3.2.2函数模型的应用实例(一)
3.2.2_函数模型的应用实例(一)
3.2.2函数模型的应用实例（一）1、某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )A．一次函数B．二次函数 C．指数型函数D．对数型函数2、某种植物生长发育的数量y与时间A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋23、如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③ C．②③D．①②4、长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x＝________，面积S＝________.5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.6、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？7、．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.8、有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？9、某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.10、某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？11、该经营者准备下月投入12. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).。
课件9：3.2.2 函数模型的应用实例
似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于
1
15 + , (0 ≤ ≤ 10)
2
f(t)＝൞
(元)．
1
25 − , (10 < ≤ 20)
2
典型例题
类型3 分段函数模型的应用
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表
10−6
代入得Y＝10lg −12
10
＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg
10−12
＝0，所以
I＝10－12 W/m2，
则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
10−12
＝1，
典型例题
−7
5×10
(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg −12
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元
或150元．
名师指导
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实
际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别
式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，
从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
跟踪训练
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池
即 S＝
2
－10x
＋1 200x－15 000，30<x≤75.
跟踪训练
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15 000为增函数，
所以x＝30时，Smax＝12 000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1 200x－15 000
3.2.2 函数模型的应用举例
教学目标
1 能够写出函数解析式，确定函数模型； 2 能利用数据表格、函数图像讨论模型 3 注意限制条件，选出正确的函数模型
教学重难点
1用函数思想解决实际问题 2确定函数模型及利用表格，图象等讨论 函数模型
教学方法
自主求学式
问题
王老师今天从市中心到梅中上课，来的时候坐了 出租车。我们知道无锡出租车的价格，凡上车起步 价为8元，行程不超过3km者均按此价收费，行程超 过3km，按1.8元/km收费。 市中心到梅中的路程是 25公里，问王老师今天坐 车用了多少钱？ 市中心到梅中的路程是 x公里，问王老师今天坐车 会用多少钱？
例3.为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形 ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园 POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保 护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？ 并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m， AE＝60m，AF＝40m． 120≤x≤160 解析：设PR＝x m，
0
A
时间
0
B
时间
0
C
时间
0
D
时间
c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现 时间还很充裕，于是放慢了速度。
例题讲解
例1
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元， 每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 日均销售量/桶
6 480
7
440
小结：
1.解题四步骤：设、列、解、答. 2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数 关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的 实际意义做出回答. 即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解， 再结合实际做出回答.
3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)
§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）一、学习目标：1. 初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、学习重点与难点：1．重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2. 难点：将实际问题转变为数学模型.三、 教学设想（一）问题衔接1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线，当________时，一次函数在 上为增函数，当_______时， 一次函数在 上为减函数2.二次函数的解析式为_______________, 其图像是一条________线，当______时，函数有最小值为___________，当______时，函数有最大值为____________。
（二）结合实例，探求新知例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：(72.3102 p )（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象探索：本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式老师提示：路程S 和自变量t 的取值范围（即函数的定义域），注意t 的实际意义.例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？引导学生探索过程如下：1）本例涉及到哪些数量关系？2）应如何选取变量，其取值范围又如何？3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？4）“所获得的利润最大”的数学含义如何理解？例3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12日均销售量（桶）480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？课堂练习1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？课堂练习2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.（三）归纳整理，发展思维.网归纳一般的应用题的求解方法步骤：1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.（四）布置作业习题3.2（A组）第3 、4题：作业：教材P107。
3.2.2函数模型应用实例1
h (t )
1
(t 3 5 0 ) 1 0 0
2
,所以当
t 300
8 7 .5
综上,由 1 0 0 8 7 .5 可知, h ( t ) 在 [0, 3 0 0 ] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.
中学数学网（群英 学科）提供
3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时
y kx b(k 0) 直 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条 ____线，
当________时，一次函数在 ( ,) 上为增函数，当_______时， 一次函数在 (,) 上为减函数。
2
y ax bx c(a 0) 2.二次函数的解析式为_______________________,
v
90 80 70
60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5
解(1)阴影部分的面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：
S
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型） 予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题
抽象概括
数学模型 推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型的 解
布置作业 1 . (必做)课本第107页 习题1,2
2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查， 提供了两个方面的信息，如下图：
r6≈0.0223, r7≈0.0276, r8≈0.0222, r9≈0.0184. 可得,1951-1959年期间我国人口的平均增长率分为 r ( r1 r2 r9 ) 9 0 .0-1959年期间我国的人口增长模型为 0.0221 t y 55196 e , t N.
课件5：3.2.2 函数模型的应用实例
图 3－2－8
【解】 OB 所在的直线方程为 y＝ 3x.当 x∈(0,1]时，由 x ＝t，求得 y＝ 3t，所以 f(t)＝ 23t2；
当 t∈(1,2]时，f(t)＝ 3－ 23(2－t)2； 当 t∈(2，＋∞)时，f(t)＝ 3，
23t2，t∈0，1]，
∴f(t)＝
3－ 232－t2，t∈1，2]，
3，t∈2，＋∞.
指数(对数)型函数建模问题
例 3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的 游速为 v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中发现 v 与 log31Q00成正比，且当 Q＝900 时，v＝1.
24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
【自主解答】 (1)设 y＝kx＋b(k≠0)， ∵x＝8 时，y＝400；x＝10 时，y＝320. ∴430200＝ ＝810k＋k＋b， b， 解之得kb＝＝－72400，， ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝－40x＋720(x>0)． (2)该班学生买饮料每年总费用为 51×120＝6 120(元)． 当 y＝380 时，380＝－40x＋720，得 x＝8.5， 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380×8.5＋ 228＝3 458(元)， 所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．
3.2.2函数模型应用实例
60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
3.2.2_函数模型的应用举例(1)
当 100<x≤500 时，P＝60－0.02(x－100)， 所以 P＝f(x)＝62－5x0， 100<x≤500， (x∈N*)．
(6 分)
(2)设销售商一次订购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元则，
返回
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不 知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个 资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的 方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两 个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数 模型．
返回
[精解详析] 设投资额为x万元时， 获得的利润为y万元．在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点，如图所示， 观察散点图可知图像接近直线和抛物线， 因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元 与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
解析：(1)由图象可知，当 t≤3 时，电话费都是 3.6 元． (2)由图象可知，当 t＝5 时，y＝6，需付电话费 6 元． (3)当 t≥3 时，y 关于 x 的图象是一条直线，且经过(3,3.6) 和(5,6)两点，故设函数关系式为 y＝kt＋b， 则35kk＋＋bb＝＝36.，6， 解得kb＝＝10..2， 故 y 关于 t 的函数关系式为 y＝1.2t(t≥3)
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电 话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分 钟)之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话2分钟，需要付电话费__________元； (2)通话5分钟，需要付电话费________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函 数关系式为____________．
3.2.2函数模型的应用实例(一)
v/(km·h－1)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 1010
75(t 3) 2224, 65(t 4) 2299,
O 1 2 3 4 5 t/h
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
(2)
50t 2004,
函数解析式
s
9800((tt
1) 2054, 2) 2134,
75(t 3) 2224,
s
65(t 4) 2299,
2400
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
2300
2200
函数图象
2100
2000
O12 345t
归纳
解题方法：
归纳
解题方法： 1. 读题，找关键点；
程表在汽车行驶这段 100
路程前的读数为2004
90 80
km, 试建立行驶这段
70 60
路程时汽车里程表读 50
数skm与时间th的函
40 30
数解析式, 并作出相
20 1010
应的图象.
O 1 2 3 4 5 t/h
(2)
50t 2004,
函数解析式
s
9800((tt
1) 2054, 2) 2134,
(1) 求图中阴影部分 v/(km·h－1) 的面积，并说明所 100
90
求面积的实际含义； 80
70 60 50 40 30 20 1010
O 1 2 3 4 5 t/h
3. 分段函数模型的应用
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示.
(2)假设这辆汽车的里 v/(km·h－1)
学案3：3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2 函数模型的应用实例导入新知1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝ (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(5)指数函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝ (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． 2．建立函数模型解决问题的框图表示化解疑难求解函数应用题的程序常考题型题型一 二次函数模型例1 已知某种商品涨价x 成(1成＝10%)时，每天的销售量减少45x (其中x >0)成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x 的取值范围． 类题通法利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．活学活用1.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．题型二分段函数模型例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．类题通法构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 活学活用2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？题型三 指数、对数型函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ 类题通法指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．活学活用3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知： lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)随堂即时演练1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x (1≤x ≤4，x ∈N *)之间关系的是( ) A ．y ＝100x B ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100x2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( ) A ．x ＝60t B ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.53．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为________元．4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．5．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每百件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？参考答案导入新知1．(1) kx(2) k x(3) kx＋b(4)ax2＋bx＋c(5) ab x ＋c (6)m log a x ＋n (7) ax n ＋b例1 解：设商品原价格为m ，每天的原销售量为n ，则每天的原营业额为m ·n ，涨价后每天的营业额为y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n . (1)y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x 10·n ＝⎣⎡⎦⎤－1125⎝⎛⎭⎫x －542＋8180·m ·n . 当x ＝54，即涨价125%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加， 则需m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＞m ·n ， 即2x 2－5x ＜0，变形得x (2x －5)<0. 又x >0，故0＜x ＜52.∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，52. 活学活用1. 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ， 所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10， 所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米. 例2 解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 活学活用2. 解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1＜t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3(t 3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.例3 解：(1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年 ，n 年后森林面积为22a ·(1－p %)n . 令22a (1－p %)n ≥14a ， 即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12≥⎝⎛⎭⎫12，得n 10≤32，解得n ≤15， 故今后最多还能砍伐15年． 活学活用3.解：依题意，得2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，即至少要过滤8次才能达到市场要求．随堂即时演练 1．【答案】C【解析】当x ＝4时，A 中，y ＝400；B 中，y ＝700；C 中，y ＝800；D 中，y ＝1004.故选C. 2．【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数． 3．【答案】2 400【解析】y ＝a ·⎝⎛⎭⎫1－13，所以当x ＝15时，y ＝8 100×⎝⎛⎭⎫1－133＝8 100×827＝2 400(元)． 4. 【答案】(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)【解析】(1)由题图可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． (2)由题图可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点， 故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，11010m1210n325x则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)． 5． 解：设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600，14≤P ≤20，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600，20<P ≤26， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．。
教学设计：3.2.2 函数模型的应用实例
§3.2.2函数模型的实际应用教学目标：知识与技能：将实际问题转化为函数模型．过程与方法：能够借助函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决实际问题，了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x－250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x－250)－30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3－2－1－15解：(1)依题意，得y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4，t 1=4.因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2－4)+320=4，解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2－4)+32032-(t 2－9)+320=4，解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f (x )表示学生接受概念的能力〔f (x )的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式： f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0<x ≤10时，f (x )=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1(x －13)2+59.9，由f (x )的图象，知当x =10时，［f (x )］max =f (10)=59；当10<x ≤16时，f (x )=59；当16<x ≤30时，f (x )=－3x +107，由f (x )的图象，知f (x )<－3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)∵f (5)=－0.1×(5－13)2+59.9=53.5，f (20)=－3×20+107=47<53.5，∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练. 拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3－2－1－18(1)、图3－2－1－18(2)、图3－2－1－18(3)所示.其中图3－2－1－18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3－2－1－18(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：(1)f (t )=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g (t )=203-t 2+6t (0≤t ≤40).(2)每件A 产品销售利润h (t )=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t . 该公司的日销售利润F(t )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ， 当0≤t ≤20时，F(t )=3t (203-t 2+8t )，先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20，则F(t 1)－F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)－3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1－t 2)2. ∴F(t )在［0，20］上为增函数.∴F(t )max =F(20)=6 000<6 300.当20<t ≤30时，令60(203-t 2+8t )>6 300，则370<t <30; 当30<t ≤40时，F(t )=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300， 故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，t =20，t =30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P 107习题3.2A 组3、4.。
高中数学 第三章 §3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
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小结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增
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跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票 数为多少？ 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 票数 x 张之间的函数关系是：y＝31..7255xx＋0≤1 0x0≤0440000<x≤600 . ①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200. ②当 400<x≤600 时，由 1.25x＋1 000＝750，得 x＝－ 200(舍去)． 综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张． 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
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当 y＝10 时，解得 t≈231. 所以，1881 年世界人口约为 10 年的 2 倍．
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长 情况.
必修1课件3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
1958 65994
1959 67207
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？ 解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联 系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实 例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实 际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。 v (km/h) (1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义； 解：(1)阴影部分的面积为
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： y
y0e
rt
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：
3.2.2函数模型应用实例一
注意：建立相应函数模型后，求函数解析式多采用用待定系数法
我们在前面的学习中已提到：函数 是描述事物运动变化规律的数学模型。 如果了解了函数的变化规律，那么也 就基本掌握了相应事物的变化规律。
r (r1 r2 r9 ) 9 0.0221 .
令y0=55196,则我国在1950-1959年期间我国的人口增长模型为
y 55196 e 0.0221 t , t N.
根据上表的数据作出散点图,并作出函数 y 55196 e 0.0221 t , t N.的图象
由图可以看出,所得模型与 19501959年的实际人口数据基本吻合.
4ac b2
当__a__0__时，函数有最大值为_____4_a______，
函数有单调增区间_(____,__2_ba__]单调减区间_(__2_ba__, ___ )
3.指数函数的解析式为___________ 图象分布在____轴上方 当______ 时，函数在 上为增函数， 当______ 时，函数在 上为减函数。
2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s
60 50
km与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.
40
30
20
解(1)阴影部分的面积为 501801901751651 360 10
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km
t
1 234 5
(2)根据图形可得： 50t 2004
由 55196(1+r1)=56300,可得1951年的人口增长率为 r1≈0.0200
3.2.2函数模型的应用举例(1)
3.2.2函数模型的应用实例 (1)教学目标：1.通过实例“汽车的行驶规律”理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力；2.通过马尔萨斯的人口增长模型使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；3.在实际问题的解决中，发展学生从数学角度提出、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系。
教学重点：分段函数和指数型函数的应用． 教学难点：函数模型的检验． 课时安排：1课时 教学方法：讲练结合 教学用具：计算机 教学过程： 一、创设情境现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价。
． 二、组织探究 一）阅读并思考例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． 1）求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ， 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式， 并作出相应的图象．问题1. 你能理解汽车的行驶规律吗？引导学生阅读速度与时间的关系图象，获得尽可能多的信息并与同伴交流。
通过提问学生，检查学生由图表信息转化为文字语言信息的能力。
h ）汽车的行驶规律以解析式表达如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<≤<≤<≤=.54,65,43,75,32,90,21,80,10,50t t t t t v 问题2. 你能理解阴影部分面积及实际意义吗？引导学生理解每一个长方形的长和宽的实际意义，从而明确多边形面积的实际意义，即阴影部分面积的实际意义.问题3. 寻求汽车行驶路程与时间的函数关系式与图象.引导学生动态地观察速度与时间的关系图象中直线0t t =左侧的阴影部分面积.如，当1t 00<<时，直线0t t =左侧的阴影部分是一个“小矩形”（长是50h /km ，宽是h t 0） 当2t 10<<时，直线0t t =左侧的阴影部分是一个长方形（长是50h /km ，宽是1h ）和一个“小矩形”（长是80h /km ，宽是h )1(t 0-） … …学生经过自主动地观察研究，写出路程关于时间变化的函数关系式.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤-<≤-<≤-<≤=.54),4(65,43),3(75,32),2(90,21),1(80,10,50t t t t t t t t t ts −−→−修改⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32,2134)2(90,21,2054)1(80,10,200450t t t t t t t t t t sh ）h ）二）阅读并思考例 4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：t r e y y 0=其中t 表示经过的时间，0y 表示t =0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？ 问题4. 你能建立我国人口增长的模型吗？指导学生依据我国人口数据资料确定马尔萨斯人口函数t r e y y 0=中的待定系数.0y 取0=t ，即1950年时的我国人口55 196万人.r 为1950~1959年的人口的年增长率的平均值。
最新人教版高中数学课件3 .2.2函数模型的应用实例( 1 )
1、用长度为24m嘚材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙嘚长度 为( )
A A、3
B、4
C、6
D、12
2、下表是某工厂产品嘚销售价格表：
一次购买 1～10 件
每件价格 37 (单位：元)
11～50 件
32
51～ 100件
30
某人有现金2900元，则最多可购买这种产品
A、820 元 B、840元 C、860元 D、880元
C
二、例题分析 例3 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品嘚逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金 额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金 额(万元)12345
6
获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你 帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你嘚方案求出该经营者第七个月可获得 嘚最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
二、例题分析
收集数据
画散点图
不 选择函数模型
符
合
实
际
求函数模型
检验 符合实际
用函数模型解释实际问题
件
101～ 300件
27
300件 以上
25
107
一、课前练习 3、向高为H嘚水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水位h嘚关系嘚图象如图所示，那么水瓶嘚形状是 （） B
V
A
3.2.2 函数模型的应用实例(1)
H 3.2.2函数模型的应用实例（一）【教学目标】1、 通过实例理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力2、 通过马尔萨斯人口增长模型使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的应用3、 在实际问题的解决中，发展学生提出、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系【教学重难点】重点：分段函数和指数型函数的应用难点：函数模型的检验【教学设计】教学导图：12⎫→⎬⎭例：汽车的行驶规律利用函数模型解题的一般过程例：马尔萨斯的人口增长模型→ →→（求模验模用模）一、新课探究例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象。
小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。
练习1：向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(tfp=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(tgQ=；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）例2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：rteyy⋅=0，其中t表示经过的时间，y表示0t=时的人口数，r表示人口的年平均增长率。
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（2）将y=1300000代入
0.0221t， y=55196e如果不实行计划生育，而让
人口自然增长，今天我国将 由计算机可得： 面临难以承受的人口压力！
t≈38.76
这就是说按照这个增长趋势，那么大约 在1950年后的第39年（即1989年），我国的 人口就已经达到13亿。
请阅读教材P103页的解答过程 思路：对于已经给出的模型的函数 问题：首先根据已知的部分数据， 求出函数模型中的待定系数；其次， 作出散点图，对所得解析式检验， 最后运用已经求出的函数模型解决 相应的问题
若该食品在00C保鲜时间是192小时，在220C保鲜时间 24 是48小时，则该食品在330C保鲜时间是----------小时。
小结
解应用题的策略：
抽象概括 实际问题 数学模型
推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型 的解
作业
课本 P.107 习题3.2 A组3.4.5
分析： 每年的增长率是多少
§3.2.2函数模型的应用实例(一)
探究：函数建模问题
例3.一辆汽车在某段路程中的 行驶速率与时间的关系 如图3.2-7所示。 (1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义；
图3.2-7 图3.2-7
例3.一辆汽车在某段路程中的行驶 速率与时间的关系如图3.2-7所示。 探究1：写出速率v关于时间t的 函数解析式； 探究2：你能写出汽车行驶路程y(km) 与时间t 的函数 解析式吗?
图3.2-7
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的 读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表 读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
解：根据图3.2-7，有 50t+2004， 0≤t＜1 80(t-1)+2054， 1≤t＜2 S = 90(t-2)+2134， 2≤t＜3 75(t-3)+2224， 3≤t＜4 65(t-4)+2299， 4≤t≤5
解：令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
y 55196 e
0.0221t
,t N
解：根据表3-8中的数据作出散点图， 并作出函数的图象（图3.2-9）。 由图3.2-9可以看出，所得模型 与1951～1959年的实际人口数 据基本吻合。
y
70000
65000
问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？
解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有 x小时 y（个） 点 0 200 A 1 400 B 2 800 C 400＝200×21， 3 1600 D
200＝200×20，
800＝200×22， 1600＝200×23． 从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式， 即y＝200· 2x（x∈N）． 此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为 200×25＝6400（个）．
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期 的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：设1951～1959年的人口增长率分别为 r1， r2，…，r9。 可得r1≈0.0200。 r ≈0.0250 同理可得， r1959 ≈0.0210 r ≈0.0229 于是， 1951～ 年期间，我国人口的年均增长率为 4 2 3 r5≈0.0197 r6≈0.0223 r7≈0.0276 r=（r1+r2+· · · +r9）÷9≈0.0221 r8≈0.0222 r9≈0.0184
课堂练习 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%， 1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%. 用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？ 什么时候世界人口是1970年的2倍？
解 : 由题意得，y 5e
0.003 t ?
? ( t N *)
解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立 相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题 的意义．
0
探究：确定这个函数模型需要知道哪几个量?
下面是1950~1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/ 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 万人
所以,如果按上表的增长趋势，大约1950年后第39 年（即1989年）我国人口就已达到13亿。
２００５年１月６日零点２分，中国第１３亿个公民在 北京妇产医院出生，这一天也成为“中国１３亿人口 日”。这个小公民为男性，体重３6６０克，身长５２ 公分。 探究： 你对由模型得出的结果与实际存在的情况有何看法？
令y 10, 则e 0.003 t ? 2, 0.003t ln 2, t 231, 所以， 1881年世界人口约为1650年的2倍。 同理,由72 36e 0.021t t 33 所以, 2003年世界人口数约为1970年的2倍。
高考链接
B
高考链接
（2015.四川卷）某食品的保鲜时间y（单位：小时） kxb 0 与储藏温度x(单位： C)满足函数关系 y e （e=2.71828...为自然对数的底数，k,b为常数）。
y y0 e
rt
这几年的平均增长率是多少
马尔萨斯的人口增模型
如何检测此模型与实际人口数据相符
哪一年我国人口达到13亿
练习:某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这 种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，如下表：
时间（小时） 细菌数（个） 0 200 1 400 2 800 3 1600
60000 55000 50000
0
1234567
8
9
图3.2-9
t
(2)据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：将 y=130000代入
y 55196 e
0.0221t
,t N
两边取对数有 ln130000 ln55196 0.0221 t,
l n130000 l n55196 即 t 0.0221 t≈38.76 由计算器可得
这个函数的图象如图所示
二 胎 来 了
探究:函数模型问题
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识 人口数量变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态 下的人口增长模型： y y e rt 其中t表示经过的时间，y0 表示t =0时的人口数， r表示人口的年平均增长率。