第四讲 解析函数与调和函数的关系
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
浅谈解析函数与调和函数的关系
浅谈解析函数与Leabharlann 和函数的关系张瑜张越像宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 0 12000)
摘
要.该文对复变函数中解析函数与询和函辈宜之间的关系进行归纳总结并介绍三种解决已知解析函
数的实部 ( 或虚部 ) 求它的应部 ( 或实部 ) 的方法 .
关键词.解析解析函数调和函数共领涵和函数
中图分类号: 0174.5
定理 若函数 /"(z)= u(x , y)+ iV(x， y) 在区域D 内解析，则在区域 D 内 U(X， y) 与 V(x， y)都是调和函
张荒草(1977→，男，讲师，硕士，研究方向:应用数学 。
• J J4 '
数，且在区域 D 休:) V怡， y) 必为 u怡， y) 的共辄 i剧和函数.
X -
于是 I:lu = u xx + u)(v = O. I:lν=VJVy= 0(z =x+ 伊求 。)
Y'
.)' -
(X
. Y
,
-" J ' X
-
(X
1
-6χ 1 y +2y'
(X
2
+ y2
Y
在 z 平面上除原点外是调和函数. 即岭 ， Y) = X2_y2 是 z 平面上的调和函数 .巾， y) = τLτ x- y.
定义 1 轩函数 百 = /(z)在区域 D 内可微，贝IJ 称 /(z)在区域 D 内解析 . 或称 I(z) 为区域 D 内的解析
函数.
函数 I(z) 在某点处的解析.指函数 I(z)在该点的某领域内解析，而函数I(z)在闭域E 解析，指函数 f(z)在包含该闭域万的某区域内解析. 定义 2 若二元实踊数 H(x， y)在区域 D 内具有二阶连续的偏导数.且满足拉普拉斯方程 a2 H a2H _ _. _ AH = -T+-7=0 . 称二兀实函数 H(x， y) 为区域 D 内的调和函数.
解析函数和调和函数的关系
3
u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,
2v 2v , yx xy 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y
u 2u 解 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3 y 3x , 2 y y
6
数.
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 因为 6 xy, y x
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
10
f ( z ) u iv
e x ( x cos y y sin y ) x y c i[e x ( y cos y x sin y ) x y]
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0. 解
根据不定积分法 f ( z ) 2 zdz z 2 c ,
由 f ( i ) 1, 得 c 0,
所求解析函数为
f ( z ) x 2 y 2 2 xyi z 2 .
14
例4
用不定积分法求解例1中的解析函数 f ( z )
3.4 解析函数与调和函数的关系
注：如果u, v是区域D内的任意两个 调和函数，则u + iv在D内未必解析。
y 例2 证明u ( x, y ) = x − y , v( x, y ) = 2 x + y2
2 2
都是调和函数，但f ( z ) = u + iv不是解析函数。
注：如果u, v是区域D内的两个调和函数， 且v是u的共轭调和函数，即满足C − R方程， 则u + iv在D内解析。
(3.22)
所确定的函数v( x, y ), 使u + iv = f ( z )是D内的
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
公式(3.22)不必强记 可以如下推得 不必强记,可以如下推得 注: 公式 不必强记
3 2
的解析函数, 并求以u ( x, y )为实部的解析函数 f ( z ), 使得f (0) = i.
y 例3.16 验证v( x, y ) = arctan ( x > 0)在 x 右半z平面内是调和函数, 并求以此为虚部 的解析函数.
定理 3.18 定理 3.19
⇔ 在区域D内v( x, y )是u ( x, y )的共轭调和函数.
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
例3.15 验证u ( x, y ) = x − 3 xy 是z3; iv y dy = − u y dx + u x dy 然后两端积分.类似的可以由v( x, y )求u ( x, y ).
解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系1. 引言调和函数和解析函数是数学中两个重要的函数类别，在分析学和复变函数研究中具有广泛的应用。
两者有着密切的联系，本文将对两者的定义、性质、用途和工作方式等进行详细解释。
2. 调和函数的定义调和函数是指定义在欧几里德空间中的函数，满足拉普拉斯方程，即：Δf=∂2f∂x12+∂2f∂x22+⋯+∂2f∂x n2=0其中Δ是拉普拉斯算子，f是调和函数。
对于二维空间中的调和函数，即n=2的情况，拉普拉斯方程可以简化为：Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2=0调和函数的定义可以扩展到更高维空间，由此可见，调和函数的概念是多维的。
3. 解析函数的定义解析函数是指定义在复平面上的函数，满足柯西－黎曼方程，即：∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x其中u(x,y)是解析函数的实部，v(x,y)是解析函数的虚部。
柯西－黎曼方程表明解析函数是复可微的，它可以展开成幂级数的形式，具有无穷次可导的性质。
4. 调和函数和解析函数的联系调和函数和解析函数在某些条件下是可以联系起来的。
具体而言，二维空间中的调和函数可以通过某个复数函数的实部或虚部来表示。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个解析函数，其中z=x+iy，u和v分别是f的实部和虚部。
由柯西－黎曼方程可知，∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x可以求出u和v的偏导数。
进一步，可以验证u和v满足拉普拉斯方程：∂2u ∂x2+∂2u∂y2=∂2v∂y2−∂2v∂x2=0∂2v ∂x2+∂2v∂y2=−∂2u∂y2−∂2u∂x2=0因此，u和v分别是调和函数。
这就是调和函数和解析函数的联系。
5. 调和函数和解析函数的性质调和函数和解析函数具有一些重要的性质，这些性质使得它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
5.1 调和函数的性质•调和函数的线性组合仍然是调和函数。
即如果f1(x,y),f2(x,y),…,f n(x,y)都是调和函数，那么对于任意实数c1,c2,…,c n，函数g(x,y)=c1f1(x,y)+c2f2(x,y)+⋯+c n f n(x,y)也是调和函数。
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系调和函数和解析函数在数学中都是非常重要的概念，它们之间的关系也是我们需要深入了解的。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，而解析函数则是指在某个区域内可以展开成幂级数的函数。
在实际应用中，我们常常需要研究调和函数和解析函数之间的联系，以便更好地理解它们的性质和特点。
我们可以从数学定义上来看调和函数和解析函数的关系。
调和函数满足拉普拉斯方程，而解析函数则有复变函数的性质。
在某些情况下，调和函数可以通过某些方法转化为解析函数，比如通过傅里叶变换或者柯西积分公式等。
这种转化的过程可以帮助我们更好地理解两者之间的联系，并且在实际问题中起到重要作用。
我们可以从几何意义上来理解调和函数和解析函数的关系。
调和函数在物理学中有很多应用，比如电场、热场等问题都可以通过调和函数来描述。
而解析函数则在复平面上有很好的几何性质，比如保角映射等。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地理解数学和物理之间的联系，以及复平面上的几何性质。
调和函数和解析函数在实际问题中也有很多应用。
比如在工程领域中，我们常常需要研究电场、热场等问题，这些都可以通过调和函数来描述。
而在信号处理领域中，解析函数则有很多应用，比如在频域分析中可以通过解析函数来描述信号的频谱特性。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地解决实际问题，提高工程和技术的应用水平。
总的来说，调和函数和解析函数之间的关系是非常密切的，它们在数学、物理和工程等领域都有重要的应用。
通过深入研究两者之间的联系，我们可以更好地理解它们的性质和特点，从而更好地解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对调和函数和解析函数有更深入的了解，并且在实际问题中能够灵活运用这些概念，提高问题的解决效率和准确性。
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
调和函数
由共轭调和函数定义和解析函数的实部和虚部是调和函数， 可得定理3.18
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解
析 , 则在区域 D 内 v(x,y) 必为 u(x,y) 的共轭调 和函数.
共轭调和函数定义2： 设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我
们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的 共轭调和函数.
的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv是D上
的解析函数? 或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在共轭调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
三、 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用C-R方程 求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数 u+vi. 这种方法称为偏积分法.
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i
方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 பைடு நூலகம் )z.
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
解析函数与调和函数的关系
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
解析函数与调和函数的关系
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。
复变函数中的解析函数与调和函数
复变函数中的解析函数与调和函数复变函数是数学中的一门重要分支，它研究的是具有两个独立变量的函数，其中一个变量是实部，另一个变量是虚部。
复变函数的研究非常有意义，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
在复变函数中，有两个重要的概念，即解析函数和调和函数。
一、解析函数复变函数中的解析函数是指在某个区域内处处可微的函数。
具体来说，如果复变函数在某个区域内的每一点都有导数，那么这个函数就是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，如导数的存在性和唯一性。
根据解析函数的性质，我们可以通过求导来研究其它的解析函数性质，这是解析函数研究中的一种重要方法。
解析函数具有的性质还包括保角映射和调和性。
保角映射指的是解析函数在某个区域内保持角度关系不变，这在几何学中有广泛的应用。
调和性是解析函数的另一个性质，它表示解析函数的实部和虚部都是调和函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，它在物理学中有着重要的应用，如电势场和热传导等领域。
二、调和函数调和函数是解析函数的实部和虚部，它是复变函数中的一个重要概念。
调和函数具有很多重要的性质，如最大值原理和平均值性质。
最大值原理是指调和函数在区域内取得最大值或最小值时，必定位于边界上，这是调和函数研究中的一个重要结论。
平均值性质是指调和函数在区域内每一点的函数值等于其边界上某一点的函数值的平均值，这也是调和函数的一个特性。
调和函数在实际问题中有广泛的应用，如波动方程和扩散方程的求解，都涉及到调和函数的研究。
此外，在物理学中，调和函数也被广泛应用于电势场和热传导等领域。
通过研究调和函数，我们可以更好地理解和解决实际问题。
三、实例下面我们通过一个实例来说明解析函数和调和函数的应用。
假设有一个矩形区域，边界上施加有电势，我们需要求解这个矩形区域内的电势分布。
首先，我们可以将电势分布表示为复变函数的实部或虚部，即调和函数。
然后，我们可以利用调和函数的性质和边界条件来求解问题。
在实际计算中，我们可以使用数值方法，如有限差分法或有限元法，来求解调和函数的近似解。
《复变函数论》课件 3.4解析函数与调和函数的关系
• 先由 C R 条件中的一个得
vy ux 3x2 3y2
故 v 3x2 y y3 (x)
再由 C R 条件中的另一个得
vx 6xy (x) u y 6xy
• 故 (x) 0,即(x) C,
• 因此 v(x, y) 3x2 y y3 C
• 故 f (z) u iv x3 3xy2 i(3x2 y y3 C) (x iy)3 iC z3 iC
辅导课程八
第四节 解析函数与调和函数的关系
• 问题：
v u 如何选择 与 才能使函数 u iv
在区域D内解析。
• 分析：
设 f (z) u iv 在区域 D 内解析，
u v
u v
得
x y
y x
故有
2u 2v y 2 yx
2u 2v x 2 xy
同理
2u 2u 0
x2 y 2 2v 2v 0 x2 y 2
• 即在 D 内满足拉普拉斯（Laplace）方
程：
u 0, v 0
这里
2 2 x 2 y 2
是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。
பைடு நூலகம்
• 定义3·5 如果二元实函数 H (x, y)
在区域 D 内有二阶连续偏导数，且满足
拉普拉斯方程
H 0
则称 H (x, y)为区域 D 内的调和函数。
• 定理3·19 若
x2
vxx
2xy (x2 y2)2
, v yy
2xy (x2 y2)2
,(x
0)
• 于是
vxx v yy 0, (x 0)
故在右半平面内， v(x, y)
是调和函数。
C R
u(x, y) uxdx (y) vydx (y)
解析函数与调和函数
§4. 解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点: 例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：16、17、18§4. 解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。
因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。
现在我们来研究应该如何选择才能使函数在区域D内解析。
设在区域D上解析，则C--R条件成立，.下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数,两式相加可得同理可得定义3.5若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。
记，则为运算符号，称为拉普拉斯算子。
定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件y v x u ∂∂=∂∂， xv y u ∂∂-=∂∂ 的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义设是区域D 上的解析函数，则，两式相乘得即所以就是说，梯度跟梯度正交. 我们知道，和分别是曲线族“”和“”的法向矢量，因而上式表示“”与“”两族曲线相互正交. 这就解析函数实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。
定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.证 由在内解析知，，从而。
又解析函数具有的无穷可微性保证，在内均连续，故必相等，于是在内。
同理，即，满足拉普拉斯方程。
定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数。
解析调和与级数
§4 解析函数与调和函数的关系一、概念与结论1.定义与定理设()y x g ,具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ygx g 则称()y x g ,为调和函数。
若还有调和函数()y x f ,，与()y x g ,满足柯西——黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。
定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。
证明 设()iv u z f +=解析，∴y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂，且 x x u x u ∂∂=∂∂∂∂22x y v x y v ∂∂∂=∂∂=∂∂2，又()y y yu xv y u ∂-∂=∂∂=∂∂∂∂∂∂22y x v ∂∂∂-=2， 又()z f ' 解析，故二阶偏导连续，从而，02222=∂∂+∂∂y u x u 。
同理可证02222=∂∂+∂∂yvx v 。
反之，如y v x u -==,，易见v u ,满足Laplace 方程，但是，()z yi x z f =-=处处不解析。
例1 若v u ,都是区域D 内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：yvx u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内 A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数解 A.正确。
y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂是()iv u z f +=解析的充要条件。
2.主要题型○1调和函数的正问题和反问题； ○2对给定调和函数，求满足R C -条件：y v x u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂的共轭调和函数，构成解析函数()iv u z f +=。
二、应用举例例 2 证明：22y x u -=为调和函数，并求其共轭及其构成的解析函数iv u +。
证明 02,2;2,2=+⇒-=-===yy xx yy y xx x u u u y u u x u ，∴22y x u -=为调和函数；令xv∂∂()y g xy ydx v y y u +==⇒=∂∂-=⎰222，()y g x y v '+=∂∂∴2，又有()()1,02C y g y g x xu y v =='⇒=∂∂=∂∂ 从而，12C xy v +=；()()1222C xy i y x iv u z f ++-=+=()()C z i C yi x i C yi xyi x +=++=+++=121222即为所求。
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工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.7 解析函数与调和函数的关系教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．理解调和函数与解析函数的关系． 教学重点及难点：重点：调和函数与解析函数的关系．难点：调和函数与解析函数的关系． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.7 解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义定义 (,) x y D ϕ如果二元实变函数在区域内具, 有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220, xyϕϕ∂∂+=∂∂(,) .x y D ϕ那末称为区域内的调和函数调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.二、解析函数与调和函数的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. 证 (),w f z u i v D ==+设为内的一个解析函数 , .u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂那末222222,.u v u v xy xyx y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂从而根据解析函数高阶导数定理, ,u v 与具有任意阶的连续偏导数22,vv y xx y∂∂=∂∂∂∂从而22220,u u xy∂∂+=∂∂22220,v v xy∂∂+=∂∂同理.u v 因此与都是调和函数 [证毕]2. 共轭调和函数的定义 (,) , u x y D 设为区域内给定的调和函数我 u iv +们把使 (,) (,) .D v x y u x y 在内构成解析函数的调和函数称为的共轭调和函数换句话,说 , u v u v D xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂在内满足方程,的两个调和函数中 v u 称为的共轭.调和函数区域D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 3. 偏积分法如果已知一个调和函数 u , 那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v , 从而构成一个解析函数u +vi . 这种方法称为偏积分法.例1 32(,)3 , u x y y x y =-证明为调和函数并求 (,) v x y 其共轭调和函数和.由它们构成的解析函数解 6,uxy x ∂=-∂因为226,u y x∂=-∂2233,u y x y ∂=-∂226,u y y ∂=∂于是 22220,u u xy∂∂+=∂∂(,) .u x y 故为调和函数6,v u xy yx ∂∂==-∂∂因为6d v xy y =-⎰23(),xy g x =-+23(),v y g x x∂'=-+∂v u xy∂∂=-∂∂又因为2233,y x =-+23()y g x '-+2233,y x =-+( )c 为任意常数2 ()3d g x x x =⎰故3,x c =+32(,)3,v x y x xy c =-+得一个解析函数32323(3).w y x y i x xy c =-+-+这个函数可以化为3()().w f z i z c ==+课堂练习 3223(,)632 , .u x y x x yx y y =--+证明为调和函数并求其共轭调和函数 答案 2233(,)362.v x y x yx y y x c =--++( )c 为任意常数。
例2 (,)(c o s s i n ) x v x y e y yx yx y =+++已知为调, 和函数求一解析函数 (), (0)0f z u iv f =+=使解(cos sin sin )1,xv e y y x y y x∂=+++∂(cos sin cos )1,xv e y y y x y y∂=-++∂u v xy∂∂=∂∂由(cos sin cos )1,xe y y y x y =-++得[(cos sin cos )1]d x u e y y y x y x =-++⎰(cos sin )(),xe x y y y x g y =-++, v u xy∂∂=-∂∂由得(cos sin sin )1xe y y x y y +++(sin cos sin )(),xe x y y y y g y '=++-(),g y y c =-+故 (cos sin ),xu e x y y y x y c =-+-+于是()f z u iv =+(1)(1)xiyxiyxe e iye e x i iy i c =++++++(1),zze i z c =+++(0)0, f =由 0,c =得所求解析函数为()(1).zf z ze i z =++4. 不定积分法(,) (,), u x y v x y 已知调和函数或用不定积分求解析函数的方法称为不定积.分法不定积分法的实施过程:() () ,f z u iv f z '=+解析函数的导数仍为解析函数 且()x x f z u iv '=+x y u iu =-y x v iv =+,x y y x u iu v iv z -+把与用来表示()(),x y f z u iu U z '=-=()(),y x f z v iv V z '=+=将上两式积分, 得()()d ,f z U z z c =+⎰ ()()d ,f z V z z c =+⎰(),u f z 适用于已知实部求 (),v f z 适用于已知虚部求例3 22, . , () k u x ky v f z u iv =+=+求值使为调和函数再求使为解析函, 数() 1 ().f i f z =-并求的解 2,ux x ∂=∂因为 222,u x∂=∂2,u ky y∂=∂222,u k y∂=∂根据调和函数的定义可得1,k =-因为()()x y f z U z u iu '==-22x kyi =-22x kyi =-22x yi =+ 2,z =()2d f z z z =⎰根据不定积分法2,z c =+ ()1,f i =-由 0,c =得所求解析函数为222()2.f z x y xyi z =-+=例4 用不定积分法求解例1中的解析函数()f z 32(,)3. u x y y x y =-实部解 ()()x y f z U z u iu '==-223(2)i x xyi y =+-23,iz =2()3d f z izz =⎰31,iz c =+( () , f z 因为的实部为已知函数不可能包含, 实的任意常数所以1 c 常数为 )任意纯虚数，故3()().f z i z c =+( )c 为任意实常数例5 用不定积分法求解例2中的解析函数()f z 虚部 (,)(c o s s i n )xv x y e y y x y x y=+++ 解 ()()y x f z V z v iv '==+(c o s s i n c o s )x e y y y x y =-++ [(cos sin sin )1]xi e y y x y y ++++(cos sin )()sin ()cos 1xxxe y i y i x iy e y x iy e y i =+++++++ (cos sin )()[cos sin ]1xxe y i y x iy e y i y i =++++++ ()1x iy x iyex iy ei ++=++++1,z ze ze i =+++()()d f z V z z =⎰(1)d zzeze i z =+++⎰(1).zze i z c =+++( ) c 为任意实常数例6 22()(4)2(), ().u v x y x xy y x y f z u iv +=-++-+=+已知试确定解析函数 解 两边同时求导数22(4)()(24)2,x x u v x xy y x y x y +=+++-+-22(4)()(42)2,y y u v x xy y x y x y +=-+++-+-, ,u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂且所以上面两式分别相加减可得22332,y v x y =--6,x v xy =()y x f z v iv '=+223326x y xyi =--+232,z =-2()(32)d f z zz =-⎰32.z z c =-+( ) c 为任意实常数作业和思考题：第三章习题 23；302)．课后小结：本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:1. 任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u +iv 不一定是解析函数.2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy , vx= –uy ,的v 称为u 的共轭调和函数, u 与v 注意的是地位不能颠倒.。