2 流体静力学

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工程流体力学第2章流体静力学

① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标轴为x、y、z。
第2章流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动等角速定轴转动
2
第2章流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则：平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。

第二章流体静力学

dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。由于这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各自均匀分布，常用面上中心来做代表。

而面上中心处的压强又可以围绕六面体中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx

这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面等高，任一等高度的面上均为等压面。（ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由压强大者，液面低。（3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受到其他部分的流体或与之相接的固体的作用力。这种力，只是作用在体积的表面上而没有作用到体积内部的流体质点上。通常可以把表面力分解为法向的和切向的分量，分别称为法向力和切向力。单位面积上则称为法向应力和切应力。

2 流体静力学

其全微分式 Xdx Ydy Zdz 1 (p dx p dy p dz)
x y z
dp ( Xdx Ydy Zdz)
§2.2 流体平衡微分方程
§2.2.3 等压面
等压面：静止流体中压强相等的点连接成的面（平面或曲面）。
根据欧拉平衡微分方程的全微分表达式
点上各方向的静压强大小相等。
证明如下：
在流体中去一个特殊四面体作为研究对象，如图所示
px 为作用在ΔODB面上的静压强；
z D
py
py 为作用在ΔODC面上的静压强； px dz
pn
pz 为作用在ΔOBC面上的静压强； pn 为作用在ΔDBC面上的静压强。
dy o dx C x B
y
pz
§2.1 静止流体中压强的特性
1. 静压力静止（或处于相对平衡状态）流体作用在与之接触的表面上的
压力称为静压力或压力。
2. 静压强
取微小面积，A令作用于
所受的平均静压力为
静压强
p lim F A0 A
的静A 压力为，则F 面上单A位面积
p F A
3. 动压强
处于流动状态的流体内部的压强称为流体动压强。
解:
pA pa m g (1 2 ) g (3 2 ) m g (3 4 ) g (5 4 )
pa m g (1 2 3 4 ) g (3 2 5 4 )
pa m g(1.8 0.6 2.0 1.0) g(2.0 0.6 1.5 1.0)
pa 13.6 103 9.81 2.2 103 9.811.9
故
pAabs 98.1 274.9 373KN / m2

第二章流体静力学

所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零，铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)

积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。

若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x

fy
W y
fz

W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等压面
§2-4

液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝

流体力学第二章流体静力学

第二章流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道，也可利用流体的平衡规律，知道其中任何二点的压差，这就是比压计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称为液柱高，例如： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大小，等于受压面面积与其形心点压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0

2.流体静力学

h
4g
ω
z’
z
H
o
D
例题 2－2
z 2R2 z' 0.2m
4g 2
z' 2z 2R2 0.4m
ω
2g
解得：
z’
2.97rad / s
z
H
h
n 60 178r转pm／分钟
o
2
例题 2－3
安全闸门如图所示，闸门宽 b= 0.6m，高 h1= 1m，铰接装置于距离底 h2= 0.4m，闸门可绕 A 点转动，求闸门自动打开的水深 h 为多少米。
3
δ0h δh43δ0m／432m
本讲小结
1
流体静力学的核心问题是根据平衡条件来求解静水中的压强分布，并根据静水压强的分布规律，进而确定作用在平面及曲面上的静水总压力。
流体静力学研究的静止状态，指的是流体内部任何质点以及流体与容器之间均无相对运动。本讲主要学习以下内容。
1. 流体静压强的两个特性： a. 只能是压应力，方向垂直并指向作用面。 b. 同一点静压强大小各向相等，与作用面方位无关。
（3）求使倒U形管液面成水平，即h2＝0时的压强差PB－PA （4）如果换成δ2＝0.6的工作液，求使PB－PA ＝0时的h1、h2、h3
δ2
h1 δ1 A
h2
h3 δ3 z
B
例题 2－1
解：（1） PA－γ1 h1 － γ2 h2 ＋ γ3 h3＝ PB
故 PA－γ1 h1 － γ2 h2 ＋ γ3 h3＝ PB
2. 等压面的特性：质量力垂直于等压面，只有重力作用下的静止流体的等压面为水平

第二章-流体静力学

第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。

计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。

（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。

（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。

需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。

（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。

求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。

（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。

压⼒体内不⼀定有液体。

正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。

（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。

2 流体静力学

缺点：易受人为破坏、降雨量的影响、易淤堵
2 U形水银测压计当被测点压强很大时，所需测压管很长，这时可以
改用U形水银测压计。
在U形管内，水银面N-N为等压面，p1=p2。对测压计右支对测压计左支 A点的绝对压强 A点的相对压强式中，与m分别为水和水银的密度。
3 差压计差压计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器
内各盛一种介质，其密度分别为 A和。B 因c-c面是等压面，于是
pA AghA pB B ghB m gh pA pB m gh B ghB AghA hA s hB h
hA h hB s pA pB (m A )gh (B A )ghB Ags
流体静压强基本特性
特性一：静止流体只能承受压应力，压强的方向垂直并指向作用面。
用反证法来证明此特性：取一块处于静止状态的流
体，若作用面AB上的应力p’ 的方向向外且不垂直于AB，则可分解成法向应力pn和切向
应力。
1）若存在，必然有流动，这与静止的前提不符， 0。 2）流体不能承受拉力，因此 p的方向必然是内法线方向，如图中的 p。
3
静压力与静压强
静压力：在平衡流体内部相邻两部分之间相互作用的力或流体对固体壁面的作用力称为压力，常以字母F表示。
静压力：取微小面积A ，令作用于A 的静压力为FP，则
单位面积所受的平均静水压力为 p FP /。A
静压强： p lim FP A0 A
静压力FP的单位：牛顿(N)；静压强 p 的单位：牛顿/米2(N/m2)，又称为“帕”(Pa)。
代入平衡微分方程
dp ( fxdx f ydy fzdz)
p0

流体流动2—流体静力学

2 x
2 x
各项均除以微元体的流体质量xyz
可得：
1 p
X
0
x
Байду номын сангаас
X 1 p 0
x
同理 y方向
Y 1 p 0
y
z方向
Z 1 p 0
z
…欧拉平衡方程
若将该微元流体移动dl距离
此距离对三个坐标轴的分量为dx、dy、dz
dp gdz 0

dp

g

dz

0
设流体不可压缩，即密度ρ与压力无关，可将上
式积分得：
p gz 常数或 p gz 常数

物理意义为：任一平面上，静压强与ρgz的和为
一常数
对于静止流体中任意两点1 和2，

p1

gz1
或p2

gz2
p2 p1 g(z1 z2 ) p1 gh
1.2 流体静力学
Fluid statics or Hydrostatics
流体静力学：研究流体在重力和压力作用下的规律
特点：流体处于相对静止状态，即流体在外力作用下达到平衡的状态
重力可以看作不变，因此变化的是压力实质：研究的是静止流体内部压强变化的
规律
一、静压强static pressure在空间的分布
dp Xdx Ydy Zdz

即流体平衡的一般表达式
等式两边分别表示压力和体积力所作的功
2、平衡方程在重力场中的应用：流体静力学基本方程式
如流体所受的体积力仅
为重力，并取z轴方向与

第二章流体静力学

当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求：（1）每根横梁所受静水总压力的大小；（2）各横梁至水面的距离。

工程流体力学2-流体静力学

该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，方向向右，作用点在水面下8.03m处。
流体力学
2.7 作用在曲面上的液体总压力
实际工程中经常遇到受压面为曲面的情况，如
弧形闸门拱堤堤面
贮水池壁面水管管壁
U形渡槽，等
本节仅对工程中应用最多的二向曲面（即具有平行母线的柱面）进行讨论。
p 表面力： pb dydz pc dydz dxdydz x
质量力：
f x dxdydz
据
流体力学
p F x 0 : f x d x d y d z d xdydz 0 x
2.1 流体平衡微分方程式
推导
p p dx dydz x
p0 h1
相对压强：
p0 abs pa 4900 g (h2 h1 ) 4900 1000 9.8 (0.5 1.5) 4900 Pa
A
绝对压强：
流体力学
p 0 abs 4900 p a 4900 98000 93100 Pa
故欧拉平衡微分方程可以写成全微分形式
dp ( f x dx f y dy f z dz )
通常作用在流体上的单位质量力是已知的，利用上式便可求得流体静压强的分布规律。
流体力学
第二章流体静力学
2.2 等压面

定义：在流场中，压强相等（dp=0）的各点组成的面。微分方程：
由定义得：
流体力学
2.1 流体平衡微分方程式
推导
1 p dx dydz p 2 x
b
a p(x,y,z)
c
1 p dx dydz p 2 x

第二章流体静力学

2、作用于六面体的质量力 x轴向
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程）
第二节流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可压缩气体仍然适用。由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。流体静压强总是沿着作用面的内法线方向。（2）静压强的各向等值性。在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个方向的流体静压强大小相等。
第一节流体静压强及其特性
第七节液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于流体上的质量力与压强递增率之间的关系。它表示单位体积质量力在某一轴的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相接的管子。两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节流体静压强的分布规律

流体力学第02章流体静力学

于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
二气体压强的分布（不讲）（不讲就不考）
三压强的度量--绝对压强与相对压强
1、绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为绝对压强。总是正的。
2、相对压强
解：相对静水压强：
p pabs pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p p0 pa ) (9.8 85 98) / 9.8 2.33m
g
例：如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为
25kN/m2，试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？
已知h1为5m，h2为2m。解：A、B两点的绝对静水
因水箱和测压管内是互相连通的同种液体故和水箱自由表面同高程的测压管内n点应与自由表面位于同一等压面上其压强应等于自由表面上的大气压强即ghgh11测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中aa点的液体压强点的液体压强可在容器上设置一开口细管可在容器上设置一开口细管
第二章流体静力学
流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 gh
式中
h z0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
深度。
p0 ：自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组
成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分相当于单位面积上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用
pA gLsin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。

第二章—流体静力学

单位换算关系
应力单位法液柱高度法液柱高度法
大气压倍数法大气压倍数法
帕
pa
1pa=1N/m2
米水柱
1mH2O=9.8103pa
mH2O
毫米汞柱
1mmHg=13.6mmH2O
mmHg =133.3pa
标准大气压
1atm=10.3323mH2O=
atm 760mmHg=101325pa 工程大气压 at 1at=10mH2O=735.6
作业
附加例：静止大气的压强分布国际标准大气 Z
dp ( fxdx f ydy fzdz)
dp gdz
O
对流层的压强分布
T T0 z
T0 288K 0.0065K / m
p RT
p dp
g z dz
p p0
R 0 T0 z
p
(1
g
z) R
(1
z
)5.2565
p0
T0
exp
g R T1
(z
z1 )
exp(
z
11000) 6336
六. 静止液体作用在平面壁和曲面壁上的总压力
o
hD hc P h a
c
D
力三要素？
b
a
c
y
大小，方向，
y
b
D dA
yc
x
作用点（压
y’
yD
力中心）
x’
P dP pdA ghdA (gysin)dA = pcA
A
A
A
PA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)= P1-P4
A、B中为液体时： P1 = PA +A g(zA-z1)

流体力学_02 流体静力学解读

pA ( y hm a) pB y
pA pB (hm a)
对于图b有：
pA A (Z1 hm ) pB B Z 2 hm pA pB ( A )hm B Z 2 A Z1
2019/4/21
p0 pa gh 98100 1000 9.81 1.5
83385 N/m2
a
pe0 p0 pa gh
1000 9.8 1.5
2019/4/21
由式（2—26）求得
p0
14715 N/m2
§2.4
液柱测压计
测量流体的压强是工程上极其普遍的要求，如锅炉、压缩机、水泵、风机、鼓风机等均装有压力计及真空计。常用的有弹簧金属式、电测式和液柱式三种。液柱式仪表测量精度高，量程小，适用于低压实验场所。下面介绍几种常用的液柱式测压计：一、测压管：测压管是一根直管或U形管，一端连接在需要测定的器壁孔口上，另一端斤开口，直接和大气相通，如图所示。由于相对压强的作用，水在管中上升或下降，与大气相接触的液面相对压强为零。这就可根据管中水面到所测点的高度直接读出水柱高度。
工程大气压法工程大气压
at
2019/4/21
2019/4/21
[补充例题]封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图（2—7）所示，已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强 p0 和相对压强 pe 0。液体静力学的基本方程式 [解] 将式（）用于容器内水面上任一点和玻璃管底部，有 p0 gh pa 当地大气压强 pa 在没有特别说明情况下，一般以1个工程大气压强计。故 p

2 流体静力学

工程流体力学第2章流体静力学

第二章流体静力学

2 流体静力学

第二章 流体静力学

流体力学第二章流体静力学

2.流体静力学

第二章-流体静力学

2 流体静力学

流体流动2—流体静力学

第二章流体静力学

工程流体力学2-流体静力学

第二章 流体静力学

流体力学第02章流体静力学

第二章—流体静力学

流体力学_02 流体静力学解读

第二章流体静力学

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