分子平均自由程 碰撞频率

v
1 . 60
3）方均根速率
v
2
2
f (v )
v
2

v
2
N
0
v dN N
2


0
v Nf ( v ) d v N
v rms v
2
o
3 kT m 3 RT M
v

3 kT m
v 1 . 60
kT m
1 . 60
RT M
vp
2 kT m

2 RT M
vp v
f(v)
F (v x , v y , v z ) ( m 2kT )3 2 e
m 2 kT (v x v y vz )
2 2 2
二、玻尔兹曼分布律
若气体分子处于恒定的 外力场（如重力场）中 气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
? 推广：
气体分子分布规律如何
（1）气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek
8
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下 的平均速率
v
v
8 RT
M mol
448m / s
z


448 6.9 10
8
6.5 10 s
9
1
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自 由程 :（1）273 K、1.013 10 5 Pa 时 ; ( 2 ) 273 K 、 3 10 Pa 时. 1.333 （空气分子有效直径 ： 3 . 10 10 10 m ） d 解
M
H
0 . 002 kg mol
O
1
R 8 . 31 J K
1
1
mol
1
M
0 . 032 kg mol
v rms
T 300 K
3 RT M
3 1
氢气分子 氧气分子
v rms 1 . 93 10 m s v rms 483 m s
1
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
第三讲
麦克斯韦速率分布律 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
本次课内容
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律 §7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
课本
pp241—262；练习册 第十七单元
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
dN n0 ( n0 (
m 2kT m 2kT
)
3 2
e e
( E k E p ) kT
4v dvdxdydz
2
)
3 2
E kT
4v dvdxdydz
2
等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大，
随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。
如果E1 E2 ,则dN1 dN 2
同一温度下不同 气体的速率分布
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？ （A） v p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） v p 是速率最大的速度值. （C） v p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均 根速率 v rms .
的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
d 3.5 10
10
m


kT 2d p
2
23
1.38 10
273
10
1.41 3.14 ( 3.5 10
) 1.01 10
5
6.9 10 m
§7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
气体分子 平均速率
v 1.60 RT M mol
氮气分子在27°C时的平均速率为476m/s.
矛盾
气体分子热运动平均速率高， 但气体扩散过程进行得相当慢。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前 进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分 子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。
d
v
v
A
d

d
d
v
v
A
d 球心在圆柱 体内的分子

d
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内A 与其它分子 发生碰撞的 平均次数
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 分子数
d v n
2
Z d v n
2
Z d v n
气体
(m )
d (m )
氢
1.13 10
7
氮
0.599 10 3.10 10
7
氧
0.647 10 2.90 10
7
空气
7.0 10
8
2.30 10
10
10
10
3.70 10
10
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰 撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v )
vp
2 kT m
m (H 2 ) m (O 2 )
o
vp (H 2 ) v p (O 2 )
2000 v / m s
1
v p (H 2 ) v p (O 2 )
v p ( H 2 ) 2000 m/s
m (O 2 ) m (H 2 )
f (v )
o
v
3.三种统计速率 1）最概然速率
f (v )
v p f max
o
M mN
kT m
vp
A
df (v) dv
v vp
0
v
,R NA k
RT M
根据分布函数求得
vp 2 kT m 1 . 41
v p 1 . 41
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然 速率 v p 附近单位速率间隔内的相对 分子数最多 .
S
v N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
o
v v v
表示速率在 v v v 区间的分 子数占总数的百分比 .
分布函数 f ( v ) lim
f (v )
N Nv
v 0

1 N
v 0
lim
N v

1 dN N dv
物理意义
n
dN dxdydz
n0 e
E p kT
假定体积元dxdydz中的分子数仍含有各种速率的分子， 且遵守麦克斯韦分布律
在速率区间v~v+dv中的分子数为
dN n0 e
E p kT
dN dN
f ( v )dv
2
(
m 2kT
)
3 2
e
E k kT
4v dvdxdydz
f ( v ) 求 1） 速率在 v p
~ v 间的分子数； 2）速率
在 v p ~ 间所有分子动能之和 .
速率在 v v d v 间的分子数 d N Nf ( v ) d v
1）
v Nf ( v ) d v
p
v
2）
v

p
1 2
m v Nf ( v ) d v
2
例 如图示两条 f ( v ) ~ v 曲线分别表示氢气和 氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
在相同的t时间内，分子由A到 B的位移大小比它的路程小得多
A
B
(路程/时间) (位移量/时间)
扩散速率 平均速率 气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。
分子自由程: 分子碰撞频率:
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计 分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。 一、平均碰撞次数 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。 假 定 只有某一个分子A以平均速率 v运动， 其余分子都静止。

32 2
4
v p ( O 2 ) 500 m/s
如估算O2 在 T = 300 K 时 速率在 790 -- 800 m/s 区间内的 分子数占总数的百分比 解： 790m/s
T 300 K
p
u
d Δ 10m/s
2 8.31 300 32 10
790 395 2
v
2
都与 T 成正比， 与 M（或 ）成反比
vp v 2 v
v
vp v
v
2
vp
2 kT m
T1 300 K
vBaidu Nhomakorabea
8 kT π m
f (v )
O2
v
2

3 kT m
f (v )
T 2 1200 K
H2
o
v p1 v p 2
v
o
v p 0 v pH
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布

1 . 38 10
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
实验装置
2
l v

接抽气泵

Hg

金属蒸汽 狭 缝

v
l
显 示 屏
l
分子速率分布图
N /( N v )
N ：分子总数
2）平均速率 v v1d N 1 v 2 d N 2 v i d N i v n d N n v N
v
v
N
0
vdN N


0
v Nf ( v ) d v N
8 kT πm
kT m
f (v )


0
vf ( v )dv
v 1 . 60
o
RT M
（2）粒子分布不仅按速率区v~v+dv间分布，还应
按位置区间x~x+dx、 y~y+dy、 z~z+dz分布
dN n0 e
E p kT
dxdydz
dN n0 e
E p kT
dxdydz
dN 气体分子处在空间小体 积元dxdydz中的分子数
n0 为E p 0处的分子数密度
2 2 2
v
o
vx
vy
v x ~ v x dv x , v y ~ v y dv y , v z ~ v z dv z
内的分子数占总分子数的百分比
dN N
(
m 2kT
)3 2 e
dv x dv y dv z
F (v )
dN Ndv x dv y dv z
速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率， 即速度概率密度（气体分子速度分布函数） 麦克斯韦速度分布函数
3
395 m/s
p
u
p

790 395
2
Δu
Δ
p

10 395
ΔN N

4 π
4 π
e
u
2
u Δu
2

e
4
4
10 395
0.42%
* §7-6 玻耳兹曼分布律
一、 麦克斯韦速度分布律
vz
dv x dv z
dv y
分子的速度分量限制在
vz vx
vy
m 2 kT ( v x v y vz )
分子速率在 d 间隔内的分子数
2）f (v ) 的性质


0
f ( )d 1 归一性质


0

dN N


0
f ( )d 1
几何意义
f ( )
Δ N dN
Nd
NΔ
f ( )d
o o
Δ d
dS
o
v v dv
dN N
v
表示在温度为 T 的平衡 状态下，速率在 v 附近单位 速率区间 的分子数占总数的 百分比 . 表示速率在 v v d v 区间的分子数占总分子数的 百分比 .
0
N
f ( v )dv dS
归一化条件
dN N
0 f ( v ) d v 1

f (v)
N ( v1 v 2 ) N
v f ( v )d v 1
v2
讨论
dN Nd
1）f (v ) 的意义
分子速率在 附近 单位速率间隔内的分子数 占总分子数的百分比
f ( )
f ( )d
dN N
分子速率在 d 间隔内的分子数占 总分子数的百分比
Nf ( ) d d N
dN N
S
f ( v )dv dS
速率位于v v d v 内分子数
o
v1 v 2
v
d N Nf ( v ) d v
v 1 v 2 区间的分子数 N v 2 N f ( v ) d v 速率位于 v1
速率位于 v 1 v 2 区间的分子数占总数的百分比
S

曲线下面积恒为1
2.麦克斯韦速率分布函数 麦氏分布函数 f ( v ) 4 π (
m 2 π kT
mv
)
2
3 2

mv
2
e
2 kT
v
2
dN N
4π(
m 2 π kT
)
3 2
e
2 kT
v dv
f (v) dN Nd v
2
反映理想气体在热动
平衡条件下，各速率区间
分子数占总分子数的百分 比的规律 .
2
一切分子都在运动
Z
2d v n
2
二、平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程

v Z

1 2 d n
2
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT

kT 2d p
2
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程