3-3 基底 维数 坐标
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。
(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。
例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。
解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。
证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。
维数、基与坐标
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且 任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空 间V中的两组基.由基的定义，它们必可以 互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线 性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B
02 第二节 维数、基与坐标
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
高等代数 第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数
任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
维数,基,坐标
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
线性空间的“元”叫向量，因此把第三章“数组向量”的 线性相关性的相关结论移植到“线性空间的向量”上 来，就是线性空间中向量之间的线性关系。
k1, k2, , kr 使得
k11 k22 krr =0（线性空间的零元，零向量） 则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
若 k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 kr 0 时才成立，
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
例2 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
续解：②
A
a11 a21
a12 a22
试写出A
2 0
6 -8
在此基下的坐标。
a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
a11
（E11，E1基2，E21，E22）
a12 a21 a22
1 (1,0,0),2 (0,1,0),3 (0,0,1) 是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
解：
坐 标 基
坐 标 基
上述例子表明
注意：
① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
3. 确定有限维空间基，维数的充分条件
《基底维数坐标》课件
线性无关性
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选择的基底必须是线性无关的，否则无法通过线性组合表 示任意向量。
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计算精度
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在计算过程中要保证足够的计算精度，以避免舍入误差导 致坐标表示失真。
03 基底维数坐标的优化策 略 CHAPTER
优化目标
提高坐标精度
未来展望
基础理论研究深化
随着研究的深入，基底维数坐标的基础理论将得到进一步完善， 为相关领域的发展提供更为坚实的理论基础。
应用领域拓展
基底维数坐标将在更多领域发挥重要作用，为解决实际问题提供新 的思路和方法。
教育普及
基底维数坐标的教育普及将进一步加强，培养更多具备相关知识和 技能的优秀人才，推动该领域的发展。
应用领域的拓展
随着基底维数坐标理论的不断完 善，其应用领域将进一步扩大， 从传统的物理、数学领域延伸至
信息科学、生物医学等领域。
与其他理论的融合
基底维数坐标将与分形、混沌理 论等其他非线性科学理论进一步 融合，形成更完整、更系统的理
论体系。
计算技术的发展
随着高性能计算技术的进步，基 底维数坐标的计算效率和精度将 得到显著提升，为解决复杂问题
通过改进算法和数据处理方法， 减小坐标误差，提高测量和定位
的准确性。
降低计算复杂度
优化算法和数据结构，减少不必要 的计算和存储开销，提高计算效率 。
增强鲁棒性
改进算法和数据处理流程，降低外 部因素和异常数据对坐标的影响， 提高系统的稳定性和可靠性。
优化方法
算法改进
研究新的算法或改进现有算法 ，提高坐标计算的精度和效率
《基底维数坐标》ppt课 件
维数基与坐标 -回复
维数基与坐标-回复【维数基与坐标】是数学中的重要概念，涉及到线性代数和几何学等领域。
在理解这两个概念之前，我们先来了解一下向量空间、基和坐标的概念。
向量空间是由一组向量所组成的集合，这组向量需要满足一定的性质，即向量的加法、数乘以及封闭性。
在一个向量空间中，可以任意选取一组基来描述该向量空间中的向量。
基是一组线性无关的向量，通过它可以表示向量空间中的任意向量。
而坐标是指用基来表示一个向量时，所需的系数。
接下来，我们将讨论维数基和坐标的具体含义与应用。
一、维数基1. 什么是维数？维数是指一个向量空间中所需的最小线性无关向量的数量。
维数通常用一个正整数n来表示。
2. 什么是维数基？维数基是指一个向量空间中的一个基，它是由向量空间的维数所确定的。
维数基中的向量数量等于该向量空间的维数。
3. 维数基的性质（1）维数基是线性无关的，即基中的向量不可以用其他向量的线性组合表示。
（2）维数基是极大线性无关组，即当向量基中再添加任何一个向量时，就不再是线性无关的。
二、坐标1. 什么是坐标？坐标是指用维数基来表示一个向量时所需的系数。
在向量空间V中，如果选定了一个维数基B={v1，v2，...，vn}，则任意向量v可以用基B的线性组合表示为：v=a1v1+a2v2+...+anvn。
其中a1、a2、...、an为v在基B下的坐标。
2. 坐标的重要性坐标的存在，使得我们可以通过向量与系数之间的关系，将向量的运算问题转化为更加简单的系数运算问题。
坐标可以方便地表示和计算向量的线性组合、线性相关及线性无关等性质。
三、维数基与坐标的应用1. 维数基与线性变换在线性代数中，线性变换是一种特殊的函数关系，将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
通过选择不同的维数基，可以对同一个线性变换进行不同的表示，从而简化计算。
坐标的变换公式也是通过维数基的变换关系来确定的。
2. 维数基与矩阵矩阵可以看作是一个向量空间中运算的工具，通过选择合适的维数基，可以将矩阵运算转化为更简单的坐标运算。
向量空间里的基底与维度
向量空间里的基底与维度向量空间是数学中一个重要的概念，与几何分析、线性代数和微积分等学科密切相关。
为理解和应用这些学科，必须掌握向量空间的基础知识，包括基底和维度。
一、基底在向量空间中，基底是一组线性无关的向量，可以用来表示空间中的任意向量。
具体来说，如果一个向量空间V有n个维度，那么它的基底就必须包含n个向量。
这些向量可以分别表示出该空间中的n个基本方向，使得空间中的任意向量都可以用它们线性组合得到。
基底的选择并不唯一，同一个向量空间中可能存在多组不同的基底。
但是，不同的基底所表示的向量可能有所不同，因此在表示向量时就必须明确使用哪一组基底。
一般来说，我们可以使用标准基底（Canonical Basis）或者自然基底（Natural Basis），它们比较常见并且使用起来也比较方便。
二、维度向量空间的维度表示该空间所包含的向量线性无关的最大个数。
数学上一般用dimV来表示向量空间V的维度，其中V可以是任意向量空间。
通常情况下，如果V的维度是n，则V就可以由n个向量线性组合得到。
另外需要注意的是，同一个向量空间所包含的不同基底的向量个数是相同的，因此可以用一个数来表示该向量空间的维度。
例如，二维向量空间的标准基底可以表示为{(1,0),(0,1)}，其维度为2；三维向量空间的自然基底可以表示为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，其维度为3。
需要注意的是，维度只与向量空间的性质有关，而与基底的选择无关。
三、应用基底和维度在向量空间中有着广泛的应用。
它们可以用来描述矩阵的秩、矩阵变换、线性方程组的解空间等问题。
例如，在矩阵的秩中，如果一个m × n的矩阵的秩为r，则根据秩的定义可知，该矩阵的所有行向量（或者所有列向量）具有至少r个线性无关的向量。
因此，该矩阵所在的向量空间的维度至少为r。
换句话说，矩阵所在的向量空间可以表示为一个r维的子空间。
此外，在矩阵变换中，基底和维度可以用来分析和求解矩阵的特定性质，如特征值、特征向量等等。
维数公式大全
维数公式大全
维数公式用于计算空间中的维数或维度。
以下是一些常见的维数公式：
1. Euclidean空间中的维数公式：
-平面上的点的维数：2
-立体中的点的维数：3
- n维Euclidean空间中的点的维数：n
2.向量空间中的维数公式：
-一个向量空间的维数等于它的一组基的向量个数。
例如，在三维空间中，坐标轴的单位向量（i，j，k）构成一个基，因此该空间的维数为3。
3.线性子空间的维数公式：
-若V是一个向量空间，U是V的一个线性子空间，则U的维数小
于等于V的维数。
当且仅当U是V的基向量的线性组合时，U的维数等于V的维数。
4.图的维数公式：
-树的维数是n-1，其中n是树中节点的数量。
-无向连通图的维数是n-1，其中n是图中的节点数。
-有向图的维数是m-n+k，其中m是图中的边数，n是图中的节点数，k是由于有向边的方向导致的连通性限制数目。
这些公式提供了计算不同类型空间中维数的方式。
值得注意的是，在一些特殊的情况下，可能存在多种方法来计算维数，并且在某些场
景中，维数的计算并不是那么直接，可能需要使用更复杂的理论和工具。
§3 维数 基和坐标
注 如果数域 P上线性空间V只有一个向量，则由
线性空间的定义可知，V＝{0}. 此时，称 V={0}为零 维线性空间. 上述定义中数域 P 中的线性空间指的非
非零维的.
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注 对于同一个集合V，会因为数域P的不同，导
例如 致维数的不同。 设V＝C（复数的全体），当P＝R时，V为2维的 线性空间。 显然，{1, i}是一组基。 一方面，若 a + bi=0，(a, b∈R)，则a=b=0。即1 与i线性无关。另一方面，对于任一 z∈C，z可由1与 i 线性表出。 设V＝C（复数的全体），当P＝C时，V为1维的 线性空间。 显然，{1}是一组基。 事实上，对于任一z=(a+ bi)∈C，z＝(a+bi)1，即 z可以用1线性表出。
§3 维数 基和坐标
对于高等代数的主要研究对象：线性空间，我
们将它和前面所学的矩阵联系起来 . 也就是利用矩
阵作为工具对线性空间进行研究 . 为此，我们引入 基与坐标的概念.
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结束
定义2 （线性组合、线性表出）
1 , 2 , 设V 为数域 P上一个线性空间，
k1 , k2 , , kr P, r 1, 向量 k11 k2 2
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定义6 （基、坐标）
在n维线性空间V中，n个线性无关的向量 1 , 2 , , n 称为V 的一组基。 设 是V 中任一向量，于是1 , 2 , , n , 线性相
关，因此 可以被基1 , 2 , , n 线性表出：
a11 a2 2 an n 其中系数a1, a2, …, an是被向量 和 1 , 2 , , n 唯一确定 的，这组数就称为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标，记为
6.3维数,基,坐标
下的坐标为
(5 , 1 , 1 , 1) 44 4 4
例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基；
解：
复数域C，
①
②
例4 若把C看成是实数域R上的线性空间呢？
解：
实数域R，
①
②
a b (a,b为实数)
无限维空间R[x]
例 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的.
因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量
1，x，x2，…，xn－1。
常见线性空间的基，维数
1. 向量空间Pn 是n维的，标准基为
1 (1,0, ,0),2 (0,1, ,0), ,n (0, ,0,1)
2. 矩阵空间 Pmn 是 m n维的，一组基为
0 Eij 0
注：无关组可被表示，则无关组必是较小组
4.线性关系的几个常用结论
（4）若 1,2, ,r与 1, 2, , s 为两线性无
关的等价向量组，则 r s.
（5）若向量组 1,2, ,r 线性无关，但向量组
1,2, ,r , 线性相关，则 可被向量组
1,2, ,r 线性表出，且表法是唯一的．
a11 a21
a12 a22
试写出A
2 0
6 -8
在此基下的坐标。
a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
a11
（E11，E1基2，E21，E22）
a12 a21 a22
坐 标
∴ E11, E12, E21, E22 是 P22 的一组基，P22是4维的．
①
aE11 bE12 cE21 dE22 022
维数基与坐标
在线性代数中，维数基和坐标是紧密相关的概念，用来描述向量空间中的向量。
维数基是一个向量空间中的一组线性无关的向量，它可以作为该向量空间的基础。
一个向量空间可以有多组不同的维数基。
维数基的选择不唯一，但是它们具有一些重要的性质，最重要的一点是，使用维数基可以表示该向量空间中的任何向量。
换句话说，我们可以用维数基上的线性组合来描述向量空间中的每个向量。
坐标是描述一个向量在给定维数基下的表示。
当我们选择一个维数基作为参考，我们可以将向量空间中的任意向量表示为这组基向量的线性组合。
而坐标就是指这些线性组合中各个基向量的系数。
举例来说，假设我们有一个三维向量空间，并选择维数基为{v1, v2, v3}，那么任意一个向量v可以表示为 v = a1*v1 + a2*v2 + a3*v3，其中a1、a2、a3分别是v在维数基{v1, v2, v3}下的坐标。
维数基和坐标两者的关系是紧密相连的，通过选择不同的维数基，可以得出不同的坐标表示。
而坐标的选择也是由维数基的选择决定的。
通常我们使用标准基作为维数基，如在三维空间中使用{i, j, k}作为标准基，此时坐标表示就变为(vx, vy, vz)。
但是在不同的情景中可能会选择其他的维数基，而相应的坐标表示也会不同。
在实际应用中，维数基和坐标有着广泛的应用，如线性变换、向量运算、数据分析等。
对于线性代数的深入理解，理解维数基和坐标的概念是非常重要的。
维数基与坐标
维数基与坐标1. 引言在数学中，维数基和坐标是描述向量空间中向量的重要概念。
维数基是向量空间的一组基础向量，用于表示空间中的任意向量。
坐标则是基于维数基的一种表示方法，通过一组数字来描述向量在各个维度上的大小。
本文将详细介绍维数基和坐标的概念、属性和应用，并通过示例和图表进行解释和说明。
2. 维数基2.1 定义维数基是向量空间的一组基础向量，它们可以线性组合得到空间中的任意向量。
一个向量空间的维数基通常由线性无关的向量组成，并且可以表示空间的维数。
2.2 特性•维数基是线性无关的，即其中任意一个向量不能由其他向量线性表示。
•维数基可以通过线性组合生成空间中的任意向量。
•维数基的数量等于向量空间的维数。
2.3 示例考虑二维平面上的向量空间，我们可以选择两个线性无关的向量作为维数基，比如：v1 = [1, 0]v2 = [0, 1]这两个向量分别表示平面上的 x 轴和 y 轴，它们可以通过线性组合得到平面上的任意向量。
3. 坐标3.1 定义坐标是一种用数字表示向量在各个维度上大小的方法。
坐标是基于维数基的，通过将向量在维数基上的投影来确定各个维度上的大小。
3.2 坐标系坐标系是描述向量空间的一种方式，它由维数基和原点组成。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系、极坐标系等。
在笛卡尔坐标系中，维数基通常是正交的单位向量，原点是空间的起点。
以二维平面为例，笛卡尔坐标系的维数基为：e1 = [1, 0]e2 = [0, 1]3.3 坐标表示假设有一个向量 v，它可以由维数基 e1 和 e2 线性组合得到：v = a * e1 + b * e2其中 a 和 b 是向量在 e1 和 e2 上的投影，也就是向量的坐标。
3.4 示例考虑二维平面上的向量 v，它在维数基 e1 和 e2 上的投影分别是 a 和 b。
那么v 的坐标表示为 (a, b)。
4. 应用4.1 线性代数维数基和坐标是线性代数中的重要概念，它们用于描述向量空间和向量的性质和关系。
维数基坐标PPT课件
例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，
且
1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
§6.3 维数 基 坐标
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证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．
其次， f ( x) a0 a1x an1xn1 P[ x]n f ( x)可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
解之得,
5
1
1
1
x1 4 , x2 4 , x3 4 , x4 4 ．
∴ 在基
1
,
2
,
3
,
下的坐标为
4
(5,1, 1, 1) ． 44 4 4
§6.3 维数 基 坐标
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例1 数域P上的向量空间Pn 的维数等于n,
即dimPn=n. 例2 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无
限维的. 因为对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1，x，x2，…，xn-1.
§6.3 维数 基 坐标
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2、基
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
第24页/共36页
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例3 求Pn的下列子空间的维数和一组基：
(1) W1 {( x1, x2, , xn ) x1 x2 xn 0, xi P}
(2) W2 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
第三节 维数 基与坐标
( r 1 ) 称为线性相关，如果在数域 P 中有 r 个不 全为零的数 k1 , k2 , … , kr , 使 k11 + k22 + …+ krr = 0.
(3)
如果向量组 1 , 2 , …, r 不线性相关，就称为线性 无关. 换句话说，向量组 1 , 2 , …, r 称为线性
如果看作 间，那么这是一维的，数 1 就是一个基； 是实数域上的线性空间，那么就是二维的， 1，i
就是一个基.
注 ◆ 线性空间的维数与所考虑的数域有关.
▲
§6.3 维数 基与坐标
例3
在 n 维空间 P n 中，显然
1 (1,0, ,0) , (0,1, ,0) , 2 n (0,0, ,1)
是一个基. 对每一个向量 = ( a1 , a2 , … , an ) , 都有
= a1 1 + a2 2 + … + an n .
= a1 1 + a2 2 + … + an n ,
其中系数 a1, a2 , … an 是被向量 和基 1 , 2 , …,
n 唯一确定的， 这组数就称为 在基 1 , 2 , … , n 下的坐标，记为 ( a1, a2 , … , an ) .
§6.3 维数 基与坐标
= a11 + ( a2 - a1 )2 + … + ( an - an -1 ) n .
所以 在基 1 , 2 , …, n 下的坐标为
(a1, a2 - a1 , … , an - an -1 ) .
§6.3 维数 基与坐标
例4
如果复数域 C 看作是自身上的线性空
线性空间维数与基的求法
线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。
因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。
同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。
但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。
虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。
本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。
一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。
例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。
同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。
1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A αai b --=，而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。
例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。
6.3 维数、基、坐标
例2
3 维几何空间R3＝ { ( x , y , z ) x , y , z R }
1 (1, 0, 0 ), 2 (0,1, 0 ), 3 (0, 0,1) 是R3的一组基；
1 (1,1,1), 2 (1,1, 0 ), 3 (1, 0, 0 )也是R3的一组基．
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 , 2 , , r V ( r 1), k 1 , k 2 , , k r P , 和式
k 1 1 k 2 2 k r r
称为向量组 1 , 2 , , r 的一个线性组合． （2） 1 , 2 , , r , V ，若存在 k 1 , k 2 , , k r P 使 k 1 1 k 2 2 k r r 则称向量 可经向量组 1 , 2 , , r 线性表出；
f ( x ) f ( a ) f ( a )( x a ) f
( n 1)
(a )
( n 1)!
(x a)
n 1
即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出. ∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注： 此时， f ( x )
§6.3 维数 基 坐标
a1 a2 有时也形式地记作 ( 1 , 2 , , n ) an
注意：
向量 的坐标 ( a1 , a 2 , , a n ) 是被向量 和基 1 , 2 , , n
唯一确定的．即向量 在基 1 , 2 , , n 下的坐标唯一的.
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初等行变换
~
1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 0
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
注：a1 , a3 , a4 , 也为列向量组的一个极 大无关组。
定理3 设 向 量 组 1 , 2 , , s能 由 向 量 组 1 , 2 , , t 线 性 表 示 ， 那 么
并 设r阶 子 式 r 0. D 所以Dr 0知所在的列线性无关； r 又 由A中 所 有 1阶 子 式 均 为 零 ， r
知A中 任 意 1个 列 向 量 都 线 性 相 关 r .
因此Dr 所在的 列是A的列向量的一个极大无 r 关组，
所 以 列 向 量 组 的 秩 等r. 于
类似可证 A的行向量组的秩也等于A). R(
故 向 量 组 1 , 2是 向 量 组 1 , 2 , 3的 极 大 无 关 组 ， 且 向 量 组 1 , 2 , 3秩 为2。
定义：矩阵A的列向量组的秩称为 的列秩， A 矩阵A的行向量组的秩称为 的行秩。 A
定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 也等于它的行向量组的秩。 证 设A (a1 , a2 ,, am )，R( A) r ,
定理3 矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列 向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改 变(部分或全部)行向量之间的线性关系。
说明: 定理3给我们提供了利用矩阵 初等变换
求向量组的秩与极大无 关组的方法
例2 设向量组 ： A 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 , 2 , 3 , 4 , 5 4 6 2 2 4 3 6 9 7 5
A 式 结论 若Dr 是 矩 阵 的 一 个 最 高 阶 非 零 子 ， Dr 所 在 的 行 即 是 行 向 量 组 的 一 极 大 无 关 组 r 个 .
如阶梯形矩阵 说明
1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
则Dr 所 在 的 列 即 是 列 向 量 组 的 一 极 大 无 关 组 ， r 个
（1） 极 大 无 关 组 不 唯 一 所 含 向 量 个 数 相 同 ； ,但
（2） 向 量 组 与 它 的 极 大 关 组 是 等 价 的 无 .
例1 全体n维向量构成的向量组记R n，求R n的 作 一个极大无关组及n的秩. R
例7 求R3的子空间的维数和一组 基
x1 3 W x2 R | x1 x2 x3 0 x 3
教材P123
例8 已知 2 3 5 4 0 2 6 4 a1 a 2 , b1 , b2 1 1 5 3 3 1 9 5
第三节
向量空间的结构
一、向量组的秩与极大无关组 二、向量空间的基与维数 三、向量空间的基与维数
一、向量组的秩与极大无关组
A A 定义１ 设 有 向 量 组 : 1 , 2 , , s， 如 果 在 中 能 选 出r个 向 量 i1 , i2 , , ir ， 满 足 （ ）向量组 0 : i1 ,i2 ,,ir 线性无关； 1 A
初等行变换
A
~
组含3个向量 ; 知R( A) 3， 故向量组的极大无关
阶梯形矩阵三个非零行 的非零首元在 2、 三列， 1 4 、
故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组的一个极大 无关组 .
2 1 1 1 1 1 （ a1 , a 2 , a 4 ) 4 6 2 3 6 7
解 设欲求的新基为 1 , 2 , 3 ,由题设有
( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) A 1 1 0 ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 1 0 0 1 ( 1 , 1 2 , 2 3 )
即得
X PY或Y P 1 X , (2)
(1)式(2)式分别称为基变换公式和坐标变换公式。
例5 见P121例3
例 6 在 R3中, 求 由 基 (1,0,0)T , 2 (1,1,0)T , 3 (1,1,1)T 1 1 1 0 通 过 过 渡 矩 阵 0 1 1 所 得 到 的 新 基 1 , A 0 0 1 2 , 3 , 并 求 1 2 2 5 3 在 基 1 , 2 , 3 下 的表达式 .
R( 1 , 2 , , s ) R( 1 , 2 , , t )
推论1 等价向量组有相同的秩，但反之不真。
二、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个基， 记作 dimV=r 。
r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间,
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基． （2）若把向量空间 V 看作向量组，那末 V 的基 就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的 秩. （3）如果V是向量空间，V的任何r个线性无关 的向量都是V的一个基． （4）若向量组 1 , 2 , , r是向量空间 V 的一 个基，则 V 可表示为
求 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组 ， 求A的 秩 ； A 并
解
2 1 记A 4 3
1 1 6 6
1 2 2 9
1 1 2 7
2 4 4 9
对A施行初等行变换变为行 阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
设1 , 2 ,, n与1 ,2 ,,n是R 的两组基 ,
n
它们是等价向量组，故 (1) (1 ,2 ,,n ) (1 , 2 ,, n ) P 其中P是n阶矩阵，称为由 1 , 2 ,, n到1 ,2 ,,n
的过渡矩阵，由上式可知P可逆。
y1 y2 n 1 y n
2
y1 y2 n P y n
x1 y1 x2 y2 P x y n n
充要条件是 (1 , 2 ,, s ) s. R
推论1
向量组 1 , 2 ,, s线性相关的
充要条件是 (1 , 2 ,, s ) s. R
推论2
n个n维向量组 1 , 2 ,, n线性无关的
充要条件是 A | 0, 其中A (1 , 2 ,, s ). |
所以 1 (1,0,0) , 2 (0,1,0) , 3 (0,0,1) 是
T 1 2 2 5 3 ( 1 , 2 , 3) 2 5 x1
( 1 , 2 , 3 ) x 2 , x3
（ 如 果 中 有r 1个 向 量 的 话; A ）
（2） 向 量 组 中 任 意 1个 向 量 线 性 相 关 A r
那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关向量组 (简称极大无关组；极大无关组所含向量个r称为 ) 数 A 向量组的秩 向量组 : 1 , 2 ,, s的秩也记作 ;
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
例4 设矩阵
2 1 2 A ( a1 , a 2 , a 3 ) 2 1 2 , 1 2 2
验证a1 , a2 , a3是R3的一个基 .
分析：
要证a1 , a2 , a3是R3的一个基只要证 1 , a2 , a3线性无关 , a .
解：
2 2 1 | A | 2 1 2 0, 1 2 2
所以a1 , a2 , a3线性无关 .
二、基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的． 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组 E : e1 , e2 , , en 是线性无关的， 根 据3.1节 定 理 的 推 论( 2) 知R n 又 4 E 中 的 任 意 1个 向 量 都 线 性 相 关因此向量组 n ，
是R n的一个极大无关组，且的秩等于 . Rn n
定理2
向量组 1 , 2 ,, s线性无关的
没有极大无关组， 规定它的秩为 0.
R(1 , 2 ,, s )或r (1 , 2 ,, s ); 只含零向量的向量组
1 0 2 如 向 量 组 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 . 向量组 1 , 2线性无关 向量组 1 , 2 , 3线性相关 ,
1
2
x1 x2 n , x n
y11 y22 ynn
1 2
y1 y2 n , y n
1 2
由坐标的唯一性得：
设向量 在基1 , 2 ,, n与1 ,2 ,,n下的
坐标分别为 x1 , y1 x2 y2 X , Y x y n n