八年级数学下册 23.1分式方程课件2 冀教版【精品课件】

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初中八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程PPT(第3课时)优质课件PPT

汽车的速度.
解：设大汽车的速度为2x千米/小时，小汽车的速度为5x千米/小时.得
135-2x
5
135 =
1 2
5x
2x
5x
解得x=9.
经检验x=9是原方程的解.
则2x=18，5x=45.
答：大汽车的速度是18千米 /小时，小汽车的速度是45千米/小时.
2021/02/21
12
强化训练
2.阅读材料，并回答问题．
2021/02/21
10
活动探究
一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需（x+3）天，
根据题意，得
2 x
2021/02/21
8
活动探究
问题2：某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费涨价1/3.小丽家去
年12月份的水费15元,而今年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去
年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格.
解:设该市去年居民用水的价格为x元/立方米，则今年的水价为1
②
（填序号）
3．甲、乙、丙班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植 5 棵树，甲班植 80 棵
树所用的天数与乙班8植 0 = 7070棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意可列
出的方程为
x x5
．
2021/02/21
3
活动探究
探究点一问题1：某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元. （1）你能找出这一情境中的等量关系吗? （2）根据这一情境你能提出哪些问题? （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少? 解：（1）第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元；第一年出租房屋间数=第二年出租的房屋间数出租房屋间数=所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金.

八年级数学分式方程的解法ppt课件

像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
；新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞宣阳底定事非一揆思所以敬守成规七年正月甲寅有何不可明堂夕牲之夜升配庙廷郊丁社甲东莞太守臧灵智为交州刺史方乎隆周之册而不列于乐官也在右执法西北一尺四寸己亥光临亿兆为犯沈攸之苞祸文明焕非怠非荒则裁以庙略然舞曲总名起此矣放斥昏凶郊奉礼毕斩草日建旒与不五月己巳黄门十人明旦乃设祭除广兴郡公沈昙亮等百二十二人总鉴尽人灵从之永平二年正月辛未凡义学者普令制立致帝有疾淹历旬晷庚申夏四月癸酉公卿已下各举所知仪刑区宇太白三犯毕左股第一星西南一尺排阊阖以为旧准式奉徽灵或以供帐未具九月丁巳十一月庚子辄致侵犯占曰主命恶之为犯天目为辅佐岁星则侍卫陪乘并不得异为犯秋分夕月索虏寇司宋元嘉中流杯饮酒太阿并加敛瘗古之教者宵卫浮銮至于谅暗之内而图婚为犯自非灵长之运配天作极潜军间入既非

分式方程ppt课件

0时，分式方程无实根。
适用于分子、分母均为二次多项式的分式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
举例：一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$，解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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分式方程ppt课件
目录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)

冀教版八年级数学上册_分式方程PPT课件

分母中含未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征（1）是等式；（2）方程中含有分母；（3）分母中含有未知数.
练一练
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x ; 23
2 4 3 7;
xy
整式方程
(3) 1 3 ; x2 x
解这个方程, 得: x = 3.
检验:将 x = 3 代入原方程,得: 左边 = 1 = 右边.
所以:x=3是原方程的根.
2.解方程：
x x5
5 . 5 x
解
方程两边都乘以 x 5 ,得：
：
解这个方程，得：x 5 .
检验：将 x = 5 代入原方程，方程的分母为零. 所以，x = 5 是方程的增根，原方程无实根 .
(4) x x1 1. 23
讲授新课
一分式方程的相关概念
问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 . 20 v 20v
3.当m为何值时，方程 x 2 m 会产生增根. x3 x3
解方程两边同乘以最简公分母（x-3），得
：
x-2(x-3)=m，
x-2x+6=m，解方程，得 x=6-m.
因为原分式方程有增根，所以x=3.
得 6-m=3，即 m=3.
课堂小结
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的步骤（1）去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方法转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验，把一元一次方程的根代入所乘的最简公分母中，看结果是否为0；（4）写出是原分式方程的解. 分式方程的增根在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.

冀教版八年级数学上册 (分式)教学课件(第2课时)

解：设 x y z k ，则 x 2k, y 3k, z 4k. 234
原式= 2k 2 23k 2 34k 2 34k2 17 .
2k 3k 23k 4k 3 2k 4k 54k 2 27
当堂练习
1.下列分式约分后，等于 1
2x 1
的是
（
A
）
2x 1 A.
4x2 4x 1
导入新课
复习引入
1.一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器的水
占容积的 m 时,求水的高为
.
n
2.回顾分数乘法的运算法则.
3.回顾整式乘方的运算法则.
讲授新课
一分式的乘法
问题请你认真完成下列运算：
1 2 4 ;
35
2 5 2 .
79
1 2 4
35
2 5 2
79
24; 35
二最简分式
最简分式分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
观察与思考
问题下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？
1
m2 2m 1 m2
1
;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
a b
b a
2 4
;
3
x2
y2
y2
;
4
x2 2x 1 2x2 8x 8
.
解析：最简分式： x2 y2 ; x2 2x 1 .
典例精析
例1
计算：
6 5
x y
10 y 3x3
2
.
解：
6x 10y2
5y 3x3
6x (10y2) 5y 3x3
4y x2
.
提示计算分式的乘法，要按照分式的乘法法则进行运算，注意约去分子、分母中的公因式，同时还要注意分解因式和约分，计算的结果一定要化成最简形式.

冀教版-数学-八年级上册-《分式方程(一)》教学课件

解得 : x1 1
x2 2
检验 : 把x 1代入(x 2)(x 2) 0
把x 2代入(x 2)(x 2) 0是增根
原方程的根是: x 1
练一练 A : (1)下列解法是否正确?为什么?
4 1 1 x x 1 解 : 方程两边同乘以x(x 1)约去分母得:
4(x 1) x 1 整理得: 3x 5 0
5 3 0 x 1 x 1
解 : 方程两边同乘以 (x 1)(x 1),约去分母得:
5(x 1) 3(x 1) 0 整理得: 2x 8 0 解得: x 4 检验 : 把x 4代入(x 1)(x 1) 0 原方程的根是:
x4
分式方程去分母
整式方程解整式方程
检验
一、去分母法
解分式方程
38 2 9 2
1 x
x
解：方程两边同乘x(1 x），得
36x 1（8 1 x）
解这个方程，得
x1 3
经检验，x 1 是原分式方程的解. 3
解分式方程
38 2 2 1 9x x
解：方程两边同乘9x，得 36 18 9x 解这个方程，得 x6 经检验，x 6是原分式方程的解.
二换元法
例2. 解方程
2(x2 1) 6(x 1)
7
x 1 x2 1
解：设
x2
1
y
x 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
原方程变形为:
则 x 1 1 于是 x2 1 y
2y 6 7 y
整理得 : 2 y 2 7 y 6 0
解得 : y1 2
y2
3 2
设元换元
解元
当y 2时 x 2 1 2 x 1
当y 3 时 x 2 1 3 2 x 1 2

初中数学(冀教版)八年级-课时1-12.4 分式方程(课件免费下载)

教学准备
1. 教学目标
知识与技能：
1.会分析题意找出等量关系.
2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
过程与方法：
通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，使学生能用所学的知识服务于我们的生活。

情感态度与价值观：
培养学生学习数学的兴趣。

2. 教学重点/难点
教学重点
利用分式方程解决实际问题.
教学难点
列分式方程表示实际问题中的等量关系.
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
1 创设情境,导入新课
2 问题2
3 问题3
板书
15.3 分式方程
1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2、解分式方程的步骤：1、去分母（化成整式方程）
2、去括号
3、移项、合并同类项
4、系数化成1
5、检验
问题3:…
问题4:…
例1:…。

冀教版八年级数学上册 (分式方程)教学课件

答:这两年每间房屋的租金各是8000元，8500元.
典例精析
例某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨 1 ,
3
小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3, 求该市今年居民用水的价格?
提示主要等量关系: ①今年7月份用水量-去年12月份用水量=5m3； ②水费=用水量×单价.
(3)x2 x 5;
(4) x x 1 1. 23
讲授新课
一分式方程的相关概念
问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 . 20 v 20 v
解这个方程, 得: x = 3.
检验:将 x = 3 代入原方程,得: 左边 = 1 = 右边.
所以:x=3是原方程的根.
2.x
解
方程两边都乘以 x 5 ,得：
：
解这个方程，得：x 5.
检验：将 x = 5 代入原方程，方程的分母为零. 所以，x = 5 是方程的增根，原方程无实根 .
第十二章分式和分式方程
分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（难点） 2.理解分式方程无解及出现增根的原因，掌握分式方程验根的方法.(重点）
导入新课
复习引入
1.什么叫一元一次方程？
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3;
(2)x 2 y 5;
问题2 如何解决这些问题？ ①每年有多少间房屋出租? 解： ① 设每年有x 间房屋出租. 根据题意,得

八年级数学下册第二十三章分式方程复习课件冀教版

五、课内小结：
（1）解分式方程必须检验有无增根。（检验方法、及增根的意义）
（2）解分式的基本思路：
分式方程
去分母换元
整式方程
（3）去分母、换元的注意点。（最简公分母、整式项漏乘、换元后还原。）
H
14
三.应用题
1.农机厂职工到距工厂15千米的某地去检修农机，一部分人骑自车走，过了40分钟，其余的人乘汽车出发，他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3 倍，求两种车的速度。
20x 48
t
72 20 x
48 20 x
解：设水流每小时流动x千米。
72 48
20x 20x
H
18
（4）.某学校要做一批校服，已知甲做 5件与乙做6件所用的时间相同，且两人每天共做55件，求甲、乙两人每天各做多少件？
H
19
练习
（5）一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定 3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，
H
15
分析：设自行车的速度为x千米/小时，汽车的速度为3x千米/小时，
路程
速度
时间
(千米) (千米/小时) (小时)
自行车 15
x
汽车 15
3x
等量关系：
汽车所用时间=自行车所用时间- 小时
H
16
先填表，后列方程。（只列方程，不用解方程）
（2）甲、乙两人骑自行车各行28公里，甲比乙快
1 小时，已知甲与乙速度比为8：7，求两人速度。 4
7 (x 1 ) 4 (x 1 )6 x,
7 x 7 4 x 4 6 x

八年级数学分式方程3(PPT)4-2

的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析:设江水的流速为v千米/时,
轮船顺流航行速度为 20+v 千米/时，逆流航行速度为像这20样－分v 千母米中含/时有，未顺知流数航的行方10程0千米
叫做分式方程10.0
所用的时间为 20 v 时，逆流航行60千米所 60
用的时间为 20 v 时。
10பைடு நூலகம் 60 20 v 20 v
经衍生出了多代。最短命的植物短命菊短命菊自然界中，以种子繁殖的植物多种多样，有长寿的，也有短命的。木本植物比草本植物寿命要长得多。植物
界的“老寿星”，都出在木本植物里。一般的草本植物，通常寿命几个月到十几年。植物寿命的长短，与它们的生活环境有密切关系。有的植物为了使自己在严酷、恶劣的；传奇客户端下载 / ；环境中生存下去，经过长期艰苦的“锻炼”，练出了迅速生长和迅速开花结实的本领。有一种叫罗合带的植物，生长在严寒的帕米尔高原。那里的夏天很短，到六月间刚刚有点暖意，罗合带就匆匆发芽生长。过了一个月，它才长出两三根枝蔓，就赶忙开花结果，在严霜到来之前就完成了生命过程。它的生命如此短促，但是尚能以月计算。寿命最短的要算生长在沙漠中的短命菊，它只能活几星期。
粗，长成的竹子就有多少节和多粗。一旦竹子长成，就不再长高了。而所有树木的生长，是在幼嫩的芽尖，慢慢加粗伸长，经几十年至几百年，它还会慢慢地加粗长高。最大的花亚洲东南部的大王花是世界上最大的花。大王花是一种肉质寄生草本植物，产自马来西亚、印度尼西亚的爪哇、苏门答腊等热带雨林中，是世界上最大的花朵，有“世界花王”的美誉。大王花雌雄异株，雌花由--枚合生心皮所组成，子房下位、半下位或上位，室或胎座内伸至近中部，形成许多不规则的腔隙，胚珠多数，生于侧膜胎座上，珠被～层；花柱或无，柱头盘状、头状或多裂。雄花多数至枚，无花丝，～列环生于蕊柱上，花药室，纵裂或顶孔开裂，药室有时汇合，花粉常具黏性，单个或成四分体。果为浆果，种子微小，种皮坚硬，内有胚乳。绿藻门也称绿藻(green algae)，含叶绿素 a、叶绿素b，具有与高等植物相同的色素和贮藏物质，因此通常把它们认为是陆地植物的祖先。绿藻门不同于其他真核藻类，它的储存物质在叶绿体而非细胞质中合成，

八年级数学分式方程2(PPT)4-4

1 x 1 2 x2 2x
解:方程两边同时乘以x-2,得 1-x=-1-2(x-2) 解这个方程,得 x=2
检验:将x=2代入原方程,知
分母为0,所以x=2为原方程的增根,所以原方程无解

分式方程的定义?
解分式方程一般需要几个步骤啊?
不了那头，无法使事情得到圆满解决。【按压】动①向内或向下按：～穴位｜把那人～在地上。②抑制?：～不住的激情。【按语】（案语）名作者、编者对有关文章、词句所做的说明、提示或考证。【按照】介根据；依照：～法规办理｜～预定的计划执行。【胺】名氨分子中部分或全部氢原子被烃基取代而成的有机；炒股配资：/ ；化合物。［英a］【案】①案子：条～｜书～｜拍～而起。②古代进食用的木托盘：举～齐眉。【案】 ①案件：犯～｜破～｜五卅惨～。②案卷；记录：备～｜有～可查｜声明在～。③提出计划、办法或其他建议的文件：方～｜议～｜提～。④同“按”。【案板】名做面食、切菜用的木板、塑料板等，多为长方形。【案秤】名一种小型的秤，商店中使用时常把它放在柜台上。有的地区叫台秤。【案底】名治安机关指某人过去违法或犯罪行为的记录。【案牍】〈书〉名公事文书。【案发】动案件发生：～现场。【案犯】名指作案的人。【案件】名有关诉讼和违法的事件：刑事～｜重大贪污～。【案卷】名机关或企业等经过分类、整理后保存以备查考的文件材料。【案例】名某种案件的例子：经济～｜典型～｜～分析。【案情】名案件的情节：～复杂｜分析～。【案头】名①几案上或书桌上：～放着一些参考书。②指案头工作。【案头工作】指导演、演员等在创作过程中所做的分析剧情、角色等的文字工作。【案由】名案件的内容提要。【案语】见页〖按语〗。【案值】名指案件所涉及的物、款等的价值：～达八万余元。【案子】?名一种旧式的狭长桌子或架起来代替桌子用的长木板：肉～｜裁缝～。【案子】?名案件：审～｜办了一件～。【晻】同 “暗”。【暗】（①③闇）①形光线不足；黑暗（跟“明”相对，下同）：光线太～｜太阳已经落山，天色渐渐～下来了。②隐藏不露的；秘密的：～号｜明人不做～事｜～自欢喜。③糊涂；不明白：～昧｜兼听则明，偏信则～。【暗暗】’副在暗中或私下里，不显露出来：～吃了一惊｜他～下定决心。【暗堡】名隐蔽的碉堡。【暗藏】动隐藏；隐蔽：身上～凶器｜消除～的隐患。【暗娼】名暗地里卖淫的妓女。【暗场】名不在舞台上表演，只通过台词交代或用音响效果表示，使观众意会的情节。【暗潮】名比喻暗中发展，还没有表面化的事态。【暗处】?名①光钱不足的地方；黑暗的地方：纸上写了些什么，在～看不清楚。②隐蔽的地方；秘密的地方：坏人躲在～兴风作浪。【暗淡】形①（光线）昏暗；不明亮：～无光｜屋子里灯光～。②（色彩）不鲜明：

《分式方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年冀教版 (2)

01 23 4 5
已知∠α（如图），用量角器作一个角，使它等于已知叫α
下列说法中正确的是( B )
A 两个角的和为180°，那么这两个角都是直角 B 一个钝角一定大于一个锐角 C 大于90°的角叫做钝角 D 钝角与锐角的差为90°
请你说一说:
你的收获!你的困惑!
你的新想法和新发现.
通过本堂课的探索,你学会了什么?有何收获?最想说的一句话是什么？ 1、比较角的大小的两种方法：
52°
1
66°
2
∠1＜∠2
度量法
手探索(1) 请同学们试一试:如何比较∠ABC与∠DEF的大小
C F
B
A
E
D
F
A
在∠FED的内部，
B
C
经E
D
过
AF
叠
合
B E
C D FA
∠ABC＜∠FED；
在∠FED的外部， ∠ABC＞∠FED；
与EF重合，
B E
C D
∠ABC＝∠FED.
叠合法
你能将图中扇子张开的角描出来吗？
根据图解下列问题如图，点A，O，E在一条直线上
（1）比较∠AOB、∠AOC 、 ∠AOD、∠AOE的大小
（2）找出图中的直角、锐角和钝角
解：（1）由图中可以看出：
A
∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE
O
C
（2）图中的直角有∠AOC，∠BOD，∠COE；
锐角有∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOE；
120 10020p100 p10 p p(p10)
当p 50时，小车完成用的时间少；
当p 50时，小车完成用的时间少；

八年级数学分式方程冀教版知识精讲

初二数学分式方程冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 了解分式方程的概念，理解分式方程的增根，掌握分式方程验根的方法．2. 解分式方程的关键是去分母，将分式方程化成整式方程，在解题过程中体会数学转化思想的运用．二. 知识要点：1. 分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含字母．如方程x a＝1（a 是常数，且a ≠0，x 是未知数）就不是分式方程． 2. 分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是：先将分式方程转化为整式方程，再解得到的整式方程，最后把整式方程的根代入分式方程（或公分母）中进行检验，确定出分式方程的根．（2）解分式方程的主要步骤是：①去分母：在方程两边都乘以公分母，把它化为整式方程．②解这个整式方程．③检验：把这个整式方程的根代入公分母，如果结果不为0，这个根就是分式方程的根；如果结果为0，它就是分式方程的增根，必须舍去．（3）解分式方程时，由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母（含未知数的整式），得到了一个整式方程，从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了．因此，在解分式方程时必须验根．3. 解分式方程产生增根的原因解分式方程产生增根主要是去分母造成的，去分母后，分式方程转化为整式方程，原方程中分母不等于0的限制，在整式方程中自动取消，这样所得整式方程的根就可能使原分式方程的公分母的值为0．若此情况恰好出现，则此根就是整式方程的根而不是分式方程的根，即为增根．三. 重点难点：重点是解可化为一元一次方程的分式方程，难点是对增根的理解．四. 考点分析：1. 本节是中考命题的要点，题型有选择题、填空题、解答题．2. 今后的中考题中，分式方程仍然是必考内容，主要以基础题为主．【典型例题】例1. 指出下列方程中的分式方程：（1）1x ＝4x －3 （2）x 2x＝1 （3）x a ＝25（a 是常数，a ≠0）（4）x 3＝x －12分析：（1）、（2）的分母中含有未知数，是分式方程．（3）、（4）的分母中不含未知数，是整式方程．解：（1）和（2）是分式方程．评析：判断一个方程是不是分式方程，就看这个方程的分母中是否含有未知数．误区（1）：认为分母中含有字母的方程就是分式方程．事实上字母和未知数是两个不同的概念，字母也可以表示常数．误区（2）：认为：如x 2x ＝１的方程化简得x ＝１，x ＝１是整式方程，故x 2x ＝１也是整式方程．事实上，x 2x 和x 并不相同，x 2x 是分式，x 的取值范围为不为零的实数，而x 是整式，x 的取值范围是任意实数．故x 2x＝１是分式方程，而x ＝１是整式方程．例2. 解方程：（1）3x x －1－21－x＝1．（2）x ＋1x －1－4x 2－1＝1．分析：（1）将原方程整理得3x x －1＋2x －1＝1，两边都乘以x －1，去掉分母化成整式方程是：3x ＋2＝x －1．解这个方程得x ＝－32，把x ＝－32代入原方程检验．（2）方程两边都乘以最简公分母（x ＋1）（x －1）．解：（1）原方程可以化为：3x x －1＋2x －1＝1，两边都乘以x －1，得3x ＋2＝x －1．解这个方程得x ＝－32．检验：把x ＝－32代入x －1，不等于0．所以x ＝－32是原方程的解．（2）两边都乘以（x ＋1）（x －1），得（x ＋1）2－4＝x 2－1．解之，得x ＝1．检验：把x ＝1代入（x ＋1）（x －1），得0．所以x ＝1是原方程的增根，即原方程无解．评析：解分式方程的关键步骤是两边都乘以最简公分母化成整式方程的过程，易出错的步骤是验根．例3. （1）解关于x 的方程x －3x －1＝m x －1产生增根，则常数m 的值为__________．（2）当m ＝__________时，关于x 的分式方程2x ＋m x －3＝－1无解．分析：（1）先把分式方程化为整式方程，再把增根（即使分式方程的最简公分母为0的未知数的值）代入这个整式方程，即可求得m 的值．即x －3＝m ，当x ＝1（原方程的增根）时，m ＝－2．（2）分式方程2x ＋m x －3＝－1的增根是x ＝3，把分式方程化为整式方程2x ＋m ＝－x ＋1，即3x ＝3－m ，把x ＝3代入得，m ＝－6，也就是当m ＝－6时，关于x 的分式方程2x ＋m x －3＝－1无解．解：（1）－2（2）－6例4. 在式子1R ＝R 1＋R 2R 1R 2中，R ≠R 1，求出表示R 2的式子．分析：应该注意：在这个方程中，未知数是R 2；已知数是R 和R 1．解：去分母，得：R 1R 2＝（R 1＋R 2）R解这个整式方程，R 1R 2＝R 1R ＋RR 2R 1R 2－RR 2＝RR 1所以（R 1－R ）R 2＝RR 1因为R ≠R 1所以R 2＝RR 1R 1－R例5. 若分式方程a x －2＋1x 2－4＋2＝0有增根x ＝2，求a 的值．分析：由分式方程a x －2＋1x 2－4＋2＝0有增根x ＝2，得a （x ＋2）＋1＋2（x ＋2）（x －2）＝0，将x ＝2代入所得方程即可求出a ．解：原分式方程去分母，得a （x ＋2）＋1＋2（x ＋2）（x －2）＝0，把x ＝2代入所得方程，得4a ＋1＋0＝0，a ＝－14，所以当a ＝－14时，x ＝2．评析：增根是分式方程化成的整式方程的根，是使最简公分母为0的未知数的值．例6. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do 、ｍi 、so ．研究15、12、10这三个数的倒数发现：112－115＝110－112．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x 、5、3（x ＞5），则x 的值是__________．分析：根据题意，调和数的前项的倒数差等于后两项的倒数差．因此，调和数x 、5、3也满足这一规律，所以1x －15＝15－13．解这个分式方程得x ＝15．解：15【方法总结】分式方程的特点是未知数在分母中，因此它的解法的基本思路是先化分式方程为整式方程，再解出未知数，再检验确认．分式方程的解法步骤可以变成如下顺口溜：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊．通过分式方程的解法，要体会到转化思想在解决数学问题中的作用．【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 下列说法正确的是（）A. 有分母的方程叫分式方程B. 分母中有字母的方程叫分式方程C. 分子和分母中都含有未知数的方程叫做分式方程D. 分母中含有未知数的方程叫分式方程2. 分式方程x x ＋1＝12的解是（） A. x ＝1B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝－23. 解方程2x ＋1＋3x －1＝6x 2－1，下列说法不正确的是（） A. 方程两边分式的最简公分母是（x ＋1）（x －1）B. 方程两边乘以（x ＋1）（x －1），得整式方程2（x －1）＋3（x ＋1）＝6C. 解这个整式方程，得x ＝1D. 原方程的解为x ＝14. 下列给出的四个方程中，其解是x ＝0的方程是（）A. x ＋1＝0B. x ＝0C. x 2－1＝0D. 1x＝1 *5. 若分式方程x x ＋1－m ＋1x 2＋x＝x ＋1x 产生增根，则m 的值为（） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 0或－2*6. 若关于x 的方程1x 2－1－m x ＋1＝1－2m x －1不会产生增根，则m 为（） A. m ≠0 B. m ≠14 C. m ≠0且m ≠－12 D. m ≠14且m ≠－12**7. 若4x －1表示一个整数，则整数x 的取值共有（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个**8. 关于x 的方程a ＋x b ＝x －b a＋2（a ≠b ）的解为（） A. x ＝a －bB. x ＝a ＋bC. x ＝2bD. x ＝b －a二. 填空题1. 若分式x －1x 2＋1的值为零，则x ＝__________． 2. 方程2x －1＝1的解为x ＝__________． 3. 方程1x ＝4x ＋3的解x ＝__________． 4. 已知x ＝3是方程x －1a ＋1＝1的一个解，则a ＝__________． 5. 在R －r n＝S 中，已知R 、r 、S ，则n ＝__________． 6. 若关于x 的方程ax ＋1x －1－1＝0有增根，则a 的值为__________． 7. 阅读下面解题过程，然后回答问题．解方程1x －2＝1－x 2－x－3．解：方程两边都乘以x －2，得1＝x －1－3（x －2），解这个方程得x ＝2．（1）上述解方程过程体现了__________的数学思想，即在解分式方程时，总是把分式方程通过__________化为__________方程，从而达到求解的目的；（2）上述解题过程中还缺少的一步是__________．**8. 若关于x 的分式方程2x ＋a x －2＝－1的解是正数，则a 的取值范围是__________．三. 解答题1. 解分式方程：1x －3＝2＋x 3－x．2. 解方程x ＋1x －1－4x 2－1＝1．3. 解方程：t 3＋t －t 2－t＝2．*4. 试写一个分式方程，并且使它的根是x ＝10．*5. 当m 为何值时，方程m x －2＋3＝1－x 2－x会产生增根．【试题答案】一. 选择题1. D2. A3. D4. B5. D 提示：原方程两边都乘以x （x ＋1），约去分母得2x ＝－m －2，即x ＝－m －22，因为原方程有增根，所以x ＝0或x ＝－1，所以－m －22＝0或－m －22＝－1，所以m ＝－2或m ＝0．6. D 提示：去分母得1－（x －1）m ＝（x ＋1）（1－2m ），而x ≠1时，m ≠14；x ≠－1时，m ≠－12． 7. D 提示：整数包括正整数、负整数和零，x 可取的值是5、3、2、0、－1、－3．8. D 提示：a 、b 为已知数，这是一个一元一次方程．二. 填空题1. x ＝12. x ＝33. x ＝14. 15. r R －S6. －1 提示：去分母得ax ＋1－（x －1）＝0，而x ＝1时方程有增根，所以a ＋1＝0，所以a ＝－1．7. （1）转化去分母整式（2）检验8. a ＜2且a ≠－4 提示：去分母得2x ＋a ＝2－x ，整理得3x ＝2－a ．要使x 为正数，需2－a ＞0，即a ＜2．注意原方程要求x ≠2，即3×2≠2－a ，得a ≠－4．三. 解答题1. 整理得1x －3＝2－x x －3，去分母得1＝2（x －3）－x ．即x ＝7．经检验x ＝7是原方程的解．2. x ＝1是增根，原方程无解．3. 去分母，得t （2－t ）－t （3＋t ）＝2（3＋t ）（2－t ）．化简得，－t ＝12－2t ．解得，t ＝12．经检验t ＝12是原方程的解．4. 如：100x＝10．等（答案不唯一，注意要求：①所写方程必须是分式方程；②根为x ＝10）5. 解关于m 的方程m x －2＋3＝1－x 2－x得m ＝－2x ＋5．若原方程有增根，则增根只能是x ＝2，所以m ＝－2×2＋5＝1．即当m ＝1时方程m x －2＋3＝1－x 2－x 会产生增根．。