1对3暑期-数学-七年级升八年级-第1讲-实数概念
第1讲 实数
知识点二：实数的相关概念
2.数轴
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
知识点五：实数的运算
9.
常见运算
乘方
几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）
例：
（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.
失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是4___,的算术平方根是___2__.
知识点四：实数的大小比较
8.实数的大小比较
（1）数轴较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.
（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.
例：
把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x= .其中 是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x= .
10.混合运算
先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
初中数学必修——实数基础知识与应用
初中数学必修——实数基础知识与应用数学作为一门基础学科，在我们的学习中占据着至关重要的位置。
而在数学中，实数基础知识是我们学习的重点和难点之一。
在初中阶段，我们接触到的最多的就是实数这个概念。
由此，本文将从实数基础知识的概念、性质、应用三个方面进行阐述，希望能对初中生的学习有所帮助。
一、实数基础知识的概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集，用符号R表示。
其中，有理数是能表示为分数形式的数，如正整数、负整数、分数、小数等；而无理数则是不能表示为分数形式的数，如根号2、圆周率等。
2. 实数的数轴表示我们可以利用数轴来表示实数，其中左边为负无穷，右边为正无穷，0点为原点，实数集中的数都被标在数轴上。
在数轴上，实数的“绝对值”表示的是该数到0点的相对距离。
例如，-3和3到数轴0点的距离是相等的，它们的绝对值都是3。
二、实数基础知识的性质1. 实数的顺序性实数满足的是“简单正性”，即任何一个实数都可以和0相比较，将其分为正数、负数和0。
另外，实数还满足“三角不等式”，即对于任意的实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
2. 实数的有理数和无理数分类实数可以分为有理数和无理数两种类型。
有理数可以用分数表示，而无理数则不能化为分数形式。
其中，无理数还可以分为代数无理数和超越无理数两类。
3. 实数的区间表示可以用小括号、中括号和分号表示区间，如(0,1)表示0到1之间的实数，开区间；[0,1]表示0到1之间的实数，闭区间；(a,b]表示大于a小于等于b的实数。
三、实数基础知识的应用1. 实数在几何学中的应用实数在几何学中有着广泛的应用，比如点、线和面等图形中的坐标点都可以用有序实数对来表示。
在坐标系中，我们可以计算两点之间的距离，求解线段的长度、斜率等。
2. 实数在物理学中的应用实数在物理学中也有着重要的应用，如长度、温度、时间、速度、力等物理量都可以用实数来表示。
在物理学中，我们可以通过实数的计算来求解物理问题，如速度、加速度、力与物体运动状态等。
人教七年级实数知识点总结
人教七年级实数知识点总结实数是数学中的重要概念之一，是指可以用小数表示的数。
在人教七年级数学课程中，实数是一个重要的知识点，掌握实数的概念、性质及运算是十分必要的。
本文将对人教七年级实数相关的知识点进行总结，并帮助大家更好地掌握相关知识。
一、实数的概念实数是指可以用小数表示的数，包括有理数和无理数两个部分。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如：整数、分数、循环小数等都是有理数；而无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，例如：根号2、根号3等都是无理数。
二、实数的性质1. 实数的分类：实数可以分为正数、负数、零三类。
2. 实数的绝对值：一个实数的绝对值是它到0的距离。
3. 实数的加减法：两个实数的和（差）仍是实数。
4. 实数的乘法：两个实数的积仍是实数，但零乘任何数都是零。
5. 实数的除法：两个实数的商仍是实数，但被零除是没有意义的。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法运算：（1）同号相加，取绝对值加上相同的符号。
（2）异号相加，取绝对值相减，符号由大的数决定。
2. 实数的乘法运算：（1）同号相乘得正数。
（2）异号相乘得负数。
3. 实数的除法运算：（1）实数除以非零实数，商的符号由被除数和除数的符号相决定。
（2）如果商为零，则被除数为零。
（3）如果被除数为零，则结果为零或不存在。
四、实数的小数表示实数可以用小数表示，小数表示的规则如下：1. 整数的小数表示是在整数后加一个小数点，后面跟零。
例如：4的小数表示是4.0。
2. 分数的小数表示是进行除法运算，把分子除以分母。
例如：2/3的小数表示是0.66666...（不断重复6）。
3. 对于循环小数，可以使用加减法转换为分数的形式，然后再进行小数表示。
例如：0.363636...可以表示为36/99。
五、实数的应用实数在各个领域都有着广泛的应用。
在日常生活中，我们可以使用实数进行货币计算、计算体积、长度等等；在物理学中，实数被用来描述物体的速度、加速度等运动参数；在经济学中，实数则被用来评估产品的市场价值等等。
七年级基础知识点实数
七年级基础知识点实数实数是数学中的一个基础概念，是指可以用实数轴上的一个点表示的数。
在七年级数学中学习实数是一个重要的知识点。
本文将从实数的定义、实数表示法、实数的加减乘除、实数的比较以及实数的应用等方面进行探讨。
一、实数的定义实数是指可以用实数轴上的一个点表示的数，这个数可以是有理数也可以是无理数。
实数包括正数、负数和零。
例如，数轴上的0、1、-2、根号2、π等都是实数。
实数在数学中起着重要的作用，是其他数学知识的基础。
二、实数表示法实数有多种表示法，其中小数表示法和分数表示法是比较常见的。
小数表示法是将实数表示为一个有限或无限循环小数的形式，例如0.5、1.3333…、3.14159…等。
分数表示法是将实数表示为两个整数之比的形式，例如2/3、5/4、-9/7等。
三、实数的加减乘除实数的加减乘除是数学中的基本运算，需要掌握。
实数的加法满足交换律、结合律和分配律；实数的减法可以转化为加法；实数的乘法满足交换律、结合律和分配律；实数的除法需要注意除数不能为零。
在进行实数的加减乘除运算时，需要注意精度问题，避免出现计算错误的情况。
四、实数的比较在实际应用中，常常需要比较两个实数的大小。
实数的大小关系可以用大小符号进行表示，例如小于号<、大于号>、小于等于号≤、大于等于号≥和等于号=。
需要注意的是，对于无理数，有时候很难直接比较大小，需要进行一些变形处理。
五、实数的应用实数在生活中有着广泛的应用，例如温度、长度、质量、价钱等，都可以用实数来表示。
实数也在其他学科中有着重要的应用，例如在物理学、经济学、统计学等领域都需要用到实数。
结语：七年级的学生在学习实数时，需要掌握实数的定义、实数表示法、实数加减乘除、实数比较以及实数的应用等方面的知识。
只有掌握了这些基础知识，才能够在以后的数学学习中更好地理解和应用相关的知识。
实数知识点总结概括初中
实数知识点总结概括初中一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数的集合，记作R。
有理数包括整数和分数，而无理数是那些无法写成有理数形式的数，如π和√2等。
实数的概念是对数的一个总称，它是数学研究和运用的基础。
2. 实数的表示实数可以用小数表示，小数可以是有限的，也可以是无限的循环小数。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，而无理数通常用无限不循环小数表示。
3. 实数的分布实数可以用数轴表示，数轴上的点对应着实数。
实数在数轴上是连续的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种连续的性质是实数的重要特点之一。
二、实数的性质1. 实数的比较实数之间可以比较大小，可以用不等式表达实数的大小关系。
对于任意两个实数a和b，有a＜b、a＝b或a＞b三种可能的关系。
2. 实数的绝对值实数的绝对值是这个实数到原点的距离，记作|a|，其中a是实数。
绝对值有以下性质：（1）若a＞0，则|a|=a；（2）若a＜0，则|a|=-a；（3）|a|=0的充分必要条件是a=0。
3. 实数的有序性实数集合是有序的，即实数集合中的每个实数都可以和实数集合中的其他实数相比较大小。
这种有序性是实数与数学中其他集合的一个重要区别。
4. 实数的密度实数在数轴上是连续分布的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种性质体现了实数的密度，也是实数在数学中的重要性质之一。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法和减法是最基本的运算，可以利用数轴对实数的加法和减法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法是对实数进行组合和分解的运算，可以用数轴对实数的乘法和除法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
3. 实数的乘方和开方实数的乘方和开方是对实数进行多次相乘或多次开方的运算，可以用数轴对实数的乘方和开方进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
4. 实数的混合运算实数的混合运算是实数运算的综合应用，包括加减乘除、乘方开方等多种运算的组合和应用。
七年级上册数学实数的知识点
七年级上册数学实数的知识点在七年级上学期的数学课程中，实数是一个重要的知识点。
实数包括有理数和无理数，它们合在一起构成了实数集，是数学中的基本概念之一。
下面我们来详细了解实数的概念、性质以及应用。
一、实数的概念与分类实数包括有理数和无理数两种数，其中有理数可以用分数或整数来表示，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
其中正有理数是指可以用正整数除以正整数得到的数，符号为“+”；负有理数是指可以用负整数除以正整数得到的数，符号为“-”；零是任何数除以自己得到的结果，符号为“0”。
无理数指不能写成有理数（分数）形式的实数。
例如，√2 、π、e 等均为无理数，它们不能表示为有限小数或分数。
二、实数的性质1. 实数集是一个完全有序的集合，即不论任何两个实数大小的关系如何，都必然可以判断出它们的大小关系。
2. 实数集满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。
3. 实数集中存在一个数 0 ，使 0 + a = a + 0 = a ，其中 a 为任意实数。
4. 实数集中每个数都有一个相反数，即对于任意实数 a ，都存在一个数 -a ，使得 a + ( -a ) = 0 。
5. 实数集中每个非零数都有一个倒数，即对于任意非零实数a ，都存在一个数 1/a 使得 a × (1/a) = 1 。
三、实数的应用实数的应用极为广泛，下面仅选取了数学中常见的一些应用进行介绍。
1. 直线和曲线的方程在解直线和曲线的方程时，实数是解题的基础。
例如，在求一条直线的斜率时，需要用到两个实数之间的除法运算，而这个运算必须用到实数，因为它是不满足分式的整数和真分数的性质的。
2. 负数的应用在实际生活中，经常会遇到一些与负数相关的问题，例如负债、温度计的读数等。
在这些情况下，需要用到负数的概念。
通过掌握实数的概念，可以更好地理解这些问题，并解决它们。
3. 高中数学的基础实数是高中数学的基础，如学习三角函数、导数、积分等内容都需要掌握实数的相关知识。
八年级数学实数知识点
八年级数学实数知识点八年级数学是学生们数学学习中的一个阶段，涉及到很多实用的数学知识和技能。
其中实数是一个重要的知识点。
实数是指所有的有理数和无理数的集合，是数学中的基本概念之一。
下面我们来详细了解一下八年级数学实数知识点。
一、实数概念实数是指所有的有理数和无理数的集合。
其中有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数是不能表示为有限小数或者分数的数。
实数在数学中具有很重要的地位，它们包含了我们所熟知的所有数，并且提供了基本的数学运算法则。
二、实数基本运算法则实数基本运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算法则在实数中是适用的，可以通过这些法则来进行数学计算。
实数加、减法可以通过数轴的正负进行研究，而乘法和除法则需要注意除数不能为零。
三、实数绝对值实数的绝对值是这个数到原点的距离，绝对值是一个非负数。
正数的绝对值与它本身相等，负数的绝对值是它本身的相反数。
绝对值有很多应用，如求解不等式、导数的定义等。
四、实数的比较实数的比较需要注意大小关系，可以通过大小比较符号进行判断。
对于任意两个实数a和b，如果a<b，则称a小于b；如果a>b，则称a大于b；如果a=b，则称a等于b。
五、实数的分类实数可以根据有理数和无理数进行分类，有理数包括整数、分数和小数，而无理数则包括无限不循环小数和代数无理数。
有理数和无理数在数学中都有重要的应用，如证明勾股定理等。
六、实数的近似实数的近似是指通过一定的方法将复杂的数进行简化，以便于计算。
常见的近似方法包括四舍五入、截断和近似成一定的形式等。
近似方法在实际运用中很常见，如测量长度和面积、统计数据等。
总之，实数在八年级数学中是一个非常重要的知识点。
了解实数的概念、基本运算法则、绝对值、比较、分类和近似方法可以帮助我们更好地掌握数学相关知识，提高数学应用能力。
在学习实数这一知识点时，要注意理解概念，掌握方法，提高思维能力，才能在数学学习中获得更多的收益。
七年级数学上册实数知识点
七年级数学上册实数知识点在七年级数学上册中，实数是重要的知识点之一。
实数的概念是数学中极其基础的知识之一，也是日常生活中最常用的数学概念之一。
在本文中，我们将介绍实数基本概念、实数的种类、实数的运算等知识点。
一、实数的基本概念实数是数学中最常用的概念之一，它包括有理数和无理数两种，而有理数又包括整数、分数和正负数三种。
实数的概念可以用几何图像表示，即实数可以表示为实轴上的一个点，如图一所示。
图一在图一中，实数0表示实轴的原点，正数和负数分别在0的右侧和左侧。
对于两个实数a和b(a≠0)，它们的乘积ab可以表示为一条长度为|a|的线段和一条长度为|b|的线段所组成的矩形面积。
二、实数的种类实数主要分为有理数和无理数两种。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如分数、整数和正负数均为有理数。
其中，整数有正整数、负整数及零；分数有正分数、负分数和零；正数和负数则只是不包括零的整数的集合。
而无理数则是不能用有理数形式表示的数。
例如，根号2是一个无理数，无理数可以表示为以0为根和1为顶的不可终止的连分数，如下所示：√2 = [1;2,2,2,…]实数在数轴上分布不均，有理数和无理数也分别分布在数轴的不同部位。
三、实数的运算实数有四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
具体运算规则如下：1.加法：对于任意实数a和b，它们的和为a+b，如负数加正数、两个负数相加、分数相加等。
2.减法：对于任意实数a和b，它们的差为a-b，如正数减负数、负数减正数、分数减分数等。
3.乘法：对于任意实数a和b，它们的积为ab，如正数乘负数、两个负数相乘、分数相乘等。
4.除法：对于任意实数a和b(b≠0)，它们的商为a÷b，如分数相除、正数除以负数、负数除以正数等。
总之，实数作为数学中的基础概念，是非常常用的数学工具之一。
掌握实数的基本概念、种类和运算规则是数学学习的基础，也是我们日常生活中计算和理解问题的必要工具。
初二数学基础实数概念与性质速览
初二数学基础实数概念与性质速览在初二数学的学习中，实数是一个非常重要的概念，它是我们进一步学习数学知识的基础。
实数包括有理数和无理数，它们在数学中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起快速浏览一下实数的概念与性质。
一、实数的概念1、有理数有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
例如，－3、0、1/2、0333（3 循环）等都是有理数。
整数可以看作是分母为 1 的有理数。
例如，－5 可以写成－5/1。
有限小数可以化为分数形式。
例如，025 可以写成 1/4。
无限循环小数也可以通过一定的方法转化为分数。
比如，0333（3循环）可以表示为 1/3。
2、无理数无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。
常见的无理数有π（圆周率）、√2（根号 2）、√3 等。
无理数的发现是数学史上的一个重要事件。
例如，古希腊数学家毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们认为所有的数都可以表示为整数或整数之比。
然而，当他们发现边长为 1 的正方形的对角线长度不能用有理数表示时，引起了巨大的震动。
这个长度就是√2，它是一个无理数。
3、实数实数是有理数和无理数的统称。
实数可以用数轴上的点来表示，数轴上的每一个点都对应着一个实数，反过来，每一个实数也都可以在数轴上找到对应的点。
二、实数的性质1、实数的运算性质（1）加法和乘法的交换律对于任意两个实数 a 和 b，有 a ＋ b ＝ b ＋ a，a × b ＝ b × a。
（2）加法和乘法的结合律对于任意三个实数 a、b 和 c，有（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)，（a × b) × c ＝ a ×（b × c)。
（3）乘法对加法的分配律对于任意三个实数 a、b 和 c，有 a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c。
2、实数的大小比较（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
七年级实数相关知识点
七年级实数相关知识点实数是数学中非常重要的一个概念，在七年级数学中也有着非常重要的地位。
本篇文章将带您了解七年级实数相关知识点，掌握实数的基础概念、性质及其在数学中的应用。
一、实数的基本概念实数是指可以表示成有限小数或无限循环小数的数，它包括有理数和无理数两部分。
其中有理数可以表示为两个整数之比，而无理数是不能被有理数表示的数。
实数是数学中最常用的数集，包含了所有我们熟知的数字，如自然数、整数、分数等。
二、实数的性质1. 实数具有封闭性，即两个实数进行基本运算（加、减、乘、除）的结果仍然是实数。
2. 实数具有可加性和可乘性，即它们满足加法和乘法的交换律、结合律和分配律。
3. 实数具有存在唯一逆元的性质，即任何实数都存在加法逆元和乘法逆元。
4. 实数具有实数序列的收敛性，即一个实数序列满足有界性和单调性，它就一定收敛于一个实数。
5. 实数与自然数、整数、有理数和无理数之间存在包含关系。
三、实数的应用实数不仅仅是数学中的基础概念，它也在其他领域中有着广泛的应用。
1. 在物理学中，实数代表实际存在的质量、长度、时间等物理量。
2. 在经济学中，实数被用来描述货币、价格等实际物品和劳务的数量。
3. 在工程学中，实数用来描述电路电荷、电压、电阻等的实际值。
4. 在计算机科学中，实数被广泛应用于机器学习、神经网络等人工智能领域中。
总结实数是数学中非常基础的概念，也是数学运算中不可或缺的一部分。
它的基本概念和性质需要我们掌握，并在实践中加以应用。
值得一提的是，实数在我们日常生活以及其他学科领域中也有着广泛的应用，我们需要认真学习并灵活运用。
七年级l下册数学实数知识点
七年级l下册数学实数知识点七年级下册数学实数知识点数学作为一门重要的学科，对于每一位学生来说都是必修课程。
在七年级下册数学中，实数是一个重要的知识点。
实数可以说是我们日常生活中使用最频繁的数。
那么，什么是实数呢？它都有哪些特殊性质？接下来，就让我们深入了解一下吧。
一、实数的概念及表示方法实数是指一切有理数和无理数的总称，它包括了所有的实数，即正、负、零数、分数、小数、根号下的数、圆周率π、自然常数e 等。
表示方法有小数表示法、分数表示法、倍数表示法、百分数表示法和指数表示法等。
二、实数的分类实数可以分为三类：正数、负数和零。
1. 正数：大于0的数，我们通常用“+”表示。
例如：1、2、3、4、6、8、12等等。
2. 负数：小于0的数，我们通常用“-”表示。
例如：-1、-2、-3、-4、-6、-8、-12等等。
3. 零：表示不存在的数量，我们通常用0表示。
三、实数的比较1. 同号相比：同为正数或同为负数，比大小时与绝对值有关，即绝对值大的数大。
例如：5>2，-7>-8。
2. 异号相比：正数与负数相比较，绝对值大的数小，绝对值小的数大。
例如：-3<2，-2<1。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 实数的加减法a. 同号相加：将它们的绝对值相加，同号保留，例如：7+3=10，-7-3=-10。
b. 异号相加：将它们的绝对值相减，符号取较大的数的符号，例如：3+（-5）=-2，-3+5=2。
2. 实数的乘法同号相乘:积为正数，例如：2×3=6，-2×-3=6。
异号相乘:积为负数，例如：2（-3）=-6，-2×3=-6。
3. 实数的除法两个非零实数之间的除法可以看成是乘以它的倒数，例如： 4 ÷ 2=2， -4 ÷ 2= -2， 5 ÷（-1）=-5。
五、实数的绝对值实数a的绝对值，用|a|表示，a≥0 时|a|=a， a<0 时|a|= -a。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。
简单来说，实数包括了有理数和无理数。
有理数，就是可以表示为两个整数之比的数，例如整数、有限小数和无限循环小数。
像 2、－3、05（即 1/2）、0333（即 1/3）等都是有理数。
而无理数，则是无限不循环小数，不能写成两个整数之比的形式。
比如圆周率π（约为 314159）、根号 2（约为 1414）等。
实数可以直观地看作数轴上的点，每一个实数都对应数轴上的一个唯一的点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
二、实数的分类实数的分类方式有多种，常见的分类方法如下：1、按符号分类（1）正实数：大于 0 的实数，如 2、35 等。
（2）负实数：小于 0 的实数，如－2、－35 等。
（3）零：既不是正数也不是负数的实数。
2、按性质分类（1）有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）。
（2）无理数：无限不循环小数。
三、实数的运算1、加法和减法实数的加法和减法运算遵循以下规则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8 。
（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2 。
（3）减去一个数，等于加上这个数的相反数。
例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 。
2、乘法和除法（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如，3 × 5 ＝ 15，－3 ×（－5) ＝ 15，3 ×（－5) ＝－15 。
（2）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
例如，6 ÷ 3 ＝ 6 × 1/3 ＝ 2 。
3、乘方和开方（1）乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。
例如，2³＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8 。
实数概念知识点总结
实数概念知识点总结一、实数的定义实数是指所有的有理数和无理数的总称。
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，无理数是指不能表示为有理数的数。
实数包括了所有的有理数和无理数，是数轴上的所有点的集合。
实数的定义还可以从数轴的角度来理解。
数轴是一条无限长的直线，上面标记了所有的实数。
数轴上任意一点都对应着一个实数，数轴上的点是有序的，也就是说数轴上的点按大小顺序排列。
这种对应关系使得我们可以将实数看做是一个有序的集合。
二、实数的性质1.实数的代数性质实数满足加法、减法、乘法和除法运算。
对于任意的实数a、b和c，有以下代数性质成立：（1）交换律：a + b = b + a，ab = ba；（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(ab)c = a(bc)；（3）分配律：a(b + c) = ab + ac；（4）单位元素：存在0和1，使得a + 0 = a，a · 1 = a；（5）加法逆元：对于任意的实数a，存在一个数-b，使得a + (-b) = 0；（6）乘法逆元：对于任意的非零实数a，存在一个数1/a，使得a · (1/a) = 1。
2.实数的大小比较实数具有大小的比较关系。
对于任意的实数a和b，有以下性质成立：（1）对于任意的实数a，有a > 0，a = 0或a < 0；（2）对于任意的实数a和b，有严格不等式a < b，a > b或者a = b。
3.实数的密度性质实数是一个稠密的集合，它意味着在数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在着无限多个实数。
这一性质对于实数的连续性和无限性具有重要意义。
4.实数的有理数与无理数性质（1）有理数的性质：有理数是可以表示为两个整数之比的数，它们在数轴上是分散的、不连续的点。
有理数包括了整数和分数两种类型。
（2）无理数的性质：无理数是不能表示为有理数的数，它们在数轴上是一些孤立的、不连续的点。
八年级数学实数知识点梳理
八年级数学实数知识点梳理数学是一门需要理性思考与逻辑推理的学科，而实数是数学中最重要的基础知识之一，因此在学习数学的过程中，对实数的掌握至关重要。
随着学年的推进，八年级的数学课程中实数部分的知识点也愈加深入，本文将对八年级数学实数知识点进行梳理。
一、实数的概念实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数。
实数的大小可以比较，可以进行基本的算术运算，是所有数学分支的基础。
在实数的集合中，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则不能表示为这种比值。
实数集合通常表示为R。
二、实数的分类实数可以按照大小和性质进行分类，如下：1. 正数：大于0的实数，如1/2、3、5.8等。
2. 负数：小于0的实数，如-1/3、-5、-2.6等。
3. 零：等于0的实数。
4. 整数：包括正整数、负整数和零。
5. 有理数：可以表示为两个整数的比值，如2、1/3、-5/6等。
6. 无理数：不能表示为两个整数的比值，如√2、π等。
三、实数的运算实数的运算包括加减乘除四个基本运算，其中乘法和除法还包括正负号的影响。
1. 加法：实数的加法符合交换律、结合律、偏移律。
2. 减法：实数的减法是加法的逆运算，可以转化为加法运算。
3. 乘法：实数的乘法符合交换律、结合律，非零实数相乘的结果符号为正。
4. 除法：实数的除法包括有理数的除法和无理数的除法两种情况。
四、实数的比较实数的大小可以进行比较，有以下三种情况：1. 相等：两个实数相等当且仅当它们的差等于0。
2. 大于：如果一个实数a减去另一个实数b的值大于0，那么a 大于b。
3. 小于：如果一个实数a减去另一个实数b的值小于0，那么a 小于b。
五、实数的绝对值实数的绝对值是一个非负实数，它表示实数a与0之间的距离，记作|a|。
六、实数的平方实数的平方是指实数a自乘后的结果，记作a²。
其中，正数的平方是正数，负数的平方是正数，零的平方还是零。
七、实数的开方实数的开方是指实数a的n次方为b时，n为整数，b为非负实数，a称为b的n次方根，记作√b或b^(1/n)。
七年级数学实数知识点归纳
七年级数学实数知识点归纳实数，是指所有有理数和无理数的总称。
在学习数学时，实数也是一个较为基础的概念。
在七年级数学里，涉及到的实数知识点也相对简单明了。
下面就让我们来归纳一下七年级数学实数知识点吧。
一、实数的概念实数是一个广义的概念，包括有理数、无理数。
有理数是可以表示成两个整数之比的数，而无理数则不能表示成两个整数之比的数。
比如，根号2就是一个无理数。
我们用符号R表示实数集合。
二、有理数有理数是指可以表示成一分数的数，也就是指可以表示为两个整数之比的数。
它包括正整数、负整数、零和分数。
有理数在数轴上可以表示成有限小数或无限循环小数。
1. 正整数、负整数、零数轴上正方向表示正数，负方向表示负数，而0则位于数轴的原点。
2. 有理数的大小比较对于任意两个有理数a和b，它们的大小比较可以通过它们的差a-b来完成。
如果a-b>0，则a>b；如果a-b=0，则a=b；如果a-b<0，则a<b。
三、无理数无理数是不能表示成两个整数之比的数。
它有很多种表现形式，如根号2、根号3、π等等。
无理数在数轴上也可以精确地标出它的位置，但是它们不能用有限小数或无限循环小数表示。
四、实数的加、减、乘、除实数的加、减、乘、除是基础运算之一。
在进行这些运算时，我们需要注意数的符号和大小关系。
1. 加法实数的加法是指将两个实数相加，比如a+b。
当两个实数同号时，它们的和为它们的绝对值相加；当两个实数异号时，它们的和为它们的绝对值相减。
2. 减法实数的减法是指将一个实数减去另一个实数，比如a-b。
减法可以转化成加法，即a-b=a+(-b)。
3. 乘法实数的乘法是指将两个实数相乘，比如a×b。
同号相乘得正，异号相乘得负。
4. 除法实数的除法是指将一个实数除以另一个实数，比如a÷b。
其中，被除数为0时，结果为0；除数为0时，结果不存在。
五、实数的绝对值实数的绝对值是指一个实数距离0点的距离，它的值总是非负数。
2017上海暑假数学七升八第1讲-实数概念-教案
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题实数概念学习目标1．理解平方根、算数平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．掌握实数的相反数和绝对值的意义．教学内容复习回顾教法说明：学科教师根据以上思维导图带领学生回顾实数章节内容，可以通过提问或抢答的方式进行。
➢实数概念应注意以下几点：（一）任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数（二）无理数是无限不循环小数，所以只能以四种形式出现(1) 开方开不尽的数，如2，37等(2) 化简后含圆周率π的数。
“π”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数，属无理数(3) 特定结构的数，如0.1010010001……等(4) 没有规律但有省略号的数，如1.21234879……等练一练：下列实数2250,2,3.1416,0.23,,4,,0.12131415,74π&&L 中，无理数有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个参考答案：B➢ 平方根应注意以下几点：a ±：表示非负数a 的平方根；a ：表示非负数a 的正平方根（算术平方根）；a -：表示非负数a 的负平方根总结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
22()()(0)a aa a a a ==≥为任意实数 (0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 练一练：（1）16的平方根是 ，16的平方是 ．（2）9的平方根是 ，9的平方是 ．➢ 立方根应注意以下几点：如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根，记作：3x a =a a =33)(， a a =33， 33a a -=-， 33()a a -=-练一练：（1）64的立方根是 ，64的立方根是 ．1．4(2)-的平方根是 ，81的平方根是 ．2．3a a =，则a = ．3．化简：2(25)-= ．4．将745961精确到百位的近似数可以表示为 ．5．在实数轴上有A 、B 两点，点A 对应实数35，已知AB 距离55，则点B 对应的实数为 ．6．下列个数中，无理数的个数有（ ）12、0.1010010001-、35-、4π、38-、0.321&&、157-、0、16 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4练习7．下列说法中正确的是（ ）A . 带根号的数一定是无理数B . 无限小数都是无理数C . 实数可分为正实数和负实数D . 无理数不是正数就是负数参考答案：1．43±±、； 2．01±、； 3．52-； 4．57.46010⨯； 5．8525-或； 6．C ；7．D例题1：如果233a b A a b -+=+为3a b +的算术平方根，2121a b B a --=-为21a -的立方根，求A B -的平方根．教学说明：本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的意义，根据这些定义列出等式求出a b 、的值． 参考答案：解：根据题意，有232213a b a b ++=⎧⎨--=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩ 则93A == 382b =-=- 5A B ∴-=5A B ∴-±的平方根是试一试：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 是13的整数部分，求22a b c +-的平方根．参考答案：0例题2：已知4495.26=，7460.760=，直接写出下列各式的值：(1)=6.0 (2) =600 (3)=06.0 (4)=6000参考答案：0.7746； 24.495； 0.24495； 77.46试一试：若102.0110.1=，则0.010201-= ．参考答案：﹣0.101例题3：已知x y 、是实数，且2)1(+-y x 与335--y x 互为相反数，则22y x +=教学说明：此题考察的是平方根的非负性、相反数的概念及开方的运算．初中阶段的几个非负性：（1）绝对值； （2）平方； （3）平方根（偶次方根）； 200,0,0a b c a b c ++=⇒===解：由题意得：105330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩ 222234255x y ∴+=+==试一试：已知221141x x y x -+-+=+，则y x +)2(3=____________． 参考答案：2例题4：阅读下列材料：设0.30.333x ==&…①，则10 3.333x =…②，则由②－①得：93x =，即13x =。
八年级实数基础知识点总结
八年级实数基础知识点总结实数是数学中重要的一个分支，其知识点在中学阶段就开始学习，而在八年级更是深入掌握实数的基础知识。
本文将从四个方面介绍八年级实数基础知识点。
一、实数的概念
实数是数学中用来表示有理数和无理数的统称。
其中有理数指的是可以写成两个整数的比值形式，无理数则是不能写成有理数形式的实数。
实数以实数轴作为图像进行表示，实数轴上的每一个点都对应一个实数。
二、实数的分类
实数可以根据其性质进行分类，其中正整数、负整数、零以及正分数和负分数都属于有理数；而无理数有无理代数数、无理三角函数数、π等。
我们在研究实数时，需要对不同分类的实数有一定的认识。
三、实数的运算
实数的运算包括加、减、乘、除以及先括号后指数、先乘除后
加减等。
在进行实数的混合运算时，需要根据运算顺序先解决括
号内的运算，然后进行指数运算，接下来再进行乘除法，最后进
行加减法。
四、实数的表示方法
在实数的表示中，我们常使用十进制小数和分数的形式。
其中
十进制小数是指小数的位值从左到右依次递减，每个数码用0-9其中的一个数码表示；而分数则是将实数写成两个整数的比值形式。
综上所述，八年级实数基础知识点涉及实数的概念、分类、运
算以及表示方法等方面，对于学好数学和提升数学素养有着重要
的作用。
因此，学生需要在日常的学习中认真掌握这些知识点，
不断提高自己的能力水平。
七年级数学实数知识点总结
七年级数学实数知识点总结数学是一门非常重要的学科，也是每个人都不能忽略的学科。
在初中阶段，数学知识的学习显得尤为重要。
实数作为数学中的一个重要知识点，深深地吸引着我们的目光。
在这篇文章中，我将为大家总结一下我所掌握的七年级数学实数知识点，希望对广大同学的学习有所帮助。
一、实数的定义实数是数学中的一种数，包括有理数和无理数两种。
其中，有理数是可以写成一个整数和一个分数的形式，无理数不能写成这样的形式。
二、实数的分类实数可以分为正数、负数和零。
正数大于零，负数小于零，零等于零。
同时，正数和负数的绝对值相等。
三、实数的加减乘除实数的加减法和正常的数学运算一致，只不过符号需要进行判断。
同符号的两个数相加或相减，结果依然为同符号的数；异符号的两个数相加或相减，结果为绝对值大的那个符号，并加上绝对值小的那个数的负数。
实数的乘法同样相似，不过有些不同。
同符号相乘结果为正，异符号相乘结果为负。
至于实数的除法，需要注意分母不能为零。
四、数轴数轴是用来表示实数的一种方法。
其中，数轴上的每个点都对应一个实数，而且数轴上的两个点之间的距离等于这两个点所表示的实数之差的绝对值。
同时，负数向左，正数向右。
五、绝对值在数轴上，每个点都有对应的绝对值。
绝对值表示一个数到零点之间的距离。
同时，绝对值也可以表达为一个实数在数轴上的正方向和负方向的距离差。
例如，|-7|=7，|7|=7。
六、相反数与倒数相反数表示一个数的符号相反，倒数表示一个数的倒数。
例如，-5与5是相反数，1/5和5是倒数。
七、四个不等式四个不等式是数学中的四个经典公式。
它们分别是两个数的和大于这两个数的两倍，两个数的差小于它们的绝对值，两个正数的乘积与它们的和的大小关系以及两个数相乘等于零时，至少有一个数为零。
八、开方和平方开方表示找到一个正数的平方根，平方表示把一个数乘以它本身。
例如，5的平方是25，25的平方根是5。
总结实数是数学中非常重要的一个知识点。
在初中的学习中，我们需要掌握实数的定义、分类、加减乘除、数轴、绝对值、相反数与倒数、四个不等式、开方和平方等知识点，这些都是我们必须掌握的数学基础。
八年级实数知识点
八年级实数知识点
八年级是学习数学的一个重要年份，因为这一年将会学习到很
多与实际生活联系密切的知识点，其中实数是一个比较重要的内容。
实数是指所有有理数和无理数的统称，它是数学中最普遍、最
基本的数。
有理数是指能表示为两个整数比的数，如1/2、3/4等，而无理数则不能表示为两个整数比的数，如π、e等。
在实际生活中，我们经常接触到无理数，比如半径为1的圆的周长就是2π，
房间的对角线长等等都涉及到了无理数的概念。
八年级的学生要学习到如何对实数进行分类、比较和运算。
比
如在分类方面，实数可以分为有理数和无理数两类，而在比较方面，我们可以使用大小比较符号来比较实数的大小。
在运算方面，实数的四则运算、绝对值等都是需要掌握的内容。
另外，八年级的学生还需要学习到实数的表示方法。
实数可以
用分数、小数、百分数、科学计数法等多种方式来表示。
其中，
小数是最常见的一种表示方式，小数点后位数的不同可以对应不
同精度的数值。
而科学计数法则可以方便地表示非常大或非常小
的数。
实数在生活中的应用也是非常广泛的，比如在计算汇率时需要用到小数和百分数，在测量物体的体积和重量时需要用到近似值和科学计数法，还有通过三角函数来解决实际问题等等。
掌握实数的知识不仅可以使我们更好地理解现实生活中的问题，还可以对我们日常生活产生积极的影响。
总之，八年级的实数知识点是我们在日常生活中必不可少的知识，掌握好这些知识可以对我们的学习和生活都有很大的帮助。
希望大家在学习过程中能够踏实、认真地去学习，这样才能够在以后的学习中取得更好的成绩。
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精锐教育1对3辅导教案
1．理解平方根、算数平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；
2．掌握实数的相反数和绝对值的意义．
（此环节设计时间在15－20分钟）
知识点回顾
教法说明：学科教师根据以上思维导图带领学生回顾实数章节内容，可以通过提问或抢答的方式进行。
➢实数概念应注意以下几点：
（一）任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数都
练习
3．化简：2(25)-= ．
4．将745961精确到百位的近似数可以表示为 ．
5．在实数轴上有A 、B 两点，点A 对应实数35，已知AB 距离55，则点B 对应的实数为 ． 6．下列个数中，无理数的个数有（ ）
12、0.1010010001-、35-、
4π、38-、0.321&&、157
-、0、16
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4 7．下列说法中正确的是（ ）
A . 带根号的数一定是无理数
B . 无限小数都是无理数
C . 实数可分为正实数和负实数
D . 无理数不是正数就是负数
参考答案：1．43±±、； 2．01±、； 3．52-； 4．57.46010⨯； 5．8525-或； 6．C ；7．D
（此环节设计时间在40－50分钟）
例题1：如果233a b A a b -+=+为3a b +的算术平方根，21
21a b B a --=
-为21a -的立方根，
求A B -的平方根． 教学说明：本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的意义，根据这些定义列出等式求出a b 、的值． 参考答案：解：根据题意，有232
213
a b a b ++=⎧⎨
--=⎩，
解得3
2
a b =⎧⎨
=⎩ 则93A == 382b =-=-
5A B ∴-=
5A B ∴-±的平方根是
试一试：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 是13的整数部分，求2
2a b c +-的平
方根 ．
参考答案：0
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
1．π的整数部分为3，则它的小数部分是 2．已知523-+y x 与5.42--y x 互为相反数，求2013
()xy =____________.
3．在实数范围内，设6||22||4(
)1|2|
x x x
a x x -+-=++-,则a 的个位数字是____________. 4．若0)3(12
=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）
A ．
1
B ．－1
C ．7
D ．－7
5．计算下面各题。
（1）64611)23(3=
-+x （2）133)12(+x -8
1=1
6．设，都是有理数，且满足方程：，求与的值．
参考答案：1．3π-； 2．1-； 3．2； 4．C ； 5．（1）14- （2）14
6．由有理数和无理数分别相等，得到方程组，解得20,10x y =-=．
如图，有高度相同的A 、B 、C 三只圆柱形杯子，A 、B 两只杯子已经盛满水，小颖把A 、B 两只
杯子中的水全部倒进C 杯中，C 杯恰好装满，小颖测量得A 、B 两只杯子底面圆的半径分别是3厘米和4厘米，你能求出C 杯底面的半径是多少吗？
x y 2363202
x
x y y +=--+x y 讨论
A B C
参考答案：根据体积相等列出等式通过计算求出C 杯的半径是5．
（此环节设计时间在5－10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾
【巩固练习】
1．如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别是1和3，若点A 关于B 点的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为（ ）．
A ． 23－1
B ．1＋3
C ．2＋3
D ．23＋1
2．如图所示，数轴上两点A 、B 分别表示实数a 、b ，则下列四个数中最大的一个数是 （ ）
A ． a
B ．b
C ．
a
1
D ．
b
1
3．计算下面各题。
（1）340.2527-+- （2）144169643+-
x
1
2
3
A
B
C
x
–1
–2
1
2
A
B
（3）|233225-+-+-
4．直角三角形两直角边长分别为24和7，把四个相同的直角三角形拼成正方形，通过面积计算该直角三角形的斜边长。
参考答案：1．A ； 2．D ； 3．（1） 1.5-， （2）3， （3）52-； 4．25．
【预习思考】 计算下列各题：
（1）33
2
2
331951021227---⨯-+ （2）232311
3[(2)()8](5)25
----⨯---÷-⨯。