高等量子力学补充专题二次量子化简介
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
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2mE V
h
2
d 2W dx2
2m 2m dV dx
2h
d 2W dx2
2
2
2m
E
V
2m dV
2m dV
dx
dx
D 2 E V dV
dx
或者说 D 必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短
波极限下是可信的。
九、完整的WKB解
对 E V 0 区,有
uv x,t
cons
V
tan t
了与几该率点流上量等。相相位位面变垂化直越。激对烈平，面则波流量S 越 upv强. 。流量的方向
虽然形式上我们有
但将
v j
解释成
v v
t
.
S m
t
v v
0
需要坐标与速度的同时精确测量而不
可能（测不准关系）。
六、经典极限
据薛定谔方程有：
h2 2m
2
2i h
.S
1 h2
S 2 i h
x ,t0;t
而
uv
x
upv2
V
2m
v x
, t0 ; t
h2 2 2m
uv x ,t0;t
V
uv x
uv x ,t0;t
得含时薛定谔方程为
ih
uv x, t
h2 2
uv x, t
V
uv
x
uv x, t
t
2m
基于上式的量子力学有时称为波动力学，是当
p2 V
h2 2m
2
V
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
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Z
Brillouin磁化率公式：
负温度（如晶格排列磁矩体系）：
1 1 S ln ( E ) , ( E ) : E处状态数 kT k E E
若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任 意k）：ρkk=1/N 对应于完全随机的系综，与β ->0（即T∞）的 正则系综分布相同
十四、配分函数
ρkk的分母为
是统计力学中的配分函数，可写为
ρ在能量本征态基中可写为
据此可得体系的所有性质， A tr e 对A=H，有
Ψi(x’)是对应于|α(i)>的波函数。 ρ的对角元素是几率密度的权重和。 混合态系综分解也是不唯一的（如不同平面波或波包 的叠加）
十一、密度算符与量子统计力学
对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有：
该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
U
H
A
Z
k k
N
A k e Ek
N
E e
k k N k
N
Ek
Ek e
Ek e
(ln Z )
与统计力学的对应知β =1/kT.
应用举例：均匀磁场中的电子系综
e /2 0 0 e /2 , Z=e /2 e /2
关于算符函数矩阵的运算
二次量子化
二次量子化二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。
普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。
但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。
二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。
相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。
然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。
其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。
无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。
为了描写物质埸的矢量性，物质埸的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。
在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。
然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。
但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。
量子场论的产生是这样一个过程。
物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。
二次量子化简介
n !
!
2
t
f (n1L
n ,t)
i
iT
i
ni
L
ni L N!
! 2
f (n1L
ni L
n ,t)
1
i j
iT
L j ni
(ni 1)!L (nj 1)!L N!
2
f (n1L
ni 1L
nj 1L n ,t)
1
i jkl
ij V kl
1 2
ni
n
j
L
(ni
1)!L
(nj 1)!L (nk 1)!L N!
可简化为：
ih t
f (n1L
n , t)
i
i T i ni f (n1L ni L n , t)
1
1
i T j (ni )2 (n j 1)2 f (n1L ni 1L n j 1L n , t)
i j
i jk l
ij V kl
1 2
(ni
)
1 2
(n
j
)
1 2
(nk
1
1) 2 (nl
E'
W
W'
1 2 nE
(nE'
EE'
)
EE' V WW '
C(n1 L nE 1L nW 1L nE' 1L nW' 1L n,t)
i
j
k
l
1 2ni (nj
ij
)
ij V kl
C(n1 L ni 1L nk 1L nj 1L nl 1L n,t)
薛定谔方程变为：
量子力学中的二次量子化
量子力学中的二次量子化量子力学是描述微观粒子行为的一种物理学理论，它描述了量子系统的波函数演化，并通过概率的方式预测微观粒子的性质和行为。
然而，传统的量子力学在描述复杂系统时存在一些困难，无法解释多粒子系统的相互作用等问题。
为了解决这些问题，二次量子化发展起来，并成为现代理论物理学的重要分支。
二次量子化是在量子力学的基础上，对多粒子系统进行重新诠释和描述的一种方法。
它通过引入二次量子算符，将粒子的波函数表示为一个算符的形式，使得描述多粒子系统的运算和计算更加方便和简洁。
在二次量子化中，系统中的每个粒子都由一个纯态或者混合态的波函数来描述，它们之间通过升降算符产生或湮灭算符消灭来描述相互作用。
在二次量子化的框架下，我们可以方便地处理多粒子系统的对称性和反对称性问题。
通过引入费米子和玻色子的概念，对应于自旋为1/2的粒子和自旋为整数的粒子，我们可以简洁地描述系统中粒子的统计行为。
费米子遵循泡利不相容原理，即同一量子态不能同时存在多个费米子，而玻色子则不存在这个限制。
二次量子化的框架也为描述相互作用提供了一种便捷的方式。
通过引入相互作用哈密顿量，我们可以方便地描述不同粒子之间的相互作用强度和形式。
这为研究多粒子系统的相互作用行为提供了一种便捷和统一的描述方法，使得我们可以更深入地理解和研究微观粒子之间的相互作用和耦合。
除了对多粒子系统的描述外，二次量子化还在量子场论中起着重要的作用。
量子场论是描述自然界基本粒子相互作用的理论，是粒子物理学的核心理论之一。
二次量子化的思想在量子场论中被广泛应用，使得我们能够描述和研究场的量子化过程，进一步理解与粒子的相互作用和宏观性质。
总结起来，二次量子化在量子力学的基础上建立了一种更加方便和统一的方法来描述多粒子系统的行为。
它通过引入二次量子算符和升降算符，使得多粒子系统的描述和计算更加简洁和方便。
二次量子化不仅为解决多粒子系统的相互作用问题提供了一个框架，还在量子场论中起到了重要的作用。
量子力学中的量子场论与二次量子化
量子力学中的量子场论与二次量子化在量子力学的发展历程中，量子场论和二次量子化是非常重要的概念和方法。
量子场论是一种描述微观粒子行为的理论框架，而二次量子化则是将量子力学的基本概念扩展到多粒子体系的方法。
本文将介绍量子场论的基本知识和二次量子化的概念，以及它们在量子力学研究中的应用和意义。
一、量子场论1.量子场的概念在经典物理学中，物质和场是分开考虑的，而在量子场论中，物质和场被统一起来考虑。
量子场是一种能量和动量在空间中传播的物理场，它可以看作是许多谐振子的集合。
量子场论通过对场算符的量子化来描述不同种类的粒子。
2.量子场算符量子场算符是量子场论的基本工具，它们可以创造和湮灭粒子。
对于费米子，如电子，量子场算符是具有反对易关系的费米子算符；对于玻色子，如光子，量子场算符是具有对易关系的玻色子算符。
3.场的量子化量子场理论将经典的场理论量子化，通过将经典场变量替换为动量和哈密顿算符的算符形式，从而得到了量子场的描述。
量子场的量子化过程涉及到将场展开为一组谐振子模式，而这些模式称为量子场的模式展开。
二、二次量子化1.多粒子态和Fock空间二次量子化是将量子力学的基本概念推广到多粒子体系的方法。
在二次量子化中，多粒子态由一系列粒子的量子数来描述，而不再是单个粒子的波函数。
Fock空间是用于描述多粒子态的数学空间，它由一系列单粒子态的张量积构成。
2.产生算符和湮灭算符二次量子化中，使用产生算符和湮灭算符来操作多粒子态。
产生算符可以将系统中没有粒子的态变为有一个粒子的态，而湮灭算符则将有一个粒子的态变为没有粒子的态。
这两个算符满足一系列对易或反对易关系。
3.二次量子化的物理意义二次量子化的方法可以更方便地描述多粒子体系的行为，例如，可以通过产生算符和湮灭算符来计算多粒子态的能量、动量等守恒量。
此外，二次量子化还是研究粒子之间相互作用和散射等过程的重要工具。
三、应用和意义1.量子场论在粒子物理中的应用量子场论是研究基本粒子物理学的重要工具，例如，量子电动力学(QED)是量子场论的一个重要分支，用于描述电磁相互作用。
二次量子化与场量子化
二次量子化与场量子化量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，其在理论物理学中占据着重要的地位。
而在量子力学的发展过程中，二次量子化和场量子化这两个概念也扮演着重要的角色。
本文将介绍这两个概念的背景、原理以及应用。
一、二次量子化的背景和原理1. 量子力学的初步建立量子力学是基于波粒二象性的理论，创立之初描述的是单个粒子的行为。
例如，薛定谔方程可以描述单个粒子的波函数演化。
然而，当牵扯到多粒子系统时，用波函数描述将变得复杂而困难。
2. 多粒子系统的场量子化为了处理多粒子系统，物理学家引入了场的概念，将多粒子系统的态用场的概念来刻画。
场的量子化将多粒子系统的态描述从波函数改为算符，进而引入了二次量子化的概念。
3. 二次量子化的原理二次量子化是在场量子化的基础上发展起来的，它在处理多粒子系统中具有巨大的优势。
在二次量子化中，波函数被替代为算符，物理量也相应地被替代为算符。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地描述多粒子系统中的粒子数变化。
二次量子化使得处理多体量子系统的问题更加简洁和有效。
二、场量子化的背景和原理1. 场的概念场是指空间中的某一物理量在各点上取值的函数。
例如，电磁场、量子场等都是以空间位置为参数的函数。
2. 场量子化的目的场量子化的目的是将传统的经典场理论转化为满足量子力学要求的理论。
在量子场论中，场是算符，而其本征态则是粒子的态矢量。
3. 场量子化的原理场量子化的基本原理是将经典场的变量替换为算符，同时引入对易关系和正则量子化条件。
通过这种方式，我们可以得到满足量子力学要求的场的量子理论，从而描述多粒子系统的行为。
三、二次量子化和场量子化的应用1. 二次量子化在凝聚态物理中的应用二次量子化在凝聚态物理学中具有重要的应用价值。
例如，在超导理论中，通过二次量子化的方法可以很方便地描述库伦相互作用和超导电子之间的相互作用。
2. 场量子化在粒子物理学中的应用场量子化在粒子物理学中也有广泛的应用。
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根据x与p的对易关系，得
定义 故有
1` a , a 2 x, p i p, x i 1
m 2 p2 i 1 N a a x x , p 2 2 2 2 m 2
由波函数的对称性得： x p 0
2
2 x0 基态时： x 2m 2
,
m p , 2
2
2 (x) (p) 4
2 2
。
满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。
由 x 2 (a 2 a 2 a a aa ) (a 2 a 2 2 N 1)
在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。
四、本征波函数
用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。
x | a | 0 0 x | m ip m d x | 0 x x | 0 2 m 2 m dx
n 0 2
n exp n n!
n
n 是某平均n
2． 可由 0 经原点平移一定距离而得。
3． 满足最小测不准关系。
与 0 的关系
0 ( x ' L) x ' | T ( L) | 0 x ' | e
iLp /
| 0 x ' | e
( a a )
可得
it i 2 2 H , H , x(0) x(t ) x(0) [ H , x(0)] 2 … 2!
1 t 3 2 p(0) p(0) 1 2 2 x(0) t t x(0) … 3! m m 2!
高量12--二次量子化
21
§31 产生算符和消灭算符
§31-1 定义
讨论B表象，以单粒子算符B的本征矢量{|b>}为基础。
一、产生算符a+(b)
首先定义一个什么粒子都没有的状态|0>（真 空态），从而确定了一个n=0的一维空间R0。定义 一个算符a+(b)，用它来得出n=1,2,3,…等系统的B 表象的基矢：
22
a b 0 1;b a b 1; b 2 2;bb a b 2; b b 3 3;bb b a b n; b b b n 1 n 1;bb b b
这正是Pauli不相容原理。
8
3. 并不是在基矢中 b , b ,, b 分别取一切值 的都是不同的基矢，其中有不少基矢实际上 是相同的，例如对三粒子系统，对称的 |3;b1b2b3>和|3;b1b3b2>是相同的基矢，而反对 称的|3;b1b2b3>和|3;b1b3b2>则相差一个负号，
3
1
b
2
3
b
1
2
b
3
2
b
1
1
b
2
3
b
3; b b b A 1 (1) p P b 3! P b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
)
b
1
2
3
1 (b 3!
2
1
2
3
b
1
3
2
b
2
1
3
b
b
3
b
高等量子力学补充专题二次量子化简介
i, j
i, j
2 Hikci 2E Oikci
i
i
0
Oijcic j
Oijcic j
i, j
i, j
(Hij EOij )c j 0 j
基函数可有多种选择多类型的电子结构计算方法
作业： 5.14 , 5.19, 5.20
AS1 S2;
A 5.6me [( e )2 mp mec
1 2a03 ]
氢原子基态分裂：A
2
5.6me mp
[( e )2 mec
1 2a03
]
比精细结构还小约三个量级.
所得跃迁波长为21.4cm。该21-cm线是探测宇宙中氢分布的一种途径
三、Zeeman效应
均匀磁场可由矢势A=½(Bxr)得出。取B沿z方向,
回顾：近似方法之不含时微扰理论
H0 n(0) En0 n(0) , (H0 V ) n() En n() 求解精确至N阶的能量修正，只需精确至N-1阶的态矢修正
§5.1 非简并情况
比较对应λ 系数得：
理论要求：本 征态与本征值 在λ复平面上， 对λ =0附近解 析连续。 实用要求：取 少数阶展开便 是较好的近似。
{i }
变分法原则上可估计低激发态能量。若基态已知，则选与基态垂直的 尝试波函数，经变分可求出优化的E1。若只知近似基态(如通过变分 求得),则用变分求激发态的能量要慎重,因误差无确定符号,是线性的.
二、应用举例
例1：对H原子基态，用
作为尝试波函数,其中a为参量。
由于用了与基态波函数形式相同的函数作为尝试波函数，由变分条件
§5.2 兼并态微扰
高等量子力学理论方法-二次量子化
一、一次量子化的薛定谔方程
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t N 常有 1 N H T ( xk ) V ( xk , xl ) 2 k l 1 k 1
这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标， T是动能，V是粒子间的相互作用势能。
用单粒子定态波函数的完备集合或完备基展开多粒子波 函数(理论上是严格的)：
( x1...xN , t )
' ' E1 ... EN
C(E ...E
' 1
' N
, t) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms)
二、二次量子化方法
多粒子希尔伯特空间 n1n2 n 1. 抽象不含时态矢 ' ' ' n n n 正交性 1 2 n1 n2 n n n n n n n 完备性 n1n2 n n1n2 n 1 nk 0,1, 2,,
二次量子化基本思想
多体量子体系的理论处理
多体波函数 ( x1...xN , t ) 包含了所有信息，但直接求解薛 定谔方程很困难。常需依赖于： 1. 二次量子化。用二次量子化算符体现全同粒子的统 计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描 述全同粒子的统计方便。 2. 量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只 关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态 能量和寿命等物理信息，可用Feynman-Dyson微 扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。
1 ˆ H bi i T j b j bib j ij V kl bl bk 2 ijkl ij
二次量子化
二次量子化寒假里忽然想起曾经在看曾书10.3节角动量的Schwinger表象有一个奇思妙想。
当初记在书上的笔记是“一般Hamiltonian可表示为H(x,p), x、p可用a+、a处理，如果H为x、p的二次式，则可用H(a+,a)与[a+,a]求解”现在仔细回想这段话，当初的意思应该是：在经典力学里面，哈密顿量可以表示成两个独立变量的函数（上次还看到说只需要这两个独立变量x和x的一次导数就完备了，不需要诸如x的二次导数、三次导数那些变量，据说朗道书里有讲，本人没细究过），在处理谐振子的时候我们通过引入升降算符a+、a，把哈密顿量表示成H(a+,a)，接下来利用[a+,a]=1构造出粒子数算符，谐振子的各个能级就轻而易举的解出来了。
然后我看到角动量居然也可以用升降算符表示（确切的说是产生湮灭算符），这就很容易想到，是否所有的力学量都可以用升降算符表示？既然哈密顿量是力学量的函数，通过表象变换到升降算符表象，哈密顿量显然也可以表示成升降算符的函数H(a+,a)，如果哈密顿量是x、p的二次型，利用升降算符的对易子[a+,a]，可以很容易求解出各个能级（二次型的考虑是记得当初在学经典力学里面有一个说法，只要哈密顿量是x、p的二次型，总可以用泊松括号求解，而泊松括号可以即狄拉克普朗克常数趋向于零的对易子，曾书习题4.7），求解的过程似乎可以和哈密顿力学的求解过程对应起来。
后来学了二次量子化，在那里，哈密顿量确实都表示成a+、a的函数，再回首当初的奇思妙想，算是二次量子化的发轫，但确实too simple, too naive.1、二次量子化里面的a+、a表示的产生湮灭算符，是指产生或湮灭一个态（这里采用fock表象），和谐振子里面的升降算符在概念上是有差异的。
2、哈密顿量一般来说是偶数次型，不仅限于二次型，还有四次型。
3、二次量子化虽然看起来似乎是一个表象变换，但是它已经把场量子化，这样子，才会有可能产生一个粒子或湮灭一个粒子。
§9 二次量子化理论
(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时，
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − ， p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化， 在粒子数表象 中， 状态由产生算符作用于真空态的形式表示， 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中，
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)
二次量子化 一维单原子链
二次量子化一维单原子链二次量子化是量子力学中的重要概念之一，它在描述多粒子体系时非常有用。
本文将讨论一维单原子链的二次量子化过程。
一维单原子链是由一系列相互作用的原子组成的，它可以用于研究材料的电子结构、声子传播等问题。
在二次量子化中，我们将一维原子链中的每个原子视为一个量子力学的基本单位，即一个量子态。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理多粒子体系的量子态和相互作用。
在一维单原子链中，每个原子可以处于两个可能的状态：自旋向上或自旋向下。
我们可以用一个二维希尔伯特空间来描述这个系统。
对于一个含有N个原子的链，我们可以用一个N维的列向量表示整个系统的量子态。
例如，对于一个含有三个原子的链，我们可以用如下的形式表示量子态：|↑↑↑⟩= |↑⟩⊗ |↑⟩⊗ |↑⟩其中|↑⟩表示自旋向上的态，⊗表示张量积。
在二次量子化中，我们引入了产生算符a†和湮灭算符a。
产生算符a†可以将一个粒子从自旋向下的态变换为自旋向上的态，而湮灭算符a则相反。
它们满足如下的对易关系：[a,a†] = aa† - a†a = 1利用这些算符，我们可以方便地表示一维单原子链中的量子态和相互作用。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示自旋向上和自旋向下的态：|↑⟩= a†|0⟩|↓⟩ = a|0⟩其中|0⟩表示真空态，即没有粒子的态。
在一维单原子链中，原子之间可以存在相互作用。
我们可以用相互作用哈密顿量来描述这种相互作用。
例如，我们可以用下面的形式表示相互作用哈密顿量：H = ∑(Ji a†i a†i+1 + hi a†i ai + h.c.)其中Ji表示相邻原子之间的相互作用强度，hi表示每个原子的自旋能级。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理相互作用哈密顿量。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示相互作用哈密顿量中的项：a†i a†i+1 = (a†i + a†i+1)(a†i - a†i+1)/2hi a†i ai = hi (a†i a†i - a†i ai)/2h.c.表示共轭项。
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im( xn xn1 ) 2 m ) 对自由粒子，已知 xntn | xn1tn1 2it exp( 2t
由于W(Δ t)与V(x)无关，可用自由粒子情况算出
1 w t m 2it
于是，对 t 0 ，有
九、Feynman路径积分公式
1. 无限小时间间隔的一段路径， x n t n
x n 1 t n 1 1 e iSn ,n 1 / Wt
w(Δ t)只与Δ t而（假定）与V(x)无关的权重因子。
由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而
2 x x 2 mx m n n1 xn xn1 S n, n 1 dt V x t V tn1 2 t 2 2 tn
x "| eiHt / |a ' a ' | eiHt0 / x ' x ", t | x ', t0
a'
这里 x ", t | 和 | x' , t 0 是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。 因 b' , t | a' , t 0 是从 | a' , t 0 到 | b' , t 态的跃迁振幅，故 x", t | x' , t 0
所有路径对 x N t N | x1t 1 的贡献： x N t N | x 1 t 1 ~
若 0，则相邻路径的贡献倾向于抵消。
所有路径
e
iS N ,i /
对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的， 因而可相干增强。所以 0 时挑出的轨道为经典轨道。
1
八、经典力学与量子力学路径的差别与联系
经典力学中xt-平面有一确定路径与粒子运动联系，而量子力学中 所有可能路径都起作用，其中一些路径与经典路径毫无相似之处。 t 经典力学的作用量或主函数为 S (n, n 1) dtL ( x, x )
n
t n 1
L是x与 x 的函数，S要在路径确定后才有定义
若知无穷小时间间隔 x t | x, t t t dt 的形式，则一 , t 可利用传播子的组合性质而得。这种推理 x t | x 般的 方式导致了费曼的量子力学理论形式。
七、作为路径求和的路径积分
对每小段路径其跃迁几率为 xntn xn1tn1 ~ e N 初点到终点路径的 N i / S n ,n 1 iS n , n 1 / iS N ,1 / N 2 e e e 总跃迁几率为
n2
iS ( n , n 1) /
2.6 传播子和费曼路径积分 五、传播子作为跃迁振幅
波函数是位置左矢与随时间变化右矢的内积，也可被认为是海森堡绘 景中反向时间演化的位置左矢与不含时状态右矢之乘积。类似地，传 iEa ' t t0 / 播子可写为 K x",t;x',t x "| a ' a ' | x ' e 0
六、传播子的组合性质
x " , t" | x ' , t' 为使时空坐标记号更对称，记 x", t | x' , t 0 为
由于海森堡绘景中在任意给定时间的位置态矢形成完备基， 可在任意位置插入单位算符 d 3 x"|x" t" x"| t" 1
因而 x t | x ' t ' dx" x t | x" t" x" t"| x ' t ' 该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。 类似地有 t "" t t " t ' ：
xt "" | xt dx dx x "" t | xt xt | xt xt | xt
a'
x ' x 是t0时处于 的粒子在t时处于 " 的几率振幅。或者说 x ", t | x' , t 0 是 由时空点 ( x ' , t 0 )到另一时空点 ( x ", t ) 的跃迁振幅。
另种解释
由于海森堡绘景中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢，我们也可 称 x", t | ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ' , t 0 为链接不同时间的两组基矢的变换函数。 因此，在海森堡绘景中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。 这与经典力学物理量随时间变化可看作由哈密顿量产生的正则变换相似。
为讨论该表达式的含义， 可看如图所示的时空平面：
时空的初始与终点固定， 由初始到终点有不同的可 能路径。对给定一路径， 要计算其跃迁振幅，然后对 各种可能路径求和，这与经 典力学是有差别的。在经典力学中粒子有确定的轨迹，其路径 t2 对应于哈密顿原理所给出的路径 ) 0 dtLclassical ( x, x （即作用量的变分为零： t
为简单记，讨论一维情型，并记 x repeated N times 为 x n t N t1 将t1至tN分为N-1等分 t t j t j 1 N ，则 1
xN t N | x1t1 dxN 1dx N dx2 xN t N | xN 1t N 1 xN 1t N 1 | xN 2t N 2 x2t 2 | x1t1 2