2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练(江苏专用)：5 导数的综合应用 Word版含解析]

常考问题5 导数的综合应用

(建议用时：50分钟)

1．若函数y ＝－4

3x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________． 解析 由条件y ′＝－4x 2＋b ，∴Δ＝0＋16b ＞0，得b ＞0. 答案 (－2，－1)

2．已知函数f (x )＝13x 3

－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数

m 的取值范围是________．

解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0.

∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179. 答案 ⎣⎢⎡⎭

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179，＋∞

3．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝1

3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数

y ＝f ′(x )图象，则f (－1)等于________．

解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②，④排除．若图象不过原点，则f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝5

3；若图象过原点，则f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1， ∴f (－1)＝－1

3. 答案 －13或5

3

4．(2013·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在

点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 解析 因为y ′＝12x －12(x ＋1)＋x ＝3x 2＋1

2x

≥2

34＝3，(当且仅当x ＝13

时，“＝”成立)设点P (x ，y )(x ＞0)，则在点P 处的切线的斜率k ≥3，所以tan θ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫

π3，π2.

答案 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

π3，π2

5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x

＋1的解集为______．

解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 (0，＋∞)

6．(2013·温州模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．

解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以{ －a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0. 答案 (－4,0)

7．若函数f (x )＝－1

2x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______．

解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2

＋4x －3

x ＝－(x －1)(x －3)x

.由

f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1

1

x ＋1

，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，

使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______． 解析 由于f ′(x )＝1＋

1

(x ＋1)2

>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋5

2x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋5

2x 在x ∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94. 答案 ⎣⎢⎡⎭

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94，＋∞

9．(2013·徐州质检)现有一张长为80 cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，

作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm)，高为y (cm)，体积为V (cm 3) (1) 求出x 与 y 的关系式； (2) 求该铁皮盒体积V 的最大值． 解 (1)由题意得x 2＋4xy ＝4 800， 即y ＝4 800－x 2

4x

，0＜x ＜60.

(2)铁皮盒体积V (x )＝x 2y ＝x 2×4 800－x 2

4x ＝－14x 3＋1 200x ，V ′(x )＝－

34x 2

＋

1200，令V ′(x )＝0，得x ＝40，因为x ∈(0,40)，V ′(x )＞0，V (x )是增函数；x ∈(40,60)，V ′(x )＜0，V (x )是减函数，所以V (x )＝－1

4x 3＋1 200x ，在x ＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm 3. 所以该铁皮盒体积V 的最大值是32 000 cm 3.

10．(2013·东北三校联考)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；