新人教版必修五解三角之解三角形应用举例讲义学生版及教师版讲课稿
人教A版数学必修五1.2《解三角形应用举例》教案
河北省武邑中学高中数学 4.应用举例教案新人教A版必修5
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比
运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理
解：根据正弦定理，得
= AC
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点BCA=α，
，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正 AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a
BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a
和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间
名师精编优秀教案。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_10
任课教师
课题
正弦余弦定理的习题课
授课班级
3.7
授课时间
三维目标
知识与技能：掌握正余弦定理并能熟练应用正余弦定理
过程与方法：通过三角形形状的判断进一步理解正余弦定理中边角的关系
情感、态度与价值观：培养学生利用所学知识解决问题的能力
教学
重点、难点
利用正余弦定理判断三角形的形状
教学关键
熟练掌握正余弦定理
3
27人正确
4
20人正确
5
16人正确
6
14人正确
7
24人正确
8
21人正确
9
（1）12人正确（2）2人正确
10
3人答题
四．典型题讨论分析，学生板演
五．归纳判断三角形形状的方法
六．课堂跟踪训练
七．小结
八．作业：优化方案76页跟踪训练2
板书设计
正余弦定理的习题课
1.学生黑板板演解题过程2.归纳判断三角形形状的规律
年份
题型
考查内容
2012
填空
解答
正余弦定理
三角恒等变换三角函数性质
2013
选择
解答
三角函数性质
解三角形正余弦定理
2014
填空
解答
三角函数周期性
正余弦定理
2015
填空
解答
解三角形，正余弦定理
三角恒等变换三角函数性质
2016
选择
填空
三角函数性质
正余弦定理
三．正余弦定理学生检测卷评测分析
1
28人正确
2
25人正确
教学方法
探讨式教学
教
学
过
人教A版高中数学必修5第一章解三角形1.2应用举例教案(1)
新编人教版精品教学资料1.2 应用举例教材分析三维目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题•过程与方法通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性情感态度与价值观数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图.教学建议解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识. 对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决. 学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题•例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题•对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决•对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.导入新课一湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。
他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。
高中数学必修5《解三角形应用举例》教案
人教版必修5课题：《解三角形应用举例》教材：人教版教学目标：（1）学会使用测角仪和皮尺等测量工具，根据实际问题设计合适的方案来测量距离；（2）能够运用直角三角形的边与角的关系以及正弦、余弦定理等解三角形的知识，解决不可到达点的距离测量问题；（3）数学建模思想的体会与运用，知识与生活联系，解决生活中的实际问题，学以致用；（4）培养学生的小组合作交流与自主研究学习的能力；（5）指导学生学会评价分析与改进优化。
教学重点、难点：分析测量问题的实际情景，从而找到合适的测量距离的方法。
教学方法与手段：学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案——交流学习——评价分析，采用问题启发教学、开放式交流讨论教学与师生合作研究等教学方式，使学生在探究式、开放式的教学思想与模式下学会学习、学会探究、学会与人合作、学会评价分析与改进优化，掌握运用课堂学科知识解决生活中的实际问题，做到学以致用。
教学内容设计：一、情境导入位于珠江新城的双子塔（西塔与东塔，西塔已竣工，东塔正在建）与海心塔是广州的标志性建筑，它们隔着珠江相望，并与中信广场形成广州的新中轴，其效果图如下图所示：探究活动一：假设你处于海心塔所在的海心沙岛上，如何测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部在同一水平线上）测量工具为：测角仪与皮尺首先通过示图，了解测角仪的原理与作用测角仪常用于测量：（1）仰角与俯角（如图1）；（2）方向角（如图2）；（3）方位角（如图3）图1 图2 图3此问题在课前作为课后研究学习的资料让学生分小组合作研究，提出测量的设计方案。
二、学生设计方案交流从学生提交的测量设计方案中选取优秀的几个方案，让学生在课堂上作简短的介绍，让同学们交流学习。
三、分析与解决问题学生每介绍完一个设计的方案，教师要对该方案进行评价分析，指导设计组的学生进一步改进方案，并指导同学们从中学习方法、积累经验，进而总结思想方法。
交流方案一：（以张靖同学为组长来介绍）如图4，线段CA 表示西塔，线段DB 表示海心塔在海心塔的底部B 可测得CA 的仰角α，西塔CA 的高 度可通过电脑查得，记为h ，则由直角CAB ∆得海心塔与西塔的距离αtan h AB =教师指导学生评价分析方案一 图4 优点：（1）简单、明了，图简单、测量简单、计算简单； （2）采用直角三角形，熟悉、方便；（3）从主视图的角度分析问题，采用线段表示物体，符合示意图的要求； （4）懂得利用电脑查询西塔的高度，多样化解决问题。
高中新课标必修5第一章解三角形教案
高中新课标必修5第一章 解三角形 教案讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。
二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R例1．（1）、已知∆ABC 中，∠A 060=，a 求sin sin sin a b cA B C++++ (=2)（2）、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在∆ABC 中，已知=ac 060=B ，求b 及A （=b60.=A ）（2）、在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
例3．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形∆。
练习： （1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。
（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例4．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b cA B C++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin abAB=sin cC==sin sin sin a b cA B C++++解：由1sin 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin aA==例题5、某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。
人教版必修5教案解三角形应用举例（四）三角形的面积公式及三角恒等式的证明
第一章解三角形§1.2应用举例（第四课时）【创设情景引入新知】杭州一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为18亩、20亩和26亩.你知道这个整个避暑山庄占地面积是多少吗？怎么计算呢？请同学们开动脑筋，想想办法吧！【探索问题形成概念】前面我们已知知道三角形的面积公式1,2ABCS ah∆=其中a为底面边长，h为底面上的高.三角形的面积公式除上式之外还有其它的表达形式吗？这节课我们首先将给出三角形面积公式的另一种表达形式.1、三角形的面积公式如右图，△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc根据直角三角形中锐角三角函数的定义，容易证明：sin sinsin sinsin sinabch b C c Bh c A a Ch a B b A======将以上三式应用在三角形的面积公式12S ah=中，可以推导出下面的三角形面积公式；AB Ch ahbhc121212sin sin sin S ab C S ac B S bc A===已知三角形的任意两边及夹角便可求出三角形的面积.【例题】在 △ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; （2）已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm. 【思路】（1）中已知两边及夹角，可直接应用公式求解；（2）中已知两角和一角的对边，先根据正弦定理求出另一角的对边，再根据三角形内角和定理求出剩余的一角，便可应用面积公式求解；（3）中已知三角形的三边，可根据余弦定理求出其中任意一角，从而应用面积公式求解.【解答】（1）应用S=21acsinB ，得 S=21⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理，B b sin = Cc sin ，c = BC b sin sinS = 21bcsinA = 21b 2BA C sin sin sin A = 180︒-(B + C)= 180︒-(62.7︒+ 65.8︒)=51.5︒要求三角形的面积需要知道什么条件？思考S = 21⨯3.162⨯︒︒︒7.62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2) (3)根据余弦定理的推论，得cosB =ca b a c 2222-+=4.417.3823.274.417.38222⨯⨯-+≈0.7697sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384应用S=21acsinB ，得 S ≈21⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4(cm 2)【反思】在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，从而求出三角形的面积.【例题】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？【思路】把这一实际问题化归为一道数学题目，本题已知三角形的三边，先根据余弦定理求角，再利用三角形的面积公式求解。
人教课标版高中数学必修5第一章解三角形应用举例教案2
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出
AC 边所对的角
可用余弦定理算出 AC边，再根据正弦定理算出 AC边和 AB边的夹角 CAB。
ABC，即
解：在 ABC中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理，
AC= AB 2
BC 2
2 AB
=15
2
在 Rt ADE中， AE=ADsin60 =15 答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m
解法二：（设方程来求解）设 DE= x， AE=h
在 Rt ACE中 ,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2
在 Rt ADE中 ,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2
两式相减，得 x=5 3 ,h=15
答 : 此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行 , 需要航行 113.15n mile
解法一：（用正弦
定理求解）由已知可得在
ACD中，
AC=BC=3，0 AD=DC=10 3 ， ADC =180 -4 ，
10 3 =
30
。
sin 2 sin( 180 4 )
因为 sin4 =2sin2 cos2
cos2 = 3 , 得 2 =30
在 Rt ACE中 ,tan2 =
h
3 =
10 3 x 3
2 =30 , =15
答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得
BAC= ，
AC = BC =30m , AD = CD =10
3 m， 在 Rt ACE中， sin2 = x ① 30
高二数学必修五讲义之1.2解三角形应用
解斜三角形的应用一、一周知识概述本节内容是在上一节解三角形的基础上提出了更高的要求，要我们能从实际问题中抽象出一个或几个三角形．并根据已知条件分析出这些三角形中的对应量，再运用所学的解三角形的知识去解决问题，从而达到提高解决实际问题的能力．二、知识归纳及讲解1、解斜三角形应用题的一般步骤是：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图，抽象成三角形相应边和角及相应大小、位置，从而成为一个纯解三角形的问题.②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的结论．解斜三角的基本思路2、常用术语与相关概念（1）坡度（亦叫坡角）：坡与水平面的夹角的度数．（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值．（3）仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．（5）方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．三、难点知识剖析1、解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求出数学模型的解．（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2、解斜三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．四、例题讲解例1、如图，为了测定河的宽度，在河岸取定基线BC，其长为α，在河对岸取定点A，测得∠ABC=α,∠ACB=β,求河宽.例2、隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距的C、D两点，同时，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内）．求两目标A、B之间的距离．例3、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A为的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船，此时走私船正以10km／h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．例4、如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ（用反三角函数表示）．例5、A、B、C是一条直路上的三点，AB=BC=1km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．例6、（2003年全国高考题）在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(=arccos)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_8
解三角形的应用举例（一）设计一、课题：1.2解三角形的应用举例二、教材的地位与作用：本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
三、学情分析：通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法。
但学生对正弦定理和余弦定理适用条件缺乏清晰的概念。
因此，本节课遵循学生由具体到抽象，由感性到理性的认知规律，引导学生通过自己的数学实践活动，从实际问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。
四、教学目标：基于新课程标准的要求及对教材内容的具体分析，我制定了本节课的教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。
过程与方法：首先通过巧妙的答疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——回归实际”的教学过程，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
五、教学重、难点：教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图；六、教法、学法设计：教法设计：基于我的学情分析，我创设发生在学生身边的问题情境，激发学生学习本节知识的兴趣，从抽象的测量距离问题入手，到进一步解决具体的测量问题。
以启发引导式教学为主；遵循从理论到实际的认识世界的一般思路，先利用生活中实际问题激发学生的学习兴趣，然后让学生操作实践、合作交流、自主探究，最后总结提升。
必修五-解三角形-讲义
word 格式-可编辑-感谢下载支持人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。
2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。
4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。
5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。
4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。
5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
【要点内容】 一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==a bcOCAD两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C csin证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
人教版高中数学必修5教案第一章解三角形§2.2解三角形应用举例第二课时
课题: §2.2解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力●教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题●教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件●教学过程Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。
由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得AC = )sin(sin βαβ-aAB = AE + h= AC αsin + h= )sin(sin sin βαβα-a + h例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。
已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD 边。
人教版必修五：正弦定理解三角形(说课稿)
正弦定理解三角形〔说课稿〕各位评委、教师：大家好，今天我说课的题目是?正弦定理解三角形?。
下面从以下几个方面介绍这堂课的教学设计：一课题分析1、教材分析本节课节选自人教A版必修五第一章第一节?解三角形?的内容，本节共需4课时，本节为第二课时。
解三角形的知识与初中学习的三角形的边和角的根本关系有亲密的联络，也表达了向量的应用。
它是解决一些与测量和几何运算有关的实际应用问题的有力手段，有效地将几何问题与代数运算联络到一起。
在天文、地理、航海、航空领域都有着广泛的应用，是理工类学生的有力工具，在历年的高考中常作为重点考察。
2、学情分析我授课的对象是理科精英班，已经学习了正弦定理及其推导，理解三角形的边角关系。
学生根本情况是：思维缓慢且难有广度，运算才能极差，记忆才能弱。
表现为：对不含参数的常规一元二次不等式的求解问题，有40%的同学不限时的情况下能解对，只有不到15%的学生能在规定时间内解对。
3、教学内容与目的知识与技能：练习掌握用正弦定理解三角形的两类问题：①、两角与任一边求解三角形；两边与其中一边对角求解三角形。
②、学会不解三角形判断三角形解的个数。
过程与方法：从详细问题入手，通过分析、练习掌握正弦定理解三角形；从实验中观察、总结判断三角形解的个数的方法。
情感态度与价值观：在练习与总结中体会理论知识从理论中来到理论中去的普遍真理，发现数学的理性与严谨。
4、教学重难点本节的重点是应用正弦定理求解三角形并判断出三角形解的个数；本节的难点是知识的归纳与升华。
二教法分析针对学生的现有程度和才能，我对课本的知识进展了适当的改变与整合。
学生已经预习了课本的例题，我把课本例题中的数字进展了改变，换成学生能马上理解的特殊角和易计算的边长，方便运算的同时，也能到达教学目的。
课本的探究与发现是正弦定理联络严密，放在本节来讨论比拟适宜。
三学法分析教学中通过类比的练习方式教给学生如何独立的学习知识，通过指导学生合作动手理论与讨论，增加学生主动参与的意识，增加学生获取思维方法的途径，有利于教给学生应对未知时的解决方法。
人教版高中数学必修5教案第一章解三角形§2.2解三角形应用举例
课题: §2.2解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_17
正弦定理和余弦定理教学设计【教学目标】知识与技能：掌握正弦定理与余弦定理的内容及其证明方法；并能解决一些简单的三角度量问题。
过程与方法：让学生从已有的知识出发,借用例题观察，比较，得出何时使用正弦定理、余弦定理解三角形。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、余弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点】正弦定理与余弦定理及其基本应用。
【教学难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【教学过程】复习内容：一、正弦定理1.内容：a sin A ＝ ＝c sin C ＝ (其中R 为△ABC 外接圆的半径)．注：①已知两角一边，解三角形；②已知两边及其中一边所对角，解三角形.2.正弦定理的几种常见变形：①a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；②sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ ；③a :b :c ＝sin A :sin B :sin C .3.例题分析（1）已知两角一边例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，A=60°，B ＝75°，a=10 ,求边c.答案：3610=c .练习：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，A=45°，B ＝60°， a=4 ,求边b.答案：62=b .（2）已知两边及其中一边所对的角例2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于(D)A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°注：根据三角形的特点对解进行取舍。
练习：已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B ＝60°，那么角A 等于( C )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°二、余弦定理1.余弦定理的内容：c 2＝ ，b 2＝ ，a 2＝ .2.余弦定理的变形：cos A ＝ ；cos B ＝ ；cos C ＝ .注：①已知三边解三角形；②已知两角一边，解三角形.3.例题分析（1）已知两边一角例3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，a=5 , b= 3 ，C ＝120°，求边c.答案：7=c注：已知两边及夹角，求第三边，用余弦定理。
高中数学必修五第一章：2解三角形应用举例(4)教案
课题： 2.2 解三角形应用举例（4）第课时总序第个教课设计课型：复习课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形注的问题 ,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课增补了三角形新的面积公式，奇妙设疑，指引学生证明，同时总结出该公式的特色，顺序渐进地详细运用于有关的题型。
此外本节课的证明题表现了前方所学知识的生动运用，教师要松手让学生探索，使学生在详细的论证中灵巧掌握正弦定理和余弦定理的特色，能不名一格，一题多解。
只需学生自行掌握了两定理的特色，就能很快宽阔思想，有益地进一步打破难点。
感情态度与价值观：让学生进一步稳固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培育学生研究和发现能力，让学生在研究中体验欢乐的成功体验教课要点：推导三角形的面积公式并解决简单的有关题目教课难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题教课器具：三角板，直尺，投影教课方法：本节课增补了三角形新的面积公式，奇妙设疑，指引学生证明，同时总结出该公式的特色，顺序渐进地详细运用于有关的题型。
教课过程：Ⅰ . 课题导入[ 创建情境 ]师：从前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今日我们来学习它的另一个表达公式。
在ABC中，边 BC、CA、AB上的高分别记为h a、h b、h c，那么它们怎样用已知边和角表示？生： h aC B b=csinA Chc=asinB A =bsin =csin h=asin=bsina师：依据从前学过的三角形面积公式S= 1ah, 应用以上求出的高的公式如2h a =bsin C代入，能够推导出下边的三角形面积公式，S= 1absin C，大家能推2出其余的几个公式吗？生：同理可得，S= 1bcsin A, S=1acsinB 22师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的随意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ . 解说新课[ 典范解说 ]例 1、在ABC 中，依据以下条件，求三角形的面积S （精准到 0.1cm 2 ）（ 1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （ 2）已知 B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（ 3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm剖析：这是一道在不一样已知条件下求三角形的面积的问题， 与解三角形问题有密切的关系， 我们能够应用解三角形面积的知识， 察看已知什么， 尚缺什么？求出需要的元素，就能够求出三角形的面积。
高中数学必修五第一章：2解三角形应用举例(2)教案
课题：2.2解三角形应用举例（2）第课时总序第个教课设计课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：日教课目的：知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关底部不行抵达的物体高度丈量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延长。
采纳启迪与试试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、绘图、想图，帮助学生逐渐建立知识框架。
经过年月批注3道例题的安排和练习的训练来稳固深入解三角形实质问题的一般方法。
教课形式要坚持指引——议论——归纳，目的不在于让学生记着结论，更多的要养成优秀的研究、探究习惯。
作业设计思虑题，供给学生更广阔的思虑空间感情态度与价值观：进一步培育学生学习数学、应用数学的意识及察看、归纳、类比、归纳的能力教课要点：联合实质丈量工具，解决生活中的丈量高度问题教课难点：能察看较复杂的图形，从中找到解决问题的要点条件教课器具：三角板，直尺教课方法：指引——议论——归纳教课过程：Ⅰ . 课题导入发问：现实生活中 , 人们是如何丈量底部不行抵达的建筑物高度呢？又如何在水平飞翔的飞机上丈量飞机下方山顶的海拔高度呢？今日我们就来共同商讨这方面的问题Ⅱ . 解说新课[ 典范解说 ]例 1、 AB 是底部 B 不行抵达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种丈量建筑物高度 AB的方法。
剖析：求AB 长的要点是先求AE，在ACE中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点察看 A 的仰角，就能够计算出AE 的长。
解：选择一条水平基线HG，使 H、 G、 B 三点在同一条直线上。
由在H、 G两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是、，CD= a，测角仪器的高是h，那么，在ACD 中，依据正弦定理可得AC AB ==asinsin()AE + h=AC+ hsin= a sin sin+ hsin()例 2、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角=54 40，在塔底 C 处测得 A 处的俯角=50 1。
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新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义 解三角形内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形应用举例【知识要点】要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题. 要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路 实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。
坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。
方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点B 的方位角是0135α=。
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西060方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转060）；如图为北偏东030方向（指从正北开始向正东方向旋转030）.东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四、解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题例1. (上海高考)如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．(1)设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(结果精确到0.01米)．举一反三：【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上D E 、间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，如图，测得400m 600m 60CA CB ACB ，，==∠=︒，又测得A B 、两点到隧道口的距离80m AD =，40m BE =(A D E B 、、、在一条直线上)，计算隧道DE 的长.类型二：高度问题例2.某人在塔的正东沿着南偏西60︒的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30︒，求塔高.举一反三：【变式1】(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m.【变式2】在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。
类型三：角度问题例3.甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60o 方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？AB举一反三：【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏西30︒，灯塔B在观察站C南偏西60︒，则A、B之间的距离为；【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.akmB.3akmC.2akmD.2akm-)km的B处有一艘走私船.【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(31在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以103km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.一、选择题1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC 的长度为4米,030A =,则其跨度AB 的长为( )A.12米B.8米C.33米 D. 43米2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为( )A.3B.23或3C.23D.33.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为( )A.4003米B.40033 米C.20033 米D.2003米 4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度3:4i =，设α为坡角，那么cos α为( )A.35B.45C.34D.435．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 m D. 2522m 6．( 四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)m B.180(2－1)m C ． 120(3－1)mD ．30(3＋1)m填空题7. 一艘船以20/km h 的速度向正北方向航行,船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向上,1h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75o 的方向上,这时,船与灯塔的距离BC = ； B C A8. (四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，s in37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)9. (河南高考)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．解答题10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？11．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图所示)．求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速︒+的方向追去，若要度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东45α在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和α角的正弦值．13. 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD=110°，又在B点测得∠ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)105的方向航行60n mile后到达海岛B,然后从B出发,14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东030的方向航行602n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿沿北偏东0怎样的方向航行,需要航行多少距离?15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°＝3 7 )新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义解三角形内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形应用举例【知识要点】要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。