理论力学教学材料-2平面一般力系3

X i 0, X A 0
Y Yi 0, YA YB YD Q P 0 A 48.33(kN)
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X i 0,
[*例6]平面构架由杆AB、DE及DB铰接而成。已知重力P， DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且 R=2r=l，θ=450。求A、E支座的约束力及BD杆所受的力。 解(1)取整体为研究对象 mE ( Fi ) 0, N 2 2l P 5 l 0 A 2 5 2 NA P 8
Yi
S 4h YA a 0
S 4 Pa h
11
0 , YA S5 sin P 0
S5 0
Xi
0 , S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
截取截面应注意： ①截断的杆中要包含要求的内力 ；
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②对于平面桁架，截断的杆数一般不得超过三根；
20

(2)以AC为研究对象(分布力应照画)：
mC (Fi ) 0,
8 X A 4YA 4q 2 0
y
XC YC
X A 18.75kN
X
i
0, X A X C 0,
X C X A 18.75kN
XA YA
x
Y 0,
i
YA YC 4q 0, YC 7.5kN
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架
§2-5 平面静定桁架的内力
1
工程中的桁架结构
2
工程中的桁架结构
3
工程中的桁架结构
4
工程中的桁架结构
5
桁架：桁架是由若干直杆在两端以适当的方式连接而成的几 何形状不变的结构。
所有杆件都在同一平面内的桁架，称为平面桁架。杆端连接
处称为节点。
节点
杆件
代入S1' S1
解得: S3 10 kN, S4 10 kN

Xi 0
' S5 S 2 0
' 代入S2 S2后
解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Yi 0 , P S3' 0
' 解得S 10 kN, 3
恰与 S 3相等,计算准确无误。
S DB cos 45 2l T ' l X E 2l 0
S DB 3 2 P 8
28
8
一、节点法 [例12]如图，已知：P=10kN，求各杆内力？ 解：①研究整体，求支座反力

NA
YB XB
X i 0,
XB 0
mA ( F ) 0, 4YB 2P 0 mB ( F ) 0, 2 P 4 N A 0
X B 0, N A YB 5 kN
②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
10
二、截面法
I
[例13] 如图，已知： h，a，P 求：4，5，6杆的内力。 ① 解： 研究整体求支座反力
Xi
0,
) 0,
XA 0
XA
YA
I
NB
mB ( F i
YA 3a P 2 a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
由 mA ( F i ) 0 ,
6
实际桁架的构造和受力一般是较复杂的，为了简化计算，作 如下假设：
①杆件两端为光滑铰链连接； ②外力都作用在节点上，且在桁架平面内； ③杆重忽略不计或 均分到节点上。 由假设，桁架中各 杆件均为二力杆。
力学中的桁架模型
( 基本三角形依次累加 两根杆，构成几何不 变结构)
(b) (a) (c)
7
工程中常见的桁架简化计算模型
③ 平衡
R ' 0,M O 0;
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
14
n
合力矩定理
平面一般力系的平衡方程 三、
一矩式 二矩式 三矩式
X 0 Y 0 mO ( F ) 0
X 0 m A ( F ) 0 m B ( F ) 0
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0 mC ( F ) 0
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[例4] 已知 P d,求：a.b.c.d四杆的内力？
解：由零杆判式
Sc S d S a 0
研究A点：
由Y 0
Sb cos45o P 0
Sb 2P
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[例5] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力
解：①研究起重机 由 mF ( Fi ) 0
③一定要把桁架至少分成两部分（要一刀两断，不要藕断丝 连）；
④选取受力简单的部分为研究对象（要单独画出其受力图） ，截断的杆用内力代替。
说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力, 与所设方向相反。
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三、特殊杆件的内力判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆 （内力为零的杆）。 ② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 ③ 四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆 内力等值、同性。
A,B连线不 x轴 A,B,C不共线
平面平行力系的平衡方程 X 0 成为恒等式 一矩式 二矩式 Y 0 m A ( F ) 0
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0
A B 连线不平行于力线
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平面汇交力系的平衡方程
mA ( F ) 0 成为恒等式
YG 2 Q 1 P 5 0
50510 G Y 50(kN) 2
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② 研究梁CD mC ( Fi ) 0, YD 6 YG' 1 0 50 YD 8.33(kN ) 6 ③
研 究 整 体
Y mA ( Fi ) 0, YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 B 100( kN)
Yi 0,
N A cos 45 X E 0 5 XE P 8 N A sin 45 YE P 0
13 YE P 8
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(2)取大小轮及重物为研究对象
mB ( Fi ) 0,
Pr T R 0 P T 2
(3)取DE为条件对象
mC ( Fi ) 0,
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[例2]刚架自重不计，q=15kN/m，
P=10kN，m=20kN．m，求A、B 、C 三处的约束反力。 解： （1）以整体为研究对象：

y
m A ( Fi ) 0, 8YB m 4 P 4 8q 0
YB 62.5kN

XA YA
XB
x
YB
Yi 0, YA YB P 8q 0, YA 67.5kN X i 0, X A X B 0 ------------------------(*)


X 0 0
Y
平面力偶系的平衡方程
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≥ 未知力数目———静定问题 独立方程数 ＜未知力数目———静不定问题 五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是：由整体
局部
单体
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六、解题步骤与技巧 解题步骤 解题技巧
投影轴； ① 选研究对象 ① 选坐标轴最好是未知力 ② 画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上； ② ③ 选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。
0 Xi 0 S2 S1 cos30 0 0 Yi 0 N A S1 sin 30 0
解得S2 8.66kN,S1 10kN(表示杆受压 )
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Xi 0
S4 cos300 S1 ' cos300 0
Y i
0
S3 S1 'sin300 S4 sin300 0
解方程得
M B 100011000( Nm) 18
2. 再研究CD杆 ① 受力如图 ② 取矩心列方程
o mE ( Fi ) 0, SCA sin 45 CE P ED 0
③ 解方程求未知数 S PED 1000 1 1414 N) ( CA o sin45 CE 0.7071
将XA=18.75kN代入（*），得XB=18.75kN
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[例3]图示结构，水平力P=500N，重物重Q=500N，滑轮H半径 r=20cm，不计杆、滑轮、绳重，求杆CE作用于销钉K的力。 解： YA NE （1）以整体为研究对象：
m A ( Fi ) 0, Q( 50 r ) 150 P 100 N E 0 N E 1100N
④解方程求出未知数
七、注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
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八、例题分析 [例1] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
1. 解： 选整体研究 ① 受力图 ② 选坐标、取矩点 ③ 列方程为: X i 0, X B 0 Yi 0, YB P 0, YB P mB ( Fi ) 0, M B P DE 0
S1 S2 0
且S1 S2 , S1 S2
S1 S 2 , S1 S 2 S3 S4 , S3 S4