预初数学名师讲义

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【上海初中数学讲义】预初(上)第15讲：期末复习-运算类教师版

第15讲期末复习-运算类一、分解素因数、最大公因数与最小公倍数（1）当两个数成倍数关系时，较小的那个数就是他们的最大公因数.它们的最小公倍数就是其中较大的那个数.（2）当几个数彼此互素时，他们的公因数只有1，所以最大公因数就是1.它们的最小公倍数就是它们的乘积.最大公因数和最小公倍数的性质：（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互素的.（2）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.二、三连比的性质：1．如果::a b m n =，::b c n k =，那么::::a b c m n k =.2．如果0k ≠，那么::::a b c a b c ak bk ck k k k====. 三、比例的基本性质：如果::a b c d =或a cb d =，那么ad bc =；反之，如果a ，b ，c ，d 都不为零，ad bc =，那么a :b =c :d 或a c b d=.【例题1】填空1. 一个数x 加上127，它们的和既是2的倍数，又有因数5，x 最小是 .2. 已知：532⨯⨯=A ，那么A 所有的因数共有个3. 甲数=322⨯⨯，乙数=332⨯⨯，甲数与乙数的最大公因数是____________.4. 最小的合数和最小的素数的最小公倍数是______________.5. 两个合数是互素数，它们的最小公倍数是36，这样的数有________________________.【例题2】填空1. 108千克花生可榨油96千克,平均一千克花生能榨油____千克.(结果用最简分数表示)2. 一学校四月份用水150吨,比三月份节约了30吨,四月份用水是三月份的__________5. 一块试验田的的 .6. 已知b a 5432=，则a ：b =_____________ 7. 在比例式中，两个外项互为倒数，其中一个内项是321，则另一个内项是______【例题3】算一算.（1）75.18741375.2-+-（2）741391351⨯÷（3）81367941216+⨯÷ （4）%7572207152⨯+÷【例题4】列式计算1. 一个数减去611的差同722与313的和相等，这个数是多少？2.【例题5】求::a b c .（1） 11:0.4:0.3::52a b b c ==，（2）2:34:54:33:2a b b c ==，4914171417与的差的是多少？（3）1:0.2::2:3%3a b b c ==，（4）==345a b c【例题6】比例 1. 已知)12(:4)1(:5-=+x x ，求x2. 已知：5323x y x y +=-，求:x y 的值.【练习1】填空：1. 已知面积是224cm 长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方形的周长________.2. 两个素因素的积是143，则他们的和是 .3. 因为233m =⨯⨯，所以m 的素因素有个，m 的因数有个.4. 如果A 和B 的最大公因数是15，且23A k =⨯⨯，37B k =⨯⨯，那么k = .5. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公因数是，最小公倍数是 .6. 已知某学校六年级学生超过100人，不足140人，将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人，那么六年级学生有人.【练习2】填空1. 己知3455x <<,则x 可以是_______, x 的取值可以有_____个. 2. 一套西服240元，其中裤子的价钱是上衣的53，上衣的价格是元 3. 10克盐溶入45克水中，则盐与盐水重量的比是________4. 今年的房价比去年同期上涨了40%,今年的房价是去年房价的 %5. 大小两个齿轮，大齿轮每分钟转50圈，小齿轮每分钟75圈，由大小齿轮各转一圈所需时间的比是_________【练习3】计算:（1）（2）16365983⨯÷-（3）3087175)1.216153(÷+⨯- （4）6031415150⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-.【练习4】195与7315的和，减去415所得的差比某数大215，求该数.【练习5】求::a b c .（1）11:1:2:2:323a b b c ==，（2）83:8.0:=b a , 311:2.1:=c b【练习6】解比例方程：(2):(1)12:9x x ++=1871-499⨯÷（）【练习1】填空：1. 用0、1、2三个数字组成一个三位数，在这些三位数中，所有同时能被2、5整除的三位数是．2. 分解素因数：45＝．3. 12与18的最小公倍数是 .4. 0.6的倒数是．5. 一包糖重75公斤，平均分给3个人，每人可以得到公斤． 6. 正整数a 取时，7a 是假分数且9a 是真分数． 7. 比较大小：87________65.（填“＞”或“＜”） 8. 18分：1.2时=__________.【练习2】计算（1）30193)252532(÷÷-÷（2）（3）（4）5122.2755723512+⨯+⨯【练习3】已知：11:0.2:0.3::43x y y z ==，，求::x y z .【练习4】已知：x 5∶3＝411∶5，求x 的值．【练习5】一个数减去526，再加上213，等于132.求这个数.5112.5124662--+11121(3)(2)12178÷⨯【例题精讲】【例题1】（1）3 （2）8 （3）6 （4）4 （5）49和【例题2】（1）98 （2）56 （3）421 （4）6:5 （5）35【例题3】（1）114 （2）117 （3）1 （4）2542【例题4】（1）28542（2）317 【例题5】（1）8:6:15 （2）54:45:40 （3）::120:200:3x y z = （4）3:4:5【例题6】（1）1.5 （2）:13:12x y =【学习巩固】【练习1】（1）20 （2）24 （3）3、6 （4）5 （5）1、mn （6）123【练习2】（1）710、无数（2）150 （3）211（4）140 （5）3:2 【练习3】（1）1 （2）425 （3）118（4）13 【练习4】111015【练习5】（1）2:6:9 （2）192:90:100【练习6】2x =【家庭作业】【练习1】（1）120、210 （2）45335=⨯⨯ （3）36 （4）53（5）521 （6）7或8 （7） > （8）1:4【练习2】（1）5123285 （2）3 （3）1118（4）22 【练习3】6:4:3【练习4】320【练习5】243。

黄浦新王牌暑假前瞻预习辅导班预初数学讲义应WQ老师

预备数学暑假班第一讲整数与整除2015.7.7【问题1】将下列数字分类后填入下列表格－1，－6，0，5，－100，2，99。

【归纳】1、零和正整数统称为自然数2、正整数、零和负整数统称为整数【例题1】整数有多少个？自然数有多少个？是否有最小的自然数？是否有最大的整数？有最小的正整数？有最大的负整数？【问题2】观察下列算式，选择一个合理的角度进行分类。

24 ÷2=12，6÷0.2=30，21 ÷3=7，5÷2=2.5，25÷7=3......4，32÷3=10 (2)【回顾】若两个数相除所得的商是整数或者有限小数，则称一个数能被另一个数除尽。

【定义】整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。

a b c ÷=（a b c 、、都是整数，且0b ≠）【例题2】1. 30÷6＝5，我们可以说__________被__________整除，或者__________能整除_________。

2. 下列各组算数“①2.4和1.2；②10和4；③6和12；④10和0.1；⑤21和7；⑥5和5；⑦0和5”中，第一个能被第二个数整除的是__________________。

3. 下列除法算式中：“①35÷6＝5……5；②21÷3＝7；③0.5÷4＝0.125；④6÷4＝1.5；⑤1÷7＝0……1；⑥m ÷n ＝4”表示除尽的算式有________________，表示整除的算式有_______________；【问题3】边长为整数，面积为12的长方形，它的长和宽各可能是多少？【概念】整数a 能被整数b 整除，称a 是b 的倍数，而b 是a 的因数（约数）。

【例题3】1. 判断下列说法是否正确：(1) 因为20÷4＝5，所以20是倍数，4是因数。

著名机构六年级数学讲义寒假05-预初基础版-一元一次方程-教师版

教师姓名冯娜娜学生姓名年级预初上课时间单击此处输入日期。

学科数学课题名称一元一次方程一元一次方程知识模块Ⅰ：方程与方程的解1、方程及其相关概念（1）未知数：用字母x 、y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；（5）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；如在方程 2.50x +=和2052y -=中，x 、2.5、25、2y-都是方程中的一项；（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x 的系数为1，2y-的系数为12-；（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2y-的次数都是1；（8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25． 2、方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．【例1】判断下列各式，哪些是方程？（1）01>-；（2）267x -=；（3）2y y -=；（4）2736x x -+=；（5）57x -；（6）69.14π+=；（7）325p +≤；（8）23x y=；（9）431-+=-．【答案】（2）、（3）、（4）、（8）．【例2】（1）方程23503x mn -+=中，项3x 的系数是______，次数是______；项23mn -的系数是______，次数是______；常数项是______．【答案】3，1，23-，2，5．【例3】检验下列各数是不是方程71102x x +=-的解．（1）1x =；（2）2x =-．【答案】（1）是，（2）不是．知识模块Ⅱ：等式的概念与性质1、等式的性质：（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得的结果仍是等式。

最大公因数和公倍数

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：预初课时数：3学员姓名：王奕辅导科目：数学学科教师：刘森授课类型T素数和合数T 最大公因数和最大公倍数授课时间2014教学目标掌握素数和合数的概念和区别、掌握如何求最大公因数和最大公倍数教学内容一、质数和合数质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。

合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

最小的合数是4，没有最大的合数分解质因数质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常运用短除法。

分解质因数时，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连成的形式。

例1、50以内最大质数与最小合数的乘积是（）。

例2、有两个数都是质数，这两个数的和是8，两个数的积是15，这两个数是：（）和（）随堂练习：1、有两个数都是质数，这两个数的和是15，两个数的积是26，这两个数是：（）和（）。

2、既不是质数，又不是偶数的最小自然数是()；既是质数；又是偶数的最小自然数数是()；既是奇数又是质数的最小自然数是()；既是偶数，又是合数的最小自然数是()；既不是质数，又不是合数的最小自然数是()；既是奇数，又是合数的最小的自然数是()。

3、两个质数的和是22，积是85，这两个质数是（）和（）。

二、最大公因数和最小公倍数最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

预初数学期中复习知识点整理

第一讲数的整除一、整除1. 概念：对整数a、b、c，若a÷b=c 余0，则称a被b整除，或b整除a。

2. 特殊数的整除特征：被2、5整除；被4、25整除；被8、125整除；被3、9整除；被7、11、13整除二、因数和倍数1. 求一个数的因数，如12的因数有哪些？2. 一个数最小的因数是1，最大的因数是其本身。

3. 求因数个数，因数和4. 素数、合数、1（判断较大的数是素数还是合数，如667）5. 100以内的素数6. 分解素因数：短除法（分到出现素数，不可出现1）三、最大公因数、最小公倍数1. 方法：分解素因数法、短除法（分到互素，可出现1）2. 特殊性质：[M, N]×（M, N）=M×N3. 分数的最大公因数、最小公倍数四、余数定理和同余1. 余数定理：和/ 差/ 积的余数等于余数的和/ 差/ 积的余数2. 同余：几个数除以同一个数（M），若它们的余数相同，则这几个数关于该数（M)同余3. 同余特性：几个数关于某数同余，那么它们的差能被该数整除第二讲分数一分数1. 概念a/b→ a÷b → a:b(b≠0）2. 分类：真分数、假分数、带分数3. 假分数与带分数互化4. 性质：分数的分子、分母同时乘以（通分）或除以（约分）同一个不为0 的数，分数值不变5. 最简分数：分子分母互素二小数、分数互化1. 小数→分数（仅指小数部分）有限小数：看零位，一位小数十分之几，两位小数百分之几。

纯循环小数：一个循环节/ 循环节几个数几个"9"混循环小数：(所有数-不循环的数)/循环节几个数几个9，不循环的部分用0代注意：最后结果一定要化为最简分数2.分数→小数：分子÷分母分母只含因数2、5，化为有限小数分母只含因数非2、5，化为纯循环小数分母既含因数2、5，又含因数非2、5，化为混循环小数三分数的计算1. 加减：同分母，分母不变，分子相加减；异分母，先通分，再计算2. 乘除：乘法，分子×分子/分母×分母除法，除以一个数等于乘以它的倒数注意：带分数，加减法中一般拆成正整数+真分数乘除法中一般化为假分数乘除法中能约分先约分，再计算3. 运算定律：交换律，结合律，分配率4. 运算技巧：拆分：拆成相加：拆成几个数相加→约数法拆成两个数相加→裂项法拆成相减：裂项相消法换元法通项法5. 繁分数法一，将主分数线看成÷，分子÷分母法二，分子、分母同时乘以各小分母的最小公倍数。

【上海初中数学讲义】预初(上)第14讲：圆与扇形的面积教师版

第14讲圆与扇形的面积1. 圆的面积公式：设圆的半径长为r ，面积为S ，那么圆的面积2==S r r r ππ⨯ 2. 圆环面积圆环的计算公式（r 表示小圆半径，R 表示大圆半径）22=S R r ππ-圆环 3. 扇形面积公式：设组成扇形的半径为r ，圆心角为o n ，弧长为l ，那么21==3602n S r lr π扇形特别地：360S nS=扇 4. 组合图形面积（1）计算图形面积时，经常用到割补法，要善于添加辅助线，把图形分割成几个基本图形，再分别求出它们的面积.（2）一些复杂的图形，要经常用到平移、翻转等方法，把复杂图形转化为基本图形，再分别计算它们的面积.【例题1】填空：1. 在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是_________平方厘米.剩下的面积是__________平方厘米.2. 大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的__________.3. 已知外圆的半径为2cm ，内圆半径为1cm ，圆环的面积为 .4.小圆的半径为2，大圆的直径为8，那么大圆的面积是小圆的__________倍.5. 甲圆的半径是乙圆的43，则甲圆与乙圆的周长之比为面积之比为_______ 6. A B 两圆的周长之比为2:3，其中一个大圆的面积是18，另外一个圆的面积为：______ 7. 若两圆的周长和为87.92cm ，并且大圆的直径是小圆直径的3倍，则小圆的面积为______【例题2】（圆的面积）已知甲圆的半径长等于乙圆的直径长，且它们的面积之和是100平方厘米，那么甲圆的面积是多少？【例题3】（圆环面积）已知一个圆形花坛的直径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，求这条小路的面积。

【例题4】（扇形面积）已知圆心角为60 ，OC=6厘米，AC=2厘米，求阴影部分的面积.【例题5】（组合图形问题）求图中阴影部分的面积.【例题6】如图，长方形ABCD的长AD=8cm，宽AB=6cm，求阴影部分的周长和面积.【例题7】有一只狗被拴在建筑物的墙角上，这个建筑物是边长600厘米的正方形，拴狗的绳子长20米，现在狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，求狗跑过的图形面积【练习1】填空：1. 有相同周长的长方形、正方形、圆，它们的面积从大到小是_________________________.2. 如果一个扇形所含圆弧的长是相同半径圆周长的51，那么这个扇形的面积是这个圆面积的．3. 如图，三个同心圆的半径分别为2、6、10，则图中阴影部分占大圆面积的____________%.（第3题）（第4题）（第5题）4. 如图，大小两个圆重叠部分的面积是20平方厘米，是大圆面积的18，是小圆面积的16，则大圆面积比小圆面积多__________平方厘米.5. 如图所示，圆1O 、圆2O 、圆3O 的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为_______平方厘米.【练习2】两个圆的周长之比是3∶2，面积之差是10平方厘米，两个圆的面积之和是多少？【练习3】如图中两个相连的正方形的边长分别是8厘米、3厘米，求阴影部分的面积.【练习4】求阴影部分的面积.【练习5】某已知直角三角形三边长为12、16、20，求阴影部分的面积.【练习6】如图，已知AB=10cm，以AB为直径的半圆绕A点旋转了30 ，求阴影部分的面积．（结果保留π）【练习7】如图A与B两个圆（只有14）的圆心,那么两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？【练习8】如图，小杨将自家宠物A栓在墙角，若绳长为3米，求小狗在地面活动的最大区域面积．【练习1】如图所示，Rt△ABC中，∶C=90°，AB=10，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为___________.【练习2】已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积.A B【练习3】求下列阴影部分的面积．（1）（2）【练习4】已知小正方形的边长是2，大正方形的边长是4，求阴影部分的面积．【练习5】如图是以边长为40米的正方形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 长为半径的弧与以CD 、BC 为直径的半圆构成的花坛（图中阴影部分）．小杰沿着这个花坛边以相同的速度跑了6圈，用去了8分钟，求小杰平均每分钟跑多少米？A BCD【例题精讲】【例题1】（1）4、0.86 （2）49（3）3π （4）4 （5）3:4、9:16 （6）8 （7）494π 【例题2】280cm 【例题3】5π2m 【例题4】143π2cm 【例题5】（1）32 （2）816-π 【例题6】()10cm π+8、2(2648)cm -π 【例题7】166π2m【学习巩固】【练习1】（1）圆、正方形、长方形（2）15（3）33 （4）40 （5）2π【练习2】26【练习3】9(214-π)2cm【练习4】()88-π 【练习5】96 【练习6】253π2cm 【练习7】()238cm -π 【练习8】52π2m【家庭作业】【练习1】254π 【练习2】24-π【练习3】（1）8π （2）24-π 【练习4】2+π【练习5】()6030/min m +π。

上海预初六年级数学上册复习讲义数学4-一次方程组-老师

学科教师辅导讲义学员学校：年级：预初课时数：2 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题一次方程组授课时间：备课时间：教学目标1、了解二元一次方程、二元一次方程组的概念2、理解并掌握解二元一次方程组的方法，代入消元法，加减消元法3、会运用代入消元法，加减消元法等方法解二元一次方程组4、了解三元一次方程组的概念5、理解并掌握解三元一次方程组的思想方法6、会运用列一次方程组的方法解决相关应用题重点、难点1、理解并掌握解二元一次方程组的方法，代入消元法，加减消元法2、会运用代入消元法，加减消元法等方法解二元一次方程组3、会运用列一次方程组的方法解决相关应用题知识精要一.二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。

二.二元一次方程的解二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值。

记作：x ay b=⎧⎨=⎩.二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做～。

三.二元一次方程组方程组中含有两个未知数，且未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组。

标准形式：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中12,a a 中至少有一个不为0，12,b b 中至少有一个不为0）四.二元一次方程组的解在二元一次方程组，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。

检验一组数是否为二元一次方程组的解的方法：将这组数值分别代入方程组中每个方程，满足所有方程时，这组数值是此方程组的解，否则不是。

五.用代入消元法解二元一次方程组①从方程组中选一个系数较简单的方程，将这个方程中的某个未知数且另一个未知数的式子表示；②将得到的式子代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④求出另一个未知数的值。

六.用加减消元法解二元一次方程组把两个方程的两边分别加减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法。

上海预初(六年级)下册数学讲义之有理数

有理数（一）知识储备1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

2.有理数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3.数轴：（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。

（2）意义：任意有理数都可以用数轴上的点来表示；任意数轴上的点都可以用来表示有理数；（3）用数轴比较有理数的大小：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大。

4.相反数（1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

（2）性质：任何一个数都有相反数，并且只有一个相反数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

互为相反数的两个数的和为0. a 与b 互为相反数，则a+b=0.（3）几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

5.绝对值在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫这个数的绝对值。

0)(a a - 0)(a 0 0)(a a ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=a 不论有理数a 取何值，它的绝对值总是非负，即0≥a6.倒数乘积为1的两个数互为倒数。

a 与b 互为倒数，则ab=1. 注意：倒数是它本身的数有1和-1. 7.有理数大小比较正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

8.有理数的加减交换律 a b b a +=+ a b b a +-=- 结合律 ()()c b a c b a ++=++ 9.理数的乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘得0.乘法交换律:ab=ba; 乘法结合律:abc=(ab)c=a(bc). 乘法分配律:a(b+c)=ab+ac; 几个不等于0的数相乘,负因数的个数为偶数个时,积为正数; 负因数的个数为奇数个时,积为负数. 10.有理数的除法除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数:a ÷b=a ×b1(b 为不等于0的数). 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.一个数同不为0的数相除,仍得0. 11.乘方的有关概念．(1)求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方， a n读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)．(2)乘方的意义：a n表示n 个a 相乘．nan a a a a a =⨯⨯⨯⨯个12 .a n 与－a n的区别．(1)a n表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．(2)－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 13.乘方运算的符号规律．(1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数． (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．所以，任何数的偶次幂都是正数或0． 14.有理数混合运算法则(1) 先乘方，再乘除，最后加减。

著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).教师版

内容基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题实数了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无理数的发现 ── 第一次数学危机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实数困难和微妙之处．第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”．算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥．平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【难度】1星【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．例题精讲【难度】2星【解析】A 22(16)a +，故A 的算术平方根为216a +．【答案】216a +【巩固】设a a 的值是________．【难度】2星【解析】a 48a 必须是完全平方数，因为24843=⨯整数的整数a 为3．【答案】3【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2 （3（4）；（5）；（6；【难度】1星【解析】略【答案】（1）0x ≥；（2）x =0；（3）2x ≤；（4）x 为任意数；（5）x >1；（6）112x -≤≤．对计算的考察【例3】求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______；（2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______；（4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【难度】1星【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【例4】求下列各式的值（1）（2（3 （4（5 （6【难度】1星（1）2612⨯=；（27512=+=；（30.30.80.5-=-；（4290.91365=⨯=；（520===；（6110.8250.25 5.245=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12；（2）12；（3）0.5-；（4）965；（5）20；（6）5.2．【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =；（2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【难度】1星【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±；（2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±；（2）5x =±；（3）45x =或25x =-；（4）54x =或x =46．对非负性的考察【例5】如果3a b -+【难度】2星【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得4353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【例6】已知2b =，求11a b+的平方根．【难度】2星【解析】由题可知940490a a -≥⎧⎨-≥⎩，49a ∴=，b =2，=【答案】【巩固】已知x ，y ，z满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值．【难度】2星【解析】由题可知441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y -1111()()22416=--⨯-=．【答案】116总结：（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<的算术平方根的大致范围．模块二立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略．前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】（1）下列说法中，不正确的是（）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（）A ．- B ．114± C ． 114 D ．114-（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个（4）下列说法正确的是（）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ．以上都不对（6）下列运算中不正确的是（）A ．= B ．3C 1-D ．4【难度】1星【解析】略【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【难度】2星【解析】略【答案】（1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1；（7）0；（8）对计算的考察【例8】求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______；（2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______；（4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______．【难度】1星【解析】略【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2．【例9】求下列各式的值（1 （2（3）（4）3（5 （6（7【难度】1星【解析】略【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【巩固】（1）填表：（2（3）根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．【难度】2星【解析】略【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ②0.7696．总结：（1）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．（2）a =，3a =（3）若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<<综合应用【例10】 2(27)b +的立方根．【难度】2星【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+=．【答案】1【例11】已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【难度】2星【解析】Q2(2)=±，6x ∴=；Q 3=，8y ∴=，10==±．【答案】10±总结：平方根与立方根的区别与联系：区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略．（2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数．（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-；联系：（5）平方根与立方根相等的数是0．（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．模块三实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．５实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（）（5）若x =则x =（）【难度】2星【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【例13】下列说法错误的是（）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【难度】1星【解析】略【答案】D【例14】下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【难度】1星【解析】略【答案】A对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【难度】1星【解析】略【答案】【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______．【难度】1星【解析】略【答案】-3.141π；【例17】若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______．【难度】1星【解析】略【答案】1或1-实数的分类【例18】把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【难度】1星【解析】略【答案】（1）－1 3.14-、1、7.0&、0；（2、π（3）－10（4π、1、7.0&；（5）－1、 3.14-、比较大小【例19】估）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【难度】1星【解析】略【答案】C【例20】实数2.6 （）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6< 【难度】２星【解析】略【答案】B【例21】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【难度】1星【解析】略【答案】A【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-，【难度】1星【解析】略【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．对计算的考察【例22】计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++ 【难度】1星【解析】（1）32716949+-71333=-+=-；（2）233)32(1000216-++226101633=++=．【答案】（1）3-；（2）2163．综合应用【例23】写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数；（2）绝对值小于22的所有整数．【难度】2星【解析】略【答案】（1）1，2，3，4；（2）1-，2-，0，1，2．【例24】一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【难度】1星【解析】设这个水底的底边长为x ，则有2143150x =，解得15x =．【答案】15【例25】已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【难度】2星【解析】91116<<Q ，∴3114<<，11∴的整数部分为3，小数部分为113-，3,113a b ∴==-，32()(3)a b -++32(3)(1133)271116=-+-+=-+=-．【答案】16-总结：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b >；若2()a ＜2()b ，则a b <；若2()a ＝2()b ＞，则a b =．（2）比较被开方数的大小：a ＞0，b ＞0，若a ＞b ，则a b >；若a ＜b ，则a b <；若a ＝b ，则a b =．（3）作差法：若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，则a ＜b ．（4）作商法：a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ．【练习1】下列说法正确是（）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【难度】1星课堂检测【解析】略【答案】A【练习2】下列命题中，真命题是（）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C6=± D ．若22a b =【难度】1星【解析】略【答案】D【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（）输出y输入xA ．6 BCD．【难度】２星【解析】略【答案】B【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是．【难度】1星【解析】略【答案】2π【练习5】计算：（1（2【难度】1星【解析】（1585355245420+=-+=-；（2340.60.4-+=-．【答案】（1）3220-；（2）0.4-．【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy +3的值．【难度】2星【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出x ，y 的值，代入即可解决问题．【答案】21.通过本堂课你学会了．2.通过本节课，你复习的知识点．3.掌握的不太好的部分．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】1星【解析】错误的有（1），（2），（4）．【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【难度】1星【解析】略【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到，则A′的坐标为．【难度】2星【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减．【答案】(22,33)-+-4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【难度】1星课后作业总结复习【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>>5.计算:（1 （2）2(2)-【难度】1星【解析】（111213333=-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=．【答案】（1） 13- ；（2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【难度】1星【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．【难度】2星【解析】Q 0a +，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【难度】2星【解析】nQ 2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+Q ，1n n ∴<<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【难度】2星【解析】（5=（6=【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【难度】3星【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=Q ，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-Q ，b a ∴≥，2,4a b ∴==，==。

20181122预初第一讲计数与计算

第1讲计数与计算PART 1 数的认识一、夯实基础1．数的意义（1）自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3……叫做自然数。

（2）小数把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

（3）分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

（4）百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。

百分数也叫百分率或百分比。

百分数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。

2．数的大小比较（1）整数的大小比较比较两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。

（2）小数的大小比较比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的小数比较大；如果整数部分相同，就看十分位，十分位大的小数比较大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小数比较大……（3）分数的大小比较整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。

例如：41＜43，265＞261。

整数部分相同的同分子分数，分母小的分数比较大。

例如：32＞52，354＞374。

分子、分母不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数化成小数再进行比较。

3．小数、分数、百分数的互化（1）小数化成分数。

原来是几位小数，就在1后面写几个零做分母，把原来的小数去掉小数点做分子，能约分的约分。

（2）分数化成小数。

分母是10、100、1000的分数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子从最后一位起向左数出几位，点上小数点。

分母是任意自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。

一个最简分数，如果分母中有除了2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

（3）小数化成百分数。

只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

（4）百分数化成小数。

只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

（5）分数化成百分数。

上海预初数学辅导书

上海预初数学辅导书
上海预初数学辅导书是针对上海地区预初学生的数学学科辅导资料。

本辅导书基于上海市教育局颁布的预初数学教学大纲和教材编写
而成，旨在帮助学生全面提高数学素养和解题能力。

本辅导书包含了预初数学各个知识点的详细讲解和丰富的题目练习。

每个知识点都有简明扼要的概念解释和相关定理的表述，配以具
体例题和解题思路分析，帮助学生理解和掌握数学知识。

同时，每个
知识点后都设置了大量的练习题，供学生进行巩固和拓展训练。

这些
练习题有选择题、填空题和解答题等不同类型，覆盖了各种解题方法
和思维方式，能够帮助学生在多种数学问题中迅速找到解题思路，提
高解题效率。

本辅导书注重培养学生的数学思维和问题解决能力。

通过分析、
推理和抽象等数学思维方法的训练，引导学生理解和运用数学知识解
决实际问题。

同时，辅导书中还融入了一些数学思维训练的特别部分，如数学建模、数论等，帮助学生培养更高层次的数学思维和创新意识。

为保证学生有效使用辅导书进行学习，本书还配有详细的解答和
答案解析，以便学生对于练习题的掌握情况进行自我检测和纠正。

同时，辅导书中也提供了一些学习方法和技巧的介绍，帮助学生合理规
划学习时间、提高学习效果。

总之，上海预初数学辅导书是一本内容详实、知识丰富、题目多
样的预初数学学科辅导资料。

它旨在帮助上海预初学生全面提高数学
素养，培养数学思维和解题能力，为顺利完成数学学科考试打下坚实
的基础。

预初数学(一元一次方程的应用B)学科教师版

年级：预初辅导科目：数学课时数：3课时
课题
一元一次方程的应用B
教学目的
1.会运用题目中等量关系列出方程；
2.熟练掌握一元一次函数在实际生活中的应用.
教学内容
【知识梳理】
1.列方程解决实际问题的一般步骤
①审题：弄清题意及题目中的数量关系．
②设元：用字母表示题目中的一个未知数．
③列方程：根据题目中的等量关系列方程．
【例4】小杰和小丽分别在400米环形跑道上联系跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一起点同向出发，问几分钟后小丽与小杰第一次相遇.
【分析】由于小杰、小丽在环形跑道上同时同地同向出发，因此小丽与小杰第一次相遇，必须是小杰比小丽多跑一圈，得到的等式是：小杰所跑的路程—小丽所走的路程=400.
【答案】0.8分钟.
题型五：工程问题
【例5】一项工程甲做40天完成，乙做50天完成，现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成．问甲、乙各工作了多少天？
【分析】由题意知，甲每天完成全部工作量的，乙每天完成，设甲工作了天，则乙工作了（）天，
根据题意，得．解得，则（天）．
故甲工作了16天，乙工作了30天．
因为“速度×时间=路程”，所以三个量中只要已知其中两个量就可以得到第三个量.
【答案】设分钟后小丽与小杰第一次相遇.根据题意，得
解方程，得
答：出发2分钟后小丽与小杰第一次相遇.
【借题发挥】
1.小丽、小明在400米环形跑道上练习跑步，小丽每分钟跑220米，小明每分钟跑280米，两人同时由同一起点反向而跑，几分钟以后小丽与小明第一次相遇？
④解方程；求出未知数．
⑤检验：检验所求解是否符合题意．

著名机构六年级数学讲义寒假01-预初基础版-有理数-教师版

教师姓名冯娜娜学生姓名年级预初上课时间单击此处输入日期。

学科数学课题名称有理数有理数知识模块Ⅰ：有理数的意义（一）相反意义的量在人们的生活和生产实践中，存在大量的相反意义的量，如温度是零上5℃和零下10℃；汽车前进5米和后退3米；盈利300元和亏本200元；珠穆朗玛峰高出海平面8844米和吐鲁番盆地低于海平面155米；…如果只用原来所学过的数很难区分具有相反意义的量，为了解决这个问题，就必须引入一种新的数一一负数，一般情况下，规定收人、增加、上升、零上高于海平面等为正，另一相反意义的量支出、减少、下降、零下、低于海平面等规定为负；但也可随意规定．（二）正数、负数的概念像25,, 1.33+等这样比0大的数叫做正数；像370,, 1.74---等，在正数前面加上“-”号的数叫做负数。

零既不是正数，也不是负数。

（三）有理数的概念（1）正整数、0和负整数统称为整数；正分数负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。

（2）有理数的分类：按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．【例1】⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 . ⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0， 1.4+，3-， 4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 . ⑷ 向南走200-米，表示 .【答案】⑴5000-元；⑵低于海平面600米的高度；⑶22.7C ︒，20C ︒，21.4C ︒，17C ︒，15.3C ︒； ⑷ 向北走200米.【例2】把下列各数填入它所属的圈内： 10-，69， 1.7-，45，279，0，46%，0．76，23-，158．【答案】正数：69、45、279、46%、0.76、158；负数：10-、 1.7-、23-．【例3】回答问题：（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？【答案】（1）没有，没有，没有，没有，没有，没有；（2）有，没有，没有，有；（3）没有，有．【例4】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，0，5.5555，20-，0.3g，567．【答案】正整数：11，567；负数：18-，5-，158-， 5.67-，20-；正分数：215，0.3，5.5555，0.3&；非负数：11，215，0.3，π，0，5.5555，0.3&，567；有理数：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，0，5.5555，20-，0.3&，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3&，567．知识模块Ⅱ：数轴（一）数轴的概念及画法1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴2、数轴的定义包括3层含义（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸A B C D 012345（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向 3、数轴的画法则是先画一条水平的直线，再在这条直线上画出数轴的三要素即可．（二）数轴的性质1、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。

人教版九年级数学预录班讲义_第3讲.韦达定理docx

第三讲：根与系数的关系12、已知x 1，x 2是方程x2－(k －2)x ＋(k2＋3k ＋5)＝0的两个实数根，则x 12＋x 22的最大值为（）．A ． 19B ．18C ．509D ．不存在3、若关于x 的函数y=a x a x a 4)14()3(2+---的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为。

4、抛物线y=x 2+mx-34㎡（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若点A 、B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足112=3OB OA -，则m= .5、已知实数a 、b 满足5（a -b ）+5(b -c )+c -a =0求的值。

2()()()b c c a a b ---6、已知抛物线与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.7、已知关于x 的方程()0222=+-+a ax x a 有两个不相等的实数根1x 和2x ，并且抛物线()52122-++-=a x a x y 与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。

（1）求实数a 的取值范围；（2）当2221=+x x 时，求a 的值。

2y x =测试题考号：姓名：分数：1.已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα.2.关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （）A 、1B 、2C 、21D 、23 3.方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（）A 、60B 、60-C 、10D 、10-4.函数y = x 2 -2016|x |+ 2017的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．5.若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．6.如果方程0)4(523=-++-k x k x x 的三根可以作为一个等腰三角形的三边长，求实数k 的取值范围.7.已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边为5. （1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。

著名机构六年级数学讲义寒假01-预初基础版-有理数-课后作业-教师版

【作业1】下列四个地方中，最低的是（）A .海拔高度80米B .海拔高度-20米C .海拔高度-80米D .海平面下20米【答案】C【作业2】在数()..41115,7.35,0,,0.303,,0.1010010001057---⋅⋅⋅每两个中依次多一个中，有理数有（）A . 4个B . 5个C . 6个D . 7个【答案】C【作业3】下列说法错误的是（）A .有理数可分为正数和负数两类B .有理数可分为整数和分数两类C .0是有理数D .非负整数就是自然数【答案】A【作业4】a -b 的相反数是。

【答案】b -a【作业5】1.－a 的相反数是（）A .正数B .负数C .非负数D .以上答案都不对【答案】D【作业6】如果a 、b 互为相反数，且a ≠0，b ≠0，那么下列说法不一定成立的是（）．有理数A. a +b =0 B .a -b >0 C .a ・b ＜0 D .1a b=- 【答案】B【作业7】下列关于数轴的描述错误的是（）A .所有的有理数都能用数轴上的点表示B .数轴上到原点距离是1的点有2个C .数轴上能表示的最小的数是0D .数轴上左边的数一定比右边的数小【答案】C 【作业8】数轴是一条规定了、和的直线【答案】原点，正方向，单位长度【作业9】正数的相反数是，负数的相反数是，相反数是本身的数是。

【答案】负数，正数，0【作业10】先画出数轴，然后在数轴上画出表示3-、32-、0、2及它们的相反数的点，并将它们从小到大排列起来．【答案】A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 所代表的数字分别为3-、32-、0、2、3、32、-2 它们从小到大排列为3-<-2<32-< 0<32<2<3．。

预初-1整数和整除的意义、因数和倍数(教师版)

知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（natural number）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。

整数负整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.（2）整除的条件（两个必须同时满足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。

知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。

注：（1）在整除的条件下才有因数和倍数的概念；（2）说法：例如，6 3=2，只能说6是3的倍数，3是6的因数，不能单独说6是倍数，3是因数（3）如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果b是a的因数，那么a一定是b的倍数知识点5：求一个数的因数的方法（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数例：6=1×6，6=2×3，所以1、2、3、6都是6的因数（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数例：8÷1=8，8÷2=4，所以1，2，4，8都是8的因数规律总结：一个数的因数个数是有限的。

一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。

1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是1，除1以外的整数，至少有两个因数知识点6：求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数例：2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8……，则2，4，6，8都是2的倍数规律总结：一个数的倍数是无限的，一个数的最小倍数是它本省，没有最大倍数知识点7：因数和倍数的性质（规律总结）（1）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（2）0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数（3）一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数热身练习1、把下列各数放入相应的圈内-1，-0.2，0，0.7,13，0.2323……，2、最小的自然数是 0 ，最小的正整数是 1 ,最大的负整数是 -13、下列各组数中，哪个数能整除另一个数？ ①8和36 ②26和52 ③17和3 ④35和0.5 ⑤50和25 ⑥1.9和38 答：②26能整除52；⑤25能整除504、、判断题：（1）负整数中有最大的数。

预初数学知识点

预初数学知识点一、整数整数是由正整数、0和负整数组成的集合。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数。

整数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法：两个整数相加，结果为两个整数的代数和。

减法：两个整数相减，结果为两个整数的代数差。

乘法：两个整数相乘，结果为两个整数的代数积。

除法：一个整数除以另一个整数，结果为两个整数的商。

二、分数分数由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总份数。

分数可以用于表示部分数量、比例、比率等。

分数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法：两个分数相加，先找到它们的公共分母，然后分子相加，分母保持不变。

减法：两个分数相减，先找到它们的公共分母，然后分子相减，分母保持不变。

乘法：两个分数相乘，分子相乘，分母相乘。

除法：一个分数除以另一个分数，相当于将被除数乘以除数的倒数。

三、小数小数是用十进制表示的有限或无限循环的数字。

小数可以表示分数的除法结果，也可以表示实际测量的结果。

小数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法：两个小数相加，将小数点对齐，然后从右向左逐位相加。

减法：两个小数相减，将小数点对齐，然后从右向左逐位相减。

乘法：两个小数相乘，先忽略小数点，按照整数相乘的规则进行计算，最后将小数点移到正确的位置。

除法：一个小数除以另一个小数，先将除数变为整数，然后进行整数除法运算，最后将小数点移到正确的位置。

预初数学知识点包括整数、分数和小数的概念和基本运算。

掌握这些知识点可以帮助我们解决实际问题，进行精确计算和测量。

在学习数学的过程中，要注重理解概念，掌握运算规则，并进行大量的练习和实践，以提高数学思维能力和解决问题的能力。

数学是一门极具挑战性和创造性的学科，通过不断地学习和实践，我们可以发现其中的美妙和趣味，也可以应用数学知识解决生活中的各种问题。

上海预初六年级数学上册复习讲义-数学1-老师-一元一次方程

学科教师辅导讲义第一讲方程，方程的解【新课引入】问题：学生搬砖每人搬4块，其中5人要搬2次；如果每人搬5块，就有2人没有砖可搬，搬砖的学生有多少人？分析一：算术方法30÷1=30分析二：设搬砖的学生有x人4x+4×5=5(x-2)总结：像4x+4×5=5(x-2)，30÷1=30，1+2=3，a+b=b+a,4+x=7,用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式；通常用x,y,z等字母表示未知的数量，这些字母称为未知数。

含有未知数的等式叫做方程。

在方程中，所含的未知数又称为元。

在问题的“分析二”中，为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程。

【名题精解】【例1】判断下列各式哪些是方程,哪些不是方程:(1)13(2)20(3)2(4)13(5)322x x y xm n a ππ=+-=-=⨯=解：（1）（2）（4）是方程，（3）（5）不是方程【例2】根据下列条件列出方程:(1)50千克含糖5%的盐水,现在要把它的浓度提高到含糖15%,需要加糖千克；（2）商店对某种商品调价，按原价的八折出售，此时商品的利润率是15%，此时商品的原价为300，商品的进价是x 元。

解：（1）所列方程为%1550%550=++⨯xx（2）所列方程为（1+15%）x=300×80% 【例3】检验下面各数是不是方程124326x x x+-+-=的解（1）x=1 (2)x=2解： (1)x=1不是方程的解（2）x=1是方程的解【课堂练习】1 下列式子中，不是方程的是（）A x+y=5B y=-3C 2x-yD 12-=x 2 若x=2是方程4-ax=0的解，则a=2还是a=-2？并检验x=3是不是方程2ax-x=4a+3x的解。

3 检验2，-3是不是0652=+-x x 的解。