人教版九年级数学 同步练习 含答案_第二十七章__相似

第二十七章 相似
测试1 图形的相似
学习要求
1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念． 2．掌握相似多边形的两个基本性质．
3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．________________________是相似图形．
2．对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如
d
c
b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．
3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．
4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k ，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．
5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．
6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________． 反之亦真．即
⇔=d
c
b a ______(a ，b ，
c ，
d 不为零)． 7．已知2a －3b ＝0，b ≠0，则a ∶b ＝______． 8．若,5
7
1=+x x 则x ＝______． 9．若
,5
32z y x ==则=-+x z y x 2______．
10．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm ，则A ，B 两
地实际距离为______m ．
二、选择题
11．在下面的图形中，形状相似的一组是( )
12．下列图形一定是相似图形的是( )
A ．任意两个菱形
B ．任意两个正三角形
C ．两个等腰三角形
D ．两个矩形
13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为
50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( ) A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
三、解答题
14．已知：如图，梯形ABCD 与梯形A ′B ′C ′D ′相似，AD ∥BC ，A ′D ′∥B ′C ′，
∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；
(2)A′B′和BC的长；
(3)D′C′∶DC．
综合、运用、诊断
15．已知：如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．
16．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．
拓展、探究、思考
17．如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF 上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN ∽矩形ABCD，设MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
测试2 相似三角形
学习要求
1．理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边． 2．掌握相似三角形判定的基本定理．
课堂学习检测
一、填空题
1．△DEF ∽△ABC 表示△DEF 与△ABC ______，其中D 点与______对应，E 点与 ______对应，F 点与______对应；∠E ＝______；DE ∶AB ＝______∶BC ，AC ∶DF ＝AB ∶______．
2．△DEF ∽△ABC ，若相似比k ＝1，则△DEF ______△ABC ；若相似比k ＝2，则
=AC DF ______，=EF
BC
______． 3．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______． 4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_____ ____________与原三角形______． 5．已知：如图，△ADE 中，BC ∥DE ，则
①△ADE ∽______； ②
;)
(,)(BC AB AD AE AB AD == ③
⋅==CA
BA BD AE DB AD )
(,)( 二、解答题
6．已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．
(1)若△ADC ∽△CDB ；
(2)若△ACD ∽△ABC ；
(3)若△BCD ∽△BAC ．
综合、运用、诊断
7．已知：如图，△ABC 中，AB ＝20cm ，BC ＝15cm ，AD ＝12.5cm ，DE ∥BC ．求DE 的长．
8．已知：如图，AD ∥BE ∥CF ．
(1)求证：
;DF
DE
AC AB (2)若AB ＝4，BC ＝6，DE ＝5，求EF ．
9．如图所示，在△APM 的边AP 上任取两点B ，C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．求证：P A ∶PB ＝PC ∶PD ．
拓展、探究、思考
10．已知：如图，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且
2
3
=DE AE ，CE 交BD 于点F ，BF ＝15cm ，求DF 的长．
11．已知：如图，AD 是△ABC 的中线．
(1)若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F ，求BF
AF
； (2)若E 为AD 上的一点，且k
ED AE 1=，射线CE 交AB 于F ，求⋅BF AF
测试3 相似三角形的判定
学习要求
1．掌握相似三角形的判定定理．
2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．
课堂学习检测
一、填空题
1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．
3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似．
4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由
是____________________．
8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．9．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
9题图
10．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．
10题图
二、选择题
11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )
A．∠B＝∠DAC
B．∠BAC＝∠ADC
C．AC2＝DC·BC
D．AD2＝BD·BC
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
三、解答题
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，
(1)图中有哪两个三角形相似?
(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；
(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；
(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；
(5)求证：AC·BC＝AB·CD．
15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；
(2)△ODE∽△OAB；
(3)△ABC∽△DEF．
综合、运用、诊断
16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．
求证：(1)∠EAF＝∠B；
(2)AF2＝FE·FB．
17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC 相切于E点．
求证：AB·CD＝BE·EC．
18．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．
求证：AD·BC＝OB·BD．
19．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．求证：CB2＝CF·CE．
拓展、探究、思考
20．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．
21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．
22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．
测试4 相似三角形应用举例
学习要求
能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．
课堂学习检测
一、选择题
1．已知一棵树的影长是30m ，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是( )
A ．15m
B ．60m
C ．20m
D ．m 310
2．一斜坡长70m ，它的高为5m ，将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下，停下地点的高度为( ) A ．
m 7
11 B ．
m 7
10 C ．
m 7
9 D ．
m 2
3 3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影长DE ＝1.8m ，窗户下檐距地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为( )
第3题图
A ．1.5m
B ．1.6m
C ．1.86m
D ．2.16m 4．如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距离墙角1.6m ，梯上点D 距离墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子长为( )
第4题图
A ．3.85m
B ．4.00m
C ．4.40m
D ．4.50m 二、填空题
5．如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．
第5题图
6．如图所示，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线，并测得AB
＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．
第6题图
三、解答题
7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．
8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?
综合、运用、诊断
9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在
墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?
10．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?
11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为
1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF
为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到
0.1m)
12．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分
点．
(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．(要求：写出作法，
保留画图痕迹，不要求证明)
测试5 相似三角形的性质
学习要求
掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．
2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______．
3．相似三角形的周长比等于______．
4．相似三角形的面积比等于______．
5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______． 6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．
7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．
8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______． 9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．
10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______． 11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______． 12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm 2所表示的实际面积是______． 二、选择题
13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )
A ．9∶4
B ．4∶9
C ．3∶2
D ．81∶16
14．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q ，若
△DQE 的面积为9，则△AQB 的面积为( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．45
15．如图所示，把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分的面积是
△ABC 面积的一半，若2=
AB ，则此三角形移动的距离AA '是( )
A ．12-
B ．
2
2 C ．1 D ．
2
1 三、解答题
16．已知：如图，E 、M 是AB 边的三等分点，EF ∥MN ∥BC ．求：△AEF 的面积∶四
边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积．
综合、运用、诊断
17．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是角平分线．
(1)求证：AD 2
＝CD ·AC ； (2)若AC ＝a ，求AD ．
18．已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且AE BD EC BE ,,2
1
相交于F 点．
(1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；
(2)若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2，求△AFD 的面积S △AFD ．
19．已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ．
(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长； (2)当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长．
拓展、探究、思考
20．已知：如图所示，以线段AB 上的两点C ，D 为顶点，作等边△PCD ．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB．
21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD∶S△DOC ＝2∶3，求S△AOB∶S△COD．
22．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．
测试6 位似
学习要求
1．理解位似图形的有关概念，能利用位似变换将一个图形放大或缩小．
2．能用坐标表示位似变形下图形的位置．
课堂学习检测
1．已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．
(1) (2)
(3) (4)
2．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A．(0，0)，2
1
B．(2，2)，
2
C．(2，2)，2
D．(2，2)，3
综合、运用、诊断
3．已知：如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(－4，2)，B(－2，－4)，C(6，－2)，D(2，
4)．试以O点为位似中心作四边形A'B'C'D′，使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的
相似比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．
4．已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D 点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．
(1)求E点和A点的坐标；
(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应
点的坐标；
(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形
A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?
拓展、探究、思考
5．在已知三角形内求作内接正方形．
6．在已知半圆内求作内接正方形．
答案与提示
第二十七章 相 似
测试1
1．形状相同的图形．
2．其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段． 3．对应角相等，对应边的比相等． 4．对应边的比，全等，
⋅k
1 5．对应角相等，对应边的比相等．
6．两个内项之积等于两个外项之积，ad ＝bc ． 7．3∶2． 8．⋅2
5
9．1． 10．1 000．
11．C ． 12．B ． 13．C ．
14．(1)k ＝2∶3；(2)A ＇B ＇＝9，BC ＝8；(3)3∶2． 15．⋅==
7
50,730AE AD 16．相似． 17．25
=
x 时，S 的最大值为⋅2
25 测试2
1．相似，A 点，B 点，C 点，∠B ，EF ，DE ． 2．≌，2，⋅2
1
3．∽；k 1k 2．
4．一边的直线，构成的三角形，相似． 5．①△ABC ；②AC ，DE ；③EC ，CE ． 6．(1)
;BC CA BD CD CD AD == (2);BC CD AC AD AB AC == (3)⋅==AC
CD
BC BD BA BC 7．9.375cm ．
8．(1)提示：过A 点作直线AF ＇∥DF ，交直线BE 于E ＇，交直线CF 于F ＇． (2)7.5．
9．提示：P A ∶PB ＝PM ∶PN ，PC ∶PO ＝PM ∶PN ． 10．OF ＝6cm ．提示：△DEF ∽△BCF ． 11．(1)
;2
1
=BF AF (2)1∶2k ． 测试3
1．平行于，直线，相交． 2．三组，比相等． 3．两组，相应的夹角． 4．两个，两个角对应相等． 5．△ABC ∽△A ＇C ＇B ＇，因为这两个三角形中有两对角对应相等． 6．△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇．因为这两个三角形中有两对角对应相等． 7．△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相
等．
8．△ABC ∽△DFE ．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等． 9．6对． 10．6对．
11．D ． 12．D ． 13．A ．
14．(1)△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB ，△ACB ∽△CDB ；
(2)略；
(3);4,54,52===CD BC AC (4);36,33,3===BC CD AD
(5)提示：AC ·BC ＝2S △ABC ＝AB ·CD ．
15．提示：(1)OD ∶OA ＝OF ∶OC ，OE ∶OB ＝OF ∶OC ；
(2)OD ∶OA ＝OE ∶OB ，∠DOE ＝∠AOB ，得△ODE ∽△OAB ； (3)证DF ∶AC ＝EF ∶BC ＝DE ∶AB ． 16．略．
17．提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ． 18．提示：关键是证明△OBC ∽△ADB ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠D ＝90°． ∵BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ． ∴∠OBC ＝90°．∴∠D ＝∠OBC ．
∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠BOC ．∴△ADB ∽△OBC ．
⋅=∴
CB
BD
OB AD ∴AD ·BC ＝OB ·BD ． 19．提示：连接BF 、AC ，证∠CFB ＝∠CBE
20．
⋅=2
1
FB AF 提示：过C 作CM ∥BA ，交ED 于M ． 21．相似．提示：由△BHA ∽△AHC 得,AC
BA
AH BH =再有BA ＝BD ，AC ＝AE ．
则：,AE BD AH BH =再有∠HBD ＝∠HAE ，得△BDH ∽△AEH ．
22．.2423+-=x y 提示：可证△APE ∽△ACB ，则⋅=AC
AP
BC PE
则).10(6)4
5
8(43,45,43x x x y x AE x PE -++-+===
测试4
1．A ． 2．B ． 3．A ． 4．C ．
5．3． 6．12． 7．48mm ．
8．教师在黑板上写的字的大小约为7cm ×6cm(高×宽)． 9．树高7.45m ． 10．.3
1
AB B A =
'' 11．∵EF ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFD ．
又∠CBA ＝∠EDF ＝90°，∴△ABC ∽△FDE ．
)m (2.181
.11
.1265.1≈⨯=⋅=∴⋅=∴
BA DF BC DE DF BA DE BC 故教学楼的高度约为18.2m ．
12．(1)提示：先证EF ∶ED ＝1∶3．(2)略．
测试5
1．相等，相似比． 2．相似比、相似比、相似比． 3．相似比． 4．相似比的平方．
5．相似比．相似比的平方． 6．4∶5． 7．5∶2，25∶4． 8．1∶2，1∶4． 9．.2:1,2:1 10．.4:3,2:3 11．.4:3,2:3 12．100m 2．
13．C. 14．C ． 15．A ． 16．1∶3∶5． 17．(1)提示：证△ABC ∽△BCD ；(2)
.2
1
5a - 18．(1);3
1 (2)54cm 2． 19．(1);2
2 (2)
⋅7
24 20．(1)CD 2＝AC ·DB ；(2)∠APB ＝120°． 21．4∶9
22．BP ＝2，或
,3
11
或9． 当BP ＝2时，S △ABP ∶S △PCD ＝1∶9； 当3
11
=
BP 时，S △ABP ∶S △DCP ＝1∶4； 当BP ＝9时，S △ABP ：S △PCD ＝9∶4．
测试6
1．略． 2．C ．
3．图略．A ＇(－2，1)，B ＇(－1，－2)，C ＇(3，－1)，D ＇(1，2)． 4．(1));32,2(),2,3(+A E
(2)).332,6(1+A B 1(3，2)，C 1(3，－1)，D 1(9，－1)，E 1(9，2)； (3)),332,10(2--A B 2(7，－2)，C 2(7，1)，D 2(13，1)，E 2(13，－2)． 5．方法1：利用位似形的性质作图法(图16)
图16
作法：(1)在AB 上任取一点G ＇，作G ＇D ＇⊥BC ；
(2)以G ＇D ＇为边，在△ABC 内作一正方形D ＇E ＇F ＇G ＇；
(3)连结BF ＇，延长交AC 于F ；
(4)作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F ，G 各作BC 的垂线FE ，GD ，那么DEFG 就是所求作的内接正方形．
方法2：利用代数解析法作图(图17)
图17
(1)作AH (h )⊥BC (a )；
(2)求h ＋a ，a ，h 的比例第四项x ； (3)在AH 上取KH ＝x ；
(4)过K 作GF ∥BC ，交两边于G ，F ，从G ，F 各作BC 的垂线GD ，FE ，那么DEFG 就是所求的内接正方形． 6．提示：
正方形EFGH 即为所求．
第二十七章 相似全章测试
一、选择题
1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则
BC
DE
的值为( )
第1题图
A ．
3
2 B ．
41 C ．3
1
D ．
2
1 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
第2题图
A ．
2
1
=BC DE B ．
21
=∆∆的周长的周长ABC ADE
C ．
的面积的面积ABC ADE ∆∆3
1
=
D ．
的周长的周长ABC ADE ∆∆3
1
=
3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )
第3题图
A ．△AED ∽△AC
B B ．△AEB ∽△ACD
C ．△BAE ∽△ACE
D ．△AEC ∽△DAC
4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，
则CD 长为( )
第4题图
A ．1
B ．
2
3 C ．2 D ．
2
5 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )
第6题图
A ．BC DE
DB AD =
B ．AD
EF
BC BF =
C ．FC
BF EC AE =
D ．
BC
DE
AB EF =
7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )
第7题图
A ．P A ·A
B ＝P
C ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·P
D C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件
第8题图
①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
二、填空题
9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．
图9
10．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且
6
1
EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则
FD
AF
等于______．
第10题图
11．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，则四
边形DEBC 的面积为______．
第11题图
12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______． 三、解答题
13．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1．
(1)求证：△ABD ∽△CBA ；
(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长．
14．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，CD ⊥AB 于D 点，AD ＝4cm ，DB ＝9cm ，求
CB 的长．
15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．
16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．
17．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．
(1)求∠D的度数；
(2)求证：AC2＝AD·CE．
18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．
(1)求证：△ABD ∽△DCE ；
(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
19．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，
设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．
(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值；
(2)若设,,y S
S x AD ='
=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．
20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半
径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象
与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．
22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，
动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．
(1)求直线AB 的解析式；
(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为
5
24
个平方单位?
23．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不
与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．
(1)求证：△BEF ∽△CEG ；
(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?
答案与提示
第二十七章 相似全章测试
1．C ． 2．D ． 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．C ． 7．B ． 8．A ． 9．4．8m ． 10．⋅3
1
11．21m 2． 12．5∶4．
13．(1)
,BA
BD
CB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ； (2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5． 14．.cm 133提示：连结AC ．
15．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 16．C (4，4)或C (5，2)．
17．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．
(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．
18．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．
(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=
从而y ＝AC －CE ＝x 2－
.12+x (其中20<
<x )．
(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x 当∠ADE 为底角时：⋅=2
1AE 19．(1)S ＇∶S ＝1∶4；
(2)).40(4
1
162<<+-
=x x x y 20．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．
则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．
.2.2.2432-===a a a
∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P 21．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)；
(2))4
9,43(-D 或D (1，－2)． 22．(1);64
3
+-
=x y
(2)1130=
t 或;1350 (3)t ＝2或3． 23．(1)略；
(2));30(8
311832≤<+-
=x x x S (3)当x ＝3时，S 最大值33=．。