分子平均自由程 碰撞频率
6-4 分子的平均碰撞频率和平均自由程
气体分子速率分布律和能量分布律
平均自由程
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂
碰撞时两 分子质心距 离的平均值 称为分子的 有效直径
研究碰撞的意义：
分子间通过碰撞，实现能量的交换； 分子间通过碰撞交换能量达到能量按自由度均分； 分子间通过碰撞，由非平衡状态向平衡状态过渡； 分子间通过碰撞交换速度，使速度分布达到稳定。
二、平均自由程和平均碰撞频率的计算
1、分子碰撞模型 （1）分子视为直径为分子有效作用距离d 的刚球； （2）分子间的碰撞是弹性碰撞；
2、平均碰撞次数
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不 动，A以平均相对速 率 u 相对其它分子 运动。
圆柱体的截面积为 = d
2
，叫做分子的碰撞截面。
u t 2 •以折线为轴的曲折圆柱体积 u t d 2 •圆柱内分子数 n u t d 2 •单位时间内平均碰撞次数 n u d
一、平ห้องสมุดไป่ตู้自由程 和平均碰撞频率的定义
1、平均自由程 分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程， 叫做自由程；分子在连续两次碰撞之间所经过 的路程的平均值叫做平均自由程。
2、平均碰撞频率 Z 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞 的平均次数，叫做分子的平均碰撞次数或平 均碰撞频率。 3、二者的关系
v v T Z
•时间 t 内，A通过的折线长 平均相对速率
v
u 2v
u
B
u
v
A
A
d
2v
平均碰撞次数
Z 2 π d vn
2
3、平均自由程
v 1 2 z 2π d n
1 T 一定时 p
气体分子的平均自由程和碰撞频率
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问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率） 达几百米每秒。为什么在几米远的地方，打开酒精瓶塞， 需几秒甚至更长的时间才能嗅到酒精味 ?
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一、分子的平均自由程和平均碰撞频率
平均自由程：分子相继两 次碰撞间所走的路程叫分子的 自由程。分子在连续两次碰撞 之间所通过的自由程的平均值 叫 做 平 均 自 由 程 （ mean free path），用 表示。
对其他分子运动 。
下面确定 和 z 是由那些因素决定的。
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单位时间内平均碰撞次数 z π d 2 un
考虑其他分子的运动 u 2 v
分子平均碰撞次数 z 2π d 2 vn
平均自由程
v 1
z 2 π d2n
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Байду номын сангаас
v 1
z 2 π d2n P nkT
kT
2 πd2p
T 一定时， 1
P
P 一定时， T
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7–13 在常温下，气体分子的平均速率可达几百米， 为什么气味的传播速率远比此小？
7–14 一定质量的气体，保持体积不变，当温度升 高时，分子的无序运动更加剧烈，平均碰撞频率增大， 因此，平均自由程减小，对吗？
B A
平均碰撞频率：每个分子平均在单位时间与其他
分子相碰的次数平均值，用 z 表示。
平均自由程与平均碰撞频率之间的关系为：
vt v
zt z
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
分子碰撞频率和平均自由度
(二) λ Z 间的关系
v ----气体分子运动的平均速度,即每秒走过的平均距离.
Z -故(-1-)-,气气λ体体或分分Z子子平平与气均均体自每所由秒出程碰的:撞状态次有数λ关.=,如Zv气体单位体积内分子
数n大,分子碰撞的机会多.
(2) λ 或 Z 与气体种类(或性质)有关,分子直径大,碰撞机会多.
过程看作弹性碰撞过程,两这直径只是分 子有效直径,并非分子真正大小.
r0
r
f斥
d
Z = πd 2un
u = 2v 平均相对速率 , v 平均速率.
所以: Z = 2πd 2nv
看出λ 与宏观平均速率 v 无关.
与宏观λ 量(p,V,T)的关系:
λ= v =
Q p=nkT
n = p /kT
Z
∴ λ = kT 2π d 2 p
1
2π d 2 n
a
• 讨论:(1)气体温度一定p增大, λ 减小数量级概念,
v (3) 大,其它条件一定,碰撞机会多.
简略推导: 1) 气体分子为弹性小球,直径d.
2) 假设一定量气体中只有一个分子在运动,其它分子不动,平
均速率为 v ,而此分子运动相对其它分子的相对速率为u ,分
子a运动,轨迹为直线,和分子球心距离等于或小于分子直径 的那些分子与a碰撞.
则a分子在单位时间内和其它分子碰撞的次数为:
地球海平面 p=1大气压=
帕,
T=237K
此时 1.01=31×0-710米5
{ 地面上空(100公里处) p=0.133帕,
=1米λ
地面上空(300公里处) p=
帕
=10米λ
§1.7 分子的碰撞频率与平均自由程
8kT 已知 va m
则
分子与器壁的碰撞频率为
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
8
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
已知
''
pV NkT
或
p n kT
p z 2 mkT
p z L 2 MRT
9
z ''
分子的隙流 气体分子通过小孔向外流出称为隙流 隙流速度为
kT RT p v n n 2 m 2 M 2 mkT
'
v MB MA v
10
' A ' B
ห้องสมุดไป่ตู้
0
m m 2 vx dvx vx exp 2 kT 2kT m m 2 vx dvx exp 2 kT 2kT
1 2
1 2
0
7
vx
v dn dn
0 x 0
vx
vx
2kT m
z d
2 AB
8RT
nA nB
6
分子与器壁的碰撞频率
速率在 vx vx dvx 的分子数
已知
vx
dn(vx ) nf (vx )dvx m m 2 f (vx ) exp vx 2 kT 2 kT vx dnvx
0
0
dnvx
分子的运动方向相反，其相对速度为 分子以90°角碰撞
平均自由程和平均碰撞频率
平均自由程和平均碰撞频率在物理的世界里，平均自由程和平均碰撞频率就像是空气中的那股清新气息，听起来很专业，但其实挺有意思的。
想象一下，咱们在一个人多热闹的派对上，大家都在忙着交谈、跳舞。
这个时候，你得在众人中间穿梭，偶尔被人撞一下，或者和朋友聊聊。
这就像是气体分子在空间里移动，发生碰撞，听起来是不是挺有画面感的？平均自由程，就像你在派对上能顺利移动的距离。
分子在这个空间里就像是你，四处游荡，能走多远，就取决于周围有多少“障碍物”。
如果人多得像热锅上的蚂蚁，那你可得小心翼翼，才能不被撞到。
相反，如果人少，那就简单多了，能畅通无阻。
简单来说，平均自由程就是气体分子在碰撞之前能走多远的一个数值。
你可能会问，这个数值是怎么计算的呢？它和气体的性质、温度、压力都有关系。
像夏天的空气，热得让人受不了，分子动得飞快，碰撞频率自然就高，这样一来，平均自由程就会变得小一些。
说到平均碰撞频率，那就是在单位时间内，分子之间碰撞的次数。
再把它换个角度看，就像是你在派对上，跟朋友聊得开心，突然有人从旁边冲过来把你撞了一下，感觉一下子被打断了。
这个频率高了，你的谈话就得时不时被打断，显得有点混乱。
反过来，如果碰撞频率低了，那大家的聊天就显得井然有序，就像是一场优雅的舞会，大家都在轻声细语，享受这份宁静。
这里面还有个有趣的地方。
气体分子如果是小颗粒，平均自由程就会长一些；如果是大颗粒，碰撞的机会就多了，平均自由程就短了。
这就好比你在派对上，身材高大的人总是更容易被注意到，走动起来也能避开一些障碍。
但如果是小个子，就得更加灵活，才能在人群中穿梭自如。
这不禁让人想起“人外有人，天外有天”这句话，确实每种情况都有它的道理。
碰撞频率还和温度、压力有关系。
高温下，分子运动得飞快，撞得也多，频率自然就高。
就像夏天的海滩，大家都兴奋得不行，玩得不可开交，彼此碰撞得频繁。
相反，气温低了，分子们就懒洋洋的，像冬天的围炉夜话，大家都安静下来，不再热闹，这时候碰撞频率自然就降了下来。
20平均自由程与碰撞频率10
d 2vn
dd
平均碰撞频率为
A
Z d 2vn
d
(2) 考虑到所有分子的运动，应以平均相 对速度来代替上式中的平均速度
理论上可以证明，平均相对速度等于平均
速度的 2 倍
所以
Z 2 d 2vn
上式表明
平均碰撞次数与分子数密度，分子平均速 率成正比，也是与分子的直径的平方成正比．
把 Z 2 d 2vn代入
2 (3.11010 )2 1.33 103
6.62(m)
从上面计算可知，在通常的容器中，在高
度真空的情况下，分子间发生碰撞的概率是很 小的．
例题分析
例1 求在标准状态下，空气分子的平均自由 程、平均速率及平均碰撞次数. （已知空气的 平均摩尔质量为 2910-3kg·mol-1, 空气分子 的有效直径为3. 5 10-10m）.
解 T 273K, p 1.013 105 Pa ,
d 3.5 1010m, 29 103kg mol1
小于或等于有效直径
dd
d 的分子，都要与A A
分子相碰．
d
以A 的中心运动轨迹为轴线，以分子的有 效直径为半径做一个曲折的圆柱体，那么，凡
中心在此圆柱体内的分子都要与A 相碰．
设:A 的平均速率为 v ,单位体积内的分子数 n A在单位时间内走过的长度为 v
圆柱体的体积为 d 2v
圆柱体内分子数为
vt v Zt Z
得 上式表明
1
2 d 2n
平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度 成反比，而与分子平均速率无关．
因为 所以
p nkT
kT
2 d 2 p
分子的平均碰撞次数及平均自由程
较大的分子数较少，能量较小的分子数较多。 （3）在大小相等的各区间（坐标区间和速度区间）中比较，
分子总是处于低能态的概率大些。 （4）分布在某一坐标区间具有各种速度的分子总数只与坐标
区间的间隔成正比，与粒子的能量无关。 （Ａ）只有(1),(2)是正确的； （B）只有(2),(3)是正确的； （Ｃ）只有(1),(2),(3)是正确的；（D）全部是正确的；
(`1) 10-10m (2) 102~103m/s (3) 108~109s-1
v 1.6 RT M mol
T=300K
v kT z 2d 2 P
把 P 1.01105 Pa
z 2d 2vP
kT T 273K 代入即可得到。
8
例6－12 气缸内有一定量的氢气（可视作理想气体），当
温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数 z
分子的平均碰撞次数及平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什
么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？ 原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
1
一、分子的有效直径d
分子的一种最简单的模型：将分子看成是具有一定体积 的弹性小球。
则分子的有效直径d定义为：两个分子质心之间所能允许的 最小距离。
距离小于或等于分子有效直径d的分子都会与A分子发生碰撞。
为此我们以A分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径d
为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的
分子，都会与A分子发生碰撞，
z n d 2 u
4
理论证明：气体分子的平均相对速率 u与平均速率 v间有
分子的平均碰撞频率和平均自由程
第21讲 分子的平均碰撞频率和平均自由程 习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。
重点与难点重点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
难点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动，频繁碰撞。
每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。
但对大量分子，从统计的角度看，每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。
7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统，一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。
根据简化的气体分子模型，同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球，设想跟踪一个气体分子A ，为简化计算起见，首先假定其它分子不动，A 分子以平均相对速率u 接近其它分子，那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中，它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的，都将与A 分子相碰（图7-11）。
如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴，以分子有效直径d 为半径作一圆柱体（该圆柱体体积为2πd u ）。
质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。
设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ，亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。
所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中，，2πd σ=称为分子的碰撞截面。
考虑所有分子同时以平均速率υ运动，分子间平均相对运动速率为υ2=u ， 故2Z d n υ=(7-23)上式表明，分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比，也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。
7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。
7-7分子平均碰撞次数和平均自由程
单位时间内分子经历的平均距离 v ，
平均碰撞 Z 次，有下列关系：
=
v
Z
2
物理学
7-7 分子平均碰撞次数和平均自由程
教程
简化模型
(1) 分子为刚性小球 .
(2) 分子有效直径为 d（分子间距平均值）.
(3) 其它分子皆静止，某分子以平均速率u
相对其它分子运动 .
3
物理学
7-7 分子平均碰撞次数和平均自由程
取平均
各个方向随机运动，故为零
u 2 = v 2+ v '2 - 2 v ·v '
u 2 = v 2+ v' 2
u 2= 2 v 2
相等 设 均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式
u= 2 v
5
物理学
7-7 分子平均碰撞次数和平均自由程
教程
Z πd2 un
由统计理论计算出 u 2v Z 2d 2 vn
M
v
Z
= 170×108(次/秒)
8
物理学
7-7 分子平均碰撞次数和平均自由程
教程
本次作业
1.习题 P205
7-6、10、14
2.预习：
第八章 热力学基础
9
物理学 教程
7-7 分子8-平0 均教碰学撞基次本数要和求平均自由程
一 掌握内能、功和热量等概念 . 理解准
静态过程 . 二 掌握热力学第一定律，理解理想气体
平均自由程
v
Z
1 kT ( p nkT)
2d 2n 2d 2 p
d为分子的有效直径。
T 一定时 1
p
对空气分子 d ~ 3.5 10 -10 m
6气体分子的平均碰撞频率及平均自由程
解答：根据公式
1
2n d 2
dengyonghe1@
质量一定，体积保持不变，则气体的分子数 密度 n 也不变，
1
2n d 2
平均自由程也不变。
讲解例题：P343，Example10.7
dengyonghe1@
第六节
气体分子的平 均碰撞频率及
平均自由程
dengyonghe1@
一、平均碰撞频率
发难:分子运动论佯谬 在常温下，空气分子速率 400~500米/秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的 同学立刻就可闻到香水味。但实际需要 1~2 分钟才能 闻到，扩散与分子速率102m/s矛盾.
解释: 实际上由于 分子激烈的热运动，不 断地和其它分子碰撞， 分子不是走直线，而是 折线。
Z 2n d 2 v
例：求空气在27ºC、1atm下平均碰撞频率是多少？ （空气分子直径为310-10m ）
解：由 P nkT 有
n
1
.
1.013 38 10
10 -23
5
300
n P kT
2.45 10 25 m -3
dengyonghe1@
由
v 8RT
气分子直径为310-10m ）
解：标准状态
T0 273 K , P0 1.013 105 Pa
dengyonghe1@
kT
2d 2P
1.38 10 -23 273
2 (3 10 -10 )2 1.013 10 5
9.3 10 -8 m
问题：一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加 时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，平均 自由程如何变化？
第9章热学(93)平均自由程与碰撞频率_能均分定理
1mol 理想气体内能：
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
结论：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量： E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压 强为1.013×103 Pa ，密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求： （1） 气体分子的方均根速率； （2） 气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3） 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l）或一氧化碳（CO）气体
（3）分子的平均平动动能：
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能：
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子： i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子： i 6
k
6 2
kT
说明：能量均分定理是一个统计规律，是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能： 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的动能。
多少？
（4） 单位体积内分子的平动动能是多少？ （5） 若气体的物质的量为0.3 mol，其内能是多少？
解：（1）气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT
6-7 分子的平均碰撞频率和平均自由程
4
分子平均碰撞频率
Z 2 π d vn
2
p nkT
二、平均自由程
v 1 2 z 2π d n
1 T 一定时 p
kT 2 2π d p
p 一定时 T
第6章 气体动理论基础
6–7 分子的平均碰撞频率和平均自由程
5
例6.3 试计算氧气在标准状态下的分子平均碰撞频 率和平均自由程. 解 根据 Z 2 d 2nv 及
p2 1.33103 Pa 时； (2)
解 空气分子的 d 3.7 1010 m，
1.38 1023 273 kT （） 1 1 6.12 108 m 2 d 2 p1 2 3.14 (3.7 1010 )2 1.013105
1.38 1023 273 kT （2） 2 8.29m 2 10 2 3 2 d p2 2 3.14 (3.7 10 ) 1.33 10
6–7 分子的平均碰撞频率和平均自由程
1
问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率） 达几百米每秒. 为什么打开一瓶香水后，香味要
经过几秒到十几秒才能传过几米的距离?
自由程：分子在 任意两次连续碰撞 之间自由通过的路 程.
第6章 气体动理论基础
6–7 分子的平均碰撞频率和平均自由程
2
分子平均自由程：每两次连续碰撞之间，一个 分子自由运动的平均路程. 一、平均碰撞频率 分子平均碰撞频率：单位时间内一个分子与其 他分子碰撞的平均次数. 简化模型 1 . 分子为弹性小球 , 2 . 分子有效直径为 对其他分子运动 .
第6章 气体动理论基础
d （分子间距平均值）， u相 3 . 其余分子都静止, A分子以平均速率
气体分子碰撞频率和平均自由程的推导
气体分子碰撞频率和平均自由程的推导气体与固体、液体的不同之处在于，气体由的离散的分子构成，分子之间受到引力作用，在温度和压力相同时，分子们构成的气体能量总是不断变化，分子之间就会发生碰撞，产生热能。
这里以布朗分子模型(Brownian molecular model)为基准，来分析气体分子的碰撞频率及平均自由程。
首先，假设一定的温度和压强条件下，气体分子的碰撞频率是不变的。
在这样的条件下，分子能量总是在不同程度的变化，每次碰撞之后都会有能量的转换。
根据热力学定律，每次碰撞都要转换掉热能或动能到等价物，所以，当分子碰撞频率较高时，分子获取的能量也会增加。
而在温度和压强条件下，分子碰撞频率是不变的。
因此，任何一个分子都会有不同的碰撞频率，而这个频率可以用卡尔曼方程(KM equation)来描述，其表达式为：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中u表示分子的总能量；ai表示分子碰撞的概率。
根据KM方程，可以得出碰撞频率的计算公式：f=1/u*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中，f表示分子的碰撞频率，u表示总能量，ai表示分子碰撞的概率。
由此可知，气体分子碰撞频率与能量有关，碰撞次数越多，气体分子的能量就越多。
接着，我们来探讨气体分子的平均自由程p。
由热力学可知，当一个分子受到外力作用时，就会发生力学变化，平均自由程就会发生变化。
因此，在温度和压强相同的情况下，气体分子的碰撞频率越高，此时分子的平均自由程p就会越大，公式为：p=f/u其中，f表示气体分子的碰撞频率，u表示能量总和。
由此可知，气体分子的平均自由程p也与能量有关，越大的能量，分子越可能进行更远的碰撞，所以平均自由程就会越大。
据以上分析，得出气体分子的碰撞频率和平均自由程的推导公式如下：气体分子的碰撞频率：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2平均自由程：p=f/u最后，还要注意的是，由于温度和压强的变化，气体的分子的碰撞频率和平均自由程也会发生变化。
大学物理气体分子的平均碰撞频率和平均自由程课件
n=2.451023 个/cm3,
__
v
=477m/s
代入公式计算其碰撞频率
__
Z 50亿次 / 秒
可见一个分子到达你的鼻孔，是不能用几经周折 来描述的，而要用“亿经周折”来描述！
__
三）分子的平均自由程
分子在两次连续两次碰撞之间所经历路程的平均值。
则平均自由程为
分子平均一秒内所飞行的距离为
§7--7分子的平均碰撞次数和平均自由程
一）问题的提出 前面已经过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什 么食堂炸油条时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要 和大量的分子碰撞
碰撞是分子的第二特征。 （第一特征是分子作永恒的运动）
分了碰撞是“无规则”的，相隔多长时间碰撞一次？
分了碰撞是“无规则”的,相隔多长时间碰撞一次 每次飞翔多远再碰撞 ，也都有是随机的、偶然 的，因此也只能引出一些平均值来描写。
即下一面秒求内相分对速子率平均_u_碰撞与平的均次速数率
__
__
Zv 的n关系d。2 设u
Z 2nd v 所 其有它即分分：子 子都 的以 速平 率均仅速决率定运于动分，子则运其动2 一的__个方分 向(子 。7相 对33)
B
__
v
B
__
v
B
__
v
A
__
v
__
u 0
__
v
A
__
v
A
__
1.2107 (m)
2 3.14 (2.7 1010)2 1.013105
__
为什么压强降低时，
当p 107 atm时 1.2m 平均自由程增大呢？
《大学物理》75 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程.
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
上页 下页
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页
下页
2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态 演示
z 2d v n
2
上页
下页
二、平均自由程
一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路 程叫平均自由程 单位时间内分子经历的 平均距离 v ， 平均碰撞 Z 次
=
v Z v Z
因为
P=nkT
=
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页 下页
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m
上页 下页
kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010
气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
气体动理论
第9讲 气体分子的平均碰撞频率 和平均自由程
一、分子的平均碰撞频率
平均碰撞频率和平均自由程
平衡态宏观性质的维持 非平衡态向平衡态过渡
依靠分子间的频繁碰撞实现
刚性球 模型
不可以像讨论压强那样 将分子看成质点
不需像讨论内能那样考 虑分子内部结构
分子的有效直径 d 约为10-10 m
无引力刚 性球模型
=
1.013×105 1.38×10−23 × 273
=
2.69 ×1025 m−3
λ = 1 = 2.14 ×10−7 m 2π d 2n
z = v = 7.95×109 s−1
λ
(约80亿次)
平均碰撞频率和平均自由程
d d
假定: 分子是直径为d 的弹性小球
分子A以平均相对速率 u 运动, 其他分子静止 由麦克斯韦速率分布可证 u = 2 v
球心轨迹为轴, d 为半径作折圆柱体
平均碰撞频率和平均自由程
d d
球心在圆柱体内的分子将与A碰撞
单位时间内有 πd 2u n 个分子与A发生碰撞
平均碰撞频率: z = 2π d 2nv
• 当温度一定时,平均自由程与压强成反比,压强越小,平 均自由程越长.
平均碰撞频率和平均自由程
例. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数. (已知 分子直径d = 2×10-10m )
解:
v=
8RT =
Mπ
8×8.31× 273
2 ×10−3π
= 1.70 ×103 m ⋅ s−1
n
=
P kT
二、平均自由程平均碰撞频率平均自由程平均自由程( λ ): 分子在连续两次和其它分子发生碰撞
混合气体分子的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导
混合气体分子的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导
混合气体是指由多种不同种类分子组成的气体，其中包括氢和氦，氧和氮，氯和氩等。
对
于混合气体，人们想知道分子碰撞频率和自由程。
平均碰撞频率是指单个分子碰撞其他分子的平均频率。
计算混合气体的平均碰撞频率需要
用到平均碰撞频率常数。
它可以用以下公式表示：
k=∑_i(f_i*k_i)
其中k代表混合气体的平均碰撞频率常数。
f_i 的值等于混合气体内每种分子的浓度或含量，K_i代表单种分子的碰撞频率常数。
自由程是指分子能够直接穿过物体而不受物体的阻碍而飞行的距离。
在一般情况下，计算
混合气体的平均自由程也可以用到平均碰撞频率常数：
f=K/f
其中l为混合气体的平均自由程，K代表混合气体的平均碰撞频率常数，f代表流体的密度。
上述就是混合气体的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导。
平均碰撞频率常数可以用于计算不同种类分子平均碰撞频率，而平均自由程可以用流体密度计算。
在研究气体性质时，这也是有益的推导。
大学物理 7.5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010
例1
计算空气分子在标准状态下的平均自由程和 平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = 3.10
空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下 8 RT v 448m / s 的平均速率 M
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m
kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
7.5气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
一、分子的平均碰撞次数:
一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫 平均碰撞频率 Z 设分子 A 以相对平均速率 v 运动，其它分子可设为静止。 运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞 该圆柱体的面积 就叫 碰撞截面
= d2
d d
z d v n
2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态 演示
z 2d v n
8.8 平均自由程和平均碰撞频率
i
平均自由程 有规律，描述运动和碰撞。 2
考虑平衡态气体 系统中的分子A ，以 平均相对速度 u 相对 其他分子运动，其他 分子静止不动
u 2v
以分子直径d为半径作一曲折的圆筒，中心在 圆筒内的分子都能与A相碰。 平均碰撞频率 ：
nπd u t 2 2 nπ d u 2nd v z t
8.7 108 m d
8 1.38 1023 273 8kT 1 447 m s v 27 3 . 14 10 s 8 8.7 10
v
5
练习：84,5,9,11,14,15,17,18,21,22,2 3,24,25,26,36,38,39,40 作业：8-9，21，24,40
【例8.9】计算在标准状况下空气分子的平均自 由程和平均碰撞频率。 解 空气分子：有效直径 d = 3.1×1010 m， 平均质量 m = 47.98×1027 Kg 23 1.38 10 273 kT 2 2 20 5 2π d p 2 3.14 3.1 10 1.01 10
分子在相继两次碰撞间所通过的路程考虑平衡态气体系统中的分子a以平均相对速度u相对其他分子运动其他分子静止不动vv22??uu3以分子直径d为半径作一曲折的圆筒中心在圆筒内的分子都能与a相碰
8.8 平均自由程和平均碰撞频率
1
8.8.1 平均自由程 分子看成刚性小 球，碰撞是弹性的， 相继两次碰撞之间 分子作匀速直线运 动。 自由程： 分子在相 继两次碰撞间所通 过的路程 自由程 随机变化
2
3
平均自由程：
v v 1 2 2 z 2nπd v 2nπd
与分子数密度及分子直径的平方成反比，与 平均速率无关。 由 p nkT ，可得 kT 2 2 πd p 与系统的温度成正比，与压强成反比。 真空系统：气体非常稀薄，自由程远大于容 器线度，分子间碰撞概率极小。 4
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32 2
4
v p ( O 2 ) 500 m/s
如估算O2 在 T = 300 K 时 速率在 790 -- 800 m/s 区间内的 分子数占总数的百分比 解： 790m/s
T 300 K
p
u
d Δ 10m/s
2 8.31 300 32 10
790 395 2
气体
(m )
d (m )
氢
1.13 10
7
氮
0.599 10 3.10 10
7
氧
0.647 10 2.90 10
7
空气
7.0 10
8
2.30 10
10
10
10
3.70 10
10
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰 撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气
2）平均速率 v v1d N 1 v 2 d N 2 v i d N i v n d N n v N
v
v
N
0
vdN N
0
v Nf ( v ) d v N
8 kT πm
kT m
f (v )
0
vf ( v )dv
v 1 . 60
o
RT M
dN n0 ( n0 (
m 2kT m 2kT
)
3 2
e e
( E k E p ) kT
4v dvdxdydz
2
)
3 2
E kT
4v dvdxdydz
2
等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大，
随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。
如果E1 E2 ,则dN1 dN 2
dS
o
v v dv
dN N
v
表示在温度为 T 的平衡 状态下，速率在 v 附近单位 速率区间 的分子数占总数的 百分比 . 表示速率在 v v d v 区间的分子数占总分子数的 百分比 .
0
N
f ( v )dv dS
归一化条件
dN N
0 f ( v ) d v 1
f (v)
同一温度下不同 气体的速率分布
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？ （A） v p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） v p 是速率最大的速度值. （C） v p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均 根速率 v rms .
2 2 2
v
o
vx
vy
v x ~ v x dv x , v y ~ v y dv y , v z ~ v z dv z
内的分子数占总分子数的百分比
dN N
(
m 2kT
)3 2 e
dv x dv y dv z
F (v )
dN Ndv x dv y dv z
速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率， 即速度概率密度（气体分子速度分布函数） 麦克斯韦速度分布函数
f ( v ) 求 1） 速率在 v p
~ v~ 间所有分子动能之和 .
速率在 v v d v 间的分子数 d N Nf ( v ) d v
1）
v Nf ( v ) d v
p
v
2）
v
p
1 2
m v Nf ( v ) d v
2
例 如图示两条 f ( v ) ~ v 曲线分别表示氢气和 氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
v
1 . 60
3）方均根速率
v
2
2
f (v )
v
2
v
2
N
0
v dN N
2
0
v Nf ( v ) d v N
v rms v
2
o
3 kT m 3 RT M
v
3 kT m
v 1 . 60
kT m
1 . 60
RT M
vp
2 kT m
2 RT M
vp v
f(v)
第三讲
麦克斯韦速率分布律 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
本次课内容
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律 §7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
课本
pp241—262；练习册 第十七单元
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
f (v )
o
v
3.三种统计速率 1）最概然速率
f (v )
v p f max
o
M mN
kT m
vp
A
df (v) dv
v vp
0
v
,R NA k
RT M
根据分布函数求得
vp 2 kT m 1 . 41
v p 1 . 41
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然 速率 v p 附近单位速率间隔内的相对 分子数最多 .
S
v N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
o
v v v
表示速率在 v v v 区间的分 子数占总数的百分比 .
分布函数 f ( v ) lim
f (v )
N Nv
v 0
1 N
v 0
lim
N v
1 dN N dv
物理意义
M
H
0 . 002 kg mol
O
1
R 8 . 31 J K
1
1
mol
1
M
0 . 032 kg mol
v rms
T 300 K
3 RT M
3 1
氢气分子 氧气分子
v rms 1 . 93 10 m s v rms 483 m s
1
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
dN N
S
f ( v )dv dS
速率位于v v d v 内分子数
o
v1 v 2
v
d N Nf ( v ) d v
v 1 v 2 区间的分子数 N v 2 N f ( v ) d v 速率位于 v1
速率位于 v 1 v 2 区间的分子数占总数的百分比
S
曲线下面积恒为1
2.麦克斯韦速率分布函数 麦氏分布函数 f ( v ) 4 π (
m 2 π kT
mv
)
2
3 2
mv
2
e
2 kT
v
2
dN N
4π(
m 2 π kT
)
3 2
e
2 kT
v dv
f (v) dN Nd v
2
反映理想气体在热动
平衡条件下，各速率区间
分子数占总分子数的百分 比的规律 .
1 . 38 10
8
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下 的平均速率
v
v
8 RT
M mol
448m / s
z
448 6.9 10
8
6.5 10 s
9
1
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自 由程 :（1）273 K、1.013 10 5 Pa 时 ; ( 2 ) 273 K 、 3 10 Pa 时. 1.333 （空气分子有效直径 ： 3 . 10 10 10 m ） d 解
d
v
v
A
d
d
d
v
v
A
d 球心在圆柱 体内的分子
d
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内A 与其它分子 发生碰撞的 平均次数
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 分子数
d v n
2
Z d v n
2
Z d v n
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v )
vp
2 kT m
m (H 2 ) m (O 2 )
o
vp (H 2 ) v p (O 2 )
2000 v / m s
1
v p (H 2 ) v p (O 2 )
v p ( H 2 ) 2000 m/s
m (O 2 ) m (H 2 )
（2）粒子分布不仅按速率区v~v+dv间分布，还应
按位置区间x~x+dx、 y~y+dy、 z~z+dz分布
dN n0 e
E p kT
dxdydz
dN n0 e
E p kT
dxdydz
dN 气体分子处在空间小体 积元dxdydz中的分子数
n0 为E p 0处的分子数密度
的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
d 3.5 10
10
m
kT 2d p
2
23
1.38 10