勾股定理的应用第(1)课时学案
北师大八上版勾股定理的应用导学案
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学科数学精英班级时间课题 1.3 勾股定理的应用(1) 小组姓名
学习目标1.学会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.掌握用勾股定理确定几何体上的最短距离。
自主·前置1.填空.
（1）如果a=7，c=25，则b= 。
（2）平面上的最短线路：两点之间，最短。
2.测得一块麦田的三边长为9m,12m,15m,则这块麦田的面积为2
m。
活动·探究探究一：利用勾股定理解决实际问题
1.小美妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小美量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，她觉得一定是售货员搞错了。
你同意她的想法吗？你能解释这是为什么吗？（补充知识：电视屏幕尺寸大小是指屏幕对角线的长）
探究二：立体图形异面两点之间的距离问题
3.如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？。
新苏科版八年级数学上册学案：勾股定理的简单应用(第 1 课时)
新苏科版八年级数学上册学案：勾股定理的简单应用（第 1 课时） 一．学习目标1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2、构造直角三角形及正确解出此类方程二．重点难点1、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值.2、要善于运用直角三角形三边关系，关键是根据实际情形准确构造出直角三角形。
三．自主交流1：如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？2：如图8，在△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线AD=24，求AC.3: 如图9，在△ABC 中， AB=15，A D=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
CB A 图7DC B A图8图9D CB A1、在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。
如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？四．展示点评五．当堂检测:1.在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2+BC 2+CA 2=________．2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________．3. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4,BC=3.求Rt△ABC斜边上的高．4.已知一个三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？5. 邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？6.如图，某人欲在A处横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度。
勾股定理教案第一课时
勾股定理教案第一课时
一、教学目标
1. 理解勾股定理的基本概念，知道勾股定理的定义。
2. 能够熟练地运用勾股定理解决实际问题。
3. 通过实例分析，提高学生的数学思维能力。
二、教学重点与难点
1. 教学重点：勾股定理的定义与运用。
2. 教学难点：勾股定理的运用与解释。
三、教学过程
1. 导入新课：通过提问的方式，引导学生思考勾股定理的实际应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授：
a. 讲解勾股定理的定义，让学生理解什么是勾股定理。
b. 通过实例分析，让学生掌握勾股定理的运用方法。
c. 通过实际问题解决，让学生熟练掌握勾股定理的运用。
3. 课堂练习：通过课堂练习，让学生巩固勾股定理的运用方法。
4. 课堂总结：总结本节课的主要内容，强调勾股定理的重要性和运用方法。
四、教学评价
通过课堂表现、课堂练习等方式，对学生的学习情况进行评价。
五、教学反思
通过本节课的教学，学生是否能够理解勾股定理的定义，是否能够熟练运用勾股定理解决实际问题，是否有足够的课堂参与度等，都是需要进行教学反思的内容。
苏科版勾股定理教学案
B C A D 勾股定理的应用教学案（1）学习目标：1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三形。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
会用开平方及开立方运算求式子中的x 的值。
学习重点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用 学习难点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用学习过程一、知识梳理 1、勾股定理的内容 ______________________________________________。
2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边（∠C ＝900）。
①c 2＝a 2＋b 2；②a 2＝c 2－b 2；③b 2＝c 2－a 2。
3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：___________________________。
（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）4、平方根的定义：一般地，如果____________等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
也称二次方根，也就是说，如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。
记作：________.5、平方根的性质：①一个正数有_________个平方根，它们互为________；②0的平方根是______，记作0 ；③_________没有平方根。
6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。
规定：0的算式平方根是0。
公式：( a )2＝___ (a ≥0)，a 2 ＝____ (a ≥0) ， a 2 ＝_______(a ≤0)。
8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作______读作“三次根号a ”。
勾股定理第1课时导学案
勾股定理第1课时导学案
一、导学：
（一）导入课题：
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示了直角三角形中三边的数量关系，它在数学的发展中起着重要作用，在现实世界中也有着广泛的应用，我们通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解. （板书课题）
（二）学习目标：
1.了解勾股定理的文化背景，知道常见的利用拼图验证勾股定理的方法.
2.了解勾股定理的内容.
（三）学习重难点
勾股定理的几何意义的理解.
（四）自学指导
1.自学内容：P21—P24的内容.
2.自学时间：10分钟
3.自学指导：
4.自学参考提纲：
（1）毕达哥拉斯发现朋友家用地砖铺成的地面反映的直角三角形的三边的关系是怎样的？
（2）你能找出课本的图1中正方形A,B,C面积之间的关系吗？
（3）图中正方形A,B,C所围等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
（4）猜想：直角三角形两直角边的平方和斜边的平方.
（5）根据下面拼图，验证猜想的正确性.
（6）完成课本P24页练习题.
二、自学：请结合自学提纲进行自学.
三、助学：
1．师助生：明了学情，差异指导.
2．生助生：同桌之间相互研讨.
四、强化：
1.点三名学生板演自学参考题（6）的第1题，点1名学生口答第2题，并点评.
2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3.以直角三角形三边为边长的三个正方形之间的面积关系.
五、评价：
1.学生的自我评价.
2.教师对学生的评价：（1）表现性评价;(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价.（教学反思）。
勾股定理的应用导学案 (1)
课题：《勾股定理的应用 》第1课时导学案课型： 新 授 年级： 八年级主备人： 向 辉 备课时间： 2013 年 11 月 日执教人： 执教时间： 年 月 日学习目标： 能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．重、难点 ：在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．学习过程：一、复习引入1、已知Rt △ABC 中∠C=90°，BC=4，AC=2，则AB=__；AB=4，BC=2，则AC=_．2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm 、3cm ，则第三边的长是___．3．要登上8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m ．问至少需要多长的梯子？二、自主学习例1、两军舰同时从港口O 出发执行任务，甲舰以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙舰以40海里/小时的速度向西南方向航行，问1小时后两舰相距多远？2：如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的吸管(直线型)最长可以是多长?三、合作探究：例1、如图，一圆柱体的底面半径为3cm ，高ＡＢ为12cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到与A 点相对的点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm ）.（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A 点到C点的最短路程是什么？你画对了 B A 10cm4cm? cm吗？（3）蚂蚁从A 点出发，想吃到C 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？变式：有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，问梯子最短需多少米?变式2 如果圆柱换成如图的棱长为10cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？变式3 如果盒子换成如图长为3cm ，宽为2cm ，高为1cm 的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B小结：勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形。
勾股定理(第一课时)导学案
（4）勾股定理的几种证明方法;
（5）课堂练习;
（6）课堂小结;
（7）课后作业．
勾股定理（第一课时）导学案
1.课题名称：
人教版八年级下册数学——勾股定理（第一课时）
2.学习任务：
（1）勾股定理的探究、证明及简单应用;
（2）经过从特殊到一般的探究过程和研究方法,探究并证明勾股定理．
3.学习准备：
准备好笔记本和笔，边观看边做记录．
4.学习方式和环节：
观看视频课学习,适时控制播放,按老师指令完成相应的课上练习,学习环节主要有：
【精】《勾股定理(第1课时)》教学教案
《勾股定理（第1课时）》教学教案教学目标：了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．重点：勾股定理的内容和证明及简单应用．难点：勾股定理的应用.教学流程：一、导入新课相传2500多年前，古希腊著名数学家毕哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。
二、新课讲解思考：图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？（观看视频演示）答：两个小正方形的面积这和等于大正方形的面积.等腰直角三角形的三边满足斜边的平方等于两直角边的平方和.想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．介绍《赵爽弦图》面积验证：证明：∵2S c 大正方形＝2()S b a -小正方形＝∴2()b a -142ab +⨯2c ＝ 即：222a b c +=勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．练习1：求图中字母所代表的正方形的面积．答案：（1）81；（2）56，80；（3）225练习2：求下列直角三角形中未知边的长度．答案：（1）2246213x =+=；（2）2210553x =-=三、巩固提升1．下列说法正确的是( )A ．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2答案：D2．利用如图(1)或(2)所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理中结论的数学表达式是__________．答案：勾股定理，a2＋b2＝c23．如图，正方形B的面积是______．答案：1444．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝_____，b＝_____．答案：15，125．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.(1)若b＝2，c＝3，求a的值；(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，a==(2)设a＝3x，c＝5x，∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，∴a＝21，c＝35四、课堂小结今天我们学习了哪些知识？勾股定理的内容是什么？它有什么作用？五、布置作业教材P28页习题17.1第1、2题．。
北师大版初二数学上册《勾股定理》第一课时学案
222a b c +=《勾股定理》第一课时学案一、目标展示（一）知识与能力目标⒈理解勾股定理的内容和证明，能够初步应用勾股定理解决线段长度的计算问题；⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
（二）过程与方法目标在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法以及求图形面积常用的分割法。
（三）情感态度与价值观通过了解古代勾股定理方面的成就，激发学生热爱数学的悠久文化，培养学生的钻研精神。
（四）教学重点、难点 重点：勾股定理的证明与运用; 难点：勾股定理的证明. 二、情景引入介绍2002年北京数学家大会现场图片，会徽。
三、互动探究，合作展示 【探究一】相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从地砖铺成的地面中发现了直角三角形的某种数量关系.思考：（1）A 、B 、C 的面积有什么等量关系？ .（2）等腰直角三角形三边m 、n 的数量关系？ . 发现： .观察：两直角边不等的直角三角形的三边也满足这种数量关系吗?如何说明？ （1） 观察右边两幅图，填表：（每个小正方形代表1个单位面积）（2）你是怎样得到正方形C 的面积的？（3）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 .【探究二】验证命题：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c,求证： 拼一拼m m n以小组为单位，请利用四个全等的直角三角形和一个正方形，用面积法拼出222a b c +=.（提示：直角三角形的两直角边分别为a b 、，斜边为c ，小正方形的边长为b a -，如何利用面积法拼出22a b +，如何拼出2c ）归纳定理：直角三角形两条___ ___的平方和等于__ ___的平方.如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________.几何语言：∵ ∴ 四、小试牛刀下列直角三角形中已知两条边的长，求未知边x 的长.五、达标练习，反馈效果1. 在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .2. 在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= . 3、求图中字母所代表的正方形的面积六、归纳总结，反思提升勾股定理的内容： ； 本节课的数学思想和方法有 ；AAAＢ225 1448024178 (1)(3)(2)a-。
《17.1勾股定理》教学设计(第1课时)
《17．1 勾股定理》教学设计（第1课时）一、内容和内容解析1.内容勾股定理的探究、证明及简单应用.2.内容解析勾股定理的内容是：假如直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中，已知任意两边长，就能够求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题.勾股定理的探究是从专门的等腰直角三角形动身，到网格中的直角三角形，再到一样的直角三角形，表达了从专门到一样的探探究、发觉和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探究去发觉图形的性质，提出一样的猜想，并获得定理的证明.我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，关于勾股定理的研究确实是一个突出的例子.教学中能够介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的奉献，以培养学生的民族自豪感;围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究并证明勾股定理.二、目标和目标解析1.教学目标(1)经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.(2)能用勾股定明白得决一些简单问题.2.目标解析(1)学生通过观看直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论.明白得赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理.了解勾股定理相关的史料，明白我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.(2)学生能运用勾股定理进行简单的运算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度.三、教学问题诊断分析勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个专门的结论.在正方形网格中比较容易发觉以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系.但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一样直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积.因此，在教学中需要先引导学生观看网格背景下的正方形的面积关系，然后摸索没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发觉和证明勾股定理.本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明.四、教学过程设计1. 创设情境复习引入国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2021年在北京召开了第24届国际数学家大会.右图确实是大会会徽的图案.你见过那个图案吗?它由哪些我们学过的差不多图形组成?那个图案有什么专门的意义?前面我们学习了有关三角形的知识，我们明白，三角形有三个角和三条边.问题1三个角的数量关系明确吗?三条边的数量关系明确吗?师生活动教师引导，学生回答。
勾股定理导学案(精品学案)
课题名称：勾股定理（1）学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
自助探究 1．1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会， 这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它 的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.么？(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和. 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？4、猜想：命题1自助提升 1、定理证明（1）赵爽利用弦图证明。
．．．．．显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 .（2）其他证明方法：教材72页 思考讨论完成2、在Rt △ABC 中，∠C=90,AB=17,BC=8,求AC 的长3、Rt △ABC 和以AB 为边的正方形ABEF ，∠ACB =90°， AC =12，BC =5，则正方形的面积是______．4、(1) 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，求AB .(2) 已知Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =5，BC =6，求AC . (3) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ， ∠C 的对边，c ∶a =3∶4，b =15，求a ，c 及斜边高线h .BC AB5、如图1-1-4，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ， 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是多少？自助检测1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )2．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）A ．4B ．8 C．10 D ．124．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．1380 D ．13605、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求CF CE 小结与反思这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？ 教学反思§ 勾股定理（2）一、学习目标通过经历和体验，运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理。
勾股定理的应用教案
勾股定理的应用教案 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-121教学模式科目_________________________年级_________________________教师＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿课前1分钟交通安全教育“121”教学模式导学案（______科） 2013 年 9数 学 八年级 潘明明 数学1、能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单实际问题2、将立体图形问题转化成平面图形问题合作探究交流共享第一环节：情境引入内容：情景1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？情景2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：合作探究内容：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．效果：学生汇总了四种方案：（1） （2） （3） （4）学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，情形（2）中A →B 的路线长为：'2d AA π+所以情形（1）的路线比情形（2）要短．学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．如图：（1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+⨯∴=． 注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模A’ A ’ A ’型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题——分析实际问题；2．建模——建立相应的数学模型；3．求解——运用勾股定理计算；4．检验——是否符合实际问题的真实性．合作探究交流共享第三环节：做一做内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗为什么（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？解答：（2）222230402500AD AB+=+=∴AD和AB垂直．意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．第四环节：练习内容：1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s ，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s 内从A 爬到B解：如图，在Rt △ABC 中: 222221020AB AC BC =+=+=500． ∵500＞202 .∴不能在20 s 内从A 爬到B . 2．在我国古代数学着作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为AD =AB =（x +1）尺，在直角三角形ABC 中，BC =5尺.由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2.即 52+ x 2=（x +1）2.25+x 2= x 2+2x +1.2x =24.∴ x =12，x +1=13．答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．意图：第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．效果：学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB 位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程． B ABA B C注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．第七环节：布置作业1．课本习题1．4第1，2，3题．2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗请你与同伴交流设计方案注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．新知检测精设预习新知检测：1．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的半径为6cm，那么最短路径AB长( )．A．8 B．6 C．平方后为208的数D．102．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．A．24cm B．32cm C．40 cm D．453．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m 后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少米后，他与神仙百货的距离为340 mA． 100 B． 180 C． 220 D． 260精设预习：无理数定义板书设计1、情境引入；2、合作探究；3、做一做；4、练习；5、举一反三；6、交流小结；7、布置作业．教学反思学生课堂达标率80%原因分析改进措施学生不能积极思考问题多分析问题，多做题教师本课亮点在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．附：课件：。
人教版八年级数学下 17.1 勾股定理的应用第一课时教案
2.如果AB=12cm，BC=9cm，那么，只有当点A，C的距离为多少时,∠B才是直角呢？
探究4
四边形ABCD中，
已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13，且∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积。
学生上台讲解
解:
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,
AB=3m, BC=4m
任课教师
郑红
学科
数学
年级
八年级
时间
2017.12.4
课题
17.1勾股定理的应用
教学目标
1、知识与能力:通过对一些典型题目的思考、解答，能正确、熟练的进行勾股定理的有关计算，加深对勾股定理的理解应用。
2、过程与方法:会用勾股定理解决一些简单的实际问题,逐步渗透“数形结合”,“转化”“方程”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
且∠ACD=90°
∵在Rt△ABC中, AB=3, BC=4
∴
∵在Rt△ACD中, AC=5, CD=12
答：四边形ABCD的面积为36.
教师出示
幻灯片一
从现实生活中的实例出发,调动学生的积极性,感受数学来源于生活,又应用于生活.
教师出示
幻灯片二
通过一个简单的直接求值的小例子让学生感受勾股定理
的应用.
教师出示
幻灯片三
让学生体会勾股定理在现实生活中的应用.
试着让学生说出证明线段相等的另一种方法:证明三角形全等.
对第一种方法
教师出示
幻灯片四
对第二种方法
学生口述即可
教师出示
幻灯片五
给出一个具有挑战性的题目,同学相互交流,调动学生的积极性.让学生经历建模的过程.
八年级数学上册《3.1 勾股定理(第1课时)》学案 苏科版
八年级数学上册《3.1 勾股定理（第1课时）》学案苏科版3、1 勾股定理(第1课时)》学案学习目标1、体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
A 级2、会运用勾股定理解决简单问题。
A级3、通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值，体会数学的价值。
B级4、培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认知规律。
C 级学习难点勾股定理在生活实际中的应用教学过程一、情景导入：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。
你能解释这是为什么吗？二、数学活动勾股故事1最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
如图,在边长为c的正方形中,有四个斜边是c的全等直角三角形,已知它们的直角边分别是a, b 、说明:我国古代数学家赵爽在他所著的<勾股圆方图注>中,利用这个图证明勾股定理、勾股圆方图勾股故事2中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话－－“勾股术”，并且还记载了勾股定理的一般形式。
勾股故事3美国第二任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话、 bbaacc勾股故事41955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。
邮票上的图案是对勾股定理的说明。
希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
勾股定理直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边平方。
用数学式子表示：c2=a2+b2三、例题例题1 已知：如图，等腰△ＡＢC 的周长是32cm，底边长是12cm。
（1）求高AD的长；（2）求S△ＡＢC。
、ABCD例2、已知：四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝90AD＝3，AB＝4，BC＝12求：DC的长。
北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用(第1课时)教案
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三．合作探究：
1、李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底
边 AB，但他随身只带了一个长度为 20 厘米的卷尺，你能替他想办法完成
任务吗？
b
a
c
l
5 如图，有一个高 1.5 米，半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从 孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米，问这根铁棒最长应有多长？
备课留白：
1/1
◎教学反思： ◎安全提醒：
恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们
想一想，蚂蚁怎么走最近？
B
2 如图，一座城墙高 11.7 米，墙外有一个宽为 9 米的护城河，那么一个长为 15 米的 云梯能否到达墙的顶端？
15cm
四、达标测评： 1、在△ABC 中, ∠C=90°，c=25, b=15,则
11.7cm
a=
.
9cm
2、三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是
．
3、三条线段 m,n,p 满足 m2-n2=p2 ，以这三条线段为边组成的三角形为
4、如图，直线 l 上有三个 正方形 a,b,c,若 a,c 的面积分别是 5，11，则 b 的面积
为
。
二．自主学习：
A
1 活动一：如果上面的圆柱高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米.则蚂
蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取 3)
2 活动二：
一个长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm、8cm、 B
12cm，一只蚂蚁想从盒底的 A 点爬到顶的 B 点，你
《勾股定理的应用1》教学设计
§18.1.2 勾股定理的应用（1）
（教学设计）
【授课班级】：初二（3）班【执教者】陈秀玲【时间】2015.03.17
【教材分析】
勾股定理的应用是在学习了勾股定理的基础上，进一步运用勾股定理解决问题。
共分三个课时完成，本节课为第一课时，主要是勾股定理的直接运用，目的是使学生能进一步熟悉勾股定理，并能初步建立数学模型，为后两个课时的学习做铺垫。
第二课时将安排需利用方程思想来解决的题目及添加辅助线两次使用勾股定理的学习，第三课时则是利用勾股定理在数轴上找出表示无理数的点和展开图中的最短距离的应用学习。
【教学目标】
（一）知识与技能：
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题。
（二）过程与方法：
1．让学生经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理解决此问题，发展学生的应用意识。
2．在解决实际问题的过程中，使学生体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神。
3．在解决实际问题的过程中，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识。
（三）情感态度与价值观
1．在利用勾股定理探索实际问题的过程中使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
2．在解决实际问题的过程中让学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
【教学重点】
将实际问题转化为直角三角形模型。
【教学难点】
如何构建直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。
【教学设计】
米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定，小汽车在城市街道的行驶速
C。
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勾股定理的应用1
【学习目标】
能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．
【重、难点】
在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
【预习指导】
一、学前准备
1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，
BC=则AC=_________．
2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm 、3cm ，•则第三
边的长是_________．
3．要登上8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m ．•问
至少需要多长的梯子？
【导学过程】
二、创设情境
1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高AB 为4cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm ）
（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条
路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A 点到C 点的最短路程是什么？ 你画对了吗？
A
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到C点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
三、练习
1、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米?
点A沿纸箱表面爬到顶点B处，求它所行的最短路线的长。
3、在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程
?
相等，试问这棵树有多高
学习体会：
我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．四、例题讲解
例：一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图
的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
练习：如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影
响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长?
五、小结
由学生分组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾股定理的应用方法
六、课堂练习：
1.若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是____________三角形
2.在△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=1：2：3，则BC:AC:AB=_________
3.设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是
____________
4.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、
乙两人相距__________km．
5.在△ABC中，AB=AC=4cm, ∠A: ∠B=2:5,过点C作△ABC的高CD，与AB
交于D点，则CD=_______
6.如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到
A.20cm
B.10cm
C.14cm
D.无法确定
7.如果梯子的底端建筑物有5m，15m长的梯子可达到该建筑物的高度大约是（）
A.13m
B.14m C 15m D. 16 m
8.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．求这块草坪的面积．
D
A
B C
9.如图所示，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝14cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。
10.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D,BC=5cm,DC=4cm,求AC,AB的长。