【附加15套高考模拟试卷】山西省2020届高三年级第二次四校联考理科数学试题含答案

山西省2020届高三年级第二次四校联考理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(1)()f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为(1,3)-，那么不等式(2)0f x -<的解集为（ ）A ．31(,)(,)22-∞-+∞UB ．31(,)22-C ．13(,)(,)22-∞-+∞U D ．13(,)22-2．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5B．C．3．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8B ．14 C ．1D ．44．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心5．己知点A 是抛物线212(0)=>︰y px p C 与双曲线222221(00)-=>>︰，x y a b C a b 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．26．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则C 的离心率为（ ）A1 B．12 C．2 D．7．已知点,,,A B C D在同一个球的球面上，2AB BC AC ===，若四面体ABCD 外接球的球心O恰好在侧棱DA上，DC =ABCD 的体积为（ ）A． B． C．D8．设,m n u r r为非零向量,则“存在负数λ,使得m n λ=u r r”是“0m n ⋅<v v”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知数列{}n a 的前n 项和S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（ ） A ．196 B ．200 C ．10011942+D ．10211982+10．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）A ．65B ．54C ．32D ．5211．已知一个几何体的三视图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．2(1)i i +B ．()21i i -C ．2(1)i + D ．()1i i +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，有下列四个结论：①1A E DC⊥；②1A E AC⊥；③1A E BD ⊥；④11A E BC ⊥.其中正确的结论序号是__________（写出所有正确结论的序号）．14．如图，已知圆锥的母线长为8，底面圆的圆心为O ，直径8AB =，点Q 是母线PA 的中点.若点C 是底面圆周上一点，且直线OC 与QB 所成的角为30°，M 在线段PA 上且4PA MA =，则MC 与底面所成角的正弦值为__________．15．已知实数,x y 满足：1310x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则3x y +的最大值为__________．16．若3tan α4=，则cos2α＝_____．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，BC CD ⊥，AD CD =，32PA =，ABC ∆和PBC ∆均为边长为23的等边三角形.求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；求二面角C PB D --的余弦值.18．（12分）已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60o 的二面角，点M 在线段AB 上．若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC所成的角为60o；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．19．（12分）椭圆C ：2214x y +=，点(2,0)A ，动直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，已知直线AM 的斜率为1k ，直线AN 的斜率为2k ，且1k ，2k 的乘积为λ.若0k =，求实数λ的值；若34λ=-，求证：直线MN 过定点.20．（12分）已知函数()()1e xf x a x =+．若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为3y x b =+，求,a b 的值；当0x ≥时，()24f x x x ≥+，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π。

求ω的值；求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围。

22．（10分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C 2A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．求证：V //B 平面C MO ；求证：平面C MO ⊥平面V AB ； 求三棱锥V C-AB 的体积．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．B 9．B 10．D 11．C 12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．④14．3或3915．1316．725三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)见证明；(2) 31313【解析】 【分析】(1) 取BC 的中点O ，连接,OP OA ，要证平面PBC ⊥平面ABCD ，转证OP ⊥平面ABCD ，即证OP OA ⊥，OP BC ⊥ 即可；(2) 以O 为坐标原点，以,,OA OB OP u u u v u u u v u u u v为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PBD 与平面PBC 的法向量，代入公式，即可得到结果. 【详解】（1）取BC 的中点O ，连接,OP OA ，因为,ABC PBC ∆∆均为边长为23的等边三角形， 所以AO BC ⊥，OP BC ⊥，且3OA OP ==因为32AP =，所以222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥， 又因为OA BC O ⋂=，OA ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD .又因为OP ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD . （2）因为BC CD ⊥，ABC ∆为等边三角形， 所以6ACD π∠=，又因为AD CD =，所以6CAD π∠=，23ADC π∠=， 在ADC ∆中，由正弦定理，得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠，所以2CD =.以O 为坐标原点，以,,OA OB OP u u u v u u u v u u u v为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3P ，()3,0B ，()2,3,0D -，()0,3,3BP =-u u u v ，()2,23,0BD =-u u u v， 设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =v，则·0·0n BPn BD⎧=⎨=⎩u u u vvu u u vv，即3302230y zxy⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1z=，则平面PBD的一个法向量为()3,3,1nv=，依题意，平面PBC的一个法向量()1,0,0m=v所以·313cos,13m nm nm n==v vv vv v故二面角C PB D--的余弦值为31313.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 18．（1）证明见解析；（2）10,4±.【解析】【分析】（1）利用中位线不难得到O的位置，连接DF交CE于N，则//DO MN，证得线面平行；（2）取AE中点H，以H为原点建立空间坐标系，设AM t=，利用线面所成角去列方程，解得t值，然后确定二面角M EC F--的两个面的法向量，利用公式求解即可．【详解】（1）因为直线MF⊂平面ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上（如图所示）因为AO BFP，M为AB的中点，所以OAM MBF∆≅∆，所以OM MF=，AO BF=，所以点O在EA的延长线上，且2AO=连结DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点连结MN，因为MN为DOF∆的中位线，所以MN ODP，又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线OD P 平面EMC .（2）由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABEF ⊥平面ODE ，取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E -，D，(0,C ，(1,4,0)F -，所以ED =u u u r，(1,EC =u u u r， 设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =u u u u r，设平面EMC 的法向量(,,)m x y z =u r，则200040x ty m EM m EC x y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩u u u u v v u u u v v ，取2y =-，则x t =，z =,m t ⎛=- ⎝u r ， DE 与平面EMC 所成的角为60o2=，2=，所以2430t t -+=，解得1t =或3t =， 所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，取ED 的中点Q ，则QA u u u r 为平面CEF的法向量，因为1,0,22Q ⎛- ⎝⎭，所以3,0,22QA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，,m t ⎛=- ⎝u r ， 设二面角M EC F --的大小为θ，所以|||cos |||||QA m QA m θ⋅===⋅u u u r u ru u ur u r因为当2t =时，cos 0θ=，平面EMC ⊥平面CDEF ， 所以当1t =时，θ为钝角，所以1cos 4θ=-.当3t =时，θ为锐角，所以1cos 4θ=. 【点睛】此题考查了线面平行的证明，用空间向量解决线面所成角，二面角等，综合性较强，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度适中． 19．（Ⅰ）14λ=（Ⅱ）过定点(1,0) 【解析】 【分析】（Ⅰ）先由0k =，设()(),M m N m -，表示出12k k ，，进而可求出结果； （Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，根据韦达定理得到k m ，的关系式，进而可得出直线所过的定点. 【详解】解：（Ⅰ）不妨设()(),M m N m -1k =2k =()212214414m k k m =-=--，14λ∴=. （Ⅱ）设联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222148440k x km m +++-=， 由题意()2216410k m ∆=+->，设()()1122,,,M x y N x y2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++， ()()()()12121212123·=22224kx m kx m y y k k x x x x ++==-----Q ，()()()()121243220kx m kx m x x ∴+++--=，()()()22121243464120k x x km x x m ∴++-+++=， ()()22222448434*********m km k km m k k--∴++-++=++， 22230k m km ∴++= ==2m k m k ∴--或，均符合0∆>.若2m k =-，直线MN ：()2y k x =-过()2,0A ，与已知矛盾.=m k ∴-，直线MN :()1y k x =-过定点()1,0.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，以及椭圆中直线过定点的问题，熟记椭圆的性质，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型.20．（Ⅰ） 3322a b ==， （Ⅱ） )12e ⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求导，再求()'0f 为切线的斜率，写出切线方程，与已知对应相等，可求得a ，b. （Ⅱ）方法一：构造()()214xg x aex x x =+--，问题转化为()0g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，即()min 0g x ≥，[)0,x ∈+∞求导对a 分类讨论，将导数为0的根与给定区间端点比较，从而求得g(x)的最小值，解得a 的范围.方法二：直接分离变量得()241x x x a e x +≥+恒成立，令()()241x x xg x e x +=+，0x ≥，求导求得()g x 最小值即可. 【详解】（Ⅰ）()()2e xf x a x +'=由已知得()'02f a =，()0f a =， 切线方程为y-a=()20a x -,即y=2ax+a ，所以有2a=3，b=a ， 从而3322a b ==，． （Ⅱ）方法一：令()()214xg x ae x x x =+--，问题转化为()0g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立， 即()min 0g x ≥，[)0,x ∈+∞()()()22x g x x ae '=+-，0x ≥①若0a ≤，则()0g x '<，()g x 在[)0,+∞上单调递减， 又()1250g ae =-<，不合题意，舍去. ②若02a <<，则由()0g x '=及0x ≥，得2ln x a=． 当20,lnx a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当2ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在20,lna ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．所以当2lnx a=时，()g x 取得极小值，即为最小值， ()2min222ln 22ln ln g x g a a a ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由22222ln 002ln a a a ⎧⎛⎫--≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<<⎩，解得122e a ≤<③若2a ≥，()0g x '>在()0,x ∈+∞上恒成立， 所以()g x 在[)0,+∞上单调递增， 所以()()min 00g x g a ==>，满足题意．综上，a的取值范围为)12e ⎡+∞⎣．方法二：由已知得：当0x ≥时，()241x x x a e x +≥+恒成立，问题转化为：当0x ≥时，()2min41x x x a e x ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭令()()241x x xg x e x +=+，0x ≥则()()()()222221xx x x g x x e -++-+'=，由()0g x '=及0x ≥，得1x =．当()1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当)1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以，当1x =时，())max 1g x g==12e所以12a e ≥a的取值范围为)12e ⎡+∞⎣．【点睛】本题考查了导数的几何意义：切线方程问题，考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题及解决恒成立问题的两种常见方法，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 21．（Ⅰ）1ω= （Ⅱ）302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】（1）因()21cos 2sin sin()cos 22xf x x x x x x πωωωωωω-=++==111cos 2sin sin(2)22226x x x πωωω-+=+-，因2,12T ππωω==∴=； （2）对于()1sin(2),26f x x π=+-因270,,2,3666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此()13sin(2),1,0,622x f x π⎡⎤⎡⎤-∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ；（Ⅱ）证明OC ⊥平面V AB ，即可证明平面MOC ⊥平面V AB ；（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥A-MOC 的体积即可试题解析：（Ⅰ）证明：∵O ，M 分别为AB ，V A 的中点， ∴OM ∥VB ，∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， ∴VB ∥平面MOC ；（Ⅱ）证明：∵AC=BC ，O 为AB 的中点， ∴OC ⊥AB ，又∵平面V AB ⊥平面ABC ，平面ABC∩平面V AB=AB ，且OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面V AB ， ∵OC ⊂平面MOC ， ∴平面MOC ⊥平面V AB（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，AC BC ==所以2,1AB OC ==.所以等边三角形V AB的面积VAB S ∆=. 又因为OC ⊥平面V AB ，所以三棱锥C V -AB的体积等于13VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等， 所以三棱锥V C -AB的体积为3.否是输入n2kS S =+输出 S?k n ≤考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；用向量证明平行高考模拟数学试卷（时间：120分钟，满分150分）1、已知i 为虚数单位，复数z 满足i iz 43+=，则z =（ ）A.25B. 7C.5D.12. 已知集合{}{}20,1,2,3,30M N x x x M N ==-<=，则∩（ ）A ． {}1,2 B. {}0x x < C. {}3x x 0<< D. {}0 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于( )A ．1B ．35C ．2-D ．3 4.命题p ：“非零向量b a ρϖ,，若0<⋅b a ϖρ，则b a ρρ,的夹角为钝角”，命题q ：“对函数)(x f ，若0)(0='x f ，则0x x =为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（ ）A.q p ∧B.q p ∨C.)(q p ⌝∧D.)()(q p ⌝∧⌝ 5.当3n =时，执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 30 B.14 C. 8 D. 66. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（ ）A ．223 B ．5 C ．29D ．5 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．323a π B ．33a πC ．3a π D.36a π2a正视图左视图俯视图8. 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．43π B ．4π C ．2πD ．4π- 9. 定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x ＋4)，且当x ∈(－1，0)时，f(x)＝2x ＋15，则f(log 220)＝( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－4510. 已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B|sin P 的值等于( )A.45B.74C.54D.7 11. 已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为（ ）A B C D 12、已知函数()(sin cos ),(02015)xf x e x x x π=-<≤，则()f x 的各极小值之和为（ ）A.20142(1)1e e e πππ--B. 20162(1)1e e e πππ--C. 220142(1)1e e e πππ--D. 220162(1)1e e e πππ--二．填空题;13. 设(2,4),(,2),(,0),(0,0)OA OB a OC b a b =-=-=>>u u u r u u u r u u u r，O 为坐标原点，若A,B,C 三点共线，则11a b+的最小值为14.若sin cos θθ+=tan()3πθ+的值是 ___________.15. 已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P 的坐标为________．16.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x]，x≥0，f （x ＋1），x<0，其中[x]表示不超过x 的最大整数．若直线y ＝k(x ＋1)(k>0)与函数y ＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是_______三．解答题：PABC DM17．某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。