第四章 投影变换
投影变换
1. 直线的实长、倾角：直角三角形法，变换一次投影面 2. 平面的实形、倾角：最大斜度线法求倾角，变换投影面法 3. 距离: 点到直线、两直线、点到平面、直线与平面、两平面
点、线、面法，变换投影面法 4. 夹角: 两直线、直线与平面、两平面
变换投影面法
28
综合举例 1. 求A点到三角形BCD的距离及两面投影。
第四章 投 影 变 换
§4－1 投影变换的目的和方法 §4－2 变换投影面法（换面法） §4－3 旋转法 §4－5 度量问题和定位问题举例
1
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
水平线
b
实长
a 正垂线
2
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
6
§4－2 换 面 法
一、 基本概念：
a' A
V
c' C b'
a
实形 a1'
V c1'
b1' B
V
b'
X
X
bH
b
H
换面法：空间几何元素不动，改
X1
变投影面的位置使其有利于解题。
a'
c'
O a(c)
O1
c1'
b1'
a1'
V1
7
§4－2 换 面 法
二、基本条件
建立新投影面的条件：
（1）新投影面要垂直原有的 一个投影面。
c
H
第四章 投影变换
1∶2000标准图框的投影结果如图：
大比例尺非标准框
以1：2000为例，其他大比例尺的非标准框生成方法类似； 单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框”命令， 弹出“1：2000图框”如图：
矩形分幅方法为： 任意矩形分幅；
•
• 设置起始公里值、 结束公里值、公里值 间隔后，单击“确定” 按钮，即可生成1： 2000非标准框；
第三步：设置用户投影参数
设置结果投影参数
第四步：设置结果投影参数
第五步：设置分隔符，系统提示要求设置分 隔来自功能，选择属性名称所在行，如右图
第六步：设置投影后点图元参数
第七步：点击投影变换，系统自动进行投影。关 闭投影转换对话框，系统提示是否保存NONAME.WT 点文件,点击“是”
在输入编辑系统中，通过添加背景图框文件，显示 投影点文件文件
在点编辑中，根据属性标注释，标注地质点 “GPOINT”，检查属性，则显示右下图
常用地图投影经纬线网的自动绘制 ①选择原始坐标系为大地坐标系，目的投影系为绘 制经纬网的坐标系；
②设置好投影经纬网的比例尺及单位； ③输入投影经纬网投影方程的一系列参数，如中央
子午线经度、标准纬线纬度、位置偏移等；
④输入绘制投影经纬网的起止经纬度值，经纬度
间隔值。
⑤设置网线参数、网线类型、刻度尺、比例尺及
大于 1：5000 时，图幅为大比例尺，矩形图幅，单位为公 里值； 四类图框： ①、小比例尺的标准框
②、小比例尺的非标准框
③、大比例尺的标准框 ④、大比例尺的非标准框
小比例尺标准框
投影变换
投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。
2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。
投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。
●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。
bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。
near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。
程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。
void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。
Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。
zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。
参数恒为正。
图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。
画法几何课件第四章平面的投影及投影变换应用
§4-3 平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件 二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线 五、平面内的点
§4-1 平面的表示法
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-1 平面的表示法
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平行面
3.侧平面 投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平R RV
X
Z
RV
O
X
o
a‟ c‟
迹线表示平面
a‟ 30° x o
b‟ x
d‟
30°
RV
o
d b a c
§4-1 平面的表示法
RH
a
一、投影面垂直面
例2 包含AB（ab，a‟b‟ ）作铅垂面。
b‟
a‟
X
c‟ b c O
a
§4-1 平面的表示法
一、投影面垂直面
例3 完成侧垂面的水平投影。
1„ 2„ Z 1“ 2“ 3„ 6„ 1 2 4 3
投影分析：
侧垂面 注意：
4„
X 5„
4“ 3“
5“ 6“ YW
V、H 投影的
投影变换
V X H
ax
a2
a ax1
H X1 P 1
.
ax2 .
a1
P2 P1 X 2
四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1
V
A
b
●
n
d b
d1
.
●
D
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
d1
n1
H P1 X1
圆半径=MN
c1
●
求交叉两直线AB、CD间的距离。
b
m
d k a k d m a d 1 c c b c 1 k 1 m2 a2 b2 c2 k2 d2
V XH
b1
m1
a1
Why？
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
H X1 P 1
.
求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂直 于投影面时，CD平行于投 影面，其投影反映实长。所 以，需要把直线AB变换成 投影面垂直线。
AD C B abd P c
X
V H
直线CD在P1 / P2两投 影体系中，平行于新 投影面P2。则CD直线 在P1平面中的投影有 什么特点?
c d a1 d1 .
距离
b b1 . a2 2d2
P1 P2
c2
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
X2
求C点到AB直线的距离。
a1
a k1 b1 c k' b c1
投影变换
投影变换由于数据源的多样性，当数据与我们研究、分析问题的空间参考系统（坐标系统、投影方式）不一致时，就需要对数据进行投影变换。
同样，在对本身有投影信息的数据采集完成时，为了保证数据的完整性和易交换性，要对数据定义投影。
空间数据与地球上的某个位置相对应。
对空间数据进行定位，必须将其嵌入到一个空间参照系中。
因为GIS 描述的是位于地球表面的信息，所以根据地球椭球体建立的地理坐标（经纬网）可以作为空间数据的参照系统。
而地球是一个不规则的球体，为了能够将其表面的内容显示在平面的显示器或纸面上，就必须将球面的地理坐标系统变换成平面的投影坐标系统当系统使用的数据取自不同地图投影的图幅时，需要将一种投影的数字化数据转换为所需要投影的坐标数据。
投影转换的方法可以采用：1.正解变换通过建立一种投影变换为另一种投影的严密或近似的解析关系式，直接由一种投影的数字化坐标x、y 变换到另一种投影的直角坐标X、Y。
2.反解变换即由一种投影的坐标反解出地理坐标(x、y→B、L)，然后再将地理坐标代入另一种投影的坐标公式中(B、L→X、Y)，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换(x、y→X、Y)。
3.数值变换根据两种投影在变换区内的若干同名数字化点，采用插值法，或有限差分法，最小二乘法、或有限元法，或待定系数法等，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换。
目前，大多数GIS 软件是采用正解变换法来完成不同投影之间的转换，并直接在GIS 软件中提供常见投影之间的转换。
借助ArcToolbox 中Projections and Transformations工具集中的工具，可以实现对数据定义空间参照系统、投影变换，以及对栅格数据进行多种转换，例如翻转（Flip）、旋转（Rotate）和移动（Shift）等操作。
1. 定义投影定义投影（Define Projection），指按照地图信息源原有的投影方式，为数据添加投影信息。
第四章.投影变换
【案例4-2】已知直线AB及线外一点M，求作M 案例4 已知直线AB及线外一点M 求作M AB及线外一点 点到直线AB的距离及其投影。 AB的距离及其投影 点到直线AB的距离及其投影。
① 选取新投影面V1代替V面。作 X1∥ab，求得AB、M在V1面上的新投 影a1′b1′、m1′； ② 再取新投影面H2代替H面。作 X2⊥a1′b1′，求得AB、M在H2面上的新 投影a2b2、k2，a2、b2必重合为一点； ③ 连接m2和a2（b2），即为点到直 线AB的实际距离（垂足K的投影k2与 a2b2重合）。 ④ 过点m1′作直线m1′k1′∥X2得k1′， 再根据K点从属于直线AB，由k1′求出k ，由k求出k′，连接mk、m′k′，即完成 作图。
2．求解角度问题
【案例4-4】已知两一般位置平面△ABC和△ABD，用换面法 案例4 已知两一般位置平面△ 求两平面间的夹角。 求两平面间的夹角。
① 选投影面V1∥AB，求出a1′b1′，a1′b1′反映AB的实长。同时求得c1′、d1′，连接a1′c1′、b1′c1′ 和a1′d1′、b1′d1′。△a1′b1′c1′和△a1′b1′d1′为两平面在V1面上的新投影。 ② 再选取投影面H2⊥AB，即作X2⊥a1′b1′，求得a2b2c2和a2b2d2，分别为两平面有积聚性的投 影。两直线a2b2c2和a2b2d2之间的夹角就是两平面△ABC和△ABD的二面角φ。
一般位置直线变为正平线， 一般位置直线变为正平线，必须变换V面，使新投影面 V1平行于AB，作图步骤如下： 作图步骤如下：
2．把投影面平行线变换为投影面垂直线
这种变换的目的是使线段的投影具有积聚性，以便于求解某些度量问题。 AB在V/H体系中为一正平线，用一垂直于AB的H1面（它必然垂直于V面） 来替换H面，则AB在V/H1体系中就成为新投影面H1的垂直线，它在H1面 上的投影a1b1积聚为一点。
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
第四章 投影变换
分析
因 直 线 MN 平 行 于 △ ABC 且相距20㎜，所以MN必定位于 与△ABC平行且相距20㎜的平 面P上。当△ABC 为投影面的 垂直面时作图简便，为此选用变 换投影面法。
B M P N m a C
A n
x
V H
b
c
变换到利于解题的位置（如 图所示）仅需要一次换面。
A a
o
o1
B
b
b’1
a x1 b’1
a2
(b2)
⒈ 空间分析 直线AB为一般位置直线， ② 过a,b 要将其变为投影面的垂直线必 作直线 须经过两次变换。 ⊥ o1x1
a’1
④ 作直线 a’1和b’1
⑤ 作轴 o2x2 ⊥ a’1b’1
§4－2 变换投影面法
（三）把一般位置平面变为投影面的垂直面
§4－1 概述
几何元素的特殊位置和一般位置的比较 求平面实形 求点到平面 的距离 求两交叉直线 求两平面夹角 间的最短距离 d’c’ c’ a’
x x x x
x x x x
a’(d’) d’ a’ c’ c’
a’ d’ b’(c’)f’ a’ b’ m’ b’ e’ c’b’
0 0 0 0
a’ d’ a’ b’
n
作图
PH1
m1 b1 a1 (d1) d′ n1
c1
c′
o d
c
AD∥OX
§4－2 变换投影面法
方法2 变换V面
b′ m′ a′ V x H a m n d c n′ b
作图
d′ c′ o
① 作水平线AD； ② 作轴o1x1⊥水平线AD； ③ 作⊿ABC的V1面投影； ④ 作P面∥⊿ABC且相距20㎜； ⑤ 在变换中，点的高度是不变量；
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论3
极径：P1P的大地线长S
极角：大地线在极点的大
地方位角
A
P
S
P1
椭球面上点P(S,A)
2、Concept of the Problem
① The derivation of the problem
1） 从一已知点测得一未知点的 平距d12和方位角T12，求未知点 的坐标及方位角。
M1 R1 A M R
A M1 M R1 R
sin1 sin Lsin
M
M1 M Lsin
m
R '1
A Lsin sin A cos A cot z1
R1 1
R
R1 R sin A cos Acot z1 1
Z
A Z'
R Z1
r N cos B M sin BdB dr
3、贝塞尔大地问题解算公式
① 大地线克莱劳方程
dA sin A dr cos A r
r cosAdA sin Adr 0
r sin A C
对于球M＝N＝R亦成立
N
P'
B MdB
r
dr P
P ''
N B
K
球面上的大圆弧亦 满足克莱劳方程
3、贝塞尔大地问题解算公式
M 0.13m
mx my 0.09m
若用大地坐标表示，当B＝45°时有：
mL
N
my cos
B
''
0.004 ''
mB
mx M
''
0.003''
要求：一等三角测量中，要求大地经、纬度应计
工程制图 04投影变换的基本概念-52页文档资料
第4章
投影变换的基本概念
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1.1
第4章 投影变换的基本概念
教学提示：当几何元素相对于投影面处于一般位置时，是无法从投影图 上直接获取其真实形状、距离和角度的。由此可知，在进行空间问题的图 示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影 面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性。 应用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法(旋转法) 两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件AutoCAD为例，介 绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思路。
点A的辅助投影，而与其相关联的投影a′ 和a则称为不变投影。点的一
次投影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表4-1，
即：
(1) 点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于X1轴。
1.11
第4章 投影变换的基本概念 4.2 点的换面
(的2)距点离的。辅助投影到辅助投影轴X1的距离等于被更换的投影到原投影轴OX 表4-1 点的一次投影变换及投影变换规律
4.3.1 将一般位置直线变为投影面平行线
将一般位置直线转换为辅助投影面的平行线，可在该辅助投影面上得到 直线的实长和对不变投影面倾角的真实大小。 表4-2中以V/H体系为原投影体系，列出了用换面法求作一般位置直线的 实长及对H面或V面的倾角的作图过程。
表4-2 求一般位置直线的实长及对投影面的倾角、
1.5
第4章 投影变换的基本概念
4.1 投影变换概述
由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过 某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换 为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性，那么 ，问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。 常用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法 (旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软 件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基 本思想。 投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置 ，借助于改变以后所得的新投影(即辅助投影)，以简便地解决空 间问题。 换面法的基本解题思路是：空间几何元素本身在空间的位置不 动，而在其所在的两投影面体系中，保持一个投影面不动，用 某一辅助投影面代替另一个投影面，使其相对于该辅助投影面
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系
U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '
工程制图 第四章 投影变换
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
—— 在V/H 投影体系中直接解题： 解题步骤： 1.过一条直线AB 上任一点E 作另 一条直线CD 的 垂面 2.求直线CD 与所 作垂面的交点F 3.连e’f’、ef即为 所求距离的投影
4.求作EF 的实长
实长
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
更换水平投影面
把一般位置线变为投影面垂直线
.
把一般位置平面变为投影面垂直面
正平线 垂直
把一般位置平面变为投影面平行面
1.两平行直线之间的距离
例1
求两平行直线AB 和CD 之间的距离 在V/H 投影体系中直接解题 应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题 应用换面法在V1/H2体系中解题
例
1. 把一般位置平面变为投影面垂直面 2. 把一般位置平面变为投影面平行面 3. 综合问题举例
点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影
旧投影面 旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影
新投影面
点的一次变换
点在V/H1体系中的投影
不变投影
新投影
旧投影
点的二次变换
.
.
把一般位置直线变为投影面平行线
更换水平投影面
例2 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 —— 在V/H 投影体系中直接解题：
解题步骤： 1.过直线CD上任一点C 作直 线CG 平行于AB,连DG
2.过直线AB 上任一点M 作平 面CDG 的垂线,N 为垂足
3.过垂足N 作直线EF 平行于 直线AB,交CD 于点S
4.过点S 作直线MN 的平行线, 交直线AB 于点T,ST 即为 所求
投影变换4
第四章投影变换§4.1 概述在前三章中，我们分别讨论了点、线、面及其相对位置的投影。
我们知道，当直线或平面相对于某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们的投影能反映实长、实形或倾角，见表4．1；当直线或平面相对投影面处于一般位置时，它们的投影就不具有这些特性。
从这里我们可以看出，如果能把一般位置的几何元素变换成特殊位置，那么其定位和度量问题就容易解决了，投影变换就是为了这个目的。
表4．1 空间几何元素对投影面处于特殊位置时度量问题实长(形) 问题距离问题线段的实长平面是实形点到直线的距离两直线间的距离点到平面的距离距离问题角度问题直线到平面的距离两平面之间的距离两直线的夹角直线与平面的夹角两平面之间的夹角投影变换的方法很多，常用的有两种：换面法和旋转法。
(a) (b) (c)图4．1 点的一次换面（更换V 面）．§4.2 换面法一 换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素的位置不动，通过改变投影面的位置来改变空间几何元素与投影面的位置关系，从而有利于解题。
如图4．1(a)所示：点A 在V /H 体系中，正面投影为a ’,水平投影为a 。
现H 面不变，取一铅垂面V l 代替正立面V ，构成新的两投影面体系V 1/H 。
过点A 向V 1面作垂线，得到点A 在V l 面上的投影a ’1，V /H 体系为旧投影体系，X 轴为旧投影轴，而V 1/H 体系为新投影体系，X l 轴为新投影轴，V 面为旧投影面，H 面为不变投影面，V 1面为新投影面。
相应地，V 面上的投影a ’为旧投影，H 面上的投影a 为不变投影、V 1面上的投影a 1’为新投影。
在新投影体系V 1/H 中，新投影面V l 必须与旧体系V /H 中不变投影面H 垂直，才能继续保持两投影面体系中的投影规律。
当然，也可以用一个垂直于V 面的新投影面H l 替换V /H 中的H 面，从而组成如图4．2(a)所示的V /H 1体系。
数学图形的投影变换及应用
数学图形的投影变换及应用数学是一门抽象而又实用的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
其中，数学图形的投影变换是一种重要的数学工具，它可以将三维空间中的图形映射到二维平面上，从而方便我们对图形进行研究和应用。
一、投影变换的基本原理投影变换是指将一个空间中的点映射到另一个空间中的点的过程。
在数学中，我们常用的投影变换有平行投影和透视投影两种形式。
1. 平行投影平行投影是指从一个点到另一个点的映射是平行的。
在平行投影中，平行线保持平行，图形的大小和形状保持不变。
这种投影变换常用于工程制图和计算机图形学中。
2. 透视投影透视投影是指从一个点到另一个点的映射是不平行的。
在透视投影中，平行线不再保持平行，图形的大小和形状会发生变化。
透视投影常用于绘画和摄影中，可以使图像更加逼真。
二、投影变换的应用投影变换在现实生活中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，投影变换可以帮助建筑师将三维建筑模型映射到二维平面上，从而方便进行设计和施工。
通过投影变换，可以清晰地展示建筑物的外观、结构和细节，有助于设计师和施工人员的沟通和理解。
2. 计算机图形学计算机图形学是一门研究如何在计算机上生成和处理图像的学科。
在计算机图形学中，投影变换被广泛应用于三维模型的渲染和显示。
通过透视投影，可以使计算机生成的图像更加逼真，增加观看者的沉浸感。
3. 地图制作地图是一种将地球表面的三维信息映射到平面上的图形。
在地图制作中，投影变换被用来将球面上的地理信息映射到二维平面上。
常见的地图投影方法有墨卡托投影、等面积投影和等角投影等，它们可以保持地图上各个地区的相对大小和形状。
4. 航空航天在航空航天领域，投影变换被广泛应用于飞行器的导航和控制。
通过将三维空间中的目标物体映射到二维平面上，可以方便地进行目标的跟踪和定位。
同时，投影变换还可以用于航空地图的制作和飞行路径的规划。
5. 艺术绘画透视投影在艺术绘画中有着重要的地位。
04投影变换
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3. 二次变换
必要性:一般位置直线——垂直线 必要性:一般位置直线——垂直线 一般位置平面——平行面 一般位置平面——平行面 二次换面的基本原理和一次换面基本相同, 二次换面的基本原理和一次换面基本相同,新 投影面选择应注意: 投影面选择应注意:
1)不能同时变换两个投影面,即V/H—V1/H1 不能同时变换两个投影面, V/H— /H1 2)不能两次变换同一投影面,即H面与V面要交替进 不能两次变换同一投影面, 面与V 行
一般位置直线变换成投影面平行线(正平线) 一般位置直线变换成投影面平行线(正平线)
b' a' x b a o1 a1' 实长 α ) b1' x1
o
已知线段AB,CD 正交,作线段AB 的正面投影. 解法 将已知直线CD变换 为投影面平行线, 在新投影体系中应 用直角投影定理解 题
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4. 利用换面法的解题步骤和方法
(2)选择合适的投影面(新的V面或H面) (2)选择合适的投影面(新的V面或H 选择合适的投影面 (3)按照变换规律进行变换,找出新投影 按照变换规律进行变换, (4)在新投影中进行解题 (5)将结果返回原投影体系
5. 举例: 举例:
求点到直线的距离
C
A
c' a' x a b c a1'( b1') 实长 x1 c1' c b'
变换投影面法(换面法) 变换投影面法(换面法)
特点:用新投影面代替一个旧投影面 特点: 规定: 新投影面必须垂直不变投影面, 规定:(1)新投影面必须垂直不变投影面, 以组成新的直角投影体系. 以组成新的直角投影体系. (2)新投影面必须与空间几何要素处 于利于解题的位置. 于利于解题的位置.
第四章 图形变换——投影变换
4.2.1.1 三视图
• 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种， 观察平面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。 • 把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱 线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变 换放置到同一平面上。
三视图
计算步骤：
(1) 确定三维物体上各点的位置坐标
(2) 引入齐次坐标表示位置坐标
(3) 将所作变换用矩阵表示，通过矩阵运算求 得三维物体上各点(x,y,z)经变换后的相应点 (x’,y’)（xoy平面）或(y’,z’ ) (yoz平面）
2 2 2 2
( sin )
y
2
(cos ) / 1 cos
2 z
3．正等轴测投影变换
所谓正等轴测投影就是当ηx=ηy=ηz 时所 得到的正等轴测图。由ηx=ηy=ηz 得：
cos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2 sin 2 cos2
现对它进行正等轴测投影
4．正二轴测投影变换
正二轴测图其轴向变形系数有如下关系：
x 2y z
cos2 sin 2 sin 2 4(sin2 cos2 sin 2 ) cos2
cos2 sin 2 sin 2 cos2 得： 由
的角度，然后再向XOY平面（H 面）作正投影
二、先将三维实体绕X 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向XOZ平面(V 面)作正投影； 三、先将三维实体绕Y 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向YOZ平面 (W 面)作正投影。 最常用的是第二种方式
1、正轴测投影变换矩阵
第二种方式的正轴测投影过程为：
0 0 0 1
1 0 Tt 0 0
投影变换(新)
平面的投影变换
1.一般位置平面变换为投影面垂直面
2.投影面垂直面变换为投影面平行面
3.一般位置平面变换为投影面平行面
平面的投影变换
1.一般位置平面变换为投影面垂直面
(单击play按钮)
只要将该一般位置平面上的任一直线变换成投影面的垂直线， 则此一般位置平面就成为该投影面的垂直面。
一般位置平面变换为投影面垂直面—求α角
基本条件
a '1 V1
X1 α
α
b '1 O1
1、新投影面对几何元素必须处于有利于图示和图解的位置， 如平行或垂直等。 2、新投影面必须垂直于一个已有的投影面，以便利用以前 在两个互相垂直的投影面上的投影规律。
点的投影变换
1.点的一次变换——点在H/V1体系中的投影
(单击play按钮)
点的投影变换
b’1
一般位 置平面
X V H
a’
c’
d’
b’
O
X1轴垂直于ad
c
a d
X2轴平行于b1’c1’
a 1 ’ d1’
投影面 垂直面
b
b 1’
c1’ c2
投影面 平行面
b2
a2
实形
【例6-6】 求M点到△ABC的距离及投影
作图步骤：
(1)在△ABC中作水平线BD； (2)将BD直线变换为V1面的垂直线， 则平面△ABC成为V1面的垂直面；
d’ c’
X V H
a’
n’ b’
m’
O
(3)过m1’作a1’b1’c1’的垂线，交于n1’，
m1 ’ n1’即为M点到△ABC之距；
b n a
(4)过n1’作O1X1的垂线，与过m所作
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⑥ α是△ABC对H 是 x1 面的真实夹角. 面的真实夹角.
§4-2 变换投影面法 -
(四)把一般位置平面变为投影面的平行面
⒈ 空间分析 k' 把一般位置平面 变为投影面的平行面 a' 须经两次换面. 须经两次换面. x V H k 第一次将 a 一般位置平面 变为投影面的 垂直面. 垂直面. ② 二次变 第二次将 换轴o 换轴 2x2 与 投影面的垂直 △ ABC 平 面变为投影面 行,亦即 的平行面. 的平行面. 平 行 于 a'1 b'1
⑵ 旋转法
让投影面不动, 让投影面不动 , 而使空间几何元素绕着某一固定轴线 旋转,旋转到与投影面处于有利于解题的特殊位置. 旋转,旋转到与投影面处于有利于解题的特殊位置. 本章仅讨论变换投影面法. 本章仅讨论变换投影面法.
§4-2 变换投影面法 -
§4-2 变换投影面法
一,设置新投影面的原则
新投影面H 新投影面H1垂 直与V 直与V面
a' o b k a c
⒈ 空间分析 a'1 由前所知, 由前所知 , 一般位置直线变为投影面的垂直 是一般位置平面, △ABC是一般位置平面, 为了把它变 是一般位置平面 线需要两次变换投影面, 只需在 △ ABC上任 线需要两次变换投影面,而投影面的平行线变为 ⑤△ABC 在新的投影体系 为投影面的垂直面, 为投影面的垂直面 , 只需在△ 上任 垂直线只需要变换一次投影面, 垂直线只需要变换一次投影面 , 因此为了简化作 中是投影面的垂直面. 取一直线使其垂直于新设置的投影面, 取一直线使其垂直于新设置的投影面,则 中是投影面的垂直面. 应该在△ 图 , 应该在△ ABC上上任取一条而投影面的平行 上上任取一条而投影面的平行 就变成新投影面的垂直面了. △ABC就变成新投影面的垂直面了. 就变成新投影面的垂直面了 线为辅助线. 线为辅助线.
b'
新投影轴
x
bx 01 b
被替换 的投影 到旧投 影轴的 距离
x
v
H
bx
o
b
新投影
新投影 到新投 影轴的 距离
换面法中点的投影变换规律如下: 换面法中点的投影变换规律如下: 点的新投影和保留投影的连线必垂直于新投影轴. ⑴ 点的新投影和保留投影的连线必垂直于新投影轴. ⑵ 点的新投影到新投影轴的距离等于被替换投影到 旧轴的距离. 旧轴的距离.
f′ b′ ①作o1x1轴⊥ad; ad; 求出四边形ABCD与 求出四边形ABCD与 V1面上的投影 面上的投影; △EFG 在V1面上的投影; 1 1 1 1 ②在直线 a′ b′ c′ d′ x 上确定交线MN的投影 上确定交线MN的投影 m′ n′ 1 1 ③把交线 m′ n′ 1 1 返回到原投影体系中, 返回到原投影体系中, b 得出两平面交线的投影 MN和 MN和M′ N′ 判别可见性,完成题目. ④判别可见性,完成题目. c′ n′ g′ m′ e′ a′ e f n m d a g c m′ 1 a′( d′ 1) 1 g′ 1 d′ 润饰
A a
o
o1
a2 (b2) b'1
B b
⒈ 空间分析 直线AB为一般位置直线 为一般位置直线, 直线 为一般位置直线, ② 过a,b 要将其变为投影面的垂直线必 作直线 须经过两次变换. 须经过两次变换. ⊥ o1x1
④ 作直线 a'1和b'1
§4-2 变换投影面法 -
(三)把一般位置平面变为投影面的垂直面
§4-1 概述
几何元素的特殊位置和一般位置的比较 求平面实形 a'(d') d' a' c' c' 求点到平面 的距离 求两交叉直线 求两平面夹角 间的最短距离 a' d' a' b' a' b' b a ac d c
a' d' b'(c')f' a' b' m' b' e' c'b'
0 0 0 0
b'(d') d c a b e g
h'(f') f
h
§4-2 变换投影面法 -
a'
b' A o
o1
b' a o a
a'1
xV H b'1 b
b' x
a B b
Za-Zb
a'1
变换V面 变换 面
a'
a'
α
b'1
a'1
b b'1
x1
其它方法 正确量取的高度
投影作图 新投影面V 新投影面 1平 行于直线AB 行于直线 新投影轴o 新投影轴 1x1平 新投影a' 新投影 1b'1反 行于投影ab 行于投影 映直线AB实长 映直线 实长
§4-2 变换投影面法 -
⑴
点的二次或多次变换
x2 a2 a' A ax o o1 a ax1 x x1 o2 ax2 a'1
第二次变换) (第二次变换)
① 由新的保留投影a'1向新轴 由新的保留投影 o2x2做垂线 在垂线上量取a ②在垂线上量取 2ax2 = aax1 从而得到点A在 面上的投影a 从而得到点 在H2面上的投影 2.
d'c' c' a'
x x x x
x x x x
b' f' b' c' e' m' d'
da
a (b) d c m θ b c a d (c) (b) ac fb (e) 特殊位置
b ac m b b c df
0 0 0 0
ad
e
一般位置
§4-1 概述 -
⑴ 变换投影面法
让空间几何元素在原投影面体系中保持不动, 让空间几何元素在原投影面体系中保持不动 , 用一个 新的投影面体系来替换原投影面体系, 新的投影面体系来替换原投影面体系,使空间几何元素对新 投影面体系处于有利于解题的特殊位置. 投影面体系处于有利于解题的特殊位置.
b1 b
b1 B b1 x1 b b
a x
其它方法 过投 影a',b' 向新 轴o1x1 作垂 线 正确量 取长度 a1b1反映直线 AB实长, 实长, 实长 β角为直线 角为直线AB 角为直线 对V面的真实 面的真实 夹角. 夹角.
⒉投影作图 新投影面H 新投影面 1平 行于直线AB 行于直线 新投影a 新投影轴o1x 新投影 1b1反映1平 新投影轴 直线AB实长 行于投影a'b' 直线 实长 行于投影
过投 影a,b 向新 轴o1x1 作垂 线
a'1b'1反映直线 实长, 反映直线AB实长 实长, α角为直线 对H面的 角为直线AB对 面的 角为直线 真实夹角. 真实夹角.
§4-2 变换投影面法 -
变换H面 变换 面
a' A a1 b'
o1
a'
a' a1
b' xV H o a β
a1
b' a
ya-yb
a′ 分析 作图 a′ g′ k′ b′ o g k a b b′ 1 g′ 1 k′ 1
x
根据直角投 g′ b′ 影定理可知, 若 影定理可知 , o 互相垂直的两条 g 直线, 其中有一 直线 , b 条直线平行于某 一投影面时, 则 一投影面时 , a 此两条直线在该 投影面上的投影 仍互相垂直. 仍互相垂直.
§4-2 变换投影面法 -
二,点的投影变换规律
点是所有几何体的基本元素. 点是所有几何体的基本元素.点的变换规律是研究变 换投影面法的理论基础. 换投影面法的理论基础. ⑴ 由于H面保持不动,所以点A ⑵ 当V1面绕o1x1轴旋转到与H面 由于 面绕 面保持不动,所以点面 轴旋转到与 面保持不动 ⑴ 点的一次变换 重合后, 面的距离保持不变, 到H面的距离保持不变,因此 重合后,根据点的正投影规律 面的距离保持不变 变换V面 ⒈ 变换 面 Aa = a'ax = a'1ax1 a'1a 必定垂直于 o1x1 点的投影图作图步骤如下: 点的投影图作图步骤如下: v ⑴ 由保留投影 向 v a'由保留投影a向 a' 新轴o 作垂线. 新轴 1x1作垂线. a' a'1
⒉ 投影作图
k' b' k' a' A x K k a c b o c' B C o1
a'1
b' c'
① 任作一水 平线CK ② 使新轴 o1x1⊥ck ③ 由a,b, , , c分别向新轴 分别向新轴 作垂线 ④量 b'1 取正确 (c'1) 长度 k'1 α
b'1 (c'1) k'1 x V H
⑴ 新设 置的投影面必 须垂直于原投 影面体系中的 某一个投影面, 某一个投影面 , 以组成新的两 投影面体系. 投影面体系 . 只有这样, 只有这样 , 才 能运用正投影 ⑵ 新设置的投影面必须使空间几何元素在 法原理作出新 新投影面体系中处于有利于解题的位置, 新投影面体系中处于有利于解题的位置,以达到 的投影图. 的投影图. 简化解题的目的. 简化解题的目的.
§4-2 变换投影面法 -
的交线, 【例4-2】求平面四边形ABCD与△EFG的交线,并判别可析 当相交两平面中有一个是投影面的垂直面时, 当相交两平面中有一个是投影面的垂直面时,就可以利 用投影面垂直面投影的积聚性确定交线的投影. 用投影面垂直面投影的积聚性确定交线的投影. 作图
a'