二阶自回归信号模型AR
6.3 AR,MA,ARMA模型
E(
t
)
0,Var
(
t
)
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exst 0,s t
特别当 0 =0 时，称为中心化 ARMA(p, q) 模型
qtq
。 中心化模型可以简记为 (B)xt (B)t
其中，p阶自回归系数多项式 (B) 11B 2B2 p B p
自相关系数图
偏自相关系数图
二阶截尾
拖尾
ARMA模型（Auto Regression Moving Average Model）
具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为 ARMA(p, q):
xt 0 1xt1 p xt p t 1t1
p 0, q 0
(B)xt t
其中自回归系数多项式
(B) 1 1B 2B2
p B p
由AR(p)模型有： Ext E(0 1xt1
若序列为平稳序列，εt 为白噪声序列
可推导出
Ext , E(t ) 0
0
11
p
,t T
p xt p t )
时间序列分析
之AR，MA，ARMA模型
AR模型
M A 模型
ARM A 模 型
AR模型 (Auto Regression Model)
具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR( p)
xt 0 1xt1 2xt2 p xt p t
p 0
q阶移动平均系数多项式 (B) 11B 2B2 q Bq
r语言向量自回归模型预测
r语言向量自回归模型预测1.引言1.1 概述概述部分：自回归模型（AR model）是时间序列分析中常用的一种模型，用于描述时间序列之间的自相关关系。
R语言作为一种功能强大的统计分析工具，在时间序列分析方面也有广泛的应用。
本文将探讨如何使用R语言中的向量自回归模型进行预测。
在时间序列分析中，自回归模型是基于时间序列数据的过去观测值进行预测未来观测值的一种方法。
它通过统计时间序列的自相关性来建立数学模型，并利用该模型对未来的观测值进行推断。
与其他模型相比，自回归模型具有较强的灵活性和可解释性，因此被广泛应用于经济学、气象学、金融学等领域的预测和分析任务中。
R语言是一种开源的数据分析和统计计算工具，具有丰富的统计分析函数和库。
它提供了诸多用于时间序列分析的函数和方法，包括自回归模型的建立、参数估计、模型诊断和预测等功能。
使用R语言进行时间序列分析可以方便、高效地实现复杂的模型构建和分析任务。
本文将首先介绍R语言中的向量概念，解释其在时间序列分析中的重要性和应用场景。
然后，我们将详细介绍自回归模型的基本原理和建模方法，包括模型的选择、参数估计和模型诊断等方面的内容。
最后，我们将通过实例演示如何使用R语言中的自回归模型进行时间序列数据的预测，并对预测结果进行分析和评价。
通过本文的阅读，读者将能够了解R语言中向量自回归模型的基本概念和原理，掌握其建模和预测的方法，为实际问题的处理提供有力的工具和方法。
本文的目的是帮助读者理解和掌握R语言中向量自回归模型的应用，以及在实际工作和研究中如何使用该模型进行时间序列数据的预测和分析。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述：首先，在引言部分，我们将概述R语言向量自回归模型预测的背景和意义。
我们将介绍自回归模型的基本概念和原理，以及R语言中处理向量数据的能力。
在正文的第一部分，我们将深入探讨R语言向量的概念和特点。
我们将介绍R语言中的向量数据结构以及向量运算的基本操作。
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。
(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。
式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt 依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。
(2)识别条件当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。
实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。
(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。
二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。
φ越大，自回归过程的波动影响越持久。
(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
二阶自回归信号模型AR(2)
二阶自回归信号模型AR （2）一 、二阶自回归信号模型二阶自回归信号模型（AR2）：)()2(2)1(1n n n n w x a x a x =++--，其中，1a ，2a 为实数，)(n w 是零均值，方差2wσ的白噪声。
由此可以求出滤波器的传递函数为2122221111)(a z a z z z a z a z H ++=++=-- 可求得极点：)4(21,221121a a a p p -±-=要使系统稳定，两个极点21,p p 都必须在单位圆里面，则21,a a 的取值在（112≤≤-a ,121a a -≤-,121a a +≤-,04221≥-a a ）包含的区域里。
（21,a a ）分别取（-0.1，-0.8），（0.1，-0.8），（-0.975，0.95）。
二、通过matlab 软件运行并分析结果。
1、程序及其在MATLAB 上运行的图 1.1、当8.0,1.021-=-=a a 时 程序如下：N=1000;x=normrnd(0,1,N,1);b=[1];a=[1,-0.1,-0.8];y=filter(b,a,x); x_mean=mean(x);x_variance=var(x); y_mean=mean(y); y_variance=var(y); x_autocorr=xcorr(x,x,'biased'); y_autocorr=xcorr(y,y,'biased'); x_Psd=abs((fft(x))).^2/N; y_Psd=abs((fft(y))).^2/N;subplot(3,2,1);plot(x(1:200));title('经过滤波器前的x 的波形图'); xlabel('n');ylabel('x');subplot(3,2,2);plot(y(1:200));title('经过滤波器后的y 的波形图'); xlabel('n');ylabel('y');subplot(3,2,3);plot(-100:100,x_autocorr(900:1100)); title('x 的自相关图');xlabel('x');ylabel('x-autocorr'); subplot(3,2,4);plot(-100:100,y_autocorr(900:1100)); title('y 的自相关图');xlabel('y');ylabel('y-autocorr'); subplot(3,2,5);plot(x_Psd);title('x 的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('x_Psd'); subplot(3,2,6);plot(y_Psd);title('y 的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('y_Psd'); 在matlab 上运行的图如下：图一1.2、当8.0,1.021-==a a 时程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a 改为a=[1,0.1,-0.8]。
自回归过程的性质
上式说明系统是怎样记忆扰动at
上式中的系数客观的描述了该系统的动态性， 故这个系数称为记忆函数（格林函数），
AR(1)模型的格林函数可表示为
Gj 1 j
平稳序列的这种表示形式，称为“传递形
式”，（用无穷阶MA模型来逼近有限阶AR模
型）
10
格林函数的意义
➢是前j个时间单位以前进入系统的扰动对系统现 在的影响；
18
4
2
0
-2
-4
-6 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图
19
呈指数衰减
例1：模拟生成的 AR(1)过程自相关图::
(1 0.85B)xt at 或 xt 0.85xt1 at
其中1 0.85
20
例2，下面两图表分别是模拟生成的249个数据 如下AR(1)过程趋势图和自相关图
25
对于j 1, 2,L k,我们有如下方程组
1 k10 k 21 L kk k1
L
2 L
k11
k 2 0
L
kk k 2
k k1k1 k 2k 2 L kk 0
此方程称为Yule Wol ker 方程,kk即为偏自相关函数
26
对于k 1,2, k,由Gramer法则可得
11 1
假设E(xt ) 0,且xt与xt1, xt2 , xtk1, xtk间存在线性关系,
则有 : xt k1xt1 k 2 xt2 x kk1 tk1 kk xtk et 上式中,ki为第i个回归系数, et为正态误差项,
且 cov(et , xt j ) 0 ( j 1)
上式中的kk也就是xt和xtk间的偏自相关系数.
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
自回归模型(ar)python求解系数
自回归模型(ar)python求解系数自回归模型（AR）是一种经典的时间序列预测模型，它基于时间序列的自相关性来进行预测。
在本文中，我们将介绍AR模型的基本原理，并使用Python编程语言来求解AR模型的系数。
一、AR模型的基本原理自回归模型是一种基于时间序列的预测模型，它假设未来的观测值与过去的观测值之间存在一定的关系。
AR模型的核心思想是利用过去观测值的线性组合来预测未来观测值。
具体而言，AR模型可以表示为：Y_t = c + φ_1 * Y_{t-1} + φ_2 * Y_{t-2} + ... + φ_p * Y_{t-p} + ε_t其中，Y_t表示时间点t的观测值，c表示常数项，φ_1, φ_2, ..., φ_p表示AR模型的系数，p表示AR模型的阶数，ε_t 表示误差项。
二、AR模型的求解AR模型的求解主要包括两个步骤：模型拟合和模型评估。
1. 模型拟合模型拟合的目标是通过最小化误差项来求解AR模型的系数。
常用的方法是最小二乘法（OLS），即通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来求解系数。
在Python中，我们可以使用statsmodels包中的AR函数来进行AR模型的拟合。
2. 模型评估模型评估的目标是判断AR模型的拟合效果是否良好。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）、残差的白噪声检验等。
在Python中，我们可以使用statsmodels包中的相应函数来进行模型评估。
三、使用Python求解AR模型系数的示例下面我们通过一个简单的示例来演示如何使用Python求解AR模型的系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pdimport statsmodels.api as sm# 生成AR模型的数据np.random.seed(0)n = 1000e = np.random.randn(n)Y = np.zeros(n)Y[0] = 0Y[1] = 1for t in range(2, n):Y[t] = 0.6 * Y[t-1] + 0.3 * Y[t-2] + e[t]# 拟合AR模型model = sm.tsa.AR(Y)result = model.fit(maxlag=2, method='mle')# 输出模型的系数print(result.params)```在上述代码中，我们首先生成了一个AR模型的数据，然后使用statsmodels包中的AR函数拟合了AR模型，并通过调用fit方法求解了AR模型的系数。
自回归（Autoregressive，AR）模型非自回归（Non-autoregressi。。。
⾃回归（Autoregressive ，AR ）模型⾮⾃回归（Non-autoregressi 。
前⾔回归分析（regression analysis ）是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的⼀种统计分析⽅法，运⽤⼗分⼴泛。
回归分析按照涉及的⾃变量的多少，可分为⼀元回归分析和多元回归分析；按照⾃变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和⾮线性回归分析。
回归(regression)：Y 变量为连续数值型(continuous numerical variable)。
应⽤现状⽬前主流的神经机器翻译模型为⾃回归模型，每⼀步的译⽂单词的⽣成都依赖于之前的翻译结果，因此模型只能逐词⽣成译⽂，翻译速度较慢。
Gu 等⼈提出的⾮⾃回归神经机器翻译模型(NAT)对⽬标词的⽣成进⾏独⽴的建模，因此能够并⾏解码出整句译⽂，显著地提升了模型的翻译速度。
然⽽，⾮⾃回归模型在翻译质量上与⾃回归模型有较⼤差距，主要表现为模型在长句上的翻译效果较差，译⽂中包含较多的重复词和漏译错误等。
⾮⾃回归(Non-autoregressive ，NAR)模型并⾏⽣成序列的所有标记，与⾃回归(AR)模型相⽐，⽣成速度更快，但代价是准确性较低。
在神经机器翻译(neural machine translation ，NMT)、⾃动语⾳识别(automatic speech recognition ，ASR)和语⾳合成(TTS)等不同的任务中，⼈们提出了包括知识提取和源-⽬标对齐在内的不同技术来弥补AR 和NAR 模型之间的差距。
在这些技术的帮助下，NAR 模型可以在某些任务中赶上AR 模型的准确性，但在其他任务中则不能。
ARAR 模型，即⾃回归（AutoRegressive, AR ）模型⼜称为时间序列模型，数学表达式为:y (t )=n∑i =1a i y (t −i )+e (t )此处的n 表⽰n 阶⾃回归。
AR 模型是⼀种线性预测，利⽤前期若⼲时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻随机变量的线性回归模型。
时间序列分析试卷及答案
时间序列分析试卷及答案时间序列分析试卷1一、填空题（每小题2分, 共计20分）1.ARMA(p,q)模型是一种常用的时间序列模型, 其中模型参数为p和q。
2.设时间序列{Xt}, 则其一阶差分为Xt-Xt-1.3.设ARMA (2.1): Xt=0.5Xt-1+0.4Xt-2+εt-0.3εt-1, 则所对应的特征方程为1-0.5B-0.4B^2+0.3B。
4.对于一阶自回归模型AR(1):Xt=10+φXt-1+εt, 其特征根为φ, 平稳域是|φ|<1.5.设ARMA(2.1):Xt=0.5Xt-1+aXt-2+εt-0.1εt-1, 当a满足|a|<1时, 模型平稳。
6.对于一阶自回归模型Xt=φXt-1+εt, 其平稳条件是|φ|<1.7.对于二阶自回归模型AR(2):MA(1):Xt=εt-0.3εt-1, 其自相关函数为Xt=0.5Xt-1+0.2Xt-2+εt, 则模型所满足的XXX-Walker方程是ρ1-0.5ρ2=0.2, ρ2-0.5ρ1=1.8.设时间序列{Xt}为来自ARMA(p,q)模型: Xt=φ1Xt-1+。
+φpXt-p+εt+θ1εt-1+。
+θqεt-q, 则预测方差为σ^2(1+θ1^2+。
+θq^2)。
9.对于时间序列{Xt}, 如果它的差分序列{ΔXt}是平稳的, 则Xt~I(d)。
10.设时间序列{Xt}为来自GARCH(p,q)模型, 则其模型结构可写为σt^2=α0+α1εt-1^2+。
+αpεt-p^2+β1σt-1^2+。
+βqσt-q^2.二、（10分）设时间序列{Xt}来自ARMA(2,1)过程, 满足(1-B+0.5B^2)Xt=(1+0.4B)εt, 其中{εt}是白噪声序列, 并且E(εt)=0, Var(εt)=σ^2.1）判断ARMA(2,1)模型的平稳性。
根据特征方程1-φ1B-φ2B^2, 求得其根为0.5±0.5i, 因此模型的平稳条件是|φ1-0.5i|<1和|φ1+0.5i|<1, 即-1<φ1<1.因为0.5i不在实轴上, 所以模型不是严平稳的, 但是是宽平稳的。
自回归模型AR详解哦
自回归模型AR(p)的整体估计【摘要】：主要讨论时间序列的自回归模型AR(p)的参数估计问题，列出常用的普通最小二乘估计。
但实际的观测值是含有随机误差的，且与自身前一个或前几个时刻的观测值有关或有依赖性，都要考虑其所含的随机误差，所以引入整体最小二乘法的思想进行参数估计，得出相应的公式，最后并以算例加以验证与分析讨论。
关键词：自回归模型；参数估计；整体最小二乘估计；A Total Least Square Estimation of Autoregressive ProcessesAbstract:It discusses mainly the time series autoregressive model AR (p) of the parameter estimation problem, listing commonly used ordinary least squares estimation. But the actual observation contains random error, and with their own previous or the first few moments of the observations relating to, or dependent,so we must take into account the random error it contains.We introduce the total least squares parameter Estimates, and obtain the corresponding formula . In the last give the example to the verification and analysis.Key words: autoregressive process; estimation of parameter; total least square estimation;0 引言时间序列分析的目标就是通过分析要素(变量)随时间变化的历史过程, 揭示其变化发展规律, 并对未来状态进行分析预测[1]。
ar模型预测实例
AR模型预测实例引言自回归模型（Autoregressive Model）是一种常用于时间序列数据的预测模型。
该模型通过分析过去一段时间的数据来预测未来的值。
在计量经济学、金融学、自然语言处理等领域，AR模型经常被用于预测价格、股票走势、文本生成等任务。
本文将介绍AR模型的基本原理，并通过实例展示其预测能力。
什么是自回归模型自回归模型是一种基于时间序列数据的预测模型，它假设当前观测值与过去观测值之间存在一种线性关系。
简单来说，自回归模型假设过去一段时间的数据可以用来预测未来的值。
AR模型的基本原理AR模型的基本思想是通过过去几个时间点的观测值来预测下一个时间点的观测值。
AR模型的一阶形式可表示为：y t=c+ϕ1y t−1+ϵt其中，y t代表当前时间点的观测值，c是常数，ϕ1是模型的参数，y t−1是上一个时间点的观测值，ϵt是误差项。
误差项表示无法用过去观测值解释的随机波动。
对于更高阶的AR模型，可以引入更多的滞后项：py t−i+ϵty t=c+∑ϕii=1其中，p是滞后阶数。
AR模型的滞后阶数决定了过去观测值对当前观测值的影响程度。
具体的参数可以通过对历史数据进行估计得到。
AR模型的实例：气温预测为了更好地理解AR模型的预测能力，我们以气温预测为例。
假设我们有每天的气温观测数据，我们希望利用过去几天的数据来预测未来一天的气温。
数据准备首先，我们需要准备一段时间（比如一年）的气温观测数据作为训练数据。
可以从气象部门、气象网站等渠道获取这些数据。
数据分析接下来，我们需要对数据进行分析，了解其特征和规律。
可以通过画时间序列图、计算统计指标等方式对数据进行初步探索。
模型训练在数据分析的基础上，我们可以使用AR模型对气温数据进行建模和训练。
根据数据的特点，选择适当的滞后阶数p和模型参数进行训练。
可以使用最小二乘法等方法来估计参数。
模型评估训练完成后，我们需要对模型进行评估，判断其预测准确度。
可以使用各种指标如均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）等来评估模型的性能。
AR模型和高斯马尔科夫模型的区别
AR模型与高斯马尔科夫模型的区别AR 模型(Autoregressive)即自回归模型是由Chen 和Yap 发展出的一种比较有效的支持域估计方法，通过AR 模型参数构建一个滤波器，对模糊图像滤波，之后对其进行自相关操作，通过得到的自相关曲线得到支持域信息。
高斯马尔科夫模型估计方法与AR 模型估计方法相似，通过高斯马尔科夫模型参数构建一个滤波器，对图像滤波后采取相同自相关法得到支持域信息。
两个方法在得到滤波器后是一致的，主要区别在于如何求得该滤波器。
下面简单说明下两种滤波器的构建。
1．AR 模型在二维图像上AR 模型描述为由一组图像序列121{,,,,,,}i i p f f f f f 构建一幅图像，即，其中由图像循环移位得到，将此公式变形，即得到。
其中a 是相关系数构成的列向量，比如二阶邻域就有8个系数，按字典次序排列，一阶为4个，F 是由图像f 经过一系列移位得到，有：二阶邻域表示图像分别向左向上移位、向上移位、向右向上移位……向右向下移位之后按字典排列次序排列的列向量，H 大小为MN*8，w 为加性高斯白噪声。
经过推导得到：其中G 与F 具有相同的结构，大小为MN*8，a 即为所求相关系数，推导得到够成L,即因此得到的卷积后图像其中w 远大于n ，因此H 在r 中的特性得以显现，自相关后即可得到支持域信息。
2 高斯马尔科夫模型高斯马尔科夫模型的卷积后图像r 同样为主要区别在于之前对L ，也即相关系数a 的求解。
根据高斯马尔科夫模型，高斯马尔可夫随机场的条件概率密度表示为其中RN为邻域，B为相关系数矩阵，该式表明高斯马尔科夫模型中一个像元的灰度值只与与该像元相邻的邻域像元决定，因此图像可表示为，结合退化图像g，得到，与AR模型方法类似，令，得到如何求得相关系数B是与AR模型区别最大的地方，这里采取极大伪似然发，即使影像总概率最大，有由高斯马尔科夫模型其中，因为所求滤波器为对称平面。
取对数得到对各参数求偏导，另等于0，即可得到求的B的个系数，够成r，之后过程与AR模型相同。
ar模型的正则方程例题
ar模型的正则方程例题当我们使用自回归（AR）模型进行时间序列分析时，可以通过求解正则方程来估计模型的参数。
下面我将给出一个关于AR模型正则方程的例题，并从多个角度进行全面的回答。
假设我们有一个二阶自回归模型，表示为AR(2)模型，形式如下：y(t) = c + φ1 y(t-1) + φ2 y(t-2) + ε(t)。
其中，y(t)表示时间点t的观测值，c是常数项，φ1和φ2是模型的参数，ε(t)是误差项。
现在我们的目标是估计模型的参数φ1和φ2。
为了求解这个问题，我们可以使用最小二乘法来拟合模型。
最小二乘法的目标是使观测值与模型预测值之间的差异最小化。
下面是一个具体的例题：假设我们有以下观测数据：t y(t)。
1 2.0。
2 3.1。
3 4.5。
4 5.9。
5 7.2。
我们可以根据这些数据来估计AR(2)模型的参数。
首先，我们需要构建正则方程。
正则方程的形式是一个线性方程组，其中每个方程对应一个观测值。
对于AR(2)模型，我们有5个观测值，所以我们将得到5个方程。
根据AR(2)模型的形式，我们可以写出每个方程：方程1，2.0 = c + φ1 y(0) + φ2 y(-1) + ε(1)。
方程2，3.1 = c + φ1 y(1) + φ2 y(0) + ε(2)。
方程3，4.5 = c + φ1 y(2) + φ2 y(1) + ε(3)。
方程4，5.9 = c + φ1 y(3) +φ2 y(2) + ε(4)。
方程5，7.2 = c + φ1 y(4) + φ2 y(3) + ε(5)。
其中，y(0)、y(-1)、y(1)等表示对应时间点的观测值，ε(1)、ε(2)等表示对应时间点的误差项。
接下来，我们将这些方程转化为矩阵形式，以便求解参数。
我们定义一个矩阵X，其中每一行对应一个方程的系数，定义一个向量y，其中每个元素对应方程的右侧常数项。
那么我们可以将方程组写成矩阵形式，X β = y，其中β是参数向量。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
安全生产标准化通用规范编制说明
r1
k 1
kk
rk
k 1, j
j 1
rk j
k 1
1
k 1, j
j 1
rk j
k 1 k 2,3,
偏自相关系数kk ，可看作自变量 k 的函数，即偏自相关函数， 1 kk 1。它用以测量当剔除其他滞 后期（ t 1, 2,3, , k 1）的干扰的条件下，Yt 与Ytk 之间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采 用偏自相关分析图来对模型进行识别。
安全生产标准化通用规范编制说明
1 适用于平稳时序的三种基本模型
BOX-JENKINS 预测法
（1） AR( p) 模型（Auto regression Model）——自回归模型 p 阶自回归模型：
式中， 为时间序列第 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量； ， 后序列，这里作为自变量或称为解释变量； 是随机误差项； ， ， ，
3.1 自相关函数
自相关是时间序列Y1,Y2, Yt 诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样， 只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。自相关程度的大小，用自相关系数 rk 度量。
nk
( yt y)( ytk y)
rk t1 n
( yt y)2
t 1
式中， n 为样本数据的个数； k 为滞后期； y 为样本数据平均值。 自相关系数 rk ，可看作自变量 k 的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞后 k 个时间段的两项之间相 关的程度。如 r1 表示每相邻两项间的相关程度； r2 表示每隔一项的两个观察值得相关程度。 随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以 0 为均值，1 n 为标准差的正态分布。自相关系数的 95% 置信区间为 (1.96 ,1.96 ) ，此处 1 n 。如果一个时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则 认为该序列是纯随机序列。 将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用 2 倍标准差作为置信区间的两 个端点），被称作自相关分析图。
ar2偏自相关系数推导
ar2偏自相关系数推导AR(2)模型是一个自回归模型，它包含两个滞后变量。
在这个模型中，当前观测值与前两个观测值的自相关关系相互影响。
为了推导AR(2)模型的偏自相关系数，我们需要先了解“偏自相关系数（Partial Autocorrelation Coefficient, PACF）”的定义和计算方法。
偏自相关系数是指在自回归模型中，去除其他变量的影响，仅考虑该变量与当前变量的自相关关系的系数。
PACF的计算可以通过Yule-Walker方程或Durbin-Levinson算法完成。
在这里，我们将采用Durbin-Levinson算法。
假设我们有一个AR(2)模型：$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$其中，$\phi_1$和$\phi_2$为自回归系数，$\epsilon_t$为误差项。
要计算PACF，我们需要首先将模型转化为一个等价的MA（moving average）模型：$y_t = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \epsilon_{t-j}$其中，$\psi_0 = 1$，$\psi_1 = \phi_1$，$\psi_2 = \phi_2$，$\psi_j = 0$（$j>2$）。
接下来，我们可以使用Durbin-Levinson算法计算PACF。
该算法的基本思想是，利用递推公式计算AR(p)模型的偏自相关系数，其中p为模型的阶数。
具体来说，对于AR(p)模型的偏自相关系数，我们可以将其表示为：$\phi_{kk} = \frac{r_k - \sum_{j=1}^{k-1}\phi_{k-1,j}r_{k-j}}{1 - \sum_{j=1}^{k-1}\phi_{k-1,j}\phi_{k-1,k-j}}$其中，$r_k$为自相关系数，$\phi_{k-1,j}$为AR(p-1)模型的第j个自回归系数，$\phi_{k-1,k-j}$为AR(p-1)模型的第k-j个自回归系数。
平稳金融时间序列：AR模型
如果一个白噪音过程还满足正态分 布的条件，即服从正态分布，这样的 过程称为高斯白噪音过程。例如： 2 y1, y2 ,L , yT , yt : N (0, ) 就是一个典型的样本为T的白噪音过程。
3.2 一阶自回归模型:AR（1） 3.2.1 AR（1）过程的基本定义和性质 AR（1）模型可以写成：
3.1.4 白噪音过程（white noise process） 一个随机过程如被称为白噪音过程， 则组成该过程的所有随机序列彼此互相独 立，并且均值为0，方差为恒定不变值。 yt 如果满足下列条件 即对于所有时间t， (i) E( yt ) 0 (ii) Cov( yt , yt j ) 0, j 0 2 (iii) Var ( yt ) 0 则 yt 是白噪音过程。
3.3 二阶自回归模型:AR（2） 3.3.1 AR（2）过程的基本定义和性质
yt c 1 yt 1 2 yt 2 t
t : iid (0, )
2
yt c 1 Lyt 1 2 Lyt 2 t (1 1 L 2 L) yt c yt t 与滞后算子多项式（ 1 1 L 2 L）对应 的特征方程(characteristic equation)为
3 2 1 0 -1 -2 -3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ALPHA=0.6
图3.7（c）
8 4 0 -4 -8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ALPHA=0.9
图3.7（d）
8 ALPHA=1.0 4 0 -4 -8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
yt c yt 1 t
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法（1）()AR p 模型（AutoregressionModel ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的（2）q t e ，1t e -，2t e -均参数。
（3）归模型改进的（1（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
在SPSS19.0中的操作如下● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。
（3）ARIMAX 模型在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。
模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与S 的取值。
借助于自相关函数（AutocorrelationFunction,ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（PartialCorrelationFunction,PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。
自相关函数k r关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，2步时，差分选项选择1或2。
偏自相关函数偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关。
由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。
ar特征方程
ar特征方程AR 特征方程自回归模型（AutoRegressive Model，简称 AR 模型）是时间序列分析领域中常用的模型之一。
AR 模型的核心是使用过去时刻的观测值来预测当前时刻的观测值。
在 AR 模型中，一个重要的概念是 AR 特征方程，它描述了时间序列数据的动态特性。
本文将详细介绍 AR 特征方程的定义、性质和应用。
AR 特征方程的定义AR 模型可以用数学公式表示为：X_t = c + φ_1*X_{t-1} + φ_2*X_{t-2} + ... + φ_p*X_{t-p} + ε_t其中，X_t 是时间序列在时刻 t 的观测值，c 是一个常数，ε_t 是误差项，ε_t 是一个满足独立同分布假设的白噪声序列。
φ_1, φ_2, ..., φ_p 是 AR 模型的参数，表示过去 p 个时刻的观测值对当前时刻观测值的影响权重。
在 AR 模型中，AR 特征方程是根据模型中的参数定义的。
AR(p) 模型的 AR 特征方程可以写作：1 - φ_1*Z - φ_2*Z^2 - ... - φ_p*Z^p = 0其中，Z 是一个复变量。
AR 特征方程的性质AR 特征方程具有以下性质：1. 阶数的确定：AR 特征方程的阶数 p 确定了 AR 模型的阶数。
方程中的最高次幂 Z 的系数不为零的次数就是 AR 模型的阶数。
2. 特征根的求解：AR 特征方程的解是特征根（或零点），它们可以通过求解方程得到。
AR 模型的特征根决定了模型的特性，例如平稳性、可逆性等。
3. 平稳性的判断：AR 模型的平稳性与特征根的位置有关。
如果特征根都在单位圆内（即绝对值小于 1），则 AR 模型是平稳的；如果特征根有在单位圆外的，则 AR 模型是非平稳的。
4. 反转的性质：对于 AR 模型，如果所有特征根都在单位圆内，那么 AR(p) 模型可以被逆向为 MA(q) 模型，其中 q 是一个无穷大的值。
AR 特征方程的应用AR 特征方程在时间序列分析中具有重要的应用：1. 模型识别：通过对时间序列数据进行模型拟合，可以得到 AR 模型的参数估计值。
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二阶自回归信号模型AR （2）一 、二阶自回归信号模型二阶自回归信号模型（AR2）：)()2(2)1(1n n n n w x a x a x =++--，其中，1a ，2a 为实数，)(n w 是零均值，方差2wσ的白噪声。
由此可以求出滤波器的传递函数为2122221111)(a z a z z z a z a z H ++=++=-- 可求得极点：)4(21,221121a a a p p -±-=要使系统稳定，两个极点21,p p 都必须在单位圆里面，则21,a a 的取值在（112≤≤-a ,121a a -≤-,121a a +≤-,04221≥-a a ）包含的区域里。
（21,a a ）分别取（-0.1，-0.8），（0.1，-0.8），（-0.975，0.95）。
二、通过matlab 软件运行并分析结果。
1、程序及其在MATLAB 上运行的图 1.1、当8.0,1.021-=-=a a 时 程序如下：N=1000;x=normrnd(0,1,N,1);b=[1];a=[1,-0.1,-0.8];y=filter(b,a,x); x_mean=mean(x);x_variance=var(x); y_mean=mean(y); y_variance=var(y); x_autocorr=xcorr(x,x,'biased'); y_autocorr=xcorr(y,y,'biased'); x_Psd=abs((fft(x))).^2/N; y_Psd=abs((fft(y))).^2/N;subplot(3,2,1);plot(x(1:200));title('经过滤波器前的x 的波形图'); xlabel('n');ylabel('x');subplot(3,2,2);plot(y(1:200));title('经过滤波器后的y 的波形图'); xlabel('n');ylabel('y');subplot(3,2,3);plot(-100:100,x_autocorr(900:1100)); title('x 的自相关图');xlabel('x');ylabel('x-autocorr'); subplot(3,2,4);plot(-100:100,y_autocorr(900:1100)); title('y 的自相关图');xlabel('y');ylabel('y-autocorr'); subplot(3,2,5);plot(x_Psd);title('x 的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('x_Psd'); subplot(3,2,6);plot(y_Psd);title('y 的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('y_Psd'); 在matlab 上运行的图如下：图一1.2、当8.0,1.021-==a a 时程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a 改为a=[1,0.1,-0.8]。
在matlab 上运行的图如下：图二1.3、当95.0,975.021=-=a a 时程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a 改为a=[1,-0.975，0.95]。
在matlab 上运行的图如下：图三2、结果分析 2.1、自相关分析可以用[r,p,k]=residue([1,0],[1,a 1,a 2])函数求出H(z)的极点21,p p 和系数21,r r ，则H(z)可以分解为：2211)(p z zr p z z r z H -+-=，系统的冲击响应：)()()(2211n u p r p r n h nn+=，可以求出其自相关为：)p -(1)()p -(1)p -(1)(21||2||12122||22221||121p p p r r p r p r m rhh m m m m +++=。
根据极点计算公式，可求出三种情况下不同的极点：①当a1=-0.1 a2=-0.8时，利用residue 函数求出传递函数H(z)的极点[r,p,k]=residue([1,0],[1,-0.1,-0.8])，得到： r = p = k = 0.5279 0.9458 [ ] 0.4721 -0.8458此时，H(z)=0.5279z/(z-0.9458)+0.4721z/(z+0.8458)，由此可以得到系统的冲击响应：h(n)=(0.5279*0.9458n +0.4721*(-0.8458) n )*u(n) 冲击响应函数的自相关函数为：r hh (m)=0.52792*0.9458|m|/(1-0.94582)+0.47212*(-0.8458)|m|/[1-(-0.8458)2]+0.5279*0.4721*[0.9458|m |+(-0.8458)|m |]/(1+0.9458*0.8458) =2.7808*0.9458|m|+0.9215*(-0.8458)|m |由于极点的绝对值小于1，而且r hh (m)为0.9458|m|和(-0.8458)|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。
由于包含有正负极点，正极点的绝对值较大，则自相关函数在衰减的同时出现小幅度波动，且大部分波动都是在零以上波动。
②当a 1=0.1 a 2=-0.8时，[r,p,k]=residue([1,0],[1,0.1,-0.8])，得到 r = p = k =0.5279 -0.9458 [] 0.4721 0.8458 则同理可以得到 r hh (m)= 2.7808*(-0.9458)|m|+0.9215*0.8458|m|由于极点的绝对值小于1，而且r hh (m)为(-0.9458)|m|和0.8458|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。
由于包含有正负极点，正极点的绝对值较小，则自相关函数在衰减的同时出现波动，且波动都是在零上下波动。
③当a1=-0.975 a2=0.95时：[r,p,k]=residue([1,0],[1,-0.975,0.95])r = p = k = 0.5000-0.2888i 0.4875 + 0.8440i [] 0.5000+0.2888i 0.4875 - 0.8440i此时p1=p2*，p1=0.9747e1.049i，p2=0.9747e-1.049i)p -(1)()p -(1)p -(1)(21||2||12122||22221||121p p p r r p r p r m rhh m m m m +++=。
其中:r 1=0.5774e-0.5238i,r 2=0.5774e 0.5238i,p 1=0.9747e1.049i,p 2=0.9747e -1.049i。
此时极点为一对共轭复极点，极点的模值小于1，r hh (m)是复极点的的|m|次方的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减，幅度会越来越小。
共轭极点的模为r=0.9747，幅角频率ω=1.049，则自相关函数会按照模r 指数同时以频率ω振荡衰减。
2.2、功率谱分析功率谱密度为0到2π间的频率分布，图中相当于把2π分为1000等份，起点为1对应低频，终点为1000对应低频，中间点501对应高频（π）。
① 当a1=-0.1 a2=-0.8时))((|)()(212p e p e e z H e H jw jw jwez jw wj --===则：|8458.0||9458.0|1)(+-=jw jw jw e e e H由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱2)()(w jw xx e H w p σ=在w=0和π出现峰值，w=0时极点0.9458离单位圆距离比w=π时极点-0.8458离单位圆的距离小，则此时正极点作用大，w=0时|H(e jw)|最大。
即|H(e jw)|在低频时分量较大，可以看作其具有低通性质。
得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。
② 当a1=0.1 a2=-0.8时))((|)()(212p e p e e z H e H jw jw jwez jw wj --===则：|8458.0||9458.0|1)(-+=jw jw jw e e e H由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱2)()(w jw xx e H w p σ=在w=0和π出现峰值，w=0时极点-0.9458离单位圆距离比w=π时极点0.8458离单位圆的距离小，则此时负极点作用大，w=π时|H(e jw)|最大。
即|H(e jw)|在高频时分量较大，可以看作其具有高通性质。
得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。
③ 当a1=-0.975 a2=0.95时))((|)()(212p e p e ez H e H jw jw jwe z jw w j --=== 则：|0.9747e ||0.9747e |1)( 1.049i -1.049i --=jw jw jw e e e H此时极点是一对共轭极点，所以功率谱2)()(w jw xx e H w p σ=在w=1.049和-1.049处出现峰值。
在本次实验中，可以计算出在n 1=(1.049/2π)×1000=167,n 2=[(2π-1.049)/2π]×1000=833处出现峰值，由此可以得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。