1.1 分类加法计数原理与(一)12112103
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1.1分类加法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系：
联系
加法原理
乘法原理
回答的都是关于完成一件事情的不同方法的
种数的问题。
区别一 关键词是“分类”
关键词是“分步”
区别二 区别三
每一步得到的只是中间结果，
每类办法都能独立完成 这件事情。
任何一步都不能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每
4、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大 的两位数有多少个？
5、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本， 有多少种不同的分法？
6、已知 a {3, 4,6},b {1, 2,7,8}, r {8,9}
则方程 (x a)2 ( y b)2 r2 可表示不同的圆的
个数有多少？
分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理(一)
游周平
问题 1. 从宁明到南宁，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3班, 汽车有5班。那么一 天中乘坐这些交通工具从宁明到南宁共有多少种 不同的走法? 分析: 从宁明到南宁有2类方法
第一类方法, 乘火车，有3种方法; 第二类方法, 乘汽车，有5种方法; 所以 从宁明到南宁共有 3+5 = 8 种方法。
例1、商店里的饮料有矿泉水、牛奶、可乐、凉茶， 其中矿泉水有3种不同的牌子、牛奶有2种不同的 牌子、可乐有2种不同的牌子、凉茶有3种不同的 牌子。若到该商店买一瓶饮料，有多少种不同的 买法？
问题二：若选择从宁明坐汽车去南宁，第二天再从南
宁坐高铁去广州，宁明去南宁的汽车有5班，南宁到
广州的高铁有6列。请问从宁明到广州有几种方法？
分析：宁明到广州分两个步骤走
第一步
汽车1 汽车2 汽车3 汽车4 汽车5
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
狐狸共有多少种不同的方法，可以从草地 逃回到自己的房子（安全地）
5种方法 a 1a 2 草地 a3 a5 a4
小岛
2种方法 b1
b2
房 安全地 子
问题剖析 要完成什么事情 完成这个事情要分几步
(2) 草地到安全地
两步 不能 5种 2种
每步方法能否独立完成这件事情
每步方法中分别有几种不同的方法
完成这件事情共有多少种不同的方法 5×2=10种
(1) 草地到安全地 两类 能 2种 3种
完成这件事情共有多少种不同的方法 2+3=5种
互不相容
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中
有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方 法,那么完成这件事共有:N=m+n 种不同的方法。
思考 原理使用的前提条件是什么?
你能举出生活中的一些分类 计数问题吗?
问1.一个书架共有三层，第1层放有4本不 同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺 书，第3层放有2本不同的体育书。从书架 上任取1本书，有多少种不同的取法？ 分析: 分三类： 第一类：从第1层取，有4种方法; 第二类：从第2层取，有3种方法; 第三类：从第3层取，有2种方法。 所以从书架上任取1本书共有 4+3+ 2 =9 种不同的取法
练1.三种作物种植在如图所示的五块实验田里， 每块实验田种植一种作物且相邻的试验田不能 种植同一种作物，不同的种植方法共有 _________种？ 练2.求乘积 (a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4+b5)(c1+c2+c3+c4)的展 开式的项数
练3.将标有数字1、2、3、4、5的五张卡片放 入标有数字1、2、3、4、5的五个盒子中，每 个盒子放一张卡片，且卡片上的数字与盒子的 数字均不相同，则共有多少种不同的放法？
1.1分类加法计数原理
1．完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的 方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m×n 种不同的方法．
2．完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的 方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，则完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种 不同的方法．
分步乘法计数原理 [提出问题]
一名游客从沈阳出发去长沙游玩，但需在北京停留，已知从 沈阳到北京每天有 7 个航班，从北京到长沙每天有 6 列火车．
问题 1：该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤？ 提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到长沙． 问题 2：完成每一步各有几种方法？ 提示：第 1 个步骤有 7 种方法，第 2 个步骤有 6 种方法． 问题 3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？ 提示：共有 7×6＝42 种不同的方法．
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理(一)
分类加法计数原理
[提出问题] 一名游客从沈阳出发去长沙游玩，已知从沈阳到长沙每天 有 7 个航班、6 列火车． 问题 1：该游客从沈阳到长沙的方案可分几类？ 提示：两类，即乘飞机、坐火车． 问题 2：这几类方案中各有几种方法？ 提示：第 1 类方案(乘飞机)有 7 种方法，第 2 类方案(坐火车) 有 6 种方法．
分步乘法计数原理 [例 2] 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整数， 则满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位偶数． [解] (1)三位数有三个数位： 百位 十位 个位 ， 故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；
2．完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的 方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，则完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种 不同的方法．
分步乘法计数原理 [提出问题]
一名游客从沈阳出发去长沙游玩，但需在北京停留，已知从 沈阳到北京每天有 7 个航班，从北京到长沙每天有 6 列火车．
问题 1：该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤？ 提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到长沙． 问题 2：完成每一步各有几种方法？ 提示：第 1 个步骤有 7 种方法，第 2 个步骤有 6 种方法． 问题 3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？ 提示：共有 7×6＝42 种不同的方法．
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理(一)
分类加法计数原理
[提出问题] 一名游客从沈阳出发去长沙游玩，已知从沈阳到长沙每天 有 7 个航班、6 列火车． 问题 1：该游客从沈阳到长沙的方案可分几类？ 提示：两类，即乘飞机、坐火车． 问题 2：这几类方案中各有几种方法？ 提示：第 1 类方案(乘飞机)有 7 种方法，第 2 类方案(坐火车) 有 6 种方法．
分步乘法计数原理 [例 2] 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整数， 则满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位偶数． [解] (1)三位数有三个数位： 百位 十位 个位 ， 故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理加法计数原理与乘法计数原理是统计学中研究组合问题的重要工具。
它们被用来研究不同数量的对象排列成容器的模式。
加法计数原理是指一个容器可以放置n个对象，所有可能出现的组合数量等于每种情况的数量相加，即n1+n2+…+ni。
而乘法计数原理是指一个容器可以放置n个对象，所有可能出现的组合数量等于每种情况的数量相乘，即n1×n2×…×ni。
加法计数原理也叫拆分法，它的思想是把一个问题拆分成多个子问题，并求解每一个子问题，然后将子问题解的和作为总问题的解。
它可以用于计算不同数量的对象排列成容器中所有可能出现的组合数量。
以容器里一次放入3种颜色的小球为例，一共有三种方案，一种为全部放入红球、一种放入蓝球、一种放入绿球。
使用加法计数原理，则可以将该总问题分解为三个子问题，分别求解全部放入红球、放入蓝球、放入绿球的方案数，然后将它们的解的和作为总方案数的解。
乘法计数原理也叫分步乘法计数原理，它的思想是求解一个总体的组合数量可以拆分为两个步骤，求总体中的每一个部分的组合数量，然后将各个部分的组合数量相乘，得出总体组合数量。
以容器里一次放入3种颜色的小球为例，使用分步乘法计数原理，则可以求出放入红球、蓝球、绿球的三种方案当中，第一个小球放入红球、第二个小球放入蓝球、第三个小球放入绿球的方案数，然后将它们的解的积即可求出总方案数的解。
总的来说，加法计数原理与乘法计数原理都可以用于研究不同数量的对象排列成容器中所有可能出现的组合数量。
加法计数原理是把一个总问题拆分成多个子问题，将每个子问题的解和起来即可求出总问题的解；乘法计数原理是把一个总体的组合数量可以拆分为两个步骤，求每一个部分的组合数量，然后将它们的积作为总体组合数量的解。
原创1：1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理
根据分步计数原理，有重复数字的四位数有：N=5 × 5 × 5× 5=625（种） 3.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的四位数？
根据分步计数原理，无重复数字的四位数有：N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
巩固练习
4.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊族有8名运动员，盘羊族 有7名运动员，羚羊族有6名运动员。问：
第一章 计数原理
§1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
高中数学选修2-3·精品课件
问题探究一：
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡
羊村
灰太狼从狼堡 去羊村抓羊，他开飞机去有 2 条航线，骑 摩托车去有 3 条道路．请问灰太狼去羊村一共有几种不 同方法？
问题剖析
灰太狼做什么事情？
从狼堡到羊村抓羊
完成这个事情有几类方法？
区别3
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
巩固练习
1.灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊在跳远、11只羊在跳 高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多 少种不同的选择？ 根据分类计数原理，不同的选法共有:N=12+11+9+13=45（种） 2.由数字1，2，3，4，5可以组成多少种可以有重复数字的四位数？
例4.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种 称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U 表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个 位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基 组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
根据分步计数原理，无重复数字的四位数有：N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
巩固练习
4.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊族有8名运动员，盘羊族 有7名运动员，羚羊族有6名运动员。问：
第一章 计数原理
§1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
高中数学选修2-3·精品课件
问题探究一：
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡
羊村
灰太狼从狼堡 去羊村抓羊，他开飞机去有 2 条航线，骑 摩托车去有 3 条道路．请问灰太狼去羊村一共有几种不 同方法？
问题剖析
灰太狼做什么事情？
从狼堡到羊村抓羊
完成这个事情有几类方法？
区别3
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
巩固练习
1.灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊在跳远、11只羊在跳 高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多 少种不同的选择？ 根据分类计数原理，不同的选法共有:N=12+11+9+13=45（种） 2.由数字1，2，3，4，5可以组成多少种可以有重复数字的四位数？
例4.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种 称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U 表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个 位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基 组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
第1章 1.1分类加法计数原理
课前探究学习
课堂讲练互动
[规律方法] 应用分步乘法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目 中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说是否必须 要经过几步才能完成这件事．
(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才
算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．即各步 之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行． (3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这 几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完
课前探究学习
课堂讲练互动
试一试：小冉有3条不同款式的裙子，5双不同款式的靴子， 某日她要去参加聚会，若穿裙子和靴子，则不同的穿着搭配 方式的种数为________．
提示
不同的穿着搭配方式分两步完成，由分步乘法计数原
理知共有3×5＝15种．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
正确区分和理解两个原理
(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于：分类 加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独 立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数 原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存， 只有各个步骤都完成才算做完这理具体的应用题时，首先必须弄清是 “分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的 具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否
独立完成这件事，可以避免计数的重复或遗漏．
(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用 分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列 出表格，使问题更加直观、清晰．
法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数 相乘，得到总数． ③对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘 法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意 图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于 我们解题.
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第一课时 两个计数原理及其
( √) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是
各不相同的．
ห้องสมุดไป่ตู้
( √)
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中
任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完
成后，这件事情才算完成．
(√ )
2．某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一本，则
购买方式共有
考点三 两个计数原理的简单综合应用
[典例] 在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋， 有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋， 现在从 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少 种不同的选法？
[解] 选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的 3 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选；选参加围棋比 赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的 2 人中选或在既会下象 棋又会下围棋的 2 人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．
各类方法之间是互斥 的、并列的、独立的
各步之间是相互依存 的，并且既不能重复、 也不能遗漏
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．
( ×) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．
复习课件
（浙江）高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数 原理 第一课时 两个计数原理及其简单应用课件 新人教A版选修2-3
1．1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第一课时 两个计数原理及其简单应用
一、预习教材·问题导入 预习课本 P2～3，思考并完成以下问题 1．什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
〉
练习4：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C 村的不同路线共有多少条？
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
练习5：现在有高一年级学生 3名，高二年级学生 5 名，高 三年级学生4名，问： 〉 （1）从中任选1人参加演讲比赛，共有多少种不同的选法？ 〉 （ 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加演讲比赛，共有多 少种不同的选法？
A
B
C
D
E
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
结论: 分类加法计数原理 〉 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种 不同的方法，在第2类方案中有种 n 不同的方法. N m n 不同的方法. 〉 那么完成这件事共有种
〉
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
练习1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到， A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况 如下： 〉 A大学 B大学 〉 生物学 数学 〉 化学 会计学 〉 医学 信息技术学 〉 物理学 法学 〉 工程学 〉 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
〉 〉
结论：分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有种 m 不同的方法，做第2步有种 同的方法. 那么完成这件事共有
n不
〉
N mn
种不同的方法.
〉
变式：如果我还要在鞋柜中的 3 双皮鞋和 3 双休闲鞋中选 1 双，选好外套、裤
子和鞋子三件组成一套，我共有多少种不同的选法
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
〉
问题4：类比加法原理的推广，乘法原理能推广吗？
分类加法计数原理
分类加法计数原理分类加法计数原理是概率统计学中的一种重要方法，它用于解决复杂事件的计数问题。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算不同情况下的总数的问题，而分类加法计数原理正是为了解决这类问题而产生的。
下面我们将详细介绍分类加法计数原理的相关内容。
首先，我们来了解一下什么是分类加法计数原理。
分类加法计数原理是指，若一个任务可以被分解为若干个相互独立的子任务，每个子任务有m种方式完成，第一个子任务有n1种方式，第二个子任务有n2种方式，……，最后一个子任务有nk种方式完成，那么完成整个任务共有mn1n2…nk种方式。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明分类加法计数原理的应用。
假设小明有3件上衣、4条裤子和2双鞋子，他想知道自己一天可以穿出多少种不同的搭配。
按照分类加法计数原理，我们可以将这个问题分解为三个子任务，选择上衣、选择裤子、选择鞋子。
根据分类加法计数原理，完成整个任务共有342=24种不同的搭配方式。
在实际问题中，有时候我们需要考虑排列和组合的情况。
排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的顺序，这个过程称为组合。
对于排列和组合问题，分类加法计数原理同样适用。
除了上述的基本情况外，分类加法计数原理还可以应用于更加复杂的问题，如多重选择、重复选择等。
在解决这些问题时，我们可以根据实际情况将问题分解为若干个子任务，然后利用分类加法计数原理求解总数。
总之，分类加法计数原理是一种非常实用的计数方法，它可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
通过合理地分类和计算，我们可以快速准确地得出问题的答案。
在实际应用中，我们可以灵活运用分类加法计数原理，解决各种实际问题，提高计算效率，减少错误率。
通过本文的介绍，相信大家对分类加法计数原理有了更深入的了解。
在今后的学习和工作中，希望大家能够灵活运用分类加法计数原理，解决各种计数问题，提高工作效率，取得更好的成绩。
《分类加法计数原理》 讲义
《分类加法计数原理》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算数量的情况。
比如，从家到学校有 3 条不同的路可走，从学校到图书馆有 2 条不同的路可走，那么从家经过学校到图书馆一共有多少种不同的走法？这就涉及到我们今天要讲的分类加法计数原理。
一、什么是分类加法计数原理分类加法计数原理是指：完成一件事，如果有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
为了更好地理解这个原理，我们来看几个例子。
例 1：某班有男生 20 人，女生 15 人，从中选一名同学担任班长，有多少种选法？分析：选班长这件事可以分为两类情况，一类是选男生，有 20 种选法；另一类是选女生，有 15 种选法。
根据分类加法计数原理，总的选法数为 20 ＋ 15 ＝ 35 种。
例2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析：从甲地到乙地这件事可以分为三类情况，乘火车有4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法。
所以总的走法数为 4 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 9 种。
二、分类加法计数原理的特点1、完成一件事有若干不同的方法，这些方法可以分成 n 类。
2、用任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事。
3、各类方法之间是相互独立的，即每一类方法的选择都不会影响其他类方法的选择。
三、运用分类加法计数原理解题的步骤1、明确要完成的“一件事”是什么。
2、确定完成这件事的分类标准，将这件事分成 n 类。
3、计算每一类方法的数量，即 m1，m2，…，mn。
4、根据分类加法计数原理，计算总的方法数 N ＝ m1 ＋ m2 ＋…＋ mn。
我们通过一个具体的例子来看看如何运用这些步骤解题。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理一
VS
解析
本题主要考查分步乘法计数原理和分类加 法计数原理的应用。根据题意可知``如意四 位数''的千位数字可以为$2,3,4,5$。若千位 数字可以为$2$时，剩余三位数可以为 $013,031,103$；若千位数字可以为$3$时， 剩余三位数可以为$015,051,105$；若千 位数字可以为$4$时，剩余三位数可以为 $015,051,105$；若千位数字可以为$5$时， 剩余三位数可以为$014,041,104$。所以 共有$6 + 6 + 6 + 6 = 24$个。
02 分步乘法计数原理
定义与理解
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成若干个相互 联系的步骤，完成每一步都有若干种不同的方法，则完成这 件事情的不同方法数是每一种方法都有的不同方法的乘积。
理解分步乘法计数原理的关键是明确分步的标准，并理解每 一步中方法的独立性。
分步乘法计数原理的应用
在解决排列组合问题时，分步乘法计 数原理可以用来计算完成某一任务的 不同方法数。
概率计算
概率计算中也可以使用分类加法计数原理，将事件分解为若干个子事件，然后 分别计算各个子事件的概率，最后将各个子事件的概率相加得到原事件的概率。
分类加法计数原理的实例
• 举一个简单的例子，假设我们要从5个不同的班级中选出3 个班级参加学校的文艺比赛，那么我们可以将这个问题分解 为5个互不重叠的子问题，即从第1个班级中选出1个班级、 从第2个班级中选出1个班级、从第3个班级中选出1个班级、 从第4个班级中选出1个班级、从第5个班级中选出1个班级。 根据分类加法计数原理，完成这个任务总共有 5+4+3+2+1=15种不同的方法。
实例二
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分
分析:可按去工厂甲的班级数分类讨论,也可用间接法求解. 解:方法一(直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类: 第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况; 第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,共有
3×3=9种分配方案;
第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,共
有3×3×3=27种分配方案.
综上所述,共有1+9+27=37种不同的分配方案.
题型一
题型二
题型三
Z D 目标导航目标导航知识梳H知理ISH识ISH梳ULI 理 典例典IA透N例L析ITO透UX析I
S随堂随U演IT堂A练NG演YA练NLIAN
方法二(间接法) 先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去
的情况,即4×4×4-3×3×3=37种方案.
题型一
题型二
题型三
Z D 目标导航目标导航知识梳H知理ISH识ISH梳ULI 理 典例典IA透N例L析ITO透UX析I
S随堂随U演IT堂A练NG演YA练NLIAN
反思抽取与分配问题常见类型及解法 (1)当问题中涉及对象数目较少时,一般选用列举法、树状图法、 图表法等来解答,得出结论.
第2课时 分类加法计数原理和 分步乘法计数原理的应用
Z D 目标导航目标导航知识梳H知理ISH识ISH梳ULI 理 典例典IA透N例L析ITO透UX析I
S随堂随U演IT堂A练NG演YA练NLIAN
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.能根据实际问题特征,正确选择计数原理解决实际问题.
Z D 目标导航目标导航知识梳H知理ISH识ISH梳ULI 理 典例典IA透N例L析ITO透UX析I
3×3=9种分配方案;
第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,共
有3×3×3=27种分配方案.
综上所述,共有1+9+27=37种不同的分配方案.
题型一
题型二
题型三
Z D 目标导航目标导航知识梳H知理ISH识ISH梳ULI 理 典例典IA透N例L析ITO透UX析I
S随堂随U演IT堂A练NG演YA练NLIAN
方法二(间接法) 先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去
的情况,即4×4×4-3×3×3=37种方案.
题型一
题型二
题型三
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反思抽取与分配问题常见类型及解法 (1)当问题中涉及对象数目较少时,一般选用列举法、树状图法、 图表法等来解答,得出结论.
第2课时 分类加法计数原理和 分步乘法计数原理的应用
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1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.能根据实际问题特征,正确选择计数原理解决实际问题.
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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(用)
B．20种 D . 32种
2 学生选小组N= 5
(3)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比 20000大的五位偶数共有( B )
A.48个 B.36个 C.24个
D.18个
分析：
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时，万位数是 3，4，5，其他随意，共有3×3×2×1=18种；当个位数是 4时，万位数是2，3，5，其他随意，共有3×3×2×1=18 种,所以共有36种.
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允许重复数 字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步：百、十、 个位数各有5种取法， 所以可以组成 5×5×5=125 个三位数.
(2)如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到
丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
有 N=m1×m2×m3×……. ×mn 种不同的方法。
说明
（1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成, 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又简称乘法原理
（2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方 法计数.
典型例题 例4. 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文 艺书,第3层放有2本不同的体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；
第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择；
根据分步乘法计数原理，共有 30 24＝720 种不同选择；
典型例题
例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅分别挂在左、右两边墙的指定位置, 问共有多少种不同的挂法?
01 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-教学文档
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。学习目标
思考4：用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
你能说说这个问题的特征吗？
你能归纳出什么是分步乘法计数原理吗？
例2：设某班有男生6名，女生5名，现从中选出男、女各一名组成两人小队参加比赛，共有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，由多少种不同的选法？
当堂检测
1.乘积 展开后共有项。
2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有个。
学后反思
学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如右图：
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
思考2：在例1的问题中，如果还有一所C大学有3个不同的专业可以选择，那么这名同学共有多少种选择呢？
思考3：如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
思考4：用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
你能说说这个问题的特征吗？
你能归纳出什么是分步乘法计数原理吗？
例2：设某班有男生6名，女生5名，现从中选出男、女各一名组成两人小队参加比赛，共有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，由多少种不同的选法？
当堂检测
1.乘积 展开后共有项。
2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有个。
学后反思
学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如右图：
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
思考2：在例1的问题中，如果还有一所C大学有3个不同的专业可以选择，那么这名同学共有多少种选择呢？
思考3：如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
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探究 你能说说这个问题的特 征吗?
上述问题中 , 最重要的特征是 " 和" 字的出现 : 每个座位由一个英文字 母和一个阿拉伯数 字构成, 每个英文字母与不同的 数字组成的 号码是各不相同的 .
一般地, 有如下原理 : 分步乘法计数原理 完 成一 件事需 要两个步骤, 做第1步有m种不同方法, 做第2步有n种不同方法, 那么完成这 件事共有 N m n 种不同的方法.
无论第 1步采用哪种方法 , 都不影响第 2步方法的选取 .
例 2 设某班有男生30名, 女生24 名.现要从中 选出男、女生各一名代 表班级参加比赛 , 共有 多少种不同的选法 ?
分析 选出一组参赛代表 ,可分两个步骤 .第 1步选男生 ,第2步选女生 . 解 第1步, 从30名男生中选出1人,有30种不同 选法;
第3类方法是从第 3层取1本体育书,有2种方法. 根据分类加法计数原理 ,不同取法的种数是 N m1 m2 m3 4 3 2 9.
2从书架的第 1,2,3层各取1本书,可以分成
3个步骤完成 :
第1步从第1层取1本计算机书 ,有 4 种方法; 第2步从第 2层取1本文艺书,有3种方法; 第3步从第 3层取1本体育书,有2种方法.
(2) 每年级选1名组长，有不同选法： N = 9 × 12 × 7 = 756（种）. (3) 推选两名来自不同年级的学生做一次活动主持人, 有不同选法： N = 9×12 +12×7 +9×7 = 255（种）.
教材第6页练习：
教材6页练习: 1. 填空:
(1) 一件工作可以用2种方法完成,有 5 人会用第 1 种方法完成 , 另有 4 人用第 2 种方法完成,从中选出1人来完成这件工 5+4=9 作,不同选法的种数是_____________. (2) 从A村去B村的道路有3条,从B村 去C村的道路有2条,从A村经B村去C村, 3×2=6 不同的走法的种数是______________.
例5 现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人， 自发组织数学课外活动小组. (1) 选其中1人为总负责人，有多少种不同选法; (2) 每年级选1名组长，有多少种不同选法; (3) 从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主 持人,有多少种不同选法？ 解： (1) 选其中1人为总负责人，有不同选法： N = 9 + 12 + 7 = 28（种）.
2. 现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学生5名,高中 三年级的学生4名. (1)从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法? (2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动,有多 少种不同的选法?法：
第1类办法是从高中一年级的学生中选1人，有3种方法； 第2类办法是从高中二年级的学生中选1人，有5种方法； 第3类办法是从高中三年级的学生中选1人，有4种方法； 根据分类计数原理，不同选法的种数是 N=3 +5 + 4 = 12（种）
思考：在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，则 A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以 选择，那么这名同学可能的专业选择共有多少种？
A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 数学 并不要考虑 解：因为要确定的是这名同学的专业选择， 这名同学可能的 学校的差异， 所以由分类加法计数原理，
如果完成一件事需要 n个步骤 , 做每步 中都有若干种不同方法 ,那么应当如何 计数呢?
例3 书架的第 1层放有4本不同的计算机书 , 第2层放有3本不同的文艺书 , 第3 层放有2 本 不同的体育书 . 1从书架中任取1本书, 有多少种不同取法? 2从书架的第 1,2,3层各取1本书, 有多少种不 同取法? 解 1 从书架上任取一本书 ,有 3 类方法 : 第 1类方法是从第 1层取1本计算机书 ,有 4 种方法; 第2类方法是从第 2层取1本文艺书,有3种方法;
专业选择共有 6 + 4 －1= 9（种）
探究 如果完 成一件事有三类不同方 案, 在第1类方法中有m1种不同的方法 , 在第2 种方案中有m2 种不同的方法 , 在第3 类方 案中有m3 种不同方法 .那么完成这件事共 有多少种不同的方法 ?
如果完成一件事情有n类不同方案， 在每一类中都有若干种不同方法，那么应 当如何计数呢？
2. 现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学生5名,高中 三年级的学生4名. (1)从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法? (2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同 的选法? 解: (2)从3个年级的学生中名选1人参加接待外宾的活动,可分三步 完成： 第1步是从高中一年级的学生中选1人，有3种方法； 第2步是从高中二年级的学生中选1人，有5种方法；
上述问题中 , 最重要的特征是 " 或" 字的出现 : 每个座位 可以用一个英文字母或 一个阿拉伯数字编号 .由于英文 字母、阿拉伯数字各不 相同,因此用英文字母编出的 号 码与用阿拉伯数字编出 的号码也是各不相同的 .
你能举一些生活中类似 的例子吗?
例：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一 天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这 些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 解：因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法, 每一种走法都可以从甲地到乙地. 所以共有3+2=5种不同走法,如图
第3步是从高中三年级的学生中选1人，有4种方法；
根据分步计数原理，不同选法的种数是
N=3 ×5 ×4 = 60（种）
课后作业
1. 教材12页习题1.1A组
2. 教辅课时作业第20页 1.1.1
3. 教辅第38页~41页 4. 预习教材第6页~12页
教辅第42页~44页
一般地, 有如下原理 :
分类加法计数原理 完成一件事有两 类不同方案 , 在第 1 类方案中有m 种不 同方法 , 在第 2 类方案中有n 种不同方 法 .那么完成 这件事共有 N m n 种 不同方法.
两类中的方法互不相同 .
例1 在填写高考志愿表时 , 一名高中毕业生 了解到 , A,B两所大学各有自己感兴 趣的强项 专业, 具体情况如下:
思考 用前6个大写英文字母和 1 ~ 9九个 阿拉伯数字,以 A 1, A 2 , ,B1,B2 , 的方式给 教室里的座位编号 ,总共能编出多少个不 同的号码?
这个问题与前一个问题 不同.在前一 个问题中 , 用26个英文字母中的任何 一个或10 个阿拉伯数字中的任何 一 个, 都可以给出一个座位号 码.而在这 个问题中 , 号码必须由一个英文字 母 和一个作为下标的阿拉 伯数 字组成, 得到一个号码必须经过先确定一个 英文字母, 后确定一个阿拉伯数字 这 两个步骤.用图 1.1 1的方法可以列出 所有可能的号码 .
左乙右丙
甲
乙
甲
丙
丙
甲
乙
左丙右甲
左丙右乙
分类加法计数原理和分 步乘法计数原理 , 回答的都是 有关做一件事的不同方 法的 种数问题 .区别在于: 分类加法计数 原理 针对是 " 分类"问题, 其中各种方法相互独 立, 用其中任何一种方法都 可以做完这件 事; 分步乘法计数原理针对 的是 " 分步"问 题, 各个步骤中的方法互相 依存, 只有各个 步骤都完成才算做完这 件事.
A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
那么 , 这名同学可能的专业选 择共有多少种 ?
分析 由于这名同学在 A,B两所大学中只 能选择一所 ,而且只能选择一个专业 ,又由 于两所大学没有共同的 强 项专业 ,因此符 合分类加法计数原理的 条件.
解 这名同学可以选择A,B两所大学中的 一所.在 A 大学有5 种专业选择方法, 在B大 学中有4 种专业选择方法.又由于没有一个 强 项专业 是两所大学共有的 ,因此根据分 类加法计数 原理 , 这名同学可能的专业选 择共有 5 4 9种.
第 1 步, 从3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上 , 有 3 种 方法; 第 2 步, 从剩下的 2 幅画中选 1 幅画挂在右边墙 上,有 2 种方法.
根据分步乘法计数原理 ,不同挂法种数是 N 3 2 6.
6种挂法可以表示如下:
左边 右边 乙
丙
得到的挂法 左甲右乙 左甲右丙 左乙右甲
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 （一）
思考 用一个大写的英文字母 或一个阿拉伯数字 给教室里的座位编号 ,总共能编出多少种不同 的号 码? 因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字 0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出 26 10 36种不同的号码 .
探究 你能说说这个问题的特 征吗?
根据分步乘法计数原理 ,不同取法的种数是 N m1 m2 m3 4 3 2 24.
例 4 要 从甲、乙、丙3 幅不同的画中选出 2 幅分别挂在左、右两边 墙的指定位置 ,问共 有多少种不同的挂法 ? 解 从 3 幅画中选取 2 幅分别挂在左、右两 边墙上,可以分两步完成 :
图1.1 1是解决计数间题常用的 " 树形 图".请你用树形图列出所有 可能号码 .
字 母
A
数 得到的 字 号码 A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 5 A6 6 A7 7 A8 8 A9 9
我们还可以这样来思考 : 由于前 6个英文字母的任意一个 都能与 9 个数 字中的任何一个组成一 个号码 , 而且它们各不 相同,因此共有 6 9 54 个不同的号码 .
第2步, 从24名女生中选出1人,有24种不同选择; 根据分步乘法计数原理,共有30 24 720 种不同的选取法.
探究 如果完成一件事需要三 个步骤, 做第1步有m1种不同的方法 , 做第2步有 m2种不同的方法 , 做第3步有m3种不同 的方法,那么完成这件事共的多 少种不 同的方法?