沪教版(上海)九年级数学第一学期26.4《二次函数》复习二 导学案设计
沪教版(上海)九年级上册数学26.1二次函数的概念导学案
x2 2x 1
3x 2 x
y
○5
y
x
； ○6 )y=x4 ＋ 2x2＋ 1； ○7
；○8 y
x2 .
（ 2）已知函数 y (m 2 9) x2 (m 3) x 2 ，
当 m 为何值时，这个函数是二次函数？当 m 为何值时，这个函数是一次函数？
（ 3）圆柱的体积 V 的计算公式是 V
r 2h ，其中 r 是圆柱底面的半径， h 是圆柱的高 .
对二次函数概念的理解可从以下几方面入手：
（ 1）强调 “形如 ”，即由形来定义函数名称．二次函数即 y 是关于 x 的二次多项式．对定义中的“形如”的
理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用
x、 y 来表示 .
பைடு நூலகம்
（ 2）在 y=ax2＋ bx＋ c 中自变量是 x ，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应
是使实际问题有意义的值．如例 1 中， x＞ 0．
（３）为什么二次函数定义中要求 a≠０？
（４） b 和 c 是否可以为零？
概念巩固练习
（ 1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出
a、 b、 c．
○1 y x 2 1 ；
○2 y x 2 2 x 1○3 y=x(x-1) ；○4 )y=3x(2-x) ＋ 3x2 ；
.
学习过程： 一、课前预习
1、 知识回顾 我们学过了哪些函数？并写出它们的一般式
2、 预习本节课本，写下你认为重要的知识点和存在的疑惑：
二、课堂学习 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互依赖关系，
我们已学过正比例函数， 反比例函数和一次函数． 看
新沪科版九年级数学上册《二次函数(4)》导学案
《二次函数（4）》导学案【学习目标】1．会画二次函数y=a(x+h)2的图象2.知道二次函数y=a(x+h)2与2ax y =的联系． 3.掌握二次函数的y=a(x+h)2性质，并会应用； 【学习过程】 一、知识链接：1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习画出二次函数2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：1.观察：（1）2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点（ ， ），即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x时y 随x 的增大而 。
（2）2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x时y 随x 的增大而 。
x2.对于同一个y 值，这三个函数对应的x 值之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 三、合作交流交流反馈自学情况，梳理（一）抛物线y=a(x+h)2的特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）二次函数y=a(x+h)2的增减性：（三）抛物线y=a(x+h)2与2y ax =形状相同，位置不同，y=a(x+h)2是由2y ax = 平移得到的。
（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（四）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。
四、评价反思：7.反思：本节课，我的收获有：我还要努力解决的问题是：。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数基础知识复习 教案
二次函数基础知识复习（一）教学设计本节课是二次函数的复习课，主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识，从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发，概括相关知识点，训练学生的解题思维方式，能够快速解决相关填空和选择题。
一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质，并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理：（1） 二次函数的定义：c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）条件：0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练：1、试判断以下哪些是二次函数：（1）c bx ax ++=y 2（2）x x y +3+1=2（3）22-)1+(=x x y （4）23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数，求m 的值（2） 二次函数的图像和性质练一练：1）、试在箭头上方（或下方）写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2）（x21+2=y ）（x 5+2-2=y 2）（x 1+4-2=y 2）（x思考：1+4-2=y 2）（x 1+4+2=y 2x x 2）、已知点A （-1，a ）、B （1，b ）是二次函数22-2=y ）（x 图像上的两点， 则a___b （填“>”“<”或“=”）练一练：判断a 、b 、c 的正负性（3） 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标：设一般式c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）已知抛物线的顶点坐标：设顶点式k m x a y +)+(=2（0≠a ）练一练：根据下列条件，求二次函数的解析式 1、 图像经过（0，0），（1，-2），（2，3） 2、 图像的顶点是（2，3），且经过点（3，1） 变式练习：1）、图像对称轴为直线x=2，且经过（2，1），（3，2）2）、已知二次函数对称轴为直线x=2，且最小值为4，图像与y 轴交于（0，6）2、课堂小结3、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.3 二次函数专题复习 教案
二次函数专题复习一、教学目标1. 巩固二次函数的图像及其基本性质；2. 能利用二次函数性质、相似三角形性质和三角比性质解决综合性问题；3. 通过小组合作探究过程体会数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法在解题中的运用。
二、教学重点和难点教学重点：运用相关知识解决二次函数的综合性问题；教学难点：动点变化过程中，利用方程和分类讨论思想解决问题。
三、教学过程（一）你来设计你来做如图，已知二次函数图像经过点A（-1,0），B（3,0）和点C（0，-3），点D为抛物线的顶点。
观察这个图形，你能根据已知条件设计哪些问题？（不用计算过程，但是要有答案）（事先已经布置下去，学生上课前交流反馈）预设：（1）二次函数的解析式（2）对称轴方程和顶点D的坐标（3）线段AC的长（或AB、BC、BD、CD长）（4）直线BC的表达式（或直线AC、CD、BD的表达式）（5）四边形ABDC的面积（或△AOC、△BOC、△BCD、△ABC、四边形OCDB的面积）（6）证明△AOC∽△DCB（7）求sin∠CBD（或∠CBD、∠CDB、∠ACO、∠CAO的三角比）（8）求sin∠ACB（或∠ABD的三角比）……（二）我来设计你来做例1：如题1，如果点E是抛物线上一点且满足∠EAB=∠CBD，求点E坐标；例2：如题1：点E是抛物线对称轴上一点，当以E、C、D为顶点的三角形与△ABC相似时，求点E坐标.设计以上两题目的：1、考虑问题的严密性---分类讨论2、分析问题的典型性---例1中角的问题转化为边的问题；例2中动点相似里定角的确定3、解决问题的合理性---线段与坐标的匹配四、课内小结今天我的收获是我还需要加强的是五、布置作业（1）同题1，若以点C为圆心，CB为半径的圆与直线BD的另一个交点为点E，求点E的坐标。
(用两种不同的方法求解)（2）你来设计同学做以小组为单位，在前期设计的基础上每个小组再设计一个令本组同学满意的题，各小组进行交换解答。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数 复习课 教案
《二次函数》复习课教案一、复习目标：（一）知识与技能目标：1、已知二次函数的解析式，能熟练的判断抛物线开口方向，写出对称轴方程和顶点坐标，巩固二次函数的图像性质及其平移规律。
2、熟练待定系数法求二次函数解析式，并能解决简单的实际问题。
3、体验二次函数与其他数学知识之间的联系，为今后进一步掌握二次函数的综合应用做好准备。
（二）过程与方法目标：1、通过对二次函数的概念、顶点、对称轴的练习，回顾二次函数的基础知识。
2、通过对典型例题的分析解答，培养分析问题和解决问题的能力；初步掌握数形结合的思想方法。
（三）情感态度和价值观目标：通过本节课的学习，让学生学会整理所学知识，逐步学会自主学习、自主探索，并能在讨论交流中获益。
二、复习重难点：重点：根据题意求解二次函数的解析式。
难点：应用二次函数的有关知识，以及相似三角形、锐角三角比等知识解决实际问题。
复习方法：自主探究、合作交流三、复习过程：一、知识梳理（一）学生独立练习（同桌互改）1、函数+2x-5是二次函数时，m的值为。
2、①二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。
②二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。
③二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，顶点是最点(填高,低)。
④二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，对称轴侧的部分下降。
3、①把二次函数的图像向上平移3个单位，所得图像的解析式为：，再向左平移1个单位，则所得图像的解析式为：。
②将抛物线向右平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________．③抛物线是由抛物线向平移个单位又向平移个单位后得到的。
4、①抛物线开口方向，对称轴是，最低点坐标是，函数有最（填大，小）值是。
②抛物线的对称轴是，在对称轴右侧的部分是__________的。
（填“上升”或“下降”）5、抛物线的顶点坐标为，且经过点，则抛物线的解析式为。
（二）学生整理知识点（老师板书，投影）1、二次函数定义：形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 导学案
①a
0; ② c 0;
y ox
③ b2 4ac
0; ④ b
0;
小结： a 决定
，c 决定
， b2 4ac 决定
，
a 、 b 结合决定
.
2、若抛物线 y ax2 3x a2 1 的图像如图所示，
则a=
.
思维拓展
1、 中考链接
问题:卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分。在大桥 截面 1∶11000 的比例图上，跨度 AB=5cm，拱高 OC=0.9cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图 1，在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长 度，建立平面直角坐标系，如图 2。
学生分析意见:
(最好这里能帮忙做个二次函数的图像,同时有两只蚂 蚁在上面爬,爬到不同的位置,体现不同的点)
变式 1
已知 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是二次函数 y 2x2 图像 上的两点，若 0<x1<x2，则 y1___y2．（填<、>、=）
学生分析意见:
变式 2 已知 A（3，y1）和 B（-4，y2）是二次函数 y 2x2 图像 上的两点，则 y1___y2．（填<、>、=）
学生分析意见:
变式 3 已知 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是一次函数 y 2x 1 图像 上的两点，若 0<x1<x2，则 y1___y2．（填<、>、=）
学生分析意见:
变式 4 已知 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是正比例函数 y 2x 图像 上的两点，若 0<x1<x2，则 y1___y2．（填<、>、=）
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案
二次函数复习【教学目标】1、了解二次函数解析式的基本性质；2、会用待定系数法求二次函数的解析式；3、能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式。
【知识梳理】⑴一般式： ，顶点坐标：对称轴：直线 当x= 时，值最..y =⑵顶点式：k m x a y ++=2)(()0≠a (，顶点坐标：（ ， ）对称轴：直线 当x= 时，值最..y =⑶两根式： ，其中21,x x 是c bx ax ++2=0()0≠a 的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ）)0≠a2ax y =的图象 （ ）2)(m x a y +=的图象 （ ）km x a y ++=2)(的图象【例题探究】（1）、下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 、y=(x+2)(x-2)-(x-1)2C 、D 、y=x(x —1) （2）、当k= 时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数。
（3）、若二次函数y=（a-1）x 2+x+a 2－1的图像如图所示，则a 的值是________．（4）、求满足下列条件的二次函数解析式⑴图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）；⑵图象与x 轴的交点的横坐标为-2和1，且过点（2，4）；⑶当x=2时，y 最大值=3，且过点（1，-3）； ⑷已知经过（4，-2）的二次函数的对称轴为直线x=3，且与x 轴的一个交点为（6，0）， 例2、与二次函数的平移有关的问题： 1、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。
2、把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是3、把抛物线y ＝12212-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位就得到抛物线23212--=x x y 。
4、已知二次函数()2111y x bx b =-+-≤≤，当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） Ａ．先往左上方移动，再往左下方移动Ｂ．先往左下方移动，再往左上方移动 Ｃ．先往右上方移动，再往右下方移动Ｄ．先往右下方移动，再往右上方移动 例3、与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和性质有关的问题:1、请研究二次函数23212++-=x x y 的图象和性质： ⑴开口方向：⑵对称轴：⑶顶点坐标：⑷图象与x 轴的交点坐标： 、⑸图象与y 轴的交点坐标：⑹图象与y 轴的交点关于对称轴的对称点的坐标：⑺用五点法画函数的草图⑻求这个函数的最值，当x= 时，⑼当 时；y=0，当 时，y>0；当 时，y<0。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数的复习 教案
二次函数的复习一、教学目标：1、复习二次函数的概念。
2、复习二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。
3、复习配方法与待定系数法。
4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用，提升解决数学综合问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：复习二次函数的图像与性质，复习配方法与待定系数法。
难点：培养学生从图像中获取信息的能力，从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。
三、教学过程：（一）、知识整理1（1）、二次函数的概念.（2）、怎样判断一个函数是否是二次函数？2、二次函数的图像与性质复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。
练习：(1) 当m = 时， m m x m y -+=2)1(是二次函数。
(2) 二次函数y=x(1-x)的开口方向向 .(3) 二次函数y=(x-1)2+2的图像的最 （高或低）点的坐标是 。
(4) 二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是 , 对称轴是 。
(5) 二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是 ， 对称轴是 。
(6) 抛物线y= -x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而 。
(7) 已知二次函数 m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴，则m=_________。
3、二次函数的上下、左右平移练习：将抛物线2)2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后，使它的顶点移到点（3，-1）的位置，平移的方法可以是先向______平移______个单位，再向______平移______个单位。
4、二次函数的图像信息：会根据图像判断a 、b 、c 的符号；根据图像上的点求函数解析式；判断y 随x 的增大与减小等练习1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则下列结论正确的是（ ）A.. 0,0,0>>>c b aB. 0,0,0><<c b aC. 0,0,0<><c b aD. 0,0,0>><c b a练习2、如果 （k 为常数），那么二次函数k <22y kx x k =-+的图像大致为 ( )5、配方法与待定系数法（二）、综合运用探讨：二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用。
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《二次函数》复习二
[学习目标]
1、会结合二次函数的图像分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义；
2、会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题.
一、课前预习：
1、在同一坐标系中，作y =x 2，y =－21x 2，y =31x 2
的图象，它们的共同特点是（ ）
A.抛物线的开口方向向上
B.都是关于x 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而增大
C.都是关于y 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而减小
D.都是关于y 轴对称的抛物线，有公共的顶点 2、已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是 （ ）
A ．－1＜x ＜4
B ．－1＜x ＜3
C ．x ＜－1或 x ＞4
D ．x ＜－1或 x ＞3
3、已知二次函数y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c <0；② a -b +c <0；③
b +2a <0；④ ab
c >0 . 其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④
B. ②③
C. ①④
D.①②③ 4、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）.
A ．a+c
B ．a-c
C ．-c
D ．c 5、如果a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的顶点必在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 6、根据图中的抛物线，当x 时，y 随x 的增大而增大，
当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 有最大值。
第3题 第6题
二、课堂学习：
1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：
y=-0.1x 2
+2.6x+43(0≤x≤30)。
y 值越大，表示接受能力越强。
(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分时，学生的接受能力是什么？
(3)第几分时，学生的接受能力最强？
2、某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。
经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。
在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出
一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。
设每套设备的月租金为x （元），
租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y （元）。
（1）用含x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费
（2）求y 与x 之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械
设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成2
24()24b ac b y a x a a -=++的形式，并据此说明：当x 为何
值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
三、课堂练习 1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图．现测得水面宽AB=1.6m ，涵洞顶点O 到水面距离为2.4m ．在图中直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数解析式为_____． 2-06
x
y y x 1 O 第2题
－1 O －3
2、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米
（１）求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
（２）求柱子ＡＤ的高度。
3、农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业。
他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈。
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理
由。
四、课后作业：
1、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m
观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．
（1）求抛物线的解析式.
（2）求两盏景观灯之间的水平距离. 2、如图，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的、部分与水面成30︒的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。
以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。
3、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线2
18
55
y x x
=-+，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
5m
1m 10m
?。