二次函数中的焦点与准线问题

二次函数中的焦点与准线问题

【例题讲解】

（2011年·黄冈市）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．

⑴求b 的值．

⑵求x 1•x 2的值

⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，

请说明理由．

解：⑴b =1

⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组

2114

y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104

x kx --=，依据“根与系数关系”得x 1·x 2=－4. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1•F 1N 1=－x 1•x 2=4，

而FF 1=2，所以F 1M 1•F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得

∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．

⑷存在，该直线为y =－1．理由如下：

直线y =－1即为直线M 1N 1．

如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=2114

m +， NF =2221

(1)4m m +-=2114

m +，得NN 1=NF 同理MM 1=MF ．

那么MN =MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ =12（MM 1＋NN 1）=12

MN ，即圆心到直线y =－1的距离等于圆的半径，所以y =－1总与该圆相切．

通过此题，可以得到如下一些性质：

性质1：①x 1x 2=-4; ②x 1+x 2=4k; ③y 1y 2=1; ④y 1+y 2=4k 2+2

性质2：M 1F ⊥FN 1

性质3：NF=NN 1，MF=MM 1，MN=MM 1+NN 1.

性质4：MQ ，NQ 分别为∠M 1MN ，∠N 1NM 的平分线.

性质5：FQ ⊥MN.

性质6：在直角梯形MM 1N 1N 中，以M1N1为直径的圆与MN 相切，切点为F.

性质7：111=+NF

MF 性质8：MQ ⊥M 1F,NQ ⊥N 1F,且MQ 与M 1F 和NQ 与N 1F 的交点在x 轴上.

性质9：点M ，O ，N 1共线；N ，O ，M 1共线.

【练习巩固】

1.(2014年湖北咸宁) 如图1，P （m ，n ）是抛物线2

14

x y =-上任意一点， l 是过点（0，2-）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为H ．

【探究】

（1）填空：当m ＝0时，OP ＝ ，PH ＝ ；当m ＝4时，OP ＝ ，PH ＝ ；

【证明】

（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图2，已知线段AB =6，端点A ，B 在抛物线2

14

x y =-上滑动，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．

O x y H P （m ，n ） l －2 (第23题图1) O

x y B A

l －2 (第23题图2)

2. （2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

3.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=1

4

x2相交

于B、C两点.

（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图13-2，设,

B m n

（）(m<0)，过点01

E

（，）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l 于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

4.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y 轴交于C 点，与函数y=x 2

的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作直线y=﹣1的垂线，交于E ，F 两点．

（1）写出点C 的坐标，并说明∠ECF=90°；

（2）在△PEF 中，M 为EF 中点，P 为动点．

①求证：PE 2+PF 2=2（PM 2+EM 2）；

②已知PE=PF=3，以EF 为一条对角线作平行四边形CEDF ，若1＜PD ＜2，试求CP 的取值范围．

5.抛物线y =14

x 2+x+m 的顶点在直线y=x+3上，过点F （-2,2）的直线交该抛物线于点M ，N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B.

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示）,再求m 的值；

（2）设点N 的横坐标为a,试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标,并说明NF=NB ； （3）若射线NM 交x 轴于点P,且PA •PB=9

100,求点M 的坐标．