空间向量运算的坐标表示课件ppt(北师大版选修2-1)

提示：(300,200,200 3)．
问题2：驾驶室门受到的合力有多大？
提示：|F|＝500 N.
空间向量的坐标运算：
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)则： (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (1)a＋b＝ ； (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (2)a－b＝ ； (3)λa＝ (λx1，λy1，λz1) ；
(1)a∥b；(2)a⊥b.
解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b， ∴x＝0，满足a∥b； ②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，
此时a不平行b，∴x≠1.
③当x≠0且x≠1时，
1－x2＝－3， 1－x2 －3x x＋1 由 a∥b⇔ ＝ x ＝ ⇔x＋1 1 1－x ＝－3 1－x 综上所述，当 x＝0 或 2 时，a∥b. (2)∵a⊥b⇔a· b＝0 ⇔(1，x,1－x)· (1－x2，－3x，x＋1)＝0 10 ⇔1－x －3x ＋1－x ＝0，解得 x＝± . 5
1．空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、 夹角的坐标表示都类似于平面向量，要类比记忆与理解．
2．空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直
角坐标系，然后利用有关公式求解．要注意总结在长方体、 直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直 角坐标系的规律． 3．利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题，
(10 分) (12 分)
[一点通] 在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何 体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算， 可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
7．已知空间三点，A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求 AB 与 CA 的夹角． 解： AB ＝(－2，－1,3)， CA ＝(－1,3，－2)， | AB |＝ 4＋1＋9＝ 14，|CA |＝ 1＋9＋4＝ 14， CA AB · ＝2－3－6＝－7， －7 1 AB · CA ＝ ∴cos〈 AB ， CA 〉＝ ＝－ . 2 14× 14 | AB || CA |
3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，
a· b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.
[一点通]
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运
算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、 纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向 量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
(4)a· b＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 ； (5)a∥b⇔a＝λb⇔ x1＝λx2 ， y1＝λy2 ， z1＝λz2 (λ∈R)； (6)a⊥b⇔a· b＝0⇔ x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 ；
2 2 (7)|a|＝ a· a＝ x1＋y1＋z2 ； 1
a· b (8)cos〈a，b〉＝ ＝ |a||b|
(2 分)
(2)依题意，得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴ BA1 ＝(1，－1,2)， CB1 ＝(0,1,2)， ∴ BA1 · 1 ＝3，| BA1 |＝ 6，|CB1 |＝ 5. CB BA1 · 1 CB ＝ 30. ∴cos〈 BA1 ， CB1 〉＝ | BA1 || CB1 | 10
理解 教材新知
第 二 章
§ 3
3.3
考点一 把握 热点考向
考点二 考点三 应用创新演练
3．3
空间向量运算的坐标表示
2012 年 3 月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严 重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救．为防止救援 造成的二次伤害，现从 3 个方向用力拉动驾驶室门，这 3 个力两 两垂直，其大小分别为|F1|＝300 N，|F2|＝200 N，|F3|＝200 3 N. 问题 1：若以 F1、F2、F3 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的 正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？
角、向量的平行与垂直等问题．
[例1]
已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，
a· b.
[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的
加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标 乘积的和． [精解详析] 2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，
[精解详析]
法一：设 M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，
B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则 AC1 ＝(－a，a，a)， AM ＝(x－a，y，z)， BM ＝ (x－a，y－a，z)． ∵ BM ⊥ AC1 ，∴ BM · 1 ＝0， AC ∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即 x－y－z＝0. 又∵ AC1 ∥ AM ，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa， 即 x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.
[精解详析] 以 C 为原点，以 CA 、 CB 、 CC1 为 x
轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)， BN ＝(1，－1,1)， ∴| BN |＝ 3.
(4 分) (6 分) (8 分) (9 分)
(－aλ，aλ－a，aλ)．∵BM⊥AC1， ∴ BM · 1 ＝0 AC 1 即 a λ＋a λ－a ＋a λ＝0，解得 λ＝ ， 3
2 2 2 2
a a a 2a a a ∴ AM ＝－3，3，3， DM ＝ DA＋ AM ＝ 3 ，3，3.
2a a a 2a a a 由①②得 x＝ ，y＝ ，z＝ .∴M 3 ，3，3. 3 3 3
①
②
法二：设 AM ＝λ AC1 ＝(－aλ，aλ，aλ)， ∴ BM ＝ BA ＋ AM ＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝
－14 － 14 ＝ ＝ ， 14×2 17 2 17
sin〈 AB ， AC 〉＝
14 1－ ＝ 68
27 . 34
Байду номын сангаас
1 ∴S△ABC＝ | AB |·AC |· | sin〈 AB ， AC 〉 2
1 ＝ × 14×2 17× 2 27 ＝3 21. 34
2 2 2
⇔x＝2.
[例 3]
(12 分)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB＝1，
∠BCA＝90° ，棱 AA1＝2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点． (1)求 BN 的长； (2)求 cos〈 BA1 ， CB1 〉的值． [思路点拨] CA，CB，CC1 两两垂直，可由此建立空间直 角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．
2π ∵〈 AB ， CA 〉∈[0，π]，∴〈 AB ， CA 〉＝ . 3
8．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，
5)，C(3,2，－5)．求△ABC的面积．
解：由已知得＝(1，－3,2)， AC ＝(2,0，－8)， ∴| AB |＝ 1＋9＋4＝ 14， | AC |＝ 4＋0＋64＝2 17， AC AB · ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， AB AC · cos〈 AB ， AC 〉＝ | AB |·AC | |
4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b
(
)
A．垂直
C．平行且同向
B．不垂直也不平行
D．平行且反向
解析：a· b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.
答案：A
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是DC的中点，求证：
AD⊥D1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设 正方体的棱长为 1， 则有 D(0,0,0)， A(1,0,0)，
1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)， 那么向量a－b＋2c等于 A．(0,1,2) C．(－4,8，－5) ( B．(4，－5,5) D．(2，－5,4) )
解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝( －4,8，－5)．
答案：C
2．已知 A，B，C 三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)， 1 (－2,2,3)，求 P 点坐标，使(1) OP ＝ ( AB － AC )； 2 1 (2) AP ＝ ( AB － AC )． 2
1 即 P 点坐标为(5， ，0)． 2
3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的 向量c：①a· c＝0；②|c|＝10；③c与向量b＝(1,0,0)垂直．
解：设 c＝(x，y，z)， x－2y＋4z＝0， 2 2 2 由三个条件得x ＋y ＋z ＝100， x＝0， x＝0， 解得y＝4 5， z＝2 5 x＝0， 或y＝－4 5， z＝－2 5.
∴c＝(0,4 5，2 5)或(0，－4 5，－2 5).
[例2]
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－
A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x， y，z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点 M的坐标．
[思路点拨]
写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，
利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解．
解： AB ＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)． 1 3 3 (1) OP ＝ (6,3，－4)＝3，2，－2，则 P 点坐标为3，2，－2； 2 (2)设 P 为(x，y，z)，则 AP ＝(x－2，y＋1，z－2) 1 3 1 ＝ ( AB －)＝(3， ，－2)，所以 x＝5，y＝ ，z＝0， 2 2 2