构造法在解决数学问题中的应用
例析构造法在高中数学解题中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１６㊀例析构造法在高中数学解题中的应用例析构造法在高中数学解题中的应用Һ张文琴１㊀许零筝２㊀（１．台州市第一中学，浙江㊀台州㊀３１８０００；２．三门第二高级中学，浙江㊀台州㊀３１７１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造法是指依据题设条件㊁结论特征和性质，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等．构造法在数学解题中的应用，彻底打破了定向思维的束缚，开辟了全新的解题视角，有效提升了学生的数学解题能力．基于此，文章分析了构造法在高中数学解题中的应用价值，并针对构造法在高中数学解题中的具体应用进行了详细探究．ʌ关键词ɔ高中数学；解题能力；构造法；核心素养常规的解题思路基本上都是从已知条件向所求结论展开定向思考．但针对部分题目来说，常规的解题思路已经无法满足解题要求．此时，学生可以借助创造性的思维，根据题目中所给出的已知条件㊁结论特征等，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等，进而将已知条件和结论联系起来，形成解题思路．从构造法的内涵上来说，其中也蕴含了大量的数学思想，如：类比㊁归纳㊁转化．学生在创造性解答问题的过程中，不仅促进了数学知识的内化㊁迁移，也实现了数学思维的发展，这与数学核心素养的要求不谋而合．鉴于此，强化学生利用构造法解题，已经成为当前高中数学教学的重中之重．一㊁构造法与高中数学解题教学（一）构造法的内涵构造法在高中数学解题中尤为常见，主要思路是运用所学数学知识，以题目中的已知条件㊁所求结论作为解题出发点，通过综合性分析，构造出能够满足题目已知条件和所求结论的新形式，进而促进原有数学问题转化，使原本繁杂的数学问题变得简单㊁清晰，以便于学生迅速形成新的解题思路．鉴于构造法的内涵，其在解题中呈现出五个显著的特点：其一，构造性，主要是借助创新思维构造模型，立足于数学问题的本质，促进数学问题的简单化；其二，直观性，主要是借助已有数学知识，结合数学题目构建新的模型，形成解题思路；其三，可行性，构造法在高中数学解题中应用范围比较广，具备极强的实用性；其四，灵活性，在运用构造法解答数学问题时，学生必须具备丰厚的知识储备量，并结合自身的解题习惯，自行选择构造数学模型的类型；其五，多样性，构造法在应用时没有定式，学生可结合具体的题目要求，构造不同的解题模型．（二）构造法的应用价值首先，提高了学生的数学解题能力．构造法作为一种创造性解决问题的方法，可以使得题目中的隐藏条件变得可视化．因此，构造法的应用有效地消除了学生在解题过程中的畏难情绪，有助于强化学生的数学解题思路，使其逐渐强化解题能力．其次，提高了学生的数学思维能力．数学学科对学生的思维能力要求比较高，而学生的思维能力和解题能力之间息息相关．构造法的应用不仅促进了学生归纳㊁类比㊁转化数学思想的发展，也促进了学生数学思维能力的发展，这为学生更好地解决数学问题奠定了坚实的基础．最后，提高了学生的知识转化能力．高中数学题目极具综合性，学生在解题时，只有将各个部分的数学知识点整合起来，通过数学知识的迁移和转化，才能完成数学题目的解答．构造法的应用将代数㊁几何㊁函数等知识点整合起来，促进了数学知识的转化，使学生能灵活运用数学知识，从不同的角度思考问题㊁解决问题．二㊁构造法在高中数学解题中的具体应用（一）构造方程，解答数学问题构造方程在高中数学解题中尤为常见，主要是立足于方程与函数之间的关系，结合题目已知条件，构造方程，解答相关的数学问题．例１㊀已知（ｍ－ｎ）ｘ２－４（ｎ－ｘ）（ｘ－ｍ）＝０，求证：参数ｍ，ｘ，ｎ所构成的数列为等差数列．解析㊀这一数学题目与数列相关．如果按照传统的解题思路，那么学生所面临的求解难度比较大，甚㊀㊀㊀解题技巧与方法１１７㊀㊀至还需要大量的运算，极易出现错解的现象．鉴于此，可通过构造方程，从题目中所求结论出发，将其与题目中的已知条件结合起来，进而形成明确的证明思路：构造二次方程（ｎ－ｘ）ｔ２－（ｍ－ｎ）ｔ＋（ｘ－ｍ）＝０．观察其各项系数特点，可发现各项系数之和为零，故方程必有一根为１．又恰好该二次方程的根的判别式Δ＝０，故该二次方程有两个等根，即由根与系数的关系，得ｔ１ｔ２＝ｘ－ｍｎ－ｘ＝１，即２ｘ＝ｍ＋ｎ，所以得证．由此可见，借助构造方程的思想，从新的角度思考和分析问题，使得原本复杂的数学问题简单化，真正提升了学生的数学解题效率．（二）构造数列，解答数学问题在高中数学教学中，数列知识尤为重要．解答这一类型数学问题时，可灵活运用构造数列的方式，结合题目中相关信息和条件要求，通过替换等方式，构建新的数列，旨在简化数学问题，提升解题效率．例２㊀已知ｎ为正整数，求证：１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＞１．解析㊀在这一题目中，已知条件非常简单，只有ｎ为正整数．鉴于此，可运用构建数列的方式寻求证明思路：令１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＝ａｎ，则：ａｎ＋１－ａｎ＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋３＋１３ｎ＋２－１ｎ＋１＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋２－２３ｎ＋３＝２（３ｎ＋２）（３ｎ＋３）（３ｎ＋４）．因为ｎ为正整数，所以ａｎ＋１－ａｎ＞０，因此数列｛ａｎ｝为递增数列，根据ａ１＞１可得出该不等式成立．由此可见，按照常规思路很难求解此题，甚至还会在解题的过程中，由于步骤多㊁计算复杂等，导致出现错误．鉴于此，可通过构造数列，使复杂问题简单化，帮助学生顺利解题．（三）构建函数，求解数学问题在高中数学解题中，构造函数也尤为常见，其与构造方程本质相同．在解题中，可结合具体题目，构造函数，以此分析并解决数学问题．例３㊀已知ａ＜ｂ，ａ，ｂ，ｃ均为正实数，求证：ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．解析㊀对于这一题目，如果按照传统思路和方法进行证明，则极易陷入解题误区．鉴于此，可融入构造法，通过分析题目中已知条件，构建函数模型，形成证明思路：假设ｃ＝ｘ，将ａ＋ｃｂ＋ｃ构造成函数，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ，将ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ进行转化，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ＝ａ－ｂｂ＋ｘ＋１．该函数为增函数，递增区间为（０，＋ɕ）．又因为ａ，ｂ，ｃ均为正实数，因此ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．例４㊀已知关于ｘ的方程ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２＝０存在唯一的实数解，求实数ａ的值．解析㊀该题目为二次方程问题．因为题目中含有参数，所以学生在解题时常常毫无头绪．鉴于此，可结合已知条件和未知参数，通过构造函数的方式，形成解题思路：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２．因为ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以该函数为偶函数．假设ｘ０为ｆ（ｘ）＝０的解，则－ｘ０也为函数ｆ（ｘ）＝０的解，即－ｘ０＝ｘ０，因此，ｘ０＝０．所以ｆ（０）＝０２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓ０）＋１－４ａ２，即（２ａ＋１）（１－２ａ－ｓｉｎ１）＝０，解得ａ＝－１２或ａ＝１＋ｓｉｎ１２．由此可见，在遇到这一类型的问题时，学生可通过对已知条件㊁所求结论的分析，构造一个新的函数关系，将所求的问题转化为函数问题，进而运用函数的相关性质进行解答．（四）构造几何图形，解答数学问题在解答数学问题时，由于部分题目难度非常大，并且已知条件复杂，因此学生在分析题目时，常常难以理清思路，导致解题陷入困境．鉴于此，可运用构造法，结合题目中已知条件，构造出直观的几何图形，进而打开解题思路．例５㊀求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６的最小值．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１８㊀解析㊀这一题目已知条件简单，但如果按照常规思路进行解题，学生则难以形成清晰的解题思路．鉴于此，可通过构造图形的方式，将题目中的已知条件直观地呈现出来．㊀ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６＝（ｘ－２）２＋（０－３）２＋（ｘ－５）２＋［０－（－１）］２．㊀图１构造平面几何图形（如图１所示），假设平面上有一点Ｐ（ｘ，０），定点Ｍ（２，３），Ｎ（５，－１）．如此，所求问题转化为求Ｐ到Ｍ，Ｎ距离的最小值．结合所学知识可知，当三点共线时，ｆ（ｘ）存在最小值，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ＭＮ＝（２－５）２＋（３＋１）２＝５．由此可见，借助构造平面图形的方式，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生通过观察，构建已知条件和所求结论之间的关系，并运用所学知识灵活解答问题．（五）构造向量，解答数学问题在高中阶段，构造向量是一种非常重要的解题方式．在具体的高中数学解题中，可运用构造法，将不等式问题㊁函数问题等构造成向量问题，进而运用向量的相关知识进行解答．例６㊀假设函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ，求该函数的最大值．解析㊀这是一道经典的函数问题，如果按照传统的解题思路解答问题，则会产生大量的计算步骤，极易出现计算错误．鉴于此，可借助构造法，运用向量的相关知识㊁性质进行解答．假设向量ｍ＝（２，１），向量ｎ＝（ｘ＋１，４－ｘ）．由于ｍ㊃ｎɤｍ㊃ｎ，因此ｙ＝ｍ㊃ｎɤ５．故当ｘ＝３时，函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ存在最大值，为５．例７㊀在әＡＢＣ中，øＢＣＡ＝θ，ＣＢ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，试对әＡＢＣ的余弦定理进行证明．解析㊀可结合题目中的已知条件，构造向量：向量ＣＢң＝ａ，向量ＣＡң＝ｂ，向量ＡＢң＝ｃ．已知ｃ＝ａ－ｂ，则ｃ２＝ｃ㊃ｃ＝（ａ－ｂ）㊃（ａ－ｂ）＝ａ㊃ａ＋ｂ㊃ｂ－２ａ㊃ｂ＝ａ２＋ｂ２－２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ．即ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓθ．由此可见，借助构造向量的方法，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生从新的视角出发，根据新的思维模式，运用所学的知识思考问题㊁分析问题㊁解答问题．三㊁基于构造法解答数学问题的教学启示课堂教学实践证明，通过构造法在高中数学解题中的应用，真正实现了 化繁为简㊁由难到易 的目的．学生结合题目中的已知条件和所求问题，构造新的关系，促进所求问题的转化．可以这样说，构造法在解题中的应用不仅提升了学生的数学解题能力，也发展了学生的思维能力，更加强了学生的数学综合素养．鉴于此，教师在日常教学中，应有意识地渗透构造法，加深学生对构造法的理解，使其能掌握构造法．一方面，学生的构造意识并不是在短时间内形成的，唯有通过潜移默化地渗透，才能达到预期的目标；另一方面，虽然构造法在解题中占据一定的优势，但并不意味着构造法适用于每一道题目，因此教师在日常解题中要带领学生积极开展一题多解训练，帮助学生掌握多种解题方法，便于学生在对比中了解构造法的解题优势和具体应用，使其在日后解题中能够合理利用这一方法．结㊀语构造法在高中数学解题中尤为常见，通过构造函数㊁构造方程㊁构造数列㊁构造平面图形等手段，可将原本复杂的数学问题简单化，便于学生形成新的解题思路，从新的视角分析问题㊁解答问题．鉴于此，教师在日常教学中，应结合实际情况，有意识地渗透构造法，不断提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］庄素慧．基于 构造法 的高中数学解题思路探索［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３１）：５５－５７．［２］张宏敏．应用构造法在高中数学中的解题策略［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１８）：４９－５１．［３］刘海杰．构造法在高中数学解题中的运用措施分析［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１２）：１４－１６．［４］丁爱年．高中数学解题教学中构造法运用分析［Ｊ］．数学之友，２０２２（０４）：２５－２７．［５］张焕生．解析构造法在高中数学解题中的运用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（０２）：１４－１５．［６］刘晓妮．高中数学解题中应用构造法的总结［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３１）：６５－６６．。
例谈“构造法”在高中数学解题中的应用
例谈 构造法 在高中数学解题中的应用曾㊀智(光泽县第一中学ꎬ福建南平３５４１００)摘㊀要:高中数学新课程提出ꎬ高中数学的教学重点之一就是空间形式与数量关系ꎬ这两点数学知识是探讨研究自然规律与社会规律的基础工具.构造法ꎬ一方面ꎬ它是高中数学学习的一种重要方法ꎬ能够有效帮助学生理解空间形式与数量关系ꎻ另一方面ꎬ它也是培养学生 构造思维 的重要基础ꎬ是高中数学教育的关键之一.本文在此背景下ꎬ总结了在高中数学解题中应用 构造法 的原则ꎬ又进一步分类总结了具体应用 构造法 的解题案例ꎬ以期为我国高中数学教师开展 构造法 教学提供参考.关键词:构造法ꎻ高中数学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００６０－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:曾智(１９８４.１－)ꎬ男ꎬ福建省光泽人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学知识相对于初中而言难度更高ꎬ高中生在学习中不免会面临许多难以解决的问题ꎬ尤其是高中生本身解题经验较少ꎬ解题时常常会出现无法找到题目提供的各项条件与问题间的联系的情况ꎬ进而使解题变得十分艰难[１].这种情况一方面会导致学生解题效率降低ꎬ数学考试成绩下降ꎬ另一方面也会使学生长期承受较大的学习压力ꎬ导致对数学学习的兴趣降低ꎬ甚至抵触数学学习[２].此时ꎬ若学生掌握了 构造法 ꎬ则能够以新的角度审视难题ꎬ通过分析问题条件构造与题目本不相关的知识或模型ꎬ间接地解决难题[３].在这一过程中ꎬ高中生的数学思维能力与逻辑推理能力也得到了提高.因此ꎬ对 构造法 在高中数学解题中的应用进行研究ꎬ是具有一定的理论与现实价值的.１在高中数学解题中应用 构造法 的原则在高中数学解题中应用 构造法 是具有一定的原则的ꎬ其具体内容包括:相似性原则㊀在实际应用 构造法 进行解题时ꎬ需要仔细分析题目中提供的条件或题目本身特征ꎬ展开具有相似性的联想ꎬ进而构造出合理的数学对象ꎬ最终通过该数学对象完成数学解题[４].直观性原则㊀高中生在以 构造法 解题时ꎬ应遵循直观性原则ꎬ通过构造某种辅助解题的数学形式ꎬ使得题目中的条件与结论间形成直观的联系ꎬ进而快速地完成解题.熟悉化原则㊀这一原则指的是高中生在解题时应仔细分析题目的结构特征ꎬ并将其与自身熟悉的某种数学式㊁形㊁方程等进行对比ꎬ进而构造出能够与题目相对应的数学形式ꎬ从而解决问题[５].２应用 构造法 进行高中数学解题的案例应用 构造法 进行高中数学解题的重点在于:(１)应用 构造法 的目的ꎬ即想要通过该方法得到的结论是什么ꎻ(２)构造哪种数学形式才能实现应用 构造法 的目的.只有有效实现上述两个重点ꎬ高中生才能够应用 构造法 解决问题[６].本文通过展示几类高中数学常见问题的 构造法 解法ꎬ展示 构造法 的具体应用方法ꎬ如下所示.２.１ 函数构造法 解题案例在高中数学学习中ꎬ函数是重点学习的内容之一ꎬ而在实际题目中ꎬ包含函数的题目往往还会与方０６程㊁数列㊁图形等其他数学知识结合ꎬ使高中生解题难度增大.在这一类问题中应用 构造法 能够有效降低解题难度ꎬ进而加快学生解题速度[７].具体案例如下.案例１㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ－１ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎬ并证明ｆ(ｘ)有且仅有两个零点.解㊀ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１)ɣ(１ꎬ＋¥)ꎬ因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２(ｘ－１)２>０ꎬ则ｆ(ｘ)在０ꎬ１()和(１ꎬ＋ɕ)这两个区间上单调递增.通过分析题意发现该函数有两个零点ꎬ因为ｆ(ｅ)＝１－ｅ＋１ｅ－１<０ꎬｆ(ｅ２)＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)有唯一零点ｘ１ꎬ即ｆ(ｘ１)＝０.又因为０<１ｘ１<１ꎬ则ｆ(１ｘ１)＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ(ｘ１)＝０.故ｆ(ｘ)在０ꎬ１()有唯一零点１ｘ１.综上所述ꎬｆ(ｘ)有且仅有两个零点.２.２ 方程构造法 解题案例在 构造法 中ꎬ方程是一种较为常见的数学形式. 方程构造法 是高中数学解题中的常用方法之一ꎬ尤其是在函数相关题目的解题中.这种方法主要是通过分析题目中的数量关系或特征结构ꎬ构造出一组等量的关系式ꎬ并通过解析关系式找到题目中几个未知量间的关系ꎬ进而得到方程中包含的等量关系[８].具体案例如下.案例２㊀若ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬａ４均为非零的实数ꎬ且(ａ２１＋ａ２２)ａ２４－２ａ２(ａ１＋ａ３)ａ４＋ａ２２＋ａ２３＝０ꎬ证明四个非零实数中ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.证明㊀分析题目可推导得出ꎬ在四个非零实数中ꎬａ４这一非零实数是一元二次方程(ａ２１＋ａ２２)ｘ２－２ａ２(ａ１＋ａ３)ｘ＋(ａ２２＋ａ２３)＝０的实数根ꎬ则可以推出关系式:ә＝４ａ２２(ａ１＋ａ３)２－４(ａ２１＋ａ２２)(ａ２２＋ａ２３)＝４(２ａ１ａ２２ａ３－ａ２１ａ２３－ａ４２)＝－４(ａ２２－ａ１ａ３)２ȡ０ꎬ因此ꎬ只有当ａ２２－ａ１ａ３＝０时ꎬ关系式才能成立ꎬ则可推导出ａ２２＝ａ１ａ３ꎬ同时由于题中表明ａ１ꎬａ２ꎬａ３均为非零实数.则可得出ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成等比数列.且通过构造的求根公式可知ａ４＝２ａ２(ａ１＋ａ３)２(ａ２１＋ａ２２)＝ａ２(ａ１＋ａ３)ａ２１＋ａ１ａ３＝ａ２ａ１ꎬ则ａ４为该等比数列的公比.综上所述可以证明ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.２.３ 向量构造法 解题案例在高中数学的所有知识点中ꎬ向量的相关知识是教学与学习的重难点之一.在高中数学考试中ꎬ与这一知识点相关的题目大多相对简单ꎬ以选择题或填空题为主ꎬ但当这一知识点出现在解答题中时ꎬ常常与立体几何相联系ꎬ解题难度增加许多ꎬ对学生的数学能力要求也相对较高[９].应用 向量构造法 进行解题ꎬ能够引导高中生将日常学习的向量知识点与三角函数㊁复数㊁函数等知识点联系起来ꎬ进而更加轻松地解决问题ꎬ案例如下.案例３㊀已知ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ求ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ的值.解㊀设Ｐ(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＱ(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＲ(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ)为单位圆上的三个点ꎬ则根据题意可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ的外心.由此可以得到关系式:ＯＰң＝(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＯＱң＝(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＯＲң＝(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ).因为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ则ＯＰң＋ＯＱң＋ＯＲң＝(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣꎬｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ)＝０ꎬ可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ重心ꎬ也是әＰＱＲ的外心ꎬ则әＰＱＲ为正三角形.由此可得出关系式Ｂ＝Ａ＋２π３＋２ｋπꎬＣ＝Ａ－２π３＋２ｋπꎬ则ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ａ＋２π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２Ａ－２π３æèçöø÷＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３＋ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３－ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２１６＝ｓｉｎ２Ａ＋１２ｓｉｎ２Ａ＋３２ｃｏｓ２Ａ＝３２综上所述可得ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝３２.２.４ 复数构造法 解题案例复数构造法 的应用ꎬ简单来说可以主要分为两类ꎬ一类题目本身就是复数问题ꎬ通过应用复数本身的性质就可以完成解题ꎻ另一类则是非复数问题ꎬ需要间接构造复数形式来完成解题[１０].案例如下.案例４㊀求函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－５)２＋１６＋(ｘ－１)２＋４的最小值.证明:构造复数ｚ１＝５－ｘ＋４ｉꎬｚ２＝ｘ－１＋２ｉꎬ则ｆ(ｘ)＝ｚ１＋ｚ２ȡｚ１＋ｚ２＝４＋６ｉ＝２１３.当ｚ１＝ｋｚ２ꎬ即５－ｘ＋４ｉ＝ｋ(ｘ－１)＋２ｉ[]时取等号ꎬ解得ｘ＝７３ꎬ即ｘ＝７３时ꎬｆ(ｘ)有最小值２１３.２.５ 图形构造法 解题案例数形结合思维是高中数学思维培养中的关键ꎬ这一思维的形成与 图形构造法 的应用有着密不可分的关系.应用 图形构造法 进行解题的案例具体如下所示.案例５㊀证明正弦两角和公式ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ.证明:如图１所示ꎬ在线段ＣＤ上任取一点Ａꎬ以Ａ为圆心ꎬ１为半径做圆弧分别过Ｃ点和Ｄ点ꎬ且和ＣＤ垂直的直线相交于点Ｂ与点Ｅꎬ令øＢＡＣ＝αꎬøＥＡＤ＝βꎬ则øＢＡＥ＝π－(α＋β)ꎬＢＣ＝ｓｉｎαꎬＡＣ＝ｃｏｓαꎬＤＥ＝ｓｉｎβꎬＡＤ＝ｃｏｓβ.图１㊀案例５证明示意图梯形ＢＣＤＥ＝әＡＢＣ＋әＡＤＥ＋әＡＢＥꎬ考虑面积相等可得:１２(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝１２ｓｉｎαｃｏｓα＋１２ｓｉｎβｃｏｓβ＋１２ˑ１２ˑｓｉｎ(π－α－β)即(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ＋ｓｉｎ(α＋β)ꎬ展开整理得ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ即可得证.３结束语«普通高中数学课程标准»中提出ꎬ数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力ꎬ是数学知识㊁技能㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现. 构造法 作为高中最常使用的数学思想方法之一ꎬ能够有效培养高中生的创造思维与创新意识ꎬ综合提升其数学学科思维ꎬ但目前我国高中生对于 构造法 的了解大多有限.本文探讨了 构造法 在高中数学解题中的应用ꎬ为 构造法 在我国高中的推广应用贡献力量.㊀参考文献:[１]吴玉辉.构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０２１(３５):３１－３２.[２]顾建华.基于 构造法 的高中数学解题思路探索[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２０(１０):１６６.[３]吴建文.构造法在高中数学教学中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０１９(１９):４０.[４]袁胜蓝ꎬ袁野.高中数学数列通项公式的几种求法[Ｊ].六盘水师范学院学报ꎬ２０１９ꎬ３１(０３):１１７－１２０.[５]杨丽菲.高中数学解题中应用构造法的实践尝试[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(１２):７.[６]何婷.构造函数求解高中数学问题[Ｊ].科学咨询(科技 管理)ꎬ２０１８(０６):１４４.[７]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(０２):３４.[８]罗杰.分析高中数学三角函数的解题技巧[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１７(２２):１０２.[９]洪云松.高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用[Ｊ].农家参谋ꎬ２０１７(１３):１６０.[１０]刘米可.构造函数法在高中数学解题中的应用[Ｊ].经贸实践ꎬ２０１６(２３):２２６.[责任编辑:李㊀璟]２６。
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用引言：构造法是数学中一种常见的解题方法，它利用几何图形的相关性质，通过构造出新的图形或加上新的辅助线，从而达到解题的目的。
构造法在中学数学中具有广泛的应用，能够帮助学生更好地理解数学知识，培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。
本文将从基本概念、构造方法和案例分析三个方面来探讨构造法在中学数学中的运用。
一、基本概念1. 构造法的定义构造法是数学解题的一种方法，它利用辅助线、辅助角等手段，通过构造新的图形或加入新的元素来解决问题。
构造法主要运用于几何、代数和三角等数学领域，能够帮助学生更深入地理解数学题目，提高解题效率。
构造法在中学数学中的应用具有以下优势：（1）几何直观性：构造图形能够直观地展示几何问题的性质和规律，让学生更容易理解和记忆。
（2）逻辑性强：构造法要求学生通过合理的线索和推理，找到解题的突破口，培养学生的逻辑思维能力。
（3）启发性强：构造法要求学生有创造性地处理数学问题，培养学生的创造性思维，使他们在数学学习中更具探索精神。
二、构造方法1. 构造辅助线构造辅助线是构造法的一种常见操作，它是通过在原有图形中加入一些辅助线，从而使问题得到更好地解决。
在求解三角形中某个角的大小时，可以通过构造高或中线等辅助线，从而将问题转化为更易解的几何问题。
在解决角相关性质问题时，构造辅助角也是一种常用的构造方法。
通过在角的某一边上构造出一个相等的角或互补的角等辅助角，能够为原问题提供更多的线索和信息，帮助学生更好地解决问题。
3. 构造新图形构造新图形是构造法的另一种重要方法，例如在解决圆的性质问题时，可以通过在给定圆上构造出一些特殊的线段，从而使问题得到更好地解决。
三、案例分析1. 例题一如图所示，AB为直径，C为圆上一点，CE⊥AB于E,连接DE交AC于F.如果⊙O经过D，使得EF ⊥AC于F'.（1）证明：D ，F'，O三点共线；（2）若AB=2,AC=4，求|CE|.解：由于AD为直径，所以F为90度角，即∠DEF=90度。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种解决问题的方法，它主要通过构造出特殊的情况来推导出解答的方法。
在高考数学中，构造法经常被用于解决一些特定的问题，特别是那些需要找出特殊条件或者特殊情况来解决的问题。
在高考数学中，构造法常常被运用到函数、几何、代数等各个领域中。
比如在函数的题目中，如果要求我们构造一个满足某些条件的函数，我们可以利用构造法来构造出这个函数。
在几何的题目中，如果要求我们构造一个满足某些条件的图形，我们同样可以利用构造法来构造出这个图形。
在代数的题目中，如果要求我们构造一个满足某些性质的方程或者矩阵，我们同样可以利用构造法来构造出这个方程或者矩阵。
构造法的优点是可以通过构造出特殊的情况来推导出解答的方法，因此可以大大简化问题的求解过程。
通过构造出特殊的情况，我们可以发现一些规律或者性质，从而推导出通用的解答方法。
相比其他解题方法，构造法更加直观和简洁。
构造法也有一些限制。
构造法要求我们先找到特殊的情况并构造出来，这要求我们具备一定的创造力和灵活性。
构造法只能对特定的问题起作用，对于一些复杂的问题可能无法直接应用。
构造法得出的结果可能只是局部的，不能推广到所有情况。
在运用构造法解题时，我们需要灵活掌握方法，结合题目的具体要求来分析和构造。
在构造的过程中，需要注意观察问题的特点和规律，确保所构造出的情况满足题目所要求的条件。
在运用构造法解题时，我们还可以结合其他解题方法，比如递推法、反证法等，以达到更好的解题效果。
构造法在高考数学解题中的应用是非常广泛的，它可以帮助我们通过构造特殊的情况来推导出解答的方法，从而简化解题过程。
通过灵活运用构造法，我们可以更好地应对各种数学问题，提高解题的效率和准确性。
构造法在中学数学解题中的应用
：
０ｎ ， （ ≥２ ｎ∈Ｎ＋ ， 。 ： ）且
５ 构 造 几 何 图 形
注意 问题 和对象 的几何 背景 ， 构造 几何 图形 ， 再
运用 图形 的几何 性质 可 以使 复杂 问题 简单化 ． 例 ７ 如图， 段 Ａ 线 Ｂ在 平 面 内 ， 段 Ｃ 线 Ｄ在
（） １ 求数 列 ｛ 的通项 公式 ； ０｝
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７ ・ ５
《 数学 之友 》
２１ ０ ０年第 ２ ４期
又 ６ ＝ｌｇ １＋１＝１ ｂ １ ｏ２ ． ：１×２ ～ ＝２ ，
即 ｌ ２ ｌ ＝２ 一 ， ｏ ｏ ＋１ 进而 ｌ ２ ＝ 一１ ｇ ｏ ｏ ２一 ｇ ，
・
６ ｝ ＝ ， 为 的 差 列进 ６ 公 ２ 等 数 ，而 ： ３差
・ ． ．
平面 内 ， 且 ∥卢 Ａ ，Ｂ上∞ ，Ｂ： Ｄ＝ ， 面 ， Ａ Ｃ 口平 之 间 的距 离为 ｈ 求 四面体 Ａ Ｃ 的体积． ， ＢＤ
Ｄ
５
一 ２ Ｏ． １ ＋ ＳＳ ＝
一
口 一 １ ＝ ２
，
所数 ｛） 项 ２差 ２等 数 以列妾 首 为 公 为 的 差 是
， １ Ｉ ， 一 、一 １
为 ｎ 体 为 ＝７ ＝ ｈ 三 锥Ｃ 等 ， 积 ｆｎｈ下 而 棱 其 、 ， １ ， ｌ ０ －
一
（） ２ 由第 一 问可得 ｂ ２ １ ） ｉ ： （ 一ｎ ｎ １，
所 以 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ＋ １＋ １＋… ＋ １
解 ：。 １ １ ２一口＝ 口 ＝１ ‘ 口 ＝Ｓ ＝ ． １ １ ，
当 ｎ ２时 ， 】 ２ ＞ ｔ ０ ＝Ｓ 一Ｓ一 ＝ ｎ一０ 一［ （， ） ２ ／一１ ７
一
构造法举例
构造法举例构造法是一种解决数学问题的方法，它可以通过构造出一个合适的对象来证明所要证明的结论。
下面我们来举几个例子。
例一：证明所有奇数的平方都是奇数。
我们可以通过构造来证明这个结论。
假设n是一个奇数，那么n可以表示为2m+1的形式，其中m是一个整数。
那么n的平方可以表示为 (2m+1)^2=4m^2+4m+1 的形式，显然它是一个奇数。
例二：证明对于任何正整数n，都存在一个质数p，使得p>n。
我们可以通过构造来证明这个结论。
假设存在一个正整数n，对于所有的质数p，都满足p<=n，那么考虑p1,p2,p3,...,pk是所有小于等于n的质数，那么n!+1不是质数，因为它可以被p1,p2,p3,...,pk 中的某一个质数整除，但是这个质数不在p1,p2,p3,...,pk中，因为它比它们都大。
例三：证明正整数n可以表示为三个整数的平方和的形式当且仅当n不是形如4^k(8m+7)的数。
我们可以通过构造来证明这个结论。
首先证明当n不是形如4^k(8m+7)的数时，n可以表示为三个整数的平方和的形式。
对于任意的正整数n，有n=1^2+n^2+0^2，因此n可以表示为三个整数的平方和的形式。
接下来证明当n是形如4^k(8m+7)的数时，n不能表示为三个整数的平方和的形式。
假设n可以表示为a^2+b^2+c^2的形式，其中a,b,c为正整数。
那么取模4，显然a^2+b^2+c^2模4的余数只能是0,1,2,3中的一个，而形如4^k(8m+7)的数模4余数为3，因此n不能表示为三个整数的平方和的形式。
通过构造法，我们可以将抽象的数学问题转化为具体的对象，从而更加直观地理解和证明数学结论。
数学构造法的原理及应用
数学构造法的原理及应用1. 前言数学构造法是一种基于数学原理和技术的问题解决方法。
通过运用数学中的概念、定理、公式等工具，对待解决的问题进行抽象和分析，从而得到问题的解决方案。
本文将介绍数学构造法的基本原理以及其在实际应用中的一些案例。
2. 数学构造法的原理数学构造法的核心原理是将复杂的问题抽象为数学模型，并运用数学的逻辑推理和计算方法进行求解。
具体而言，数学构造法通常包括以下步骤：2.1 定义问题首先，需要清晰地定义待解决的问题。
问题定义的准确性对后续的数学建模和求解过程至关重要。
2.2 建立数学模型根据问题的定义，将问题转化为数学模型。
数学模型可以是代数方程、几何图形、统计模型等形式。
2.3 分析模型对建立的数学模型进行分析，运用数学中的方法和工具对模型进行求解，得到数学的解析解或数值解。
2.4 解释结果将数学解释转化为实际问题的解释，提出对问题的结论和建议。
3. 数学构造法的应用案例以下是数学构造法在实际问题中的应用案例，以展示其在不同领域的应用价值：3.1 金融领域风险管理金融领域的风险管理需要基于大量的数据进行决策。
数学构造法可以通过建立复杂的数学模型，分析金融市场的波动性和相关性，预测风险水平，辅助决策者制定风险管理策略。
3.2 物流运输优化物流运输中最为常见的问题之一是优化路径和调度。
数学构造法可以帮助建立运输网络模型，考虑不同的顾客需求、供应链环节和运输体积等因素，从而优化路径和调度，提高物流效率。
3.3 工程建模与优化在工程领域，数学构造法广泛应用于工程建模和优化问题。
例如，在城市规划中使用图论模型优化交通网络，或者在工业生产中使用线性规划模型优化生产资源的利用率等。
3.4 生物医学研究数学构造法在生物医学领域也有重要的应用。
例如，通过建立微分方程模型，可以描述疾病的发展过程，预测治疗效果，辅助临床决策。
4. 总结数学构造法是一种基于数学原理和技术的问题解决方法，通过建立数学模型和运用数学方法进行分析和求解，提供了一种有效的工具和思维方式。
构造法在初中数学解题中的应用
构造法在初中数学解题中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
构造法在高中数学解题中的应用
西藏科技，２０１５（０３） ：３８－３９．
［４］ 张守俊．探 析 构 造 法 在 数 学 解 题 中 运 用 ［ Ｊ］ ． 赤 子
（ 中旬） ，２０１４（１４） ：２４０．
的要求，因此夯实数学基础对于计算复杂问题起着重要的
作用．
（ 三） 构造方程
在高中数学的学习中，尤其是高考中，许多问题都离不
开方程与函数，因此对于许多并不是单纯的方程问题或是
函数问题的问题，在解题时依然可以利用构造方程式的方
法进行辅助计算．这不但可以降低计算量，也可以促进学生
掌握方程以及函数的解题思想． 下面将以两个实际问题为
式为 ｘ＋ｙ ＝ ０，是二、四象限的角平分线，故需要构造抛物线
ｙ ＝ ｍ ｘ２ －１（ ｍ≠０） 关于直线 ｃ 的对称抛物线－ｘ ＝ ｍ ｙ２ －１，此
时原问题经构造方程后已转化为曲线交点问题，具体解法
如下：由方程 ｙ ＝ ｍ ｘ２ －１，－ｘ ＝ ｍ ｙ２ －１ 可得 ｘ＋ｙ ＝ ｍ（ ｘ＋ｙ） （ ｘ－
用，熟练、灵活地掌握构造法的相关知识可以使学生的日常
解题过程更加迅速、高效，正确率也将更上一个台阶，对于
培养学生的自信心与成就感有着重要的作用．
２．复杂数列的构造
３
１
ｍ － ｍ （ｎ ＝ １，２，３，…），
２ ｎ＋１ ２ ｎ
求ｍｎ ． 首 先 将 该 数 列 的 通 项 公 式 化 简 为 ｍ ｎ＋２ － ｍ ｎ＋１ ＝
及数学性质在新构造的数学模型中更加清楚地体现出来，
并且能根据其更迅速地分析题目所求解的问题，从而更加
准确地得出问题的答案．
（ 二） 构造思维在数学中的体现
在了解了构造法的基本概念之后，教师在日常教学过
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种在数学解题中常用的方法，它通过构造特定的数、图形或形式来解决问题。
构造法在高中数学中的应用十分广泛，不仅能够帮助学生理解问题，还能够培养学生
的逻辑思维和创造力。
一、构造法在代数问题中的应用
1. 构造特殊的数：通过构造特殊的数来解决问题，如通过构造一个满足条件的整数、有理数或无理数等。
在解方程问题中，可以通过构造特殊的数来找到解的规律或确定解的
范围。
2. 构造函数式：通过构造合适的函数式来解决问题。
在函数的极值问题中，可以通
过构造一个函数式来描述问题，并通过分析函数式的性质来确定极值点。
3. 构造方程组：通过构造一组方程来解决问题。
在线性方程组的解题中，可以通过
构造一组满足条件的方程来确定未知数的值。
三、构造法在概率与统计问题中的应用
1. 构造样本空间：通过构造合适的样本空间来解决概率问题。
在求解随机事件的概
率问题中，可以通过构造一个恰当的样本空间来确定事件发生的可能性。
2. 构造频数表或频率分布图：通过构造频数表或频率分布图来解决统计问题。
在统
计一组数据的分布特征时，可以通过构造一个频数表或频率分布图来描述数据的分布情
况。
3. 构造统计模型：通过构造合适的统计模型来解决概率与统计问题。
在求解样本均值、方差等问题时，可以通过构造一个适当的统计模型来计算所需的统计量。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法构造法（Construction Method）是高中数学解题中常用的一种方法。
它是通过构造出具体的数学对象，来辅助推导、证明或解决问题的方法。
在解题过程中，构造法可以帮助学生更直观地理解问题，找到问题的关键点，以及掌握解题的整体思路。
构造法主要应用于以下几个方面：1.构造例证在解决某些问题时，我们可以通过构造出具体的例子来验证问题的正确性或错误性。
通过构造出例子，我们可以更直观地看到问题的特点和规律，从而帮助我们更好地推导出结论。
解决一元二次方程ax^2+bx+c=0有一根，可以构造出一个例子：取a=1，b=-3，c=2，此时方程变为x^2-3x+2=0，可以通过因式分解或求根公式得到唯一解x=1。
通过这个例子，我们可以推广出“一元二次方程ax^2+bx+c=0有一根”的结论。
在证明某些命题是错误的时候，我们可以通过构造出具体的反例来证明其错误。
通过构造出反例，我们可以找到其错误的根源，从而帮助我们更好地理解、修正或推广结论。
要证明命题“在一个三角形内，三条中线相等”的正确性，可以通过构造一个反例：取一个等腰直角三角形，此时由于直角边上的中线和斜边上的中线不等长，所以反例证明了该命题是错误的。
3.构造辅助线构造辅助线是解决几何问题中常用的方法之一。
通过在几何图形中构造出一些额外的直线或线段，可以使问题更加清晰明了，从而更容易推导出结论。
通过构造辅助线，我们可以创造新的图形，将原有的问题转化为更简单的几何关系来求解。
在证明两条直线垂直的问题中，可以通过构造出两条辅助线，使原有的问题转化为三角形中的角关系，从而更容易推导出结论。
4.构造等式5.构造问题模型在解决数学建模问题时，构造问题模型是非常重要的一步。
通过构造问题模型，将原有的实际问题转化为数学问题，可以更好地分析和解决问题。
通过构造问题模型，我们可以将问题抽象化，寻找问题的关键变量和问题之间的关系，从而更好地理清问题的逻辑，确定问题的解题思路。
用构造法求数列的通项公式汇总
用构造法求数列的通项公式汇总构造法是一种在数学中广泛使用的解题方法，特别是在求解数列的通项公式时，我们可以通过构造一些新的数列，将问题转化为已知的问题，从而达到求解的目的。
以下是几种用构造法求数列通项公式的汇总：1.等差数列构造法：对于形如 an+1 = an + d 或者 an+1 = an - d 的递推式，我们可以通过累加法来求通项公式。
即：令n = 0,1,2,n-1，然后将其各项相加，可得：a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + , + [a1 + (n-1)d] = n(a1 + n-1)d。
对于等差数列，我们还可以使用前 n 项和公式求解通项公式：an = Sn - Sn-1。
2.等比数列构造法：对于形如 an+1 = q an 或者 an+1 = an q 的递推式，我们可以通过连乘法来求通项公式。
即：令n = 0,1,2,n-1，然后各项相乘，可得：a1 * a1q * a1q^2 * , * a1*q^(n-1) = a1^n * q^(1+2+,+(n-1))。
3.常见数列构造法：对于形如 an+1 = an^2 或者 an+1 = an^2 + 1 等无法直接求出通项公式的递推式，我们需要通过构造新的辅助数列来求解。
例如，令an+1 + x = (an +x)(an + x)，可以构造出新的等比数列，从而求得通项公式。
对于形如 an+2 = an+1 + an 或者 an+2 = an+1 * an 等无法通过递推直接求出通项公式的递推式，我们可以通过对原式变形，构造出两个独立的等差或者等比数列，从而利用对应的方法求出通项公式。
例如，对于 an+2 = an+1 + an，我们可以令an+2 + an+1 = 2(an+1 + an)，得到一个等差数列；对于 an+2 = an+1 * an，我们可以令an+2 / an+1 = an+1 / an，得到一个等比数列。
浅谈构造法在中学数学解题中的应用
与 轴 的交 点 问题．
川
＝
＋
＋
一
＝
两 丽
＞１ ∈ （
例 ６ 求证 ： １ ＋ １ ＋． ＋ ． ・
如 果问题条 件 中具 有 明显 的或 隐含 的几何意 义
分析 ： 欲证 与 自然 数 ｎ有 关 的不 等 式 ｆ ｎ （ ）＞ｇ （ ，可 构 造 数 列 模 型 ａ ＝ｆ （ ｎ） ｎ） 一 ｇ （ ｎ）
与背景 ， 构造适合 条 件 的图 形 ， 过 图形 启发 思 维 ， 通
分析： 根据条件 ａ＋ ， ６ 结构联想到 ， 而 ６ａ ＋ 从 ∈（ ，） Ｙ ＞ ， Ｙ单 调递增 ； ０ ｅ ， ０ 则
构思—个“ 一元二次” 方程 ， 再运用判别式证明不等 式．
解 ： ａ＋ Ｃ ， ａ＋ ＝１ Ｃ （ ） 由 ｂ＋ ：１ 得 ｂ 一 ． １
∈ ｅ＋。 ， ＜ ， Ｙ （ ， 。 ）Ｙ ０则 单调递减．
ｌ２ ｎ
＝ ，
ｅ ＜３＜ ５＜８ 所 以 ｄ＜ ＜口＜６ ４＜ ， ｃ ．
Ｉ ａ＋ｂ＋ｃＩ ≤
一
将（ ） １ 的两边 平方 ， 将 ａ ＋ｂ ｃ 并 ＋ ＝１ 人 得 代
ａ ｃ 一ｃ （ ） ｂ＝ ． ２
例 ２ 设 ａ ｂ Ｃ∈Ｒ， 证 ： ，， 求
Ｉ ｂＩ Ｉ Ｃｌ
，
即 （ ｓ ｃｓ０—１ ４ｉ Ｏｏ ｎ ）
（ｉ ｃｓ０ ８ ＞０ 易知 ０＜ ｉ ０ ， ＣＳ ｓ Ｏｏ — ） ， ｎ ｔ ｓ ＜１０＜ Ｏ ０＜１所 ｎ ，
浅谈构造法在数学分析中的应用
浅谈构造法在数学分析中的应用【摘要】本文将详细探讨构造法在数学分析中的应用。
首先介绍构造法的基本概念，然后分别讨论构造法在集合论、实数分析、微积分以及极限理论中的具体应用。
通过分析这些应用案例，读者将更深入地理解构造法在数学分析中的重要性和实用性。
通过结论部分对构造法的优势和局限性进行总结，展示构造法在数学分析领域的价值和未来发展方向。
本文旨在为数学分析领域的研究者和学习者提供一份系统而全面的参考资料。
【关键词】构造法、数学分析、集合论、实数分析、微积分、极限理论、应用、构造方法、概念、结论1. 引言1.1 引言构造法是数学分析领域中一种重要的方法论，它通过构建对象或证明过程来解决问题。
在数学分析中，构造法被广泛应用于集合论、实数分析、微积分以及极限理论等各个方面。
在本文中，我们将探讨构造法在数学分析中的应用，并深入研究其基本概念和具体方法。
我们将介绍构造法的基本概念，包括其定义、特点以及相关理论基础。
然后，我们将重点讨论构造法在集合论中的具体应用，探讨如何通过构造法解决集合论中的问题和证明集合论中的结论。
通过本文的研究，我们希望能够深入理解构造法在数学分析中的应用，并掌握其具体方法和技巧，从而更好地应用构造法解决数学分析中的问题并推动数学分析领域的发展。
2. 正文2.1 构造法的基本概念构造法是数学分析中一种重要的方法论，它通过具体的建立对象或结构来解决问题，而不是仅仅依靠抽象的推理或推导。
构造法的基本概念包括：1. 利用已知对象构造新对象：构造法的核心思想是通过已知对象的性质，构造出一个新的对象，从而解决问题。
在实数分析中，我们可以通过已知的有理数构造出无理数，从而完善数系的结构。
2. 递归构造：构造法常常采用递归的方式来建立对象或结构。
通过不断重复某种规则或操作，逐步生成新的对象。
这种方法在集合论中尤为常见，如构造自然数、整数、有理数或实数的方法就是递归的。
3. 构造的唯一性与存在性：构造法不仅要考虑如何建立新的对象，还要确保这种构造的唯一性与存在性。
构造法在初中数学解题中的应用
构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在： 构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性。
构造法的实质是一句某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元 素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新
-2-
的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问 题转化并得到解决的方法。它的具体解题过程可以用下面的框架来表示：
【关键词】 数学解题 构造法 数学问题
I
Construction method in solving problems
Abstract
Mathematical thinking method plays a crucial role in the middle school mathematics teaching, in the junior middle school mathematics teaching, the structural thought method is a kind of creative mathematical thinking method, especially in solving hard mathematical problems, such as method to construct proper use can according to the specific problems, then will be hard, change numerous for brief, make the problem solved, it fully penetrated in other mathematical thinking method.
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法的基本概念构造法是指通过建立某种结构或模型来解决问题的方法。
在数学中，构造法是一种重要的解题方法，它可以帮助我们更好地理解问题，并找到问题的解决方案。
构造法主要包括几何构造法、代数构造法、概率构造法、组合数学构造法和数论构造法等多个领域。
通过构造法，我们可以通过建立模型或结构来逐步推导问题的解，从而达到解决问题的目的。
在使用构造法解题时，我们需要根据问题的特点选择适当的构造方法，比如在解决几何问题时，可以通过画图或建立几何结构来推导问题的解；在解决代数问题时，可以通过代数运算或代数结构来建立问题的模型；在解决概率问题时，可以通过概率模型或事件概率的计算来找到问题的解决方案。
构造法是一种灵活多样的解题方法，它在数学中扮演着重要的角色。
通过掌握构造法，我们可以更好地理解数学问题，提高解题效率，同时也可以培养我们的逻辑思维能力和创造性思维能力。
在接下来的正文中，我们将具体探讨构造法在各个数学领域的运用方式和效果。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法是数学问题解决的一种方法，通过构造出满足题目条件的对象来解决问题。
在解决数学问题的过程中，构造法可以帮助我们更直观地理解问题的本质，并且能够激发我们思维的活跃性，提高问题解决的效率。
构造法在数学研究中被广泛应用，并在许多数学领域取得了重要的成果。
无论是几何、代数、概率、组合数学还是数论等领域，构造法都发挥着重要的作用，为数学领域的发展提供了重要的思路和方法。
构造法在数学教学中也具有重要意义。
通过引导学生运用构造法解决问题，可以帮助他们培养逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣和学习动力。
2. 正文2.1 构造法在解决几何问题中的运用构造法在解决几何问题中的运用是数学中常见且重要的应用之一。
通过构造法，我们可以通过几何图形的绘制和分析来解决各种几何问题，从而深入理解几何知识并提高解题能力。
在解决几何问题中，构造法可以帮助我们找到几何问题的解决方法。
从“草船借箭”的典故中看构造法在数学解题中的应用
从“草船借箭”的典故中看构造法在数学解题中的应用古代军事家诸葛亮巧妙地利用了“草船借箭”来获取了足够的箭支来满足己方的战时需求.。
在这个典故中，实际上是利用了数学中的构造法在解决实际问题上的一个应用.。
构造法作为一种重要的数学方法，在数学解题中有着特殊的地位和作用.。
其策略具有非常规性，方法带有试探性，思维富有创造性.。
关键词：解数学题；构造法；构造读过古典名著《三国演义》的人都知道“草船借箭”的故事.。
“草船借箭”解释为运用智谋，凭借他人的人力或财力来达到自己的目的.。
军事家诸葛亮巧妙地运用了“草船借箭”来获取了足够的箭支以满足己方的战时需求.。
这实际上也是数学中的构造法在解决实际问题上的一个典型事例应用.。
诸葛亮能够根据所需箭支的数量，充分分析当时的天气变化，制定所需船只的多少来达到既定的箭支“制造”数量，从而来满足既定的作战需求.。
所谓构造法是数学中的一种重要思想方法，它在数学解题中被广泛运用.。
其原理是通过对问题的观察、分析，抓住特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造新的模型来达到解题目的的方法.。
构造法的核心是构造，突破是创新，思维是转换.。
而且它具有下述特点：在构造思维过程中，一般要伴有观察、分析、联想、猜测等活动而进行；构造性思维不仅仅体现在解决问题的全过程中，而且体现在解决问题的关键环节和步骤中；在构造的思路上，必须在有限的步骤内能具体实现.。
在应用构造性思维时，一是需要有扎实的基础知识和创造性思维的品质；二是要有明确目的，即需要构造的是什么；三是弄清楚题设条件和结论特点，以便构造具体方案.。
下面笔者通过对几道典型试题分析来介绍如何应用构造法进行适合题意的构造.。
例1 证明存在两个无理数x，y，使得xy是有理数.。
这是一道莫斯科数学竞赛的培训题.。
教师的思路应该是：令x=2，y=2.。
若22是有理数，则问题已得解决；若22是无理数，则222=（2）2=2是有理数.。
因此，一定存在这样的两个无理数x，y，使得xy是有理数.。
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构造法在解决数学问题中的应用1220510062吕彬摘 要：构造是在数学的学习里是最重要的思想方法之一，它能够简化其运算量，探求最优解法，充分发挥创造性，加强数学与其他学科知识间的联系，从而激发学生学习兴趣，进一步提高学生分析问题和解决问题的学习能力。
本文主要探讨构造法在解决数学问题中的基本思想和策略,并且以具体实例探讨构造法在数学解题中的应用，目的是为解决数学问题的学习和研究提供相应参考。
关键词：构造法;模型;数学问题；构造思想，简而言之就是指在对问题进行仔细的分析、对其实质进行了解深刻的基础之上，借助逻辑思维推理或长期经验的积累，充分发挥较强的想象力和创造性，把原有问题从原来的模式中转化为更具反映其本质特征的新模式的思想方法。
构造法就是构造出运用定理或公式的条件，或者对于所解决的题目赋予几何上的意义，构造是数学运用的基本思想方法。
通过认真仔细的观察，将进一步深入的思考，构造解题的模型，因而使问题得到了相应解决。
构造的内涵非常丰富，没有完完全全的固定模式套用。
它是以现实问题的特殊性和广泛抽象的普遍性为基础。
针对具体的数学问题特点进而采取相应的解决方法。
在做题时，要擅于将形与数相结合，将式子与函数、图形、方程等建立相关联系，构造出一个新问题形式，架起一个连接结论和条件的桥梁，如函数、图形、模型、方程等，在几种形式之中找出对应关系。
进而能把问题给以解决。
利用构造法解题，可以使三角、几何、代数等各种知识相互渗透，有利于提高学生基础数学知识的灵活运用，加强学生解决问题与分析问题的能力，大大培养了学生的创新能力、思维能力。
很多数学问题用构造法来解决，可以获出简捷、新颖、独特的方法。
构造法有许多种，其中重要的有构造图形法、构造数列法、构造方程法、构造方程法、构造反例法等，本文主要通过举例来说明构造法在数学解题中的应用。
1、在不等式证明中的应用在初等数学中不等式的证明是一个重点，也是一个难点，证明不等式有很多方法, 比如大家都知晓的分析法、综合法、反证法、比较法、参量法、数学归纳法、放缩法、微分法等，在解决不等式证明中, 图解法和换元法是常用的方法之一，通过换元，可以将复杂不等式转化成简单不等式，通过构造函数，将不等式的条件化归为形象、直观的关系。
在这，我来谈谈在不等式证明中构造法的应用。
构造法是根据不等式的条件，构造满足题目条件的函数、图像、方程等，以这些方程、函数为桥梁，从而达到证明的目的。
下面我们来看看具体实例的问题：例1、已知：0dc <<，0n >，求证： 11(1)(1)n n n n cd c d-<+-+ 证明：令1()(1)n n f x x x=+-，对于任意210x x ∞>>>，因为 21212111[()][()](1)(1)0n n n n f xf x x x x x +-+=+-+>，所以2121121211()()0n n n n n n x x f x f x x x x x -->-=> 所以()f x 在[0,]+∞上单调增加，由0d c << 知()()f c f d >，即11(1)(1)n n n n c d c d-<+-+，证毕。
从此题可充分看出构造法的巧妙运用，大大帮助我们解题的效率，使题目变得简洁明了，下面我们再来看一个不等式的解法。
2、在数列问题中的应用在解决一些自然数N 或与不等式有关的题目时，根据问题所出的结论及条件的结构，一般情况可通过设想、转换等手段构造出一个与问题有关的数列，然而对解题有很大的帮助。
构造法在数列中一般有三种：1、由已知条件直接构造一个或者几个式子，再根据这些式子的相互结合、变化来解决问题；2、把题目中给出式子变形，构造出新的式子来解题。
3、由问题的已知式子，重新构造出另一个式子，把两个式子建立关系相加、减、乘、除或者其他结合方式来解答问题；例2、在数列{}n b 中，18b =，22b =且满足21430n n n b b b ++++=，求数列{}n b 的通项公式。
分析：放眼看本题无从下手，但是要是有心人仔细观察会发现题目中给出的条件经过变形构造出另外一个式子后，本题就会迎刃而解。
解：由21430n n n b b b ++-+=经过变形后构造出： 2113()n n n n b b b b +++-=-，又216b b -=-所以数列1{}n n b b +-是以6-为首项，3为公比的等比数列 则1163n n n b b -+-=-•，即2163n n n b b ---=-• (2)n ≥再利用构造法会得出：112211()()...()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ 1(6)(31)811331n n ---=+=-- 本题是类型二的典型题目，通过给出条件进行变形转换构造出另一个式子，进而解题由复杂变简单。
构造法在高等数学里是重点、难点，在数列里更是难点、重点，因此掌握好构造法对于解决数列的问题有很大帮助。
3、构造反例的应用为了否定一个命题, 构造反例是经常用的方法。
反例是指用来说明某个命题不成立的例子，它与论证是相反相成的两种逻辑方法，论证是用已知为真的判断确定另一个判断的真实性，反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性。
下面我们通过几个例子来具体谈谈构造反例的应用：例1、命题“若,x y 为无理数，则y x 也为无理数”是否成立？思考分析：此题假如从正面来回答是有很大的难度的，因此我们要利用构造反例法，构造出一个反例来进行证明。
如下：（1x y ==；（2为无理数，则取x y ==2y x === 仍为反例。
同学们往往认为,x y 是无理数，然而y x 一定是无理数，然而这个观念是错误的，从上面可以看出y x 是无论它是无理数还是有理数，都对这个命题提供了一个反例，避免了从正面来证明此命题。
4、构造法在方程问题上的应用日常生活中，我们在做数学题中会遇到许多方程问题，还有许多问题可以转化成方程问题进行解答，这个时候就需要我们构造出一些方程去解题。
遇到需要构造方程的题目时，首先要把面对的问题转变为方程问题去对待，构造出方程后要讨论其性质特点，推出相关结论，最后将推出的方程或方程组结论带回原题中。
在运用方程的观点来解决数学问题时应该注意到：（1）有时公式可以当做为等量关系或者方程。
于是，求值问题可以看作是解方程，恒等式证明可以看作方程变形；（2）函数有很多性质都能归结成为方程问题的研究；（3）不等式的求解和证明和方程有关。
例2、已知实数,,x y z 满足5,3x y z xy xz yz ++=++=，求z 的最大值。
思考分析：对于题目中有两数积以及两数和的问题，我们可以考虑构造一个一元二次方程出来，然后借助判别式“0∆≥”来求最值。
解：因为25,3()3(5)53x y z xy z x y z z z z +=-=-+=--=-+，∴构造出,x y 是关于t 的一元二次方程22(5)530t z t z z --+-+=的两个 实根，由“22(5)4(53)0z z z ∆=---+≥”可知(313)(1)0z z -+≤， 从而解得1313z -≤≤，当13x y ==时，133z =适合题意， z ∴的最大值是133用方程解决数学题是很简便的一种方法, 对于较为复杂的数学问题则要求根据题目需要去设计方程。
方程与函数等许多知识有着密切的联系，可根据问题中的结构特点和数量关系, 构造出新的方程，从而使复杂的问题得到解决。
构造方程法应用较广, 如求值、证明计算等问题都可以运用方程来解决，掌握这部分知识很重要。
5、构造法在几何图形中的应用在几何问题中, 我们往往会遇到求夹角的最小( 大) 值和求线段的最短(长) 距离等问题, 如果仅仅从几何方面去思考, 往往使问题难以解决, 倘若能够灵活地运用构造法, 问 题则会趋于简单。
数与形是数学研究中两个不同的侧面，但是这两个侧面并不是孤立的，而是相辅相成的。
有一些数学问题，如果给问题中的代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题作出透彻的分析，从而探讨出解决问题的途径。
如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论． 构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形． 这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形．华罗庚曾说过“数离开形少直观,形离开数难入微”,利用数形结合的思想,可沟通代数与几何的关系,使得难题巧解。
所谓构造图形指的是如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系，则可通过几何作图构造图形，将题设条件及其数量关系直接在图形中得到实现，然后在构造的图形中寻求原问题的结论。
例1 对于正数,,y z x ,证明+思考分析：三个正数,,y z x解：构造的三角形图如右图1,2220222cos120AC z y zy y z =+-=++2220222cos120AB z x zx x z xz =+-=++2220222cos120BC y x yx x y=+-=++ 根据三角形三边的关系得：AB <BC AC ++ 得证本例构造的图形直观的反映图形的性质，从而使问题得解结束语通过以上几个例子，我们可以发现，构造法在解题过程中有着意想不到的功效，问题很快便可解决。
构造法解题重在“构造”。
构造法在数学解题中有很多的应用，是数学思想方法中很重要的一种。
参考文献略。