指数的性质

四、指数函数和对数函数

（一）、指数

1、n 次方根和分数指数幂

一般地，如果a x n =，那么x 叫作a 的n 次方根，其中*∈>N n n 且,1。

当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根用符号n a 表示。

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数。正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。

负数没有偶次方根。

0的任何次方根都是0，记作.00=n 0的0次方根没有意义。 式子n a 叫做根式，这里n 叫作根指数，a 叫做被开方数。

根据n 次方根的意义，可得

()a a n =n 。 可以得出：

当n 是奇数时，()a a n n

=； 当n 是偶数时，⎩⎨⎧<-≥==.

0,,0,a a a a a a n n 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。 整数指数幂的运算性质仍然适用于分数指数幂。

我们规定，正数的正分数指数幂的意义是

)1,,,0(>∈>=n N n m a a a n m n m .

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定

)1,,,0(11

->∈>==n N n m a a a a n m n m

n m

。

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。

规定了分数指数幂的意义后，幂a x 中指数x 的取值范围就从整数扩展到了有理数。 有理数整数幂的运算性质：

（1）);,,0(Q s r a a

a a s r s r ∈>=+ （2）

);,,0(Q s r a a a rs

s r ∈>=）（ （3）).,,0()(Q s r a b a ab r r r ∈>=

类似地，从有理数的指数幂来认识无理数指数幂。

一般地，无理数指数幂αa （α,0>a 是无理数）是一个确定的实数。这样，我们就将指数幂）（0>a a α中指数x 的取值范围从整数逐步扩展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。 实数指数幂的运算性质：

（1）);R ,,0(∈>=+s r a a

a a s r s r （2）

);R ,,0(∈>=s r a a a rs s r ）（ （3）).R ,,0()(∈>=s r a b a ab r r r