第2课时 坐标系中的位似图形
第3章 3.6 第2课时 坐标系中的位似图形
11．如图，在 12×12 的正方形网格中，△TAB 的顶点坐标分别为 T(1,1)、 A(2,3)、B(4,2)． (1)以点 T(1,1)为位似中心，按比例尺(TA′∶TA)3∶1 在位似中心右侧将△TAB 放大为△TA′B′，放大后点 A、B 的对应点分别为 A′、B′，画出△TA′B′并写 出点 A′、B′的坐标； (2)在(1)中，若 C(a，b)为线段 AB 上任一点，写出变化 后点 C 的对应点 C′的坐标． 解：(1)如图，A′(4,7)，B′(10,4)； (2)C′(3a－2,3b－2)．
7．(烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG
是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点 A、B、E 在 x 轴上，
若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为( A )
A．(3,2)
B．(3,1)
C．(2,2)
D．(4,2)
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点坐标分别为 O(0,0)、A(2,0)、 B(2,1)、C(0,1)，以原点 O 为位似中心，将矩形 OABC 放大为原图形的 2 倍， 记所得矩形为 OA1B1C1，B 的对应点为 B1，且 B1 在 OB 的延长线上，则 B1 的坐标为 (4,2) . 9．如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为(3,2)、 (－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 (1,0)或(－5，－2) .
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/92021/9/92021/9/92021/9/99/9/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月9日星期四2021/9/92021/9/92021/9/9 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/92021/9/92021/9/99/9/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/92021/9/9September 9, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/92021/9/92021/9/92021/9/9
4.8 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换教案1
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A（6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。
在平面直角坐标系中画位似图形课件
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点 为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么 与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点
的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
如何在平面直角坐标系中，以原点为 位似中心，画一个图形的位似图形？
例 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-2,4）,
是 （kx , k. y）
3.当以原点为位似中心的两位似图形位于原 点异侧时，观察对应点的坐标有什么变化？
-2
C″(-10,0)
1 3
(-2,0) A″(-8,-8)
(-2,-1)
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中 心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位 于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图
区别:平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全 等变换,而位似变换是相似(扩大或缩小)变换．
1、在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形 的位似图形，可以作几个？
2、如果所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应 顶点的坐标有什么变化规律？如果所作位似图形与原图形在 原点的异侧呢？
3、如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画一 个图形的位似图形？
1.观察在平面直角坐标系中，以原点为位似中 心作一个图形的位似图形，可以作几个？
平面直角坐标系中的位似
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变 化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系 表示某些平移、轴对称和旋转（中心对称）.
y
类似地，位似也可以用两个图形坐标之间 的关系来表示.
位似图形在直角 坐标系中又有什 么规律呢？
O
x
认真阅读课本探究内容（注意圈点勾画）, 思考下列问题：
第2课时坐标系中的位似图形
探究
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y A′(2,1), B′(2,0)
A
A'
o
B'
B
x
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
y
A
C
B
x
o
B”
A”
知识要点
在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则 像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－ kx，－ky）.
例题
在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分
y A′(2,1),B′(2,0) A〞(-2,-1),B(-2,0)
A
A&#
x
A〞
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
探究
放大后对应点的坐标分别是多少?
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分 别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相 似比为2画它的位似图形.
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 ) y
A' 6
还有其他办法吗?
4 A
3
2
B'
C
1
B
o
2
4
6
在平面直角坐标系中画位似图形
(1)相似比为
1 2
;
y
z ( 1,4 )
y ( 5,4 )
S( 2,2 )
W ( 1,1 )
x ( 5,1 )
o
x
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便便成功!
复习回顾
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
E
B
O
C
F
D
A
D
B
O
C
F
A
E
对应点连线都交于_位__似___中__心____ 对应线段___平___行__或__在___一__条__直___线__上_________
探索1:
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为 位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y A′(2,1), B′(2,0)
A
A'
x
o
B'
B
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原 点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0) y
A〞(-2,-1),B(-2,0)
A
A'
B〞
x
o
B变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点 为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点 的坐标的比等于k或-k.
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比 为2画它的位似图形.
放大后对应点的坐标分别是多少?
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
九年级数学下第27章相似27.3位似第2课时平面直角坐标系中的位似变换习题课人教
2．【教材P49例题变式】【中考·邵阳】如图，在平面直角
坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将
△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的
1 2
，得到
△COD，则CD的长度是( A )
A．2 B．1 C．4 D．2 5
3．【教材P50练习T1变式】【2021·重庆】如图，在平面直 角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到 △OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的相 似比是( )
7．【2021·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE 是位似图形，则它们位似中心的坐标是__(4_，__2_)__． 【点拨】如图所示．
点G(4，2)即为所求的位似中心．
8．【教材P50练习T2变式】如图，在同一象限内画出△ABC 以O为位似中心的位似三角形(△A′B′C′)，使△ABC与 △A′B′C′的相似比是1 ∶2，并写出A′，B′，C′的坐标．
A．2 ∶1 B．1 ∶2 C．3 ∶1 D3)， ∴OB＝1，OD＝3. ∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB与△OCD的相似比是OB∶OD＝1∶3.
【答案】D
4．【2021·东营】如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴 的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴 的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长 放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点 B′的横坐标是( )
12．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点 F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，求这两个正 方形的位似中心的坐标．
【思路点拨】当位似中心在两个图形同旁时，位似中心是直线 CF与x轴的交点，这时只需求出直线CF对应的函数解析式， 即可求出交点坐标；当位似中心在两个图形之间时，其位似中 心是直线OC，BG的交点，这时只需求出两直线OC，BG对应 的函数解析式，即可求出其交点坐标．
平面直角坐标系中的位似变换
8)，O(0， 0)，C′ (10， 0)； A"(－8，－8)，O(0，0)， C″ (－10， 0).
归纳
知1－导
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或－k.即若原图形的某一顶点坐标为(x0， y0)，则其位 似 图 形 对 应 顶 点 的 坐 标 为 ( k x 0， k y 0) 或 (－kx0，－ky0)．
知1－练
3 如图，线段CD的两个端点的坐标分别为C(1，2)， D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得 到线段AB，若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐标 为( B ) A．(2，5) B．(2.5，5) C．(3，5) D．(3，6)
知1－练
4 (中考•东营)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心， 相似比为 1 , 把△ABO缩小，则点A的对应点A′的
事实上，幻灯机工作的实质是将图片中的图形放大． 本节知识将对上述问题作系统的讲解．
知1－导
知识点 1 平面直角坐标系中的位似变换
问题
如图(1)，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6,
0)．以原点O为位似中心，相似 比为 1 ，把线段AB缩小．观察
3 对应点之间坐标的变化，你有
什么发现？
如图(2)，△AOC三个顶点的
3
坐标是( D ) A．(－1，2) B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
知1－练
5 【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中，正方 形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的 位似图形，且相似比为 1 , 点A，B，E在x轴上，
位似-在平面直角坐标系中画位似图形课件
探究2 当以原点为位似中心的两位似图形位于 原点异侧时，对应点的坐标有什么变化？
1 3
A″(-10,0)
-2
(-2,0) (-2,-1)
B″(-8,-8)
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似
中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形 位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似 图形上的点的坐标是 （-kx , -k.y）
三角形, 使它与△ABO的
相似比为 3 .y26A 42
B
-4
-2 O
2
x
A′(-3,6)
y 6
还可以得到其他
图形吗？
A 4
2
B′(-3,0) B -2 O
2 B″ x
A″
至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和 位似等图形的变化方式.你能在下图所示的图案中找 到它们吗？
平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
1 3
还有满足条 件的线段吗？
①画出线段AB
A′
②连接位似中心O
B″
A(6,3)
③找 1的对应点
O
B′
5 B(6,0)
x
3
A″
2、在直角坐标系中， △AOC 的三个顶点的 坐标分别为A(4,4), O(0,0)，C(5,0).以点O 为位似中心，相似比为 2，将△AOC放大.
y
经过位似变 换还可以得到其 他图形吗？
课前展示
1.什么是位似图形？位似图形的 性质有哪些？
2.怎样画位似图形？
把下面四边形缩 小到原来的 1
2
3.图形的变换 平移，旋转，轴对称等。
y
5
A(1,3)
B(0,1)
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第2课时 坐标系中的位似图形
要点感知 一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得的图形与原图形是以
为位似中心的位似图形.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 .
预习练习1-1 (2019·孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(-4，2)，F(-2，-2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是( )
A.(-2，1)
B.(-8，4)
C.(-8，4)或(8，-4)
D.(-2，1)或(2，-1)
1-2 如图，已知O 是坐标原点，△OBC 与△ODE 是以O 点为位似中心的位似图形，且△OBC 与△ODE 的相似比为1∶2，如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y)，则M 在△ODE 中的对应点M ′的坐标为( )
A.(-x ，-y)
B.(-2x ，-2y)
C.(-2x ，2y)
D.(2x ，-2y)
1-3 △ABC 和△A ′B ′C ′关于原点位似，且点A(-3，4)，它的对应点A ′(6，-8)，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是 .
知识点 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律
1.(2019·青岛)如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A ，B 的对应点分别为A ′，B ′点A ，B ，A ′，B ′均在图中在格点上.若线段AB 上有一点P(m ，n)，则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为( )
A.(2m ，n)
B.(m ，n)
C.(m ，2n )
D.(2m ，2
n )
2.如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A(1，0)与点A ′(-2，0)是对应点，点B(2，2)，则B ′点的坐标 .
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A ′B ′C ′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B ′(6，
2).
(1)若点A(52
，3)，则A ′的坐标为 ；
(2)若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积= .
4.如图，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，0).以O为位似中心，画出一个△OA′B′，使得△OA′B′与△OAB的相似比为2∶1，并写出点A′和点B′的坐标.
5.如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，-1)，(2，1).
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2），画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标.
6.(2019·毕节)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( )
A.(2，4)
B.(-1，-2)
C.(-2，-4)
D.(-2，-1)
7.如图，已知点E(-4，2)，点F(-1，-1)，以O为位似中心，把△EFO放大为原来的2倍，则E点的对应点坐标为( )
A.(2，-1)或(-2，1)
B.(8，-4)或(-8，4)
C.(2，-1)
D.(8，-4)
8.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示).则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )
A.(-2a，-2b)
B.(-a，-2b)
C.(-2b，-2a)
D.(-2a，-b)
9.如图，△ABC缩小后得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′的位似比为.
10.已知△ABC位于平面直角坐标系内如图.
(1)将△ABC各顶点的坐标分别乘以-2，作为点A1，B1，C1的坐标，画出△A1B1C1；
(2)试说明△A 1B 1C 1与△ABC 有什么关系？
11.已知△ABC 的三个顶点坐标如下表：
(1)将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出△A ′B ′C ′；
(2)观察△ABC 与△A ′B ′C ′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论.
挑战自我
12.已知，△DEF 是△ABC 的位似三角形(点D ，E ，F 分别对应点A ，B ，C)，原点O 为位似中心，△DEF 与△ABC 的位似比为k.
(1)若位似比k=12
，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF ； (2)若位似比k=m ，△ABC 的周长为C ，则△DEF 的周长= ；
(3)若位似比k=n ，△ABC 的面积为S ，则△DEF 的面积= .
参考答案
课前预习
要点感知 坐标原点 k -k
预习练习1-1 D 1-2 B 1-3 1∶2
当堂训练
1.D
2.(-4，-4)
3.(1)(5，6)(2)4m
4.图略：A′(2，4)，B′(6，0).
5.(1)图略.
(2)B′的坐标是(-6，2)，C′的坐标是(-4，-2).
课后作业
6.C
7.B
8.A 9 .3∶1
10.(1)图略.
(2)△A1B1C1与△ABC以原点O为位似中心的位似图形，位似比为2.
11.(1) 8 6 10 2 ；
(2)△A′B′C′是△ABC放大2倍的位似图形.也可写出有关两三角形形状、大小、位置等关系，如△ABC∽△A′B′C′、周长比、相似比、位似比等.
12.(1)图略.
(2)∵位似比k=m，△ABC的周长为C，∴△DEF的周长=mC.
(3)∵位似比k=n，△ABC的面积为S，∴△DEF的面积=n2S.。