微积分学PPt标准课件26-第26讲定积分的计算
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大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
定积分与微积分基本定理 课件
【解析】 (2)由定积分的几何意义知,
3
1
和 x=1,x=3,y=0 围成的图形的面积,∴
3
1
3 1 2
dx=2·
= .
3 0 3
2
x
3 + 2- 2 dx 表示半圆(x-1)2+y2=4(y≥0)
1
4
3 + 2- 2 dx= ×π×4=π.
点拨：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
为了方便,常把 F(b)-F(a)记作
即
曲边梯 F(x)
,
f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).
四、定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为 S.
(1)S= f(x)dx;
(2)S=-
(3)S=
(4)S=
f(x)dx-
f(x)dx;
f(x)dx;
f(x)dx-
[f1(x)±f2(x)]dx=
f(x)dx=
1
f(x)dx+
f (x)dx± f2(x)dx.
f(x)dx(其中 a<c<b).
答案
三、微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F'(x)=f(x),那么
f(x)dx= F(b)-F(a) ,
这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.
−π
π
+ 2)dx=(-cos x+2x)
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
定积分PPT课件
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
n
n
ln
i 1
f
i n
n1
指数上可理解为：ln f ( x)在[0,1]区间上的一
个积分和．分割是将[0,1]n等分
分点为 xi
i ，（i n
1,2,, n）
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
lim
0
i 1
g(i )xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法， 只要当 0时， 和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限 b
n
f ( x)dx I lim
a
0 i1
f (i )xi
积分和
积分下限
被
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
定积分：定积分ppt全
(梯形公式)
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
证:
= 右端
证: 当
时,
因
在
上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
于是
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 大化小.
第五章
积分学
不定积分
定积分
定积分
第一节
一、定积分问题举例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
定积分的概念及性质
第五章
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
矩形面积
梯形面积
解决步骤 :
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
积分中值定理对
因
例4.
计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均
速度.
解: 已知自由落体速度为
故所求平均速度
微积分学 P.P.t 标准课件27-第27讲广义积分资料
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义.
A R , A a , 且 f (x) R([a, A] ) . 记
A
f (x) d x lim f (x) d x ,
a
A a
f (x) , g(x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim f (x) , 那么, x (x)
(1) 当 0 时 , 无穷积分 f (x) d x 与 g(x) d x 同时
a
a
收敛, 或同时发散.
(2) 当 0 时 , 无穷积分 g(x) d x 收敛 , 则 f (x) d x 收敛 .
f (x) d x 发散时, 积分
g(x)d x
收敛 ,
a
a
则由(1) 立即可得出矛盾: f (x) d x 收敛 . a
与级数的情形类似, 比较判别法也是判别无穷积分 敛散性的重要方法. P 积分是重要的比较标准之一.
定理 （比较判别法的极限形式法）
设 f (x) , g(x) 为定义在[a, ) 上的非负函数, A[a, ) ,
定理
设函数 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 .
若积分上限函数 F(x)
x
f (t) d t
在[a, )
a
上有上界, 则无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
证 因为 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 , 所以,
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义.
A R , A a , 且 f (x) R([a, A] ) . 记
A
f (x) d x lim f (x) d x ,
a
A a
f (x) , g(x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim f (x) , 那么, x (x)
(1) 当 0 时 , 无穷积分 f (x) d x 与 g(x) d x 同时
a
a
收敛, 或同时发散.
(2) 当 0 时 , 无穷积分 g(x) d x 收敛 , 则 f (x) d x 收敛 .
f (x) d x 发散时, 积分
g(x)d x
收敛 ,
a
a
则由(1) 立即可得出矛盾: f (x) d x 收敛 . a
与级数的情形类似, 比较判别法也是判别无穷积分 敛散性的重要方法. P 积分是重要的比较标准之一.
定理 （比较判别法的极限形式法）
设 f (x) , g(x) 为定义在[a, ) 上的非负函数, A[a, ) ,
定理
设函数 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 .
若积分上限函数 F(x)
x
f (t) d t
在[a, )
a
上有上界, 则无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
证 因为 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 , 所以,
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
微积分基本公式ppt课件
热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分学 P.P.t 标准课件26-第26讲定积分的计算
∫
2 2
dx tan t sec t d t 4 = ∫ 2π 2 tan t x 1 3 =∫
3π 4 2π 3
3π
sec t d t
3π 4 2π 3
= ln | sec t + tan t |
= ln 2+ 3 . 1+ 2
例6 证
证明: 2 sin n x d x = ∫ 2 cos n x d x . ∫
3 5 1 2
2 dx dt dt 3 =∫ = ∫5 2 2 2 2 x 1 x t 1 t 1 3
= ln | t + t 2 1 |
2 5 3
= ln(2 + 3) ln 3 .
例3 解
计算
∫
a 0
a2 x2 d x .
x = a sin t 在 [ 0,
π
2
] 上单调,连续可导.
令 x = a sin t,则 d x = a cos t d t,
就是说,计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上,下限,就不必再返回到 原来的变量,直接往下计算并运用牛顿——莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果 .
一,定积分的换元法 定理
设 (1) f ( x) ∈ C ( [a, b] ) ;
( 2) x = (t ) ∈ C 1 ( [α , β ] ) 且单调;
且 x : 0 → a 时,t : 0 →
π
2
,故
∫
a 0
a 2 x 2 d x = ∫ 2 a 2 cos 2 t d t
0
π
a2 = 2
∫
π
2 0
(1 + cos 2 t ) d t
《定积分的微元法》课件
THANK YOU
感谢各位观看
稳定性
对于某些函数，微元法的计算可能不稳定，而数值积分方法通常具 有较好的稳定性。
与解析积分的比较
适用范围
解析积分方法适用于可以找到原函数的积分 ，而微元法适用于无法找到原函数的积分。
计算复杂度
解析积分方法通常需要找到原函数，这可能涉及到 复杂的数学运算，而微元法的计算相对简单。
精度
对于可以找到原函数的积分，解析积分方法 通常给出精确解，而微元法可能只给出近似 解。
计算体积
总结词
利用微元法，可以将定积分转化为求 和的形式，从而计算出旋转体体积。
详细描述
在计算旋转体体积时，首先将旋转体 进行分割，每个小区域近似为一个圆 柱体。然后，根据微元法的思想，将 每个小圆柱体的体积乘以相应的函数 值，并求和得到总体积。
计算长度
总结词
通过微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出曲线长度。
解决物理、工程等领域中的复杂问题，如电磁场 、流体动力学等。
微元法的计算步骤
确定积分区间和被积函数。
将所有小区间的贡献相加，得到整体的 解。
将每个小区间的代表点上的函数值乘以 小区间的长度$Delta x$，得到该小区间 的贡献。
将积分区间划分为若干个小区间，每个 小区间的长度为$Delta x$。
定积分的几何意义
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积 。
02
当函数图像在x轴上方时，定积分 为正；在x轴下方时，定积分为负 ；与x轴相交时，定积分为零。
02
微元法的基本思想
微元法的概念
微元法是一种将复杂问题简化的数学方法，通过将整体划分 为若干个微小的单元，对每个单元进行单独处理，再求和得 到整体解。
定积分与微积分基本定理ppt课件
1
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+
2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+
2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=
《定积分计算》课件
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在 积分上限与积分下限之差的代数和。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为定积分的 下限和上限。
微积分基本定理的应用
解决定积分计算问题
通过微积分基本定理，可以直接计算定积分的值，只需找到被积函 数的一个原函数，并计算其在上下限的函数值之差。
详细描述
分部积分法是将复合函数进行分解，将原定 积分转化为两个或多个更简单的定积分的和 或差。这种方法的关键是选择合适的函数进 行分解，以便简化计算过程。
04
定积分的几何应用
平面图形的面积
总结词
定积分在计算平面图形面积方面具有广泛应用。
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种平面图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。定积分的基本思想是将图形分割成若干 个小部分，然后求和这些小部分的面积，最后取极限得到整个图形的面积。
公式示例
对于矩形，其面积为 (A = l times w)，其中 (l) 为长度，(w) 为宽度；对于圆形，其面积为 (A = pi r^2) ，其中 (r) 为半径。
体积的计算
01
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积方面具有重要作用。
02 03
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种三维物体的体积，如长方 体、圆柱体、球体等。同样地，定积分的基本思想是将物 体分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的体积，最 后取极限得到整个物体的体积。
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程
定积分与微积分基本定理ppt文档
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
；
a
bf(x)dx
(3)c f(x)dx＋b f(x)dx＝
a
(其中 a<c<b)
a
c
4．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F ′(x)＝f(x)，那么b f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫
a
表示这个曲边梯形面积的相反数．
一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
函数 f(x)的图象以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代数 和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)b kf(x)dx＝
a
(k 为常数)；
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积 分．
(4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
2.
由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如图)． a
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方
便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ba＝
a
F(b)－F(a)．
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
思想方法技巧
一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代 替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思 想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求 定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．
定积分的微元法PPT课件
3、写出所求量 U 的积分表达式 U b A(x)dx ， a 然后计算它的值.
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二、 平面图形的面积
第10页/共22页
例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
在第一象限
解: 由
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA0
x x2 dx
1 3
第11页/共22页
y2 x (1,1) y x2
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
第18页/共22页
例3. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
Vx
1
(
0
x )2 dx
1
xdx 0
o
x
x2 1 22
n
（3）求和：A f (i )xi
i 1
（4）取极限：
o a b 1 x12 xi1 ixi xn1
x
b
f
( x)dx
lim
n
f
(i )xi
a
0 i1
max{xi } i 1，2，3n
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b
f (x)dx
只与积分区间和被积函数有关
a
关键:
1.积分区间 [a,b] ---------- 变?量的范围
ox 1 x xdx
计算由区间[a, b]上的两条连续曲线 y f (x)与y g(x),
以及两条直线x= a与x= b所围成的平面图形的面积。
y
由微元法，取x为积分变量，
其变化范围为区间[a, b] ，任意
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二、 平面图形的面积
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例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
在第一象限
解: 由
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA0
x x2 dx
1 3
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y2 x (1,1) y x2
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
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例3. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
Vx
1
(
0
x )2 dx
1
xdx 0
o
x
x2 1 22
n
（3）求和：A f (i )xi
i 1
（4）取极限：
o a b 1 x12 xi1 ixi xn1
x
b
f
( x)dx
lim
n
f
(i )xi
a
0 i1
max{xi } i 1，2，3n
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b
f (x)dx
只与积分区间和被积函数有关
a
关键:
1.积分区间 [a,b] ---------- 变?量的范围
ox 1 x xdx
计算由区间[a, b]上的两条连续曲线 y f (x)与y g(x),
以及两条直线x= a与x= b所围成的平面图形的面积。
y
由微元法，取x为积分变量，
其变化范围为区间[a, b] ，任意
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a
a
0
T
故 x t T ， 令 d x d t ， 则 x : T a 且 T 时 t : 0 a ， ，
a T
a
a
a
T f(x)dx0f(t T )d t0f(t)dt0f(x)dx
于是
a T
0
T
a
f ( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x
0
0
( n 1 ) I n 2 ( n 1 ) I n .
故 Innn 1In2.
由 I 0 于 0 2 d x 2 ,I 1 0 2 sx i d x n cx o 0 2 1 , s
所以，
当 n为正偶数时，
Innn 1n n 2 3 4 31 2I0(nn !1 !)!! 2;
由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定 积分的换元法和定积分的分部积分法.
3
计算5
1 2
x
dx . 1x2
令x1 t，d 则 xd t2t，
且 x:1 3时t:， 2 5，故
25
3
3 5 12x
dx 1x2
5 3 2
dt t21
2 5 3
dt t2 1
2
ln|t t2 1| 5 ln 2 (3)ln 3.
3
例3 解
计算 a a2x2dx. xasint 在[0, ]上单调、连 . 续
2
3
t
d
t
6
t2
3
6
2 12
例5
计算 2 dx .
2 x21
因x 为 0 ， s故 e t中 c t . 2
解 令 x st ， ed x c st 则 t e t a d t ， c n
且 x: 2 2时 t:2 ， 3 ，故 34
n 为正奇数.
sinn1x sinx
证
令In
2sinnxdx，则
0
(n1)sin n2xcoxsco xs
In0 2sn ix n dx cx o ss n i 1 n x0 2(n1)02sin n 2xco 2xsdx
(n 1 )2 sn i 2x n d x (n 1 )2 sn ix d n x
当 n为正奇数时， Innn 1n n 2 3 5 43 2I1(nn !1 !)!!.
2 2
x d2x12 3 3 4
tatsnetd ct tatn
3
4
2
sect dt
3
3
ln|setctant|
4
2
3
ln2 3. 1 2
例6
证明 2sn ix n d ： x2cn o xd s x.
0
0
证 令 xt，d则 xdt，
例1 解
计算 1 1x2dx. 0
令 xsitn
先用不定积分数 求的 被一 积个 函原函数：
1x2dxco2tsdt12(1co2st)dt
t sin2t C1arcx s1 ixn1x2C
24
2
2
由牛— 顿 —莱布尼兹 ， 得公式
1 1 x 2d x 1 arx c 1 s xi1 n x 2 1.
一、定积分的换元法
定理
设 ( 1 )f( x ) C ( [ a ,b ]);
(2)x(t)C1([, ])且单调；
(3 )( ) a ， () b ， 则 a bf(x )d x f((t)) (t)d t.
证 由 ( 2 ) 和 条 （ 3 ） 可 件 知 t时 ： a ， ( t ) 当 b . 有
由牛— 顿 —莱布尼兹 ， 得公式
1 1 x 2d x 1 arx c 1 s xi1 n x 2 1.
0
2
2
0 4
有什么想法没有？
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果 .
a
aa
该公式称为定积部分积的分分公 . 式
证明与不定积分的情形类似 .
例10
计算 excoxd sx. 0
coxs e x sinx e x
解
2 e xcx o d x s e xcx o 2 s2 e xsx id n x
0
00
sinx e x coxs e x
1 2exsinxdx 0
u co x s
二、定积分的分部积分法
定理 设函 u(x数 )， v(x)在 [a,b]上可导，
且 u (x )， v (x ) R (a ,[b ]， ) 则
b u ( x ) v ( x ) d x u ( x ) v ( x )b b u ( x ) v ( x ) d x .
e
e
lnx 1 1 xx
xln x1 1e1 1dxxln xe 11 edx e
2(1 1 ). e
例12
证In 明 0 2sn i： x n d x0 2cn o x d x s
(n 1)!! , n为正偶数，
n!! 2
(n 1)!!, n!!
0 1sc itd n o 2 tt s0 1 t scitd o n 2tts
0 1 sc ixd n o 2x x s0 1 x scixo d n 2x xs
从0 而 1 x scixd 2 o n x x s20 1 s c ixd n 2 o x xs2(arctaxn )) (0 c4o 2.s
1exsixn 22exco xdx s 00
1e22excoxdsx 0
故 2exco xdx s1(e 2 1 ).
0
2
什么情况下运用分部积分法呢？ 定积分与不定积分的情形相同！
例11
计算1e|lnx|dx.
e
解
e
1
e
1|ln x|d x 1( ln x )d x 1ln xd x
a
0
(2) f(x)为奇函a数 f(x)d， x0则 . a
证 因 af( 为 x ) d x 0f( x ) d x a f( x ) d x ,
a
a
0
故 x t ， 令 d x d t ， 则 x : a 0 且 时 t : a 0 ， ，
即F((t)为 ) f((t) )(t)的一个 . 原函数
由牛顿 —莱布尼兹公式，得
f (( t ) ( t ) ) d t F (( t ) ) F (() F ) (())
b
F (b)F (a)a f(x)dx.
证毕
例2 解
保证 x(t) 的单调性
解 令 ax r t ， c x s s 2 t ， d i i x 则 2 n n s t c i t d t ， n os
且 x:1 3时 t:， ，故
44
63
1 4 4 3ax(r1 cxx )sdx i n 6 3
t2sitc no tdts si2 tn (1 si2tn )
0
2
2
0 4
例1 解
计算 1 1x2dx. 0
令 xsitn
0x1
0t
先用不定积分数 求的 被一 积个 函原函数2 ：
1 0
11 xx22ddxx 0 2co o 2tsd st12
2(1(1ccoo2s2ts)t)ddtt
0
22tt ssiin44n22ttC02 1 2 a4 .rcx s1 2 ixn1x2C
0
a
a
a
a
f ( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x [ f ( x ) f ( x ) d x . ]
a000来自(1)若 f(x)为偶函 f(x数 )f(x ， )，则 故有
a
a
f(x)dx2 f(x)dx.
a
因f为 (x) C ([a,b])，所 f(x)以 在 [a,b ， ]上有原 . 函
不妨F(设 x)为f(x)在[a,b]上的一个 . 原函数
由复合函数的求 及导 条（ 法 件 2） ， 则得
( F ( ( t ) ) F ) ( ( t ) ( t ) ) f ( ( t ) ( t ) ) t [ ,] ,
2
且 x:0 时 t:， 0，故
2
2
0 2sinx n dx 2 0(s(i2n 1 )n)(dt)
0constdt 2
2cosntdt 2consxdx.
0
0
例7
设f(x)C([a, a])，证明：
(1 )f(x)为偶函 af(x)d 数 x2， af(x)dx 则 .
a
a
0
0