《新高一数学衔接教程》集合的综合运用(刘蒋巍编著)

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新教材初升高数学衔接讲义【最新】

第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念一、集合的有关概念：1、集合的概念（1）集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。

通俗理解为：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、元素对于集合的关系（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（3）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作Aa ∈（4）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）4、特定集合及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR1N；1.5N；2Z ；二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例：（1）、由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为（2）、方程组⎩⎨⎧=-=+2-0y x y x 的解的集合，可以表示为（3）、所有正奇数组成的集合：2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．格式：{x ∈A|P （x ）}即{研究对象|具有的性质}其中x 表示该集合的代表元素，()p x 表示该集合中所有的元素具有性质。

例：（1）大于1的数组成的集合可以表示为：（2）小于3的自然数组成的集合可以表示为：（3）直线y=2x-1的点组成的集合可以表示为：（4）所有直角三角形的集合可以表示为：（5）函数2-x y =的自变量的所有取值组成的集合可以表示为：（6）函数2-x y =的因变量的所有取值组成的集合可以表示为：（7）奇数集我们可以记为．注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{全体直角三角形}；{大于104的所有实数}；{大于104的实数集}3、图示法：①数轴表示，例如，不等式73x -<的解集为{|10}x R x ∈<，可以表示为②坐标平面表示法（用点和图形来表示）③用韦恩图（Venn 图）表示：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

刘蒋巍：高一数学期中复习备考指南(专为新高考新教材设计)

新高考新教材高一数学期中复习备考指南刘蒋巍著学思堂教育研究院目录第一章《集合》章节复习 (3)《集合》章节的11大关键知识 (3)《集合》章节的10大典型例题 (7)链接新高考，圆你名校梦 (12)第二章《常用逻辑用语》章节复习 (16)1.充分条件、必要条件 (16)2.逻辑联接词 (17)3.与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 (18)常州高级中学测试题——简易逻辑 (19)第三章不等式 (21)不等式的性质与一元二次不等式 (21)基本不等式的8大解题技巧 (23)技巧一：凑项 (23)技巧二：凑系数 (24)技巧三：分离 (24)技巧四：换元 (25)技巧五：整体代换 (25)技巧六：取平方 (26)技巧七：构造 (26)技巧八：添加参数 (28)高一年级2020-2021学年第一学期单元测试（简易逻辑、不等式） (29)第四章《指数与对数》章节复习 (36)分数指数幂 (36)对数 (39)第五章《函数的概念与性质》章节复习 (42)《函数》章节9大知识回顾与热身训练 (42)1.函数的概念 (42)2.函数的三种表示方法 (42)3.分段函数的定义 (42)4.求函数解析式的4大方法 (43)5.求值域的5种方法 (44)6.函数的图像 (48)7.函数的单调性 (49)8.函数的奇偶性 (53)9.图像的对称性 (55)《函数》章节6大典型例题 (57)链接新高考，冲刺985 (62)第一章《集合》章节复习《集合》章节的11大关键知识1.集合中的元素具有三个特征：①确定性：对于一个给定的集合，它的元素意义应当是明确的，不会模棱两可。

即指定的对象一定是明确的标准。

那也就是说，设A是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，那么x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素之间必须是互异的。

因此，同一集合中不应重复出现同一元素，就像世界上不可能同时出现两片完全相同的叶子一样，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中。

新高一数学衔接课第六讲-集合的运算

第六讲集合的子、交、并、补知识要点：1、集合的子集与真子集（i ）子集：若对任意x A ∈，一定有x B ∈，称集合A 是集合B 的子集，记作：A B ⊆.Venn 图：（ii ）空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅ .空集是任何集合的子集。

（iii ）子集的性质：①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆；②传递性：若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆ . （由Venn 图很容易看出）（iv ）真子集如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A ⊂≠B .Venn 图：真子集的性质类似于子集的性质。

（v ）有限集的子集个数若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有子集的个数为______ ，真子集个数为______ ，非空子集个数为______ ，非空真子集个数为_________ .2、集合相等的判断如果A B ⊆且B A ⊆，那么A B = .例1：已知{34}M x x =<<，a π=，则下列关系正确的是（）A. a M ⊆B. a M ∉C. {}a M ∈D. {}a M ⊆例2：集合{35}A x x =≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围 .例3：已知集合2{340}A x R x x =∈-+=，2{(1)(34)0}B x R x x x =∈++-=，要使A P B ⊂⊆≠，求满足条件的集合P .例4：已知集合{1,2,3,4,5,6,7}A =，（1）满足{1,2,3}B A ⊆⊆的集合B 的个数是_______ ；（2）若C 是A 的含有4个元素的子集，且满足对任意的x ，x C ∈，都满足1x C +∈或1x C -∈，则集合C 的个数是______ .例5：设集合{,}A x y =，2{0,}B x =，若A B =，求实数x ，y 的值 .例6：已知集合2{1,3,}A x =，{2,1}B x =+，是否存在实数x ，使得B A ⊆？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由 .例7：已知集合{1,3,21}A m =--，2{3,}B m =，若B A ⊆，则实数m =_____ .例8：已知A B ⊆，且A C ⊆，{0,1,2,3,4}B =，{0,2,4,8}C =，则满足上述条件的集合A 共有多少个？例9：已知集合{2,3,7}A ⊂≠，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有（）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个例10：定义集合运算A ☉B ={,,}c c a b a A b B =+∈∈，设{0,1,2}A =，{3,4,5}B =，则集合A ☉B 的真子集个数为（）A. 63B. 31C. 15D. 16例11：设互不相等的正整数1a ，2a ，，n a （2n ≥，*n N ∈）组成的集合为 12{,,,}n M a a a =，定义集合{(,),,}S a b a M b M a b M =∈∈-∈ .若{1,2,3,4}M =，则集合S 中的元素最多有_______ 个 .例12：集合{(2)(5)0}A x x x =-≤，{121}B x m x m =+≤≤-，（1）是否存在实数m ，使得A B ⊆？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）当x R ∈时，没有元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围 .例13：已知二次函数2()f x ax x =+有最小值，不等式()0f x <的解集为A .（1）求集合A ；（2）设集合{4}B x x a =+<，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围 .子集练习：A 组一、选择题1、下列说法中，正确的是（）A. 空集没有子集B. 空集是任何一个集合的真子集C. 空集的元素个数为零D. 任何一个集合必有两个或两个以上的子集2、已知集合2{10}A x x =-=，则下列式子表示不正确的是（）A. 1A ∈B. {1}A -∈C. A ∅⊆D. {1,1}A -⊆3、在① 1{0,1,2}⊆；②{1}{0,1,2}∈；③{0,1,2}{0,1,2}⊆；④{0}⊂∅≠上述四个关系中，错误的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 44、集合{04}x N x ∈<<的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 7D. 85、设{13}A x x =-≤≤，{}B x x a =≥，若A B ⊂≠，则实数a 的取值范围是（） A. {3}a a ≥ B. {1}a a ≤- C. {3}a a > D. {1}a a <-6、满足条件{}{,,}a A a b c ⊆⊆的所有集合A 的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47、设集合{1,0,1}M =-，{1,0,3,4}N =，则下列关系式中正确的是（）8、设集合2{54,}M x x a a a R ==-+∈，2{442,}N y y b b b R ==++∈，则下列关系式中正确的是（）A. M N =B. M N ⊇C. M N ⊂≠D. N M ⊂≠二、填空题9、集合2{6,,}A x x y x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为_____ .10、设集合{0,}A a =，232{,,1}B a a a =--，若A B ⊆，则实数a 的值为________ .三、解答题11、设集合{111}A x mx =-<-<，{04}B x x =<< .（1）当2m =时，若a ，b A ∈，试确定(1)(1)a b --的正负号；（2）当0m >时，若A B ⊆，试求m 的取值范围 .B 组一、选择题1、设集合{1,2}B =，{}A x x B =⊆，则A 与B 的关系是（）A. A B ⊆B. B A ⊆C. A B ∈D. B A ∈二、填空题2、已知集合{1,2,3,4}M =，A M ⊆，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0 . 设集合A 的累积值为3，则这样的集合A 共有______ 个 .3、已知集合{1,2,3}A =，{1,2}B =，定义两种运算：*A B =1212{,,}x x x x x A x B =+∈∈，A ※121212{2,,,}B x x x x x x x A x B ==->∈∈，则*A B 与A ※B 的关系是_______________ .三、解答题4、已知集合{1,1}A x x a a =-≤≤>-，{21,}B y y x x A ==-∈，2{,}C z z x x A ==∈，是否存在实数a ，使C B ⊆？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由 .集合的交、并、补1、并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B ，读作“A 并B ”.{A B x x A =∈或}x B ∈.Venn 图：并集常见性质：对于任意的集合A 与集合B ，有： ①A A A =，A A ∅=，AB B A =，()()A BC A B C =； ②()A AB ⊆，()B A B ⊆； ③ A B A B A =⇔⊆.注意：求集合A 与B 的并集时，集合A 与集合B 的相同元素在AB 中只出现一次，即要满足元素的互异性 .2、交集的定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A B ，读作“A 交B ”.{A B x x A =∈且}x B ∈.Venn 图：交集常见性质：对于任意的集合A 与集合B ，有： ①AA A =，A ∅=∅，AB B A =，()()A BC A B C =； ②AB A ⊆，A B B ⊆； ③ AB A A B =⇔⊆.3、补集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U .对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ð.{U A x x U =∈ð且}x A ∉ . Venn 图：补集的性质：设A 为全集U 的一个子集，则：①()U A A=∅ð； ②()U A A U =ð； ③)(U U A A =痧 .注意：定义补集，要有前提：其中一个集合是另一个集合的子集 .【典型例题】例1：满足{1,3}{1,3,5}A =的所有集合A 的个数是________ ；例2：已知集合2{40}A x x x =-≤，1{0}3x B xx -=≥-，求A B .例3：50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生有______ 人 .例4：设集合{1,0,1,2}A =-，{(2)0}B x x x =-=，则A B =（）A. {1,0,1,2}-B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {0,2}例5：设集合{24}A x x =≤<，{3782}B x x x =-≥-，则AB =（） A. {3}x x ≥ B. {24}x x ≤< C. {23}x x ≤≤ D. {34}x x ≤<例6：已知{23}A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >，若A B =∅，求实数a 的取值范围 .例7：设全集2{2,3,23}U a a =+-，{21,2}A a =-，{5}U A =ð，则实数a 的值为________ .例8：已知全集U R =，集合6{1}1A xx =≥+，集合2{20}x x x m --<，（1）当3m =时，求()U A B ð；（2）若{14}AB x x =-<<，求m 的值 .例9：已知全集U R =，且2{320}A x x x =-+>，1{0}x B xx -=≥，则)(U AB =ð________ .例10：设集合2{40,}A x x x x R =+=∈，22{2(1)10,,}B x x a x a a R x R =+++-=∈∈，若AB B =，求实数a 的取值范围 .拓展知识：德摩根律与容斥原理1、德摩根律①)()()(U U U B A A B =痧?； ②)()()(U U U B A AB =痧? . 以上两式常在集合运算中出现，其正确性可通过下面的Venn 图验证。

刘蒋巍：高一数学复习课(集合)9.10解析版

高一数学复习课（集合）★思想、方法1：子集思维思考：若A有3个非空子集，求a的取值集合若A有2个子集，求a的取值集合若A中至多有2个子集，求a的取值集合集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，当且仅当A≠B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_________________.解：A=φ时，有1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6种可能；A为二元集时，B必须含有另一元.共有12种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.★思想、方法2：看代表元素已知{}R x x x y y M ∈+-==,34|2，{}R x x x y y N ∈++-==,82|2 则__________=N M 。

解析：集合{}{}{}1|,1)2(|,34|22-≥=∈--==∈+-==y y R x x y y R x x x y y M 集合{}{}{}9|,9)1(|,82|22≤=∈+--==∈++-==y y R x x y y R x x x y y N 所以，{}91|≤≤-=⋂y y N M思考：已知{}R x x x y y x M ∈+-==,34|),(2，{}R x x x y y x N ∈++-==,82|),(2 则__________=N M 。

★思想、方法3：奇偶分析以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P；④若x，y∈P,则x＋y∈P 试判断实数0和2与集合P的关系。

解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则)∈kx∈(NPk（1）由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－y x＝|y|x(|y|∈N) 故x y,－y x∈P,由④,0＝(－y x)+x y∈P。

（2）2∉P。

若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（1k）2+∈P（Nk）＋k2∈P，与③矛盾。

《新高一数学衔接教程》第1节用好草稿,规范数学表达(刘蒋巍编著)

第1节用好草稿，规范数学表达高中数学与初中数学有很多不同点，其中最明显的差异是：初中数学多为数字运算，而高中数学更多的是字母运算。

字母不同于数字，学生一下子不一定能算出具体的答案。

因此，高中阶段数学的学习，草稿纸的使用尤为重要。

草稿纸能够反映学生思维过程、提升学生计算能力。

用好草稿，有利于学生规范答题，对其高中阶段数学成绩的提升、良好学习习惯的培养大有裨益。

一、草稿纸书写三步骤“即使你的想法是好的想法，但是到你最后取得成绩之间有很长的距离，甚至是一个很深的鸿沟。

”从好的想法到好的成绩的取得，草稿纸的书写尤为关键。

草稿纸的正确书写大致可以分为三步：1.细读题，写思路有的题目，学生没有见过，要静下心来读。

理一理思路，不要急于去写具体的解答过程。

因为学生拿到题目时脑海中立马想到的解题思路往往是行不通的或者是计算过程较为复杂的。

学生需要从问题本质出发，从不同角度去思考，选择学生自己认为最可行的思路去书写。

按照最可行的思路将解题的大致过程写在草稿纸上。

2.补细节，明思路在高中阶段数学学习中，根据第1步中最可行的思路写下的解答过程并不一定是完美的。

解题中的一些细节方面不能忽略。

细节方面补全后，学生的解题思路会愈加严谨。

补充细节的过程中，若发现第1步中认为最可行的解题思路“走弯路了”，还可以立刻调整。

这样，让学生少有甚至避免在试卷上的“乱涂乱改”。

与此同时，在补全解答细节的过程中，解题思路会进一步清晰化。

3.知关键，卷上誊在第2步“补全细节，思路清晰”之后，学生便知道本题中哪些是关键步骤以及如何规范书写。

譬如：在第1~2步“理思路”的过程中，学生可能由结论出发，进行逆推，“要求什么，即求什么”，最后发现要求的问题，根据条件不难得到解决。

那么，将草稿纸内容誊写到试卷上之前，学生便可以先将草稿纸上的关键步骤画出来，再按照更为顺畅的思路“由条件出发得到结论”。

这样做的好处是：学生不容易忽视关键步骤，同时使得卷面书写变得整洁、简洁、不冗长。

刘蒋巍：(参考答案)不等式、集合、逻辑用语基础强化训练(一)

2.若∀x∈(0，＋∞)，，则实数m的取值范围为．
【答案】(－，12]
【考点】基本不等式的应用
【解析】由题意可知，x∈(0，＋∞)，所以＝4x＋ ≥2 ＝12，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，则m≤12，即实数m的取值范围为(－，12]．
3.已知a＞0，b＞0，c＞0，，当最小时，恒成立，则x的取值集合是▲．
6.已知正实数x，y满足2x＋y－2xy＝0，2x＋y的最小值为( )．
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【考点】基本不等式的应用：“1”的代换求最值
【解析】由题意可知，等式2x＋y－2xy＝0两边同除2xy，可化为＋＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)( ＋ )＝＋＋1＋1≥2 ＋2＝4，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，则2x＋y的最小值为4，故答案选C．
所以实数的取值范围是
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立( 即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
12.（多选题）若，，且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
4.已知关于x的不等式x2＋2bx＋4＜0的解集为(m， )，其中m＜0，则＋的最小值为
A．－2 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【考点】一元二次不等式与一元二次方程的转化、基本不等式求最值
【解析】由题意可知，方程x2＋2bx＋4＝0的两个根为m，，则m ＝＝4，解得a＝1，又m＋＝－2b，所以2b＝－m－ ≥2 ＝4，当且仅当－m＝－，即m＝－2时取等号，则b≥2，所以＋＝＋ ≥2 ＝2，当且仅当＝，即b＝4时取等号，故＋的最小值为2，故答案选C．

2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第6讲集合的基本运算(解析版)

2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义六集合的基本运算（解析版）学习目标1、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集3、能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用教学内容进门测试建议5min1、已知集合(){}0121|2=+--=x x m x A 中至多含有一个元素，求实数m 的取值范围．2、设A={x | x=m 2 –n 2，m 、n ∈ Z}，问8、9、10与集合A 有什么关系？并证明你的结论．3、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1,,m n m M ，{}0,,2n m m N +=，若M=N ，求m 2008+n 2009． 4、已知集合A={0，1}，B={x | x ∈A ，x ∈N ﹡} ，C={x | x ⊆ A } 则A 、B 、C 之间有怎样的关系？ 5、已知集合A={x |－2k+6< x <k 2－3}，B={x |－k < x < k }，若A B ，求实数k 的取值范围．答案：1、m ≥2；2、8∈A ，9 ∈ A ，10∉ A ；3、1；4、B A ，A ∈C ，B ∈C ；5、21310+≤<k ．课堂导入建议10min悖论悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”．这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比．悖论是自相矛盾的命题．即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的．记作A ∩B ，读作“A 交B ”，即A ∩B=｛x |x ∈A 且x ∈B ｝．用文氏图可以直观地表示A ∩B 的一般情况．由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）A ∩B= B ∩A ；（2）A ∩A=A ；（3）A ∩∅=∅；（4）A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；（5）若A ∩B=A ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∩B=A ． 2、并集一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合,叫做A 与B 的并集(union)．记作A ∪B ，读作“A 并B ”，即A ∪B=｛x |x ∈A 或x ∈B ｝．用文氏图可以直观地表示A ∪B 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）A ∪B= B ∪A ；（2）A ∪A=A ；（3）A ∪∅= A ；（4）A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ；（5）若A ∪B=B ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∪B=B ． 3、补集在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集(universe)．若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集(complementary set)，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ∉∈=,．用文氏图可以直观地表示A C U 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）=A C A U ∅；（2）U A C A U = ；（3）A A C C U U =)(．4、容斥原理及其应用在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．对于有限集合P ，我们用n (P )表示P 中的元素个数．容斥原理（1）如果被计数的事物有A 、B 两类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个数+B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数．即 )()()()(B A n B n A n B A n ⋂-+=⋃．容斥原理（2）看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？解：设A ＝｛x | x 为喜欢看球赛的人｝，B ＝｛x | x 为喜欢看电影的人｝，C ＝｛x | x 为喜欢听音乐的人｝，则A ∩B ＝｛x | x 为既喜欢看球赛的人又喜欢看电影的人｝，B ∩C ＝｛x | x 为既喜欢听音乐又喜欢看电影的人｝，A ∩B ∩C ＝｛x | x 为三种都喜欢的人｝， A ∪B ∪C ＝｛x | x 为看球赛和电影、听音乐至少喜欢一种｝．则)(A n =58，)(B n =38，)(C n =52，)(B A n =18，)(C B n =16，)(C B A n =12，)(C B A n =100，由)()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++= 得)()()()()()()()(C B A n C B n B A n C B A n C n B n A n A C n +---++= ＝148－（100＋18＋16－12）＝26，所以，只喜欢听音乐的人共有n (C )－n (B ∩C )－n (C ∩A )＋n (A ∩B ∩C )＝52－16－26＋12＝22．【巩固练习】1．分别用集合符号表示下图的阴影部分：解：（1）()UABA B 、（2）()UUCABA B C ．2．设集合(){}37A x y x y =-=，，集合(){}23B x y x y =+=，，求A B ．解：联立3723x y x y -=⎧⎨+=⎩，可得：{}21AB =-，．3．集合{}21A x y x x ==+∈R ，，{}29B y y x x ==-+∈R ，，则AB =__________．解：A =R ，(]9B =-∞，，则(]9A B =-∞，．4．设(){}221210B x a x x =--+=，111123C ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，，，，若B C ，求实数a 的所有值．解：12a =时，不符合题意．12a ≠时，有B =∅或113B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，进而得1a ≥或1a =-．{}2UB =6=- B ，又C 为单元素集合，{}2B =，)(){19U UA B =，){4UA B =，()UB =__________解：A ={2，3，B ={2，3，4{3，5，7}．已知集合}20A x =≥，}1B m =-，当B =∅时，实数m 是__________．解：当B =∅时，B ≠∅时，m ()4+∞，．，若{}3MN =-，则3-或213m +=-（舍），故，则A B 中的最小元素是名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有人，问有多少人只喜欢听音乐？()A B．U()A B．Uf x的“不动点”，若为()的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为{}2B =B A =，求实数R =，UA B A =，求实数）由于A ={1，2}，{}2AB =，则301a +=⇒=-或3a =-．时，{}{}24012B x x =-==-，}{}24402x xx -+==B A =，则UB A =，则UB ，则B =∅；=∅，则3∆<<-适合；②若B ≠∅1或3=-，将代入B 的方程得22a a +-a 的取值范围是3-或313-<<--．非空集合M N ⊆，且同时满足条件“若a ∈（2）只有3个元素的集合M 是否存在？若存在，写出集合M ，若不存在，请说明理由，并适当改变题目的条件，使满足题意的集合M 可以只有3个元素．（3）用()s M 表示集合M 中所有元素之和，求()s M 的最大值．（4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）？解：（1）{1，30}，{2，15}，{3，10}，{5，6}．（2）不存在．若M 中有3个元素，则有30a a=成立，这显然是不符题意的．如将30改成36 （合理情形均可），此时M 的一种情形为{1，6，36}符合条件．（3）M = {1，2，3，5，10，15，30}时，()s M 最大，此时()72s M =．（4）如：正整数n 为完全平方数的充分必要条件是n 的所有正因子个数为奇数．3．设集合M ={1，2，3，4，5，6}，1S ，2S ，…，k S 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}{}()123j j j S a b i j i j k ⋯=≠∈，，、，，，，，都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（{}min x y ，表示两个数x ，y 中的较小者），求k 的最大值．解：对每一个{}{}()123i i i S a b i k ⋯=∈，，，，，min i i i i a b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，的取值只有11种，故k 的最大值为11．当堂检测建议15min1、分别用集合符号表示下图的阴影部分：2、设A={x | x ＞－2}, B={x |x ＜3}, 求A ∩B , A ∪B ．3、已知A={2，－1，x 2－x +1}，B={2y ，－4，x +4}，C={－1，7}，且A ∩B=C ，求A ∪B ．4、若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有（）(A)C A ⊆ (B)A C ⊆ (C)C A ≠ (D)=A ∅ 5、已知集合A={x ︱x ≤ 2}，B ={x ︱x > a }，在下列条件下分别求实数a 的取值范围：课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

初升高数学衔接教材第01章第03节集合的基本运算(解析版)

第一章第三节集合的基本运算一、电子版教材二、教材解读知识点集合的运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x ∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。

符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。

4.交集的性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A。

符号语言：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}。

【例题1】（2020·全国高一）已知集合，，，则的子集共有（）A．2个B．3个C．8个D．4个【答案】D【解析】，的子集有，，，，共个.【例题2】（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故选：D.【例题3】（2020·安徽省舒城中学高二月考（文））已知集合，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，则．故选C．【例题4】（2020·肥城市教学研究中心高三其他）已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知，则.【例题5】（2020·重庆高三月考（文））已知全集为R，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则.故选：C.【例题6】（2020·全国高一）设全集为，，.(1)求；(2)求.【解析】（1）由题意；（2）由题意，∴或．【例题7】（2020·全国高一）已知集合，，.（1）若，求；．（2）若，求实数的取值范围.【解析】（1）若时，，∴，由或，所以（2）由知当时∴当时或∴或综上：的取值范围是.三、素养聚焦1．已知集合，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以.故选：D2．已知集合，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】集合，而，所以，故选C.3．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合，，故.故选：C4．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于集合，，所以5．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{1，3，5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{1，3，5}C．{1，2，3，4}D．{0，1，2，3，4，5}【答案】A【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}.故选：A.6．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以.7．已知集合，，则（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以.8．满足条件的所有集合A的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因为，所以，集合A可能为，即所有集合A的个数是4，故选D.9．已知集合，满足，则下列关系式恒成立的是（）A．P⫋S B．C．D．S⫋P 【答案】B【解析】集合，满足，中的元素都在集合中，.10．已知集合I，M，N的关系如图，则I，M，N的关系为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由韦恩图可知，N M I，11．设，，则必有（）．A．B．A B C．D．【答案】D【解析】,,12．设全集，集合，，那么是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为全集，集合，，所以，，所以，13．已知集合，集合，（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，，故14．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则15．已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，所以.16．已知函数的定义域为A，则（）A．或B．或C．D．【答案】D【解析】已知函数的定义域为，所以，得，即，故.17．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立，解得，或，从而集合，18．下列表示图形中的阴影部分的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是的元素且是的元素，或是的元素”，故阴影部分所表示的集合是19．集合A，B，C满足，则成立的等式是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以且，而集合不一定相等，所以选项A,C,D错误；又由可知，故B做正确.20．如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义表示阴影部分的集合，若x,y∈R，，则A*B为（）A．B．或C．或D．或【答案】B【解析】依据定义，就是指将除去后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：；对于集合B，求的是函数的值域，解得；依据定义，借助数轴得：或．21．设全集为定义集合与的运算：且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】且22．设集合，，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，解得或.23．设集合，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴24．已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得：解得，即，则25．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，集合，集合，所以，所以．故选：D.26．已知非空集合A，B满足以下两个条件2，3，4，5，，；若，则．则有序集合对的个数为A．12B．13C．14D．15【答案】A【解析】由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则2，4，；若3，，则4，．综上可得：有序集合对的个数为12．27．已知集合，,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，因为，所以，故选A．28．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.29．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，()，都有(表示两个数，中的较大者)，则的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，对于M，含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个；30．当一个非空数集满足“如果，则,且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】①：当时，有，所以是任何数域的元素，正确；②：取为实数域，令，，则，正确；③：若为数域，取，，则不成立，错误；④：取有理数，，令，，则有理数集，有理数集，有理数集，且有理数集（），所以有理数集是数域.正确的有：①②④.31．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：①若，则；②若，则中至少有8个元素；③若，则中元素的个数一定为偶数；④若，则.其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.所以当，则有，，，进而有：，，，①若，则，正确；②若，则，，，能确定4个元素，不正确；③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确，综上：①③④正确.故选C.32．已知集合，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：集合，若，则，所以有，所以，故选C.33．（多选题）给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A．集合为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合，为闭集合，则为闭集合【答案】ABD【解析】A.当集合时，，而，所以集合不为闭集合.B.设是任意的两个正整数，当时，不是正整数,所以正整数集不为闭集合.C．当时，设则（？为∈），，所以集合是闭集合.D.设,由C可知，集合，为闭集合，，而，此时不为闭集合.所以说法中不正确的是ABD34．（多选题）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（）A．B．C．D．E.【答案】BCD【解析】，，故，..35．（多选题）已知集合，，则（）A．集合B．集合可能是C．集合可能是D．0可能属于B【答案】ABD【解析】∵，∴，故A正确．∵集合，∴集合中一定包含元素1，2，3，∵，∴集合可能是，故B正确；∵不是自然数，∴集合不可能是，故C错误；∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合，故D正确.。

刘蒋巍高一数学重点讲解(寒假24个专题)

刘蒋巍高一数学重点讲解（寒假24个专题）
刘蒋巍高一数学重点讲解（寒假24个专题）
三角恒等变换
专题1 两角和与差的正弦、余弦公式
专题2 两角和与差的正切公式
专题3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
专题4 简单的三角恒等变换1
专题5 简单的三角恒等变换2
专题6 三角函数的应用
平面向量
专题7 平面向量的概念
专题8 向量的加法运算
专题9 向量的减法运算
专题10 向量的数乘运算
专题11 向量的数量积1
专题12 向量的数量积2
专题13 平面向量基本定理
专题14 平面向量的正交分解及坐标表示
专题15 平面向量共线的坐标表示
专题16 平面向量数量积的坐标表示
专题17 平面几何中的向量方法
专题18 向量在物理中的应用举例
专题19 向量问题的处理策略
专题20 余弦定理
专题21 正弦定理
专题22 应用举例1
专题23 应用举例2
专题24 解三角形问题的思维方向的监控
1。

刘蒋巍：新高一：初高中数学学习应该衔接什么

新高一：初高中数学学习应该衔接什么文/刘蒋巍初中数学学习的特点是模仿多、直观多、思维浅、内容少、节奏慢，而高中数学学习的特点是独立思考多、抽象多、思维深、内容多、节奏快.因此，学生刚进入高中学习数学时，往往出现学习的不适应.如何帮助学生尽快适应高中的数学学习，衔接好初高中的数学学习，大部分教师都做了很多相关衔接工作，但这些衔接工作，大都落实在数学知识的补充上，衔接效果不明显.其实初高中数学学习的衔接不仅体现在一些知识内容的补充上，更是要在学习方法的培养、数学思想的强化、话语系统的转变、研究视角的拓宽等多方位进行衔接.1.学习方法的衔接初中数学往往因为知识简单而不重视学习方法的培养，不重视思维方式的训练，从而学生没有形成良好的思维习惯。

所以，我们需要形成良好的思维方式，进行结构化表达。

其次，我们需要重视概念分析，清晰理解概念的内涵。

初中数学概念教学时常常不注重对概念的内涵结构分析，而高中教学的基础是对数学概念的深刻理解.因此，当学生进入高中学习时，首要任务是要在概念的理解上多花功夫.如在教学集合概念“一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合”时，我们要帮助学生厘清如下关键词:一定范围:当范围变化，集合就会变化.确定的:集合内的元素不能含糊，如:天气真好，好人不能是集合.不同对象:集合内的元素不能重复.再次，我们需要淡化课内记，强化课内认真听.因初中数学课堂教学内容较少，教师往往需要学生课内记笔记，但由于高中数学课内学习容量大，难以听、记两全，因此高中数学学习更强调:课内认真听、认真思考，淡化课内记笔记.课后先认真阅读教材，再去完成作业，不懂时可以独立看参考答案或寻求同伴支持，同时尽可能有机会将你的思路完整地表述给同学听.2.学习内容的衔接由于现有数学课标对初中数学的要求是面向全体学生的学习，学习要求对部分优秀学生来说相对较低，与高中数学要求有一定的差距，有些内容在初中不作要求，但高中数学学习时又常常涉及到.这就需要我们高中教师作适度的比较分析与拓宽，即使平时大部分高中教师也注意到了对数学内容的补充，但没有在补充过程中适度的分析.如：①常规分解因式到多样的分解.初中分解因式强调的是配方法——通法，而高中常常会涉及一些更复杂的多项式分解，这就需要学习更多样的分解方法，如分组分解法，十字相乘法等，教学中要及时补充与对比分析.②由一元一次不等式（组）到一元二次不等式.初中一般只学习一元一次不等式（组），大部分学生不涉及一元二次不等式，而高中很多数学内容的学习涉及一元二次不等式，教学中应及时补充.③由不含字母的一元二次方程根的判别到含字母方程根的判别.初中一般只研究不含字母的一元二次方程根的判别，简单了解根的判别情况，没有深入学习含字母的一元二次方程根的判别，因而要给予充分的关注.④由孤立讲方程、不等式、函数到研究三者关系.初中数学学习常常孤立地学数学知识，而高中数学学习不仅学习数学知识，更强调知识之间的结构联系.因此，高中数学学习中更是要突出这种结构的联系.3.数学思想方法的衔接初中数学学习中己经涉及到很多数学思想，如方程思想、函数思想、变量思想、数形结合思想等.到了高中，这些数学思想仍然是数学学习的重要内容，但同时又需要强化一些其他的数学思想.①强化推理思想.代数推理是高中数学学习的重要思想方法，它是进行数学运算、恒等变形的重要基础，利用代数的功能来进行推理是高中数学学习不可缺失的能力.②强化分类思想.初中数学学习涉及分类讨论更多是在几何图形中，在代数领域涉及较少，当进入高中后，在数学学习的所有领域都涉及分类讨论，这也是学生学习有困难之处.这时，我们要进一步强化分类思想的渗透.③强化数形结合思想.数形结合思想在初中数学学习中也有大量的渗透，但学生应用其解决问题的意识并不强，进入高中学习后，仍需要进一步渗透这种思想.④强化参变量思想.高中数学有很大一部分内容是将初中内容进行拓宽，其中在问题中增加参变量t后，使得数学问题变化更复杂一般的处理方式是将参变量变“活”、将参量“分类”、将参量与几何相结合、将参量与原字母调换角色，突出参量.4.话语表达的衔接初中数学话语直接、通俗、定性；而高中数学话语复杂、严谨、定量，在初高中数学学习的衔接时要注意两者话语的转化，同时逐步适应高中数学学习的话语系统。

刘蒋巍高考数学串讲第1讲：集合与逻辑用语

刘蒋巍高考数学串讲第1讲：集合与逻辑用语子集已知集合{}13M x x =-<，1()1,2x N x x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M N 的子集的个数是 .【答案】8已知集合{}22(,)(2)(1)1A x y x y =-+-≤，{}(,)2|1||1|B x y x y a =-+-≤，A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .【答案】[2)+∞ 【解析】画图可知，要使A B ⊆，则0a >，且点(2,1)到直线230x y a +--=的距离不小于1，即1≥，解得2a ≥，即a 的取值范围是[2)++∞.交并补设集合{}2[]2A x x x =-=和{}||2B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B = .【答案】{- 【解析】因为2x <，[]x 的值可取2,1,0,1--. 当[x ]=2-，则20x =无解；当[x ]=1-，则21x =，所以x =1-；当[x ]=0，则22x =无解；当[x ]=1，则23x =，所以x所以1x =-集合A =｛x |x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y |y ＝5m ，m ∈N ，0≤n ≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．【答案】225 【解析】A ∩B ＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－15＝225．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是．【答案】0 【解析】因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0．空集若集合{}1,A ax x ==+∈R 为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,6131,逻辑用语“224+<”是“422x y+>+”成立的( ).xy x y(A) 充分但不必要条件(B) 必要但不充分条件(C) 既不充分也不必要条件(D) 充分必要条件【答案】A 【解析】由422(2)(2)0x y<<或2,2>>；+>+⇔-->⇔2,2x yxy x y x y而22422+<⇒-<<，且22x y x⇒+>+. 故选A.xy x y-<<422y。