2020年正余弦定理及面积公式
解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式)
2020年9月11日11时45分
9
考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
【训练1】（3）在△ABC中，a : b : c 3+1: 6:2， 判断三角形的形状并求三角形的最小角.
解析 由a : b : c 3+1: 6:2知，a b c
所以∠A ∠B ∠C，即∠A为最大角，∠C为最小角
【例1】（3）已知在△ABC中，a 2，b 3，c 4， 那么这个三角形的形状是______.
解析
由题意可知：c b a，
所以∠C ∠B ∠A，即∠C为最大角，
由余弦定理得：cosC= a2 b2 c2 2ab
4 9 16 1 0
2 23
4
所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形。
2020年9月11日11时45分
11
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
2020年9月11日11时45分
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
12
考点突破 考点二 正弦定理的应用——求三角形的边角
【例2】（1）在△ABC中，a=2，∠A=300，∠C =450 , 则b等于_______.
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
2020年9月11日11时45分
S 1 ab sin C 2
S 1 bc sin A 2
S 1 ac sin B 2
微考点：正余弦定理在平面几何中的应用
微考点：正余弦定理在平面几何中的应用【必备知识】1．正弦定理：如图所示，在ABC ∆中，A asin ＝B b sin =Cc sin ＝R 2（其中R 为ABC ∆外接圆半径）． 2．余弦定理：222a b c =+-2cos bc A ；222b c a =+-2cos ca B ；222c a b =+-2cos ab C ．222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2c a b B ca +-=；222cos 2a b c C ab+-=．3．面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ∆===．4．余弦定理的正弦形式：将2sin a R A =，2sin B R B =，2sin c R C =代入余弦定理，得①222sin sin sin A B C ＝＋－2sin sin cos B C A ； ②222sin sin sin B A C ＝＋－2sin sin cos A C B ；③222sin sin sin C A B ＝＋－2sin sin cos A B C ．【考题示例】技巧一：几何量转化到同一个三角形中利用正余弦定理 【例1】（1）【2016年全国卷Ⅲ】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A （ ） A ．310B ．1010C ．55D ．31010（2）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD 的垂直平分线过点A ，且满足2CD AB =，25cos 5CAD ∠=，则ADC ∠的大小为＿＿＿＿＿＿．【思维导图】（1）【在ACD ∆中用AD 表示CD →用AD 表示结合勾股定理表示AC →在ABC ∆中利用正弦定理求sin A ；（2）由条件确定出,CD AD 间的比例关系→利用同角三角函数关系求得sin CAD ∠→在ACD ∆中，利用正弦定理求得ADC ∠．【解析】（1）设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以225AC AD DC AD =+．由正弦定理，知sin sin AC BCB A =，53sin 22AD AD A =，解得310sin 10A =，故选D ．（2）∵BD 的垂直平分线过点A ，∴AB AD =，则22CD AD ==，∴2CDAD=ACD ∆中，()0,CAD ∠π∈，25cos 5CAD ∠=，∴5sin 5CAD ∠=．在ACD ∆中，由正弦定理，sin sin CDDCA A C DD A =∠∠得，∴sin 10sin 10AD DCA DCA CD ∠∠==．∵DCA CAD ∠<∠，∴DCA ∠为锐角，∴310cos 10DCA ∠=，则()2cos cos 2ADC ACD CAD ∠=-∠+∠=-，∴34ADC π∠=．【方法提炼】此类题型主要是将所求几何量与已知的几何量集中某个三角形中，如果这些几何量比较散时，则须通过利用相关的知识和方法将上述几何量转移到同一个三角形中，然后选择正弦定理或余弦定理进行计算．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =，7AB =，3ADB π∠=，6C π∠=，则DC 的值为＿＿＿＿＿＿．1．【解析】由题意，知366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，故DBC C ∠=∠，DB DC =．设DC x =，则DB x =，3DA x =．在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠，即()2221732372x x x x x =+-⋅⋅⋅=，解得1x =，1DC =． 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，2CD =，则cos A =（ ）A ．13 B 2 C ．14D ．02．D 【解析】设,BD x =则3AD x =，23,2AC x BC x =-=-，易知cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理可得222292232222322x x x x xx+--+--=⨯⨯⨯⨯，解得13x =，故1,1AD AC ==,222cos 02AD AC CD A AD AC+-∴==⨯⨯，故选D ． 3．如图，在直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，4BC =，P 是ABC ∆内的一点，满足PB PC ⊥，PB PC =，则PA =＿＿＿＿＿＿．3．25【解析】由PB PC ⊥，PB PC =，知PBC ∆为等腰直角三角形，则由4BC =，得4PCB π∠=，2PC =．又90ACB ∠=︒，∴4PCA π∠=，于是在PAC ∆中，由余弦定理得2222cos 20PA AC PC AC PC PCA =-⋅∠=＋，∴52PA =.技巧二：从一个三角形到另一个三角形先后利用正余弦定理【例2】【2018年全国新课标I 卷】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC ．【思路导图】（1）在ABD ∆根据正弦定理直接求得sin ABD ∠→利用同角三角函数基本关系求cos ADB ∠；（2）根据（1）的结论，利用角互余求得cos BDC ∠→在BCD ∆中利用余弦定理求BC ． 【解析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠． 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以23cos 5ADB ∠=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以5BC =．【方法提炼】此类题型根据已知平面图形中的几何量与所求量的分布规律，不可能在同一个三角形中求得所求量时，考虑从已知几何量比较集中的三角形开始，首先求得相关几何量后，再转移到另一个涉及到所求几何量的三角形中进行求解．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24c b ==，2cos c C b =，,AD AE 分别是BAC ∠的中线与角平分线，则AD =＿＿＿＿＿＿．1．【解析】因为24c b ==，所以1cos 24b Cc ==．在ABC ∆中由余弦定理得22224161cos 244a b c a C ab a +-+-===，所以4a =，即4BC =，∴在ACD ∆中，2CD =，2AC =，又余弦定理，得2222cos 6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以6AD =．2．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，4sin 5ACB ∠=，72AC =，2cos 10ADB ∠=-，若ABD∆的面积为7，则AB =＿＿＿＿＿＿．2．37【解析】在ADC ∆中由正弦定理，得()sin sin sin sin sin sin AC C AC ACB AC ACBAD ADC ADB ADBπ⋅∠⋅∠⋅∠===∠-∠∠＝222cos ADB ∠=，∴72sin ADB ∠=，于是由1sin 72ABD S AD BD ADB ∆=⋅∠=，解得5BD =．在ADB ∆中，由余弦定理得222cos 37AB AD BD AD BD ADB +-⋅⋅∠=3．在ABC ∆中， 6AB =，3B π=，D 是BC 边上一点，且36AD =23CD =AC 的长为＿＿＿＿＿＿．3．102【解析】在ABC ∆中由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠，∴2sin ADB ∠=，又∵()0,ADB π∠∈，∴344ADB ππ∠=或．∵AD AB >，∴B ADB ∠>∠，∴4ADB π∠=，∴34ADC π∠=，于是在ACD ∆中，由余弦定理可知2222cos 102AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴102AC =技巧三：在两个三角形中同时利用正余弦定理【例3】如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则AC =_________．【思维导图】设BD x =→分别在ABD ∆与BCD ∆中同时利用余弦定理用x 分别表示出ADB ∠，CDB ∠的余弦值→利用这两个角的关系建立方程进行求解．【解析】设BD x =，则AB x =．在ABD ∆中，由余弦定理得22211cos 22x x ADB x x +-∠==．在BCD ∆中，由余弦定理得 22244cos 248x xCDB x +-∠==⋅⋅．∵ADB CDB ∠=∠，∴cos cos ADB CDB ∠=∠，即128xx =，解得2x =，即2BD =． 【方法提炼】此类题型通常是平面图形中已知几何量比较均衡分布在两个三角形中，同时所求几何题通常是这两个三角形的公共边或公共角，解答时通常是在两个三角形中利用正弦定理或余弦定理，建立方程进行求解．【变式训练】1．如图，已知ABC ∆中，2A π=，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，点D 在边BC 上， 1AD =，且2,2BD DC BAD DAC =∠=∠，则sin sin BC=__________．1．3【解析】在ABC ∆中，由,22A BAD DAC π=∠=∠，可得,36BAD DAC ππ∠=∠=．设DC x =，则2BD x =，在DAC ∆中，由正弦定理得sin sin AD CDC DAC=∠，所以sin 1sin 2AD DAC C CD x ⋅∠==；在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB DAB=∠，所以sin 3sin 4AD DAB B BD x ⋅∠==，故3sin 341sin 22B x C x==．2．如图，在四边形ACBD 中，1cos 7CAD ∠=-，且ABC ∆为正三角形，4CD =，3BD =，求ABD ∆周长为＿＿＿＿＿＿．2．273+【解析】因为1cos 7CAD ∠=-，所以43sin 7CAD ∠=，所以cos BAD ∠cos 3CAD π⎛⎫=∠- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33CAD CAD ππ=∠+∠1114=．设AB AC BC x ===，AD y =，在ACD ∆和ABD ∆中由余弦定理得2222222 2AC AD AC ADcos CAD CD AB AD AB ADcos BAD BD+-⋅∠=+-⋅∠=⎧⎨⎩，代入得222221671137x y xy x y xy ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得7 7x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或7 7x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（舍），即7AB AD ==，故ABD ∆周长为273+．【巩固练习】1．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2,7BC CD AD ==，则sin BAD ∠的值为＿＿＿＿＿＿．1．321【解析】因为ABC ∆是等边三角形，且2BC CD =，所以2,120AC CD ACD =∠=︒．在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，所以22744cos120CD CD CD CD =+-⋅︒，解得1CD =，∴33BD CD ==．在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD B =∠∠，所以sin 3321sin 3147BD B BAD AD ∠∠===.2．如图，在ABC ∆中，线段AB 上的点D 满足33AB AD AC ==，3CB CD =，则sin sin2AB=__________．2．97【解析】设AC x CD y ==，，则33AB x BC y ==，，∴在ACD ∆中，由余弦定理，得222222992*2*cos 3*x x y x x y x x x A x+-+-==，化简得2232x y =，sin22sin cos sin sin B B BA A=222992**32*3*x x x y y x x +-=＝2228927x y y +=8317*27239+=，故sin 9sin27A B =．3．在ABC ∆中，30B ∠=︒，5AC =，D 是AB 边上一点，2CD =，ACD ∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC =__________．3．【解析】由题意，利用面积公式得152sin 22ACDSACD =∠=，解得sin 5ACD ∠=，∴ 5os c ACD ∠=，由余弦定理得到5AD =，由正弦定理,254sin sin 5A A =⇒=．又因为sin sin BC ACA B=，sin 85sin AC A BC B ==． 4．如图，ACD ∆是等边三角形，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BD 交AC 于,2E AB =，则AE =＿＿＿＿＿＿． 4．62【解析】因为9060150BCD ∠=︒+︒=︒，CB AC CD ==，所以15CBE ∠=︒，所以()62cos cos 4530CBE +∠=︒-︒=.在ABE∆中，2AB =，由正弦定理()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin30262cos15624AE ⨯︒===︒+5．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，60A =︒，D 是边BC 的中点，记sin sin ABD m BAD ∠=∠，则当m 取得最大值时，tan ACD ∠的值等于＿＿＿＿＿＿．5．3【解析】在ABC ∆中，由余弦定理，得222222cos60a b c bc b c bc bc =+-︒=+-≥．又D 是边BC的中点，∴()12AD AB AC =+,所以()22214AD b c bc =++，则在ABD ∆中，由正弦定理，得2sin sin AD ADABD t BAD BD BC ∠===∠，所以2222222223AD b c bc bc a t BC a a ⎛⎫+++===≤ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时取等号，此时，ABC ∆为正三角形，所以当t 取最大值时，tan 3ACD ∠=． 6．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()sin 2sin A A B =+，且57sin 16B =．若D 是BC 边上的一点，3cos 4ADB ∠=，则BD DC的值为＿＿＿＿＿＿．．6．【解析】（1）因为()sin 2sin 2sin A A B C =+=，所以由正弦定理得2a c =，又因为3cos 4ADB ∠=，所以7sin ADB ∠=ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB =∠，所以54AD c =．又由由余弦定理得2225532444c c c BD BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以32BD c =或38c ．因为D 是BC 边上的一点，且由图知32BD c =，因为2a c =，所以12CD c =，所以3BDDC=． 7．在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD =，120ADC ∠=︒，57cos CAD ∠=． （1）求AC 的长；（2）求梯形ABCD 的高．7．【解析】（1）在ACD 中，∵57cos CAD ∠=，∴21sin CAD ∠=由正弦定理得sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即32sin 227sin 2114CD ADC AC CAD ⨯∠===∠． （2）在ACD ∆中，由余弦定理得：2222cos120AC AD CD AD CD =+⋅⋅⋅︒， 整理得22240AD AD +-=解得4AD =．过点D 作DE AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高． ∵ABCD ，120ADC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒．在直角ADE 中，sin6023DE AD =⋅︒=，即梯形ABCD 的高为23． 8．如图所示，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，,23C AM π∠==．（1）若4A π∠=，求AB ；（2）若7BM ABC =∆，求的面积S ．8．【解析】（1）由题意得,在中，由正弦定理得，.（2）在中，由余弦定理得,,解得3BC =或1BC =-（舍去）。
正余弦定理公式推导过程
正余弦定理公式推导过程三角函数是高中数学中的重要内容之一。
在三角函数的学习中，正余弦定理是必须掌握的公式之一。
正余弦定理是解决三角形的边长和角度的关系的重要工具。
在本文中，我们将介绍正余弦定理的推导过程。
1.正弦定理正弦定理是三角函数中最基本的公式之一。
它描述了三角形的一条边与与其相对的角度之间的关系。
正弦定理的表述如下：$frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}$ 其中，a、b、c分别为三角形的三条边，A、B、C分别为三角形的三个内角。
这个公式是由三角形的相似性质和正弦函数的定义推导出来的。
2.余弦定理余弦定理是三角函数中另一个重要的公式。
它描述了三角形的一条边与其余两边之间的关系。
余弦定理的表述如下：$c^2=a^2+b^2-2abcos C$其中，a、b、c分别为三角形的三条边，C为三角形的夹角。
这个公式是由勾股定理和余弦函数的定义推导出来的。
3.正余弦定理正余弦定理是正弦定理和余弦定理的结合。
它描述了三角形的一条边与其余两边和夹角之间的关系。
正余弦定理的表述如下：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$$b^2=a^2+c^2-2accos B$$c^2=a^2+b^2-2abcos C$其中，a、b、c分别为三角形的三条边，A、B、C分别为三角形的三个内角。
这个公式是由正弦定理和余弦定理的结合推导出来的。
4.推导过程现在我们来推导正余弦定理。
我们以第一个公式为例：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$首先，我们用正弦定理将cos A表示出来：$cos A=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$将这个式子代入余弦定理中：$a^2=b^2+c^2-2bccdotfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$化简得：$a^2=b^2+c^2-b^2-c^2+a^2$即：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$这就是正余弦定理的第一个公式。
专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题24正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.基础知识融会贯通1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .重点难点突破【题型一】利用正、余弦定理解三角形【典型例题】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且．（1）若C ＝60°且b ＝1，求a 边的值；（2）当时，求∠A 的大小．【解答】解：（1）由，，∴a ＝2b •sin C ，∵C ＝60°且b ＝1，∴a ；（2）当时，，∵b2+c2﹣2bc•cos A，∴，即，∴，得sin（A）＝1．∵A∈（0，π），∴A∈（），则A，得A．【再练一题】在△ABC中，AB＝6，．（1）若，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD＝2DC，AD＝BD，求BC的长．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：，所以sin C＝1，，所以，所以．（2）设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理可得解得：所以．思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【题型二】和三角形面积有关的问题【典型例题】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，因为sin B≠0，所以，即．因为0＜A＜π，所以．……………………………………（2）因为a＝2，所以，所以，因为，所以当且仅当时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为．………………【再练一题】如图所示，在平面四边形ABCD中，若AD＝2，CD＝4，△ABC为正三角形，则△BCD面积的最大值为．【解答】解：设∠ADC ＝α，∠ACD ＝β，由余弦定理得：AC 2＝42+22﹣2×4×2cos α＝20﹣16cos α，∴cos β，又由正弦定理可得，则sin β，∴S △BCD BC •CD •sin （β）＝2BC （sin βcos β）＝2BC •（••）＝4sin （α）+4，故△BCD 面积的最大值为4+4，故答案为：4+4思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【题型三】正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状 【典型例题】已知a ．b ．c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若c ＜b cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵c ＜b cos A ，∴利用正弦定理化简得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．【再练一题】在△ABC中，若22，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：∵22，∴c2﹣a2＝bc cos A，∴c2﹣a2＝bc•，化简可得：c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故选：B．命题点2求解几何计算问题【典型例题】在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2，B＝60°，△ABC的面积为，则a+c＝（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：△ABC中，b＝2，B＝60°，所以△ABC的面积为S ac sin B ac•，解得ac＝4；又b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣12，所以（a+c）2＝16，解得a+c＝4．故选：A．【再练一题】如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，∠BAC＝90°，．（1）设∠DAC＝30°，求角B的大小；（2）设BD＝2DC＝2x，且，求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．∵AC DC，∴sin∠ADC sin∠DAC．又∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B，∴∠ADC，∴∠C＝π，∴∠B；（2）设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC x，∴sin B，cos B，AB x．在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即：（2）2＝6x2+4x2﹣2x×2x2x2，得：x＝2．故DC＝2．思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．基础知识训练1．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一)】平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ） A ．4 BCD【答案】B 【解析】 如图所示：平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4， 则：在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：22249161cos 22234AB BC AC ABC AB BC +−+−∠===−⋅⋅⋅，故：1cos cos 4DAB ABC ∠=−∠=， 则：2222?•DAB BD AD AB AD AB cos ∠=+−， 解得：． 故选：B ．2．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2C ．12x xD．【答案】C由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+−⋅⋅ 234150AC AC ⇒−−=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C. 3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23πB ．3πC ．6πD ．56π 【答案】D 【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A +=−，)cos A C B b A +==−，sin cos B b A =−，sin sin cos A B B A =−， ∵sin 0B >，cos A A =−，即：tan 3A =−， ∵(0,)A π∈， ∴56A π=. 故选：D ．4．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题】在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，满足22()6,3c a b C π=−+=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．2D ．32【答案】B，∴22226c a ab b =−++，又，由余弦定理可得： 222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−∴ 222226a ab b a b ab −++=+−，解得：6ab =，由三角形面积公式可得1sin 22ABC S ab C ∆==故答案选B 。
余弦定理公式大全
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
正余弦定理
a=1,b= 2， 则B=(C )
3 A 3 3 B 3C D 2 3 2
•命题方向1⇨利用正弦、余弦定理解三角形边角
3.在△ABC中，a=4, b 2 3, C=30°，则边c等于( B)
知识梳理
1．三角形中的边角关系及三角函数关系 (1)A+B+C=1800 (2)若 a>b>c 则 A>B>C 且 sinA>sinB>sinC －cosC (3)sinA＝sin(B＋C)；cos(A＋B)＝__________ ， －tan(A＋B)等； tanC＝__________ A＋C B＋C A B cos (4)sin ＝cos ，sin ＝____________ 2 等； 2 2 2
余弦定理 ①已知三边,求各角 ②已知两边和它们的
解决 ，求其他边和角
的问 ②已知两边和其中一 夹角,求第三边和其 边的对角，求其他边 题 他角 和角
•命题方向1⇨利用正弦、余弦定理解三角形边角
1在△ABC中,A= , 6
3 A B 4 4 3பைடு நூலகம் 5 D 或 C 或 4 4 6 6 2.在△ABC中，a=3,A=30°,B=60°，则b等于( A )
三角形问题要注意隐含条件的运用及三角公 式的运用
A
3 B 2 C 2 3 D 3
4.已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4，则 cos C等于(B )
1 1 1 1 A B C D 4 4 3 3
•命题方向3 ⇨正弦、余弦定理的综合应 用
例 3△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC(acosB＋bcosA) ＝c， (1)求 C； 3 3 (2)若 c＝ 7 ，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 2
正弦定理余弦定理
03
正弦定理与余弦定理的关 联
正弦定理与余弦定理的相似之处
01
两者都是关于三角形边角关系的定理，是三角学中 的基本定理之一。
02
它们都可以用来解决与三角形相关的问题，如求角 度、边长等。
03
正弦定理和余弦定理在形式上具有一定的对称性， 反映了三角形的内在规律。
正弦定理与余弦定理的不同之处
01
02
03
正弦定理主要应用于求解三角形 的角度，特别是当已知两边及其 夹角时；而余弦定理则更常用于 求解三角形的边长，特别是当已 知两角及一边时。
正弦定理中的角度是通过正弦函 数来表达的，而余弦定理中的角 度则是通过余弦函数来表达的。
正弦定理和余弦定理在应用上有 一定的互补性，可以根据具体问 题选择使用。
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理是三角学的基本定理之一，它指出在任意三角形ABC中，任意一边的平方等于其他两边的平 方和减去两倍的另一边的长度与相邻两边的乘积。数学公式表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) 。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正 弦函数，这使得正弦定理在电力 系统中有着广泛的应用。
声学
声音的传播和反射可以用正弦和 余弦函数来描述，这使得余弦定 理在声学中有重要应用。
三角函数在工程中的应用
1 2
结构设计
在建筑和机械设计中，正弦和余弦定理常被用来 计算角度、长度等参数，以确保结构的稳定性和 安全性。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题中具有广泛 的应用，包括求解角度、判断三角形的 形状以及解决实际问题等。
考点17 正、余弦定理及解三角形-备战2020年高考数学(理)考点一遍过
考点17 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .（1）12S ah = (h 为BC 边上的高)； （2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ． 3．测量中的术语 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． （3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.典例1 在ABC △中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若bsin2A +√3asinB =0，b =√3c ，则ca的值为A ．1 BC ．5D ．7【答案】D【解析】由bsin2A +√3asinB =0，结合正弦定理，可得sinBsin2A +√3sinAsinB =0， 即2sinBsinAcosA +√3sinAsinB =0， 由于sinBsinA ≠0，所以cosA =−√32， 因为0＜A ＜π，所以A =5π6．又b =√3c ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =3c 2+c 2+3c 2=7c 2， 即a 2=7c 2，所以ca =√77. 故选D ．典例2 已知ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且asinA +bsinB +√2bsinA =csinC . （1）求C ；（2）若a =2,b =2√2,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.【解析】（1）因为asinA +bsinB +√2bsin A =csinC ,所以a 2+b 2+√2ab =c 2. 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−√22， 又0<C <π，所以C =3π4.（2）由（1）知C =3π4,根据余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =22+(2√2)2−2×2×2√2×(−√22)=20，所以c =2√5.由正弦定理得csinC =bsinB ，即sin 2B =，解得sinB =√55.从而cos B =. 设BC 的中垂线交BC 于点E , 因为在Rt BDE △中，cosB =BEBD ，所以cosBEBDB===，因为DE为线段BC的中垂线，所以CD=BD=√52.1．已知△ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c,且()2cos cos cosC a B b A c+=，1,3a b==，则c= A．3B．CD2．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC∠，sin2sinC B=.（1）求BDCD；（2）若1AD AC==，求BC的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在ABC△中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c，满足3cos cos sin sin cos2A C A C B++=，且,,a b c成等比数列.（1）求角B的大小；（2）若2,2tan tan tana c baA C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cosB A C=-+，32sin sin2A C∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c bA C B+=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4 在ABC △中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC +csinB ． （1）求角B ；（2）若b =2√2，求ABC △面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ， ∵sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， ∴sinB =cosB ，解得B =450．（2）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(2√2)2=a 2+c 2−2accos450， 整理得：a 2+c 2=8+√2ac ．∵a 2+c 2≥2ac （当且仅当a =c 取等号），∴8+√2ac ≥2ac ，即ac ≤4(2+√2)， ∴S ΔABC =12acsinB ≤12×4(2+√2)×√22=2√2+2，故ABC △面积的最大值为2√2+2．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5 在ABC △中，AC =2√3，D 是BC 边上的一点. （1）若AD =1,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3，求CD 的长； （2）若∠B =120°，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，AC =2√3， 所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos ∠DAC ＝1×2√3×cos ∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝√32.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2√3×1×√32＝7， 所以CD ＝√7.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，∴AB +BC =4(sinA +sinC)=4[sinA +sin(π3−A)]=4sin(A +π3)，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.∴AB +BC ∈(2√3,4]，故ABC △周长的取值范围为(4√3,4+2√3] .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ； （2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin BDC ∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =.（2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =，由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD ，且AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=， 在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =ABC △的面积． 【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-， 所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以|在ABD △1x =， 所以3AB BC ==，典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c ，且b =3，c =1，A =2B ，则a 的值为 A ．2√5 B ．4 C ．2√3D ．2√22．在ABC △中，AB =1，BC =2，则角C 的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为S ，三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若4S =a 2−(b −c)2，bc =4，则ABC △是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，10BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于 A 315B ．34C ．2D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．kmC ．D ．6．已知ABC △的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为 A ．8 B ．4 C ．8√2D ．4√27．设ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，且a =√3，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．√2D ．18． △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2 B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C = A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin (C −A )=12sinB ，且b =4，则c 2−a 2=A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C D 12．平面四边形ABCD 中，∠ABC =150°，√3AB =2BC ，AC =√13，BD ⊥AB ，CD =3，则四边形ABCD 的面积为A ．7√3B ．2C ．√3+1D ．√3+213．已知△ABC ，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为 .15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =−√1010，b =√2，c =√5．（1）求a ；（2）求cos(B −A)的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值； （2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数f(x)=2cosx(cosx +√3sinx).（1）当x ∈[π24,7π12]时，求f(x)的值域；（2）在ABC △中，若f (B )=−1,BC =√3,sinB =√3sinA,求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π64．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．5．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．6．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．7．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．8．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．10．（2019年高考北京卷理数）在ABC △中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．11．（2019年高考天津卷理数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．12．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．13．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .14．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.15．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．16．（2018北京理科）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cosC a B b A c+=，由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sinC A B B A C+=，所以()2cos sin sinC A B C+=，即2cos sin sinC C C=，所以在△ABC中，1cos2C=，又因为2221cos,1,322a b cC a bab+-====，所以c=故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD中，sin sinAD BDB BAD=∠，在△ACD中，sin sinAD CDC CAD=∠，又因为BAD CAD∠=∠，则sin2sinBD CCD B==.（2）sin2sinC B=，由正弦定理得22AB AC==，设DC x=，则2BD x=，由余弦定理得222254cos cos24AB AD BD xBAD CADAB AD+--∠==∠⋅，2222222AC AD CD xAC AD+--==⋅.因为BAD CAD∠=∠，所以2254242x x--=，解得2x=.则3BC x==3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =， 则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos 2B ∴=-由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=．（2）2π3,3c b C ===，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()22224A B C B C B C =+=+=-+=．113sin 2244ABC S bc A ∴===△．5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===， ]1sin )1sin sin()L a b c B C B A B ∴=++=+=+++1π12cos 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， π2πππ5π,0,,,33666A B B ⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L ∈.故ABC △的周长L 的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos 2a B b c +=，及正弦定理可得：2sin cos sin 2sin A B B C +=， 则2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+， 整理得sin 2cos sin B A B =， 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >， 所以1cos 2A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）在Rt △ABD中，2sin sin 3BD AD A ===，则1AB ==， 因为D 为AC 的中点，所以24AC AD ==，在△ABC 中，由余弦定理可得222π41241cos133BC =+-⨯⨯⨯=，所以BC =．7．【解析】（1）在△CDE 中，3609015105150DCE ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∴1111sin150112224△CDE S CD CE =⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）. （2）如图，连接AB ，根据题意知，在Rt △ACD中，tan 1tan60AC DC ADC =⋅∠=⨯︒=（百米）， 在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⨯⋅∠===∠（百米），()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒4=，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则2322AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ， 则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)22262x x x x x x +=++=++， 故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π． （2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=， 所以π1sin(2)62A +=， 又ππ13π2(,)666A +∈， 所以π5π266A +=， 所以π3A =， 又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-， 所以2()31b c bc +-=， 所以1bc =，则1sin 2△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a =故选C ． 2．【答案】A 【解析】因为sin sin AB BC C A=，所以sinC =12sinA ，所以0<sinC ≤12， 又AB <BC ，则C 必为锐角，故C ∈(0,π6]. 3．【答案】A【解析】∵4S =a 2−(b −c)2，bc =4，∴4×12bcsinA =2bc −(b 2+c 2−a 2)， 可得2sinA =2−2cosA ，则sinA +cosA =1，可得sin (A +π4)=√22， ∵0<A <π，∴π4<A +π4<5π4，∴A +π4=3π4，解得A =π2.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B. 6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号， 所以2AB +AC 的最小值为8. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，所以(b +c)2−a 2=3bc ， 即b 2+c 2−a 2=bc ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12,A ∈(0,π)，所以A =π3，因为a =√3，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==. 故选D ． 8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos 22b c a A bc +-∴===，sin 2A ∴==，11sin 42222△ABC S bc A ∴==⨯=.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ，由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅， 所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知sin (C −A )=12sinB =12sin (A +C ),即2sinCcosA −2cosCsinA =sinAcosC +cosAsinC ，即sinCcosA =3sinAcosC ， 由正弦定理和余弦定理得：c ⋅b 2+c 2−a 22bc=3a ⋅a 2+b 2−c 22ab，即b 2+c 2−a 2=3a 2+3b 2−3c 2，即4c 2−4a 2=2b 2=2×16=32， 则c 2−a 2=8. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224+⨯=， 故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为√3AB =2BC ，所以设AB =2x,BC =√3x ， 又∠ABC =150°，AC =√13，所以由AC 2=AB 2+BC 2−2AB •BC •cos∠ABC ， 得13=4x 2+3x 2−4√3x 2cos150∘=13x 2，所以x =1， 所以AB =2,BC =√3， 又BD ⊥AB ，所以∠DBC =60°，由余弦定理可得，CD 2=BD 2+BC 2−2BD •BC •cos∠DBC ， 可得9=BD 2+3−√3BD ，解得BD =2√3， 故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒11222=⨯⨯=故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C====2sin 60a∴=，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =+1，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 24S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ， 得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.16．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin a C A cc ⨯⎤===⎥⎣⎦．故答案为31⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =2+5−2×√2×√5×(−√1010)=9，解得a =3．（2）在ABC △中，由cosA =−√1010得A ∈(π2,π)，∴sinA =2A =√1010=3√1010， 在ABC △中，由正弦定理得asinA=bsinB，即sin B =， ∴sinB =√55， 又A ∈(π2,π)，故B ∈(0,π2)， ∴cosB =√1−sin 2B =√1−(√55)2=2√55， ∴cos(B −A)=cosBcosA +sinBsinA =2√55×(−√1010)+√55×3√1010=√210．18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =. （2）由正弦定理得sin sin aB b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos36sin226B B B⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，又因为2π(0,)3B∈，所以ππ5π(,)666B+∈，则π1sin(,1]62B⎛⎫+∈⎪⎝⎭.从而π36sin(6,9]6B⎛⎫++∈⎪⎝⎭.因此△ABC周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n，∴sin cosb A B=，由正弦定理，得sin sin cosB A A B=，∵sin0A>，∴sin B B=，即tan B=∵0πB<<，∴（212ac=，解得4ac=，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得221422a c ac=+-⨯2()3a c ac=+-2()12a c=+-，故4a c+=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC∠=︒，18AB=，15230AC=⨯=，BCAα∠=．在ABC△中由余弦定理可得2222cos1764BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠=，所以42BC=，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时．（2）在ABC△中，18AB=，120BAC∠=︒，BC=42，BCAα∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BCα=︒，所以18sin1202sin4214ABBCα⨯⋅︒===．21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得，即BCA2sin)sin(=+，所以BB2sinsin=．又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =， 所以2π3AC +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-π1)3A =-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤，所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝． 22．【解析】（1）f(x)=2[√32sin2x +12(cos2x +1)] =2sin(2x +π6)+1. ∵x ∈[π24,7π12]，∴2x +π6∈[π4,4π3].当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值3； 当2x +π6=4π3，即x =7π12时，f(x)取得最小值1−√3，故f(x)的值域为[1-√3，3].（2）设ABC △中A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c. ∵f(B)=−1,∴sin(2B +π6)=−1 . ∵0<B <π,即π6<2B +π6<2π+π6. ∴2B +π6=32π,得B =23π.又∵BC =√3，即a =√3,sinB =√3sinA,即b =√3a,∴b =3. 易得sinA =12.∵0<A <π3，∴A =π6，∴C =π6. ∴S ΔABC =12absinC =12×√3×3×12=3√34.23．【解析】（1）在ABC △中，∵1,45AB BC ABC ==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴1AC =，则ABC △为等腰直角三角形， ∴135BCD ∠=°， 在△BCD中，1,135BC CD AC BCD ===∠=︒ ，由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-， 又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sin ACB ∠=∴π()cos cos sin 2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max 9BD =，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则， 故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 3．【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =， 因为()0,πC ∈，所以π4C =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.4．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 44DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =， 因此B =60°．（2）由题设及（1）知ABC △的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°， 由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. （2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.。
正弦定理和余弦定理详解
高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC·2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上〔如图〕，可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a cA C=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===，∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b cB C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+． 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
2020年高考数学(理)高频考点 三角函数与解三角形 专题10 高考常考题型综合解析(解析版)
三角函数与平面向量10 高考常考题型综合解析一、具体目标：高考对本内容的考查主要有：(1)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.(2)三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量结合考查，构成基础题. 二、知识概述：1.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 2.常见三种函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象【考点讲解】单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π (k ∈Z )上单调递增； 在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝ ⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上单调递增 对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0 (k ∈Z )；对称轴：x＝k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )【温馨提示】1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. 3.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.4.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.5.已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（ ）2sin cos ++x xx x 【真题分析】A ．B ．C ．D ．【解析】本题考查函数的性质与图象，由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【答案】D2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．【答案】C3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x | 【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【答案】A4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）A ．15B ．55C ．33D ．255【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【答案】D6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．2-C ．2D ．2【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()24g =，∴2A =，∴()2sin 2f x x =，3π() 2.8f =故选C.【答案】C7.【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 【解析】因为()πcos sin 2cos 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ，因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【答案】A 8.【2018年高考天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A. 【答案】A9.【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ． B ． C ．2A B = D ．2B A = 【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【答案】A10.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭a b c 2a b =2b a =()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+.综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21011.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =， 解得23,23c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 【答案】6312．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【答案】1225，721013.【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【答案】π6-14.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-15.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==， ∴1115cos ,sin 14164DBC DBC ∠=-∠=-=， ∴115sin 22BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=， 解得10cos 4BDC ∠=或10cos 4BDC ∠=-（舍去）． 综上可得，△BCD 面积为152，10cos 4BDC ∠=． 【答案】1510,2416.【2019年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=，即631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<<，所以()2sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=．【答案】（1）60A ︒=；（2）62sin 4C +=.17.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 18.【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a aa cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得215sin 1cos 4B B =-=， 从而15sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 【答案】（1）14-；（2）35716+-.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）. （2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用. 由题意可知,π=++C B A 所以有()C A B +=sin sin ，所以原等式可整理成:()sin sin (sin cos )0++-=A C A C C ,也就是：sin cos cos sin sin sin sin cos 0++-=A C A C A C A C ，【模拟考场】即()sin sin cos 2sin sin 04π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭C A A C A ，因为是三角形△ABC ，.0π或≠C 所以有43π=A .由正弦定理得：C c A a sin sin =，得.6,21sin π==C C 得【答案】B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D ．3【解析】解法1：(余弦定理)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝1＋c 2－2c ×1×cos π3＝1＋c 2－c ，所以c 2－c －2＝0.所以c ＝2或－1(舍去)．法2：(正弦定理)由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，所以sin B ＝12，因为b <a ，所以B ＝π6，从而C ＝π2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，所以c ＝2.【答案】B3.函数y =2xsin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选 D.【答案】D4.设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【答案】D5.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 【答案】A6.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【答案】D7.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【答案】88.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 9.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC . 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒， 所以223cos 1255ADB ∠=-=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠225825225=+-⨯⨯⨯25=.所以5BC =. 【答案】（1）235；（2）5. 10. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得33b c +=.故△ABC 的周长为333+.【答案】（1）23；（2）333+. 11. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =． 又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=所以2b =．【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【答案】（1）33c =；（2）255. 13.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107,40AC AM ==，所以2240(107)30MC =-=，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．。
三角函数正余弦定理
二解还是无解．
课堂互动讲 练
互动探究
若例 1 的要求不变，条件为(1)a＝7， b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
课堂互动讲
练 解：(1)a＝7，b＝8，a<b，∴B>A＝105°>90°.
∴本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，b<c， ∴B<C＝60°<90°.∴本题有一解．
解得a＝2 3 3，
b＝4
3
3 .
10 分
课堂互动讲
练
所以△ABC 的面积
S＝
12absinC＝
1× 2
2 3
3×4 3
3×
3 2
＝23
3 .
12 分
易误点评 在第 2 题中容易犯约分的错误而不分cosA＝0
和cosA≠0去讨论．
课堂互动讲 练
高考检阅
(本题满分 12 分)(2009 年高考湖北 卷)在锐角 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、 B、C 所对的边，且 3a＝2csinA.
∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
课堂互动讲 练
法二：ccoossBC＝－2sinsAin＋BsinC ∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0 ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∴cosB＝－12，∴B＝23π.
课堂互动讲 练
A．60° C．135° 答案：B
B．120° D．150°
三基能力强
化
2．在 ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b ＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45°
模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：a2＝b2+c2﹣2bc cos∠Ab2＝a2+c2﹣2ac cos∠Bc2＝a2+b2﹣2ab cos∠C．正弦面积公式：S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B例题精讲【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为10，点O到AB的距离的最大值为5+5．解：作△OAB的外接圆，如图，∵＝，∴当∠ABO＝90°，△ABO是等腰直角三角形时，点O到顶点A的距离最大．则OA＝AB＝10．点O到AB的距离的最大值为5+5．故答案是：10，5+5．变式训练【变式1-1】．以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为6．解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝，∴∠APB＝∠ACB＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，∵P为弧AC的三等分点，∴∠ABP＝∠ABC＝20°，∴∠PBC＝40°，∴∠PAC＝∠PBC＝40°，∴∠PAB＝∠BAC+∠PAC＝100°，∵，，∴，，∵＝2，∴PA＝2sin20°，PB＝2sin100°，PC＝2sin40°，∴PA2+PB2+PC2＝4[sin220+sin280+sin240]＝4[++]＝4[﹣cos（60°﹣20°）+cos20°﹣cos（60°+20°）]＝6．故答案为：6．【变式1-2】．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5（3+）海里，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°，在△DAB中，由正弦定理得，∴DB＝，＝，＝，＝，＝10（海里），又∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝30°+（90°﹣60°）＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC＝300+1200﹣2×10×20×＝900，∴CD＝30（海里），则需要的时间t＝＝1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时．【例2】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求AD 的长．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6，∴AD＝6．变式训练【变式2-1】．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于点O，∠AOB＝60°．求S四边形ABCD＝506．解：设BO＝x，AO＝y，CO＝a，DO＝b，由余弦定理，得．由（③+④）﹣（①+②）得：ax+by+ab+xy＝2024．＝xy sin60°+ax sin120°+ab sin60°+by sin60°＝所以S四边形ABCDxy+ax+ab+by＝（ax+by+ab+xy），所以．故答案是：506．【变式2-2】．如图，圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．解：∵，．∵AC平分BD，∴BP＝DP，＝S△ADC，∴S△ABC∴．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴sin∠ADC＝sin∠ABC，cos∠ADC+cos∠ABC＝0，∴AB•BC＝AD•CD，∴，即AB2+BC2+AD2+CD2＝10．1．若△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解：∵△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，∴由正弦定理可设a＝5k，b＝11k，c＝13k，由余弦定理得：cos C＝＝＝﹣＜0，∴∠C是钝角，∴△ABC是钝角三角形，故选：C．2．如图，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或直角三角形解：方法1：过A作AE垂直BC于E，令BD＝2xCD＝3x则BC＝5x，∵AB＝AD＝2，∴BE＝x，cos B＝，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B即16＝4+25x2﹣10x2，解得，x＝，∴△ABC用余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos A即20＝4+16﹣16cos A，∴cos A＝0，∠A＝90°．方法2：过点D作AB平行线交AC于E，因此很容易得到DE：AB＝CE：CA＝CD：CB＝3：5，那么DE＝1.2；AD＝2，AE＝1.6，由勾股定理得△AED构成一个直角三角形，即△ABC是直角三角形故选：B．3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．2B．+1C．2D．解：∵∠B＝45°、AC＝2，∴由余弦定理cos B＝得：＝，∴ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，即（2﹣）ac≤4（当且仅当a＝c时取等号），∴ac≤＝2（2+）＝4+2，∴△ABC的面积S＝ac sin B≤（4+2）×＝1+，则△ABC的面积的最大值为1+，故选：B．4．△ABC中，，，BC＝2，设P为BC边上任一点，则（）A．PA2＜PB•PCB．PA2＝PB•PCC．PA2＞PB•PCD．PA2与PB•PC的大小关系并不确定解：如图，设BP＝x，PC＝2﹣x，在△ABC中，由余弦定理，有＝，在△ABP中，由余弦定理，有PA2＝AB2+BP2﹣2AB•BP cos B＝，∴PA2＝x2﹣5x+8，而PB•PC＝x（2﹣x）＝2x﹣x2，令y＝PA2﹣PB•PC＝x2﹣5x+8﹣2x+x2＝，∴PA2＞PB•PC．故选：C．5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A．78.5B．97.5C．90D．102解：设AB＝5，BC＝10，CD＝11，AD＝14，∵52+142＝102+112，∴BD2＝AB2+AD2＝BC2+CD2，∴∠A＝∠C＝90°，＝AB•AD+BC•CD＝5×7+5×11＝90．故选：C．∴S四边形6．如图，点1为单位正方形内一点，且AE＝BE＝AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（）A．B．C．D．解：如右图所示，∵AE＝BE＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠AEB＝60°，又∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，∴∠AFG＝30°，∴AF＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣1，在△EFG中，EG2＝EF2+FG2﹣2×EF×FG×cos30°＝，∴EG＝．（作EH⊥FG，求出EH，GH，利用勾股定理即可解决问题）故选：D．7．设△ABC的三边为a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，则sin A：sin B：sin C ＝7：5：3．解：由已知，设（k＞0），得b+c＝4k，c+a＝5k，a+b＝6k，三式相加，得a+b+c＝k，∴a＝k，b＝k，c＝k，∴sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝7：5：3．8．已知在△ABC中，有一个角为60°，，周长为20，则三边长分别为5，7，8．解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．由题意，可得，，，解得a＝7，b＝5，c＝8或a＝7，b＝8，c＝5，所以，△ABC三边长分别为5，7，8．故答案为：5，7，8．9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD为∠C的角平分线，则CD＝．解：令CD＝x，由正弦定理可知：S△ABC＝9＝×3×x•sin45°+×6×x•sin45°，故x＝．故答案为：2．10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的长是6．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6．故答案是：6．11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，则AC＝35．解：作CD交AB于D，使∠ACD＝∠A，由已知得∠BCD＝2∠A，又因∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，所以∠BCD＝∠BDC，BD＝CB＝27，CD＝AD＝AB﹣BD＝21，在△CBD和△ABC中，由余弦定理，得：，解得：AC＝35．故答案为：35．12．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D为AC中点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，BD＝，则AC的长为4．解：设AE＝x（x＞0），BE＝BC＝y（y＞0），∵∠A＝45°，DE⊥AB，∴AE＝DE＝x，在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，即x2+y2＝87…①，在Rt△ADE中，AD＝＝x，又∵D为AC中点，∴AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos A，即y2＝（x+y）2+8x2﹣2（x+y）×2x×，整理得：5x2﹣2xy＝0，解得：y＝x…②，将②代入①得：x＝2，∴AC＝2x＝4．故答案为：4．13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是2＜a＜4．解：法一：由正弦定理得：＝，即＝，再sin A＝，由题意得：当60°＜∠A＜120°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得2＜a＜4；法二：由题，对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，例如下图所示，在BC为定值时，存在两个不全等的△ABC与△A′BC，∴两个不全等的△ABC中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形（∠CAB为钝角），①当△ABC为锐角三角形时，假设0°＜∠A＜60°，如下图所示，在图中无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，②当△ABC为锐角三角形时，假设∠A＝60°，如下图所示，△ABC为等边三角形，在图中也无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，∴综上，当△ABC为锐角三角形时，∠A必须满足：90°＞∠A＞60°，∵当∠A＝60°时，△ABC为等边三角形，此时BC＝2，∵当∠A＝90°时，△ABC为直角三角形，此时BC＝4，∴对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，则BC需满足：2＜BC ＜4，∴2＜a＜4；故答案为：2＜a＜4．14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB 的长．解：∵AD＝，AC＝3，CD＝，∴AC2＝32＝9，AD2＝3，CD2＝6，∴AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∵∠B＝45°，∴AB＝AD＝•＝．15．如图，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，点D在AB上，点E在AC上，且DE平分△ABC的面积，求线段DE长度的最小值．＝＝30，sin A＝解：在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝．∵DE平分△ABC的面积，＝S△ABC＝15．∴S△ADE令AD＝a，AE＝b，有：ab sin A＝15．故ab＝78．∴．故DE长度的最小值为．16．如图，在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，且AD＝BC＝a（a为常数），AC＝b，AB＝c，求最大值．解：由题意知bc sin A＝a•a，即bc sin A＝a2．又∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2＝a2+2bc cos A，∴＝＝＝＝sin A+2cos A．又∵sin A+2cos A＝（sin A+cos A）＝sin（A+B）．∴最大值为．17．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．解：（1）由余弦定理，可得cos E＝，∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，∴＝，解得EF＝1或3；（2）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．∵在RT△ADC中，AD＝1．∴AC＝2，CD＝，∵在RT△ADB中，AD＝1，∴AB＝，BD＝1，∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，利用余弦定理可得cos105°＝＝＝．18．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：①正弦定理：＝＝②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C．③S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2a sin B＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．解：（1）∵2a sin B＝b，利用正弦定理＝得：a sin B＝b sin A，∴2b sin A＝b，∵sin B≠0，∴sin A＝，又∵A为锐角，∴A＝；（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝64﹣3bc，∴bc＝，又∵sin A＝，＝bc sin A＝．∴S△ABC19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，则y与x之间的函数关系式y＝x+45；（2）若△BDC三边的长是三个连续整数，求sin A；（3）在（2）的条件下求△ADC的面积．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝x°，∴∠ACB＝∠B＝，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝x°+＝，∴y＝x+45．故答案为y＝x+45；（2）∵∠BCD＝∠ACB＝＝45°﹣x°，∠BDC＝x°+45°，∠DBC ＝2∠BCD，∴∠BCD＜∠BDC，∠BCD＜∠DBC，∴△BCD中BD边最小．作∠ABC的平分线交CD于E．∵∠DBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，∠BDE＝∠CDB，∴△BDE∽△CDB，∴BD：CD＝BE：BC＝DE：BD．（*）设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．下面分两种情况讨论BC与CD的关系：①当BC＞CD时，设BD、CD、BC分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．将它们代入（*），得＝＝，由＝，得z＝，由＝，得n+1﹣z＝，两式相加，得n+1＝，解得n＝1．由三角形三边关系定理可知1，2，3不能组成三角形，所以BC＞CD不成立；②当BC＜CD时，设BD、BC、CD分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+2﹣z．将它们代入（*），得＝＝，由＝，得z＝，由＝，得n+2﹣z＝，两式相加，得n+2＝，解得n1＝4，n2＝﹣1（不合题意，舍去），∴BD＝4，BC＝5，CD＝6．∵CD平分∠ACB，∴AD：BD＝AC：BC，∴AD：4＝AC：5，设AD＝4x，则AC＝5x，∵AB＝AC，∴4x+4＝5x，∴x＝4，∴AB＝AC＝20．在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝5，由余弦定理，得cos A＝＝，∴sin A＝＝；（3）△ADC的面积＝×16×20×＝15．20．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．解：连接OC，如图．∵MC与⊙O相切，∴OC⊥MC．∵CM⊥AD，∴OC∥AM．∵CE∥AB，∴四边形AOCE是平行四边形，∴OA＝CE＝7，∴AB＝14．∵点C是弧BD的中点，∴BC＝CD＝6．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝4．∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，∴＝＝＝，∴AG＝AC＝．在Rt△ACB中，cos∠BAC＝＝＝．∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，∴cos∠EAG＝．在△EAG中，cos∠EAG＝．∴＝．∵AG＝，AE＝CE＝7，∴＝．整理得：GE2＝．∵GE＞0，∴GE＝．∴EG的长为．。
正余弦定理及面积公式
正余弦定理及⾯积公式正余弦定理及⾯积公式⼀，,知识点回顾：正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
⾯积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===?三⾓形内⾓和π=++C B A)tan(tan )sin(sin )cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π⼆，基础训练：1,在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ， 45=∠B ，求b 及A ；2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三⾓形3,在?ABC 中,53cos ,135cos =-=B A ,（1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的⾯积4，设锐⾓?ABC 的内⾓Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,且A b a sin 2= （1）求B ∠的⼤⼩（2）若b c a 求,5,33==5，在?ABC 中，已知54cos ,3,2-===A a b（1）求B sin 的值（2）求)62sin(π+B 的值6，在?ABC 中，53tan ,41tan ==B A（1）求C ∠的⼤⼩（2）若AB 的边长为17，求BC 边的长7，设?ABC 的内⾓Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3,3,1π=∠==c c a ，则A ∠的值8，设?ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+（1）求边长AB 的长（2）若?ABC 的⾯积为C sin 61，求⾓C9，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 5522cos ,4,2==∠=BC a π，求?ABC 的⾯积。
10，在?ABC 中，552cos ,10,45===∠C AC B （1）求BC 边的长（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长11，在?ABC 中，已知 30,4,334=∠==A b a ，则=B sin 12，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,已知 ,1,3,3===∠b a A π求c 的长度。
正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)
正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值． 【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． 【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5， 若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】 【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长． 【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=， 设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+， 解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ， 故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里， 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． （2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（ ）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（ ） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】 因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==， 故111tan tan A B+=， 若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =， 代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-． 故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】 由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。
正余弦定理三角形一些公式
1 / 1 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b AR a R R Cc B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin =========变形有：为外接圆的半径三角形的面积公式：A bcB acC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即ab c b a C ac b c a B bca cb A C ab b ac B ac c a b Abc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状：为锐角三角形，为直角角三角形为钝角三角形ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ∆+<+<+<∆+=∆+>222222222222222,,三角形中有：形为正三角形成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A CB AC B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+∆两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 二倍角公式： ααααββααααα22222tan 1tan 22tan 1cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin -=-=-=-==半角公式：。
余弦定理推导三角形面积公式
余弦定理推导三角形面积公式
余弦定理是用来计算一个三角形的边长或角度的定理。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，对应的内角分别为A、B和C。
根据余弦定理，可以推导出三角形面积的公式。
首先，根据余弦定理可以得到以下公式：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
进一步，我们可以将三角形的面积S表示为一个三角形的一条边长和与其对应的两个内角的正弦值的乘积的一半，即：
S = (1/2) · a · b · sin(C)
接下来，我们将a和b表示为两个向量的模长，即：
a = |A|
b = |B|
然后，我们可以将向量A和B表示为它们的坐标差值向量，即：
A = (x₁, y₁)
B = (x₂, y₂)
根据向量的模长公式，我们可以得到：
|A| = √(x₁² + y₁²)
|B| = √(x₂² + y₂²)
接着，我们可以求出向量A和B的点积，即：
A·B = x₁x₂ + y₁y₂
将以上求得的结果代入面积公式，可以得到：
S = (1/2) · √(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²) · sin(C)进一步化简，我们可以得到：
S = (1/2) · √[(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²) - (x₁x₂ +
y₁y₂)²] · sin(C)
这就是通过余弦定理推导出的三角形面积的公式。
正弦定理面积
正弦定理面积一、引言正弦定理是三角形中常用的一个定理，它可以帮助我们计算任意三角形的边长或角度。
在三角学中，正弦定理是解题的重要工具，它可以通过三边之间的关系，求解三角形的面积。
本文将深入探讨正弦定理在计算三角形面积中的应用。
二、什么是正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三角形任意一条边的长度与该边相对的角的正弦比相等。
具体表示如下：a sinA =bsinB=csinC其中，a、b、c表示三角形的任意一条边的长度，A、B、C表示对应边上的角。
三、正弦定理面积的推导我们知道，三角形的面积可以通过底长和高的乘积的一半来计算，即S=12bℎ。
在三角形中，我们可以通过正弦定理找到三角形的高，并利用这个高来计算三角形的面积。
假设我们有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C。
接下来，我们假设h为从顶点C到边AB的垂直距离（即三角形的高），那么根据正弦定理，我们可以得到以下关系：a sinA =ℎsinC根据三角形面积的计算公式，我们可以得到三角形ABC的面积S：S=12bℎ=12aℎsinC将正弦定理中的关系带入上式，可以得到：S=12a(asinCsinA)sinC=a2sinCcosC2sinA同理，我们可以通过对边b和c应用正弦定理得到相同的结果。
综上所述，正弦定理面积的公式为：S=a2sinCcosC2sinA=b2sinAcosA2sinB=c2sinBcosB2sinC四、正弦定理面积的应用利用正弦定理面积公式，我们可以解决一些与三角形面积相关的问题。
以下是一些实际应用的例子：1. 已知三角形两边和夹角，求三角形面积如果我们已知三角形两边的长度a和b，以及夹角C的大小，可以通过正弦定理面积公式来计算三角形的面积。
首先，我们需要通过余弦定理来求解对应的角A和B。
接下来，带入正弦定理面积公式中的相应参数，即可得到三角形的面积。
2. 已知三角形的三边长度，求三角形面积如果我们已知三角形的三边长度a、b、c，可以通过正弦定理计算出三个角的大小，然后再利用正弦定理面积公式求解三角形的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作者：空青山
作品编号：89964445889663Gd53022257782215002 时间：2020.12.13
正余弦定理及面积公式
一，,知识点回顾： 正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos
C 。
面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆ 三角形内角和 π=++C B A
)
tan(tan )
sin(sin )
cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π
二，基础训练：
1,在∆ABC 中，已知=a c
45=∠B ，求b 及A ； 2,在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 3,在∆ABC 中,5
3cos ,135cos =-
=B A , （1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求∆ABC 的面积
4，设锐角∆ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,
且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33== 5，在∆ABC 中，已知5
4cos ,3,2-
===A a b （1）求B sin 的值 （2）求)6
2sin(π
+B 的值
6，在∆ABC 中，5
3tan ,41tan ==
B A （1）求
C ∠的大小
（2）若AB 的边长为17，求BC 边的长 7，设∆ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3
,3,1π
=
∠==c c a ，则A ∠ 的值
8，设∆ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =
+
（1）求边长AB 的长 （2）若∆ABC 的面积为
C sin 6
1
，求角C 9，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 5
522cos
,4
,2==
∠=B C a π
，求∆ABC 的面积。
10，在∆ABC 中，5
5
2cos ,10,45===∠C AC B
（1）求BC 边的长
（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长 11，在∆ABC 中，已知 30,4,3
3
4=∠==
A b a ，则=
B sin 12，在∆AB
C 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,已知 ,1,3,3
===
∠b a A π
求c 的长度。
13，在∆ABC 中， 75,45,3=∠=∠=
C A AC ，则 BC 的长。
14，在∆ABC 中，已知63,31
cos ,3tan ==
=AC C B ，求∆ABC 的面 积 15，在∆ABC 中，4
3
cos ,1,2===C BC AB
（1)求A sin （2）求AC 的值
16，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若B A b a 2,2
5
==
则B cos 的值
17，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若3
,2π
=∠=C c
（1）若∆ABC 的面积为3，求a,b 的值 （2）设,2=
AB 求AB 边上的高
18，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,且4sin ,3cos ==A b B a （1）求边长a
（2）若∆ABC 的面积为10，求∆A B C
的周长
例3．在∆A B C
中，s i n c o s A A +=2
2
，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C 的面积。
例4．（06年湖南）已知ΔABC 的三个内角A 、B ．C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有2
2
)cos(22sin sin =
-+-C A C A 。
（1）求A 、B ．C 的大小；（2）求ΔABC 的的面积。
例5．（1）（2005江苏5）△ABC 中，,3,3
A BC π
==则△ABC 的周长为（ ）
A
．)33B π
++ B
．)36
B π
++
C ．6sin()33B π
+
+ D ．6sin()36
B π
++ （2
）在
45,ABC B AC C ∆∠=︒==
中，，求
（1）?BC =（2）若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
例6．在锐角ABC △中，角A
B C ，，所对的边分别为a b c ，，
，已知sin A =， （1）求2
2tan
sin 22
B C A
++的值；（2）若2a =
，ABC S =△，求b 的值。
例7．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos
2
B C
A ++取得最大值，并求出这个 最大值。
例8．（06四川文，18）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量)3,1(-=m )sin ,(cos A A n =，且1.=n m ，
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若
22
1sin 23,cos sin B B B
+=--求tanC 。
例9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －
bc ，求∠A 的大小及
c
B
b sin 的值。
例10．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2
tan 2tan 32tan 2tan
C A C A ++的
值。
例11．（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形 例12．（06安徽理，11）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
作者：空青山
作品编号：89964445889663Gd53022257782215002 时间：2020.12.13。