高等数学2.4高阶导数
高等数学：高阶导数的概念
高阶导数一、 高阶导数的概念定义1 如果函数)(x f 的导数)(x f '在点x 处可导, 即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim))((0存在, 则称))((''x f 为函数)(x f 在点x 处的二阶导数, 记为2222)(,),(dxx f d dx yd y x f 或'''' 类似地，二阶导数的导数称为)(x f 的三阶导数, 三阶导数的导数称为)(x f 的四阶导数，…，一般地, )(x f 的（1-n ）阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，分别记为)(x f '''，)()4(x f，…，)()(x f n ；或y '''，)4(y，…，)(n y；33dx y d ，44dx y d ，…，n n dx y d ；33)(dx x f d ，44)(dx x f d ，…，nn dx x f d )(。
注:函数)(x f 具有n 阶导数，也常说成函数)(x f n 阶可导。
若函数)(x f 在点x 处具有n 阶导数，那么函数)(x f 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，)(x f 称为零阶导数，)(x f '称为)(x f 的一阶导数。
二、求高阶导数的方法由高阶导数的定义可以知道，求高阶导数就是多次接连地求导数，故仍可应用前面求一阶导数的方法。
【例1】求下列函数的n 阶导数：（1）nx y =，（n 为正整数）； （2）xy 1=； （3）x a y =，（0>a 且1≠a ）； （4）x y sin =。
解：（1）1-='n nxy ，2)1(--=''n xn n y ，3)2)(1(---='''n xn n n y ，…，一般地，可得k n k x k n n n n y -+---=)1()2)(1()( （n k <<0）即 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<+---=-n k n k n n k x k n n n n x k n k n 0!0,)1()2)(1()()( （2）21)1()(---='='xx y ， 323!2)1()2)(1(---=--=''x xy ，434!3)1()3)(2)(1(---=---='''x x y ，545)4(!4)1()4)(3)(2)(1(---=----=x x y ，…，一般地，可得1)1()1()(!)1(!)1())](1([)3)(2)(1(++-+--=-=------=n nn n n n x n x n x n n y 即 1)(!)1()1(+-=n nn xn x（3）a a y xln ='，a a y x2ln =''，a a y x3ln ='''，a a yx 4)4(ln =…，一般地，可得a a yn x n ln )(=， 即 a a a n x n x ln )()(=当e a =时，有xn x e e =)()(（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+==2sin cos d d πx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2cos d d 22ππx x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos d d 33ππx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos d d 44ππx x x y ，…， 一般地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin d d πn x x y n n ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin )(sin )(πn x x n类似地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(cos )(πn x x n上例各题我们得到了几个常见函数的高阶导数公式，此外高阶导数也有运算法则，这里我们来看几个常用的法则。
高等数学教材系列目录
高等数学教材系列目录引言：高等数学作为大学本科的基础课程之一，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。
为了满足学生对高等数学教材的需求，本文将探讨高等数学教材系列的目录，并介绍每本教材的内容和特点。
第一册：微积分导论1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 函数的极限及其计算方法1.3 极限存在准则与极限运算法则1.4 极限的无穷性与无穷小2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 导数的计算法则2.4 高阶导数与隐函数的导数3. 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理与罗尔定理3.2 导数的应用之极值与最值3.3 导数的应用之曲线的凹凸性与拐点 3.4 泰勒公式与函数的近似计算第二册：多元函数与微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的极限的定义与性质1.2 二重极限的计算方法1.3 多元函数的连续性与连续函数的性质1.4 多元函数的间断点与可去间断点2. 偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数与偏导数的计算 2.2 高阶偏导数与混合偏导数2.3 多元复合函数的偏导数与链式法则2.4 全微分与全微分近似计算3. 多元函数的极值与条件极值3.1 多元函数的极值与最值的概念3.2 多元函数的极值判定条件3.3 条件极值与拉格朗日乘数法3.4 多元函数的条件极值的应用第三册：重积分与曲线积分1. 二重积分与三重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标） 1.3 三重积分的概念与性质1.4 三重积分的计算方法（直角坐标与柱面坐标）2. 重积分的应用2.1 质量、质心与转动惯量2.2 二重积分中的面积与变量替换2.3 三重积分中的体积与变量替换2.4 重积分在物理问题中的应用3. 曲线积分与曲面积分3.1 第一类曲线积分与第二类曲线积分3.2 曲线积分的计算方法3.3 曲面积分的概念与性质3.4 曲面积分的计算方法（参数表示与一般参数）结语：高等数学教材系列的目录旨在系统地介绍高等数学的各个分支领域，帮助学生全面理解数学的概念与方法，并培养分析问题与解决问题的能力。
高等数学 第2章 第五节 高阶导数
2
同样可求得
cos xn cos x n .
2
例6 求y ln1 x的n阶导数.
解
y ln1 x,
y 1 , 1 x
y
1
1
x 2
,
y
12
1 x3
,
y4
123
1 x4
,
, y n 1 n1 n 1! . 1 xn
6
例7 求f x x 1的n阶导数.
解:
f
x
1
x
1
4
例4 求n次多项式y a0 xn a1 xn1 an1 x an的n阶导数.
解：
y na0 x n1 n 1a1 x n2 2an2 x an1 ,
y nn 1a0 xn2 n 1n 2a1 xn3 3 2an3 x 2an2 ,
,
y n n!a0 .
uv uv 2uv uv uv 3uv'3uv uv,
,
uv n unv nun1v nn 1 un2v
2!
nn 1n 2n k 1 unk vk uvn .
k!
9
莱布尼兹公式可用数学归纳法给出证明(自己证）。
莱布尼兹公式可写成下面形式：
uv
n
n
k 0
Cnk
代入莱布尼兹公式,得
k 1,2,,20,
k 3,4,,20,
y20 x2e2x 20
220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
220 e2x x2 20x 95 .
11
补充例题： y xe x ,
求y (n)
解： y ( xe x ) xe x x e x ( x 1)e x
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
A fxy (x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
故, f xy (x0 , y0 )
lim
y0
lim
x0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
,
y0
+y)
– f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0)]
同理 f yx (x0 , y0 )
lim
x0
lim
y0
1 xy
f
( x0
x,
y0
Байду номын сангаас
y)
f
(x0
+x
,
y0)
– f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)]
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情 形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合 偏导与求导顺序无关).
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续
偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只
,
2 f yx
在X
0
( x0 ,
y0 )的某邻域U ( X 0 )
内存在, 且它们在X 0连续, 则
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式一、高阶偏导数对于函数f(x,y)的一阶偏导数来说，我们可以通过对x或y求导得到，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。
同样，我们可以对一阶偏导数再进行求导，得到二阶偏导数，记作∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2，其中∂^2f/∂x^2表示先对x求导，再对x求导的结果，∂^2f/∂x∂y表示先对x求导，再对y 求导的结果。
类似地，我们可以继续进行求导的过程，得到高阶偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。
对于常用的高阶偏导数，我们可以通过迭代的方式求得。
例如，对于三阶偏导数∂^3f/∂x^3，我们可以先对x求一阶导数，再对x求一阶导数，再对x求一阶导数，即∂^3f/∂x^3=(∂/∂x)^3f(x)。
同样，我们也可以得到一些特殊的高阶偏导数，如混合偏导数∂^3f/∂x^2∂y，表示先对x求两阶导数，再对y求一阶导数。
高阶偏导数在数学物理学、工程数学等领域中有广泛的应用。
通过求取高阶偏导数，我们可以获得函数在其中一点的更精确的变化率信息，进而可以研究函数的特性、求解极值问题等。
二、泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在其中一点的函数值和各阶导数的值带入多项式中得到。
泰勒公式主要有两种形式，即拉格朗日余项和佩亚诺余项。
1.拉格朗日余项形式设函数f(x)具有n+1阶导数，且在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，则对于该区间上的任意点x，存在一点ξ(x)在a和x之间，使得f(x)可以用泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)为拉格朗日余项，具体形式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ(x))(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中f^(n+1)(ξ(x))为函数f(x)在点ξ(x)处的(n+1)阶导数。
中职院校高等数学教材目录
中职院校高等数学教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义和性质1.3 极限的运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的运算法则2.3 常用基本函数的导数2.4 高阶导数与隐函数求导第三章：一元函数微分学应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图形与曲率3.3 泰勒展开与应用3.4 微分中值定理与拉格朗日中值定理第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 常用基本函数的积分4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的计算方法第五章：多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数的定义与计算5.3 隐函数与参数方程的偏导数 5.4 多元函数的极值与条件极值第六章：多元函数微分学应用6.1 方向导数与梯度6.2 多元函数的最大值与最小值 6.3 二重积分的概念与性质6.4 二重积分的计算方法第七章：多元函数积分学应用7.1 三重积分的概念与性质7.2 三重积分的计算方法7.3 曲线、曲面与曲面积分 7.4 格林公式与高斯公式第八章：无穷级数与幂级数8.1 数列的极限与收敛性8.2 级数的概念与性质8.3 正项级数的收敛判别法 8.4 幂级数的收敛域与展开第九章：常微分方程9.1 常微分方程的基本概念 9.2 一阶常微分方程的解法 9.3 高阶常微分方程的解法 9.4 变量可分离的常微分方程第十章：空间解析几何10.1 点、直线与平面的方程 10.2 空间曲线的参数方程10.3 空间曲面的方程与分类 10.4 空间直线与平面的关系以上是中职院校高等数学教材的目录内容。
该目录按章节划分，涵盖了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、多元函数与偏导数、多元函数微分学应用、多元函数积分学应用、无穷级数与幂级数、常微分方程以及空间解析几何等核心内容。
每个章节都有相应的小节，详细介绍了各个知识点的定义、性质、应用及计算方法。
高阶导数公式大全
高阶导数公式大全在高等数学中，导数是重要的知识点，它有多种表示形式，但最常用的形式是高阶导数公式。
本文就给出一系列常用高阶导数公式，以便大家理解和掌握高阶导数的重要性。
首先，我们从一阶导数开始。
一阶导数表示函数在某一点上的斜率，它可用来描述函数关于某一点的变化。
根据微积分定义，一阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示函数，c表示变量的某一点。
接着，我们来看二阶导数。
二阶导数表示函数在某一点处的切线斜率的变化情况，它可用来表示函数关于某一点的变化的变化率。
根据微积分定义，二阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示一阶导数，c表示变量的某一点。
再往后面，我们来看三阶导数。
三阶导数表示函数在某一点处的切线斜率的变化率，它可用来描述函数关于某一点的变化率的变化情况。
根据微积分定义，三阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示二阶导数，c表示变量的某一点。
此外，还有高于三阶的导数，比如四阶导数和五阶导数等等。
四阶导数表示函数在某一点处的切线斜率的变化率的变化率，它可用来描述函数关于某一点的变化率的变化率的变化情况。
根据微积分定义，四阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示三阶导数，c表示变量的某一点。
由此可见，高阶导数具有重要的数学意义，它可用来描述函数关于某一点的局部变化，也可用来分析函数的极值和拐点等等。
此外，高阶导数也常用于计算不定积分，从而可以用来计算空间积分，如体积和表面积等。
因此，我们可以看到，高阶导数是数学领域重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解函数，更好地计算不定积分，从而可以帮助我们完成各类数学应用研究。
虽然高阶导数看起来似乎比较抽象，但理解和掌握它们的重要性可以帮助我们更好地掌握数学知识。
大一高等数学的教材目录
大一高等数学的教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的定义与性质1.2 函数的极限与连续性1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 反函数与参数方程的导数2.4 高阶导数与函数的近似2.5 微分的定义与应用第三章：积分与反常积分3.1 不定积分与换元积分法3.2 定积分与牛顿－莱布尼兹公式3.3 反常积分的概念与性质3.4 反常积分的审敛法3.5 广义积分与无穷级数第四章：多元函数与偏导数4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数的定义与计算4.3 隐函数与复合函数的偏导数4.4 方向导数与梯度4.5 多元函数的极值与条件极值第五章：重积分与曲线积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线积分的定义与计算第六章：无穷级数与级数展开6.1 收敛级数与无穷级数的运算6.2 正项级数的审敛法6.3 幂级数与泰勒级数6.4 函数展开与近似计算6.5 傅里叶级数与傅里叶变换第七章：常微分方程7.1 常微分方程的基本概念7.2 可分离变量方程与一阶线性方程7.3 二阶线性常系数齐次方程7.4 二阶线性常系数非齐次方程7.5 线性方程组与常微分方程应用第八章：概率论与数理统计8.1 随机事件与概率8.2 条件概率与事件独立性8.3 随机变量与概率分布8.4 多维随机变量与联合分布8.5 统计量与抽样分布第九章：常用数学方法和定理9.1 矩阵与线性方程组9.2 特征值与特征向量9.3 数学归纳法及其应用9.4 极值、最值与不等式9.5 极限的定义与性质第十章：复变函数10.1 复数与复数函数10.2 复变函数的导数与解析函数10.3 共轭函数与全纯函数10.4 积分与柯西公式10.5 函数级数与留数定理总结：本教材涵盖了大一高等数学的核心内容，从函数与极限起步，通过导数与微分、积分与反常积分、多元函数与偏导数、重积分与曲线积分等章节的学习，引导学生掌握数学分析的基本方法和思维，为日后的数学学习打下坚实基础。
高等数学-导数-2-4高阶导数
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x), y,
d2 y dx 2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
1
高阶导数
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
1 x
(n)
(1)n
n! x n1
4
高阶导数
例10 y sin4 x cos4 x, 求y(n) .
解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
6
高阶导数
二、莱布尼兹公式
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk )v(k ) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
高等数学第七版上册教材答案
高等数学第七版上册教材答案第一章导数与微分1.1 导数的定义及其几何意义1.2 导数的计算1.3 高阶导数与莱布尼茨公式1.4 隐函数与参数方程的求导1.5 微分的定义及其几何意义1.6 微分中值定理及其应用第二章极值与最值2.1 极值的概念2.2 极值的判定2.3 最值的概念2.4 高阶导数与极值2.5 条件极值与最值2.6 无穷小与无穷大第三章微分中值定理与 Taylor 公式3.1 微分中值定理的几何意义3.2 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.3 Cauchy 中值定理与 L'Hospital 法则3.4 Taylor 公式及其应用3.5 函数的凸性与最值第四章不定积分4.1 不定积分的基本概念4.2 不定积分的性质4.3 基本不定积分表及其应用4.4 定积分的基本概念与性质4.5 定积分的计算方法4.6 定积分的应用第五章定积分与微积分基本定理5.1 定积分与定积分的概念5.2 牛顿—莱布尼茨公式5.3 第一类曲线积分5.4 第二类曲线积分5.5 Green 公式与其应用第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 齐次线性微分方程6.4 Bernoulli 方程和 Riccati 方程6.5 一阶线性常微分方程6.6 二阶线性常微分方程第七章多元函数微分法及其应用7.1 二元函数的极限与连续性7.2 偏导数及其计算7.3 隐函数求导7.4 多元函数的微分7.5 多元函数的增量与微分7.6 隐函数的微分及其应用第八章多元函数的极值与条件极值8.1 多元函数的极值概念与判定8.2 Lagrange 乘子法8.3 条件极值的判定8.4 无条件极值与最值问题8.5 二重积分的计算8.6 三重积分的计算第九章重积分及其应用9.1 极坐标与平面上的重积分9.2 极坐标下的曲线积分9.3 柱面坐标与空间中的重积分9.4 曲线积分与曲面积分的关系9.5 Stokes 公式与 Gauss 公式第十章无穷级数10.1 数列极限与无穷级数的收敛性10.2 正项级数收敛的比较判别法10.3 德摩根定理与 Raabe 定理10.4 函数项级数收敛的 Abel 判别法10.5 幂级数的收敛半径10.6 幂级数的运算与展开第十一章多元函数级数11.1 多元函数级数的收敛性11.2 多元函数级数的一致收敛性11.3 多元函数级数的积分11.4 多元函数级数的相对一致收敛性11.5 多元函数级数的运算性质11.6 Fourier 级数总结：通过学习高等数学第七版上册教材，我们了解了导数与微分、极值与最值、微分中值定理与Taylor公式、不定积分、定积分与微积分基本定理、微分方程、多元函数微分法及其应用、多元函数的极值与条件极值、重积分及其应用、无穷级数、多元函数级数等内容。
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全一、基本导数公式1. 设常数a为导数常数，则有：（1）导数为零：d(ax)/dx = 0（2）导数为常数：d(ax)/dx = a2. 幂函数导数：（1）常数的幂函数导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为正整数（2）自然指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x（3）指数函数的导数：d(a^x)/dx = ln(a)*a^x，其中a>0且a≠1（4）对数函数的导数：d(logₐx)/dx = 1/(xlna)，其中a>0且a≠1 3. 三角函数导数：（1）正弦函数的导数：d(sin x)/dx = cos x（2）余弦函数的导数：d(cos x)/dx = -sin x（3）正切函数的导数：d(tan x)/dx = sec^2 x（4）余切函数的导数：d(cot x)/dx = -csc^2 x（5）正割函数的导数：d(sec x)/dx = sec x * tan x（6）余割函数的导数：d(csc x)/dx = -csc x * cot x4. 反三角函数导数：（1）反正弦函数的导数：d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（2）反余弦函数的导数：d(arccos x)/dx = -1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（3）反正切函数的导数：d(arctan x)/dx = 1/(1+x²)（4）反余切函数的导数：d(arccot x)/dx = -1/(1+x²)（5）反正割函数的导数：d(arcsec x)/dx = 1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)（6）反余割函数的导数：d(arccsc x)/dx = -1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)二、导数运算法则1. 基本导数运算法则：（1）和差法则：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx（2）常数倍法则：d(cu)/dx = c * du/dx，其中c为常数（3）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx（4）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²，其中v≠02. 复合函数的导数：若y=f(u)和u=g(x)是可导函数，则有：d(f(g(x)))/dx = d(f(u))/du * d(g(x))/dx3. 反函数的导数：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：d(g(y))/dy = 1 / d(f(x))/dx，其中d(f(x))/dx≠0三、高级导数公式1. 高阶导数：（1）二阶导数：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx（2）三阶导数：d³y/dx³ = d(d²y/dx²)/dx = d²(dy/dx)/dx²2. 高阶导数公式：（1）幂函数的n阶导数：d^n(x^m)/dx^n = (m)(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^(m-n)（2）指数函数的n阶导数：d^n(e^x)/dx^n = e^x（3）对数函数的n阶导数：d^n(logₐx)/dx^n = (-1)^(n-1)(n-1)!/x^n四、隐函数求导公式设x和y是关于变量t的函数，则有：dy/dx = dy/dt / dx/dt例如，对于方程x^2 + y^2 = R^2，其中R为常数，可得：dy/dx = -x/y以上是高等数学导数公式的大全，涵盖了基本导数公式、导数运算法则、高级导数公式和隐函数求导公式。
高等数学一教材目录
高等数学一教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数的概念1.3 极限的引入1.4 极限的性质1.5 无穷小与无穷大1.6 极限存在准则1.7 极限运算法则第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义2.3 基本导数公式2.4 高阶导数2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 函数的增量与微分近似计算2.8 高阶导数的应用第三章：微分学基本定理3.1 角度的测量3.2 三角函数3.3 幂函数与指数函数3.4 对数函数与指数方程3.5 反函数与反三角函数3.6 复合函数的导数3.7 高阶导数的计算3.8 微分中值定理与导数的应用第四章：一元函数积分学4.1 不定积分的概念与性质4.2 不定积分的基本公式4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的基本公式4.5 牛顿-莱布尼茨公式4.6 反常积分4.7 积分中值定理与定积分的应用第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的微分法则5.4 隐函数的导数5.5 多元复合函数的求导法则5.6 方向导数与梯度5.7 多元函数的极值5.8 多元函数的参数化曲线第六章：多元函数积分学6.1 二重积分6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用6.7 曲线与曲面积分6.8 曲线与曲面积分的计算方法6.9 曲线与曲面积分的应用第七章：无穷级数7.1 数列的极限7.2 数列极限的性质7.3 无穷级数的收敛与发散7.4 正项级数的审敛法7.5 幂级数与函数展开7.6 Taylor展开7.7 Fourier级数第八章：常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程8.3 高阶常微分方程8.4 常系数线性齐次微分方程8.5 非齐次线性微分方程8.6 变量分离的微分方程8.7 常微分方程的应用这是《高等数学一》教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学基本定理、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数和常微分方程等各个章节的主要内容。
同济大学高等数学教材答案
同济大学高等数学教材答案答案提供如下：同济大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限与连续1.3 无穷小与无穷大1.4 间断点与间断1.5 极限运算法则1.6 无穷小的比较1.7 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 函数的求导法则2.4 高阶导数与莱布尼茨公式2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 函数的微分与局部线性化2.7 线性近似与割线法2.8 高阶导数的应用2.9 曲率与曲率半径第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则3.3 微分中值定理的应用3.4 泰勒公式与麦克劳林公式3.5 函数的渐近线与渐近曲线3.6 导数的应用第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质4.2 基本初等函数的不定积分4.3 不定积分的基本运算法则4.4 函数的定积分与原函数4.5 牛顿—莱布尼茨公式与换元积分法4.6 函数的面积与定积分的应用4.7 罗尔定理与中值定理在积分中的应用第五章：定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 定积分的基本运算法则5.3 定积分的计算方法5.4 牛顿—莱布尼茨公式与变限积分5.5 定积分的应用5.6 广义积分与收敛性第六章：定积分的计算技巧6.1 分部积分法6.2 降阶与换元积分法6.3 罗利尔定理与定积分6.4 狄利克雷函数与阶跃函数6.5 W形曲线6.6 三角换元法6.7 参数化曲线的弧长6.8 数列与级数第七章：微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 齐次线性微分方程7.4 一阶线性微分方程7.5 Bernoulli方程7.6 高阶线性微分方程7.7 常系数线性微分方程的解法7.8 非齐次线性微分方程的解法7.9 变量分离与齐次方程组的解法这是一个针对同济大学高等数学教材的章节答案提纲。
每个章节的答案内容都应细致详尽，力求准确解答各个习题及相关概念、性质的说明。
高等数学新版教材下册目录
高等数学新版教材下册目录一、极限与连续函数1.1 实数与函数的定义1.2 极限的定义及性质1.3 无穷小量与无穷大量1.4 极限存在准则1.5 连续函数及其性质1.6 闭区间上连续函数的性质二、导数与微分2.1 导数的定义与基本公式2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 微分的四则运算法则2.2 高阶导数与莱布尼茨公式2.3 隐函数与参数方程的导数2.4 高阶导数的应用2.4.1 泰勒公式与展开式2.4.2 洛必达法则三、微分中值定理与洛必达法则3.1 罗尔中值定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 洛必达法则及其应用3.4.1 不定式的极限3.4.2 极限的计算四、不定积分与定积分4.1 不定积分的定义与基本性质4.2 基本积分表4.3 定积分的概念与性质4.3.1 定积分的定义4.3.2 定积分的计算法则4.4 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的应用 4.4.1 曲线长度与曲线面积4.4.2 旋转体的体积与侧面积五、定积分的应用5.1 平均值定理及其应用5.1.1 区间上的平均值定理5.1.2 无穷区间上的平均值定理 5.2 弧长与曲线的面积5.3 概率密度与随机变量的概率 5.3.1 概率密度5.3.2 随机变量及其概率六、重积分与曲线积分6.1 重积分的概念与性质6.2 重积分的计算法则6.3 曲线积分的概念与性质6.3.1 第一类曲线积分6.3.2 第二类曲线积分6.4 曲线积分的计算法则6.4.1 参数方程下的曲线积分 6.4.2 向量场下的曲线积分七、曲面积分与高斯公式7.1 曲面积分的概念与性质7.2 曲面积分的计算法则7.2.1 参数表示下的曲面积分 7.2.2 隐函数表示下的曲面积分 7.3 高斯公式与闭曲面积分7.3.1 高斯公式7.3.2 闭曲面积分的计算八、数项级数与函数项级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 数项级数的审敛法8.2.1 正项级数审敛法8.2.2 任意项级数的审敛法8.3 函数项级数的概念与性质8.4 函数项级数的收敛性九、幂级数与泰勒展开9.1 幂级数的概念与性质9.2 幂级数的收敛域9.3 幂级数的运算及函数展开9.3.1 幂级数的运算法则9.3.2 函数的幂级数展开9.4 应用：泰勒展开与函数逼近附录：常用数学公式以上就是《高等数学新版教材下册》的目录内容，通过逐章节的学习，同学们可以全面了解和掌握高等数学下册的知识点。
高等数学大一新生教材目录
高等数学大一新生教材目录引言欢迎大家作为新一届高等数学学生加入我们的课程！本教材将为大家提供全面、系统的高等数学学习内容，旨在帮助大家建立坚实的数学基础。
以下是我们教材的详细目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 函数的表示与变换1.3 极限的概念与性质1.4 极限的运算法则1.5 无穷小与无穷大1.6 数列极限与函数极限的关系第二章：导数与微分2.1 导数的概念与求法2.2 导数的基本性质2.3 微分中值定理与导数的应用2.4 高阶导数与隐函数求导2.5 常用的初等函数的导数2.6 泰勒公式与函数的局部性质第三章：微分学应用3.1 函数的单调性与曲线的凸凹性3.2 最值与最值问题3.3 函数的图形与曲线的绘制3.4 线性逼近与微分近似3.5 隐函数与参数方程的微分第四章：积分与分析4.1 不定积分的概念与性质4.2 定积分的概念与性质4.3 常用积分法与积分公式4.4 定积分的应用4.5 曲线长度、曲面面积与物理应用 4.6 微积分基本定理与不定积分的应用第五章：多元函数微分学5.1 二元函数与二元函数的极限5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的局部性质5.4 隐函数与参数方程的导数5.5 多元函数的极值与条件极值5.6 多元函数的泰勒展开与极值判定第六章：多元函数积分学6.1 二重积分与累次积分6.2 二重积分的计算6.3 曲线与曲面的面积6.4 三重积分与累次积分6.5 三重积分的计算6.6 曲线与曲面的质量和重心结语感谢大家使用本教材，希望这本教材能够为大家学习高等数学提供有益的帮助。
请大家按照目录的要求学习相应的章节，切记做好充分的练习和习题，并随时向老师们寻求帮助和解答疑惑。
祝愿大家在高等数学学习中取得优异的成绩！。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全高等数学是大学数学学科中的一门重要课程，也是理工科学生必须掌握的基础知识。
在学习高等数学的过程中，数学公式是必不可少的工具。
本文将为大家提供一份大学高等数学公式大全，供学生们参考使用。
一、极限与连续1.1 极限的定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$1.2 极限的四则运算：$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$1.3 极限的乘法法则：$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$1.4 极限的除法法则：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$1.5 极限的复合函数法则：$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f[\lim_{x \to a} g(x)]$$1.6 常见的极限公式：- 幂函数的极限：$$\lim_{x \to a} x^k = a^k$$- 自然对数函数的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$- 正弦函数的极限：$$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$二、导数与微分2.1 导数的定义：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$2.2 常见函数的导数：- 幂函数的导数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$- 指数函数的导数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$- 三角函数的导数：$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x), \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$2.3 导数的四则运算：- 和差规则：$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$- 积法则：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$- 商法则：$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}, g(x) \neq 0$$2.4 高阶导数：$$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x), f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x), \ldots$$三、定积分3.1 定积分的定义：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$3.2 定积分的性质：- 线性性质：$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$- 积分与常数的乘积：$$\int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx$$3.3 常见函数的定积分：- 幂函数的定积分：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$- 正弦函数的定积分：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 指数函数的定积分：$$\int e^x dx = e^x + C$$四、级数4.1 等比级数的求和：$$S = \frac{a}{1-r}, |r|<1$$4.2 幂级数的收敛半径：$$R = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4.3 常见级数：- 调和级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 几何级数：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$五、常微分方程5.1 一阶线性常微分方程：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$5.2 二阶常系数齐次线性微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$5.3 常见的解法：- 变量分离法- 齐次线性微分方程的特征方程法- 二阶线性微分方程的常数变易法以上仅为部分高等数学公式的示例，实际上高等数学的公式非常丰富多样。
考研数二高等数学教材要考的范围
考研数二高等数学教材要考的范围高等数学是考研数学科目中的一项重要内容，数二即高等数学二，是考研数学中的一部分。
要顺利通过考研数二高等数学科目，了解教材要考的范围是非常重要的。
本文将介绍考研数二高等数学教材要考的范围，以帮助考生更好地备考。
一、函数与极限1.1 函数的概念及性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限存在准则1.4 函数的连续性与间断点二、导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 微分的概念与性质2.3 函数的求导法则2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 高阶导数的应用三、不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分公式3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 反常积分的概念与性质四、级数4.1 数项级数的概念与性质4.2 收敛级数与发散级数4.3 正项级数的审敛法4.4 幂级数的概念与性质五、多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数的概念与性质5.3 隐函数的求导法则与全微分5.4 多元函数的极值与条件极值六、重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法七、向量与空间解析几何7.1 向量的概念与性质7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面的方程7.4 空间向量的内积与外积八、常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程的解法8.3 高阶常微分方程的解法上述是考研数二高等数学教材要考的范围，考生在备考时应该系统学习、掌握这些内容。
在学习过程中，可以结合教材中的例题和习题进行练习，以加深对知识点的理解和记忆。
同时，要注重理论与实际的结合，关注数学知识在实际问题中的应用。
此外，通过解析历年真题，了解考研数二高等数学的出题特点，对备考也会有所帮助。
在解题过程中，要注重思维方法的培养，提高解题的效率和准确性。
总之，考研数二高等数学教材要考的范围包括了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、级数、多元函数与偏导数、重积分、向量与空间解析几何、常微分方程等内容。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.4 高阶导数
=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +
⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+
2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解 在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对 求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对 求导，得
((− ))
1
=
=
(
2
−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的 阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.
由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()
′ ()
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y
（n )
a0 n !
三、 求任意阶导数举例
＊1、直接法:
例５ 设 y sin x , 求y ( n ) . 解
y cos x sin( x ) 2 y cos( x 2 ) sin( x ) sin( x 2 2 ) 2 2 y cos( x 2 2 ) sin( x 3 2 )
三、 求任意阶导数小结 3、间接法 利用已知函数的高阶导数公式，对所求函数 通过四则运算、变量替换使之变形，然后求导
ln(x1)
(n)
( 1) n1 ( n 1)! ( x 1) n
( n)
y ln(1 2 x ) 求y
1 1 ln 2( x ) ln 2 ln( x ) 2 2
(n)
三、 求任意阶导数举例 2、高阶导数的运算法则: 设函数
u 和 v 具有 n 阶导数，则
(n)
(n) (n) u v
n
(1) ( u v )
(2) (Cu)
( n)
Cu
n
(n)
(a b) C a
n k 0 k n
n k
b
k
(3) ( u v )
( n)
k ( n k ) ( k ) 莱布尼兹公式 C v nu k 0
(n)
( n 1)
u (4) v
(n)
1 u v
(n)
( 3) ( u v )
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1)( n k 1) ( n k ) ( k ) u v uv ( n ) k! 莱布尼兹公式
( n 1) ( n 1)
y
y
(n)
( 1) ( n 1) x
(x )
n ( n)
n
(n)
n! ,
( x n )( n 1) ( n !) 0.
设
y a0 x n a1 x n1 a n1 x a n
(a1 x n 1 )( n ) 0
dy ( t ) yt dx ( t ) xt
dy f ( u) ( x ). dx
二、 求指定阶的高阶导数（阶数不高） (3)参数方程的高阶导数 例3 解
x a cos 3 t 将求由方程 表示的函数的二阶导数 3 y a sin t
dy dy dt 3a sin 2 t cos t tan t 2 dx dx 3a cos t ( sin t ) dt
一、高阶导数的定义
( f ( x )) lim
x 0
f ( x x ) f ( x )
x
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx 一般地，函数 f ( x ) 的 n 1 阶 导数的导数 称为
e
(n)
x
ln(1 x )
( 1)
n 1
( n 1)! (1 x )n
( x )( n ) ( 1) ( n 1) x n
sin( x n ) 2 (n) (cos x ) cos( x n ) 2 ( n) ( 1)n n ! 1 x x n1 (sin x )
三、 求任意阶导数小结 ＊1、直接法:求出1-3 或4 阶后,不要急于合并, 分析结果 规律性,写出n 阶导数.
＊＊ 2、
高阶导数的运算法则: (3) ( u v )
(n)
C
k 0
n
k n
u
( n k ) ( k )
v
计算两个函数乘积的高阶导数，
如果用莱布尼兹公式，注意选择U、V的技巧 ＊＊＊3、间接法 利用已知函数的高阶导数公式，对所求函数通过 四则运算、变量替换，使之变形，然后求导
x0 y 1
1 . 16
d ( t ) 2 d y dt ( t ) dx dx 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 dt ( t ) d u( t ) 2 (t ) ( ) dt v ( t ) 2 d y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) u( t )v ( t ) u( t )v ( t ) 即 . 2 3 dx (t ) v 2 (t )
( f ( x )) lim
f ( x x ) f ( x )
x
x 0
存在， 则称 ( f ( x )) 为函数 f ( x ) 在 x 处的二阶导数 记作 f ( x ),
y,
d 2 y d 2 f ( x) 或 . 2 2 dx dx
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
y
(n)
(x )
n ( n)
n! ,
(x )
n ( n 1)
( n !) 0.
三、 求任意阶导数举例 ＊1、直接法: 例4 设 y x ( R ), 求y ( n ) . 解
y ( n ) ( 1) ( n 1) x n
若 为自然数n
dy ( t ) yt dx ( t ) xt
例3
x a cos 3 t 将求由方程 表示的函数的二阶导数 3 y a sin t dy
dy dt tan t 解 dx dx dt 2 d y d ( tan t ) d ( tan t ) dt ( tan t ) 3 2 dt dx (a cos t ) dx dx
1 y 1 x
y
y
(4)
1 (1 x ) 2
3! (1 x )4
y
2! (1 x ) 3
(1 x )
y ( n ) ( 1)n1 ( n 1)! n
( n 1, 0! 1)
三、 求任意阶导数小结 ＊1、直接法:
e
x (n)
设 s f ( t ), 则瞬时速度为 v ( t ) f ( t )
加速度 a 是速度 v 对时间 t 的变化率
a ( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
§4. 高阶导数 一、高阶导数的定义
一、高阶导数的定义
定义
即 如果函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) 在 x 处 可导，
三、 求任意阶导数举例 2、高阶导数的运算法则: 设函数 u 和 v 具有 n 阶导数，则
k ( n k ) ( k ) u v (3) ( u v )( n ) C n k 0 n
(a b) C a
n k 0 k n
n
n k
b
k
莱布尼兹公式
n( n 1) ( n 2) u v nu v 2! u v n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) uv u v k!
sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) y
(n)
2
三、 求任意阶导数举例
＊1、直接法:
注意: 求n 阶导数时,求出1-3 或4 阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n 阶导数. 例６ 设 y ln(1 x ), 求y ( n ) . 解
例5 设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20 ) . 解
2 v e , x , 由莱布尼兹公式 设 u 2x
y
( 20 )
(e
2 x ( 20 )
)
2 x ( 19 ) 2 20 ( e ) ( x ) x
2
20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2! 20 19 18 2 x 19 2 x 220 e 2 x x 2 20 2 e 2 x 2! 2 e 2
2x 1 1 ) ; y ( 2 2 解 y 2 2 ( 1 x ) 1 x 1 x
y (
2x ) 2 2 (1 x )
2(1 x 2 ) 2 2 x 2(1 x 2 )2 x
(1 x 2 )4
x 0
2( 3 x 2 1) (1 x 2 ) 3
记作 函数 f ( x ) 的 n 阶导数， n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数. 相应地，f ( x ) 称为零阶导数 f ( x ) 称为一阶导数
二、 求指定阶的高阶导数（阶数不高） (1)显函数的高阶导数 例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
y
( n)
( 1) n1 ( n 1)! 1 n (x ) 2
1 y 2 x 4 x 12 1 ( x 2)( x 6)
x 0
2x f (0) (1 x 2 ) 2
0;
2 2 ( 3 x 1) f (0) (1 x 2 ) 3
2.
二、 求指定阶的高阶导数 (2)隐函数的高阶导数 4 4 例2 设 x xy y 1, 求y在点 ( 0,1)处的值 . 解 上式两边对x求导 4 x 3 y xy 4 y 3 y 0