二次函数中的焦点与准线问题

二次函数中的焦点与准线问题

1.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距

离相等，你可以利用这一性质解决问题．

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，

B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．

（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；

（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．

①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；

②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．

2.(2014年湖北咸宁) 如图1，P（m，n）是抛物线

2

1

4

x

y=-上任意一点，l是过点（0，

2-）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．

【探究】

（1）填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝；【证明】

（2）对任意m，n，猜想OP 与PH的大小关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线

2

1

4

x

y=-上滑动，求A，B两点到

直线l的距离之和的最小值．

(第23题图1) (第23题图2)

3. （2013•南宁）如图，抛物线y=ax 2

+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究：

①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k 取何值，

的值都等于同一个常数．

4.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b （k ≠0）过点F （0，1），与抛物线y =14

x 2

相交于B 、C 两点.

（1）如图13-1，当点C 的横坐标为1时，求直线BC 的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M 是直线BC 上一动点，过点M 作y 轴的平行线，与抛物线交于点D ，是否存在这样的点M ，使得以M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图13-2，设,B m n （）(m <0)，过点01E （，）的直线l ∥x 轴，BR ⊥l 于R ，CS ⊥l

于S ，连接FR 、FS ．试判断△RFS 的形状，并说明理由．

5.抛物线y =

14

x 2

+x+m 的顶点在直线y=x+3上，过点F （-2,2）的直线交该抛物线于点M ，N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B.

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示）,再求m 的值； （2）设点N 的横坐标为a,试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标,并说明NF=NB ；