高二上学期数学期末试卷及答案

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浙江省金华市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ，平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。

2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是（） A ．都是黑球 B ．恰好有1个黑球 C ．恰好有1个红球 D ．至少有2个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确，在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误，在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误．故选：B ．2．若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a b c λ=-=-=，满足条件()1c a b -⋅=-，则λ=（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得()(0,2,1)c a λ-=-，再通过数量积运算即可得解. 【详解】根据向量的运算可得： ()(0,2,1)c a λ-=-，所以()012(2)(1)1c a b λ-⋅=⨯+⨯-+-⨯4131λλ=-+-=--=-，所以2λ=-，故选：B3．椭圆2221x y +=的焦点坐标为（） A ．12(1,0),(1,0)F F - B ．12(0,1),(0,1)F F -C ．12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．120,,F F ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据题意可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==，求得22212c a b =-=即可得解.【详解】由2221x y +=可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==，所以22212c a b =-=，22c =，故焦点坐标为12220,,0,22F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5．已知12,F F 是双曲线22146x y-=的两个焦点，点P 在双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A ．1或9B ．3或7C ．9D ．7【答案】C【分析】由题知点P 在双曲线左支上，进而根据双曲线的定义求解即可；【详解】解：由题知，2,a b c ===因为P 在双曲线上，且152PF a c =<+=所以，点P 在双曲线左支上，由双曲线定义知2124PF PF a -==，故29PF =；所以，29PF = 故选：C6．在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（） A ．(1,1,3)-- B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-【答案】B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，由OA ，OB 不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，求得C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，代入验算即可得解. 【详解】由(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，显然OA ，OB 不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，故C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，经验算只有B 选项符合条件，此时1,2λμ==，故选：B7．2||12x y y -=-表示的曲线为（） A ．两个半圆 B ．一个圆 C ．半个圆 D ．两个圆【答案】A【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解. 【详解】依题意，||10x -≥，则有1x ≤-或1x ≥，当1x ≤-时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔--=--⇔++-=，此时方程表示以点O 2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =-1及左侧的半圆，当1x ≥时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔-=--⇔-+-=，此时方程表示以点O 1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =1及右侧的半圆，如图，2||12x y y -=-.故选：A8．已知点A ，B 是椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上（异于A ，B 两点），若直线,PA PB 斜率之积为43a ca -，则椭圆的离心率为（） A ．13B ．14C ．23D ．34【答案】C【分析】根据题意可设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，即22222a n m a b-=-，由(,0),(,0)A a B a -，则2222243PA PBn n n b a ck k m a m a m a a a-⋅=⋅==-=+--，整理解方程即可. 【详解】设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，22222a n m a b-=-，不妨设(,0),(,0)A a B a -，则22222222243PA PBn n n n b a ck k a n m a m a m a a a b-⋅=⋅===-=+---，整理可得223440c ac a +-=，即23e 4e 40+-=，23e =或2e =-（舍），故选：C9．已知圆22:(7)(1)2C x y -+-=和两点(0,),(0,)(0)A a B a a ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则a 的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，所以，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，因为以AB 为直径的圆的方程为222:O x y a +=，圆心为()0,0O ，r a = 因为圆C 的圆心为()7,1C，半径为R =所以r R OC r R -≤=+，即r R r R -≤+，所以，R r R ≤≤，即a ≤≤所以，a的最大值为故选：C10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11D C 的中点，F 是侧面11ADD A 的中心，则F 到平面1EB C 的距离为（）A 26B 10C ．32D 3【答案】A【分析】连接1A D ，证明1//A D 平面1CEB ，进而将其转化为D 到平面1EB C 的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D ，因为F 是侧面11ADD A 的中心，所以1F A D ∈，因为，由正方体的性质知1111//,A B CD A B CD =，所以，11A B CD 是平行四边形，所以11//A D CB ，因为1A D ⊄平面1CEB ，1CB ⊂平面1CEB 所以1//A D 平面1CEB ，所以，F 到平面1EB C 的距离与D 到平面1EB C 的距离相等，设D 到平面1EB C 的距离为h1CEB 中，115,22EB CE BC ==11225262CEB S =⨯-△ 因为111111133D EB C B E CEB C CED D V V S h S B C --==⋅⋅=△△，1136111423323CED S B C ⨯⨯===⋅△，解得266h =所以，F 到平面1EB C 26故选：A11．已知椭圆22:14x E y +=，直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ．且与椭圆E 有且只有个公共点，O 是坐标原点，则OMN 面积的最小值是（） A ．2B ．4C ．2D ．2【答案】D【分析】根据题意首先设直线l 方程为y kx b =+，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数k 和b 之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解. 【详解】若要直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ，则直线l 的斜率存在，故设直线l 方程为y kx b =+，代入到椭圆方程2214x y +=可得222(41)8440k x kbx b +++-=，根据提意可得222222644(41)(44)6416160k b k b k b ∆=-+-=-+=，所以2241k b +=，根据题意对方程y kx b =+，0,0k b ≠≠，所以令0x =得y b =，令0y =得bx k=-，所以2211114111422222OMNb b k SOM ON b k k k k k+=⋅=⋅-===+ 111(4)422k k k k=+⋅=，当且仅当14k k=时取等，所以OMN 面积的最小值是2. 故选：D12．设圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，给出下列四个结论：①当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)②||PA 的取值范围为)+∞③当PAB 为等边三角形时，点P 坐标为(1,3) ④直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭其中正确结论的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，利用||||||||OA OB AP BP ===，求出||2PO =，再设00(,)P x y ，利用004y x =-，解方程||2PO =，可知①不正确；对于②，设00(,)P x y ，利用004y x =-， ||AP ==||AP ≥②正确对于③，根据PAB 为等边三角形，可得30APO BPO ∠=∠=，||OP =P 的坐标，利用||OP =对于④，设出点P 的坐标，求出以||PO 为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB 的方程，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立，可得答案. 【详解】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，||||||||OA OB AP BP ===，又圆22:2O x y +=的圆心(0,0)O ，半径r =所以||2PO ==，设点00(,)P x y ，则004y x =-，所以||PO ===2=，化简得200460x x -+=，该方程的判别式16240∆=-<，该方程无解，所以不存在点P 使得四边形OAPB 为正方形，故①不正确；对于②，由①可知，||AP ==≥PA 的取值范围为)+∞，故②正确；对于③，设点00(,)P x y ，则004y x =-，当PAB 为等边三角形时，可知60APB ∠=，又OP 平分APB ∠，所以30APO BPO ∠=∠=，在直角三角形PAO 中，由于||OA =所以||sin ||OA APO OP ∠=，即2sin30||OP =，所以||OP =又点00(,4)P x x -=化简得20(2)0x -=，解得02x =，所以0042y x =-=，则(2,2)P ，故③不正确；对于④，设点00(,)P x y ，则004y x =-，00(,4)P x x -，以||PO 为直径的圆的圆心为004(,)22x x -，半径为||2PO =所以以||PO 为直径的圆的方程为222200004(4)()()224x x x x x y -+--+-=，化简得2200(4)0x y x x x y +---=，联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，得00(4)2x x x y +-=，所以直线AB 的方程为：00(4)2x x x y +-=，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立，故直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故④正确.所以正确的答案有2个，故选：B.二、填空题13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第60百分位数是__________.【答案】6【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可. 【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x+=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6. 故答案为：6.14．过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为________．【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求1c =，令1x =代入椭圆方程求得32y =±即可得解.【详解】由2221c a b =-=，故1c =，不妨令1x =，代入22143x y +=可得294y =，所以32y =±，故弦长为3.故答案为：315．已知直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=，若12l l //，则m =________．【答案】2【分析】由题知()210m m -+-=，进而解方程并检验即可得答案. 【详解】解：因为直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=平行，所以，()210m m -+-=，即220m m --=，解得：1m =-或2m = 当1m =-时，12:210,:210l x y l x y +-=--+=，显然重合，舍；当2m =时，121:0,:102l x y l x y --=-+=，满足12l l //. 所以，2m = 故答案为：2 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点P ⎫⎪⎝⎭，双曲线C 的离心率为53，则双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为_______．【答案】4【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，利用点到直线距离公式求解即可.【详解】由双曲线经过点P ⎫⎪⎝⎭，则222221a b ⎝⎭-=，① 双曲线离心率为：53c e a ==，②又222+=a b c ，③联立①②③解得：2229,16,25a b c ===，所以双曲线标准方程为：221916x y -= 所以双曲线的一个焦点为()5,0，一条渐近线为430x y -=，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为：4d ==，故答案为：4.17．已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，且1260F PF ︒∠=，则21PF F 的面积是________．【解析】根据椭圆的定义，得到12PF PF +的值，再由1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，用余弦定理，求出12PF PF ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得1226PF PF a +==，且椭圆的焦距为124F F ==，又1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，由余弦定理，可得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==，所以()22221121212122PF PF PF PF F F PF PF +--=，即211236162122PF PF PF PF --=，所以21203PF PF =，因此21PFF的面积是1221211120sin 223PF F S PF PF F PF =∠=⨯=. . 18．如图，在直三棱柱111ABC A BC 中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，CH xCB =，1(01,01)CP yCB x y =<≤≤≤．记(,)f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(,)f x y 的最小值为3；③满足(,)3f x y =的点P 有无数个；④当(,)f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面面积为154．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③④【分析】过点H 作01HP B C ⊥，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP ⊥平面110A B P ，由此判断①；作展开图，利用平面几何结论判断②，③；确定过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题④.【详解】因为三棱锥111ABC A B C 为直三棱锥，所以1BB ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥， 1111BB B C B =，111,BB B C ⊂平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，对于任意点H ，过点H 作01HP B C ⊥，垂足为0P ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，0HP ⊂平面11BB C C ，所以110A B HP ⊥，又1111B CA B B =，111,B C A B ⊂平面110A B P ，所以0HP ⊥平面110A B P ，又0HP ⊂平面0AHP ，所以平面0AHP ⊥平面110A B P ；所以对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；命题①正确；将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离，又11AB BB ==，3BC =，90ABC ∠=︒，190B BC ∠=，所以112AC CB AB ===，所以点A 到直线1B C 的距离为3，所以(,)f x y 的最小值为3；②正确；当(,)f x y 取最小时，P 为1B C 的中点，因为1AB C 为等边三角形，点B 为线段1AB 的中点，所以H 为1AB C 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，11,PB M PCH B PM HPC ∠=∠∠=∠，所以1PB M PCH ≅，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11A C 的中点，则1//MN AQ ，因为1//BH B Q ，1=BH B Q ，所以四边形1BB QH 为平行四边形，所以11//,HQ BB HQ BB =，又1111,//AA BB AA BB =，所以1//A Q AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，又2323133AH ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，11323MN A Q ==， 22233MH MQ HQ =+=， 22112AN AA A N =+=，在下图中过点M 作MG AH ⊥，设,HG x AG y ==，因为222MH HG AG =+，()222AN AG MN NG =-+，所以22243x y MH +==，22323x y ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以36x =，52y =，所以四边形AHNM 的面积35152224MN AH S AG +=⋅=⨯=，故过点A ，H ，P 的截面面积为154．命题④正确；当52HB ≥时，32AH ≥，则12AH HP AH HB AH +≤+≤，在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+，又2AH HR AH HC +<+<，23AH ≥，故对于任意的点H ，当52HB ≥时，都存在对应的点P ，满足3AH HP +=，故满足(,)3f x y =的点P 有无数个；命题③正确；故答案为：①②③④.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决.三、解答题19．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来检测培育的某种植物的生长情况，现分别从,,A B C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：假设所有植株的生产情况相互独立．从,,A B C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． (1)求丙的高度小于15厘米的概率； (2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有数据的平均数记0μ．从,,A B C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次14，16，15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）【答案】(1)27(2)1049(3)01μμ<【分析】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度” 的概率，（3）依题意分别计算出0μ和1μ比较即可.【详解】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，由题意得：1()()(),1,2,3,,77i i i P A P B P C i ====，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题知12D C C =⋃，且12,C C 互斥，所以丙的高度小于15厘米的概率为： ()()()()1212112777P D P C C P C P C ==+=+=. （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”，所以甲的高度大于乙的高度的概率为：()()()()()()()415161115262P E P A B P A B P A B P A B P A B P A B =+++++ ()()()()72637374P A B P A B P A B P A B ++++11111111117777777777=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 11111111117777777777+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1110107749=⨯⨯=.（3）由题意得：01(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819)14.67+++++++++++≈，11(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819141615)14.71++++++++++++++≈，所以01μμ<.20．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且经过点(1,3),(1,5)A B -． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点(2,1)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程．【答案】(1)()()22134x y -+-= (2)34100x y +-=或2x =【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),3a a ，再求出AB 的中点M ，利用AB CM ⊥求出a的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）因为圆C 的圆心在直线30x y -=上，所以设圆C 的圆心为：(),3a a ，由(1,3),(1,5)A B -，所以AB 的中点()0,4M ，由题知：AB CM ⊥，所以1AB CM k k ⋅=-，即()53341110a a --⋅=----，解得1a =，所以圆心为()1,3C ，半径2R AC ===所以圆C 的标准方程为：()()22134x y -+-=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(2,1)P ，所以方程为：2x =，代入()()22134x y -+-=中解得：3y =±(()||33MN =-=满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：1(2)210y k x kx y k -=-⇔--+=，由圆心()1,3C 到直线l 的距离为：d ==由2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222=+⎝⎭，解得：34k =-，所以直线l 的方程为：34100x y +-=，综上，直线l 的方程为：34100x y +-=或2x =.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，60BCD ∠=︒，2PA PD ==，E 为BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上.（1）求证：AD PB ⊥；.（2）若Q 是PC 的中点，求二面角E DQ C --的余弦值；（3）若PQPCλ=，当//PA 平面DEQ 时，求λ的值.【答案】（1）见解析；（221；（3）23λ=.【详解】分析：（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出Q 的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解. 详解：（1）取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ， ∵ PA PD =， ∴ PO AD ⊥，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴ PO ⊥底面ABCD ，∵ 底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ BA BD =，BO AD ⊥，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -，由题意可得()0,0,0O ，()1,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()1,0,0D -，()3,0E -，()0,0,1P ，()2,0,0AD =-，()0,3,1PB -，∵ ·0AD PB =，∴ AD PB ⊥.（2）由题意，12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面DQC 的一个法向量()1,,n x y z =，()DC =-，12DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由11·0·0n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102x z ⎧-=+=，令x =1y =，z =(13,1,n =，又平面EDQ 的一个法向量()21,0,0n =，由121212·21cos ,7n n n n nn ==⋅，右图可知，二面角E DQ C --. （3）∵ PQ PC λ=，01λ<<，易得()2,1Q λλ--，设平面DEQ 的一个法向量()3,,n xy z =， ()0,DE =，()2,1DQ λλ=-+-，由33·0·0n DE n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()02110x y z λλ⎧=⎪⎨-++-=⎪⎩，取21z λ=-，得()31,0,21n λλ=--，又()1,0,1PA =-，∵ //PA 平面DEQ ，∴ 3·0PAn =，即()()()11210λλ-+--=，得23λ=，所以当23λ=时，//PA 平面DEQ . 点睛：本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.22．已知椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆W 的方程；(2)设过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC 交于点E ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知．求||||MD ME 的值．条件①：直线l 的斜率为1；条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点；条件③：直线l 过坐标原点O ．【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）由题设()221,0,mx ny m o n m n +=>>≠，进而待定系数求解即可；（2）条件①：由题知直线l 的方程为1y x =-，进而联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,C x y D x y 得121288,77x x x x +==-，再根据AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =--得()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，再计算2852x MD -=，()()()12158222x x ME x --=-，再结合韦达定理求比值即可；条件②：由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 的方程为1463y x =-+，进而结合①的方法求解即可；条件③：由题知直线l 的方程为12y x =，进而联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得,D C ⎛⎭⎝⎭，再求得3M ⎫⎪⎭，E ，再求距离，比值即可. 【详解】（1）解：因为椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭所以，设椭圆W 的方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，所以41914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,43m n == 所以，椭圆W 的方程为22143x y += （2）解：条件①：直线l 的斜率为1；因为过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，所以，直线l 的方程为12y x -=-，即1y x =-，联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以121288,77x x x x +==-，因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()2222853524222x MD x y x -=---=-+=， ()()()()()12122112582322222y x x x ME x x x ---=+-=--，所以()()()()()()()221112212121212185852816510258251081658222x x x MD x x x x ME x x x x x x x x x -----+===----+---()()221212212122228888165228165277718885102162510162777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯--⨯-+-+ ⎪+--+⎝⎭====-+++⎛⎫-+⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点；由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为()11421663y x x =--+=-+，所以联立方程221463143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得274110x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以1212411,77x x x x +==-，因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()()2222233144522226333MD x y x x x =---=--+-=-+， ()()()()()()()1212212211114222810336322222262x x y x x x ME x x x x x ⎛⎫-+- ⎪---⎝⎭=+-=+-=---，所以()()()212121221211451016820338101620281062x MD x x x x ME x x x x x x x -++--==--+---()()221221212122224111210682061068207771121148166206816610777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯+-⨯--- ⎪++--⎝⎭====-+++⎛⎫-⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件③：直线l 过坐标原点O ．由题知直线l 的方程为12y x =，所以联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23x =，解得x=所以，交点坐标为,⎛ ⎭⎝⎭因为过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC交于点E ，所以,D C ⎛ ⎭⎝⎭因为AB 方程为()322y x =--，AC方程为))22y x x -=-所以3M ⎫⎪⎭，)2E ⎫=⎪⎪⎭所以33MD ==-，633ME ==-，所以1MDME =23．对于集合A ，定义函数1,()1,A x A f x x A ∉⎧=⎨-∈⎩，对于两个集合A ，B ，定义运算A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}．(1)若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，写出fA (1)与fB (1)的值，并求出A *B ；(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A *B ＝B *A ，(A *B )*C ＝A *(B *C )．【答案】(1)fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，A *B ＝{1,4,5}；(2)证明见详解.【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA (1)与fB (1)的值，再分情况求出A *B ；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )即可证明出*运算具有交换律和结合律．【详解】（1）∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，∴fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，由运算定义知：只需保证元素属于集合A ∪B ，不属于集合A ∩B ，即有A *B ＝{1,4,5}；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )：①当x ∈A 且x ∈B 时，fA (x )＝fB (x )＝﹣1，所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，②当x ∈A 且x ∉B 时，fA (x )＝﹣1，fB (x )＝1，所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，③当x ∉A 且x ∈B 时，fA (x )＝1，fB (x )＝﹣1．所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．④当x ∉A 且x ∉B 时，fA (x )＝fB (x )＝1．所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．从而可得fA *B (x )＝fA (x )fB (x )；因为A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，B *A ＝{x |fB (x )fA (x )＝﹣1}＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为(A*B)*C＝{x|fA*B(x)fC(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，A*(B*C)＝{x|fA(x)fB*C(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，所以(A*B)*C＝A*(B*C)．。

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试数学(含答案)

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

2022-2023学年贵州省遵义市高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年贵州省遵义市高二上学期期末数学试题一、单选题110y -+=的倾斜角为（）A ．π4B ．π6C ．π3D ．2π3【答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.【详解】10y -+=为1y =+，所以直线的斜率k =θ，则tan θ0πθ≤<，π3θ∴=. 故选：C.2．抛物线24y x =的准线方程为 A ．1x = B ．2x = C ．=1x - D ．2x =-【答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,2p=1， ∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1．故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题． 3．已知向量(1,),(2,1)a x b =-=，若a b ⊥，则x 的值为（） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【答案】D【分析】根据题意可得0a b ⋅=，进而求出x 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即1210x -⨯+⋅=，解得2x =，故选：D.4．已知正实数a 、b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．3+B ．3C ．2+D ．4【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【详解】由0,0a b >>，则()12122123b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即1,2a b ==- 故选：A.5．若0.53log 10,3,ln10a b c ===，则（） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B【分析】将3log 10、0.53与2比较可得a b >，将ln10、3log 10用换底公式变换后构造函数，研究其单调性比较即可.【详解】∵33log 10log 92a =>=，0.532b ===，∴a b >，又∵1ln10lg e =，31log 10lg3=，0lge lg3<<， ∴11lg e lg 3>，即：3ln10log 10>，∴c a >， ∴c a b >>. 故选：B.6．已知两条直线1:10l ax y +-=和2:10(R)l x ay a ++=∈，下列不正确的是（） A ．“a ＝1”是“12l l ∥”的充要条件B ．当12l l ∥C ．当2l 斜率存在时，两条直线不可能垂直D ．直线2l 横截距为1 【答案】D【分析】由直线平行关系可以判断A 正确；利用平行线间距离公式可以判断B 正确；利用垂直关系可以判断C 正确；令0y =可以求出直线2l 得横截距. 【详解】当12l l ∥时，11a a ⋅=⨯，则1a =±，当1a =-时，直线1l 与2l 重合，故舍去，所以A 正确；当1a =时，12l l ∥，1:10l x y +-=和2:10(R)l x y a ++=∈间的距离为2211211d --==+，所以B 正确；若12l l ⊥，则110a a ⋅+⋅=，则0a =，又当2l 斜率存在时，0a ≠，所以C 正确；2:10(R)l x ay a ++=∈，令0y =得=1x -，所以直线2l 横截距为-1，所以D 错误. 故选：D.7．已知函数()f x 的图象如下图所示，则(|1|)f x +的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先由函数()f x 的图象变换得到偶函数()f x 的图象，再根据平移变换得到(|1|)f x +的图象. 【详解】在y 轴左侧作函数()f x 关于y 轴对称的图象，得到偶函数()f x 的图象，向左平移一个单位得到(|1|)f x +的图象. 故选：A.8．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．事件A 与事件B 对立 C ．事件A 与事件B 相互独立 D ．()56P A B +=【答案】C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误；对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =, B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =, 事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =, 由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个，故()4263P A B +==，D 错误，故选：C二、多选题9．已知函数()221f x x x =+，则（） A ．函数f （x ）为偶函数B ．函数f （x ）的定义域为(,0)(0,)-∞+∞C ．函数f （x ）的最小值为2D ．函数f （x ）在（0，＋∞）单调递减【答案】ABC【分析】对于A ：根据偶函数的定义即可判断；对于B ：分母不为0即可判断；对于C ：根据基本不等式即可判断；对于D ：求导即可判断.【详解】对于A ：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，而()()222211()()f x x x f x x x-=-+=+=-，所以()f x 为偶函数.故A 正确；对于B ：20,0x x ≠∴≠，()f x ∴的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故B 正确；对于C ：()2212f x x x =+≥，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，故()f x 的最小值为2.故C 正确；对于D ：433222()2x f x x x x-'=-=，当0x >时，令()0,f x '>即4220x ->，解得1x >，令()0,f x '<即4220x -<，解得01x <<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.故D 错误.故选：ABC.10．已知函数()1sin22f x x x =，则（）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位后的图象关于y 轴对称 C ．函数f （x ）的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数f （x ）在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AD【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.【详解】1π()sin 22sin(2)23f x x x x ==+，对于A 项，2π2ππ|||2|T ω===，故A 项正确；对于B 项，()f x 的图象向右平移π3个单位后为πππ()sin(2())sin(2)333g x x x =-+=-，所以ππ()sin(2)sin(2)()33g x x x g x -=--=-+≠，所以图象不关于y 轴对称.故B 项错误；对于C 项，因为πππ2π362k x k x +=⇒=-+，Z k ∈，所以()f x 的对称中心为ππ(,0)62k -+，Z k ∈，当πππ626k -+=时，2Z 3k =∉，所以π(,0)6不是()f x 的对称中心.故C 项错误；对于D 项，因为ππ(,)62x ∈，则π2π4π2(,)333x +∈，π()sin(2)3f x x =+，令π23t x =+，则sin y t =，2π4π(,)33t ∈，因为sin y t =在2π4π(,)33上单调递减，所以()f x 在ππ(,)62上单调递减.故D 项正确.故选：AD.11．已知直线l ：10x y ++=，点P 为⊙M ：()()22122x y -+-=上一点，则（） A ．直线l 与⊙M 相离B ．点P 到直线l 距离的最小值为1C ．与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=D ．平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为2210x y ++=和2250x y +-= 【答案】AC【分析】利用圆心()1,2M 到直线l 的距离d与半径r =A 正确；点P 到直线l 距离的最小值为d r -，判断B 错误；求出圆心()1,2M 关于直线l 对称点()3,2N --，进而求出圆的方程，判断C 正确；利用圆心()1,2M 到直线的距离d r =，求出其切线方程，判断D 错误. 【详解】⊙M ：()()22122x y -+-=，圆心()1,2M，半径r =圆心()1,2M 到直线l ：10x y ++=的距离为：d r ==>，所以直线l 与⊙M 相离，故A 正确；点P 到直线l距离的最小值为d r -=，故B 错误；设圆心()1,2M 关于直线l 对称点为()00,N x y ，则00001110222(1)11x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得()3,2N --，则与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=，故C 正确；设平行于l 且与⊙M 相切的直线方程为0x y c ++=，则d r =='1c =-或5c =-，平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为10x y +-=和50x y +-=，故D 错误. 故选：AC.12．双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，12AF F △和12BF F △内切圆半经分别为1r 和2r ，则（）A ．双曲线C的渐近线方程为20x = B ．1AF B △面积的最小值为15C ．12AF F △和12BF F △的内切圆圆心的连线与x 轴垂直D ．12r r ⋅为定值【答案】BCD【分析】A20y ±=；B ：1121212AF BSF F y y =-，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到； CD:画图，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出点G 、1O 、2O 的横坐标为a ，证得12O O x ⊥轴，12122O GF O F O △∽△，可得出()212rr c a =-，得证；【详解】选项A :双曲线的渐近线方程为25x =化简成一般式为 520x y ±=，错误；选项B ：设1122(,),(,)A x y B x y 则1121212AF BSF F y y =-；设过点2F 的直线为l 显然与y 轴不垂直，设l ：3x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立223145x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()225430250m y my ⇒-++=，故()2Δ40010m =+>，12212230542554m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，由于A ，B 均在双曲线右支，故1221221221212224()60054020363()9054m y y x x m x x m m y y m y y m -⎧++=>⎪+>⎧⎪-⇔⎨⎨⋅>--⎩⎪+++=>⎪-⎩，解得2045m ≤<，1121212AF BS F F y y =-带入得： ()()1212121212342AF BSc y y y y y y =⨯⨯-=+-代入韦达定理得122604510AF Bm Sm +⎫≤⎪⎝<⎭， 22311m t t ⎛+=≤< ⎝⎭，则1296035605195AF Bt S t t t t⎛==≤< -⎝⎭-，易知95t t-随t 的增大而减小，则当1t =时，()1min15AF BS=，综上：1AF BS的面积的最小值为15，正确；选项C :（如图所示）过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11FM FG =，22F G F N =，所以()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+ 222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=. 故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，正确；选项D ：由C 可知圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切. 在122O O F △中，()122122221211902O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠=，122O O F G ⊥， 12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠=，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O G O FO F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()2121r r c a =-=，正确；故答案为：BCD【点睛】方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程y kx b =+，设出交点坐标11(,)x y ，22(,)x y ，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，可根据交点情况得出参数范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值．三、填空题13．若复数12z i =+，则|z |＝___．【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.【详解】由题意，复数12z i =+的实部为1，虚部为2，则z =14．若sin 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α＝___．【答案】【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.【详解】方法1：∵π(0,)2α∈，sin α=∴π3α=，∴2πtan 2tan3α==方法2：∵π(0,)2α∈，∴1cos 2α==，∴sin tan cos ααα==∴22tan tan 21tan ααα===-故答案为：15．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若P A ＝2，AB ＝1，BC =，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为___．【答案】8π【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥-P ABC 的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积【详解】由题意，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，PA BC ⊥,又AB BC ⊥，AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，因为PA AC ⊥，所以OP OC OA ==，因为BC PB ⊥，所以OCOP OB ，所以O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，因为AB BC ⊥，1,AB BC ==2AC =，因为PA AC ⊥，2AC =，2PA =，所以OP =设三棱锥-P ABC 外接球的为R ，所以R =所以三棱锥的外接球的表面积为()224π4π28πS R ==⨯=．故答案为：8π.16．已知函数2ln ,0()43,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实数根1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则()()341211x x x x +-的取值范围是___．【答案】11,43⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】画出()y f x =的图象可得m 的范围，341x x =，124x x +=-，210x -<≤，代入所求式子转化为求函数222123y x x =--+在(1,0]-上的值域即可.【详解】()y f x =的图象如图所示，∵方程()f x m =有四个不相等的实根， ∴03m <≤，又∵34ln ln x x m -==，1222+=-x x ， ∴341x x =，124x x +=-，210x -<≤，∴34212222211(1)(1)(41)(1)23x x x x x x x x ==+---+---+，又∵22223y x x =--+在(1,0]-上单调递减，∴2223234x x ≤--+<，∴2221114233x x <≤--+，∴3412(1)(1)x x x x +-的取值范围为11,43⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：11,43⎛⎤ ⎥⎝⎦.四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日－12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：(1)根据频率分布直方图，求a 的值；(2)若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率．【答案】(1)0.04.(2)35.【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型. 【详解】（1）50.010.070.060.02)1a ⨯=(++++，解得：0.04a =. （2）由分层抽样可知，从得分在[75,80)内的球迷中抽取0.06630.060.040.02⨯=++人，分别记为1a 、2a 、3a ，从得分在[80,85)内的球迷中抽取0.04620.060.040.02⨯=++人，分别记为1b 、2b ，从得分在[85,90)内的球迷中抽取0.02610.060.040.02⨯=++人，记为c .所以从这6人中选取2人的基本事件有12(,)a a 、13(,)a a 、11()a b ,、12()a b ,、1(,)a c 、23(,)a a 、21()a b ,、22()a b ,、2(,)a c 、31()a b ,、32()a b ,、3(,)a c 、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有15个，两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的基本事件有11()a b ,、12()a b ,、21()a b ,、22()a b ,、31()a b ,、32()a b ,、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有9个.所以两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率为93155P ==. 18．已知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -． (1)求M 的方程；(2)若N ：()()22113+++=x y ，求M 与N 公共弦的长度．【答案】(1)22(1)(1)5x y -+-=【分析】（1）求出PQ 的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案；（2）求出两圆的公共线的方程，求得(1,1)M 到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案. 【详解】（1）由题意知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -，则PQ 的垂直平分线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-=，联立340y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(1,1），故M 的方程为22(1)(1)5x y -+-=（2）因为||MN故M 和N 相交，将()()22113+++=x y 和22(1)(1)5x y -+-=相减可得22+10x y +=，点(1,1)M 到直线22+10x y +==，故M 与N 公共弦的长度为19．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为11C D 中点，且124AA AB ==．(1)证明：1//AD 平面11BCC B ；(2)求DM 与平面I AMD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析. (2)48585.【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作1DP AD ⊥,证明DP ⊥平面1AMD ,找到DM 与平面I AMD 所成角，求出相关线段的长，解直角三角形即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连接1BC ,因为1111,AB D C AB D C =∥ ,所以四边形11ABC D 为平行四边形，故11AD BC ∥ ,又1AD ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B , 故1//AD 平面11BCC B . （2）作1DP AD ⊥,垂足为P ，因为11C D ⊥平面11ADD A , M 为11C D 中点，1MD ⊥平面11ADD A ,PD ⊂平面11ADD A ,故1MD DP ⊥,11111,AD MD D AD MD =⊂，平面1AMD ,故DP ⊥平面1AMD ,连接MP ,则DMP ∠为 DM 与平面I AMD 所成角，在1Rt ADD中，11DD AD PD AD ⋅===而DM 故在Rt DPM △中,sin PD DMP MD ∠===,即DM 与平面I AMD20．在①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-；②(2)cos cos 0b a C c B -+=这两个条件中选择一个，补充在下面问题中并解答．问题：在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，___________． (1)求C ；(2)若a ＝1，b ＝2，D 在线段AB 上，且满足25AD AB =，求线段CD 的长．注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．【答案】(1)π3【分析】（1）选择条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件②，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；（2）先利用余弦定理求出AB =π2ABC ∠=，再由题意求出BD ，再根据勾股定理即可求得CD ．【详解】（1）选择条件①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-，依题意由正弦定理得()(+)()b c b c b a a -=-，即222a b c ab +-=，又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，且()0,πC ∈，得π3C =，选择条件②(2)cos cos 0b a C c B -+=，依题意由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B -+=, 即()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =+=+=，又(),0,πA C ∈，则sin 0A >，所以1cos 2C =，得π3C =，（2）结合（1）由余弦定理得22222cos 3AB c a b ab C ==+-=，即3AB =，则222b a c =+，所以π2ABC ∠=，又25AD AB =，即22355AD AB ==，则335BD =，则在Rt △CBD 中，2222233521525CD BC BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，得2135CD =． 21．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，点H 为线段PB 上一点（不含端点），平面AHC ⊥平面P AB ．(1)证明：PB AC ⊥；(2)若1AB AC ==，四棱椎P －ABCD 的体积为13，求二面角P －BC －A 的余弦值．【答案】(1)见解析 6【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案；（2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，且C ∈平面ABCD ，∴过点C 所有垂直于PA 的直线都在平面ABCD 内，平面AHC ⊥平面ABP ，且C ∈平面AHC ，∴存在一条过C 的直线l ⊥平面ABP ，且l ⊂平面AHC ，PA ⊂平面ABP ，l PA ∴⊥，则l ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AHC AC =，l ∴与AC 为同一条直线，即AC ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，AC PB ∴⊥.（2）在平面ABCD 内，过A 作AE BC ⊥，且AE BC E ⋂=，连接PE ，作图如下：PA ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，同理可得PA AE ⊥，AE BC ⊥，AE PA A =，,AE PA ⊂平面PAE ，BC ∴⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，PEA ∴∠为二面角P BC A --的平面角，在Rt ABC △中，1122ABCS AB AC AE BC =⋅⋅=⋅⋅，且222BC AB AC +2AE =，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的面积1S AB AC =⋅=，则其体积1133V PA S =⋅⋅=，解得1PA =，在Rt PAE 中，226cos PA PEA PE PA AE∠===+ 故二面角P BC A --6. 22．已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的左顶点为()22,0A -2．(1)求C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线1l 、2l ，M 为1l 与C 两交点的中点，N 为2l 与C 两交点的中点，求△FMN 面积的最大值．【答案】(1)22184x y +=(2)49【分析】（1）由已知顶点坐标求出a ，由离心率求出c ，进一步运算得出椭圆的方程；（2）设出直线1l 、2l 的方程，与椭圆C 方程联立，得出M ，N 的纵坐标，表示△FMN 的面积，求其最大值.【详解】（1）由左顶点为()22,0A -，得22a =2，即2c a =2c =，222b a c -=，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）由已知1l 、2l 斜率都存在且不为0，设1l 与C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，右焦点()2,0F ，设直线1l ：2x my =+，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，所以1l 与椭圆C 两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==-+，同理2l 与椭圆C 两交点的中点N 的纵坐标22222112Nm m y m m -=-=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以△FMN的面积()()()2221122221M N m S MF m m y m NF +=+==+ ()()()22222222211121m m m m mm m m +=+=++++，不妨设0m >，令 21m t m +=，2t ≥，则212S t t=+，因为12y t t =+，212y t'=-，因为2t ≥，所以函数12y t t =+在区间[)2,+∞上单调递增，当2t =时，12y t t =+有最小值92，△FMN面积有最大值，最大值为49．。

西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯，由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈，则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=，即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−，同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立，所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++，解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

山东省威海市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)

17.如图，正方体的棱长为1．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值；
（2）利用空间向量法求平面与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】建立如图来自示的空间直角坐标系，平面PBC，
故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为
，
，
点P到面ABCD的距离，
由，得，
，
得 .
20.已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为的外接圆（点O为坐标原点）．
（1）求证：线段MN为圆A的直径；
（2）若圆A过点，求圆A的方程．
【答案】（1）证明过程见详解
则
，
设面的法向量为，
，取，得，
即面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值；
【小问2详解】
由（1）知面的一个法向量为，
又平面的一个法向量明显为，
，
设平面与平面所成角为，，
，
即平面与平面所成角的正弦值为 .
18.已知等比数列的各项均为正数，，10，成等差数列，且．
【详解】对A，由题知，，，
所以，，，即，故A选项正确；
对B，，即，故B选项错误；
所以，，
对C，，故C选项正确；
对D，当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，当为偶数时，为单调递减数列，
所以，的最大值为，故D选项正确.

广东省深圳市高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知点，则直线的倾斜角是（） ()(1,0,A B AB A ． B ．C ．D ．60 120 30 150 【答案】A【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.AB 【详解】因为点，所以，()(1,0,AB AB k ==设直线的倾斜角为，则， AB α0180α<< 所以. 60α= 故选：A.2．“”是“方程表示椭圆”的57m <<22175x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 22175x ym m +=--705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.57m <<22175x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.75m m -≠-3．在棱长为1的正方体中，（） 1111ABCD A B C D -1AB CB CB -+=A ．1 BC D ．2【答案】B【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．11AB CB CB AB -+=【详解】． 11AB CB CB AB BC CB AC -+=++=+ 故选：B ．4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是 ()A ．B ．1(1)1n n a -=-+2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ． D ．2sin2n n a π=cos(1)1n a n π=-+【答案】C【分析】令，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．1n =【详解】解：令，2，3，4分别代入验证：可知，因此不成立． 1n =3:2C a =-故选：．C 【点睛】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．在空间四边形中，，点在上，且，为的中OABC ,,OA a OB b OC c === M OB 3OM MB =N AC 点，则（）NM =A ．B ．131242a b c -+- 121232a b c -++C ．D ．131242a b c ++ 121232a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量加减法运算即可得到答案.【详解】.()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-故选：A6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ． y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.by x a=±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b-=>22220x y by x a b a -=⇒=±7．若直线（，）平分圆，则的最小值是（） 10ax by +-=0a >0b >()()22114x y -+-=12a b+A ．2B ．5C ．D ．【答案】C【分析】直线平分圆，得到a ,b 关系，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，1a b +=所以(时，取等号) ()1212233b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭b =故选：C.8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的,M N 24y x =F 23MFN π∠=MN 中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（） P 1:16l y =-d 22λ≥MN d λA ． B ． (-∞(],2-∞C ． D ．(,1-∞(],3-∞【答案】D【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位||,||MF a NF b ==MN 线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.d 【详解】在中，令，由余弦定理得MFN △||,||MF a NF b ==， 222||||||2||||cos MN MF NF MFNF MFN =+-⋅∠则有， 222||MN a b ab =++显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如1:16l y =-24y x =,,M P N l ,,A B C 图，而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，P MN PB MACN ，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+因此， 22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，a b =22λ≥MN d 22MN dλ≤3λ≤所以的取值范围是. λ(,3]-∞故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多选题9．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（） {}n a A ． {}n a B ．{}1n n a a +-C ．(为常数) {}n pa q +,p q D ． {}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A 不符合题1,1,3-1,1,3意；对于选项B ，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故{}n a 1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；1{}n n a a +-对于选项C ，若为等差数列，设其公差为，则为常数{}n a d 11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=列，故为等差数列，故选项C 符合题意；{}n pa q +对于选项D ，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故{}n a d 121221n n a n a n d +++--=+为等差数列，故选项D 符合题意， {2}n a n +故选：BCD.10．圆和圆的交点为A ，B ，则有（）221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A ．公共弦AB 所在直线方程为 0x y -=B ．公共弦ABC ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=D ．P 为圆上一动点，则P 到直线AB 2O 1+【答案】AC【分析】A 选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B 选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C 选项，线段AB 的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D 选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.2O 【详解】因为圆：和圆：的交点为A ，B ， 1O 2220x y x +-=2O 22240x y x y ++-=作差得，440x y -=所以圆与圆的公共弦AB 所在的直线方程为，故A 正确； 1O 2O 0x y -=因为圆心，，所在直线斜率为， 1(1,0)O 2(1,2)O -12O O 2111=---所以线段AB 的中垂线的方程为，即，故C 正确；0(1)y x -=--10x y +-=圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离2O 22240x y x y ++-=2(1,2)O -2r =2(1,2)O -0x y -=P 到直线AB 与圆的公共弦AB 的长d 1O 2O为B,D 错误． =故选:AC.11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地F 点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且A mB n 三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为F A B 、、R ，则222a b c 、、A ．B ．C ．D ．a c m R -=+a c n R +=+2a m n =+b =【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得，（*）m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，故A 正确；a c m R ∴-=+，故B 正确；a c n R +=+（*）两式相加，可得，故C 不正确；22m n a R +=-22a m n R =++由（*）可得，两式相乘可得 m R a c n R a c +=-⎧⎨+=+⎩()()22m R n R a c ++=- ，222a c b -=，故D 正确.()()2b m R n R b ∴=++⇒=故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线1111ABCD A B C D -,E F 111,A D AA G 上一个动点，则（）1B CA ．三棱锥的体积为定值1A EFG -B ．线段上存在点，使平面//平面1B C G EFG 1BDCC ．当时，直线与平面134CG CB = EG ABCDD ．三棱锥1A EFG -【答案】ACD【分析】A 选项，使用等体积法，面面平行进行证明； B 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；C 选项，根据先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式计算；134CG CB =G D 选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.【详解】对于A 选项，因为平面//平面，而平面，故//平面11ADD A 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1B C ，11ADD A 因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为， G 1B C G 11ADD A 2因为分别为棱的中点，故为定值，,E F 111A D AA ､1111122A EF S =⨯⨯=A 故三棱锥，而三棱锥的体积，A 选项正确；1112313G E A F F A E S V -⨯⨯==A 11A EFG G EFA V V --=对于B 选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直D DA x DC y 1DD 线为轴建立空间直角坐标系，z 则，，，，，设（），()2,2,0B ()0,0,0D ()10,2,2C ()1,0,2E ()2,0,1F (),2,G m m 02m ≤≤平面的法向量为，则，令，则，，则1BDC ()1111,,n x y z = 1111111220220n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11y =11x =-11z =-，()1111n ,,=--设平面的法向量，则，令，则EFG ()2222,,n x y z = ()()222222202210n EF x z n FG m x y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 21x =，， 21z =2322my -=所以， 2321,,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，EFG 1BDC k 12n kn = ()321,1,11,,12m k -⎛⎫--= ⎪⎝⎭1k =-，52m =因为，故不合题意，02m ≤≤所以线段上不存在点，使平面//平面，B 选项错误；1B C G EFG 1BDC 对于C 选项，，，，若，即，解得(),2,G m m (0,2,0)C 1(2,2,2)B 134CG CB = ()()3,0,2,0,24m m =， 32m =此时，又，，显然平面的一个法向量，33,2,22G ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2E 11,2,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ABCD (0,0,1)a =设直线与平面所成角为，则C 选项正确；EG ABCD θsin cos ,a θ=对于D 选项，如图2，连接，交EF 于点J ，则为EF 的中点，1A D J 1A J =的外接球球心的投影为，1A EFG -J 过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则G 1GH A D ⊥H GH ⊥11ADD A 2GH =O 1,OA OG 为外接球半径，1OA OG =过点作于点，则，，设（），O OK GH ⊥K OK JH =OJ HK =OK JH a ==0a ≤≤，OJ HK h ==由勾股定理得：，，从而2222211OA OJ A J h =+=+()2222OG h a =-+()22222h h a +=-+，解得：，2724a h +=要想半径最大，则只需最大，即最大，当最大为，此时半径的最大值为h 2a a =h2，故D 正确. =故选：ACD三、双空题13．已知数列的通项公式为：，则的最小值为_____，此时的值为_____. {}n a 103n a n =-n a n 【答案】133【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值.【详解】，已知先减后增，且. 10,4103103,43n n n a n n n ⎧-<⎪⎪=-=⎨⎪-≥⎪⎩n a 3413a a =<故的最小值为，此时的值为3.n a 13n 故答案为：；3.13四、填空题14．在等差数列中，前n 项和记作，若，则______． {}n a n S ()15265k S a a a =++k =【答案】16【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得； n 【详解】解：因为，所以，即()15265k S a a a =++()()115261552k a a a a a +=++，所以，所以()82615252k a a a a ⨯=++8263k a a a a =++，所以；()()()()826111113375151k a a a a a d a d a d a d a k d =-+=+-+++=+=+-16k =故答案为：1615．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E 的左、1F 2F ()222:103x yE a a -=>1F 右两支分别交于A ，B 两点，若，则的面积为__________． 22::5:12:13BF AB AF =2ABF△【答案】##2.4 125【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公22a =式即可得解. 【详解】如图，因为，所以． 22::5:12:13BF AB AF =2AB BF ⊥设，，得，25BF x =12AB x =213AF x =由，得 1221BF BF AF AF -=-1112||513||x AF x x AF +-=-所以，则，13AF x =115BF x =由，得，2221212BF BF F F +=222504x c =又，所以，，， 12221023BF BF x a c a ⎧-==⎨=+⎩22a =25c =2225x =故的面形. 2ABF △221123025S AB BF x ===故答案为：125五、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a 列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．{}(1)(2)na n n ++n n S 30n S ≥n 【答案】 612n n a n +=⋅【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性n S 计算得解.【详解】在数列中，，由得：，而， {}n a 14a =()121n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，{}n a n 142n n a n-=⋅12n n a n +=⋅所以数列的通项公式为；{}n a 12n n a n +=⋅显然，，121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++则，324354121222222222222))))2324354121(((((2n n n n n n S n n n n n ++++-+-+-++-+-=+=-+++ 由得：，即，令，则，即数列是递增30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n n b n b n ++=>+{}n b 数列，由，得，而，因此，，从而得，， 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =所以满足不等式的的最小值为6.30n S ≥n 故答案为：；612n n a n +=⋅六、解答题17．已知直线，．()():12360m a x a y a -++-+=:230n x y -+=(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；0a =l m n l (2)若坐标原点O 到直线的距离为1，求实数的值．m a 【答案】(1)或，120x y -+=370x y -=(2)或 1a =132a =-【分析】（1）先求出直线与的交点，然后设出直线的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，m n l l 由截距相反列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程；l （2）利用点到直线的距离公式列方程可求出实数的值.a 【详解】（1）当时，直线， 0a =:360m x y -++=由，解得， 360230x y x y -++=⎧⎨-+=⎩219x y =-⎧⎨=-⎩所以直线与的交点为，m n (21,9)--由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 9(21)y k x +=+当时，，0x =219y k =-当时，， 0y =921x k=-因为直线在两坐标轴上的截距相反，l 所以，即， 9219210k k-+-=271030k k -+=解得或， 1k =37k =所以直线的方程为或， l 921y x +=+39(21)7y x +=+即或，120x y -+=370x y -=（2）因为坐标原点O 到直线的距离为1，直线，m ()():12360m a x a y a -++-+=，1=化简得，解得或. 2211130a a +-=1a =132a =-18．如图在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1AC（1）求异面直线EF 与所成角的大小．1CD （2）证明：平面． EF ⊥1ACD 【答案】（1）；（2）证明见解析．60︒【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解； 111cos ,EF CD EF CD EF CD ⋅= （2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直. 10EF DA ⋅= 0EF DC ⋅= 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，(0,0,0)D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(0,0,2)D ∴，，，．(1,0,1)EF =- 1(0,2,2)CD =- 1(2,0,2)DA = (0,2,0)DC = （1）， 11cos ,2EF CD = ∴1,60EF CD ︒= ∴异面直线EF 和所成的角为．1CD 60︒（2）11200120EF DA ⋅=-⨯+⨯+⨯= ∴，即1EF DA ⊥ 1EF DA ⊥，1002100EF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=∴即．EF DC ⊥ EF DC ⊥又∵，平面且1DA DC ⊂1DCA 1DA DC D ⋂=∴平面． EF ⊥1ACD 19．记为数列的前项和，． n S {}n a n 1122n n n S a --=()*n N ∈（1）求；1n n a a ++（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和．2n n n b a a +=-{}n b n n T 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 12n -11122n n T +=-【分析】（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简变形可得1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-，进而得到所求答案. 1112n n n a a --+=-（2）由（1）的结论，将n 换为n +1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即可得到答案.【详解】（1）由，可得时，，即； 1122n n n S a --=1n =1121S a -=11a =当时，，2n ≥1n n n a S S -=-由，， 1122n n n S a --=112122n n n S a ----=两式相减可得：，即：. 11211222n n n n n a a a ----+=-1112n n n a a --+=-即有. 112n n na a ++=-（2）由（1）可得，即有， 112n n n a a ++=-21112n n n a a ++++=-两式相减可得，即. 2112n n n a a ++-=112n n b +=则，可得数列是首项为，公比为的等比数列. 1122122n n n n b b +++=={}n b 1412所以. 1111114212212n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线C ()0,1D ()2,1E -(F -P 1:2l y x =-与圆交于、两点.2:1=+l y x C A B（1）求圆的方程；C （2）求的最小值.22PA PB +【答案】（1）；（2）．22210x y x ++-=13【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出C 220x y Dx Ey F ++++=，即可得到圆的方程； ,,D E F C （2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公2l C A B (),P x y 式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值． 22PA PB +y x 【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，C 220x y Dx Ey F ++++=．1025030E F D E F D F ⎧++=⎪-+++=⎨⎪-+==⎩2,0,1D E F ⇒===-所以圆的方程为：．C 22210x y x ++-=（2）联立或， 221002101y x x x y x y ⎧--==⎧⇒⎨⎨++-==⎩⎩21x y =-⎧⎨=-⎩不妨设，，则，(0,1),(2,1)A B --(),P x y 2y x =-∴． 222222221||||(1)(2)(1)44144132PA PB x y x y x x x ⎛⎫+=+-++++=-+=-+ ⎪⎝⎭故的最小值为．22PA PB +13【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21．如图，在三棱锥中，，为的中点，. A BCD -AB AD =O BD OA CD ⊥(1)证明：平面平面;ABD ⊥BCD(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥OCD A E AD 2DE EA =B ACD -，求平面BCD 与平面BCE 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD ，又平面ABD ，从而由面面垂OA ⊥OA ⊂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点OD F OCD A CF OD ⊥O //OM CF BC M ，则，又由（1）知平面BCD ，所以，，两两垂直，以点为坐标原OM OD ⊥OA ⊥OM OD OA O 点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进OM OD OA x y z 而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.【详解】（1）证明：因为，为的中点，AB AD =O BD 所以，又且，OA BD ⊥OA CD ⊥BD CD D ⋂=所以平面BCD ，又平面ABD ， OA ⊥OA ⊂所以平面平面； ABD ⊥BCD（2）解：由题意，， 1112OCD S =⨯⨯=A BCD S =A 由（1）知平面BCD ，OA ⊥所以，所以OA =2， 1133B ACD A BCD BCD V V S OA --=⋅⋅==A 取的中点，因为为正三角形，所以，OD F OCD A CF OD ⊥过作与交于点，则，所以，，两两垂直，O //OM CF BC M OM OD ⊥OM OD OA以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，O OM OD OA x yz则，，，，，1，，A （0，0，2），， (0B 1-0)1,0)2C (0D 0)14(0,,)33E 因为平面，所以平面的一个法向量为， OA ⊥BCD BCD (0,0,1)m = 设平面的法向量为，又， BCE (,,)n x y z =344,0),(0,,)233BC BE == 所以由，得，令，， 00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩30244033x y y z +=⎪+=⎪⎩x =1y =-1z =所以，1,1)n =-所以 |||cos ,|||||m n m n m n⋅<>= 所以平面BCD 与平面BCE22．在平面直角坐标系中，椭圆2． ()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线A 、B 两点，D 是椭圆C 上一点，直线OD 的斜率为，且:l y mx =n 12mn =．T 是线段OD 的半径为，OP ，OQ 是的两条切T A DT T A 线，切点分别为P ，Q ，求的最大值．QOP ∠【答案】(1)； 22132x y +=(2)最大值为.QOP ∠3π【分析】（1）根据焦距易得; 1c =（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到的表达式，再利用AB |||DT AB =，则可得到，即圆半径的表达式，根据，则,则将直线的方程与椭圆方程DT r 12mn =12n m =OD 联立，得到的表达式，利用,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函OD sin2||QOP r r OD ∠=+数最值得到的最值，最终得到的最大值. sin 2QOP ∠QOP ∠【详解】（1）由题意得，， 22c =1c =又c e a = a ∴=b ∴=椭圆方程为：. ∴22132x y +=（2）设，， ()11,A x y ()22,B x y 联立，22132x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2281290m x +--=，()2227203681211522880m m m ∆=++=+>， 12x x +=129128x x m -=+2||AB x -==， |r AB =，直线的方程为：， 12n m=∴OD 12yx m =联立得，，2213212x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222483m x m =+22683y m =+ ||OD ==,1sin ||2||1QOP r OD r OD r ∠==++，OD r ==令，，且， 223m t +=()2123m t =-2t>110,2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭则ODr==1=≥=当且仅当，，即，时等号成立， 1114t =14t =22314m +=2m =±，因此， 1sin 22QOP ∠≤π26QOP ∠≤的最大值为， QOP ∴∠π3综上所述，的最大值为，此时. QOP ∴∠π32m =±【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.。

2023-2024学年高二上学期南京一中期末数学试卷【教师版】

南京市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学考试时间：120分钟满分：120分一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．）1．已知，则“”是“直线与直线垂直”的（）．充要条件必要而不充分条件充分而不必要条件既不充分也不必要条件【答案】【解析】斜率不存在时，则当时，两直线为与，此时两直线垂直．当，即时，两直线为与，此时两直线相交不垂直．斜率存在时，当且时，两直线的方程为与．两直线的斜率为与，所以由得，所以或时两直线垂直，所以是两直线垂直的充分不必要条件，故选：．2．若数列满足，，则（）【答案】【解析】数列满足，，，，，，，m R ∈1m =-()2120mx m y +--=330x my ++=A ．B ．C ．D ．C0m =2y =-31x =-210m -=12m =4x =31230x y ++=0m ≠12m ≠21221y m m x m =--+-33y mx m =--21m m --3m -2131m m m --⨯-=-1m =-0m =1m =-1m =-C {}n a 12a =11n n n a a a +=-2044a =A ．12B ．2C ．3D ．1-C{}n a 12a =11n n n a a a +=-111n na a +∴=-211122a ∴=-=3121a =-=-()4112a =--=511122a =-=是周期为的周期数列，而，故．故选：．3．已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（）．在区间上单独递减的一个增区间为的一个极大值为的最大值为【答案】【解析】结合图象：时，递增，故错误，正确；时，递减，故是的极大值点，是函数的一个极大值，但不一定是最大值，即错误；是函数的一个极小值，即错误；故选：．4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（）．【答案】【解析】由题意可得，解得，{}n a ∴3202436742=⨯+2024212a a ==C ()f x R ()f x '()f x 'A ．()f x ()0,1B ．()f x (1,1)-C ．()f x (1)f -D ．()f x ()1f B(1,1)x ∈-()0,()f x f x '>A B (1,3)x ∈()0,()f x f x '<1x =()f x (1)f ()f x D (1)f -()f x C B {}n a {}n b 1599a a a ++=258b b b =28281a a b b +=+A ．2BCD ．32C15953258539a a a ab b b b ++==⎧⎪⎨==⎪⎩553a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以．故选：．5．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（）【答案】【解析】由题意，，在圆中，点在圆上，线段的中点为，设，则，，即：．故选：．6．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（）【答案】【解析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，所以有，，又因为，，285228526311132a a ab b b +===+++C (2,0)P Q 221x y +=PQ M A ．()2211x x -+=B ．()2211x y +-=C ．()224141x y -+=D ．()224411x x +-=C(2,0)P 221x y +=Q PQ M (,)M x y (22,2)Q x y -22(22)(2)1x y ∴-+=224(1)41x y -+=C 2070n n a nb55n a =n b =A ．34B ．35C ．88D ．89C112n n n a a b --=+11n n n b a b --=+10a =11b =所以，，，，，，，，，，，．故选：．7．三个数，，的大小顺序为（）【答案】【解析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序．解：设，，时，，在上单调递减，又，，，且，．故选：．8．已知，分别为双曲线左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率是（）【答案】【解析】由，结合正弦定理得，因为，所以，，又，即，则，所以．21a =21b =33a =22b =48a =45b =521a =513b =655a =634b =7144a =789b =D 22a e =ln 22b =ln 33c =A ．b c a <<B ．b ac <<C ．c a b<<D ．a b c <<Dln ()x f x x =21ln ()x f x x '-=()f x (,)e +∞()2a f e =(4)b f =(3)c f =a b c ln ()x f x x =21ln ()x f x x '-=x e ∴>()0f x '<()f x ∴(,)e +∞2222ln e a e e==ln 2ln 424b ===ln 33c =243e >>()2(4)(3)f e f f ∴<<a b c ∴<<D 1F 2F ()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F C M N 1221sin 2sin 3NF F NF F ∠=∠()220MF MN NF +⋅= C A B C D B 1221sin 2sin 3NF F NF F ∠=∠1223NF NF =122NF NF a -=16NF a =24NF a =()220MF MN NF +⋅= ()()220MF MN MF MN +⋅-= 2220MF MN -=2||MF MN =设，则，又，则，解得，所以，，所以是正三角形，从而，在中，由，得，得，所以二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）9．已知圆和圆交于，两点，则（）．两圆的圆心距两圆有条公切线直线的方程为圆上的点到直线的最大距离为【答案】【解析】根据题意，圆，即，其圆心，半径；圆，即，其圆心，半径；依次分析选项：对于，两圆的圆心距，所以错误；对于，由于，两圆相交，有条公切线，错误；对于，两个圆的方程作差可得，即，故直线的方程为，正确；对于，圆到直线的距离则圆上的点到直线的最大距离为正确．故选：．10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（）．2||MF MN m ==16MF a m =-212MF MF a -=(6)2m a m a --=4m a =2||4MF MN a ==12MF a =2MF N △12120F MF ︒∠=12MF F △2221212122cos120F F MF MF MF MF ︒=+-⨯⨯⨯222(2)(2)(4)224cos120c a a a a ︒=+-⨯⨯⨯227c a =e =221:230O x y x +--=222:210O x y y +--=A B A ．122Q Q =B ．3C ．AB 10x y -+=D ．1O AB 2CD221:230O x y x +--=22(1)4x y -+=(1,0)2R =222:210O x y y +--=()2212x y y +-=(0,1)r =A 12O O ==A B 1222O O -<<+2B C 2220x y -+-=10x y -+=AB 10x y -+=C D 1O AB d =1O AB 2R d +=+D CD {}n a n S d 312a =120S >70a <时，的最小值为最大时，【答案】【解析】根据题意，依次分析选项：对于，由，则，又，则，故正确；对于，结合选项知，，，又，所以，解得，故错误；对于，结合选项知，又，所以时，的最小值为，故正确；对于，结合选项和知，当时，，当时，，所以当最大时，，故错误．故选：．11．抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是（）．抛物线的方程为存在直线，使得、两点关于对称的最小值为当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切【答案】【解析】对于，当运动到时，，由抛物线的定义可知，，所以，故抛物线的方程为，即错误；A ．60a >B ．43d -<<-C ．0n S <n 13D ．n S 7n =A CA 120S >()()6711212121222a a a a S +⨯+⨯==()6760a a =+>70a <60a >A B A 60a >70a <670a a +>312a =6767123012402470a d a d a a d =+>⎧⎪=+<⎨⎪+=+>⎩2437d -<<-B C A ()113137131302a a S a +⨯==<120S >0n S <n 13C D A B 16n ……0n a >7n …0n a <n S 6n =D AC 22(0)y px p =>F P P (2,)t ||4PF =l A B (4,1)M A ．28y x =B ．l A B 60x y +-=C ．||||PM PF +6D ．l F AF y B DA P (2,)t ||4PF =44222p px =-=-=4p =28y x =A对于，过点作垂直抛物线的准线，则，当且仅当、和三点共线时，等号成立，即正确；对于，因为、两点关于对称，所以直线的斜率为，设直线的方程为，，的坐标为，，联立，得，所以所以，且，即的中点坐标为，因为、两点关于对称，所以点一定在直线上，于是，解得，与相矛盾，故不存在直线满足题意，即错误；对于，设的坐标为，因为，所以的中点坐标为，而以为直径的圆的半径为，与的中点的横坐标相同，所以正确．故选：．12．已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（）取最小值时的值为的最小值为取最小值时的值为B P PP '||||||PM PF PM PP MP ''++ (4262)M px =+=+=P 'P M B C A B 60x y +-=l 1l y x m =+A B ()11,x y ()22,x y 28y x m y x=+⎧⎨=⎩22(28)0x m x m +-+=122122282,(28)40x x m x x mm m +=-⎧⎪=⎨⎪∆=-->⎩2m <121228y y x x m +=++=AB (4,4)m -A B 60x y +-=(4,4)m -60x y +-=4460m -+-=2m =2m <l C D A ()11,x y (2,0)F AF 112,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭AF 11211||2222x p r AF x +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭AF D BD ()11,x y 111ln 20x x y --+=()22,x y 22242ln 20x y +--=()()221212D x x y y =-+-A ．D B ．D 2x 125C ．D 45D ．D 2x 65【答案】【解析】将表示为函数图象上的点到直线上的点的距离的平方，利用导函数与函数切线的关系即可求解．【详解】由，得：，的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的平方的最小值，由得：，与直线平行的直线的斜率为，则令，解得:，切点坐标为，到直线的距离．即函数上的点到直线．所以的最小值为过与垂直的直线为，即．由，解得：，即当最小时，．故选：．三、填空题：（本题共4小题，共20分．）13．在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______．【答案】【解析】直线的一方向的量为BC()()221212D x x y y =-+-ln 2y x x =-+242ln 20x y +--=111ln 20x x y --+=1ln 112y x x =-+()()221212D x x y y =-+-ln 2y x x =-+242ln 20x y +--=ln2y x x =-+11y x'=-242ln 20x y +--=12-1112x -=-2x =∴(2,ln 2)∴(2,ln 2)242ln 20x y +--=d ==ln 2y x x =-+242ln 20x y +--=()()221212D x x y y =-+-245d =(2,ln 2)242ln 20x y +--=ln 2y x x =-+24ln 20x y --+=242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩125x =D 2125x =BC xOy ()()1122,,P x y Q x y l l PQl l (-l 60︒l (-直线倾斜角为．14．已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，做垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则______．【解析】椭圆的左焦点为，把代入中，得，15．设函数的导数为，且，则______．【答案】．【解析】因为，所以，令，则，即解得，所以，所以．故答案为：．30x k ∴-+=3x k =-y ∴=k ∴=∴l 60︒22120x y k+=8AB ||AB =()1,0-1x =-221204x y +=2195y =y =AB ∴==()f x ()f x '()sin cos 3f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭56f π⎛⎫'=⎪⎝⎭1()sin cos 3f x f x x π'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()cos sin 3f x f x x π''⎛⎫=- ⎪⎝⎭3x π=cos sin 3333f f ππππ''⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1323f f ππ''⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin f x x x '=-5551sin 16662f πππ'⎛⎛⎫=-=-= ⎪ ⎝⎭⎝116．已知数列满足，，则数列的通项公式为______，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为______．【答案】①②【解析】在数列中，，由得：，而，于是得数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，所以数列的通项公式为；显然，，则，由得：，即，令，则，即数列是递增数列，由，得，而，因此，，从而得，，所以满足不等式的的最小值为．故答案为：；．四、解答题：（本题共6小题，共70分．）17．（10分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的解集．【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，函数的定义域为，{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a (1)(2)n a n n ⎧⎫⎨++⎩⎭n n S 30n S ≥n 12n n a n +=⋅6{}n a 14a =12(1)n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭42142n n a n -=⋅12n n a n +=⋅{}n a 12n n a n +=⋅121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++32435412122222222222223243541212n n n n n n S n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n nb n b n ++=>+{}n b 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =30n S ≥n 612n n a n +=⋅62()ln f x x x =-()y f x =()()1,1f ()0f x '<y x =⎛ ⎝2()ln f x x x =-(0,)+∞且，，，因此，曲线在点处的切线方程为，即；（2）依题意，函数的定义域为，且，令且，，故不等式的解集为18．（12分）在数列中，，（1）证明：数列是等比数列．（2）求数列的前项和．【答案】（1）是首项为，公比为的等比数列（2）【解析】（1）证明：由，得．又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）)可知，所以数列的通项公式为，所以数列的前项和．19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】1()2f x x x'=-2(1)1ln11f ∴=-=(1)211f '=-=()y f x =(1,(1))f 11y x -=-y x =2()ln f x x x =-(0,)+∞1()2f x x x'=-()0f x '<0x >221000x x x x ⎧-<⎪⇒<<⎨⎪>⎩()0f x '>⎛ ⎝{}n a 12a =()1431n n a a n n ++=-+∈N {}n a n -{}n a n n S 1441(1)32n n n n S -+=+1431n n a a n +=-+()*1(1)4,n n a n a n n +-+=-∈N 111a -={}n a n -1414n n a n --={}n a 14n n a n -=+{}n a n 41(1)32n n n n S -+=+C 30x y -=()1,3A -()1,5B C ()2,1P l C M N ||MN =l【解析】（1）设圆的方程为，则，，，联立解得，，，圆的方程为，即．（2）直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，满足．直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，由题意可得，解得，直线的方程为，即．综上可得直线的方程为：，．20．（12分）已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】【解析】（1）设等差数列的公差为．由，得．因为，所以．220x y Dx Ey F ++++=3022D E ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭19 3 0D E F +-++=125 5 0D E F ++++=2D =-6E =-6F =∴C 222660x y x y +--+=22(1)(3)4x y -+-=l l 20x -==||MN =l l 1(2)y k x -=-120kx y k -+-=(1,3)C l d ==224-=34k =-l 31(2)4y x -=--34100x y +-=l 20x -=34100x y +-=0{}n a 12a =124111,,a a a {}n a {}n b 21123222n n n b b b b a -++++= {}n nb n n T {}n a d 2214111a a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()()21113a d a a d +=+0d ≠12d a ==所以．（2）．①．②②-①得：．．当时，，．上两式相减得：．．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值．【答案】【解析】（1）由椭圆的定义可知三角形的周长为，所以，又离心率，所以，则，所以椭圆的方程为；2n a n =1123242n n n b b b b a -++++= 1123112422n n n n n b b b b b a -+++++++= 122n n b +⋅=112n n b -+∴=1n =112b a ==22n n b -∴=10121232222n n n T --=+++⋅⋅⋅+0121112322222n n n T -=+++⋅+0122111111111222122222222n n n n n n n T ----⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+⋅-- ⎪⎝⎭2282n n n T -+∴=-()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F C A B 1F AB △8C P C C M N P MN PMN △1F AB 48a =2a =12c e a ==1c =2223b a c =-=22143x y +=（2）①当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，，，代入椭圆方程可得：，则设与平行且与椭圆相切的直线方程为，代入椭圆方程可得：，则解得，则点到的最大距离为两平行线间的距离，，所以三角形的面积的最大值为②若直线与轴垂直时，则在长轴顶点时三角形的面积取得最大值，且此时的面积为，综上，三角形的面积的最大值为．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在不相等的实数，，使得，证明：．【答案】【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；MN x y kx =(,)M x y (,)N x y --221234x k =+2221234k y k =+||MN ===MN y kx m =+()2223484120k x mkx m +++-=()()2222644344120m k k m ∆=-+-=2234m k =+PMN max d ===PMN max max 11||22S MN d =⋅=⨯=MN x PPMN 122S b a =⨯⨯=PMN ()ln ()f x x m x m =-∈R ()f x 1x 2x ()()12f x f x =120m x x <<+()f x (0,)+∞()1m x m f x x x'-=-=0m …()0f x '>()f x (0,)+∞当时，由得，所以在上单调递增；由得，所以在上单调递减；故当时，所以在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：，，由（1）可知，当时，在上是增函数，故不存在不相等的实数，，使得，所以．由得，即，不妨设，则，则，要证，只需证，即证，只需证，令，则只需证，即证，令，则，所以在上是增函数，所以，从而，故．0m >()0f x '>x m >()f x (,)m +∞()0f x '<0x m <<()f x (0,)m 0m …()f x (0,)+∞0m >()f x (,)m +∞(0,)m ()ln ,0f x x m x x =->()1m x m f x x x'-=-=0m …()f x (0,)+∞1x 2x ()()12f x f x =0m >()()12f x f x =1122ln ln x m x x m x -=-()2121ln ln m x x x x -=-120x x <<21ln ln 0x x ->21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-212112ln ln x x x x x x -<-+2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 01t t t -->+1()ln ,(1)1t g t t t t -=->+222121()0(1)(1)t g t t t t t '+=-=>++()g t (1,)+∞()(1)0g t g >=1ln 01t t t -->+120m x x <<+。

山东省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（） (1,3,5)P A ． B ． (1,3,5)--(1,3,5)--C ． D ．()1,3,5--()1,3,5---【答案】C【分析】直接根据空间点关于轴对称的结论即可得到答案.x 【详解】根据空间点关于轴对称，则轴上坐标不变，轴上坐标取相反数， x x ,y z 故点P 关于x 轴的对称点的坐标是. ()1,3,5--故选：C.2．已知直线，且，则实数a 的值为（） ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=12//l l A ．5 B ．1 C ．5或 D ．1-1-【答案】D【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.【详解】直线，，由解得或， ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=(4)50a a --=5a =1a =-当时，直线与重合，不符合题意， 5a =1: 10 l x y ++=2: 5 5 50l x y ++=当时，直线与平行， 1a =-1: 5 10 l x y -+=2: 5 50l x y --=所以实数a 的值为. 1-故选：D3．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（） A ．42 B ．22 C ．20 D ．15【答案】B【分析】根据给定的信息，利用组合知识分类列式求解作答.【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有种， 46C 电平信号的6个数字中有5个0，有种，电平信号的6个数字中有6个0，有种，56C 66C 由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为.456666C C C 156122++=++=故选：B4．已知P （B ）=0.3，，，则=（） ()0.9P BA =∣(0.2PB A =∣()P A A ．B ．C ．D ．671713110【答案】A【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅()P A 【详解】由全概率公式可得： ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅可得，解得：. ()()()0.30.910.2P A P A =⨯+-⨯()17P A =则. 6()7P A =故选：A.5．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A ；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B ，则A ，B 的值分别为（） A ．，5 B ．，10 C ．，5 D ．，10 15128151281525615256【答案】B【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概B 率公式计算值即可.A 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,X ()1~10,2X B 门大炮总得分的期望值为，10∴1102102B =⨯⨯=， 373101115(3)C 122128A P X ⎛⎫⎛⎫∴===⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.6．羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为34（） A ．B ．C ．D ．13252345【答案】A【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可.【详解】由甲获胜的概率为，33133313274444444432⨯+⨯⨯+⨯⨯=而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为，133313944444432⨯⨯+⨯⨯=所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 927132323÷=故选：A7．3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm （数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（）A B C D 【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， C 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， OC x O OC y 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. A B 由题意可知，设，则，3,4,8A B A B x x y y ==-=()3,A m ()4,8B m -设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>3=所以，所以方程可化简为，b =()22288*x y a -=将和的坐标代入式可得，解得， A B ()*()222272812888m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩12m a ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩则笔筒最细处的直径为. 2a =故选：C.8．已知，，满足，则的最小值为（） ()0,0O ()3,0A (),P a b2PO PA =214a b +-A B ．C ．D ．4210-【答案】D【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化2PO PA =P 42cos a θ=+2sin b θ=，由此可得最小值.()10θϕ+-【详解】由得：，整理可得：， 2PO PA =()222243a b a b ⎡⎤+=-+⎣⎦()2244a b -+=则可令，，，42cos a θ=+2sin b θ=[)0,2πθ∈（其中）， ()21442cos 4sin10a b θθθϕ∴+-=+++-1tan 2ϕ=则当时，()sin 1θϕ+=min 21410a b +-=-故选：D.二、多选题9．已知方程，其中，则（） 221mx ny +=220m n +≠A ．时，方程表示椭圆 0mn >B ．时，方程表示双曲线 0mn <C ．时，方程表示抛物线0n =D ．时，方程表示焦点在轴上的椭圆 0n m >>x 【答案】BD【解析】当时，表示双曲线，时表示焦点在x 轴上的双曲线，0mn <22+111x y m n =0,0m n ><表示焦点在y 轴上的双曲线；当时表示焦点在y 轴上的椭圆，当时表0,0m n <>0m n >>0n m >>示焦点在x 轴上的椭圆.【详解】若，则不表示椭圆，故A 错误；0,0m n <<221mx ny +=若，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若，则表示焦0,0m n ><22111x y m n -=-0,0m n <>22111y x n m -=-点在y 轴上的双曲线，故B 正确；当时，若，则方程表示两条垂直于x 轴的直线，若则不表示任何图形，故C 错0n =0m ≠0m =误；时，，表示焦点在x 轴上的椭圆，D 正确. 0n m >>110n m<<22111x y m n +=故选：BD【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题. 10．下列四个关系式中，一定成立的是（）A ．3477C C =B ．222334100101C C C C ++⋅⋅⋅+=C ．()111A A m m n n n +++=D ．若m ，，且，则 *n ∈N 2023m n <≤20232023C C m n<【答案】AC【分析】根据组合数性质与排列数性质判断.【详解】由组合数性质知一定成立，A 正确；3477C C =，B 错；222222223341003341033041001401+111C C C C C C C C C C C ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=-=-=+=- ，C 正确；()()()()()()()()111A 11111111A m m n n n n n n n m n n n n m ++⎡⎤+=+--+=+-+-++=⎣⎦ 由组合数性质知且，当时，递增，当时，递*n ∈N 2023n ≤11012n ≤≤2023C n 10122023n ≤≤2023C n减，因此D 错．故选：AC ．11．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与X ()103P X ==()E X ()D X X 方差，则下列结论正确的是（） A ． B ． ()()1P X E X ==()324E X +=C ． D ． ()324D X +=()49D X =【答案】AB【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此X 2(1)3P X ==()E X ()D X 分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，，X 1(0)3P X ==2(1)3P X ∴==，122()01333E X =⨯+⨯=，2221222()(0)(1)33339D X =-⨯+-⨯=在A 中，，故A 正确；(1)()P X E X ==在B 中，，故B 正确； 2(32)3()23243E X E X +=+=⨯+=在C 中，，故C 错误； 2(32)9()929D X D X +==⨯=在D 中，，故D 错误． 2()9D X =故选：AB ．12．已知正方体中，AB =2，P 为正方体表面及内部一点，且，1111ABCD A B C D -1AP AB AD λμ=+其中，，则（）[0,1]λ∈[0,1]μ∈A ．当时，PD 1λμ+=B ．当时，存在点P ，使得 21λμ+=AP BD ⊥C ．当时，直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是 12μ=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．当时，三棱锥的体积为定值 12λ=1P BC D -【答案】ABD【分析】当时,点P 在上，求出的最小值判断A ，取的中点，连接1λμ+=1BD PD AB K ，是上的动点，平面，可判断B ，取的中点分别为111,,KD AC AC P 1KD BD ⊥11ACC A11,AD BC ,N M ，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，可求直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围12μ=判断C ，取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，可证平面11D C 12λ=//GH ，判断D.1BC D 【详解】当时,点P 在上，如图，1λμ+=1BD在中，1BD DA 111sin DD D BD BD ∠===时，取得最小值为A 正确；1PD BD ∴⊥PD 1sin BD D BD ⨯∠==取的中点，连接，，AB K 111,,KD AC AC 2AB AK ∴=112AP AB AD AK AD λμλμ∴=+=+ 当时，是上的动点，在正方体中平面，故存在点为 21λμ+=P1KD BD ⊥11ACC A P 平面与的交点时，使，故B 正确； 11ACC A 1KD AP BD ⊥如图，取的中点分别为，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，易得平面11,AD BC ,N M 12μ=//MN ABCD ，故P 到平面的距离为定值1，设直线AP 与平面ABCD 所成角为，当P 点在N 时AP 的α投影最小，最大，此时，当点P 在N时AP 的投影最大，最小，此时αtan 1NFAFα==αAP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是，故C tan ME AE α===⎤⎥⎦错误；取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，易得平面11D C 12λ=1//,GH BC GH ⊄，平面，平面，故点P 到平面的距离为定值，三棱锥1BC D 1BC ⊂1BC D //GH ∴1BC D 1BC D ∴的体积为定值，故D 正确.1P BC D -故选：ABD三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布，且，，则()2,N μσ()200.5P X >=()300.24P X >=______．(1030)P X ≤≤=【答案】0.52##1325【分析】先根据对称性得到，结合求出答案.20μ=()300.24P X >=【详解】由对称性可知，，故. 20μ=(1030)12(30)120.240.52P X P X ≤≤=->=-⨯=故答案为：0.5214．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得2x my =解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 2x my =将代入，得，所以． ()2,2A -2x my =2m =-22x y =-设，代入，得． ()03,B y 092y =-0 4.5y =-所以拱桥到水面的距离为． 4.5m 故答案为：4.5.15．在正六棱柱中，若底面边长为1，高为3，则BC 到平面的距离111111ABCDEF A B C D E F -11ADC B 为______．【分析】取的中点，证明平面，平面平面，再11,,AD BC B C ,,O M N //BC 11ADC B OMN ⊥11ADC B 求出斜边上的高作答.Rt OMN △【详解】在正六棱柱中，取的中点，连接111111ABCDEF A B C D E F -11,,AD BC B C ,,O M N ，如图，,,MN OM ON，平面，平面，则平面， 11////B C BC AD BC ⊄11ADC B AD ⊂11ADC B //BC 11ADC B 平面，则平面，平面， 11//,MN BB BB ⊥ABCDEF MN ⊥ABCDEF AD ⊂ABCDEF 即，而，即有，，平面， MN AD ⊥OM BC ⊥OM AD ⊥OM MN M = ,OM MN ⊂OMN 则平面，又平面，因此平面平面， AD ⊥OMN AD ⊂11ADC B OMN ⊥11ADC B 在平面内过作于，而平面平面， OMN M MH ON ⊥H OMN 11ADC B ON =于是平面，线段长即为BC 到平面的距离，MH ⊥11ADC B MH 11ADC B，中，，1cos30OM =⨯=3MN =Rt OMN △ON ==所以BC 到平面的距离11ADC BOM MN MH ON ⋅===四、双空题16．如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．()2210169y x x +=≤()22102516x y x +=>，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两1F 2F 3F 123F F F A yt =A B 点，且中点为，点的轨迹方程为______．AB M M【答案】8+()221016y x x +=>【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分1F 2F 3F 别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.A B M M 【详解】由，，是相应半椭圆的焦点， 1F2F 3F 可得，，， (1F (20,F ()33,0F 所以，，，12F F =134F F==234F F ==故所求周长为；448++=+设，(),Mx y 联立直线与，得，y t =()2210169y x x +=≤x =即点，A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立直线与，得 y t =()22102516x y x +=>x 即点，且不重合，即，B t ⎫⎪⎭,A B 4t ≠又为中点，M AB 所以2x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩即，整理可得，，x =0x >22116y x +=0x >故答案为：，.8+()221016y x x +=>五、解答题17．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝(1)求展开式中含项的系数；3x (2)求的展开式中的常数项.11(21)nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】(1)27 (2) 17【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n ，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；（2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.()()992121x x x--+【详解】（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝所以令，得，所以， 1x =2512n =9n =所以的展开式通项公式为， 3nx ⎛ ⎝()()13991922199C 3C 31rr rr rr r r T x x x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，所以展开式中含项为， 3932r -=8r =3x ()8813399C 3127T x x =-=所以展开式中含项的系数为27.3x （2）由（1）知，，从而， 9n =()()()9921112121n x x x x x -⎛⎫+-=-+⎪⎝⎭因为的展开式的通项为，()921x -()()919C 21rrrr T x -+=-所以的常数项为，()921x -()()099109C 211T x =-=-又的常数项为，()921x x-()()98889C 2118x x--=所以的展开式中的常数项为.()91121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭11817-+=18．已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且． 2:2(0)C y px p =>(),P a a ()0a >F 5PF =(1)求抛物线的标准方程；C (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点） ()4,0M l C A B ABO A O 【答案】(1) 24y x =(2)16【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点坐标代入抛物线方程求出，P 2a p =再根据焦半径公式计算可得；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程AB AB AB 为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据()()40y k x k =-≠()11,A x y ()22,B x y 面积公式计算可得.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-由抛物线经过点，，()2:20C y px p =>(),P a a ()0a >可得，即， 22a pa =2a p =又，可得， 5PF =52pa +=解得，，2p =4a =故抛物线的标准方程为.C 24y x =（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，AB 4x =由，解得，此时，所以的面积．244y x x ⎧=⎨=⎩4y =±8AB =ABO A 184162S =⨯⨯=当直线的斜率存在时，设直线的方程为．AB AB ()()40y k x k =-≠由得，． ()244y k x y x ⎧=-⎨=⎩24160ky y k --=216640k ∆=+>设，，由根与系数的关系得，， ()11,A x y ()22,B x y 124y y k+=1216y y =-所以 1212ABO AOM BOM S S S OM y y =+=⋅-△△△12OM =， 16=>综上所述，面积的最小值为．ABO A 1619．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织2022了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概2312率是.每个人回答是否正确互不影响． 14(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； 1(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为2515，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率． 25【答案】(1) 1718(2) 1930【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可求得乙、丙回答正确的概率，结合对立事件概率公式可求得结果；（2）根据全概率公式直接计算即可.【详解】（1）记甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则事件A B C 相互独立； ,,A B C 由题意知：，，，()23P A =()12P AC =()14P BC =，， ()()()132243P AC P C P A === ()()()114334P BC P B P C ∴===则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率.1()213171111133418p P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记该问题回答正确为事件，甲、乙、丙抢到答题机会分别为事件， D 123,,A A A 则，，，，，， ()125P A =()215P A =()325P A =()123P A A =()213P B A =()334P C A =.()()()()()()()112233P D P A A P A P B A P A P C A P A ∴=++2211321935354530=⨯+⨯+⨯=20．如图，已知直角梯形，，，，，四边形ABCD //AB CD AD DC ==2AB DC =90ADC ∠=︒为正方形，且平面⊥平面．AFCE ACFE ABCD(1)求证：⊥平面；BC ACFE (2)点M 为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． EF BF MAB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由余弦定理得到，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直得到24BC =BC AC ⊥线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】（1）已知直角梯形ABCD ，，，//AB CD AD DC =，所以为等腰直角三角形，90ADC ∠=︒ADC △可得，，，2AC ==45CAB ∠=︒AB =所以在中，由余弦定理得， CAB △28422cos 454BC =+-⨯⋅︒=所以，得．222AB AC BC =+BC AC ⊥因为平面平面ABCD ，平面平面，平面， ACFE ⊥ACFE ⋂ABCD AC =BC ⊂ABCD 所以⊥平面．BC ACFE （2）根据（1）中所证可得：两两垂直，,,CA CB CF 故以C 为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系： ,,CA CB CF ,,x y z 则，，，．()2,0,0A ()0,2,0B ()1,0,2M ()0,0,2F ，，，(2,2,0)AB =- (1,2,2)BM =-(0,2,2)BF =-设为平面MAB 的一个法向量，(),,m x y z =由，取，则， ()()()(),,2,2,0220,,1,2,2220m AB x y z x y m BM x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ 2x =2,1==y z 故，(2,2,1)m =设直线与平面所成角为，BF MAB θ则．||sin cos ,||||m BF m BF m BF θ⋅=〈〉==⋅即直线与平面 BF MAB 21．新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率 (2)应选择第二种方案，理由见解析【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．X 因为，， ()2325C 3100C 10P X ===()112325C C 63150C 105P X ====所以，()()100150P X P X =<=故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率．（2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为1X 1X 1X 60 160 260P 310 35110所以的数学期望为， 1X ()13316016026014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为； 1X ()2221331(60140)(160140)(260140)360010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为2X 2X 2X 100 150 200P 310 35110所以的数学期望为， 2X ()233110015020014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为， 2X ()2222331(100140)(150140)(200140)90010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=又因为（元），()()1250050070000E X E X ==所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应选择第二种方案．22．已知椭圆的短轴长为，且过点．()2222:10y x C a b a b+=>>4()1,3A (1)求椭圆的标准方程；C (2)直线与椭圆相交于、两点，以为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值．C P Q PQ A A l【答案】(1)221124y x +=【分析】（1）根据椭圆过点，结合短轴长列方程，解方程即可；A （2）法一：当直线斜率不存在时，设点与的坐标，根据，解方程可得直线方程，当P Q AP AQ ⊥斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆，结合韦达定理及，可得y kx m =+AP AQ ⊥，即可得直线过定点，进而确定距离的最值.法二：将椭圆方程转化为322k m =+，设直线方程为，与椭圆联立构造齐()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=()()131m x n y -+-=次式得，所以则，是方()()233616663011y y n m m m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-程的两个根，则，即，代入直线方程，可得直线过定点，进而确定1263161m k k n +⋅==-+332m n =--距离的最值.【详解】（1）椭圆的短轴长为，所以，， C 424b =2b =代入点，得，所以 ()1,3A 29114a +=212a =椭圆的方程为；C 221124y x +=（2）法一：当直线斜率不存在时，则有、，直线的方程为：， l ()11,P x y ()11,Q x y -l 1x x =因为以直径的圆过点，所以，PQ A AP AQ ⊥， ()()()()()221111111133190AP AQ x x y y x y ⋅=-⋅-+---=-+-= 又，可得，解得或（舍去），22111124y x +=211210x x --=112x =-11x =当直线斜率存在时，设直线的方程为：，l l y kx m =+设点，()11,P x y ()22,Q x y 联立，得，221124y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22232120k x kmx m +++-=由韦达定理得，，12223km x x k -+=+2122123m x x k -=+()()()()12121133AP AQ x x y y ⋅=-⋅-+--()()()()12121133x x kx m kx m =-⋅-++-+-()()()()22121213113k x x m k x x m =++--+++-⎡⎤⎣⎦()()()222221221311333m km k m k m k k --=++--++-⎡⎤⎣⎦++， ()()()222222992233033k mk m m k m k m k k ---+---++-===++点点不在直线上，所以，则有，经检验，此时，满足题意， ()1,3A l 30k m +-≠230k m -+=0∆>所以直线的方程为，直线过定点l 13132222y kx m kx k k x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，直线恒过定点，记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==法二：齐次化构造椭圆的标准方程为，即221124y x +=22312y x +=变形为， ()()223331112y x ⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦即， ()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=设直线的方程为 l ()()131m x n y -+-=与椭圆方程联立构造齐次式为()()()()()()()()2236313316113y y m x n y x x m x n y ⎡⎤⎡⎤-+--+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()2261366136310n y m n x y m x =+-++--++-=即： ()()233616663011y y n m n m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭设点，()11,P x y ()22,Q x y则，是方程的两个根， 11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-又因为， AP AQ ⊥所以，即 1263161m k k n +⋅==-+332m n =--代入直线方程得：，()()336210n x y x -+--+=故直线过定点，记作记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.2.已知空间中直线l 的一个方向向量，平面的一个法向量，则()A.直线l 与平面平行B.直线l 在平面内C.直线l 与平面垂直D.直线l 与平面不相交3.设F 为抛物线C ：的焦点，则F 到其准线的距离为()A.1 B.2 C.3D.44.已知是数列的前n 项和，，则()A.1B.3C.5D.85.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：支付金额元支付方式大于1000仅使用A 20人8人2人仅使用B10人6人4人从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是()A.B.C.D.7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为()A.2041年年B.2061年年C.2081年年D.2101年年8.在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为()A. B.1C.D.29.已知，则“，a ，b ，2为等比数列”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.曲线C：，其中m，n均为正数，则下列命题错误．．的是()A.当，时，曲线C关于中心对称B.当，时，曲线C是轴对称图形C.当，时，曲线C所围成的面积小于D.当，时，曲线C上的点与距离的最小值等于1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

四川省仁寿县汪洋中学2024-2025学年高二上学期期末复习数学试卷(含解析)

仁寿县汪洋中学高二、下期数学期末复习题卷班级：_______姓名:________考号:_______一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 已知函数f (x )=(1―2x )2 ,则f′(1)= A. 8 B. 4C. 3D. 12. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是3．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为A ．0.93B ．0.934C ．0.94D ．0.9454. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种5.已知为实数，函数，，下列说法中不正确的是A.若，则函数为奇函数 B.函数在上单调递增C.是函数的极大值点 D.若函数有3个零点，则6.设随机变量,随机变量,则下列结论正确的是A. B. Y 的方差D (X )＝430.8245r =0.824570%,30%94%,92%c 3()3f x x x c =-+x ∈R 0c =()f x ()f x (,1)-∞-1x =()f x ()f x 22c -<<)32,3(~B X 12+=X Y 91)1(==X PB. C.的期望 D. 的期望7.已知的展开式中的系数为40，则的值为A. －2B. －1C. 1D. 28. 已知函数在区间上单调递增，则a 的最小值为A. B. eC. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法10. 已知，则A. B. 是所有系数中的最大值C. D. 11. 若函数既有极大值也有极小值，则A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 关于二项式的展开式常数项为_________．13. 已知随机变量X 服从正态分布，即：，若，，则实数________．X 2)(=X E Y 4)(=Y E ()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭24x y m ()e ln xf x a x =-()1,22e 1e -2e -6260126(32)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+0729a =3a 60246512a a a a -+++=6540125622224096a a a a a +++⋅⋅⋅++=()()2ln 0b cf x a x a x x=++≠0bc >0ab >280b ac +>0ac <622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2~2,X N σ(1)0.8P X ≥-=(2)0.3P X m ≤≤=m =14. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．四、解答题(77分）15（13分）若函数f (x )=ax 3―bx 2+2 ,当x =2 时，函数f (x ) 有极值―2 .（1）求函数f (x ) 的解析式；（2）求函数f (x ) 的极值.16（15分）.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在区间上的最小值.17 （15分）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：了解安全知识的程度性别得分不超过85分的人数得分超过85分的人数男生20100女生3050（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，记这3名学生中男生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校高二年级男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？若有关，请结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异．附：参考公式，其中．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值a 0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818（17分）某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x (单位：万元/吨)和一天销售量y (单位：吨)的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图。

广东省东莞市2023年高二上学期期末考试数学试题+答案解析(附后)

广东省东莞市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列，，1，3，5，的一个通项公式为( )A. B. C. D.2.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，( )A. B. C. D.4.已知直线l过点，且其方向向量，则直线l的方程为( )A. B. C. D.5.如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则( )A. 5B. 13C.D.6.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则( )A. 8B. 7C. 6D. 57.设P，Q分别为直线与上任意一点，则PQ的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 68.定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，P 是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以为直径的圆的位置关系是( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.10.若，则方程可能表示下列哪些曲线( )A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 两条直线11.已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列结论正确的是( )A. 四边形MAPB面积的最小值为4B. 四边形MAPB面积的最大值为8C. 当最大时，D. 当最大时，直线AB的方程为12.某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020年底全县的绿地占全县总面积的从2021年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的变成绿地，同时，前一年绿地的又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是( )A. 2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的B. 2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的C. 在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过D. 在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到全覆盖三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点B，则__________.14.在数列中，，，则数列的前6项和为__________.15.曲线围成的图形的面积为__________.16.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M ，N两点点M位于第一象限，的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2022-2023学年河北省张家口市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷1. 已知两条直线l 1：5x −2y +1=0和l 2：ax +3y +2=0相互垂直，则a =( ) A. −152 B. 215 C. −65 D. 65 2. 若点(2,4)在抛物线y 2=2px(p >0)上，则抛物线的准线方程为( )A. x =−4B. x =−2C. x =−1D. y =−43. 椭圆C ：x 250+y 230=1的离心率为( ) A.√105B. √22C. √55D.2√254. 已知圆C 1：x 2+y 2−4x −6y +9=0与圆C 2：(x +1)2+(y +1)2=9，则圆C 1与圆C 2的位置关系为( )A. 相交B. 外切C. 外离D. 内含5. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为3，E ，F 分别在DB ，AB 1上，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，则|EF|=( )A. 3B. 2√2C. 2√3D. 46. 已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{a n }，则a 100=( )A. 37B. 38C. 39D. 3107. 已知x +y =0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −2)2+y 2的最小值为( ) A. √5 B. 2√2 C. √10 D. 2√58. 已知{a n }为等比数列，a 5+a 8=−3，a 6a 7=−18，则a 2+a 11=( ) A. 3 B. −9 C. 212 D. −2129. 下列选项正确的有( )A. x−x0y−y 0=2表示过点P(x 0,y 0)，且斜率为2的直线B. a =(2,1)是直线x −2y −4=0的一个方向向量C. 以A(4,1)，B(1,−2)为直径的圆的方程为(x −4)(x −1)+(y −1)(y +2)=0D. 直线(m +1)x +(2m −1)y −1−4m =0(m ∈R)恒过点(2,1)10. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 9+a 10+a 11>0，a 9+a 12<0，则下列选项正确的有( )A. 数列{a n }是单调递增数列B. 当n =10时，S n 最大C. S 19⋅S 20<0D. S 20⋅S 21<0 11. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为34，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上的动点，△F 1PF 2的周长为14，则下列选项正确的有( )A. 椭圆C 的方程为x 216+y 27=1B. |PF 1|⋅|PF 2|≤16C. △F 1PF 2内切圆的面积S 的最大值为πD. cos∠F 1PF 2≥−1812. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2√2，AB =AD =2，M 为棱DC 的中点，点P满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的有( )A. 当λ=12，μ=12时，异面直线AP 与DB 1所成角的余弦值为3√714 B. 当μ=12时，AP ⊥D 1CC. 当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得AP ⊥D 1PD. 当λ=1时，存在点P ，使得AP ⊥MC 113. 已知空间向量a ⃗ =(3,2,λ)，b ⃗ =(λ−2,λ,8)，a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______.14. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 作倾斜角为60∘的直线l ，直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，且|FP|=6，则双曲线C 的方程为______.15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =1n 2+3n+2(n ≥2)，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n <λ恒成立，则λ的最小值为______.16. 过点P(2,−1)作圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______.17. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 8=6，S 21=0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前50项和T 50.18. 已知直线l ：y =kx −1与圆E ：(x −2)2+(y −3)2=9交于A ，B 两点．(1)当|AB|最大时，求直线l 的方程； (2)若D(0,−1)，证明：DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 19. “十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用．下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米． (1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)；(2)已知直线m 是抛物线的对称轴，Q 为直线m 与水面的交点，P 为抛物线上一点，O ，F 分别为抛物线的顶点和焦点．若PF ⊥m ，PO ⊥PQ ，求桥面与水面的距离．20. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1={a n +2,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,b n =a 2n−1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和S n .21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，平面ADP ⊥平面ABCD ，PD =2，PB =2√7. (1)求证：AP ⊥平面CDP ；(2)若点E 在线段AC 上，直线PE 与直线DC 所成的角为π4，求平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值．22. 已知一动圆与圆E ：(x +3)2+y 2=18外切，与圆F ：(x −3)2+y 2=2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)已知点P 在曲线C 上，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点P)，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为k 1，k 2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①P(4,1)；②k 1+k 2=0；③k =−12.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为两条直线l1：5x−2y+1=0和l2：ax+3y+2=0相互垂直，所以5a+3×(−2)=0，则a=65.故选：D.由已知结合两直线垂直的条件建立关于a的方程，可求．本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵点(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，∴42=2p×2，解得p=4，∴抛物线的方程为y2=8x，∴准线方程为x=−2.故选：B.由已知可求p，进而可求抛物线方程，可得抛物线的准线方程．本题考查抛物线的方程的求法，考查抛物线的几何性质，属基础题．3.【答案】A【解析】解：椭圆C：x 250+y230=1，可得a2=50，b2=30，∴离心率e=ca =√1−b2a2=√1−3050=√105，故选：A.利用离心率e=ca =√1−b2a2即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：圆C1：x2+y2−4x−6y+9=0的圆心为C1(2,3)，半径为2，圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9的圆心为C2(−1,−1)，半径为3，而|C1C2|=√(2+1)2+(3+1)2=5=2+3，所以圆C1与圆C2的位置关系为外切．故选：B.判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论．本题考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，B 1(3,3,3)，因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(1,1,0)，F(3,2,2)，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2)，故|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+4=3，故选：A.根据题意，建立空间直角坐标系，结合条件求得E ，F 的坐标，再利用空间向量的模的坐标表示即可得解．本题考查了空间中两点间距离的计算问题，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，在数表中，第n 行，有n 个数，而a 100为按从上到下、从左到右的顺序的第100个数，又由1+2+3+ (13)13×142=91，则a 100为第14行的第9个数，故a 100=38，故选：B.根据题意，归纳可得在数表中，第n 行，有n 个数，由此可得a 100为第14行的第9个数，分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，注意分析数表的规律，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −2)2+y 2=√(x −1)2+(y −1)2+√(x −2)2+y 2，表示点(x,y)到点(1,1)，(2,0)的距离之和，又因为x +y =0，所以上述式子表示直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值．设A(1,1)关于直线x +y =0的对称点为C(a,b)，则有{b−1a−1=1a+12+b+12=0，解得{a =−1b =−1，所以|BC|=√(2+1)2+12=√10，所以直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值为|BC|=√10. 故选：C.将原式化简为√(x −1)2+(y −1)2+√(x −2)2+y 2，表示直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值，求出A(1,1)关于直线x +y =0的对称点C(−1,1)，再由两点间的距离公式求出|BC|的长度即得答案．本题考查了代数式的几何意义、转化思想、数形结合思想，难点是将代数式转化为几何意义，作出图象是关键，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：{a n }为等比数列，a 5+a 8=−3，a 6a 7=−18， ∴a 5a 8=a 6a 7=−18，∴a 5，a 8是方程x 2+3x −18=0的两个根，解方程得{a 5=−6a 8=3或{a 5=3a 8=−6，当{a 5=−6a 8=3时，q 3=a 8a 5=−12，a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=−6−12+3×(−12)=212；当{a 5=3a 8=−6时，q 3=a 8a 5=−2，a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=3−2+(−6)×(−2)=212. 故选：C.由等比数列性质得a 5a 8=a 6a 7=−18，a 5，a 8是方程x 2+3x −18=0的两个根，解方程得{a 5=−6a 8=3或{a 5=3a 8=−6，再利用等比数列的通项公式能求出结果．本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】BCD【解析】解：x−x0y−y 0=2表示过点P(x 0,y 0)且斜率为2的直线方程不正确，不含点P(x 0,y 0)，选项A错误；直线x −2y −4=0的斜率为12，则该直线的一个方向向量a ⃗ =(2,1)，故B 正确；设圆上任一点为P(x,y)，则有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代人坐标即可得以A(4,1)，B(1,−2)为直径的圆的方程为(x −4)(x −1)+(y −1)(y +2)=0，故C 正确；(m +1)x +(2m −1)y −1−4m =0(m ∈R)即m(x +2y −4)+x −y −1=0，令{x +2y −4=0x −y −1=0，解得x =2，y =1，恒过定点(2,1)，故D 正确，故选：BCD.由直线方程的点斜式判断A ；由方向向量的定义可判断B ，点P(2,3)，Q(−4,1)，设圆上任一点为P(x,y)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可以判断C ；对于A ，将直线变形m(x +2y)−x −y −3=0，即可判断D. 本题主要考查直线系过定点的求法，以及圆的方程的求法，直线的点斜式方程，直线的方向向量，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 9+a 10+a 11>0，a 9+a 12<0， ∴{a 1+8d +a 1+9d +a 1+10d >0a 1+8d +a 1+11d <0，∴{a 1+9d >02a 1+19d <0，∴a 1>0，d <0， ∴数列{a n }是单调递减数列，故A 错误；a 10>0，a 11<0，∴当n =10时，S n 最大，故B 正确；S 19=192(a 1+a 19)=19a 10>0，S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0， ∴S 19⋅S 20<0，故C 正确；S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0，数列{a n }是单调递减数列， ∴S 21<0，∴S 20⋅S 21>0，故D 错误．故选：BC.推导出{a 1+9d >02a 1+19d <0，从而a 1>0，d <0，进而数列{a n }是单调递减数列，a 10>0，a 11<0，S 19=192(a 1+a 19)=19a 10>0，S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0，S 21<0，由此能求出结果．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设|F 1P|=m ，|PF 2|=n ，由题意可得ca =34，2a +2c =14，a 2=b 2+c 2，解得a =4，c =3，b 2=7，∴椭圆C 的方程为x 216+y 27=1，因此A 正确；∵m +n =2a =8，∴8≥2√mn ，化为mn ≤16，当且仅当m =n 时取等号，因此B 正确；设△F 1PF 2内切圆的半径为r ，则12r(2a +2c)=12×2c ×|y P |≤3×√7，∴r ≤3√77，∴△F 1PF 2内切圆的面积的最大值为πr 2=9π7，因此C 不正确； cosF 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn=(m+n)2−2mn−4c 22mn=14m⋅n−1≥14(m+n2)2−1=−18.当且仅当m =n =4时取等号，因此D 正确．故选：ABD.由题意可得c a=34，2a +2c =14，a 2=b 2+c 2，解得a ，c ，b 2，可得椭圆C 的方程，结合基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理即可判断出结论．本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：对于A.当λ=12，μ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 是BC 1与CB 1的交点，如图，建立空间直角坐标系，A(2,0,0)，P(1,2,√2)，D(0,0,0)，B 1(2,2,2√2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,√2)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2√2)，所以|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√7×4=3√714，故A 正确；对于B.当μ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时，点P 在线段EF 上，(E,F 分别是棱BB 1，CC 1的中点)，此时D 1(0,0,2√2)，C(0,2,0)，P(x,2,√2)，0≤x ≤2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2,√2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2√2)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2)×0+2×2−√2×2√2=0恒成立，所以当μ=12时，有AP ⊥D 1C ，故B 正确；对于C.当λ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 在线段HS 上，(H,S 分别B 1C 1是BC 的中点)， P(1,2,z)，0≤z ≤2√2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,z −2√2)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,z −2√2)，当AP ⊥D 1P 时，有AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4+z(z −2√2)=0，即z 2−2√2z +3=0，Δ<0，所以方程无解，不存在点P 使AP ⊥D 1P ，故C 错误；对于D.当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 在线段CC 1上，P(0,2,z)，M(0,1,0)， C 1(0,2,2√2)，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,z)，0≤z ≤2√2，若AP ⊥MC 1，则MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√2)⋅(−2,2,z)=2+2√2z =0，解得：z =−√22，不成立，所以不存在点P ，使得AP ⊥MC 1，故D 错误．故选：AB.首先根据λ，μ的值，确定点P 的位置，再利用空间向量的垂直和线线角的坐标运算，即可判断选项．本题考查异面直线所成的角，考查线线垂直的判断，属中档题．13.【答案】−58【解析】解：∵空间向量a ⃗ =(3,2,λ)，b ⃗ =(λ−2,λ,8)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴λ−23=λ2=8λ，可得λ=−4，∴向量a ⃗ =(3,2,−4)，b ⃗ =(−6,−4,8)，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =3×(−6)+2×(−4)+(−4)×8=−58.故答案为：−58.直接根据向量共线求得λ，再代入数量积求解即可．本题主要考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】x 216−y 248=1【解析】解：因为点F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 作倾斜角为60∘的直线l ，直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，所以直线l 与渐近线平行，所以ba =tan60∘=√3，即b =√3a,c =2a ，所以双曲线为x 2a 2−y 23a 2=1，因为|FP|=6，所以x P =3−c,y P =3√3，即P(3−2a,3√3)，代入双曲线方程可得(3−2a)2a 2−273a 2=1，解得a =4，或a =0(舍去)，所以b =4√3,c =8，所以双曲线C 的方程为x 216−y 248=1，故答案为：x 216−y 248=1.根据题意得b =√3a,c =2a ，由|FP|=6，得P(3−2a,3√3)，代入方程解决即可．本题考查了双曲线的方程和性质，属于中档题．15.【答案】43【解析】解：∵a n =1n 2+3n+2=1n+1−1n+2，(n ≥2)， ∴当n ≥2时，S n =1+(13−14)+(14−15)+⋅⋅⋅+(1n+1−1n+2) =1+13−1n+2<43，当n =1时，S 1=a 1=1<43， ∴S n <43，∵S n <λ恒成立， ∴λ≥43， ∴λ的最小值为43. 故答案为：43.根据裂项求和法，恒成立问题化为最值，即可求解．本题考查裂项求和法的应用，恒成立问题的求解，属中档题．16.【答案】x −3y −1=0【解析】解：圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0，配方为(x −1)2+(y −2)2=6， ∴圆心E(1,2)，线段EP 的中点(32,12)，|EP|2=(2−1)2+(−1−2)2=10，∴以线段EP 为直径的圆的方程为：(x −32)2+(y −12)2=(12|EP|)2=52，与圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0相减可得直线AB 的方程为：x −3y −1=0. 故答案为：x −3y −1=0.求出以线段EP 为直径的圆的方程，与圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0相减可得直线AB 的方程．本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意可得{a 8=a 1+7d =6S 21=21a 1+210d =0，解得{a 1=20d =−2，∴a n =22−2n ；(2)根据(1)可知a n =22−2n ，S n =n(21−n)，令a n =22−2n ≥0，可得n ≤11，∴T 50=a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 11−(a 12+a 13+⋅⋅⋅+a 50)=2S 11−S 50=1670.【解析】(1)根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想，即可求解； (2)先去掉绝对值，再根据等差数列的求和公式，即可求解．本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，方程思想，属基础题．18.【答案】解：(1)直线l ：y =kx −1过定点(0,−1)，圆E ：(x −2)2+(y −3)2=9的圆心坐标为(2,3)，当|AB|最大时，直线l 过圆心，则k =3−(−1)2−0=2，直线l 的方程为y =2x −1；证明：(2)联立{y =kx −1(x −2)2+(y −3)2=9，得(1+k 2)x 2−(8k +4)x +11=0. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Δ=(8k +4)2−44(1+k 2)>0，即5k 2+16k −7>0， x 1+x 2=8k+41+k2，x 1x 2=111+k2，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+1)⋅(x 2,y 2+1)=x 1x 2+k 2x 1x 2=(1+k 2)⋅111+k2=11.即DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．【解析】(1)求出直线所过定点及圆心坐标，可得|AB|最大时的k 值，则直线方程可求； (2)联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及数量积的坐标运算证明．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，AB 为桥面，CD 为水面，设对应抛物线的方程为x 2=2py(p <0)，又点(32,−32)在抛物线上，所以322=2p ×(−32)，解得p =−16，该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距为|p|=16； (2)由题意得|OF|=8米，|FP|=16米，所以tan∠POF =|FP||OF|=168=2，又PO ⊥PQ ，所以tan∠QPF =tan∠POF =2，所以|QF||PF|=|QF|16=2，所以|QF|=32米，又拱形最高点与桥面的距离为32米，所以桥面与水面的距离d =|OF|=8米，所以桥面与水面的距离为8米．【解析】(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，设对应抛物线的方程为x 2=2py(p <0)，又点(32,−32)在抛物线上，代入求解即可；(2)由题意得|OF|=8米，|FP|=16米，从而可得tan∠POF =|FP||OF|=2，进而由已知可得tan∠QPF =tan∠POF =2，从而可得|QF|=32米，进而可得桥面与水面的距离．本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．20.【答案】解：(1)∵a n+1={a n +2,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,，又b n =a 2n−1，∴b n+1=a 2n+1=2a 2n =2a (2n−1)+1=2(a 2n−1+2)=2(b n +2)， ∴b n+1+4=2(b n +4)，又b 1+4=a 1+4=6， ∴数列{b n +4}是以首项为6，公比为2的等比数列， ∴b n +4=6⋅2n−1=3⋅2n ， ∴b n =3⋅2n −4；(2)由(1)可知nb n =3n ⋅2n −4n ，设数列{n ⋅2n }的前n 项和为T n ，则T n =1⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+n ⋅2n ，∴2T n =1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1，∴−T n =21+22+⋅⋅⋅+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，∴T n =(n −1)⋅2n+1+2，∴S n =3T n −4[(1+n)n2] =3(n −1)⋅2n+1+6−2n 2−2n.【解析】(1)根据等比数列的定义及通项公式即可求解； (2)根据分组求和法与错位相减求和法即可求解．本题考查等比数列的定义及通项公式的应用，分组求和法与错位相减求和法的应用，属中档题．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥AD ，又平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥平面ADP ，又AP ⊂平面ADP ，∴AB ⊥AP ， ∴AP =√PB 2−AB 2=2√3， ∴AP 2+PD 2=AD 2，∴AP ⊥PD ，∵AB//CD ，∴AP ⊥CD ，又PD ∩CD =D ，PD ，CD ⊂平面CDP ， ∴AP ⊥平面CDP.(2)解：过P 作PO ⊥AD 于O ，作OF//CD 交BC 于F ，∵平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面ADP ， ∴PO ⊥平面ABCD ，由(1)知：AP ⊥CD,AP =2√3,PD =2，∴∠PAD =π6，∴PO =12AP =√3,AO =√32AP =3，∴OD =1，以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,√3),D(−1,0,0),C(−1,4,0),A(3,0,0)，∴DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)，设AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4λ,4λ,0)，∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−4λ,4λ,−√3)， ∵直线PE 与直线DC 所成的角为π4，∴|cos <PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√(3−4λ)+16λ+3=√22，解得：λ=12，∴PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)，设平面PDE 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +√3z =0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +2y −√3z =0，令z =1，解得：x =−√3,y =√3， ∴n ⃗ =(−√3,√3,1)，设平面PAC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3a −√3c =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−4a +4b =0，令a =1，解得：b =1,c =√3，∴m ⃗⃗⃗ =(1,1,√3)；设平面PDE 与平面PAC 夹角为θ， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√3√7×√5=√10535，即平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值为√10535.【解析】(1)根据面面垂直性质可证得AB ⊥平面ADP ，则AB ⊥AP ，利用勾股定理可证得AP ⊥PD ，结合AP ⊥CD ，由线面垂直的判定可得结论；(2)作PO ⊥AD ，垂足为O ，作OF//CD ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据线线角的向量求法可构造方程求得λ=12，利用面面角的向量求法可求得结果．本题考查了线面垂直的证明以及两平面夹角的计算，属于中档题．22.【答案】解：(1)设动圆的圆心为P(x,y)，半径为r ，圆E ：(x +3)2+y 2=18的圆心E(−3,0)，半径r 1=3√2，圆F ：(x −3)2+y 2=2的圆心F(3,0)，半径r 2=√2，由题意可得{|PE|=r +r 1|PF|=r −r 2，即|PE|−|PF|=4√2<|EF|，而E ，F 为定点，由双曲线的定义可得P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a =4√2，c =3，可得a =2√2，b 2=c 2−a 2=9−8=1，所以曲线C 的方程为x 28−y 2=1(x ≥2√2)； (2)证明：将①②作为条件，由题意可得直线l 的方程为：y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 2−8y 2=8，整理可得：(1−8k 2)x 2−16kmx −8m 2−8=0， Δ=162k 2m 2+4(1−8k 2)[8m 2+8]>0，可得m 2>8k 2−1，且x 1+x 2=16km 1−8k2，x 1x 2=−8m 2−81−8k2，由题意k 1+k 2=y 1−1x 1−4+y 2−1x 2−4=(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)，因为k 1+k 2=0，所以(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)=0，即(kx 1+m −1)(x 2−4)+(kx 2+m −1)(x 1−4)=0，整理可得：2kx 1x 2+(m −1−4k)(x 1+x 2)−8(m −1)=0，即2k ⋅−8m 2−81−8k2+(m −1−4k)⋅16km 1−8k2−8(m −1)=0，即整理可得：8k 2+2k −1+m(1+2k)=0，即(1+2k)(m +4k −1)=0，解得k =−12或m =1−4k ，当m =1−4k 时，直线l 的方程为y =kx +1−4k =k(x −4)+1恒过定点P(4,1)，(舍)，所以k =−12，即证明①②⇒③；若选①③，则直线l 的方程为y =−12x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =−12x +m x 2−8y 2=8，整理可得：x 2−8mx +8m 2+8=0，Δ=64m 2−4(8m 2+8)>0，即m 2>1，且x 1+x 2=8m ，x 1x 2=8m 2+8， k 1+k 2=y 1−1x 1−4+y 2−1x 2−4=(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)，因为(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)=(12x 1+m −1)(x 2−4)+(−12x 2+m −1)(x 1−4)=−x 1x 2+(m +1)(x 1+x 2)−8(m −1)=−(8m 2+8)+(m +1)⋅8m −8(m −1)=0，所以②成立；若②③成立时，设直线l 的方程为：y =−12x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设双曲线上点P(x 0,y 0)，联立{y =−12x +m x 2−8y 2=8，整理可得：x 2−8mx +8m 2+8=0，Δ=64m 2−4×(8m 2+8)>0，可得m 2>1，x 1+x 2=8m >0，x 1x 2=8m 2+8，则意k 1+k 2=y 1−y 0x 1−x 0+y 2−y 0x 2−x 0=(−12x 1+m−y 0)(x 2−x 0)+(−12x 2+m−y 0)(x 1−x 0)(x 1−x 0)(x 2−x 0)，因为k 1+k 2=0，所以(−12x 1+m −y 0)(x 2−x 0)+(−12x 2+m −y 0)(x 1−x 0)=0，即−x 1x 2+(12x 0+m −y 0)(x 1+x 2)−2x 0(m −y 0)=0，即−(8m 2+8)++(12x 0+m −y 0)⋅8m −2x 0(m −y 0)=0，整理可得：2m(x 0−4y 0)+2x 0y 0−8=0，可得{x 0−4y 0=02x 0y 0−8=0x 028−y 02=1，解得x 0=4，y 0=1，即P 点的坐标(4,1)，即证得②③⇒①成立；【解析】(1)设动圆的圆心的坐标及半径，由题意及双曲线的定义可得曲线C 为双曲线的右支，并可得双曲线的方程；(2)若①②作为条件时，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，将两根之和及两根之积代入整理可得直线l 的斜率的值，可证得③成立；若①③成立，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，即证得②成立；若②③成立，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，令斜率之和为0，可得点P 的坐标，即证得①成立．本题考查点的轨迹方程的求法及直线与双曲线的综合应用，属于中档题．。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．直线tan 4x π=-的倾斜角是（）A ．0B ．2πC ．34π D ．4π 【答案】B【分析】由倾斜角的概念求解【详解】tan 4x π=-，即=1x -，直线的倾斜角为2π．故选：B2．两直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B ．75C ．710D ．1710【答案】C【分析】先根据直线平行求得m ，再根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】因为直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，故3840m ⨯-=，解得6m =.故直线6860+-=x y 与810mx y ++=710=. 故选：C3．设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=【答案】B【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m 、n 和c 的关系求得n. 【详解】∴抛物线28y x =,4p ∴=,焦点坐标为(2,0)∴椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同 ∴椭圆的半焦距2c =,即224m n -=212e m ==，4m n ∴==，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b 和c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.【解析】椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n 因而椭圆方程确定.4．已知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ，则点(3,1)A -到直线L 的距离为（）A ．0 BCD 【答案】B【分析】根据题意得直线L 为30x +，再由点到直线距离公式解决即可. 【详解】由题知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ，所以直线L 的斜率为k =所以直线L 为13)y x +=+，即30x ++，因为(3,1)A -所以A L d -== 故选：B5．已知三棱柱111ABC A B C ，点P 为线段11B C 上一点，且11113B P BC =，则AP =（）A ．11122AB AC AA ++B ．11122AB AC AA ++ C ．11233AB AC AA +-D ．12133AB AC AA ++ 【答案】D【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量AP .【详解】由题意得11AP AB BP AB BB B P =+=++，因为11113B P BC =，11BB AA =，所以11111133AP AB AA B C AB AA BC =++=++()113AB AA AC AB =++-12133AB AA AC =++.故选：D.6．若点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（） A ．()2,-+∞ B ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-【答案】C【分析】由于点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，从而可求出k 的取值范围【详解】解：由题意得111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<，故选：C ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（） A ．4-或0 B ．4-或4 C ．0或4 D ．4-或2【答案】A【分析】分析可知ABC 为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心C 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且222AB CA == 则圆心C 到直线AB 的距离为122d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0.故选：A.8．已知空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ，则点D 到平面ABC 的距离为（）A B C D ．0【答案】A【分析】根据题意，求得平面ABC 的一个法向量(1,1,2)n =--，结合距离公式，即可求解. 【详解】由题意，空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ，可得(3,1,1),(2,0,1),(1,1,3)AB AC AD ===，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则3020n AB x y z n AC x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，所以(1,1,2)n =--，所以点D 到平面ABC 的距离为111n AD n⋅-==+故选：A.9．使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是（） A ．1a = B ．2a =C ．3a =D ．3a =或0a =【答案】C【分析】求得直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，a 的值，由此确定充分不必要条件.【详解】直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，()()1220a a a ++-=，230a a -=，解得0a =或3a =.所以使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是C 选项. 故选：C10．若直线:420l kx y k -++=与曲线y k 的取值范围是（） A ．{}1k k =±B ．3{|}4k k <-C ．3{|1}4k k -≤<-D ．3{|1}4k k -≤<【答案】C【分析】根据直线l 和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.【详解】由题意，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，24y x =-，可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+，解得34k =-.设(2,0)B ，则40122AB k -==---.由图可得，若要使直线l 与曲线24y x -则314k -≤<-. 故选：C.11．若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1220a a a +++=A ．30B ．29C ．-30D ．-29【答案】A【详解】试题分析：由数列通项公式可知()()12201219201010330a a a a a a a d +++=++++==⨯=【解析】分组求和12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（）． A ．8 B ．82C ．16D ．32【答案】C【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=，所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C13．设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|= A ．43 B ．8 C ．83 D ．16【答案】B【详解】设A （-2，t ），∴，∴∴PF =814．若数列{}n a 满足12332n n a a a a ++++=-，则这个数列的通项公式为( )A ．123n n a -=⨯B ．113()2n n a -=⨯C ．32n a n =-D ．11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 【答案】D【分析】根据递推数列的性质，可以得到1123132n n a a a a --++++=-，两式相减，即可得到n a 的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式．【详解】因为12332n n a a a a ++++=-，所以11231++++=322n n a a a a n ---≥，，两式相减，得123n n a -=⨯，且当=1n 时，1=2a ，在原式中，首项11321a =-=，二者不相等，所以11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 故选：D15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为A．2212128x y-=B．2212821x y-=C．22134x y-=D．22143x y-=【答案】D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是by xa=2ba=①，抛物线2y=的准线是x=c=2227a b c+==②，由①②联立解得2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y-=．故选D．【解析】双曲线的标准方程．16．圆22:(1)(1)2C x y-+-=关于直线:1l y x=-对称后的圆的方程为（）A．22(2)2x y-+=B．22(2)2x y++=C．22(2)2x y+-=D．22(2)2x y++=【答案】A【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.【详解】圆22:(1)(1)2C x y-+-=的圆心(1,1)，由:1l y x=-得1lk=，设圆心关于直线对称点的坐标为(,)m n，则111111022nmm n-⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得2mn=⎧⎨=⎩,所以对称圆的方程为22(2)2x y-+=.故选：A.17．设n S为等比数列{}n a的前n项和，若4212a a-=，316a a-=，则63SS=（）A．665B．2 C．9 D．72【答案】C【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，则1231113421612aaa a qa a a qa q⎧-=-=-=-=⎪⎨⎪⎩，解得122aq=⎧⎨=⎩，则()6621212612S ⨯-==-，()332121412S ⨯-==-，所以63126914S S ==. 故选：C.18．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若11:||:3:4:5AF AB BF =，则该椭圆的离心率为（） A ．32B ．23-C ．312- D ．22【答案】D【分析】利用勾股定理得出1290F AF ∠=，利用椭圆的定义求得1AF 、2AF ，利用勾股定理可得出关于a 、c 的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】如下图所示，设13AF t =，则4AB t =，15BF t =，所以，22211AF AB BF +=，所以，1290F AF ∠=，由椭圆定义可得11124AF AB BF t a ++==，3at ∴=，13AF t a ∴==，所以，212AF a AF a =-=，所以，12AF F △为等腰直角三角形，可得2221212AF AF F F +=，2224a c ∴=，所以，该椭圆的离心率为2c e a ==. 故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.19．若双曲线经过点()，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则双曲线的方程是（）．A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．221273y x -=D ．221273x y -=【答案】A【分析】由渐近线方程可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，再由点在双曲线上，将点代入求参数m ，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，又()在双曲线上，所以36319m =-=-，则双曲线的方程是2219y x -=. 故选：A20．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n nn a a a n +--+=≥，则214n S n --= A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列{}n a 性质可知()1122n n n a a a n +-+=≥，所以220n n a a -=，因为0n a ≠，所以2n a =，则()21421242n S n n n --=-⨯-=-，故选A. 【解析】等差数列. 21．数列{}n a 满足123n na n +++⋅⋅⋅+=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A ．1nn + B ．2nn + C ．21nn + D ．22nn + 【答案】D【分析】利用等差数列的前n 项和公式得到n a ，进而得到1111412n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】依题意得：()1122n n n n a n ++==， ()()1141141212n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭，12231111n n a a a a a a +∴++⋯+ 1111114233412n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124222n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故选：D ．22．已知抛物线24y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（） A2+ B1C1D1【答案】D【分析】由抛物线24y x =可得双曲线的右焦点为()1,0F ，根据题意列式求解a ，即可得双曲线离心率.【详解】由抛物线24y x =可得焦点()1,0F ，则双曲线22221x y a b-=的右焦点为()1,0F ，即1c =，若AF x ⊥轴，可设()01,A y ，则204y =，由题意可得：22221141a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，∴双曲线的离心率为1c e a ==. 故选：D.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（）A ．4093B ．4094C ．4095D ．4096【答案】A【详解】由递推公式确定通项公式(1)2n nn a =-+，再求11S 即可.【解答】132nn n a a ++=⋅，故111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++-⋅---===----，又121a -=-，所以{}2n n a -是首项为1-，公比为1-的等比数列，所以(1)2n nn a =-+，则()1112111112112121212121409312S a a a ⨯-=+++=-++++-+=-+=-故选：A24．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足2023n n a =，则()()()122022f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（） A ．2022 B ．2023 C ．4044 D ．4046【答案】A【分析】先求得()()12f x f x +-=，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】∵()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x +-=． ∵20232023120232023n n n na a --+=+=， ∴()()20232n n f a f a -+=．令()()()122022S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则()()()202220211S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，两式相加得222022S =⨯， ∴2022S =．故选:A25．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a 等于（） A ．2ln n n + B ．2(1)ln n n n +- C ．2ln n n n + D ．1ln n n n ++【答案】C【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】因11ln(1)1n n a a n n n +=+++，则有1(1)ln 1ln n n a n n a nn +-=+-+，于是得，当2n ≥时，23111223()()()1121n n n a a a a n an a a a n -++++=---- ()()()2ln 2ln1ln3ln 2ln ln 12ln n n n ⎡⎤=+-+-++--=+⎣⎦，因此，2ln n a n n n =+，显然，12a =满足上式，所以2ln n a n n n =+. 故选：C26．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（） A ．220x y +-= B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=【答案】B【分析】根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，由切线长公式求出MA 的长，进而可得以M 为圆心，MA 为半径为圆，则AB 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】解：根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，而MO =3MA =，则以M 为圆心，MA 为半径为圆为()()22239x y -+-=，即圆224640x y x y +--+=，所以AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有222244640x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩，作差变形可得：4680x y +-=；即直线AB 的方程为2340x y +-=. 故选：B.27．若函数()1n n a f a +=，则称f （x ）为数列{}n a 的“伴生函数”，已知数列{}n a 的“伴生函数”为()21f x x =+，11a =，则数列{}n na 的前n 项和n T =（）A ．(1)222n n n n +⋅+-B ．()11222n n n n ++⋅+-C ．()()111222n n n n ++-⋅+- D ．()()11222n n n n +-⋅+-【答案】C【分析】由已知可得数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2，从而可求得21nn a =-，则2nn na n n =⋅-，从而可表示出n T ()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-，令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，利用错位相减法可求出()H n ，从而可求得结果【详解】依题意，可得*121()n n a a n N +=+∈，所以()11210n n a a ++=+>，即1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2，所以11222n n n a -+=⋅=，所以21nn a =-，所以2n n na n n =⋅-，所以1112222(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-.令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，则()21H n =()211222122n n n n +⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得()121112222222n n n n H n n n +++-=+++⋅=--⋅-，所以()()1122n H n n +=-⋅+，所以()()11()1222n n n T n n ++=-⋅+-.故选：C.28．点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（）A ．52B ．114C ．3D ．134【答案】A【解析】计算()1,2P -，则1122MP MN MP MF PD +≥+-≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点1,2，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=. 111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.29．正项数列{}n a 的前n 项的乘积2621()(N ),log 4n n n n n T n b a -+=∈=，则数列{}n b 的前n 项和n S 中的最大值是（） A ．6S B ．5S C ．4S D ．3S【答案】D【分析】由已知，求得{}n a 的通项公式，再求得数列{}n b 的通项公式，继而求得n S 中的最大值．【详解】由已知当1n =时，55111()44a T -===，当2n ≥时，2711()4n nn n Ta T --==，1n =时也适合上式，数列{}n a 的通项公式为2721()log 44,14n n n n a b a n -=∴==-，数列{}n b 是以10为首项，以4-为公差的等差数列,22(1)(4)102122[(3)9]2n n n S n n n n -⨯-=+=-+=---，当3n =时取得最大值, 即n S 中的最大值是3S 故选：D30．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（）①MN ∥平面ABCD ； ②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒； ④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =， (0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅=，所以1D D MN ⊥，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z =，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA =，所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-=，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确；因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =--，所以1111112cos ,144MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⨯+⋅，因为异面直线所成的角范围为(0,90]，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确；设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =-，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-，所以11162sin cos ,11444D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠+⨯++⋅ 所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误，一共有3个结论正确，故选：C。

2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()8,2,1a =-，()4,1,b k =-，且//a b ，那么实数k 的值为（） A ．12B ．12-C ．2-D ．2【答案】B【分析】根据平行关系可知b a λ=，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】//a b ，()b a λλ∴=∈R ，4812k λλλ-=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩，解得：12k =-.故选：B.2．已知直线0x y --=的倾斜角为（）度 A ．45 B ．135 C ．60 D ．90【答案】A【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，再求出倾斜角作答.【详解】直线0x y --=的斜率为1，所以直线0x y --=的倾斜角为45度. 故选：A3．抛物线22y x =-的准线方程是（） A ．12y =B ．1y =-C ．12x =D ．1x =【答案】C【分析】根据抛物线方程可直接求得结果. 【详解】由抛物线方程可知其准线方程为：2142x -=-=. 故选：C.4．2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“Together for a Shared Future ”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待.“一起向未来”的英文表达是：“Together for a Shared Future ”，其字母出现频数统计如下表：合计频数为24，那么字母“e ”出现的频率是（）A ．18B ．16C ．112 D ．14【答案】B【分析】用字母“e ”出现的频数除以总数就是所求频率.【详解】由图中表格可知，字母“e ”出现的频数为4，合计总频数为24，所以字母“e ”出现的频率为41246=. 故选：B5．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，12nn n S S +=+，那么3a =（）A ．4B ．5C ．7D ．9【答案】A【分析】由332a S S =-可直接求得结果.【详解】由12n n n S S +=+得：12n n n S S +-=，233224a S S ∴=-==.故选：A.6．已知在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，那么直线1A C 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（）A 6B 35C 3D 6【答案】A【分析】由长方体性质易知1CA D ∠为1A C 与面11AA D D 所成的角，进而求其正弦值即可. 【详解】根据长方体性质知：CD ⊥面11AA D D ，故1CA D ∠为1A C 与面11AA D D 所成的角， 222112,11126AA AB AD CA ===⇒=++所以116sin 6A CA D CD C =∠=. 故选： A7．如图，点O 是正方形ABCD 两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O 对称的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先求出事件的基本总数，再求出满足条件的基本事件数，利用古典概型计算即可.【详解】从四个顶点选两个的情况数为：24C 6=，选的两个点关于中心O 对称的情况有：,A C 与,B D 两种，所以所求概率为：2163P ==，故选：C. 8．圆心为1,2，半径3r =的圆的标准方程为（）A ．()()22129x y -++= B ．()()22129x y ++-= C ．()()22123x y -++= D ．()()22123x y ++-=【答案】B【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】根据题意，圆心为1,2，半径3r =圆的标准方程为()()22129x y ++-=；故选：B ．9．已知正四棱锥P ABCD -的高为4，棱AB 的长为2，点H 为侧棱PC 上一动点，那么HBD △面积的最小值为（）A ．2B ．32C ．23D ．423【答案】D【分析】根据正四棱锥的性质得到PO ⊥平面ABCD ，OH BD ⊥，然后根据4PO =，2OC =，得到OH 的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可.【详解】取BD 中点O ，连接OH 、PO 、OC ，因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，DH BH =，因为O 为BD 中点，所以OH BD ⊥，因为OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，因为2AB =，4PO =，所以22BD =2OC = 在直角三角形POC 中，当OH PC ⊥时，OH 2424342⨯=+，当点H 和点P 重合时，OH 最大，最大为4，所以4,43OH ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12222HBD S OH OH =⨯=，所以当43OH =时，HBD △42.故选：D.10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x ，第二次得到的点数记为y ，那么事件“216x y +≤”的概率为（） A ．19B ．536 C ．16D ．13【答案】C【分析】由已知先列举出事件总数，然后解出不等式，找出满足条件的事件数，结合古典概率计算即可.【详解】由题意第一次得到的点数记为x ，第二次得到的点数记为y ，记为(),x y ，则它的所有可能情况为：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6, ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6, ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共36种，由216x y +≤，即422x y +≤，由2x y =在R 单调递增，所以4x y +≤，所以满足条件的(),x y 有：()()()1,1,1,2,1,3,()()2,1,2,2,()3,1共6种，所以事件“216x y +≤”的概率为：61366P ==，故选：C.11．地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek 和Pujol 提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A 站和B 站相距10km .根据它们收到的信息，可知震中到B 站与震中到A 站的距离之差为6km .据此可以判断，震中到地震台B 站的距离至少为（） A ．8km B ．6kmC ．4kmD ．2km【答案】A【分析】设震中为P ，根据双曲线的定义以及||||||10PA PB AB +≥=可求出结果.【详解】设震中为P ，依题意有||||6PB PA -=<||10AB =，所以点P 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线靠近A 的一支，因为||||||10PA PB AB +≥=，当且仅当,,A P B 三点共线时，取等号，所以||6||10PB PB -+≥,所以||8PB ≥，所以震中到地震台B 站的距离至少为8km . 故选：A12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 是无界的.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（） A ．若1n a n=，则数列{}n a 是无界的 B ．若sin n a n n =，则数列{}n a 是有界的 C ．若()1nn a =-，则数列{}n S 是有界的 D ．若212n a n =+，则数列{}n S 是有界的【答案】C【分析】根据1n a ≤可知A 错误；由sin n a n n =可知n a 不存在最大值，即数列{}n a 无界；分别在n 为偶数和n 为奇数的情况下得到n S ，由此可确定1n S ≤，知C 正确；采用放缩法可求得22221n S n n ⎛⎫≤-+ ⎪+⎝⎭，由21,213n n ⎡⎫-∈+∞⎪⎢+⎣⎭可知D 错误.【详解】对于A ，111n a n n==≤恒成立，∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立，∴数列{}n a 是有界的，A 错误；对于B ，sin sin n a n n n n ==，sin 1n ≤，n a n ∴≤，即随着n 的增大，不存在正数M ，使得n a M ≤恒成立，∴数列{}n a 是无界的，B 错误；对于C ，当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =-；1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是有界的，C 正确；对于D ，()()22144114421212121n n n n n n ⎛⎫=≤=- ⎪-+-+⎝⎭， 2221111111121241233352121n S n n n n n ⎛⎫∴=++++⋅⋅⋅≤+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭ 182241222212121n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+=-+ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭；221y x x =-+在()0,∞+上单调递增，21,213n n ⎡⎫∴-∈+∞⎪⎢+⎣⎭， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是无界的，D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.二、填空题13．已知空间向量()1,1,0a =-，(),1,1m b =-，若a b ⊥，则实数m =_____．【答案】1【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0101a b m m ⋅=⇒-=⇒=，故答案为：114．在等差数列{}n a 中，12a =，426a a =+，则n a =______. 【答案】*31,(N )n n -∈【分析】利用已知条件求出公差，利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，由12a =，426a a =+，所以11633a a d d d +=+⇒=+，所以*1(1)2(1)331,(N )n a n a n d n n +-=+⨯=-∈=-，故答案为：*31,(N )n n -∈.15．两条直线1:3420l x y --=与2:3480l x y -+=之间的距离是______. 【答案】2【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果. 【详解】由平行直线间距离公式可得：12,l l 之间的距离2d ==.故答案为：2.16．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为2y x =±的双曲线方程___________.【答案】2214y x -=(或其它以2y x =±为渐近线的双曲线方程)【分析】根据题意写出一个即可.【详解】中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为2y x =±的双曲线方程为()2204y x λλ-=≠ 故答案为：2214y x -=(或其它以2y x =±为渐近线的双曲线方程)17．已知点P 是曲线221ax by +=（其中a ，b 为常数）上的一点，设M ，N 是直线y x =上任意两个不同的点，且MN t =.则下列结论正确的是______. ①当0ab >时，方程221ax by +=表示椭圆； ②当0ab <时，方程221ax by +=表示双曲线； ③当124a =，18=b ，且4t =时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有6个；④当124a =，18=b ，且04t <<时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有8个.【答案】②③④【分析】对①②，根据方程221ax by +=表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断；对③④，求出点P 到直线y x =的距离d 的取值范围，对点P 是否为直角顶点进行分类讨论，确定d ，t 的等量关系，综合可得出结论.【详解】方程221ax by +=中当0a b =>时可表示圆，当0ab <时，221ax by +=表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为221248x y +=，椭圆与直线l 均关于原点对称，设点,)P θθ，则点P 到直线l 的距离为π4sin [0,4].3d θ⎛⎫===-∈ ⎪⎝⎭ 对③：4t =时，(1)若P 为直角顶点，如图1，则||4MN t ==，4d =，满足MNP △为等腰直角三角形的点P 有四个，图1(2)若P 不是直角顶点，如图2，则||4MN t ==，4d =，满足PMN 是等腰直角三角形的非直角顶点P 有两个，图2故4t =时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有6个，③正确；对④：04t <<时，(1)若P 为直角顶点，如图1,则||MN t =，42td =<，满足MNP △为等腰直角三角形的点P 有四个.. (2)若P 不是直角顶点，如图3,则||MN t =，4d t =<，满足MNP △是等腰直角三角形的非直角顶点P 有四个，图3故04t <<时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有8个，④正确；故答案为：②③④.【点睛】椭圆的参数方程是cos ,sin x a y b θθ==，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转化为三角函数问题求解，比如求23z x y =+的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭圆的参数方程来解决.三、双空题18．某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是23，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______. 【答案】4935【分析】（1）甲能够答对X 道题目，则2~(3,)3X B ，根据二项分布的概率即可进一步求解；（2）设乙能够答对Y 道题目，根据超几何分布即可求出答案. 【详解】解设甲能够答对X 道题目，2~(3,)3X B ，所以()2322242C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解设乙能够答对Y 道题目，则()123235C C 32C 5P Y ⋅===. 故答案为：49；35.四、解答题19．某超市有A ，B ，C 三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.(1)求a ，b 的值；(2)求甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率； (3)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率. 【答案】(1)0.4a =，0.4b =(2)0.12(3)0.58【分析】（1）根据甲在三个收银台结账的概率和为1求a 值，同理求b 的值；（2）“甲选择C 收银台”与“乙选择C 收银台”是相互独立事件，利用独立事件的概率公式求解；（3）利用对立事件求解.【详解】（1）由表可知,甲选择A 收银台的概率为10.20.40.4a =--=,乙选择B 收银台的概率为10.30.30.4b =--=（2）设事件A 为“甲选择C 收银台”,事件B 为“乙选择C 收银台”,事件C 为“甲,乙两人在结账时都选择C 收银台”.根据题意,()0.4,()0.3P A P B ==,事件,A B 相互独立.所以()()0.40.30.12P C P AB ==⨯=.（3）设事件D 为“甲，乙两人在结账时至少一人选择C 收银台”,()1()10.60.70.58P D P AB =-=-⨯=.20．在四棱雉P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)求点B 到平面ACQ 的距离.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析；323【分析】（1）条件①利用面面垂直的性质定理可证得；条件②利用线面垂直的判定定理可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角；（3）利用空间向量求点到面的距离.【详解】（1）条件①：平面PAD ⊥平面ABCD证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD .条件②：PA AB ⊥证明：因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，且,AB AD ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD .（2）由（1）知PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别所在的直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()002P ,,，()0,0,0A ，()0,1,1Q ，()2,2,0C ，所以()2,2,0AC =，()0,1,1AQ =由（1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP =，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =，则2200n AC x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则()1,1,1n =--，设平面ACQ 与平面ABCD 夹角的为θ，则cos cos ,2AP nAP n AP n θ⋅-====⨯⋅所以平面ACQ 与平面ABCD （3）由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB =，所以点B 到平面ACQ 的距离为23AB nn -⋅==21．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，圆()()221:314C x y -+-=及点()3,1P .(1)判断圆C 和圆1C 的位置关系；(2)求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.【答案】(1)相交(2)1y =或125410x y +-=【分析】（1）根据两圆方程可确定圆心和半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可确定两圆位置关系；（2）易知切线斜率存在，则可设其为()13y k x -=-，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，进而得到切线方程.【详解】（1）圆C 方程可整理为：()()22129x y -++=，则圆心()1,2C -，半径3r =；由圆1C 方程可知：圆心()13,1C ，半径12r =； ()()221132113CC =-+--15r r +=，11r r -=，1112r r CC r r ∴-<<+，∴圆C 和圆1C 相交.（2）当过()3,1P 的直线斜率不存在，即为3x =时，其与圆C 不相切，∴可设所求切线方程为：()13y k x -=-，即310kx y k --+=，∴圆心C 到切线的距离23231kd k -=+，即()229932k k +=-，解得：0k =或125k =-， ∴切线方程为：1y =或()12135y x -=--，即1y =或125410x y +-=.22．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>()0,1A . (1)求椭圆E 的方程；(2)若过点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B，且AB =B 的坐标. 【答案】(1)2212x y += (2)41,33⎛⎫±- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆中,,a b c 的关系求解即可；（2）先利用AB =B 的轨迹方程，然后求点B 的轨迹方程与椭圆2212x y +=的交点即可，求值的时候一定要注意变量范围. 【详解】（1）由题可知c a 1b =，又因为222a b c =+，解得211a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的方程为2212x y += （2）设(),B x y，因为AB =()223219x y +-=，则点B 为椭圆2212x y +=与圆()223219x y +-=的交点，联立()2222321912x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13y =-或53y =-（舍去，因为11y -≤≤）所以有4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点B 的坐标为41,33⎛⎫±- ⎪⎝⎭ 23．已知无穷数列{}n y 满足公式112,02122,12n n n n n y y y y y +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，设()101y a a =≤≤. (1)若14a =，求3y 的值； (2)若30=y ，求a 的值；(3)给定整数()3M M ≥，是否存在这样的实数a ，使数列{}n y 满足：①数列{}n y 的前M 项都不为零；②数列{}n y 中从第1M +项起，每一项都是零.若存在，请将所有这样的实数a 从小到大排列形成数列{}n a ，并写出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】(1)31y = (2)10,1,2=a (3)存在这样的a ，2121,1,2,3,,22---==M n M n a n ，理由见解析【分析】（1）根据1y ，求出23,y y ；（2）30=y ，（i ）当2102≤<y 时，可得20y =，由1y 的范围可得与2y 的关系可得a ；（ii ）当2112≤<y 时，由3222=-y y 得2y ，再分1102≤<y 、1112≤≤y 根据2y 与1y 可得答案（3）存在这样的a ，根据10,0+=≠M M y y 和（2）可知111,2-==M M y y ，分2102-≤<M y 、2112-≤≤M y 讨论，根据1-M y 与2-M y 关系类推，可得答案.，【详解】（1）因为114==y a ，所以213212,2212===-=y y y y ；（2）因为30=y ，（i ）当2102≤<y 时，322y y =，所以20y =，此时，若1102≤<y ，则211,02===y y a y ；若1112≤≤y ，则211,122=-==y y a y . （ii ）当2112≤<y 时，3222=-y y ，所以21y =，此时，若1102≤<y ，则21111,0,222⎡⎫==∉⎪⎢⎭=⎣y y a y ；若1112≤≤y ，则2111,222=-==y y a y . 综上所述，10,1,2=a ；（3）存在这样的a ，因为10,0+=≠M M y y ，由（2）可知111,2-==M M y y ，（i ）当2102-≤<M y 时，122--=M M y y ，所以214-=M y ，（ii ）当2112-≤≤M y 时，1222--=-M M y y ，所以234-=M y ，以此类推，()111111113521,,,,2222--------==M M M M M M M y y ，所以数列{}n a 的通项公式为2121,1,2,3,,22---==M n M n a n .【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是由递推关系可得数列的结果，寻找规律，本题考查数列的递推关系的应用，考查了学生推理能力、运算能力.。

2021-2022学年辽宁省大连市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线，的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合2.已知空间向量，若，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 23.若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.4.若直线与圆相切，则b的值是( )A. 或12B. 2或C. 或D. 2或125.直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则( )A. B. C. D.7.阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.8.如图1，矩形ABCD ，，，E 为CD 中点，F 为线段除端点外的动点.如图2，将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD 内，过点D 作，K 为垂足，则AK长度的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列圆锥曲线中，焦点在x 轴上的是( )A.B.C.D.10.已知空间向量，，则下列正确的是( )A. B.C.D.，11.如图，正四面体的顶点 A 、 B 、 C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ， Oy ， Oz 上，则下列选项中正确的是( )A. 三棱锥是正三棱锥B. 直线平面ACDC. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为D. 异面直线AB 和CD 所成角是12.已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有( )A. 点P的坐标为B.C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.双曲线的渐近线方程是__________.14.已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则实数等于__________.15.已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数__________.16.双曲线上一点点P在第一象限，过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A，B两点点A，B异于点，设直线PA，PB的斜率分别为、，且，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。