二次函数中的焦点与准线问题
抛物线公式
抛物线公式抛物线是一种二次函数的图像，在数学中应用广泛。
其公式可以用一种简单的形式表示，能够准确描述抛物线的形状和特征。
一、抛物线的定义和形状抛物线是一个平面曲线，是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的。
抛物线的形状呈现对称性，两侧的曲线相对称。
准线是抛物线的对称轴，焦点离准线的距离相等。
二、抛物线的一般方程抛物线的一般方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
这个方程中，a与抛物线的开口方向和开口大小有关，b与抛物线的位置有关，c与抛物线的纵向平移有关。
三、抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式求得。
顶点公式为x=-b/2a，y=c-b^2/4a。
根据顶点公式，我们可以直接得到抛物线的顶点坐标，从而能够确定抛物线的位置和形状。
四、抛物线的焦点与准线抛物线的焦点是抛物线最重要的特征之一。
焦点与顶点的纵坐标相等，横坐标为焦点公式x=-b/2a计算得到的值。
准线与抛物线的距离叫做焦距，焦距的大小与a有关。
五、抛物线的对称性抛物线呈现对称性。
准线是抛物线的对称轴，从准线出发的射线经过抛物线后与准线相交，交点与焦点连线垂直。
六、抛物线的图像和实际应用抛物线的图像在数学和物理中有广泛的应用。
例如，在物理中，抛物线可用来描述抛体运动的轨迹；在工程中，抛物线可用来建造拱桥和拱顶等结构。
七、抛物线和其他二次曲线的关系抛物线是二次曲线的一种，与其他二次曲线（如椭圆和双曲线）相比，抛物线的形状更加简单和特殊。
另外，在数学中，抛物线还可以通过平移、旋转和缩放等操作，与其他曲线进行变换。
八、抛物线公式的推导抛物线公式可以通过解二次方程的方式推导得到。
首先，我们可以根据已知条件得到抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标带入一般方程中，得到a、b、c的值，进而得到抛物线的具体方程公式。
九、抛物线的性质抛物线具有一些重要的性质，比如切线与准线平行，切线法线斜率的倒数等。
这些性质在实际问题中有很大的应用价值，能够帮助我们更好地理解和应用抛物线。
数学物理教案：抛物线的性质与应用
数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。
在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。
在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。
首先，我们来介绍抛物线的基本性质。
抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。
通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。
抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。
其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。
抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。
对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。
准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。
我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。
二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。
抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。
在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。
当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。
2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。
在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。
二次函数典型题解题技巧
二次函数典型题解题技巧一有关角1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,与y 轴交于点(0C ,3),过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ,直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；2连接AM 、AC 、BC ,试比较MAB ∠和ACB ∠的大小,并说明你的理由.思路点拨：对于第1问,需要注意的是CD 和x 轴平行过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D对于第2问,比较角的大小a 、 如果是特殊角,也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角,那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外,那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢,全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形,剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等e 、 可能还有人会问,这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的,那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来,再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条解：1∵CD ∥x 轴且点C0,3,∴设点D 的坐标为x,3 ．∵直线y= x+5经过D 点,∴3= x+5．∴x=－2．即点D －2,3 ．根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M －1,y,又∵直线y= x+5经过M 点,∴y =－1+5,y =4．即M －1,4．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C0,3在抛物线上,∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分 2作BP ⊥AC 于点P,MN ⊥AB 于点N ．由1中抛物线223y x x =--+可得 点A －3,0,B1,0,∴AB=4,AO=CO=3,AC=32． ∴∠PAB ＝45°．∵∠ABP=45°,∴PA=PB=22．∴PC=AC －PA=2．在Rt △BPC 中,tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ANM 中,∵M-1,4,∴MN=4．∴AN=2．tan ∠NAM=MN AN =2．∴∠BCP ＝∠NAM ．即∠ACB ＝∠MAB ．后记：对于几何题来说,因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角圆分开再说,所以几何的证明无非就是线段之间的关系,角之间的关系,在二次函数综合题里,我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题,其次才是利用线段之间的关系来解题,除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时,那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、如图,抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=,与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．I 求抛物线的解析式；II 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形若存在,求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；III 直线131+-=x y 交y 轴于D 点,E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ,βαβ-=∠求,CBE 的值．思路点拨：II 问题的关键是直角,已知的是AC 边,那么AC 边可能为直角边,可能为斜边,当AC 为斜边的时,可知P 点是已AC 为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合,明显只有O 点；当AC 为直角边时,又有两种情况,即A 、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是A 或者C 为直角顶点,总有一个锐角等于∠OCA 或Rt △PAC 和Rt △OAC 相似,利用这点就可以求出OP 的长度了III 从题目的已知条件看,除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数,那么这两个角要么全是特殊角30°,45°,60°,90°,在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显,这两个角不是特殊角,那只有一种可能在没有学反三角函数的前提下,就是他们的差是特殊角,再联系到∠ABC=45°,可知,这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE,再想想上一题所说的,就明白是利用相似三角形来证明了,即证明△BCE 是一个直角三角形且与△BAD 相似解：I ()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==．())0,3(,0,1B A -∴．代入32-+=bx ax y ,得 {{12030339=-==--=-+∴a b b a b a322--=∴x x yII ①当190,PAC ∠=︒时可证AO P 1∆∽ACO ∆ 31tan tan 11=∠=∠∆∴ACO AO P AO P Rt 中，．)31,0(1P ∴②同理: 如图当)0,9(9022P CA P 时，︒=∠③当)0,0(9033P A CP 时，︒=∠综上,坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形,分别是)31,0(1P )0,9(2P ,)0,0(3P ． III ()1,0,131D x y 得由+-=．()4,1322---=E x x y ，得顶点由． ∴52,2,23===BE CE BC ．为直角三角形BCE BE ∆∴=+,CE BC 222．31tan ==∴CB CE β． 又31tan ==∠∆∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO ． ︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．二线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短,无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点,如果我们公共端点,我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,已知抛物线的对称轴为直线x = -1,B1,0,C0,-3.⑴ 求二次函数()20y ax bx c a =++≠的解析式；⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P 到A 、C 两点距离之差最大 若存在,求出点P 坐标；若不存在,请说明理由.思路点拨：点P 到A 、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值,因P 点在对称轴上,有PA=PB,也就是求|PB －PC|,到了这儿,易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点,易知最大值就是线段BC 的长;具体解题过程略4、研究发现,二次函数2ax y =0≠a 图象上任何一点到定点0,a 41和到定直线ay 41-=的距离相等.我们把定点0,a 41叫做抛物线2ax y =的焦点,定直线ay 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.1写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程； 2等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上,O 为坐标原点, 求等边三角形的边长；3M 为抛物线241x y =上的一个动点,F 为抛物线241x y =的焦点,P1,3 为定点,求MP+MF 的最小值.思路点拨：2因△OAB 是等边三角形,易知AB 平行于X 轴,且∠AOB=60°,知OA 、OB 于y 轴的夹角等于30°,利用这点容易求出三角形的边长3由题目可知MF 的长度等于M 点到直线y=－1的距离,那么MP+MF 就是P 点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和,易知最小值就是过P 点做y=－1的垂线段的长 解：1焦点坐标为0,1, 准线方程是1-=y ；2设等边ΔOAB 的边长为x,则AD=x 21,OD=x 23. 故A 点的坐标为x 21,x 23. 把A 点坐标代入函数241x y =,得 2)21(4123x x ⋅=, 解得0=x 舍去,或38=x .∴ 等边三角形的边长为38.3如图,过M 作准线1-=y 的垂线,垂足为N,则MN=MF.过P 作准线1-=y 的垂线PQ,垂足为Q,当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时,MP+MF 最小,最小值为PQ=4. 5、思路点拨：2要求AE 和AM 的长,对于求线段的长度我们学过的是勾股定理,相似三角形和简单三角函数,从题目可知OA 和OE 的长以及E 点到x 轴的距离,我们作EG ⊥x 轴,垂足为G,那么容易求出OG 的长,从而求出AE 的长；要求AM 的长,先做OK ⊥AE,垂足为K,要求AM 的长,首先我们利用已知的OA 的长和∠EAO 的函数值来求出AK 和OK 的长,利用OK 的长和三角形OMN 是等边三角形求出MK 和NK 的长,AM 的长也就知道了3这个是著名的费马点的问题,第2问给了我们提示,我们可以猜想当P 点在什么位置时,PA+PB+PO 才能取最小值,P 点应该在线段AE 上,至于具体的位置我们还不知道,我们就在线段AE 上任取一点P,把PA 、PB 、PO 连起来,要取最小值,那么这三条线段应该首尾相接,我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE 所在直线,这时P 点应该和在△OAB 内的M 点重合,PA 的长就是AM 的长,m 的最小值就是AE 的长答案详见前段时间发过的从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题6、2009年中考第25题如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A －6,0,B 6,0,C 0,43,延长AC 到点D ,使AC CD 21=,过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． 1求D 点的坐标；2作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；3设G 为y 轴上一点,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短． 要求：简述确定G 点位置的方法,但不要求证明思路点拨：3首先要把速度转化成路程,也就是线段的长度,直线与y 轴的交点假设为M,则OM=63,设P 点在y 轴上的速度为2v,那么在GA 上的速度为v,P 点到达A 点所用的时间为,要使时间最短,也就是求AG+GM/2的最小值,那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和,因为∠BMO=30°,GM/2也就是G 点到BM 的距离,我们作GK ⊥BM,垂足为K,问题转化成求GA+GM 的最小值,易知,A 、G 、M 必须共线且垂直BM,所以G 点就是过A 点作BM 的垂线与y 轴的交点解：1∵A －6,0,C 0,43,∴OA ＝6,OC ＝43．设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ．又AC CD 21=,21===∴CA CD CO CM OA MD ． ∴CM ＝23,MD ＝3．同理可得EM ＝3．∴OM ＝63．∴D 点的坐标为3,63．2由1可得点M 的坐标为0,63．由DE∥AB,EM＝MD,可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD,∴TE＝SD．∵EC＝DF,∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B6,0,点M0,63在直线y＝kx＋b上,可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．第25题答图3确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6,OM＝63,可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中,OG＝AO·tan∠BAH＝23．∴G点的坐标为0,23．或G点的位置为线段OC的中点三平移对称旋转问题引子：平移问题以前讲过了,现在重点将对称旋转问题我们知道a,b关于x轴对称的点的坐标为a,－b,关于y轴对称的点的坐标为－a,b,关于原点对称的点的坐标为－a,－b,关于直线x=m的对称点为2m－a,b,关于直线y=n的对称点为a,2n－b,关于点m,n的对称点为2m－a,2n－b任意两点x1,y1和x2,y2的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线,应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点m,n的对称抛物线解析式其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决,为了方便,选取抛物线的顶点式来证明例：对于一个抛物线y=ax－h2+ka≠0来说,坐标为x,y的所有点都在他的图像上,关于m,n的对称点为2m－x,2n－y,那么坐标为2m－x,2n－y都在抛物线关于m,n对称的抛物线上,我们把2m－x,2n－y代入y=ax－h2+ka≠0就可以得到它关于m,n对称的抛物线的解析式为2n－y=a2m－x－h2+k,变形为y=－ax－2m+h2+2n－k现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确首先y=ax－h2+ka≠0和它关于点m,n的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的,由于关于点对称,开口方向是相反的,故二次项系数互为相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于m,n对称的,原抛物线的顶点为h,k,它关于m,n的对称点的坐标为2m－h,2n－k,那么对称抛物线的解析式可以写成y=－ax－2m+h2+2n－k,和利用上述方法所得结果一致7、已知抛物线C1：y=ax2－2amx+am2+2m+1a>0,m>1的顶点为A,抛物线C2的对称轴是y轴,顶点为B,且抛物线C1和C2关于P1,3成中心对称（1）用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标（2）求m的值和抛物线C2的解析式（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值思路点拨：1很多人一看到求抛物线的顶点,习惯使用顶点的坐标公式来求,如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的,那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标,y=ax －m2+2m+1,故顶点坐标为m,2m+1（2）C1和C2关于点对称,利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标,易知m=2详解过程略。
二次函数和反比例函数的知识点
二次函数和反比例函数的知识点一、二次函数的知识点（600字）1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是给定的常数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3.抛物线的顶点：二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/(2a)得到。
即在二次函数的图像中，顶点的横坐标为减去b再除以2a，纵坐标为代入这个横坐标后的函数值。
4.抛物线的对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，其方程可以表示为x=-b/(2a)。
5.抛物线的焦点和准线：二次函数的焦点和准线与二次函数的系数a有关。
当a>0时，抛物线有焦点且焦点在开口的上方，准线在抛物线下方；当a<0时，抛物线有焦点且焦点在开口的下方，准线在抛物线上方。
6. 零点和交点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的解，可以通过求解ax²+bx+c=0的二次方程来得到。
交点是抛物线与x轴或y轴相交的点。
7. 判别式与二次函数的性质：判别式D = b²-4ac可以用来判断二次方程ax²+bx+c=0的解的性质。
当D>0时，方程有两个不相等的实数解；D=0时，方程有两个相等的实数解；D<0时，方程没有实数解。
8. 二次函数的不等式：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过将f(x)关于x的表达式移到一边，得到ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的二次不等式。
二、反比例函数的知识点（600字）1.反比例函数的定义：反比例函数是指形如f(x)=k/x的函数，其中k是一个常数，且k≠0。
也称为倒数函数。
2.反比例函数的图像：反比例函数的图像是一条经过原点的曲线，其特点是随着自变量x的增大，函数值f(x)单调递减。
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结本文将对人教版八年级数学下册二次函数知识点进行总结。
主要内容如下：一、二次函数的定义和性质1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中 a、b、c 是常数，a 称为二次函数的系数。
2. 基本性质：- 二次函数的图象为抛物线，开口方向由 a 的正负确定。
- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
- 当a ≠ 0 时，抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a。
二、二次函数的图象1. 抛物线与对称轴：- 抛物线关于对称轴对称。
- 对称轴方程为 x = -b/2a。
2. 抛物线的顶点：- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
3. 抛物线的焦点与准线：- 抛物线的焦点为 (p, q)，其中 p = -b/2a 且 q = c - b^2/4a。
- 抛物线的准线为 y = q。
4. 抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
三、二次函数的判别式和根的情况1. 判别式 D = b^2 - 4ac：- 若 D > 0，则二次函数有两个不相等的实根。
- 若 D = 0，则二次函数有两个相等的实根。
- 若 D < 0，则二次函数没有实根。
2. 根的情况：- 当 D > 0 时，二次函数的两个根分别为 x1 = (-b + √D) / (2a) 和x2 = (-b - √D) / (2a)。
- 当 D = 0 时，二次函数的解为 x = -b / (2a)。
- 当 D < 0 时，二次函数没有实根。
四、二次函数的应用1. 二次函数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，例如：- 抛射运动的轨迹方程。
- 成本函数、收入函数等的建模。
- 其他需要模拟抛物线等曲线的问题。
二次函数中的焦点与准线问题
二次函数中的焦点与准线问题1.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．2.(2014年湖北咸宁) 如图1，P（m，n）是抛物线214xy=-上任意一点，l是过点（0，2-）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】（1）填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP 与PH的大小关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线214xy=-上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．(第23题图1) (第23题图2)3. （2013•南宁）如图，抛物线y=ax 2+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究：①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；②试说明无论k 取何值，的值都等于同一个常数．4.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b （k ≠0）过点F （0，1），与抛物线y =14x 2相交于B 、C 两点.（1）如图13-1，当点C 的横坐标为1时，求直线BC 的解析式；（2）在（1）的条件下，点M 是直线BC 上一动点，过点M 作y 轴的平行线，与抛物线交于点D ，是否存在这样的点M ，使得以M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图13-2，设,B m n （）(m <0)，过点01E （，）的直线l ∥x 轴，BR ⊥l 于R ，CS ⊥l于S ，连接FR 、FS ．试判断△RFS 的形状，并说明理由．5.抛物线y =14x 2+x+m 的顶点在直线y=x+3上，过点F （-2,2）的直线交该抛物线于点M ，N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B.（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示）,再求m 的值； （2）设点N 的横坐标为a,试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标,并说明NF=NB ；。
二次函数压轴题基本方法和结构
二次函数压轴基本结构和解题方法一、线1、线段与距离 （1）改“斜”归正已知：A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),直线AB ：y =kx +b ，AB ⊥BC 水平线段：AC =|x 1−x 2| 铅垂线段：AC =|y 1−y 2|斜线段： AB =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1|x 1−x 2|（2）点到直线距离公式：d =PH =|km +b −n|√k 2+1（3）于涵定理 一般位置：条件：直线AB 交抛物线（二次项系数为a ）于AB 两点，铅垂线PQ 交抛物线于P ，交直线AB 于P ，AE ⊥PQ ，BF ⊥PQ 结论：①PQ =|a|∙AE ∙BF ；S △PAB =12PQ ∙(AE +BF )=12|a |∙AE ∙BF ∙(AE +BF )=12|a (x A −x P )(x P −x B )(x A −x B )|特殊位置① 若AB 为水平直线： PQ =|a|∙AQ ∙BQ ② 若AB 为水平直线，且AP ⊥BP ： PQ =1|a|（PQ =|a|∙AQ ∙BQ ，且PQ 2=AQ ∙BQ ）③ 若AB 为水平直线，且P 为抛物线顶点（类似于圆中的垂径结构）AB =√4PQ|a|④ 若AB 为x 轴，且P 为抛物线顶点:AB =√∆|a|（4）焦点准线焦点准线的定义：将抛物线的顶点向上/下平移14|a|个单位，就得到焦点和准线的位置。
焦点：F(−b2a ,14a)；准线：直线y=−14a条件：点P是抛物线上任意一点，过P点的直线（非铅垂线）与抛物线有位移公共点（“切线”），与对称轴交于S，与过顶点的水平线交于A，PM⊥准线于M；PQ过焦点F，过P、Q 的切线交于T结论：①PF=PM,DE=DF②PF=FS③FA⊥PS,PA=SA④当直线PQ绕焦点F转动时候，T点在准线上移动（阿基米德三角形特殊情况）⑤TP⊥TQ,TM=TN⑥以MN为直径的圆切PQ于F，以PQ为直径的圆切MN于T准线2、平行“弦”条件：AB//CD//l P结论：x A+x B=x C+x D=2x P变式一：若CE和DF为铅垂线，则AE=BF变式二：若将抛物线向下平移交直线AB于E、F，则AE=BF变式三：将抛物线沿着PQ方向平移，若AB//PQ，则AB=EF，AE=BF3、线段相等和比值（1）左右对称（纵向角平分线）特殊情况：条件：P为抛物线（顶点为M）对称轴上一点，过P点的直线PA交抛物线于C，过C作水平直线BC交抛物线于B点，连接AB交对称轴于Q，连接PB交抛物线于D；结论：①k PA+k PB=0；②PM=QM一般情况：条件：过抛物线内一点T作铅垂、水平直线，交抛物线于M、B、C，在铅垂线上取一点P，连接PC交抛物线于A，连接AB交铅垂线于Q结论：TBTC =QMPM（2）上下对称条件：水平直线与抛物线交于P、Q两点，直线PA、PB分别交抛物线于A、B，且∠APQ=∠BPQ，连接AB,过Q点的直线作抛物线的切线。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
第12讲 二次函数焦点与准线(学生版)
第12讲 二次函数焦点与准线知识导航抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的焦点。
直线l 叫做抛物线的准线(高中选修2-1,P65)【例1】(1)如图，抛物线221x y =的焦点F(0,21)，准线l 的解析式为21-=y ,求证：抛物线221x y =上任意一点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，即PF=PH.(2)已知点M(2,3)，F(0,21)，点P(m ，n)为抛物线221x y =上一动点，则用含m 的式子表示PF= ；PF+PM 的最小值是 .练：如图，在平面直角坐标系中，A(0,2)，点P 是抛物线1412+=x y 上一动点。
(1)过点P 作PB⊥x 轴于点B ，求证：PA=PB ；(2)若点C(2,5)，连PA ，PC ，PA+PC 是否存在最小值?如果存在，求点P 的坐标；若不存在， 说明理由.【例2】如图。
抛物线21212-=x y 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，点P 是抛物线上一动点(不包括A 、B)，PM⊥x 轴于点M.点P 的横坐标为t.(1)若,11<<-t 求证：OP+PM 为定值，并求出该值. (2)若1-<t 或,1>t 求证：OP-PM 为定值，并求出该值.练：如图，点P 为抛物线21212-=x y 上一动点，PH⊥x 轴于点H ，连OP. (1)当点P 在第一象限的抛物线上时，求PO=PH 的值; (2)当点P 在第四象限的抛物线上时，求PO+PH 的值.【例3】将抛物线C 1：34412+-=）（x y 先向左平移4个单位,再向下平移2个单位，得到抛物线C 2。
(1)直接写出抛物线C 2的解析式；(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标；(3)如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，过点P 作PH⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH+PD 的最小值及此时点P 的坐标.图1 图2练：如图1，P(m ，n)是抛物线1412-=x y 上任意一点，是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH⊥l 于点H.(1)填空：当m=0时，OP= ； PH= ；当m=4时，OP= ；PH= .(2)对任意点P,猜想OP 与PH 的大小关系,并证明你的猜想;(3)如图2,若A 、B 是抛物线1412-=x y 上的两个动点且AB=6,求A 、B 两点到直线l 的距离之和的最小值.图1 图2【例4】如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=241与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(0,-1).连接AC.AO=2CO,直线l .过点G(0,t)且平行于x 轴,t<-1. (1)求抛物线方程； (2)①若D(4,-m)为抛物线c bx x y ++=241上一定点，点D 到直线l 的距离记为d,当d=DO 时, 求t 的值;○2若D 为抛物线上c bx x y ++=241一动点，点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等, 说明理由；(3)如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.图1 图2练：如图,过点F(0,1)的直线b kx y +=与抛物线241x y =交于M(11,y x )和N(22,y x )两点 (其中0,021><x x ). (1)求21x x ⋅的值.(2)分别过M ，N 作直线l ：1-=y 的垂线，垂足分别是M 1,N 1，连接FM 1，FN 1，判断△M 1FN 1的形 状，并证明你的结论.练：如图,在平面直角坐标系中,A(0,2),点P 为抛物线1412+=x y 上的一点.直线）（0>=k kx y 交抛物线于点D ，P ，连接AP ，AD ，若AP=2AD ，求k 的值.。
抛物线练习题
抛物线练习题抛物线是二次函数的图像，它在数学中有着重要的应用。
本文将为您提供一些抛物线的练习题，帮助您更好地理解和应用抛物线的概念。
练习题一：抛物线的标准方程已知抛物线的顶点坐标为（2，3），经过点（1，0）。
求该抛物线的标准方程。
解答：由于已知抛物线的顶点坐标为（2，3），则抛物线的标准方程可以表示为：y = a(x - 2)^2 + 3又因为抛物线经过点（1，0），将该点代入方程中可得：0 = a(1 - 2)^2 + 30 = a + 3a = -3所以，该抛物线的标准方程为：y = -3(x - 2)^2 + 3练习题二：抛物线的焦点和准线已知抛物线的顶点坐标为（0，0），焦点为（2，0）。
求该抛物线的准线方程。
由于已知抛物线的顶点坐标为（0，0），准线方程可以表示为：y = -p又因为抛物线的焦点坐标为（2，0），代入焦准距离公式可得：p = 2所以，该抛物线的准线方程为：y = -2练习题三：抛物线的对称轴给定抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2）。
求该抛物线的对称轴方程。
解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2），对称轴方程可以表示为：x = h其中，抛物线的对称轴与焦点的x坐标相等，所以对称轴方程为：x = 3练习题四：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4）。
求该抛物线的准线方程。
由于已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4），首先可以求得焦准距离的值：p = 3根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：1 = 4 - |3|解得焦点的y坐标为1。
因此，该抛物线的准线方程为：y = 1练习题五：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0）。
求该抛物线的准线方程。
解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0），首先可以求得焦准距离的值：p = 1根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：-1 = 0 - |1|解得焦点的y坐标为-1。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案抛物线是一种经典的二次函数，具有许多独特的几何性质。
它是数学中的重要概念，也常常出现在物理等实际应用中。
本文将介绍抛物线的一些简单几何性质，并设计一个教案，帮助学生理解和掌握这些性质。
一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是一组与一直线和一个点的距离比例关系相符的点的轨迹。
2. 抛物线的特点：(1) 对称性：抛物线关于与其对称轴垂直的直线对称。
(2) 相同距离比例：抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比例始终相等，即反映了抛物线的几何性质。
(3) 焦点和准线：抛物线上的焦点与准线的距离相等，且焦点位于对称轴上。
(4) 抛物线开口方向：开口向上或向下取决于二次函数的二次项系数的正负。
二、教案设计1. 教学目标：(1) 理解抛物线的定义；(2) 掌握抛物线的对称性、焦点和准线的性质；(3) 理解抛物线开口方向与二次项系数的关系。
2. 教学过程：(1) 导入：提问学生对抛物线的认识，引导学生思考距离比例的概念，并通过图片和实物示例展示抛物线的形状。
(2) 概念解释：向学生介绍抛物线的定义和性质，让学生了解对称性、焦点和准线等概念，激发学生的兴趣。
(3) 教学演示：通过数学软件或手绘，展示抛物线的对称性和焦点、准线的位置，并解释相同距离比例的特点。
(4) 学生练习：提供抛物线的图形，让学生找出其对称轴、焦点和准线，并计算相同距离比例。
(5) 小组合作：学生分小组讨论并解决抛物线开口方向与二次项系数的关系问题，并向其他小组进行解释和讨论。
(6) 总结复习：学生总结抛物线的简单几何性质，并展示在教室内或墙壁上。
3. 教学评价：(1) 课堂回答问题：老师通过提问检查学生对抛物线性质的理解和掌握情况。
(2) 练习册作业：让学生在练习册上完成相关练习题，检测学生对抛物线性质的理解和应用能力。
三、教学展望通过这节课的教学，学生应能够理解抛物线的基本几何性质，并能够应用这些性质解决简单的问题。
抛物线的焦点和准线关系
抛物线的焦点和准线关系抛物线是一种常见的二次函数曲线，具有特定的形状和性质。
在抛物线上，焦点和准线是两个重要的元素，它们之间存在一定的关系。
焦点的定义和性质焦点是抛物线上的一个特殊点，用F表示。
对于一个标准的抛物线，焦点位于顶点之上（对称轴上方），与准线相距相等。
焦点的性质如下:- 抛物线上的任意一点与焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
- 焦点是抛物线的对称中心，对称轴上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
准线的定义和性质准线是抛物线对称轴上的一条直线，通常表示为x = a，其中a 为常数。
准线与抛物线的焦点之间的距离称为焦距，用p表示。
准线的性质如下:- 准线是抛物线的对称轴，抛物线上的任意一点到准线的距离相等。
- 由焦点到准线的垂直线段长度等于焦距p。
焦点与准线的关系焦点和准线是密切相关的，它们之间的关系可以用以下公式表示：PF = PM其中，PF表示焦点F到抛物线上一点P的距离，PM表示点P 到准线的垂直距离。
这个关系可以进一步转化为：PF = p其中，p表示焦距，也就是焦点到准线的距离。
焦点和准线的关系告诉我们，在抛物线上的任意一点，到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离，而且焦距是确定的。
总结抛物线的焦点和准线是抛物线的重要元素，它们之间存在着特定的关系。
焦点是抛物线的对称中心，准线是对称轴，两者之间的关系可以通过焦点与准线的距离来描述。
了解焦点和准线的性质和关系，有助于我们更好地理解和应用抛物线的相关知识。
以上是关于抛物线的焦点和准线关系的简要介绍。
如果需要更详细的内容或有其他问题，请随时与我联系。
二次函数的最值与拐点
二次函数的最值与拐点二次函数是数学中的重要概念之一，在各个领域中都有广泛的应用。
了解二次函数的最值与拐点对于解决实际问题和理解函数图像都是非常有帮助的。
本文将介绍二次函数的最值与拐点的概念、求解方法以及其应用。
一、二次函数的最值二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值可以通过以下两种方法求解：1. 利用顶点坐标求解最值：二次函数的顶点坐标可以通过求导得到。
对二次函数f(x)求导后，令导数等于零，得到顶点的横坐标x0。
将x0代入原函数f(x)中，得到顶点的纵坐标y0。
因此，此二次函数的最值为顶点的纵坐标y0。
2. 利用对称性求解最值：由于二次函数是一个抛物线，它的图像具有轴对称性。
即，二次函数的最值一定出现在抛物线的对称轴上。
对称轴的横坐标可以通过 x = -b/(2a) 来求解，将此横坐标代入原函数f(x)，即可得到最值。
二、二次函数的拐点拐点是指函数图像在某一点上由凸向上变为凹向上，或者由凹向上变为凸向上的点。
对于二次函数来说，拐点的存在与二次项系数a有关。
若a > 0，二次函数图像开口朝上，则拐点为最小值点；若a < 0，二次函数图像开口朝下，则拐点为最大值点。
拐点的求解可以通过以下方法进行：1. 利用导数求解拐点：对二次函数f(x)求导后，再次求导。
当二次导数等于零时，其对应的横坐标即为拐点的位置。
将此横坐标代入原函数f(x)中，即可得到拐点的纵坐标。
2. 利用二次项系数a的正负求解拐点：通过判断二次项系数a的正负，即可确定拐点的位置。
当a > 0时，拐点为最小值点；当a < 0时，拐点为最大值点。
将对应的横坐标代入原函数f(x)中，即可得到拐点的纵坐标。
三、二次函数最值与拐点的应用1. 最优化问题：二次函数的最值可以用来解决一些最优化问题，例如在有限制条件的情况下，求解某一物体的最大或最小值。
二次函数压轴：焦点与准线,动点面积,含参二次函数(原卷版)--2024年中考数学
二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函数【题型1】焦点与准线例题12－1例题12—2湘潭市·中考真题广东深圳·中考真题四川自贡·中考真题宜宾·中考真题山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题2023·辽宁鞍山中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·江苏南通中考真题2023·辽宁锦州中考真题2023·辽宁盘锦中考真题【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题2022·吉林中考真题广东深圳·中考真题2023·辽宁大连中考真题2022·四川绵阳中考真题【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题2023年浙江省丽水市中考真题2023年江苏省南通市中考真题2023年江苏省淮安市中考真题2022•北京中考真题2022•安顺中考真题2022•长沙中考真题2022•广州中考真题2022•贵阳中考真题2022•天津中考真题2022•嘉兴中考真题2022•杭州中考真题2022•连云港中考真题二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =−的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>结论1：对于抛物线2,y ax =焦点坐标为10,4a，准线为直线1.4y a=− 焦点一般用字母F 表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是1,4只是为了焦点坐标便于计算． 至于形如2y ax bx c ++的抛物线可化为顶点式2(),y a x h k =−+然后通过由2y ax =平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM ⊥FN ．证明：设NPF α∠=，MQF β∠=，则180αβ+°，∴1190909022PFN QFMαβ°°°∠+∠=−+−=， ∴FM ⊥FN ．结论3：取PQ 中点E ，作EH ⊥x 轴交x 轴于H 点，则PH ⊥QH ．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN 与y 轴交于点G ，11112PN OM PF QF FG+=+=．【题型1】焦点与准线例题12－1值．例题12—22．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =−的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>(1)已知动点M (x ，y )到定点A (0，4)的距离与到定直线y ＝－4的距离相等，请写出动点M 形成的抛物线的解析式．(2)若点D 的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P ，使得PA ＋PD 最短?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．湘潭市·中考真题3．如图，点P 为抛物线214y x =上一动点 (1)若抛物线214y x =是由抛物线21(2)14y x =+−通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l 经过y 轴上一点N ，且平行于x 轴，点N 的坐标为(0，－1)，过点P 作PM l⊥于M ．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立?若存在，求出点F 的坐标：若不存在，请说明理由．广东深圳·中考真题4．如图1，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点（1）求解抛物线解析式；（2）如图2，过抛物线上任意一点M （m ，n ）向直线l 四川自贡·中考真题5．如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A (－1，0)和点B (2，3)两点 (1)求抛物线C 函数表达式；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y =宜宾·中考真题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线14y x =与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1． (1)求抛物线的解析式；(2)知00(,)F x y 为平面内一定点，M (m ，n )为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与 点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B 两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题12．如图，已知二次函数21(0,y ax a =+≠a 为实数)的图像过点A (－2，2)，一次函数y ＝kx ＋b (k≠0，k 、b 为实数)的图像1经过点B (0，2)． (1)求a 值并写出二次函数表达式； (2)求b 值；(3)设直线1与二次函数图像交于M ，N 两点，过M 作MC 垂直x 轴于点C ，试证明： MB ＝MC ；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题13．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2023·辽宁鞍山中考真题运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E ，F ，以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH ，设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S ，直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．2023·黑龙江绥化中考真题15．如图，在菱形ABCD中，60∠=°，4AAB=，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个−−向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，单位长度沿折线A B C的面积为y个平当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，AMN．．．．2023·江苏南通中考真题16．如图，ABC 中，90C ∠=°，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B −−运动到点B停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b −的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．482023·辽宁锦州中考真题17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3AC =，4BC =，在DEF 中，5DEDF ==，8EF =，BC 与EF 在同一条直线上，点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动，当点B 运动到点F 时，ABC 停止运动．设运动时间为t 秒，ABC 与DEFA ．B ．C ．D ．2023·辽宁盘锦中考真题18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半作MN y ∥轴，与菱形的另一边交于点N ，连接PM ，PN ，设点M 的横坐标为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2023·广东广州中考真题19．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，10AB =，6AC =，点M 是边AC 上一动点，点D ，E 分别是AB ，MB 的中点，当 2.4AM =时，DE 的长是 ．若点N 在边BC 上，且CN AM =，点F ，G 分别是MN ，AN 的中点，当 2.4AM >时，四边形DEFG 面积S 的取值范围是 ．2022·吉林中考真题20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，30A ∠=°，6cm =AB ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动．以PA 为一边作120APQ ∠=°，另一边PQ 与折线AC CB −相交于点Q ，以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在线段PB 上．设点P 的运动时间为(s)x ，菱形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为2()cm y ．(1)当点Q 在边AC 上时，PQ 的长为 cm ；（用含x 的代数式表示） (2)当点M 落在边BC 上时，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．广东深圳·中考真题为D ．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD ，CD ，BC ，将△OBC 沿着x 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到O B C ′′′∆，点O 、B 、C 的对应点分别为点O ′，B ′，C ′，设平移时间为t 秒，当点O'与点A 重合时停止移动．记O B C ′′′∆与四边形AOCD 的重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与时间t 的函数解析式；2023·辽宁大连中考真题22．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________． (2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．2022·四川绵阳中考真题沿着A →D →B 的路线匀速运动，点F 沿着A →B →D 的路线匀速运动，当点E ，F 相遇时停止运【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题24．已知二次函数2y x bx c =−++． (1)当4,3b c ==时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当13x −≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题25．在二次函数223(0)y x tx t =−+>中， (1)若它的图象过点(2,1)，则t 的值为多少？ (2)当03x ≤≤时，y 的最小值为2−，求出t 的值：(3)如果(2,),(4,),(,)A m a B b C m a −都在这个二次函数的图象上，且3a b <<，求m 的取值范围．26．已知点(),0m −和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b ++是常数，0)a ≠的图像上． (1)当1m =−时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m −<<−时，求n 的取值范围； (3)求证：240b a +=．2023年江苏省南通市中考真题27．定义：平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，点(),Q c d ，若c ka =，d kb =−，其中k 为常数，且2023年江苏省淮安市中考真题2022·北京中考真题29．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．2022·安顺中考真题30．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．2022·长沙中考真题31．若关于x的函数y，当t−12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=MM−NN2，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y=2xx（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2022·广州中考真题32．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4mm5≤x≤4mm5+1的图象的最高点的坐标．2022·贵阳中考真题33．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．2022·天津中考真题34．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．2022·嘉兴中考真题35．已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．2022·杭州中考真题36．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．2022·连云港中考真题37．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．。
第4讲 二次函数轨迹问题
第4讲 二次函数轨迹问题知识目标模块一 点的轨迹问题 例1、例2难度：✩✩✩模块二 焦点准线问题 例3、例4、例5、例6、例7、例8 难度：✩✩✩✩模块一 点的轨迹问题 例1某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图象问题时，发现了两个现象：(1)抛物线y ＝ax 2＋2x ＋3(a ≠0)，当a 变化时，它的顶点都在某条直线l 1上，求直线l 1的解析式； (2)抛物线y ＝x 2＋bx ＋3，当b 变化时，它的顶点都在某条抛物线C 1上，求抛物线C 1的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线y =ax 2+2x +3， ∴顶点坐标的横坐标为：x =212a a -=-，纵坐标为：y =43431134a a a a a⨯--==-， ∴直线l 1的解析式为：y =x +3； （2）∵抛物线y =x 2+bx +3，∴顶点坐标的横坐标为：x =2b-，纵坐标为：y =224133414b b ⨯⨯-=-⨯，∴抛物线C 1的解析式为：y =3﹣x 2=﹣x 2+3，练习如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线C 1：212y x =交于A 、B 两点． (1)直线AB 总经过一点定点C ，请求出点C 的坐标；(2)若k ＝－2，点D 在直线AB 上，过点D 作y 轴的平行线交抛物线C 1于点E ，P 是线段DE 的中点，设点D 在直线AB 上运动时，P 的运动轨迹为抛物线C 2，求抛物线C 2的解析式． 【解答】方法一：解：（1）∵当x =﹣2时，y =（﹣2）k +2k +4=4． ∴直线AB ：y =kx +2k +4必经过定点（﹣2，4）． ∴点C 的坐标为（﹣2，4）． (2)当k ＝－2时，y ＝－2x ，设D (x ，－2x )，则E (x ，12x 2)，DE 的中点P (x ，214x x -)， 所以C 2的解析式为：y ＝214x x -．例2在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝ax 2－4a ＋4(a ＜0)经过第一象限内的定点P ．(1)求出点P 的坐标；(2)如图，若a ＝－1，点M 的坐标为(2，0)是x 轴上的点，N 为抛物线C 1上的点，Q 为线段MN 的中点，设点N 在抛物线C 1上运动时，Q 的运动轨迹为抛物线C 2，求抛物线C 2的解析式．【解答】解：（1）∵y =ax 2﹣4a +4=a （x 2﹣4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P ， ∴x 2﹣4=0，解得 x =2或x =﹣2（舍去）， 则y =4，∴点P 的坐标是（2，4）；（2）设点Q 的坐标为（x Q ，y Q ），点N 的坐标为（x N ，y N ）． ∵M （2，0）．由点Q 是线段MN 的中点，可以求得，x N =2x Q ﹣2，y N =2y Q ． ∵a =﹣1，∴抛物线c 1的解析式为y =﹣x 2+8． ∵点N 在抛物线c 1上， ∴y N =﹣x N 2+8．∴2y Q =﹣（2x Q ﹣2）2+8，即y Q =﹣2x Q 2+4x Q +2， ∴抛物线c 2的解析式为：y =﹣2x 2+4x +2．模块二 焦点准线问题 知识导航1、抛物线的几何性质(定义)：平面内与一个定点F 和一和定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 如图所示：点F 为定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直交MH 于点M ，拖动点H ，M 点的轨迹就是一条抛物线．2．常见结论y ＝ax 2的焦点为F (0，14a )，准线l 为y ＝14a-． 证明：设点P 为抛物线y ＝ax 2上任意一点，则可设点P 坐标为(m ，am 2) 则PF ＝22222422111()4216m am m a m m a a +-=+-+＝24222221111()21644a m m am am a a a++=+=+．而点P 到直线l 的距离d ＝221144am am a a ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭．所以PF ＝d ．3、y =ax 2＋k 的焦点准线思路：用平移的思路来做，抛物线的平移和对应焦点、准线的平移一致. 完成下表：抛物线解析式焦点 准线 y =14x 2 (0，1)y =－1 y =x 2 (0，14) y =－14 y =－2x 2 (0，－18)y =18 y =14x 2－1 (0，0) y =0y =－2x 2－2(0，－178) y =178例3(2016年七一周练)如图1，P (m ，n )是抛物线y =14x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l 于点H . 【探究】(1)填空：当m =0时，OP = ， PH = ；当m =4，OP = ，PH = .【证明】(2)对任意点P ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想； 【应用】(3)如图2，若A 、B 是抛物线y =14x 2－1上的两个动点，且AB =6，求A 、B 两点到直线l 的距离之和的最小值.图1图2 解：（1）当m =0时，P （0，－1），OP =1，PH =－1－（－2）=1；∴A 、B 两点到直线l 的距离之和的最小值是６. 例4(2016年粮道街中学九上期中) 如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，连接AC ，AO =2CO ，直线l 过点G (0，t )且平行于x 轴，t ＜－1. (1)求抛物线对应的二次函数解析式；(2)①若D (4，－m )为抛物线y =14x 2＋bx ＋c 上一定点，点D 到直线l 的距离记为d ，当d =DO 时，求t 的值； ②若D 为抛物线y =14x 2＋bx ＋c 上一动点，点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等，说明理由； (3)如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF =8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.图1 图2a 2－1＋|t |，例5将抛物线C 1：y =14(x －4)2＋3先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线C 2. (1)直接写出抛物线C 2的解析式；(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标：若不存在，说明理由.(3)如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH ＋PD 的最小值及此时点P 的坐标.当连DF 交抛物线于P 点时，PH ＋PD∵F (0，2)D (4，3)∴y DF =14x ＋2，联立21124y xy x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴P例6如图，过点F (0，1)的直线y =kx ＋b 与抛物线y =14x 2交于M (x 1，y 1)和N (x 2，y 2)两点(其中x 1＜0，x 2＞0). (1)求x 1·x 2的值；(2)分别过M ，N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1，N 1，连接FM 1，FN 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论.解：(1）∵直线y =kx ＋b 与抛物线y =14x 2交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点， ∴可以得出：kx ＋b =14x 2， 整理得：14x 2－kx －1=0， ∵a =14，c =－1， ∴x 1•x 2=－4，(2)△M 1FN 1是直角三角形（F 点是直角顶点）． 理由如下：设直线l 与y 轴的交点是F 1，FM12=FF12＋M1F12=x12＋4，FN12=FF12＋F1N12=x22＋4，M1N12=（x1－x2）2=x12＋x22－2x1x2=x12＋x22＋8，∴FM12＋FN12=M1N12，∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．例7(武汉二中分配生考试)如图1，直线y=kx－k2(k＞0)与抛物线y=ax2有唯一的公共点.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点A(0，1)，直线l：y=－1.①如图2，P是抛物线上一个动点，PB⊥l于B点，连PA、PB，求证：AB平分∠OAP；②如图3，过A点的任意一条直线分别交该抛物线于C、D两点，求证：以CD为直径的⊙M与直线l相切.a2），A(0，1)(3) 作CE ⊥直线l 于点E ，DF ⊥直线l 于点F ， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），∵CD 经过A (0，1)，设CD 的解析式为y =kx ＋1，联立2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴x 1，x 2是方程x 2－4kx －4=0两根由根与系数的关系得x12∴CD k 2＋1)∴M 到l 的距离是CD 长的一半，∴以CD 为直径的⊙M 与直线l 相切 例8己知直线L ：y =kx ＋5k (k ≠0)与x 轴交于A 点，抛物线的解析式为y =14x 2＋1. (1)直接写出A 点坐标；(3)P 为抛物线上任一点，过P 作PQ ⊥x 轴，Q 为垂足，以P 为圆心，PQ 为半径作圆，圆总会经过y 轴一定点D ，求D 到直线L 的距离的最大值.解：（1）令y =0，则kx ＋5k =0， ∵k ≠0， ∴x =－5，∴点A 坐标（－5，0）． (2)设P (a ，14a 2＋1)，则Q (a，0) ∴PQ=14a 2＋1，∵以P 为圆心，PQ 为半径作圆，圆总会经过y 轴一定点D ∴当圆P 与y 轴相切时，可得a =14a 2＋1，∴a =2，D 点坐标为(0，2) ∴D 到L 的最大距离是DA 长第4讲 本讲课后作业A 基础巩固(2016年江汉区九上期中)1、已知抛物线y =ax 2－2anx ＋an 2＋n ＋3的顶点P 在一条定直线l 上，则直线l 的解析式为 y =x ＋3 .(2016年青山区九上期中)2、抛物线C 3：y =(x －m )2＋(x －m )＋2m ＋1经过点P (m ，n )，则n = 2m ＋1 (用含m 的式子表示)；点P 一定在定直线l 上运动，则直线l 的解析式为 y =2x ＋1 .(2016年江夏区九上期中) 3、已知点M (2，3)，F (0，12)，点P (m ，n )为抛物线y =12x 2上一动点，则用含m 的式子表示PF = 12(m 2＋1) ；PF ＋PM 的最小值是72.4、如图，抛物线21122y x =-与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，点P 是抛物线上一动点(不包括A 、B )，PM ⊥x 轴于点M ，点P 的横坐标为t ．(1)若－1＜t ＜1，求证：OP ＋PM 为定值，并求出该值． (2)若t ＜－1或t ＞1，求证：OP －PM 为定值，并求出该值．【答案】(1)当y ＝0时211022x =-∴x ＝±1 ∴A (－1，0) B (1，0)设P (t ，21122t -)∴OP 2＝t 2＋(21122t -)2＝(21122t +)2∴OP ＝21122t +∵PM ＝21122t -∴OP ＋PM ＝2211112222t t ++-＝1为定值 (2)当t ＜－1时设P (t ，21122t -) 由(1)知PO ＝21122t +，PM ＝21122t - ∴PO －PM ＝21122t +－(21122t -)＝1为定值 同理当t ＞1时PO －PM ＝1为定值B 综合训练5、抛物线y ＝ax 2(a 是常数，a ≠0)过点(2，－1)，与过点D (0，－1)的直线y ＝kx ＋b 交于M 、N 两点(M 在N 的左边)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当k ＝34时，点P 是直线MN 上方的抛物线上一动点，当S △MNP 最大时，求点P 的坐标； (3)求证：无论k 取何值，直线y ＝1总与以MN 为直径的圆相切．图1 图2【答案】(1)y ＝ax 2过点(2，－1)∴－1＝ax 2，∴a ＝14- ∴y ＝214x - (2)当k ＝34时，y ＝kx ＋b 过点D (0，1) ∴314y x =- 设P (t ，214t -)过P 作PQ ∥y 轴，交y ＝314x -于点Q ，则Q (t ，314t -) ∴PQ ＝213144t t --+ 由214314y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩2244x y =-⎧⎨=-⎩ ∴M (－4，4)，N (1，14-) ∴S △MNP ＝12N M PQ x x - ＝2113(t t 1)(14)244--++＝25155882t t --+ ＝25335(t )8232-++ ∴当t ＝32-时，S △MNP 最大＝3532此时P (32-，916-) (3)由2114y kx y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩得1212221x k y k ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2222221x k y k ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩ ∴M(2k -+2221k -+)，N(2k --2221k --)∴MN ＝4(k 2＋1)∴MN 中点的纵坐标为－2k 2－1点A 到y ＝1距离为1－(－2k 2－1)＝2＋2k 2＝12MN ∴无论k 取任何值，直线y ＝1总与以MN 为直径的圆相切.数学故事当代保尔——张海迪张海迪，1955年秋天在济南出生。
高中抛物线知识点
高中抛物线知识点抛物线是高中数学中重要的一部分内容，它涉及到二次函数的图像和性质等知识点。
在学习抛物线的过程中，我们需要掌握以下几个关键的知识点。
一、抛物线的定义和性质抛物线是一个平面曲线，其定义是所有与一个固定点（焦点）到一个固定线（准线）的距离相等的点的轨迹。
焦点与准线之间的距离被称为焦距，而准线上的一点被称为顶点。
抛物线对称轴与准线垂直，过顶点且与焦点相交于抛物线的对称轴。
抛物线的顶点是自然数轴上的最低点或最高点，这取决于抛物线开口的方向。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a表示抛物线的开口方向和形状，b和c则确定抛物线在坐标系中的平移位置。
当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。
通过标准方程，我们可以推导出抛物线的顶点坐标和对称轴的方程。
三、抛物线的图像和拟合曲线使用图形计算器或计算机绘制抛物线的图像可以帮助我们更好地理解抛物线的性质。
在绘制图像时，我们可以调整a、b和c的值来改变抛物线的形状和位置。
此外，抛物线也可以用来拟合一些实际问题，如抛物线运动的轨迹、物体的抛射运动等。
四、抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是与准线上每个点到焦点的距离相等的点的集合。
通过求解焦点的坐标，我们可以了解抛物线的焦距及其与抛物线的关系。
同样，准线也是与抛物线上每个点到准线的距离相等的点的集合。
掌握焦点和准线的性质对于解题和图像分析是非常有帮助的。
五、抛物线的焦半径和离心率抛物线的焦半径是焦点与抛物线上任意一点之间的距离。
通过求解焦半径的值，我们可以计算出抛物线的离心率，它是焦半径与准线之间的比值。
离心率是描述抛物线形状的一个重要参数，它可以用来区分不同类型的抛物线，如圆锥曲线和拋物面等。
总之，高中抛物线是数学中一个重要而有趣的章节。
通过学习抛物线的定义、标准方程、性质以及相关概念，我们可以更好地理解抛物线的特点和应用。
掌握这些知识点不仅可以提高我们的解题能力，更可以培养我们的逻辑思维和空间想象能力。
二次函数焦点准线公式
二次函数焦点准线公式关于二次函数焦点准线公式，我们需要先了解一下二次函数的定义与基本概念。
二次函数是指具有一般形式y=a某^2+b某+c(某∈R，a≠0)的一类函数。
其中a、b、c三个系数分别代表二次函数的开口方向、对称轴位置和纵截距等特征。
二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当抛物线开口朝上时，a>0；当开口朝下时，a<0。
对称轴是二次函数图像上的一条垂直于某轴的直线，其方程为某=-b/2a。
在二次函数图像上存在两个关键点：顶点P和焦点F。
顶点P是二次函数图像上的最高点（或最低点），其横坐标为对称轴的横坐标，即某=-b/2a；纵坐标可以通过将某=-b/2a带入函数y=a某^2+b某+c中求得。
当a>0时，顶点P为二次函数的最低点；当a<0时，顶点P为二次函数的最高点。
而焦点F则是确定二次函数图像形状的关键点。
对于每一个二次函数都有且只有一个焦点F。
我们可以通过以下公式求出二次函数图像上的焦点坐标：当抛物线开口朝上时，焦点坐标为（-b/2a，c-a/4）；当抛物线开口朝下时，焦点坐标为（-b/2a，c+a/4）。
例如，当二次函数y=2某^2-4某+1的图像开口朝上时，通过公式可以得到焦点坐标为（1，-1）。
除了焦点之外，准线也是二次函数图像上的一个重要概念。
准线是指与对称轴平行且距其等距离的一条直线。
我们可以通过以下公式求出二次函数图像上的准线方程：当抛物线开口朝上时，准线方程为y=c-a/4；当抛物线开口朝下时，准线方程为y=c+a/4。
例如，当二次函数y=-3(某-2)^2+7的图像开口朝下时，通过公式可以得到准线方程为y=8。
总结来说，二次函数焦点准线公式主要包括两个公式：一个用于求开口朝上的二次函数图像焦点坐标，一个用于求开口朝下的二次函数图像焦点坐标。
另外，也有两个公式用于求准线方程。
这些公式在学习二次函数的图像与性质时非常重要，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
数学公式知识：抛物线的图像、根及其性质
数学公式知识：抛物线的图像、根及其性质抛物线的图像、根及其性质抛物线是数学中的一种常见曲线，它是二次函数的图像，由于它的形状像一个飞行出去的物体轨迹，因此又称为“抛物线”。
抛物线除了在数学中被广泛应用外，在很多领域中也有着重要的应用，例如物理学、机械工程等。
抛物线的图像抛物线的图像通常呈现出开口朝上或朝下的弧形，它是由一条水平线和一条竖直线分割出来的。
这个竖直线又被称为“对称轴”，它是抛物线的“镜子”，沿着这条轴，抛物线的两边是对称的。
二次函数的一般式表示为：y=ax²+bx+c，其中a、b和c都是常数，而x和y则是变量。
当这个函数表示为y=ax²+bx+c时，a的正负会决定抛物线图像的开口方向，当a大于0时，抛物线开口朝上，当a小于0时，抛物线开口朝下。
抛物线的根抛物线的根指的是它与x轴交点处的x值，也就是零点。
实际上，除了竖直对称轴的抛物线外，抛物线与x轴最多只有两个交点。
如果抛物线与x轴相切，则只有一个交点，而如果抛物线没有与x轴交点，则它没有实数根。
抛物线的性质抛物线有很多重要的性质，以下是其中一些：1.对称性：抛物线与x轴关于对称轴对称。
这就是说，对于抛物线上的任意一点P，在抛物线的对称轴上存在一个点Q，使得Q是P关于对称轴的对称点，而且P和Q到对称轴的距离相等。
2.焦点和准线：抛物线有一个特殊的点，叫作焦点，它是一个离心率为1的椭圆的焦点。
如果将抛物线定义为所有到一个点和一条直线距离相等的点的集合，那么这个点和直线就是焦点和准线。
3.切线：在抛物线上任意一点处，都存在一条与它相切的直线，而且这条直线与对称轴垂直。
换句话说，抛物线的切线的斜率等于函数在这个点处的导数。
4.导数和极值：抛物线有一个“开口向上”或“开口向下”的顶点，它是抛物线的极值点，也是导数为零的点。
在开口朝上的情况下，顶点是函数的最小值，而在开口朝下的情况下，顶点是函数的最大值。
总之，抛物线是数学中的一种重要曲线，它有很多性质和规律，广泛应用于数学、物理学和工程领域。
二次函数中的焦点与准线问题
二次函数中的焦点与准线问题【例题讲解】（2011年·黄冈市）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．⑴求b的值．⑵求x1?x2的值⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．解：⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得x1·x2=－4.⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1?F1N1=－x1?x2=4，而FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：直线y=－1即为直线M1N1．如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF．那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1＋NN1）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．通过此题，可以得到如下一些性质：性质1：①x1x2=-4; ②x1+x2=4k; ③y1y2=1; ④y1+y2=4k2+2性质2：M1F⊥FN1性质3：NF=NN1，MF=MM1，MN=MM1+NN1.性质4：MQ，NQ分别为∠M1MN，∠N1NM的平分线.性质5：FQ⊥MN.性质6：在直角梯形MM1N1N中，以M1N1为直径的圆与MN相切，切点为F.性质7：性质8：MQ⊥M1F,NQ⊥N1F,且MQ与M1F和NQ与N1F的交点在x轴上.性质9：点M，O，N1共线；N，O，M1共线.【练习巩固】1.(2014年湖北咸宁) 如图1，P（m，n）是抛物线上任意一点， l是过点（0，）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】（1）填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP ＝，PH＝；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP 与PH的大小关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．2. （2013?南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x 轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．3.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点.（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图13-2，设(m<0)，过点的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．4.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．5.抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2,2）的直线交该抛物线于点M，N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B.（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示）,再求m的值；（2）设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P,且PA?PB=,求点M的坐标．继续阅读。
二次函数焦点准线公式
二次函数焦点准线公式一、焦点的概念与计算焦点是指平面上的一个点，它和平面上的一条直线之间有着特定的几何关系。
对于二次函数来说，它的图像是一个抛物线，焦点就是抛物线的一个重要特征点。
具体地说，对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），它的焦点坐标可以通过以下公式计算得到：焦点坐标（x0，y0）的x坐标等于抛物线的顶点的x坐标：x0=-b/2a焦点坐标（x0，y0）的y坐标等于抛物线的顶点坐标的y坐标加上a 的倒数：y0=c-(b^2-1)/(4a)需要注意的是，计算焦点坐标时要求a≠0，因为当a=0时，抛物线变成了直线，不存在焦点的概念。
二、准线的概念与计算准线是指与抛物线平行且离开抛物线a的距离相等的一条直线。
准线是抛物线的对称轴，它将抛物线分为两个对称的部分。
对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），准线的方程可以通过以下公式计算得到：准线方程的x坐标等于抛物线的顶点的x坐标：x=-b/2a至于准线的y坐标，则可以通过直接代入准线的x坐标进入二次函数得到：y = ax^2 + bx + c可以看出，准线的y坐标就是抛物线的顶点的y坐标。
三、焦点与准线的几何关系焦点和准线是抛物线的重要特征点，有着特定的几何关系。
对于二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0），焦点和准线满足以下关系：焦点到准线的距离等于焦距的两倍：PF=PD=，1/(4a)其中PF表示焦点到焦点直线的距离，PD表示焦点到准线的距离，焦距的倒数，1/(4a)，表示焦点到准线的距离。
这个关系是抛物线的一个重要性质，可以通过几何、代数和物理的方法进行证明。
四、焦点和准线的直观理解为了更好地理解焦点和准线的概念和计算方法，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
假设有一个二次函数y=x^2-4x+3，我们要计算它的焦点和准线。
首先，根据一般公式，可以计算出顶点的坐标为(2,-1)。
焦点的x坐标等于顶点的x坐标，所以x0=2焦点的y坐标等于顶点的y坐标加上a的倒数，即y0=-1+(1/(4*1))=-1+1/4=-3/4所以焦点的坐标为(2,-3/4)。
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二次函数中的焦点与准线问题
【例题讲解】
（2011年·黄冈市）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．
⑴求b 的值．
⑵求x 1•x 2的值
⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，
请说明理由．
解：⑴b =1
⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组
2114
y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104
x kx --=，依据“根与系数关系”得x 1·x 2=－4. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1•F 1N 1=－x 1•x 2=4，
而FF 1=2，所以F 1M 1•F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得
∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．
⑷存在，该直线为y =－1．理由如下：
直线y =－1即为直线M 1N 1．
如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=2114
m +， NF =2221
(1)4m m +-=2114
m +，得NN 1=NF 同理MM 1=MF ．
那么MN =MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ =12（MM 1＋NN 1）=12
MN ，即圆心到直线y =－1的距离等于圆的半径，所以y =－1总与该圆相切．
通过此题，可以得到如下一些性质：
性质1：①x 1x 2=-4; ②x 1+x 2=4k; ③y 1y 2=1; ④y 1+y 2=4k 2+2
性质2：M 1F ⊥FN 1
性质3：NF=NN 1，MF=MM 1，MN=MM 1+NN 1.
性质4：MQ ，NQ 分别为∠M 1MN ，∠N 1NM 的平分线.
性质5：FQ ⊥MN.
性质6：在直角梯形MM 1N 1N 中，以M1N1为直径的圆与MN 相切，切点为F.
性质7：111=+NF
MF 性质8：MQ ⊥M 1F,NQ ⊥N 1F,且MQ 与M 1F 和NQ 与N 1F 的交点在x 轴上.
性质9：点M ，O ，N 1共线；N ，O ，M 1共线.
【练习巩固】
1.(2014年湖北咸宁) 如图1，P （m ，n ）是抛物线2
14
x y =-上任意一点， l 是过点（0，2-）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为H ．
【探究】
（1）填空：当m ＝0时，OP ＝ ，PH ＝ ；当m ＝4时，OP ＝ ，PH ＝ ；
【证明】
（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】
（3）如图2，已知线段AB =6，端点A ，B 在抛物线2
14
x y =-上滑动，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．
O x y H P （m ，n ） l －2 (第23题图1) O
x y B A
l －2 (第23题图2)
2. （2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
3.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=1
4
x2相交
于B、C两点.
（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图13-2，设,
B m n
（）(m<0)，过点01
E
（，）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l 于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．
4.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．
问题解决
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y 轴交于C 点，与函数y=x 2
的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作直线y=﹣1的垂线，交于E ，F 两点．
（1）写出点C 的坐标，并说明∠ECF=90°；
（2）在△PEF 中，M 为EF 中点，P 为动点．
①求证：PE 2+PF 2=2（PM 2+EM 2）；
②已知PE=PF=3，以EF 为一条对角线作平行四边形CEDF ，若1＜PD ＜2，试求CP 的取值范围．
5.抛物线y =14
x 2+x+m 的顶点在直线y=x+3上，过点F （-2,2）的直线交该抛物线于点M ，N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B.
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示）,再求m 的值；
（2）设点N 的横坐标为a,试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标,并说明NF=NB ； （3）若射线NM 交x 轴于点P,且PA •PB=9
100,求点M 的坐标．。