8.1 数项级数的收敛和发散

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例3. 判别级数
解:
的敛散性 .
ln( n 1) ln( n 1) 2 ln n
ln(1 1 ) ln 2 n
故原级数收敛 , 其和为
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柯西准则
定理. 的充要条件是: 0, N Z ,

m , n N , m n, 有
证: 设所给级数部分和数列为Sn ( n 1 , 2 ,), 因为
n
进行拆项相消 1 1 1 2 1 2 ( n 1)( n 2) 11 1 (2) 其和为 .2 lim S n , 这说明原级数收敛 , 3 n 4 4 n 1 n 3n 2n
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(3)
Sn 1 Sn 2
2n 1 1 3 5 2n 1 1 3 5 2 3 n 2 3 4 n1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2n 1 1 2 3 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0,因此这个级数发散.
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注意: lim an 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 n 1 但 S2 n Sn n1 n 2 n 3 2n 2n 2
n 1
n
bn ) 也收敛, 其和为 S .
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说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则
必发散 . (用反证法可证)
(a
n 1

n
bn )
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 an ( 1)2n , bn ( 1)2 n1 ,
3
定义8.1.1 给定一个数列 a1 , a2 , a3 , , an , 将各项依 次相加, 简记为
a
n 1

n
, 即
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 an 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
则称无穷级数
4
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 .
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性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性. 证: 将级数 的部分和为
a
n1

n 的前
k 项去掉, 所得新级数
n ak l S k n S k
l 1
n
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
矛盾! 所以假设不真 .
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例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
1 ( 2) 3 ; 2 n 1 n 3 n 2 n
解: (1) 令 则
e n1 ( n 1 ) ! ( n 1 )n 1

a n 1 an
故 从而
e n! nn
n
1 ( n 1 , 2 , )
a
n 1

n
, 则各项
也收敛 , 其和为 kS .
n
证: 令 S n
a
k 1
n
k
, 则 n kak kS n ,
k 1
lim n
n
kS
这说明
ka
n1

n
收敛 , 其和为 k S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln( n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
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1 1 1 1 (2) S n 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
1 1 2n11 2n 1 1 1 1 1 n 1 1 n 1 2 2 1 2 2 2 2
故lim S n 3, (3) n
这说明原级数收敛, 其和为 3 .
2n n 1
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2n 1
例如， 1) (1 1) 0 , 但 (1
发散.
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例4.判断级数的敛散性:
解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
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级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: an Sn S n1 则必有
lim an lim S n lim S n1 S S 0
类似可证前面加上有限项的情况 .
17Baidu Nhomakorabea
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 数 的和. 证: 设收敛级数 S an , 若按某一规律加括弧, 例如

n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
1 1 ( n ） 1 n 1 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
S an ,
n 1

bn
n 1

则级数
(a
n 1

n
bn ) 也收敛, 其和为 S .
证: 令 S n
n
a
k 1
n
k
, n bk , 则
k 1
n
n ( ak bk )
k 1
S ( n )
这说明级数
(a
这说明级数(1) 发散.
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(2) 因
1 1 n 3 3n 2 2n n( n 1)( n 2)
( n 1 , 2 , )
n 1 1 1 1 Sn 3 2 k 3k 2k 2 k 1 k ( k 1) ( k 1)( k 2) k 1
§8.1 数项级数的收敛和发散
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§8.1.1 基本概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示

这个和逼近于圆的面积 A .
即
2
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
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2). 若
则 因此级数发散 ; 级数成为
因此
a, Sn 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
2 4 n1 3 S n ln ln ln ln 1 3 n 2
1 2 2s 由自由落体运动方程 s g t 知 t 2 g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2t 2 2t 3
2 g 1 2 1 1 2 2 ( 2)
2 1 2 2 1 2.63 ( s ) g
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 则部分和

n
a a qn 1 q
a 从而 lim S n 1 q
因此级数收敛 , 其和为
a 1 q
;
从而 lim S n ,
n
因此级数发散 .
所以, 利用数列 S n ( n 1 , 2 ,) 的数列极限存在的柯西
准则即得本定理的结论 .
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例6. 利用柯西准则判别级数
解: 对任意 m n, 有
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当m, n>N 时, 都有
由柯西准则可知, 级数
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§8.1.2 收敛级数的基本性质
性质1. 若级数 乘以常数 k 所得级数 收敛于 S , 即 S