初中数学各章节考点练习试题汇编12.3角平分线
初中数学人教版八年级上册 第十二章 12.3角的平分线的性质
初中数学人教版八年级上册第十二章12.3角的平分线的性质一、单选题（共8题；共16分）1. ( 2分) 已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )A. 在AC边的高上B. 在AC边的中线上C. 在∠ABC的平分线上D. 在AC边的垂直平分线上2. ( 2分) 如图，平分，，，垂足分别为、，若，则( )A. B. C. D.3. ( 2分) 如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC=12，DF=2，AC=3，则AB的长是（）A. 2B. 4C. 7D. 94. ( 2分) 现要在一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（）A. △ABC的三条中线的交点B. △ABC三边的垂直平分线的交点C. △ABC三条角平分线的交点D. △ABC三条高所在直线的交点5. ( 2分) 如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3) ∠APB=90°-∠O，其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. ( 2分) 如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……：∠A n-1BC与∠A n-1CD的平分线交于点A n，要使∠A n的度数为整数，则n的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 77. ( 2分) 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径面弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（）A. B. C. D.8. ( 2分) 已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（共8题；共8分）9. ( 1分) 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为________.10. ( 1分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是________.11. ( 1分) 如图，平分于于，若，则________.12. ( 1分) 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO =________。
八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版
《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (87)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：BD=CD．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，通过SAS证明△DEB≌△DFC，即可得到结论．【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°．在△DEB和△DFC中，∵DE DFDEB DFCBE FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB≌△DFC，∴BD=DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．62．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：∠EAB=∠EAD．【答案】证明见详解【解析】【分析】由题意利用角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”进行分析证明.【详解】解：证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，∴点E在∠BAD的平分线上，∴∠EAB=∠EAD．【点睛】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键.63．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积为36cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长．【答案】125cm 【解析】【分析】由题意作DF ⊥BC 于F ，根据角平分线性质可得DE=DF ，进而利用ABC BCD ABD S S S =+进行分析计算即可求得DE 的长．【详解】解：作DF ⊥BC 于F ，∵BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ，∵△ABC 的面积为36cm 2， ∴113622ABC BCD ABD S S S BC DF AB DE =+=+=cm 2， ∵AB=18cm ，BC=12cm ，∴69691536DF DE DE DE DE +=+==，∴5361125DE ==cm. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．64．如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA CB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥.（1）说明ADC ADE ∆∆≌的理由；（2）若8AB =，求DEB ∆的周长.【答案】（1）详见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质及HL 即可判定Rt Rt ACD AED ∆∆≌；（2）根据全等三角形的性质及周长的定义即可求解.【详解】（1）90C ∠=︒DC AC ∴⊥ AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥CD ED ∴=在Rt ACD ∆和Rt AED ∆中CD ED AD AD =⎧⎨=⎩Rt Rt ACD AED ∴∆∆≌（2）∵Rt Rt ACD AED ∆∆≌，CA CB =，CD ED =∴8DEB C DB DE EB BC BE AC BE AE BE AB ∆=++=+=+=+==【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质定理.65．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B=40°，∠E=30°，求∠BAC 的度数.【答案】∠BAC=100°.【解析】【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，根据三角形外角性质求出∠ECD ，根据角平分线定义求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出即可.【详解】解：∵∠B=40°，∠E=30°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=140°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=140°﹣40°=100°.【点睛】本题的关键是掌握三角形外角性质，并能灵活运用定理进行推理66．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC＝70°，∠C＝30°，求∠DAE和∠AOB．【答案】20°，105°.【解析】【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°，再根据角平分线的性质得到∠CAE=12∠BAC=40°，利用三角形外角性质得∠AED=∠CAE+∠C=70°，进一步求得∠DAE；利用三角形外角的性质得出∠AOB=∠AED+∠CBF进行计算．【详解】∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝40°，∠CBF＝12∠ABC＝35°，∴∠AED＝∠CAE+∠C＝40°+30°＝70°，∵AD ⊥BC ，∴∠DAE ＝90°﹣∠AED ＝20°；∵∠AOB ＝∠AED +∠CBF ，∴∠AOB ＝70°+35°＝105°．【点睛】此题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，解题关键在于掌握三角形内角和为180°．67．如图，DAB BCD ∠=∠，12180∠+∠=︒，BC 平分ACH ∠.（1）找出图中所有的平行直线，直接写出结论.（2）判断：AD 是GAC ∠的角平分线吗？并说明理由.（3）图中与B 相等的角共有______个.（不包括B ）【答案】（1）AB ∥DC ，AD ∥BC ；（2）是，理由见解析；（3）5【解析】【分析】（1）根据平行线的判定解答即可；（2）利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可；（3）根据平行线的性质和等量代换解答即可．【详解】（1）∵∠1+∠2=180°，∠2+∠ACD=180°，∴∠1=∠ACD，∴AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC=180°，∵∠DAB=∠BCD，∠BCD+∠BCH=180°，∴∠ADC=∠BCH，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AB∥DC，∴∠GAC=∠ACH，∵BC平分∠ACH．∴∠ACB=∠BCH，∴∠GAD=∠DAC，即AD平分∠GAC；（3）∵AB∥DC，∴∠B=∠BCH, ∠DAF=∠ACB.∵AD∥BC，∴∠B=∠GAD, ∠D=∠BCH.∵∠GAD=∠DAC，∴∠B=∠BCH=∠D=∠GAD=∠ACB=∠DAC，∴图中与B相等的角共有5个.【点睛】此题考查平行线的判定和性质，用到的知识点：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．68．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE （1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．【解析】【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝12∠AOE、∠EOD＝12∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD ＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD；（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD 的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝12∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝12∠AOE，可求出∠EOF的度数．【详解】（1）OF⊥OD．证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠FOE＝12∠AOE，∠EOD＝12∠EOB．∵∠AOE+∠EOB＝180°，∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝12（∠AOE+∠EOB）＝90°．∴OF⊥OD．（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝12∠AOE．∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝60°．【点睛】此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．69．已知DB∥EH，F是两条射线内一点，连接DF、EF．（1）如图1：求证：∠F＝∠D+∠E；（2）如图2：连接DE，∠BDE、∠HED的角平分交于点F时，求∠F的度数；（3）在（2）条件下，点A是射线DB上任意一点，连接AF，并延长交EH于点G，求证：AF＝FG．【答案】（1）见解析；（2）90 ；（3）见解析.【解析】【分析】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，又根据FM∥BD，即可有∠1＝∠D，∠2＝∠E，则可证明∠F＝∠D+∠E；（2）根据角平分线得出∠3＝∠5，∠4＝∠6，DB∥HE得出∠3+∠5+∠4+∠6＝1800，即可证明∠F＝900；（3）过F 点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J，根据DA∥EH得出∠AKF＝∠GIF＝900，由角平分线得出KF＝FJ，FI＝FJ，所以KF＝FI，则可证明△AKF≌△GIF，所以AF＝FG.【详解】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，∵FM∥BD，FM∥HE∴∠1＝∠D，∠2＝∠E∵∠F＝∠1+∠2∴∠F＝∠D+∠E（2）∵DF是角平分线∴∠3＝∠5又∵EF是角平分线∴∠4＝∠6又∵DB∥HE∴∠3+∠5+∠4+∠6＝1800∴∠5+∠6＝900∴∠F＝900（3）过F 点作BD 的垂线，垂足为K ，延长KF 交EH 于点I ；过F 点作FJ 垂线于点J∵DA ∥EH∴∠AKF ＝∠GIF ＝900∵DF 是角平分线∴KF ＝FJEF 是角平分线∴FI ＝FJ∴KF ＝FI在△AKF 和△GIF 中90 KFA IFG AKF GIF KF FI∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ∴△AKF ≌△GIF （AAS ）∴AF ＝FG【点睛】本题考查了平行线、角平分线、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各个知识点，并学会综合运用是解题的关键.70．如图，OA BC ⊥，ODC ABO ∠=∠.(1)请判断CD 和AB 位置关系，并说明理由；(2)ADC ∠的平分线DE 与OAB ∠的平分线交于F ，求F ∠的度数.(3)在(2)的条件下，M 是线段AD 上任意一点(不同于A 、D )，作MN OA ⊥交AF 于N ，作ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点，求P ∠的度数.【答案】（1）CD ⊥AB ，理由见解析；（2）45F ∠=︒；（3）22.5P ∠=︒.【解析】【分析】（1）利用等量代换得出∠ABO +∠OCD =90°，说明CD ⊥AB 即可；（2）利用角平分线的性质，邻补角的意义以及三角形的内角和定理在△AFD 中解决问题即可；（3）利用角平分线的性质，三角形的内角和，四边形的内角和解决问题即可．【详解】CD ⊥AB .如图，延长CD 交AB 于点P ，∵OA BC ⊥∴∠ODC +∠OCD =90°，∵ODC ABO ∠=∠∴∠ABO +∠OCD =90°，∴∠CPB =180°−(∠ABO +∠OCD )=90°∴CD ⊥AB .（2）∵DE 平分∠ADC ，AF 平分∠OAB ，11()22ADE ADC COD OCD ∴∠=∠=∠+∠ 12FAD BAO ∠=∠， OA BC ⊥，90,90,90COD OAB ABO OCD ODC ，11180()13522FDA COD OCD OCD ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠ ∵ODC ABO ∠=∠∴OCD OAB ∠=∠，∴在△ADF 中，180()F FDA DAF ∠=︒-∠+∠1118013522OCD OAB ⎛⎫=︒-︒-∠+∠ ⎪⎝⎭180135=-︒︒45=︒（3）∵MN OA ⊥∴90NMD ∠=︒，()360225ADF MNF F NDF ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒∵ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点 ∴11,22PDA EDA PNM ANM ()11()18018067.522PDA PNM EDA ANM ADF MNF ∴∠+∠=∠+∠=-∠+-∠=︒︒︒ 360P F ADF MNF PDA PNM ︒∴∠=-∠-∠-∠-∠-∠360()()22.5F ADF MNF PDA PNM ︒=-∠-∠+∠-∠+∠=︒.【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂线，三角形的外角性质，四边形的内角和定理，角平分线的性质.（1）中能正确画出辅助线是解题关键；（2）中能考虑到利用△AFD 的内角和，并正确表示出FDA ∠和FAD ∠是解题关键；（3）中能表示出四边形DNFP 的其它三个角是解题关键.。
人教版数学八年级上册知识分类训练-12.3-角平分线的性质(含详案)
人教版八年级上册知识分类训练12.3 角平分线的性质1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．5、尺规作角的平分线：画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．所以，射线ＯＣ即为所求．针对训练1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（ ）A．4B．3C．2D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）A．12B．18C．24D．363．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（ ）A．3.9B．4C．4.3D．5.54．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1B．2C．3D．45．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为（ ）A．15B．12C．8D．66．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．A．24B．27C．30D．337．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD ＝ ．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为 ．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为 ．10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 ．11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明AP＝AQ．15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P作PE⊥AO于E，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，∴PE＝PD＝2，∴点P到OA的距离是2．故选：C．2．解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，∴PQ≥4，∴PQ的长不可能3.9．故选：A．4．解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝4，∵BC＝6，∴△BCD的面积＝BC•DE＝×6×4＝12，故选：B．6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝h，∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，∴AB•h+AC•h＝14，即×5h+×2h＝14，解得h＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×5×4＝10．故答案为：10．8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝10，△ADB的面积是15，∴，∴DE＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4，故答案为：4．10．解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，故答案为：10．11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，又∵AB＝6，BC＝4，∴＝．12．证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD是△ABC的角平分线．13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；（2）证明：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠BAC＝90°∴∠AQP+∠ABQ＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠CBQ+∠BPD＝90°，∵∠ABQ＝∠CBQ，∴∠AQP＝∠BPD，又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠AQP＝∠APQ，∴AP＝AQ．15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．17．（1）解：∵∠ACB＝110°，∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∵∠CEH＝55°，∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF；（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB•EM＝．。
人教版 初中数学八年级上册 12.3角平分线的性质 同步练习(含答案)
人教版初中数学八年级上册12.3角平分线的性质同步练习（含答案）一、选择题（本大题共7道小题）1. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是()A. 1B. 2C. 3D. 42. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图，则能说明OC是∠AOB的平分线的依据是()A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA3. 如图，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N.若ON＝8 cm，则OM的长为()A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．20 cm4. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是()A．4 B. 3 C．2 D．15. 下面是黑板上给出的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交__○__于点N；②分别以点__⊕__为圆心，大于__△__的长为半径画弧，两弧在__⊗__的内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．则下列回答正确的是()A．○表示OA B．⊕表示M，CC．△表示MN D．⊗表示∠AOB6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为()A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.57. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是()A．14 B．32 C．42 D．56二、填空题（本大题共5道小题）8. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．9. 如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：(1)若∠1＝∠2，则________＝________．(2)若∠3＝∠4，则________＝________．10. 如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，DE⊥AB于点E.若DE＝5 cm，则BC＝________cm.11. 将两块大小一样的含30°角的三角尺ABD和ABC如图所示叠放在一起，使它们的斜边AB重合，直角边不重合，当OD＝4 cm时，点O到AB的距离为________ cm.12. 如图，请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．条件：____________________________________.结论：PC＝PD.三、解答题（本大题共2道小题）13. 探究题如图，P为∠ABC的平分线上的一点，点D和点E分别在AB和BC 上(BD＜BE)，且PD＝PE，试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，BE＝FC.求证：BD＝FD.人教版 初中数学八年级上册 12.3角平分线的性质 同步练习-答案一、选择题（本大题共7道小题）1. 【答案】B【解析】如解图，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG ＝PD ＝2.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】C[解析] 如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PE ＝PD ＝2.5. 【答案】D6. 【答案】D[解析] 如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H.又∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ， ∴DF ＝DH.在Rt △ADF 和Rt △ADH 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，DF ＝DH ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADH(HL)． ∴S Rt △ADF ＝S Rt △ADH .在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，⎩⎨⎧DE ＝DG ，DF ＝DH ，∴Rt △DEF ≌Rt △DGH(HL)． ∴S Rt △DEF ＝S Rt △DGH .∵△ADG 和△AED 的面积分别为60和35， ∴35＋S Rt △DEF ＝60－S Rt △DGH .∴S Rt △DEF ＝12.5.7. 【答案】B [解析] 如图，过点D 作DH ⊥AB 于点H.由作法得AP 平分∠BAC.∵DC ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DH ＝DC ＝4. ∴S △ABD ＝12×16×4＝32.5道小题）8. 【答案】3 【解析】如解图，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，∵OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OB 于点C ，∴PD ＝PC ，∵PC ＝3，∴PD ＝3，即点P 到点OA 的距离为3.9. 【答案】(1)BC CD (2)AB AD10. 【答案】15[解析] ∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DC ＝DE ＝5cm.∴BD ＝2CD ＝10 cm ，则BC ＝CD ＋BD ＝15 cm.11. 【答案】4[解析] 过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠DAB ＝60°，∠CAB ＝30°，∴∠OAD ＝∠OAH ＝30°. ∵∠ODA ＝90°，∴OD ⊥AD.又∵OH∵AB ，∵OH ＝OD ＝4 cm.12. 【答案】∵AOP ＝∵BOP ，PC∵OA 于点C ，PD∵OB 于点D 三、解答题（本大题共2道小题）13. 【答案】解：∠BDP ＋∠BEP ＝180°.证明：过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N. ∵BP 是∠ABC 的平分线， ∴PM ＝PN.在Rt △DPM 和Rt △EPN 中， ⎩⎨⎧PD ＝PE ，PM ＝PN ，∴Rt △DPM ≌Rt △EPN(HL)． ∴∠ADP ＝∠BEP.∵∠BDP ＋∠ADP ＝180°， ∵∵BDP ＋∵BEP ＝180°.14. 【答案】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°， ∴DC ＝DE.在△DCF 和△DEB 中，⎩⎨⎧DC ＝DE ，∠C ＝∠BED ＝90°，FC ＝BE ，∵∵DCF∵∵DEB(SAS)．∵BD ＝FD.。
人教版八年级上册数学 12.3 角的平分线的性质 同步练习(含答案)
12.3 角的平分线的性质同步练习一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝2，则点D到BC的距离为（）A．1 B．C．D．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：53．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（）A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对5．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m6．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC7．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC＝4cm，那么AD等于（）A．2cm B．4cm C．3cm D．6cm8．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．125°D．130°9．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm210．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC ＝2，则△ABD的面积为．12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为cm．13．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE ＝30°，EC＝3，则EF＝．14．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝．15．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，AB＝8cm，那么△DEB的周长是cm．三．解答题16．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．17．如图，点P是∠MON中一点，P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠P AB ＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．参考答案1．D2．A3．B4．C5．D6．B7．A8．A9．B10．D11．512．313．614．150°15．816．解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，∴DF＝DE．∵△ABC的面积为14，∴S△BCD+S△ACD＝14，∴×DE×10+×DF×4＝14，即5DE+2DE＝14，∴DE＝2．17．证明：∵∠P AB＝∠PBA，∴P A＝PB，∵P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴OP平分∠MON．18．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在△CDF与△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在△ACD与△AED中，，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．。
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角的平分线的性质
[学生用书P 37]
1．[2016·淮安]如图12-3-6，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是( )
图12-3-6
A ．15
B ．30
C ．45
D ．60
2．如图12-3-7，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若△BDE 的周长是5 cm ，则AB 的长为__ __．
图12-3-7
3．[2016·咸宁]证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
图12-3-8
已知：如图12-3-8，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上．
____
求证：___．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
4．如图12-3-9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB＝10，CD＝3.
图12-3-9
(1)求DE的长；
(2)求△ADB的面积．。
12.3.1 角的平分线的性质 初中数学人教版八年级上册课时习题(含答案)
12.3角的平分线的性质一、选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点．其中正确的是( )A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③2.如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是( )A. ④B. ②③C. ①②③D.①②③④3.到三角形的三边距离相等的点是( )A. 三角形三条高的交点B. 三角形三条内角平分线的交点C. 三角形三条中线的交点D. 无法确定4.如图所示，∠B=∠C=90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC =110∘，则∠MAB= ( )A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘5.三角形内部到三边距离相等的点是( )A. 三边中线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三内角平分线的交点D. 三边上高的交点6.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是( )A. 8B. 6C. 4D. 27.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是．( )A. 点CB. 点DC. 点ED. 点F8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q9.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为( )A. 3B. 10C. 12D. 1510.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小）11.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A=60∘，则∠BOC=°．12.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=________．13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC与BC边交于点D，BD=2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为cm．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，大于12若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是________．三、解答题（本大题共3小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AP平分∠BAC．16.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB．17.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB=AC，DE=DF.求证：BD=CD．参考答案1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】12012.【答案】60°13.【答案】1514.【答案】1515.【答案】证明：过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M，∵∠1=∠2.∠3=∠4，∴PQ=PN，PN=PM，∴PQ=PM，∵PQ⊥AB，PM⊥AC，∴AP平分∠BAC．16.【答案】证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥CD，MB⊥AB，∵DM平分∠ADC，∴∠CDM=∠EDM，又∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC，又∵MC=MB，∴ME=MB，又∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．17.【答案】证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中AB=AC∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ABD≌△ACD，(SAS)，∴BD=CD．。
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（最新精品同步练习题）12.3角的平分线的性质基础巩固1.(题型一)如图12-3-1，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( )A.15B.12C.9D.6图12-3-1 图12-3-22.(题型一)如图12-3-2，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中有对全等三角形．3.(题型一)在∆ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点P，若点P到AB 的距离为10，则点P到边AC和BC的距离和为．4.(题型二)如图12-3-3，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．图12-3-35.(题型二)如图12-3-4，BE=CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D．求证：AD平分∠BAC．图12-3-46.(题型一)如图12-3-5,在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，AB=10 cm，AC=8 cm，△ABC的面积是45 cm2，求DE的长．图12-3-57.(题型一)如图12-3-6，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．图12-3-68.(题型一)如图12-3-7，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB=AD，E，F两点分别在AB，AD上，且AE=DF．证明：四边形AECF的面积为四边形ABCD 的面积的一半.图12-3-7能力提升9.(题型二)如图12-3-8，在四边形ABCD中，AB=CD，BA的延长线和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P( )图12-3-8A.有且只有1个B.有且只有2个。
初中数学人教版八年级上册第十二章12.3角的平分线的性质练习题-普通用卷
初中数学人教版八年级上册第十二章12.3角的平分线的性质练习题一、选择题1.如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．其中，正确的是()A. ①B. ②C. ①②D. ①②③2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别MN的长为半径画弧，两弧交以点M，N为圆心，大于12于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是()A. 15B. 30C. 45D. 603.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=9：4，则△ABD与△ACD的面积比等于()A. 3：2B. 9：4C. 4：9D. 2：34.如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处5.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是()A. 8B. 6C. 4D. 26.如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在()A. 三角形两边高线的交点处B. 三角形两边中线的交点处C. ∠α的平分线上D. ∠α和∠β的平分线的交点处7.已知△ABC中，AB=10，BC=15，CA=20，点O是△ABC内角平分线的交点，则△ABO、△BCO、△CAO的面积比是()A. 1：1：1B. 1：2：3C. 2：3：4D. 3：4：58.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4.若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为()A. 34B. 17C. 8.5D. 49.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在()A. ∠A的平分线上B. AC边的高上C. BC边的垂直平分线上D. AB边的中线上10.到三角形三边的距离相等的点是()A. 三角形三条高的交点B. 三角形三条中线的交点C. 三角形三条角平分线的交点D. 不存在这个点二、填空题11.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO:S△BCO:S△CAO=_________．12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10cm，则△DEB的周长是________cm．13.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC//OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于______．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=16，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则△ABD的面积为______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，∠A的平分线交BC于D，DB：CD=4：2，则点D到斜边AB的距离为______．三、解答题16.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，______求证：______．请你补全已知和求证，并写出证明过程．17.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°−∠BDO．(1)求证：AC=BC；(2)如图2，点C的坐标为(4,0)，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；(3)在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．18.已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM=∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．求证：(1)求证：△BDM≌△ADN；(2)若AC=2，BC=1，求CM的长．19.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等，边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．【解答】解：如图，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F∴∠AEB=∠AFC=90°，在△ABE和△ACF中，{∠AEB=∠AFC ∠A=∠AAB=AC，∴△ABE≌△ACF(AAS)，(第一个正确)∴AE=AF，∴BF=CE，在△BDF和△CDE中，{∠BDF=∠CDE ∠BFD=∠CED BF=CE，∴△BDF≌△CDE(AAS)，(第二个正确)∴DF=DE，连接AD，在△AED和△AFD中，{AE=AF DE=DF AD=AD，∴△AED≌△AFD(SSS)，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上，(第三个正确)故选D．2.【答案】B【解析】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×15×4=30．故选：B．【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形的面积计算．解题关键是根据角平分线的性质，得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即△ABD 边AB上的高与△ACD边AC上的高相等，即两三角形的高相等，由三角形的面积公式S=12×底×高，便可得△ABD与△ACD面积比即为已知AB与AC的比，即可求出答案．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB：AC=9：4，∴△ABD与△ACD的面积之比等于对应底的比，即AB与AC的比，∴△ABD与△ACD的面积之比为9：4．故选B．4.【答案】D【解析】【分析】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故选D．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB//CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选：C．6.【答案】D【解析】解：∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，∴该超市是△ABC的内心，∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．故选：D．根据题意知，超市应该是△ABC的内心，即该三角形的内角平分线的交点．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．7.【答案】C【解析】解：过点O，作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥BC于F，∵点O是△ABC内角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∴S△ABO=12AB⋅OD，S△CAO=12AC⋅OE，S△BCO=12BC⋅OF，∵AB=10，BC=15，CA=20，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=10：15：20=2：3：4．故选：C．首先过点O，作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥BC于F，由点O是△ABC内角平分线的交点，根据角平分线的性质，即可得OD=OE=OF，继而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA，则可求得答案．此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是由点O是△ABC内角平分线的交点，得到S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA．8.【答案】A【解析】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=4，∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=12AB⋅OE+12BC⋅OD+12AC⋅OF=12×4×(AB+BC+AC)=12×4×17=34．故选：A．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，根据角平分线的性质得OE=OF=OD=4，然后根据三角形面积公式和S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO进行计算即可．本题考查了角平分线的性质以及三角形面积公式，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．9.【答案】A【解析】[分析]作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．[详解]解：作射线AM，由题意得，MG=MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，故选：A．10.【答案】C【解析】解：到三角形三边的距离相等的点是：三角形三条角平分线的交点．故选：C．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．11.【答案】6：5：3【解析】【分析】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC 的三边AB、BC、CA长分别为12、10、6，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为12、10、6，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=(12AB⋅OD)：(12BC⋅OF)：(12AC⋅OE)=AB：BC：AC=12：10：6=6：5：3．故答案为6：5：3．12.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和线段的和差关系求值，利用线段相等，进行线段的转移是解决本题的关键.由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE=CD，AC=AE，加上BC=AC，三角形的周长为BE+BD+ DE=BE+CB=AE+BE，于是周长可得．【解答】解：∵∠C=90°，∴CD⊥AC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD⊥AC，∴CD=DE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴DE=BE，∵△DEB的周长=DB+DE+BE==BE+CB=AC+BE=AB=10(cm)．故答案为10．13.【答案】3【解析】解：过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，∵PC//OB，∠AOB=30∴∠ECP=∠AOB=30°PC=3在Rt△ECP中，PE=12∴PD=PE=3．根据角平分线的性质，角平分线上的点到两角的距离相等，因而过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，因为PC//OB，得角相等，而OP平分∠AOB，得∴∠ECP=∠COP+∠OPC= 30°根据三角形的外角的性质得到答案．本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等．14.【答案】32【解析】解：作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=12×AB×DE=32，故答案为：32．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE的长，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15.【答案】4cm【解析】解：作DH⊥AB于H，∵DB：CD=4：2，BC=12cm，∴CD=4，∵AD是∠A的平分线，∠C=90°，DH⊥AB，∴DH=CD=4cm，故答案为：4cm．作DH⊥AB于H，根据题意求出CD，根据角平分线的性质解答．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16.【答案】PD⊥OA，PE⊥OB PD=PE【解析】解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．故答案为：PD=PE．∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△PDO和△PEO中，{∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠BOC OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD=PE．根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证是解答此题的关键．17.【答案】(1)证明：∵∠CAO=90°−∠BDO，∴∠CAO=∠CBD．在△ACD和△BCD中{∠ACD=∠BCD ∠CAO=∠CBD CD=CD，∴△ACD≌△BCD(AAS)．∴AC=BC．(2)解：由(1)知∠CAD=∠DEA=∠DBO，∴BD=AD=DE，过D作DN⊥AC于N点，如图所示：∵∠ACD=∠BCD，∴DO=DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中{BD=DEDO=DN，∴Rt△BDO≌Rt△EDN(HL)，∴BO=EN．在△DOC和△DNC中，{∠DOC=∠DNC=90°∠OCD=∠NCDDC=DC∴△DOC≌△DNC(AAS)，可知：OC=NC；∴BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC=8．(3)GH=FH+OG．证明：由(1)知：DF=DO，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如图所示：在△DFH和△DOM中{DF=DO∠DFH=∠DOM=90°FH=OM,∴△DFH≌△DOM(SAS)．∴DH=DM，∠1=∠ODM．∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM．在△HDG和△MDG中{DH=DM∠GDH=∠GDM DG=DG，∴△HDG≌△MDG(SAS)．∴MG=GH，∴GH=OM+OG=FH+OG．【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键．(1)由题意∠CAO=90°−∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC=BC；(2)过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO= EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC，即可得BC+EC的长；(3)在x轴的负半轴上取OM=FH，可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG=GH，所以，GH=OM+OG=FH+OG，即可证明所得结论18.【答案】解：(1)∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，∴DN=DM，∵∠DBM=∠DAN，∠AND=∠BMD，ND=DM，∴Rt△ADN≌Rt△BDM(AAS)；(2)∵DC=DC，DN=DM，∴Rt△DCN≌Rt△DCM(HL)∴CM=CN，∵Rt△ADN≌Rt△BDM，∴BM=AN，∵AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM+CM=2，∴，1+2CM=2，∴CM=1．2【解析】(1)根据角平分线的性质可得DM=DN，即可证Rt△ADN≌Rt△BDM；(2)由题意可证：Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CM=CN，由AC=AN+CN=BM+CM= BC+CM+CM=BC=2CM，可得CM的长．本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．19.【答案】(1)证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，{BC=DCCE=CF∴△BCE≌△DCF；(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC和Rt△EAC中，{AC=ACCE=CF，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=(AE+BE)+(AF−DF)=AE+BE+AE−DF=2AE．【解析】(1)根据角平分线的性质得到CE=CF，∠F=∠CEB=90°，即可得到结论；(2)由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F=∠CEA=90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AE，由△BCE≌△DCF，得到BE=DF，于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和Rt△ACF≌Rt△ACE是解题的关键．。
初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质-章节测试习题(17)
章节测试题1.【题文】如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°.求证：OP平分∠AOB．【答案】见解答．【分析】过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，证△PEA≌△PFB，得出PE=PF，再根据角平分线判定即可得出．【解答】解：过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E，F，则∠AEP=∠BFP=90°．∵∠1+∠2=180°，∠2+∠PBF=180°，∴∠1=∠PBF．在△APE与△BPF中，∠1=∠PBF，∠AEP=∠BFP，PA=PB，∴△APE≌△BPF，∴PE=PF．∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB．2.【题文】如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE与BD相交于点C.求证：AC=BC．【答案】见解答．【分析】先根据角平分线的性质可以得到CD=CE，然后再证明Rt△ACD≌Rt△BCE 便可得答案．【解答】解：∵∠1=∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，∴CD=CE．∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ADC=∠BEC=90°．在△ADC与△BEC中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3=∠4．∴△ADC≌△BEC．∴AC=BC．3.【题文】三角形中的角平分线的性质与一个角的平分线性质相同．如题：如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，垂足为E，F.请你结合条件认真研究，然后写出三个正确的结论．【答案】如：（1）△BDE≌△CDF，（2）BE=CF，（3）∠B=∠C．【分析】此题答案不唯一，如先利用角平分线的性质，可得DE=DF；在Rt△BDE 和Rt△CDF中，再结合已知条件，可证出Rt△BDE≌Rt△CDF，那么就有BE=CF，∠B=∠C．【解答】解：答案不唯一，如：（1）△BDE≌△CDF；（2）BE=CF；（3）∠B=∠C．证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，又∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF，∠B=∠C．4.【题文】如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90，AB=18，BC=12，求DE的长．【答案】6【分析】作BC边上的垂线，DE长等于ABC，BC边的高．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90，即×18•DE+×12•DE=90，解得DE=6．5.【题文】如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【答案】见解答．【分析】（1）利用角平分线的性质．（2）证明△BDE≌△FDC．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，（2）在△BDE和△FDC中，BE=CF，∠C=∠DEB=90°，DE=DC，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．6.【题文】如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB 于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．【答案】2【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质．【解答】如图，过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm．7.【题文】如图，在∠AOB内找一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且使点P到点C的距离最短（尺规作图，请保留作图痕迹）．【答案】见解答．【分析】先利用角平分线的性质求作满足到∠AOB的两边距离相等的点所在直线，再根据直线外一点到直线的垂线段距离最短，求出满足条件的点P．【解答】如图，以O为圆心，单位长度为半径画圆弧，交OA，OB分别于两点，再以圆弧与OA，OB两个交点为圆心，相同单位长度为半径画圆弧，两圆弧相交于一点，连接O与圆弧的交点，即为∠AOB的角平分线过点C作角平分线的垂线，垂足为点P，即P为所求作点．8.【题文】如图所示，在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD=6cm，BC=15cm，求△BDC的面积．【答案】△BDC的面积=45cm2．【分析】根据角平分线的性质得到DE=AD=6cm，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=6cm，∴△BDC的面积=×BC×DE=×15×6=45cm2．9.【题文】如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线?画出图形并说明理由．【答案】没有偏离航线【分析】只要证明轮船与O点的连线平分∠AOB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠AOP=∠BOP，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．【解答】此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：OA=OB，OP=OP，PA=PB∴△OAP≌△OBP（SSS）∴∠AOP=∠BOP．∴此时轮船没有偏离航线．10.【题文】已知，如图，AB=AC，DE=DF，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DB=DC．【答案】见解答【分析】由角平分线的判定得出∠EAD=∠FAD，再由边角边证得△ACD≌△ABD，进而得到DC=DB．【解答】证明：连接AD，∵DE=DF，DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠EAD=∠FAD，，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴DC=DB．11.【题文】已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．【答案】（1）作图见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC 于D，线段BD就是∠B的平分线．②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作直线与AB交于点E，点E就是AB的中点．（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE．【解答】解：（1）作图如下：（2）证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．又∵AE＝BE，∴△ADE≌△BDE（SAS）．12.【题文】如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD是∠BAC的平分线．【答案】证明见解答．【分析】根据BD=DC得出∠DBC=∠DCB，进而利用全等三角形的判定和性质证明即可．【解答】∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，∴AD是∠BAC的平分线．13.【题文】如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于点E，若AD=3，BC=4，求△BDC的面积．【答案】6．【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=AD=3，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】∵∠A=90°∴DA⊥AB又BD是角平分线，且DE⊥BC于点E∴DE=AD=3，∴易得△BDC的面积为6．14.【答题】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论中错误的是（）A. DE=DFB. AD上任意一点到E，F两点的距离相等C. AE=AFD. BD=DC【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】A.正确，角平分线上的点到角的两边的距离相等；B.正确，角平分线上的点到角的两边的距离相等；C.正确，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，DE=DF，∴△AED≌△AFD（HL），∴AE=AF；D错误．选D．15.【答题】如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE=AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【解答】∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BEA=∠CFA＝90°，在△ABE与△ACF中，∵，∴△ABE≌△ACF（AAS）①正确，∴∠B=∠C，AB=AC（全等三角形对应角和对应边相等），∴BF=CE，在△BDF与△CDE中，∵，∴△BDF≌△CDE（AAS）②正确，∴DF=DE（全等三角形对应边相等），∴点D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）③正确；故①②③都正确．选D.16.【答题】如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP=∠APQ，PR=PS，下面的结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．【解答】连接AP，∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，∴△APR≌△APS，∴AS=AR，又AQ=PQ，∴∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．选A．17.【答题】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，则点D到AB的距离是______．【答案】3【分析】利用角平分线的性质作答即可．【解答】解：∵BC=10，BD=7，∴CD=3．由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=3．故答案为3．18.【答题】如图所示，在直线l上找一点，使这点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等，则这个点是______．【答案】∠AOB的平分线与直线l的交点【分析】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等．【解答】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∴取角平分线与直线l的交点．故答案为∠AOB的平分线与直线l的交点．19.【答题】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是______ cm．【答案】3【分析】利用角平分线的性质作答即可．【解答】∵BC=20cm，DB=17cm，∴DC=BC-DB=20-17=3（cm），∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC=3（cm）．故答案为3．20.【答题】如图所示，已知O为∠BAC的平分线与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离的和是______．【答案】4【分析】利用角平分线的性质作答即可．【解答】如图作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，∵O为∠BAC的平分线与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，∴OF=OE=2，OG=OE=2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离的和为OF+OG=2+2=4．故答案为4．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (29)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，边长为a正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上.在x轴上线段=（Q在A的右边），P从A出发，以每秒1个单位的速度向O点运动，PQ a当点P到达点O时停止运动，运动时间为t.连接PB，过P作PB的垂线，过Q 作x轴的垂线，两垂线相交于点D.连接BD交y轴于点E，连接PD交y轴于点F，连接PE.（1）求∠PBD的度数.（2）设△POE的周长为l，探索l与t的函数关系式，并写出t的取值范围.a=，当△PBE为等腰三角形时，求△EFD的面积.（3）令4【答案】(1)∠PBD=45° (2) (3) 或．【解析】（1）易证BAP≌PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PAD的度数.（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，借助于三角形全等由l=EP+PO+EO=(CE+EO)+(AP+PO)=2AO进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定t的取值范围值；（3）先证明三角形全等，再求出EF，即可得出面积．解：(1) ∵∠APB+∠PBA=∠APB+∠DPQ=90°∴∠PBA=∠DPQ又∵∠BAP=∠PQD=90°,BA=PQ=∴△BAP≌△PQD∴BP=PD又∵BP⊥PD∴∠PBD=45°(2)延长PA至M，使得AM=CE在△BAM与△BCE中∵∴△BAM≌△BCE∴∠MBA=∠EBC∵∠EBC+∠ABP=45°∴∠MBP=∠MBA+∠ABP=45°=∠EBP在△BPM与△BPE中∵∴△BPM≌△BPE∴EP=MP=MA+AP=CE+AP又∵l=EP+PO+EO=(CE+EO)+(AP+PO)=2AO∴(3) EP=EB∵∠PBD=45°∴EP⊥EB ，E为BD中点，即E与C重合，P与O重合此时，S△EFD=8，②PB=PE∵∠PBD=45°∴EP⊥PB (不存在)③BP=BE∵BA=BC∴△BAP≌△BCE ∴CE=AP=t t∴PE=2t又∵OE=OP=∴PE=∴=解得：∵△BAP≌△PQD ∴AP=QD ∴D∵P∴∴F∴EF=此时，综上所述：或．“点睛”本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．82．如图，在△ABC中，AC∥DE，DC∥FE，CD平分∠BCA,求证:EF平分∠BED【答案】证明见解析【解析】∵AC∥DE（已知），∴∠BCA=∠BED（两直线平行，同位角相等），即∠1+∠2=∠4+∠5，∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）；∵DC∥EF（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；∴∠1=∠4（等量代换），∠2=∠5（等式性质）；∵CD平分∠BCA（已知），∴∠1=∠2（角平分线的定义），∴∠4=∠5（等量代换），∴EF平分∴BED（角平分线的定义）．83．如图在ABCD中，已知CD=8，AD=5，AE平分∠BAD交DC 于E，交BC的延长线于F，求CF的长．【答案】3【解析】∵在ABCD中，CD=8，AD=5∴AB= CD=8, BC= AD=5, BC// AD,∴∠EAD =∠F又∵AE平分∠BAD∴∠EAD =∠BAE∴∠F =∠BAE∴ BF= AB=8∴ CF= BF-BC=384．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【答案】见解析【解析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．解：过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N．∵BE平分∠ABC，点P在BE上∵PD=PM同理PM=PN∵PD=PN∵点P在∠A的平分线上．85．如图，在4×9的方格图中，□ABCD的顶点均在格点上，按下列要求作图：(1)在CD边上找一格点E，使得AE平分∠DAB.(2)在CD边上找一格点F，使得BF⊥AE.【答案】作图见解析【解析】(1)如图：AE就是所求图形(2)如图：BF就是所求图形86．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图1中，过点E作直线EF将四边形ABCD的面积平分；（2）在图2中，DE＝DC，作∠A的平分线AM；【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析【解析】解：如图所示，87．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC时（1）若CE⊥BD于E，①∠ECD=___________0；②求证：BD=2EC；（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中△F＝90°，点Q为△FPC与△PFC的角平分线的交点.当点P运动时，点Q是否一定在射线BD上？若在，请证明，若不在；请说明理由.【答案】22.5．【解析】（1）∵先运用三角形内角和定理，得出∠ABD=∠ECD，再根据∠ABD=22.5°，得到∠ECD=22.5°；∵延长CE交BA的延长线于点G，通过判定△ABD≌△ACG，得出BD=CG=2CE即可；（2）连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP=∠QPC=22.5°，进而得出△PQC中，∠PQC=135°；在四边形QNBM中，根据QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，得到∠MQN=135°，进而得到∠NQC=∠MQP，根据AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM=QN，最后根据角平分线的性质定理的逆定理，得出点Q一定在射线BD上．解：（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠ECD，又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，∴∠ABD=22.5°，∴∠ECD=22.5°；故答案为：22.5．②如图，延长CE交BA的延长线于点G，∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，∴CE=GE，在△ABD与△ACG中，∠DBA=∠ACG，∠BAC=∠CAG，AB=AC，∴△ABD≌△ACG（AAS），∴BD=CG=2CE；（2）点Q一定在射线BD上，理由：如图，连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，∵QF为∠PFC的角平分线，△CPF为等腰直角三角形，∴QF为PC的垂直平分线，∴PQ=QC，∵Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，∴CQ平分∠FCP，∵△CPF为等腰直角三角形，∴∠FCP=∠FPC=45°，∴∠QCP=∠QPC=22.5°，∴△PQC中，∠PQC=135°，∵在四边形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，∴∠MQN=135°，∴∠MQN=∠PQC，∴∠NQC=∠MQP，又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，∴△QPM≌△QCN（AAS），∴QM=QN，又∵QM⊥BP，QN⊥BC，∴点Q一定在射线BD上．88．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，（1）求证：AE=BE ；（2）求AB的长；（3）若点P是AC上的一个动点，则△BDP周长的最小值=________．【答案】【解析】（1）根据平分线的性质和三角形内角和解答即可；（2）根据勾股定理进行解答即可；（3）根据等腰三角形的性质解答即可．解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=90°﹣∠A=60°∵BE平分∠ABC，∠ABE=30°，∴∠ABE=∠A，∴AE=BE．（2）∵ED⊥AB，∠A=30°，∴ED=12AE=3cm．∴AD==，∵AE=BE，DE⊥AB．∴．（3）若点P是AC上的一个动点，则△BDP周长的最小值时为△BDP等腰三角形，可得最小值为：故答案为：89．如图，一艘轮船从A处向正北方向航行，达到B处后，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，若DB等于36海里，求B到CA的距离.【答案】B到CA的距离等于36海里.【解析】试题分析：由三角形外角的性质得∠BCA=30°，由直角三角形的两个锐角互余得∠BCD=30°，由此得∠BCA = ∠BCD，CB平分∠ACD，由角平分线的性质得B到CA的距离等于36海里.试题解析：∵C在D的正西方向，∴∠CDB=90°，∵∠DBC =∠BCA +∠A，∴∠BCA =∠DBC －∠A=60°－30°=30°，在Rt△BCD中，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠BCD= 90°－∠CBD=90°－60°=30°，∴∠BCA = ∠BCD，∴ CB平分∠ACD，∴B到CA的距离等于BD=36海里.90．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE PA⊥，垂足分别为E、F．⊥、DF PA()1如图①，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？()2若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？()3若点P在CD的延长线上，如图③，请直接写出结论．【答案】（1）BE DF EF -=；（2）DF BE EF -=；（3）DF BE EF +=【解析】试题分析：（1）在图①中BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF ，理由为：由BE 垂直于AP ，DF 垂直于AP ，得到一对直角相等，再由四边形ABCD 为正方形，得到AB=AD ，且∠BAD 为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS 得到三角形ABE 与三角形DFA 全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF ，AE=DF ，根据AF-AE=EF ，等量代换即可得证；（2）在图②中BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF ，理由同（1）；（3）在图③中BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF ，理由同（1）．试题解析：（1）在图①中BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF ；证明：∵BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，又∵∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△BAE和△ADF中，{BEA AFD BAE ADF AB DA∠=∠∠=∠=∴△BAE≌△ADF（AAS），∴BE=AF，AE=DF，∵AE-AF=EF，∴DF-BE=EF．（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，又∵∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△BAE和△ADF中，{BEA AFD BAE ADF AB DA∠=∠∠=∠=∴△BAE≌△ADF（AAS），∴BE=AF，AE=DF，∵AE-AF=EF，∴DF-BE=EF．（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，又∵∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△BAE和△ADF中，{BEA AFD BAE ADF AB DA∠=∠∠=∠=∴△BAE≌△ADF（AAS），∴BE=AF，AE=DF，∵AE+AF=EF，∴DF+BE=EF．点睛：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定时，关键是选择恰当的判定条件.要注意三角形间的公共角和公共边，必要时添加适当的辅助线构造三角形.。
必刷基础练【12.3角的平分线的性质】(原卷版)-2021-2022学年八年级数学上册必刷题闯关练(
2021-2022学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第12章《全等三角形》12.3 角的平分线的性质一．选择题1．（2021•庆阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝1，则DE的长为（）A．B．1 C．2 D．62．（2021春•铁西区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝2，则DE的长为（）A．3 B．C．2 D．63．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（2021秋•徐州期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE ＝3，则△BCE的面积为（）A．16 B．15 C．14 D．135．（2021秋•西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，那么△ACD的面积是（）A．2 B．3 C．6 D．无法确定6．（2021秋•孝义市期中）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则S△ABD：S△ACD＝（）A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：27．（2021秋•陆川县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm8．（2021秋•铁西区期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM ⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2021秋•太和县校级月考）如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H．若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°二．填空题10．（2021春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为．11．（2021春•金牛区校级期中）如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝6，则D到AB的距离是．12．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．13．（2021春•莲湖区期中）如图，将直角三角板CDE的直角顶点E放在线段AB上，此时DE平分∠ADC，CE 平分∠BCD，试说明AD∥BC．下面是排乱的说明过程：①所以AD∥BC；②所以∠ADC+∠BCD＝180；③因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2；④又因为∠DEC＝90°，所以∠1+∠2＝90°．则正确的顺序应是．（只填序号）14．（2020秋•荔湾区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为．15．（2021秋•陕州区期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则S△APB：S△BPC：S△CPA等于．16．（2021秋•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝4，若△ABC的面积为12，则△BDC的面积为．17．（2021秋•徐闻县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是．18．（2021秋•西城区校级期中）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为．19．（2021秋•东莞市期中）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为cm2．20．（2021秋•泰兴市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为．21．（2021秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE ＝4，BC＝10，则△BCE的面积为．22．（2021秋•公安县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．若CE＝2，则AB＝．三．解答题23．（2021春•济宁期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．24．（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．25．（2021秋•杭锦后旗期中）C是∠AOB角平分线上的一点，CA⊥OA，CB⊥OB（A，B为垂足），D是OC上任意一点，求证：AD＝BD．26．（2021秋•滨州月考）如图，点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点．求证：点P在∠ACN的平分线上．27．（2021秋•上杭县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是112cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的长．28．（2021秋•番禺区校级期中）如图，△ABC中，BP平分线∠ABC，PC平分∠ACB．（1）求证：点P到△ABC三边的距离相等；（2）连接AP，求证：S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB：BC：AC．29．（2021春•榆林期末）如图，已知△ABC的周长是20，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝3，求△ABC的面积．30．（2021春•西岗区期末）△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，延长AD交BC于点E．作AF ⊥BC，交BC延长线于点F．（1）若∠BAC＝40°，则∠BDC＝°；（2）判断∠CDE与∠ABD的数量关系，并说明理由；（3）求证∠ACD＝∠EAF+∠ABD．31．（2021秋•梁山县期中）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．32．（2021春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．（1）求证：BF平分∠DBC；（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (22)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，AD是ABC的角平分线，点O在AD上，且OE BC⊥于点E，60BAC∠=，80C∠=，则EOD∠的度数为（）A．20B．30C．10D．15【答案】A【解析】∵∠BAC=60°，∠C=80°，∴∠B=40°．又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=30°，∴∠ADE=70°，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=20°．故选A．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若CD=3，则点D 到AB的距离为（）A．4 B．3 C．2.5 D．5【答案】B【解析】作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC,∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=3，故选B，13．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B＝60°，EF∥BC，FG平分∠AFE，则AFG的度数为（）A．36°B．37°C．42°D．47°【答案】C【解析】∵∠A＝36°，∠B＝60°，∴∠C=180°-36°-60°=84°.∵EF∥BC，∴∠AFE=∠C=84°.∵FG平分∠AFE，∴∠AFG=84°÷2=42°.故选C.14．如图，在△ABC中，△B、△C的角平分线交于点O，OD△AB于D，OE△AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【答案】C【解析】⊥于H,OH BC∴∠B、∠C的角平分线交于点O，OD∠AB于D，OE∠AC于E,OH OE OD∴==,∠DOB=∠EOC,≅,所以DOB EOCOD=OE.15．如图△ABC中，△ACB=90゜，AD平分△BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A ．3cmB ．7.5cmC ．6cmD ．4.5cm【答案】D【解析】 ∠ACB =90゜，DE 垂直AB 于E ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，所以DC=DE =1.5.BD =3cm, 4.5BC ∴=cm.所以选D.16．如图，已知点P 、D 、E 分别在OC 、OA 、OB 上，下列推理： △△OC 平分△AOB ，△PD=PE ；△△OC 平分△AOB ，PD △OA ，PE △OB ，△PD=PE ；△△PD △OA ，PE △OB ，△PD=PE ；其中正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】 ①错误. ②正确. ③错误.17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC等于（）A．10 B．20 C．15 D．25【答案】C【解析】试题解析：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D 到AB的距离为6，∠CD=6．∠BD：DC=3：2，∠BD=32CD=32×6=9，∠BC=6+9=15．故选C．18．如图,BD是∠ABC平分线，DE AB于E，AB=36cm,BC=24cm,S△ABC =120cm2,DE长是（）A．4cm B．4.8cm C．5cm D．无法确定【解析】试题分析：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DE，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可．解：如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∴DF=DE，∵S△ABC=120cm2，∴12AB⋅DE+12BC⋅DF=120，即12×36×DE+12×24×DE=120，解得DE=4cm.故选A.19．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【解析】【分析】连接NC ，MC ，根据SSS 证△ONC ≌△OMC ，即可推出答案．【详解】解：连接NC ，MC ，在△ONC 和△OMC 中，0OM ON NC MC OC C =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ONC ≌△OMC （SSS ），∴∠AOC=∠BOC ，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．20．如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B=35°，则∠C 的度数为（ ）A．55°B．45°C．35°D．25°【答案】C【解析】试题解析：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠DAC，∴∠B=∠C，∵∠B=35°，∴∠C=35°，故选C．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (59)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=_________°【答案】35【解析】【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB12=⊥DAB，计算即可．【详解】作MN⊥AD于N．⊥⊥B＝⊥C＝90°，⊥AB⊥CD，⊥⊥DAB＝180°﹣⊥ADC＝70°．⊥DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，⊥MN＝MC．⊥M是BC的中点，⊥MC＝MB，⊥MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，⊥⊥MAB12=⊥DAB＝35°．故答案为：35．【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．82．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=14cm，BC=16cm，则DE=_____cm．【答案】2【解析】如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF∵△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，∴S△ABC=12⋅DE⋅AB+12⋅DF⋅BC，即12×18×DE+12×12×DE=30，∴DE=2(cm).故答案为2.83．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD 的最小值为_____．【答案】3【解析】【分析】根据角平分线的作法可知，AD是∠BAC的平分线，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即可求解.【详解】根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．根据角平分线上的点到角的两边距离相等，又因为点到直线的距离，垂线段最短可得PD最小=CD=3.故答案为:3.【点睛】本题考查的知识点是基本作图，解题关键是掌握角平分线的做法和线段垂直平分线的判定定理．84．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）【答案】⊥⊥⊥【解析】【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=12∠ABC=25°，∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴AD是∠BAC 的外角平分线，∴∠DAC=55°，④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的85．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，AD ＝7，则点D 到直线AB 的距离是_____．【解析】【分析】作DE AB ⊥于E ，根据勾股定理求出CD 的长，根据角平分线的性质解答即可.【详解】作DE AB ⊥于E ，90C ∠=︒，6AC =，7AD =，∴CD =，AD 平分CAB ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，∴ DE DC ==【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两86．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于2EF长为半径作弧，两弧相交于点G，连结BG并延长交AC于点D，若∠A＝80°，则∠ADB ＝_____度．【答案】75【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=50°，由作图知BD平分∠ABC，即∠DBC=12∠ABC=25°，根据∠ADB=∠C+∠DBC可得答案．【详解】∵AB=AC、∠A=80°，∴∠ABC=∠C=50°，由作图知BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=25°，∴∠ADB=∠C+∠DBC=75°，故答案为75．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质及三角形的外角性质．87．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，大于12若DC＝3QC，BC＝6，则平行四边形ABCD周长为_____．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=6，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．【详解】∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=6，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=6．∵DC=3QC，∴QC=12DQ=3，∴CD=DQ+CQ=6+3=9，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（9+6）=30．故答案为：30．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．88．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，∠ABC的平分线BD交AC于D，且BD=10，点E是AB边上的一动点，则DE的最小值为_______．【答案】8【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，即此时DE最小，根据角平分线的性质可知DE＝CD，根据勾股定理可求出CD，从而得到答案.【详解】过D作DE⊥AB于E，即此时DE最小，根据角平分线的性质可知DE＝CD，在Rt△BCD中，CD8，故DE＝CD＝8，故答案为8.【点睛】本题主要考查了勾股定理的概念以及角平分线的性质，解此题的要点在于要知道何时DE 最小.89．如图，BD 是△ABC 的外角△ABP 的角平分线，DA ＝DC ，DE △BP 于点E ，若AB ＝5，BC =3，则BE 的长为 _____________【答案】1【解析】【分析】过点D 作DF ⊥AB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF ，再利用“HL ”证明△BDE 和△BDF 全等，△ADF 和△CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF ，AF=CE ，再用AB 、BC 表示出AF 、CE ，整理即可解得．【详解】如图，过点D 作DF ⊥AB 于F ，∵BD 是∠ABP 的角平分线，∴DE =DF ，在△BDE 和△BDF 中，BD BD DE DF =⎧⎨=⎩， ∴△BDE ≌△BDF (HL)，∴BE =BF ，在△ADF 和△CDE 中，DA DC DE DF =⎧⎨=⎩， ∴△ADF ≌△CDE (HL )，∴AF=CE，∵AF=AB−BF，CE=BC+BE，∴AB−BF=BC+BE，∴2BE=AB−BC，∵AB=5，BC=3，∴2BE=5−3=2，解得BE=1.故答案为1.【点睛】考查角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.90．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝6cm，∠BAC的平分线交BC与点D，且BD：DC＝5：3，△ABD的面积为_____．2【解析】【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，先求出CD 的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝CD ，进而利用勾股定理和三角形面积公式解答．【详解】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BC ＝4cm ，BD ：DC ＝5：3，∴CD ＝353+×4＝1.5cm ， ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝CD ＝1.5cm ．∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4cm ，AC ＝6cm ，∴AB ==cm ，∴△ABD 的面积＝113222AB DE ⋅=⨯=2；cm 2． 【点睛】 本题考查了勾股定理，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．。
人教版初中数学八年级第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质习题(1)
2019年八年级数学上册第12章随堂练习角的平分线的性质习题大家在遇到各种类型的题型时，能否沉着应对，关键在于平时多做练习，下文是由查字典数学网为大家推荐的精编角的平分线的性质习题，一定要认真对待哦!1. 已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为.2.角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________.3.∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.4.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA 于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.6.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.E7.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长为( )A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定8.如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.9. 如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D 到AB、AC的距离相等.角平分线(2)1.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等.2.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________.3.如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )1A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD4.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A、1处B、2处C、3处D、4处BEODl1l2l3第3题第4题5.如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是( )A、TQ=PQB、∠MQT=∠MQPC、∠QTN=90°D、∠NQT=∠MQT6.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm7.如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D在∠BAC的平分线上.其中正确的是( )A.①B.②C.①和②D.①②③8. 如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.9.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.2三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (75)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）A．mn B．mn C．2mn D．mn【答案】B【解析】作DE⊥AB交AB于点E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴CD=DE=n，∴S△ABD=AB·DE=mn.故选B.32．如图,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是A．TQ=PQ B．∠MQT=∠MQP C．∠QTN=90°D．∠NQT=∠MQT【答案】D【解析】【分析】由SAS易证△MPQ≌△MTQ，则两三角形的对应边、对应角相等，据此作答．【详解】∵MQ为∠PMN的平分线，∴∠PMQ＝∠TMQ，又∵MT＝MP，MQ＝MQ，∴△MPQ≌△MTQ（SAS），∴TQ＝PQ，∠MQT＝∠MQP，∠QTN＝∠P＝90°，故ABC选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质，属于基础题目．二、解答题33．（分）尺规作图：请把下面的直角进行三等分．（不写作法，保留作图痕迹．）【答案】答案见解析【解析】试题分析：先BC为一条边作一个等边三角形得到一个60度角，再作60度角的平分线.解：如图，34．已知：如图，四边形中，，是的中点，平分，，求的度数．【答案】30°【解析】试题分析：过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=EC，然后求出CE=EF，再根据到角两边的距离相等的点在角的平分线上可得BE平分∠ABC，最后求出∠ABE 的度数即可.试题解析：过点作于，∵，平分，∴，，∵为中点，∴，∴CE=EF，∵，，∴，∵，，∴，∠DAE=60°，∴，∠DAB=120°，∴∠ABC=60°，∴．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，根据题意正确添加辅助线，熟练运用相关性质是解题的关键.35．已知:如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，，BD平分∠ABC，求证：AD＝CD．【答案】证明见解析【解析】试题分析：在BC上截取BE=BA，连接DE，利用角平分线构造全等三角形，再利用等腰三角形求AD＝CD．试题解析：证明：在BC上截取BE=BA，连接DE，∴BD平分∴ABC，∴∴ABD=∴EBD，在∴BAD和∴BED中, ，∴∴BAD∴∴BED(SAS)，∴DA=DE，∴A=∴BED，∴∴BED+∴DEC=180°∴,∴A+∴C=180°，∴∴C=∴DEC，∴DE=DC，∴DC=AD.点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.③角平分线+平行线→等腰三角形：如图（3），已知平分，，则；如图（4），已知平分，，则.(1) (2) (3)(4)④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：如图（5），已知平分，且，则，.(5)36．已知:如图，在中，为的中点，交的平分线于点，过点作于交于交的延长线于.求证: .【答案】见解析【解析】【分析】连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG．【详解】证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE＝EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），∴BF＝CG【点睛】本题考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．37．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.【答案】见解析【解析】试题分析：(1)、根据角平分线的性质得出OD=OE，然后证明△BOD和△COE全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出△BOD和△COE全等，从而得出OD=OE，然后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案．试题解析：(1)、∴∴1=∴2 ∴AO平分∠BAC，∴OD=OE，又∴∴BDO=∴CEO=90°，∴BOD=∴COE，∴∴BOD∴∴COE(ASA)，∴OB ＝OC；(2)、∴∴BDO=∴CEO=90°，∴BOD=∴COE，OB=OC，∴∴BOD∴∴COE(AAS)，∴OD＝OE，又∴CD∴AB，BE∴AC，垂足分别为D、E，∴OA平分∴BAC，即∴1＝∴2．点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质定理以及逆定理的应用，三角形全等的证明，属于简单题型．定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．同学们在解答这种问题的时候，如果看到角平分线，除了想到角相等之外，还要考虑到线段相等，这个是一个非常重要的条件．38．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC．求证：OC平分∠ACD．【答案】证明见解析【解析】试题分析：过点O作OE⊥AC，根据角平分线的性质得出OE=OB，根据中点的性质得出OE=OD，从而得出角平分线．试题解析：过点O作OE⊥AC，∴OE=OB 又∵点O为BD的中点∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD．39．如图，已知BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF，CE交于点D．求证：AD平分∠BAC．【答案】见解析【解析】试题分析：根据BE=CF，∠BDE＝∠CDF，∠BED＝∠CFD得出△BDE和△CDF全等，从而得出DE=DF，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案．试题解析：证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC40．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.【答案】见解析【解析】试题分析：由已知容易求证△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3=∠4，再根据角平分线性质的逆定理，可证PM=PN．试题解析：∵OD平分∠AOB，∴∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (45)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°．△ACB的平分线，交斜边AB于点D，过点D作AC的垂线，垂足为点E，若CB=4，CA=6，则DE= ．【答案】【解析】试题分析：根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∠BC，推出∠ADE∠∠ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．试题解析：∠DC是∠ACB的平分线，∠∠BCD=∠ACD，∠DE∠AC，BC∠AC，∠DE∠BC，∠∠EDC=∠BCD，∠∠ECD=∠EDC，∠DE=CE，∠DE∠BC，∠∠ADE∠∠ABC，∠=，设DE=CE=x，则AE=6﹣x，∠=，解得：x=，即DE=考点：三角形相似的应用42．概念考察．（1）公理：的两个三角形全等，（简称，字母表示）（2）公理：的两个三角形全等，（简称，字母表示）（3）公理：的两个三角形全等，（简称，字母表示）（4）判定：的两个三角形全等．（字母表示：AAS）（5）简述“三线合一”：．（6）勾股定理的内容是：．（7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离．（8）角平分线上的点到角两边的距离．【答案】（1）两边和它们的夹角对应相等，边角边，SAS；（2）三边对应相等，简称：边边边或SSS（3）两角和它们的夹边对应相等，角边角，ASA（4）两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；（5）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；（6）直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；（7）相等；（8）相等．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质即可得出结果．解：（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称：边角边或SAS；故答案为：两边和它们的夹角对应相等，边角边，SAS；（2）三边对应相等的两个三角形全等，边边边，SSS；故答案为：三边对应相等，简称：边边边或SSS（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称：角边角或ASA；故答案为：两角和它们的夹边对应相等，角边角，ASA（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称：角角边或AAS；故答案为：两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；（5）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；故答案为：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；（6）勾股定理：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；故答案为：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；（7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故答案为：相等；（8）角平分线上的点到角两边的距离相等；故答案为：相等．点评：此题考查了全等三角形的判定方法、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质；熟记各个判定定理和性质定理是解决问题的关键．43．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=10cm，则△DEB 的周长是_____cm．【答案】10【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得：CD=DE，△ACD和△AED全等，则AE=AC，根据AC=BC可知AE=BC，则△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10cm.44．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________.【答案】3．【解析】试题分析：如图，过P作PD∠OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，已知PC=3，所以PD=3．考点：角平分线的性质．45．如图，在△ABC中，，AM平分∠，，则点M到AB的距离是_________.【答案】20.【解析】试题解析：过M作ME⊥AB于E，则线段ME的长是点M到AB的距离，∵∠C=90°，AM平分∠CAB，∴M到AB的距离等于ME=CM=20．考点：角平分线的性质．46．如图，△ABD≌△BAC，若AD＝BC，则∠D的对应角为_________.【答案】∠C【解析】试题分析：∵△ABD≌△BAC，AD＝BC，∴∠D的对应角是∠C.考点：全等三角形.47．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD=2，BC=5，则△BCD的面积是．【答案】5.【解析】试题分析：首先作DE⊥BC，利用角平分线的性质可得DE=DA=2，利用三角形的面积公式可得结果．解：过点D作DE⊥BC，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴DE=DA=2，∴S△BCD===5．故答案为：5．考点：角平分线的性质．48．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若DC=7，则D点到AB的距离为．【答案】7．【解析】试题分析：作出图形，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DC．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=DC=7．故答案为：7．考点：角平分线的性质．49．如图，PM=PN，△BOC=30°，则△AOB= ．【答案】60°．【解析】试题分析：根据角平分线性质的判定得出∠AOC=∠BOC，即可求出答案．解：∠PM∠OA，PN∠OB，PM=PN，∠∠AOC=∠BOC=30°，∠∠AOB=60°，故答案为60°．考点：角平分线的性质．50．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．△ABC的面积为20，AB=12，BC=8，则DE的长为．【答案】2.【解析】试题分析：作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE，∴×AB×DE+×BC×DF=20，即×12×DE+×8×DF=20，∴DF=DE=2．故答案为：2．考点：角平分线的性质．。