜率〕应结合韦达定理解决问题.例8 已知直线1+=x y 交椭圆12222=+by a x 于Q P ,两点，210=PQ ，OQ OP ⊥，求椭圆方程.解：为简便运算，设椭圆为122=+ny mx ，),0,0(n m n m ≠>>⎩⎨⎧+==+1122x y ny mx ，1)12(22=+++∴x x n mx ，整理得： 012)(2=-+++n nx x n m 〔1〕n m nx x +-=+221，nm n x x +-=⋅121，设),(11y x P 、),(22y x Q ， OQ OP ⊥ ，02121=+∴y y x x ，即0)1)(1(2121=+++x x x x ，有2=+n m .方程〔1〕变形为：01222=-++n nx x .21,2121-=⋅-=+n x x n x x . 210=PQ ，2521=-∴x x ，有03842=+-n n ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123m n ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321m n ∴椭圆的方程为123222=+y x 或123222=+x y . [说明] 应注意Q P ,两点设而不求，善于使用韦达定理. 四、稳固练习练习12.4〔1〕;练习12.4〔2〕五、课堂小结1．椭圆的几何性质2．直线与椭圆位置关系如何判断3．弦长问题和弦中点问题 4．有关弦中点问题，“点差法”的应用 六、课后作业练习册、补充作业：1．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，求 ab 值.2.椭圆B A O F F y x 、作直线交椭圆于，过、的焦点为212212045=+两点，假设2ABF ∆的面积为20，求直线AB 方程.3.已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点()8,6P ，21F F 、为椭圆的焦点，且21PF PF ⊥，求椭圆的方程.4．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆方程.5.已知椭圆1222=+y x .（1） 过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程； （2） 求斜率为2的平行弦中点Q 的轨迹方程.6．P 为直线09=+-y x 上的点，过P 且以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点作椭圆，问P 在何处时所作椭圆的长轴最短？并求出相应椭圆的方程.7．已知椭圆C ：)0(235222>=+m m y x ，经过其右焦点F 且以()1,1=a 为方向向量的直线l交椭圆C 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆C 于N 点．〔1〕证明：ON OB OA =+〔2〕求OB OA ⋅的值．8．已知A 〔－2，0〕、B 〔2，0〕，点C 、点D 满足21,2||AD AC == 〔1〕求点D 的轨迹方程；〔2〕过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 9.设A ，B 分别是直线5y x =和5y x =-20=，动点P 满足OB OA OP +=．记动点P 的轨迹为C ．〔1〕 求轨迹C 的方程；〔2〕假设点D 的坐标为〔0，16〕，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．10.如下图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅BC AC =．〔1〕建立适当的坐标系，求椭圆方程；〔2〕如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使AB PQ λ=．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导学案
12.4椭圆的性质（2） 一、复习椭圆性质
标准方程 （a ＞b ＞0）
（a ＞b ＞0） 图形
性质
范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点
（a ，0）、（－a ，0）、（0，b ）、（0，－b ） （0，a ）、（0，－a ）、（b ，0）、（－b ，0） 焦点
F 1（－c ，0）、F 2（c ，0） F 1（0，－c ）、F 2（0，c ）
两轴
长轴长2a ，短轴长2b 焦距 |F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2－b 2 二、例题精讲
【例1】已知直线与椭圆，当在何范围取值时，
（1） 直线与椭圆有两个公共点；
（2） 直线与椭圆有一个公共点；
（3） 直线与椭圆无公共点.
变：若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围.
【例2】已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且为钝角，求的取值范围。
变：已知点在焦点为、的椭圆上，
（1）若，求的值。
（2）若，求的面积； F 1 F 2 M y x O y x O F 2 F 1 M
（3）若,求的面积。
【例3】求椭圆中斜率为1的平行弦的中点的轨迹。
变：中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。